Felmentések Ha valaki tanár szakos, akkor mivel neki elvileg a hálóban nincs logika rész, felmentést kaphat a logika gyakorlat és vizsga alól. Az eredménye, ezek után a számításelélet részből elért eredmény lesz. Ha valakinek már megvan Pásztorné Tanárnőnél a Logikai alapok a programozáshoz gyak/vizsga, akkor Ő is felmentést kaphat, a jegye úgy alakul mint fent. Ha valakinek Számításelméletből van meg a gyakjegy/vizsga, akkor értelemszerűen neki csak logikából kell teljesíteni. A számításelmélet rész kezdete a kurzusfórumon időben meghírdetésre kerül. FONTOS! A felmentés alapjául szolgáló gyakorlati jegyet legkésőbb a vizsgaidőszak 3. hetén be kell mutatni, különben a gyakorlati jegyhez Nem vizsgázhat kerül az ETR-ben bejegyzésre. Logika (1. gyakorlat) 0-adrendű szintaktika 2009/10 II. félév 1 / 1
Értékelés, javítás, pótlás Mindkét részből 1-1 zárthelyi dolgozat lesz, melyeken 50-50 pontot lehet szerezni. Egyik részből felmentetteknek a pontszámát duplázom. Tervezett értékelés: Valamelyik részből < 20 pont elégtelen(1) 40 54 elégséges(2) 55 69 közepes(3) 70 84 jó(4) 85 100 jeles(5) Pót- és javítózárthelyi várhatóan a vizsgaidőszak 1., a gyakorlati utóvizsga a vizsgaidőszak 3. hetén kerül lebonyoĺıtásra. Logika (1. gyakorlat) 0-adrendű szintaktika 2009/10 II. félév 2 / 1
Segédanyagok 1. Gyakorlatfóliák, egyéb online segédanyagok: http://www.cs.elte.hu/ tichlerk 2. Óravázlat a logika részből Dr. Pásztor Endréné honlapján: http://people.inf.elte.hu/pkata/ 3. Jegyzet a számításelmélet részből Dr. Gazdag Zsolt honlapján: http://people.inf.elte.hu/gazdagzs/ 4. Pásztorné Varga Katalin, Várterész Magda: A matematikai logika alkalmazásszemléletű tárgyalása (2003, Panem) 5. Christos H. Papadimitriu: Számítási bonyolultság, Egyetemi tankönyv, Novadat, 1999. (Eredeti: Computational Complexity, Addison-Wesley Publ. Comp., Inc., 1994) 6. Demetrovics János, Jordan Denev, Anton Pavlov: A számítástudomány matematikai alapjai, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985. Logika (1. gyakorlat) 0-adrendű szintaktika 2009/10 II. félév 3 / 1
A nulladrendű logika (ítéletlogika) szintaktikája Logika és számításelmélet, 1. gyakorlat 2009/10 II. félév Logika (1. gyakorlat) 0-adrendű szintaktika 2009/10 II. félév 4 / 1
A logika tárgya A gondolkodás egyik közismert formája a következtetés. Gondolkodásforma vagy következtetésforma egy F = {A 1, A 2,..., A n } álĺıtáshalmazból és egy A álĺıtásból álló (F, A) pár. Egy álĺıtás a kontextustól függetlenül vagy igaz (i) vagy hamis (h). Ezt az értéket az álĺıtás igazságértékének nevezzük. Az egyszerű álĺıtás egy olyan kijelentő mondat, mely egy individuumról álĺıt valamit. Összetett álĺıtás egy egyszerű álĺıtásokból álló összetett mondat, amelynek az igazságértéke csak az egyszerű álĺıtások igazságértékeitől függ. Ezért az összetett álĺıtások csak olyan nyelvtani összekötőszavakat tartalmazhatnak amelyek logikai műveleteknek feleltethetők meg. Helyes következtetésforma egy (F, A) pár, ha minden olyan esetben, amikor az F -ben minden álĺıtás igaz, a következmény álĺıtás is igaz, A logika tárgya az egyszerű álĺıtások és a belőlük logikai műveletekkel kapott összetett álĺıtások vizsgálata, az összefüggések feltárása. A helyes gondolkodásformák kiválasztása és újak keresése. Logika (1. gyakorlat) 0-adrendű szintaktika 2009/10 II. félév 5 / 1
