VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KIDOLGOZOTT FELADATOK

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KIDOLGOZOTT FELADATOK KOMBINATORIKA Példa: a) Hányféle módon rakható sorba egy csomag Magyar kártya 3 lapja? Nyilván 3! féle módon. Ez nagyon nagy szám, 3!,63 0 35. b) Hányféle módon rakható sorba úgy, hogy a legfelső lap ász legyen? Erre a válasz az, hogy a legfelső lap a 4 ász közül bármelyik lehet, alatta pedig a 3 lap sorrendje tetszőleges, így a lehetőségek száma 4 3! 3,8 0 34. c) Hányféle módon rakható sorba úgy, hogy a 8 piros lap felül legyen? Ebben az esetben a 8 piros lap és azok alatt a 4 többi lap sorrendje tetszőleges. Így a sorrendek száma 8! 4!,50 0 8. Példa: Hány "anagrammája" van a MATEMATIKA szónak? A szó 0 betűből áll, tehát n = 0, ezek között van k = db M betű, k = 3 db A betű, k 3 = db T betű, a többi betűből (E, I, K) - db van, így az "anagrammák" száma 0! P0,3,,,, 500! 3!!!!! Példa: Hány különböző 5 jegyű számot képezhetünk a 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyekből, ha megköveteljük, hogy minden számjegy legfeljebb egyszer fordulhat elő? Két ötjegyű szám, ha ugyanazokból a számjegyekből képezzük, természetesen a számjegyek sorrendjében tér el egymástól. Tehát sorrendeket számolunk és mivel nem mind a tíz hanem csak öt számjegy sorrendjeit kérdezzük, ezért a választ ismétlés nélküli variációk adják. Ha elsőként nem vesszük figyelembe, hogy 0 nem lehet az első számjegy akkor a fentiek szerint 5 világos, hogy az összes "öt számjegyből álló számsorozatok" száma V 0. Korrigáljuk most ezt az eredményt, vonjuk ki ebből azon "számsorozatok" számát, amelyek 0-val kezdődnek. Ha az első helyen 0 áll, akkor már csak négy számjegy össze lehetséges sorrendjeit kell 4 számolnunk, ezek száma nyilván V 9, hiszen a 0-t már nem választhatjuk így csak 9 számjegy közül válogathatunk. A kérdésre a választ nyilván ezen értékek különbsége adja V 0! 9! 0! 9! 0! 9! 76 0 5! 9 4! 5! 5! 5! 5 4 0 V9 Példa: Hány különböző 5 jegyű számot képezhetünk a 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyekből, ha megengedjük, hogy egy számjegy többször is előfordulhat? Két ötjegyű szám, ha ugyanazokból a számjegyekből képezzük, természetesen a számjegyek sorrendjében tér el egymástól. Tehát sorrendeket számolunk. Mivel minden számjegy többször is előfordulhat ezért ismétléses variáció adja a választ a kérdésre. Ha elsőként nem vesszük figyelembe, hogy 0 nem lehet az első számjegy akkor a fentiek szerint világos, hogy az összes 5, i "öt számjegyből álló számsorozatok" száma V 0. Korrigáljuk most ezt az eredményt, vonjuk ki ebből azon "számsorozatok" számát, amelyek 0-val kezdődnek. Ha az első helyen 0 áll, akkor már csak négy számjegy össze lehetséges sorrendjeit kell számolnunk figyelembe véve 4, i az ismétléseket is, ezek száma nyilván V, hiszen az első pozícióba a 0-t már kiválasztottuk, 0

