14 A Black-Scholes-Merton modell. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull

Hasonló dokumentumok
8-9 Opciós piacok. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull

Neptun kód: KTA60220, KTA60850, TMME0408, KT30725, KT30320, T M3537

6_1_részvényértékelés A B C D E F G H

5 Forward és Futures Árazás. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:

Tájékoztató hirdetmény az OTP Bank Nyrt. Regionális Treasury Igazgatóságának Értékesítési Üzletszabályzatához

4 Kamatlábak. Options, Futures, and Other Derivatives 8th Edition, Copyright John C. Hull

Pénzügyi matematika. Vizsgadolgozat I. RÉSZ. 1. Deniálja pontosan, mit értünk amerikai vételi opció alatt!

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Diverzifikáció Markowitz-modell MAD modell CAPM modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

OPCIÓS PIACOK VIZSGA MINTASOR

A portfólió elmélet általánosításai és következményei

Valószínűségszámítás összefoglaló

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

Kísérlettervezés alapfogalmak

13 Wiener folyamat és az Itô lemma. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull

Vállalkozási finanszírozás kollokvium

A maximum likelihood becslésről

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)

Vállalkozási finanszírozás kollokvium

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév

egyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk

Megoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ

MISKOLCI EGYETEM GAZDASÁGTUDOMÁNYI KAR PÉNZÜGYI TANSZÉK. Tőzsdei ismeretek. feladatgyűjtemény

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.

Nagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem

Kísérlettervezés alapfogalmak

Vállalkozási finanszírozás kollokvium

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Modern műszeres analitika szeminárium Néhány egyszerű statisztikai teszt

MINTASOR (Figyelem az I. rész - Szabályzatok és Elszámolás tesztkérdéseiben megadott válaszok a hatályos szabályzatok szerint változhatnak!

Vállalatértékelés példák

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

A vállalati pénzügyi döntések fajtái

Osztályozóvizsga követelményei

Buda-Cash Brókerház. Határidős piacok. Határidős üzletkötő

Matematikai geodéziai számítások 6.

Statisztika elméleti összefoglaló

Továbblépés. Általános, lineáris modell. Példák. Jellemzık. Matematikai statisztika 12. elıadás,

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

Szent István Egyetem Gazdasági és Társadalomtudományi Kar Pénzügyi és Számviteli Intézet. Beadandó feladat. Modern vállalati pénzügyek tárgyból

Száz János. Computer finance. Oktatás, válság, martingálok

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.

Anyagvizsgálati módszerek Mérési adatok feldolgozása. Anyagvizsgálati módszerek

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

4/24/12. Regresszióanalízis. Legkisebb négyzetek elve. Regresszióanalízis

Bevezető ismeretek a pénzügyi termékekről Intézményekről, tranzakciókról 1.

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.

Vállalati pénzügyi döntések Finanszírozási döntések

Buda-Cash Brókerház. Határidős piacok. Határidős üzletkötő

Matematikai geodéziai számítások 6.

Vállalati pénzügyek alapjai. 2.DCF alapú döntések

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I.

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

Vállalkozási finanszírozás kollokvium

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

Társaságok pénzügyei kollokvium

Szent István Egyetem Gazdasági és Társadalomtudományi Kar Pénzügyi és Számviteli Intézet. Beadandó feladat

Közlemény. Biostatisztika és informatika alapjai. Alapsokaság és minta

1 Határidős szerződések és opciók. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull

Markov-láncok stacionárius eloszlása

Opciók árazása. Szakdolgozat. Írta: Kiss Valéria. Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány. Témavezet :

4_1_Döntési fa_aqua_k1 A B C D E F G H I J K L M

Kockázatos pénzügyi eszközök

Függvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim.

y ij = µ + α i + e ij

Biomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok.

Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg

Elemi statisztika. >> =weiszd= << december 20. Szerintem nincs sok szükségünk erre... [visszajelzés esetén azt is belerakom] x x = n

3. Lineáris differenciálegyenletek

Számítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés

x, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok.

Bitó Bálint István O PCIÓS T O ZSDEI KERESKEDELEM E ÖTVÖS L ORÁND T UDOMÁNYEGYETEM T ERMÉSZETTUDOMÁNYI K AR. Témavezeto : Mádi - Nagy Gergely

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

Pénzügytan szigorlat

8. feladatsor: Többváltozós függvények határértéke (megoldás)

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA

Vállalati pénzügyek alapjai


Gazdasági Információs Rendszerek

KÖTVÉNYFORRÁS MENEDZSMENT GYOMAENDRŐD VÁROS ÖNKORMÁNYZATA TÁJÉKOZTATÓ

Energiatételek - Példák

Társasági adóalap növelő megállapítás kapcsolt vállalkozással folytatott devizaügyletekkel összefüggésben

Opciók és stratégiák

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Mi a modell? Matematikai statisztika. 300 dobás. sűrűségfüggvénye. Egyenletes eloszlás

Mik is pontosan az ETC-k? Physical ETC Classic ETC Forward ETC Short ETC Leveraged ETC

Pénzügyi számítások A sor megoldókulcs

Átírás:

14 A Black-choles-Merton modell Copyright John C. Hull 01 1

Részvényárak viselkedése (feltevés!) Részvényár: μ: elvárt hozam : volatilitás Egy rövid Δt idő alatt a hozam normális eloszlású véletlen változó: ( ) μδt Δt Δ φ, Copyright John C. Hull 01 3