Egyszerű állítások 1. Feladat: Álĺıtás-e? 1 Kétszer kettő az öt. Igen. 2 Holnap megírom a leckém. Nem. Jövő idejű. 3 A világbajnok magyar labdarúgóválogatott kapusa a Real Madridhoz igazolt. Nem. Nem létező személyről szól. 4 Iskolánk tanára 50 éves. Nem. Nem meghatározott alany. 5 x nagyobb, mint 3, ahol x eleme a természetes számoknak. Nem. Nem meghatározott alany. 6,,Minden krétai hazudik. Mondta az általam ismert egyetlen krétai. Nem. Nem meghatározható az igazságértéke. 7 Mi értelme ennek a feladatnak? Nem. Nem kijelentő mondat. Logika (1. gyakorlat) 0-adrendű szintaktika 2009/10 II. félév 6 / 1
Összetett állítások, következtetési formák 2. Feladat: Helyes-e az alábbi okoskodás? Mi az okoskodás sémája? 1 Ha nálam van a kapukulcs, akkor ki tudom nyitni a kaput. Nálam van a kapukulcs. Ki tudom nyitni a kaput. Ha A akkor B. A. Tehát B. Helyes. 2 Ha a benzin elfogyott az autóból, akkor az autó megáll. Nem fogyott el a benzin. Tehát az autó nem áll meg. Ha A akkor B. Nem A. Tehát nem B. Helytelen. Logika (1. gyakorlat) 0-adrendű szintaktika 2009/10 II. félév 7 / 1
Ítéletlogikai formulák Az ítéletlogika leíró nyelve (L 0 ) Adott (megszámlálhatóan) végtelen sok ún. ítéletváltozó: X ; Y ; Z; X 1 ; X 2 ;..., (ezek halmazát jelölje V v ), továbbá a ; ; ; ; (; ) szimbólumok. Az ítéletlogikai formulák rekurzív definíciója Az ítéletváltozók ítéletlogikai formulák. Ha A és B ítéletlogikai formulák, akkor A, (A B), (A B), (A B) is ítéletlogikai formulák. Csak az első két pont véges sokszori alkalmazásával kapott (véges) sorozatok az ítéletlogikai formulák. Az ítéletváltozók az egyszerű álĺıtások halmazát futják be. Az összetett álĺıtásokat felépítő egyszerű álĺıtásokat ítéletváltozókra cserélve formulát nyerünk. Logika (1. gyakorlat) 0-adrendű szintaktika 2009/10 II. félév 8 / 1
Ítéletlogikai formulák Logikai összetettség, közvetlen részformula Az ítéletlogikai formulák logikai összetettségének rekurzív definíciója Az X ítéletváltozó logikai összetettsége 0, azaz l(x ) = 0. l( A) = l(a) + 1. l(a B) = l(a) + l(b) + 1, ahol {,, }. Közvetlen részformula rekurzív definíciója Az X ítéletváltozónak nincs közvetlen részformulája. A közvetlen részformulája A. A B közvetlen részformulája A és B, ahol {,, }. Logika (1. gyakorlat) 0-adrendű szintaktika 2009/10 II. félév 9 / 1
Ítéletlogikai formulák Részformula, logikai műveletek hatásköre Részformula rekurzív definíciója Maga a formula részformulája önmagának. Formula részformulájának közvetlen részformulái részformulái a formulának. Csak ezek a formula részformulái. Logikai műveletek hatásköre A logikai műveletek hatásköre a formula részformulái közül az a legkisebb logikai összetettségű, amelyben az adott logikai összekötőjel előfordul. Logika (1. gyakorlat) 0-adrendű szintaktika 2009/10 II. félév 10 / 1