csak a maradék 4 helyre kell még számjegyeket választanunk. A kérdésre a választ nyilván ezen értékek különbsége adja 5, i 4, i 5 4 V0 V0 0 0 90000 Példa: Hányféle módon oszthatunk ki egy csomag 5 lapból álló Francia kártyából 4 játékosnak fejenként 8 lapot. Világos, hogy egy játékos kezében levő lapok sorrendje indifferens, ezért alkalmazhatjuk a számítások során az ismétlés nélküli kombinációt. A választ úgy kapjuk, hogy az első játékos az 5 lapból kap 8 lapot, a második a maradék 44 lapból 8 lapot és így tovább 5 44 36 8,5 0 8 8 8 8 azért szoroztuk az egyes binomiális együtthatókat, mert az egyes leosztások között nyilván az "és" logikai függvény szerepel. Példa: Egy csomag Magyar kártyából hányféle módon választhatunk ki 8 lapot úgy, hogy kizárólag a színekre vagyunk tekintettel, tehát csak az számít, hogy a 8 lap között hány piros, zöld, tök és makk van? Mivel az osztályok száma n = 4 és k = 8 lapot választunk ki, a válasz 3 C 8, i 4 4 8 4 8 65 8 4 8 3 Példa: Egy tagú társaság vízitúrázni indul egy 3, egy 4 és egy 5-személyes kenuval. a) Hányféleképpen foglalhatnak helyet a hajókban, ha a hajón belül az ülésrend nem számít? b) Hányféleképpen foglalhatnak helyet a hajókban, ha András és Boglárka egy hajóban szeretne evezni? c) Hányféleképpen foglalhatnak helyet a hajókban, ha a hajón belül az ülésrend is számít? Megoldás: 9 5 a) 770 3 4 5 0 9 5 0 7 5 0 7 3 b) 7980 4 5 3 5 3 4 3 3 4 c)! 9! 5! V 47900600 V9 P5 9! 5! Példa: Piros, fehér, zöld és kék anyagokból olyan zászlókat készítünk, amelyek vízszintes csíkokból állnak, és a szomszédos csíkok nem lehetnek azonos színűek. Hány különböző zászlót készíthetünk, ha a) egy zászlón két csík van? b) egy zászlón három csík van? c) egy zászlón négy csík van?

Megoldás: a) 4! V 4 3 4 b) V4! 48 c) P 4 4 4 34! 3!! 5 3 BINOMIÁLIS TÉTEL Példa: A binomiális tétel közvetlen alkalmazásaként végezzük el a következő hatványozást. x 3y 9 9 Ehhez szükségünk lesz a binomiális együtthatókra k = 0,,,..., 9 esetén. Ez összesen k 0 db együttható. A szimmetria miatt csak 5 különböző van közöttük, de ezek között is triviális a k = 0 és k = esete. Tehát összesen 3 együtthatót kell közvetlenül kiszámítani. 9 9 9 9 ; 9; 0 9 8 9 9 9! 9 9 9! 9 9 9! 36; 84; 6; 7! 7! 3 6 3! 6! 4 6 3! 6! A binomiális együtthatók sorozata tehát:, 9, 36, 84, 6, 6, 84, 36, 9,. Ennek alapján a hatványozás már elvégezhető. x3y 9 8 7 6 5 x 9x 3x 36x 3x 84x 3x 6x 3x x x x x x x x x x 9 3 4 4 5 3 6 7 8 9 6 3 84 3 36 3 9 3 3 Az elemi hatványozási műveletek elvégzését már az Olvasóra bízzuk. Példa: Az 3 n hatvány binomiális tétel szerinti kifejtésében az ötödik tag értéke 630. Határozzuk meg a hetedik tagot. Megoldás: Az 5. tagot k = 4 esetén kapjuk. Eszerint az 5. tag 3