Lognormális áreloszlás: Minthogy G = ln általánosított Wiener folyamat: Copyright John C. Hull 01 4 azaz 0 0, ln ln, ln ln μ φ μ φ

Lognormális áreloszlás: E( ) = e μ μ var ( ) = e ( e 1) 0 0 Copyright John C. Hull 01 5

Folytonosan jóváírt hozam Copyright John C. Hull 01 6 1 = 0 0 μ φ = x x e x, ln

Folytonosan jóváírt hozam A részvényár várható értéke: 0 e μ Ezzel szemben a hozam várható értéke: μ / Magyarázat: ln[ E( / 0)] E[ln( / 0)] [ E ( )] = ln( ) μ > E[ ln( )] ln 0 Copyright John C. Hull 01 7

μ és μ / μ a hozam várható értéke egy nagyon rövid Δt időtartam alatt (jóváírás Δt után) μ / isa várható hozam egy hosszú időtartamra folytonos (illetve Δt gyakoriságú) jóváírással Copyright John C. Hull 01 8

Befektetési alapok hozama: Éves hozamok: 15%, 0%, 30%, 0%, 5% (1 éves jóváírás) zámtani átlag: 14% 100 x 1.15 x 1. x 1.3 x 0.8 x 1.5 = 179.4 100 x 1.140 5 = 19.5 (!!!) 100 x 1.14 5 = 179.4 zámtani átlag (14%) felel meg μ-nek Geometriai átlag (1.4%) felel meg μ /-nek Copyright John C. Hull 01 9

Volatilitás Folytonos jóváírással meghatározott 1 éves hozam standard szórása Egy rövid Δt időtartamra ez közelítőleg Δt Ha az ár $50 és a volatilitás 5% évente: 1nap 1keresk.na p = Δt = Δt 1 30 = 1.57% 365 1 30 = 5 1.89% Copyright John C. Hull 01 10

Volatilitás becslés historikus adatokból 1. Ár adatsorok: 0, 1,..., n (τ gyakoriság, pl. τ = 1/5 heti záró árakra). Hozam minden egyes lépésre: i ui = ln i1 3. tadard szórás s az összesített u i adatokra s 1 n 1 4. Wiener tulajdonság miatt: = ( u ) n i = i u 1 Copyright John C. Hull 01 ˆ = s τ 11

Black-choles-Merton alapfeltevések A részvény és a részvényopció bizonytalansága ugyanazon tényezőkön alapul (μ és konstans). udunk rizikómentes portfóliót alkotni részvényből és részvény opcióból. A portfólió hozama rövid távon a rizikómentes befektetés hozamával egyezik meg. Folytonos kereskedés, nincs osztalék, a kamatláb lejárattól független. Nincs adó és tranzakciós költség. Copyright John C. Hull 01 1

Black-choles differenciálegyenlet Copyright John C. Hull 01 13 részvény : opció 1 : ½ ƒ z ƒ t ƒ t ƒ ƒ ƒ z t μ μ Δ Δ = Δ Δ Δ = Δ f a call opció ára, -től függ z = ε t mindkét egyenletben azonos!!

Black-choles differenciálegyenlet A portfólió értéke, Π Π = ƒ ƒ Változás Δt alatt ΔΠ = Δƒ ƒ Δ Copyright John C. Hull 01 14

Copyright John C. Hull 01 : és Helyettesítés, - hozam kockázatmentes Alapfeltevés : a rƒ ƒ ½ ƒ r t ƒ ƒ t f f r f f t r = Δ Δ Δ = Δ Δ ΠΔ ΔΠ = Black-choles differenciálegyenlet

Black-choles differenciálegyenlet Bármilyen származtatott termék ára a B egyenlet megoldása. Egy adott termék: peremfeltételek Pl.: határidős szerződés ára ƒ = K a lejárati időben (t =) Behelyettesítés után a megoldás: ƒ= Ke r ( t ) Copyright John C. Hull 01 16

Black-choles-Merton árazás Copyright John C. Hull 01 17 d r K d r K d d N d N K e p d N K e d N c r r = = = = = 1 0 0 1 1 0 1 0 ) / ( ) / ln( ) / ( ) / ln( ) ( ) ( ) ( ) (

N(x) függvény N(x) annak a valószínűsége, hogy a véletlen változó kisebb x-nél (kumulatív valószínűség eloszlás) Copyright John C. Hull 01 18

Black-choles-Merton árazás Ha 0 extrém nagy értékű, c tart 0 Ke -r árhoz, és p nullához Fordítva: 0 alacsony értékénél c nullához tart, p határértéke Ke -r 0 Copyright John C. Hull 01 19

Kockázatmentes értékelés Az elvárt hozam, μ, nincsen benne a Black- choles-merton egyenletben! Kockázat-preferenciától teljesen független. Copyright John C. Hull 01 0

Kockázatmentes értékelés 1. Alapfeltevés: a részvények hozama megegyezik a kockázatmentes kamat-hozammal.. zámoljuk az opció hozamát. 3. Diszkontálás: kockázatmentes kamatláb. Copyright John C. Hull 01 1

Példa: határidős ügylet Elszámolásnál: K Kockázatmentes esetben: 0 e r K Jelenérték: e -r [ 0 e r K]= 0 Ke -r Copyright John C. Hull 01

VIX &P500 volatilitás index Copyright John C. Hull 01 3