Ítéletlogikai formulák Fő logikai összekötő, szerkezeti fa Formula fő műveleti jele (logikai összeköője) Formula fő műveleti jele az a logikai művelet, melynek hatásköre az egész formula. A fő logikai összekötő alapján megkülönböztetünk negációs ( ), konjunkciós ( ), diszjunkciós ( ), implikációs ( ) formulákat. Formula szerkezeti fája Olyan gyökeres, csúcscímkézett, bináris fa, ahol a gyökér címkéje maga a formula, a csúcsok címkéi pedig a formula részformulái. Egy csúcs gyerekeinek címkéi a csúcsnak megfelelő részformula közvetlen részformulái. Logika (1. gyakorlat) 0-adrendű szintaktika 2009/10 II. félév 11 / 1
Ítéletlogikai formulák Ítéletlogikai formulák szerkezete 3. Feladat: Készítsünk ítéletlogikai formulákat az X, Y és Z ítéletváltozók felhasználásával és határozzuk meg a logikai összetettségüket. Rajzoljuk fel egy legalább 3 összetettségű formula szerkezeti fáját és határozzuk meg az összes részformuláját! X ; X ; (X Z); ( X Z); ( X Y ); (( X X ) (Y Z)) Logikai összetetség: 0;1;1;2;3;5 (( X X ) (Y Z)) ( X X ) (Y Z) X X (Y Z) X Y Z A csúcsok címkéi a részformulák. Logika (1. gyakorlat) 0-adrendű szintaktika 2009/10 II. félév 12 / 1
Ítéletlogikai formulák Zárójelelhagyás Prioritási sorrend:,,, Zárójelelhagyás célja egy formulából a legtöbb zárójel elhagyása a formula szerkezetének megtartása mellett. a formula külső zárójel párjának elhagyása (ha még van ilyen) egy binér logikai összekötő hatáskörébe eső részformulák külső zárójelei akkor hagyhatók el, ha a részformula fő logikai összekötőjele nagyobb prioritású nála. Láncformulák zárójelelhagyása: Konjunkció illetve diszjunkciólánc esetén minden belső zárójel elhagyható. Implikációlánc: (X 1 (X 2 (X 3... X n ))) a default zárójelezés. Logika (1. gyakorlat) 0-adrendű szintaktika 2009/10 II. félév 13 / 1
Ítéletlogikai formulák Feladatok 4. Feladat: Jelöljük be az alábbi formulákban az egyes logikai összekötők hatáskörét! a. ( ( ( ( X Y ) ( Y Z ) ) X ) Z ) b. ( ( ( P Q ) R ) ( R ( R Q ) ) ) Logika (1. gyakorlat) 0-adrendű szintaktika 2009/10 II. félév 14 / 1
Ítéletlogikai formulák Feladatok 2. 5. Feladat: Adjuk meg, hogy mennyire összetettek az alábbi formulák! Hagyjuk el a lehető legtöbb zárójelet az alábbi formulákból! 1 (((X Y ) (Y Z)) ( X Z)) 2 ((P Q) (Q P)) 3 (((X ( Y Z)) (X Y )) Z) 4 ((Q (P R)) ((P R) Q)) 6. Feladat: Jelöljük be az alábbi formulákban az egyes logikai összekötők hatáskörét! 1 (X Y (Y Z) X ) Z 2 P Q R P Q Logika (1. gyakorlat) 0-adrendű szintaktika 2009/10 II. félév 15 / 1