n n4 4 n! 9n n n n 3 3 9 630, 4 4! n 4! 4 ahonnan n n n n 3 680 Ebből, mivel négy egymást követő egész szám szorzatát kaptuk, próbálgatással könnyen adódik, hogy n = 8. Tehát a binom 8. hatványát képeztük. Innek a 7. tagot k = 6 esetén kapjuk 8 86 6 8! 87 3 7 7 756; 6 6!! n 3 Példa: Határozzuk meg, hogy az x 3 hatvány binomiális tétel szerinti kifejtésében x milyen n esetén kapunk konstans (x-től független) tagot. Megoldás: A kifejtés k + -edik tagja a következő n n n x x x x k x k k nk 3 3 3 3 3 3 3 k k n k k n k 3 Ez a tag akkor konstans, ha az x kitevője zérus, azaz ha teljesül, hogy k 9n 9k k 9n 0k 3n 3k 0; 0; 0; 9n 0k 0; 3 3 3 Ez az egyenlőség például teljesül, ha n = 0, amikor is k = 9. Ha tehát a fenti hatványt a 0. 0 hatványra emeljük akkor k = 9 esetén, tehát a 0. tag állandó. Az állandó értéke 0. 9 A feladatnak természetesen nem ez az egyetlen megoldása, végtelen sok megoldás van. Példa: Határozzuk meg az alábbi összeget n n 3 n n n S 4 4 4... 4 3 n Megoldás: Alkalmazzuk a binomiális tételt az 4 n összeg kifejtésére n n n n n n n n n nk k n n n n 5 4 4 4... 4... 4 4 0 k n n n n k n n n n n 4 4... 4... 4 4 S k n n Ahonnan a keresett összeg S = 5 n. 4

ESEMÉNYALGEBRA Példa: Igazoljuk az alábbi eseményalgebrai azonosságot. AB C A B A C Megoldás: A bizonyítás vagy úgy történik, hogy mindkét oldalt alakítjuk egymástól függetlenül addig amíg azonos alakra nem hozzuk őket, vagy az egyik oldalt addig alakítjuk, amíg megkapjuk a másik oldalon álló eseményt. Az alakításokhoz az eseményalgebrában igazolt Boole-algebrai azonosságokat használjuk fel. AB C AB C AB C A B AC A B A C Az első lépésben felhasználtuk, hogy a különbség helyettesíthető a szorzással és a komplementerrel, a második lépésben a De Morgan azonosságot alkalmaztuk, a harmadikban pedig a disztributív törvényt. A negyedik lépésben ugyanazt mint az elsőben csak fordított logikával. Ezzel az azonosságot igazoltuk. Példa: Igazoljuk az alábbi eseményalgebrai azonosságot. A BC D AC B D Megoldás: A két oldalt most külön-külön alakítjuk. A B C D A B C D A B C D AC B D AC B D AC B D AC B D AC B D A bal oldal alakításánál felhasználtuk, hogy a különbség helyettesíthető a szorzással és a komplementerrel, majd következett az a szorzat asszociativitása és a szorzat kommutativitásának alkalmazása. A jobb oldal alakításánál alkalmaztuk ismét a különbségre vonatkozó azonosságot, majd a De Morgan tételt végül a szorzás asszociatív tulajdonságát. Ezzel az azonosságot igazoltuk. Példa: Igazoljuk hogy az alábbi események teljes eseményrendszert alkotnak. AB, B A, B Megoldás: Meg kell mutatnunk, hogy ezek az események páronként kizáróak és az összegük a biztos esemény. A B B AB B A B A B B A B B A B AB B A A B B A A B B A A B B A A A B B B 5

B A A B B B B B A B B A B A B B A B B A B A B Ezzel az állítást igazoltuk. Példa: Egy sztereo televízióban két hangszóró van. Jelölje A azt az eseményt, hogy a bal oldali hangszóró működik, és B azt az eseményt, hogy a jobb oldali működik. Adjuk meg eseményalgebrai műveletekkel a következő eseményeket. a) bal oldali nem működik; b) legalább az egyik működik; c) mindkettő működik; d) csak a bal oldali működik; e) csak a jobb oldali működik; f) pontosan egy hangszóró működik; g) mindkét hangszóró hibás; h) legalább az egyik hibás; i) a jobb oldali működik; Megoldás: a) bal oldali nem működik : A b) legalább az egyik működik : A B c) mindkettő működik : A B d) csak a bal oldali működik : A B e) csak a jobb oldali működik : A B f) pontosan egy hangszóró működik : AB A B g) mindkét hangszóró hibás : A B A B h) legalább az egyik hibás : A B A B i) a jobb oldali működik : B VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI TÉTELEK Példa: Egy országba gázvezetéken jut földgáz. Jelölje A azt az eseményt, hogy egy adott napon az. vezetéken érkezik gáz, B pedig azt, hogy a. vezetéken érkezik gáz. Tapasztalatok alapján ismertek a következő valószínűségek: P(A)=0,6; P(B)=0,7; P(A B)=0,5. Írja fel eseményalgebrai műveletekkel az alábbi eseményeket, majd számítsa ki ezek valószínűségét: a) Az első vezetéken nem érkezik gáz. b) Pontosan egy vezetéken érkezik gáz. c) Legalább az egyik vezetéken érkezik gáz. d) Egyiken sem érkezik gáz. Megoldás: a) PA PA = 0,6 = 0,4 P A B P B A P( A) P( AB) P( B) P( BA) 0,6 + 0,7 0,5 = 0,6 b) 6

c) P ( A B) P( A) P( B) P( AB) 0, 78 d) P ( A B) P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0, Példa: Egy termelő üzembe egy adott napon két raktárból érkezhet nyersanyag további feldolgozásra. Jelentse A azt az eseményt, hogy az első raktárból, B pedig azt, hogy a második raktárból érkezik nyersanyag egy adott napon. a) Írja fel eseményalgebrai műveletekkel az alábbi eseményeket: i) Legalább az egyik raktárból érkezik nyersanyag. ii) Csak az első raktárból érkezik nyersanyag. iii) Pontosan egy raktárból érkezik nyersanyag. iv) A második raktárból nem érkezik nyersanyag. b) Számítsa ki az a)-beli események valószínűségét, ha tudjuk, hogy P(A) = 0,7; P(B) = 0,8 és P(A B) = 0,6. Megoldás:a) és b) feladat megoldása összevontan a következő. i) P ( A B) P( A) P( B) P( AB) 0, 9 ii) P ( A B) P( A B) P( A) P( A B) 0, iii) P ( A B) P( A B) P( A) P( A B) P( B) P( A B) 0, 3 iv) P B PB 0, KLASSZIKUS VALÓSZÍNŰSÉG Példa: Egy 9 tagú társaság felszáll egy 3 kocsiból álló villamosra. A nagy tolongásban mindenki csak arra koncentrál, hogy feljusson a villamosra. Mi a valószínűsége, hogy a) Mind a 3 kocsiba a társaság 3-3 tagja száll fel? b) Az első kocsiba fő, a másodikba 3fő és a negyedikbe 4 fő száll fel? c) Két kocsiba - fő, egy kocsiba pedig 5 fő száll fel? Megoldás: 963 3 3 3 680 a) PA ( ) 9 3 9683 97 4 3 4 60 b) PB ( ) 9 3 9683 975 97 9 4 5 5 5 68 c) PC ( ) 9 3 9683 7

Példa: Egy országban az autóknak négy számjegyből álló rendszáma van. Mennyi a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott autó rendszámában a) Minden számjegy különböző? b) Csak számjegy egyezik meg? c) Két-két azonos számjegy van? d) Csak 3 számjegy egyezik meg? e) Minden számjegy egyforma? Megoldás: 4 0 4 4 V 0! 5040 a) PA ( ) 0 6! 0 0000 0 4! 430 b) PB ( ) 3 4 0 3! 0000 0 4! 70 c) PC ( ) 4 0!! 0000 0 4! 360 d) PD ( ) 4 0 3! 0000 e) PE ( ) 0 0 4 0 0000 MINTAVÉTELEK Példa: Egy 0 elemű termékhalmazban 4 selejtes termék található. Az alapsokaságból 8 elemű mintát veszünk. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a mintában a) Legfeljebb 3 selejtes termék található. b) Pontosan 6 selejtes termék van. c) Legalább 6 a selejtesek száma. Oldja meg a feladatot ismétléses és ismétlés nélküli mintavétellel is. A) Ismétléses mintavétel alkalmazásával N = 0, S = 4, n = 8, p = S/N = 4/0 = 0,; a) k = 0,,, 3; P 8 0, 0,8 3 k 8k ; k0 k 6 b) k = 6; P A 6 8 0, 0,8 ; 6 c) k = 6, 7, 8; 8 8 0, k P 0,8 k6k 8k 8