Ítéletlogikai formulák Feladatok 7. Feladat: Döntsük el, hogy mi igaz az alábbi karaktersorozatokra! 1 P Q R (P) P nem formula/ negációs / konjunkciós/ diszjunkciós/ implikációs 2 (P Q) R ( P P) nem formula/ negációs /konjunkciós/ diszjunkciós/ implikációs 3 P Q (Q R) (P P) nem formula/ negációs / konjunkciós/ diszjunkciós/ implikációs 4 (P R) ((Q R) (P Q R) nem formula/ negációs / konjunkciós/ diszjunkciós/ implikációs 5 Q (P R) (P R) Q nem formula/ negációs / konjunkciós/ diszjunkciós/ implikációs Logika (1. gyakorlat) 0-adrendű szintaktika 2009/10 II. félév 16 / 1
Ítéletlogikai formulák szemantikája Definíció L 0 interpretációja: I : V v {i, h} függvény. Formulák igazságkiértékelésének rekurzív definíciója Egy I interpretációban egy A formula B I (A) igazságértékét (helyettesítési értékét) a következőképpen kapjuk meg: ha A ítéletváltozó, akkor B I (A) := I(A), B I ( A) := B I (A), B I (A B) := B I (A) B I (B), ahol {,, } A logikai műveletek közös igazságtáblája: A B A A B A B A B i i h i i i i h h h i h h i i h i i h h i h h i Logika (1. gyakorlat) 0-adrendű szintaktika 2009/10 II. félév 17 / 1
Igazságtábla Egy formula igazságértéke csak a benne szereplő ítéletváltozók kiértékelésétől függ. Legyenek X 1,..., X n az A formulában szereplő ítéletváltozók. Bázis Az ítéletváltozók egy sorrendje. 2 n lehetséges interpretáció van (ha nem törődünk a formulában nem szereplő ítéletváltozók kiértékelésével). Igazságtábla Egy A ítéletlogikai formula igazságtáblája egy 2 n (n + 1)-es táblázat, ha X 1,..., X n az A formulában szereplő ítéletváltozók. A sorok megfelelnek a lehetséges interpretációknak. Az első n oszlop tartalmazza az ítéletváltozók kiértékelését. Az I interpretációhoz tartozó sor n + 1. oszlopa pedig B I (A)-t. Logika (1. gyakorlat) 0-adrendű szintaktika 2009/10 II. félév 18 / 1
Ítéletlogikai formulák szemantikája Feladatok 8. Feladat: Írjuk fel a,,kizáró vagy igazságtábláját! A B A B i i h i h i h i i h h h 9. Feladat: Készítsük el az alábbi formulák igazságtábláját! (Bázis: az ítéleletváltozók ábécésorrendjében.) 1 P Q P P Q P Q P 2 X Y X i i i i h h 3 X Y Z h i i 4 P Q R (R P) h h h Logika (1. gyakorlat) 0-adrendű szintaktika 2009/10 II. félév 19 / 1
Ítéletlogikai formulák szemantikája Feladatok2 Szemantikus fa X 1,..., X n bázis. Az A ítéletlogikai formula szemantikus fája: Teljes élcimkézett bináris fa, az i. szinten az élek címkéje felváltva X i és X i. Minden levél megfelel egy I interpretációnak. X i ág: I(X i ) = i, X i ág: I(X i ) = h. A levelek alá írjuk B I (A)-t. 10. Feladat: Készítsük el az előző feladat formuláinak szemantikus fáit. X Y Z X X Y Y Y Y Z Z Z Z Z Z Z Z i i i h i i i i Logika (1. gyakorlat) 0-adrendű szintaktika 2009/10 II. félév 20 / 1
Ítéletlogikai formulák szemantikája Feladatok3 11. Feladat: Fejezzük ki az -t és a kizáró vagyot csak a,, logikai műveletek segítségével! X Y X Y X Y X Y X Y X Y i i i i h h i h h h i i h i i i i i h h i i h h 12. Feladat: Bizonyítsuk be igazságtáblával, hogy az ({A B, A}, B) következtetési forma nem helyes! A B A B A B i i i h h i h h h i h i i i h h h i i i Logika (1. gyakorlat) 0-adrendű szintaktika 2009/10 II. félév 21 / 1