B) Ismétlés nélküli mintavétel alkalmazásával: N = 0, S = 4, n = 8; 4 6 3 a) k = 0,,, 3; k 8 k P ; k 0 0 8 b) k = 6; Lehetetlen esemény: P = 0. c) k = 6, 7, 8; Lehetetlen esemény: P = 0. Példa: Egy csomag Magyar kártyából véletlenszerűen kiosztunk 0 lapot. Mi a valószínűsége annak, hogy a kiosztott lapok között a) Pontosan 4 lap piros? b) Legalább 6 lap zöld? c) Mind a 0 lap makk? A feladatot oldjuk meg ismétlés nélküli és ismétléses mintavétellel is. Megoldás: A) Ismétléses mintavétel alkalmazásával: N = 3, S = 8, n = 0, p = S/N = 8/3 = 0,5; A p értéke minden színre ugyanaz. a) k = 4; 0 4 4 6 P 0,5 0,75 ; 0 8 b) k = 6, 7, 8, 9, 0; P 0,5 k6 k k 0,75 8k c) k = 0; 0 P 0,5 0 0 0,75 0 B) Ismétlés nélküli mintavétel alkalmazásával: N = 3, S = 8, n = 0; a) k = 4; 84 4 6 P ( A 4 ) ; 3 0 8 4 8 b) k = 6, 7, 8 k 8 k P k 6 3 0 c) k = 0; Lehetetlen esemény: P = 0. 9

Példa: Egy határátkelő állomáson hosszú ideig tartó megfigyelés eredményeként megállapították, hogy az érkező külföldiek 40%-a osztrák, 0%-a német, 5%-a francia állampolgár, a többi más nemzetiségű. Mi a valószínűsége, hogy egy adott napon, a határon átkelő 5 fő között a) Pontosan 3 fő osztrák? b) Legfeljebb 4 fő német? c) Van francia állampolgár? Megoldás: n = 5, a p valószínűség kérdésenként különböző! 5 3 3 0,4 0, 6 3 a) p = 0,4, k = 3; b) p = 0,, k = 0,,, 3, 4; P A P A 4 k0 5 5 P A 0,5 k k 5 k 0,85 0, k 0,8 k 5k 0 5 c) p = 0,5, k > 0; 5k P( A 0 5 ) 0,5 0 0,85 Példa: Egy íróasztal fiókjában 30 db toll van, 5 piros a többi kék. Egyszerre kiveszünk a fiókból 6 db tollat. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott tollak között a) 3 db piros? b) Legfeljebb 4 db piros? c) Nincs közöttük kék? d) Legalább egy kék színű? Megoldás: N = 30, S = 5, n = 6; a) k = 3; b) k = 0,,, 3, 4; P ( A 3 ) 5 4 k P k 0 5 3 30 6 5 3 5 6 k 30 6 P( A ) 5 5 5 30 6 5 c) k = 6; Lehetetlen esemény: P = 0. d) k 5; Biztos esemény: P =. 0

Példa: Egy dobozban 5 pár kesztyű van. Találomra kiveszünk 5 db kesztyűt. Mi a valószínűsége, hogy lesz közöttük jobbkezes is és balkezes is? Oldjuk meg a feladatot, ha a mintavétel a) visszatevéses; b) visszatevés nélküli. Megoldás: A) Ismétléses mintavétel alkalmazásával N = 0, S = 5, n = 5, p = S/N = 5/0 = 0,5; k =,, 3, 4; 4 5 k 5k P 0,5 0,5 ; k k B) Ismétlés nélküli mintavétel alkalmazásával: N = 0, S = 5, n = 5; k =,, 3, 4; 5 5 4 k5 k P ; k 0 5 TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE, BAYES-TÉTEL Példa: Egy gépalkatrészeket gyártó üzemben három gépsor gyárt párhuzamosan ugyanolyan termékeket. Az első gépsor gyártja az összes alkatrész 40%-át, a második pedig a 35%-át. Az első gépsoron a selejtgyártás valószínűsége a tapasztalatok szerint 0,05, a második és harmadik gépsor esetén pedig rendre 0, és 0,07. a) Mi a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott termék selejtes? b) A termékek minőségi vizsgálata során egy selejtes termék kerül a kezünkbe. Mi a valószínűsége, hogy ez a 3. gépsoron készült? Megoldás: Világos elsőként, hogy a 3. gépsor a termékek 5%-át állítja elő. Az a) kérdésre a teljes valószínűség tétele, a b) kérdésre pedig a Bayes-tétel ad választ. Egy teljes eseményrendszer a következő B : egy véletlenszerűen kiválasztott termék az. gépsoron készült B : egy véletlenszerűen kiválasztott termék a. gépsoron készült B 3 : egy véletlenszerűen kiválasztott termék a 3. gépsoron készült A: egy véletlenszerűen kiválasztott termék selejtes a) P( A) P( A B ) P( B ) P( A B ) P( B ) P( A B ) P( B ) 3 3 0,05 0,4 0, 0,35 0,07 0,5 0,075 b) PB3 A P A B3 P( B3) 0,07 0,5 0, 43 PA ( ) 0,075

Példa: Egy tesztrendszerű vizsgánál egy kérdésre 4 lehetséges válasz közül választhatnak a vizsgázók. A tapasztalatok szerint a hallgatók 70%-a tanul a vizsgákra. (Feltesszük, hogy ebben az estben a hallgató tudja a helyes választ.) Ha valaki nem tudja a helyes választ, egyenlő eséllyel választ a 4 lehetőség közül. c) Mi a valószínűsége, hogy az adott kérdésre egy véletlenszerűen kiválasztott hallgató jó választ adott? Vizsgálva a dolgozatokat, egy jó válasz kerül a kezünkbe. d) Mi a valószínűsége, hogy azért jó a válasz, mert a hallgató tanult a vizsgára? e) Mi a valószínűsége, hogy a hallgató csak tippelt? Megoldás: Egy teljes eseményrendszer a következő: B : egy véletlenszerűen kiválasztott hallgató tanult a vizsgára B : egy véletlenszerűen kiválasztott hallgató nem tanult a vizsgára A: egy véletlenszerűen kiválasztott hallgató jól válaszolt a kérdésre P( A) P( A B ) P( B ) P( A B ) P( B ) 0,7 0,5 0,3 0,775 a) b) PB A c) PB A P A B P( B) 0,7 0,903 PA ( ) 0,775 P A B P( B) 0,5 0,3 0,0967 PA ( ) 0,775 Példa: Tapasztalatok szerint Magyarországon egy bizonyos betegség a lakosság 30%-át érinti. Egy diagnosztikai eljárással kapcsolatosan tudjuk, hogy az 90% biztonsággal kimutatja a betegséget azoknál akik betegek, de 5% eséllyel azokat is betegnek mutatja akik egészségesek. a) Mi a valószínűsége annak, hogy egy illető valóban beteg ha a vizsgálat annak mutatja? b) Mi a valószínűsége annak, hogy egy illető tényleg egészséges, ha a vizsgálat annak mutatja? Megoldás: Egy teljes eseményrendszer a következő B : egy véletlenszerűen kiválasztott személy beteg B : egy véletlenszerűen kiválasztott személy egészséges A: egy véletlenszerűen kiválasztott személy esetében a vizsgálat azt mutatja, hogy az adott személy beteg Mellékszámítás: P( A) P( A B ) P( B ) P( A B ) P( B ) 0,9 0,3 0,05 0,7 0,305 a) PB A P A B P( B) 0,9 0,3 0,885 PA ( ) 0,305

b) A : egy véletlenszerűen kiválasztott személy esetében a vizsgálat azt mutatja, hogy az adott személy egészséges P B A P A B P( B) 0,95 0,7 0,9568 PA ( ) 0,305 Példa: Egy egyetemi évfolyamon 4 csoport tanul matematikát. Az egyes csoportok létszáma rendre, 3, 8, 35 és 6. A szorgalmi időszak gyakorlatain tapasztaltak szerint az egyes csoportokban a jeles vizsgák valószínűsége rendre 0%, 8%, 4% és %. A kijavított vizsgadolgozatokat lapozgatva kezünkbe akad egy jeles vizsgadolgozat. Mi a valószínűsége, hogy a hallgató aki a jeles dolgozatot írta a) A. csoportba tartozik? b) Az. vagy 4. csoportba tartozik? Megoldás: Egy teljes eseményrendszer a következő: B : egy véletlenszerűen kiválasztott hallgató az. csoportba tartozik B : egy véletlenszerűen kiválasztott hallgató a. csoportba tartozik B 3 : egy véletlenszerűen kiválasztott hallgató a 3. csoportba tartozik B 4 : egy véletlenszerűen kiválasztott hallgató a 4. csoportba tartozik A: egy véletlenszerűen kiválasztott vizsgadolgozaton jeles osztályzat szerepel Az A esemény valószínűségére egyik kérdés se kérdez rá közvetlenül, mindkét kérdés a Bayes-tétel alkalmazására vonatkozik. Azonban az A esemény valószínűségét szükséges meghatározni. Ehhez szükséges a teljes hallgatói létszám amely 0 fő. a) PB A P( A) P( A B ) P( B ) P( A B ) P( B ) P( A B ) P( B ) P( A B ) P( B ) 3 3 4 4 3 8 35 6, 76 0, 0,8 0, 4 0, 0,896 0 0 0 0 0 P A B P( B) 0,88 0, 5 PA ( ) 0,896 0 b) Ebben az esetben kihasználjuk, hogy a teljes eseményrendszer eseményei páronként kizáróak, így az összeg valószínűsége, a 3. axióma szerint a valószínűségek összege. P A B P( B ) P A B4 P( B4 ) 3 6 PB B4 A 0, 0, 0, 4096 P( A) P( A) 0,896 0 0 3

DISZKRÉT ELOSZLÁSOK ÁLTALÁNOS LEÍRÁSA Példa: Dobjunk egy szabályos hat oldalú kockával 4 alkalommal egymás után. A valószínűségi változó jelentse a dobott hatosok számát. Határozzuk meg az alábbiakat a) valószínűség eloszlása. b) eloszlásfüggvénye. c) várható értéke. d) szórása. e) módusz, medián, alsó kvartilis, felső kvartilis, felső decilis (x 0,9 ). f) P( 3) =? Megoldás: a) P( = 0) = P( = ) = P( = ) = P( = 3) = P( = 4) = 4 5 65 0, 48 6 96 3 45 500 0,3858 6 6 96 4 5 50 0,57 6 6 96 3 4 5 0 0, 054 3 6 6 96 4 0, 000776 6 96 Ellenőrizzük, hogy valóban valószínűség eloszlást kaptunk-e. A valószínűségeloszlást szemlélteti az ábra. 65 500 50 0 96 96 96 0,6 0,5 0,4 0,3 0,4853086 Valószínűségeloszlás 0,38580469 0, 0, 0 0,574074 0,0543099 0,00077605 3 4 5 A példabeli valószínűségi változó eloszlása 4

b) Az eloszlásfüggvény. Emlékeztetünk: F(x) = P( < x), azaz egy adott x valós helyen F(x) értéke annak valószínűsége, hogy az x-nél kisebb értéket vesz fel. Így kapjuk, hogy 0; ha x 0 65 ; ha 0 x 96 5 ; ha x 96 F( x) 75 ; ha x 3 96 95 ; ha 3 x 4 96 ; ha 4 x Az eloszlásfüggvényt szemlélteti az ábra. c) A várható érték M A példabeli valószínűségi változó eloszlásfüggvénye 065 500 50 30 4 864 96 96 3 Gondoljuk meg, hogy ez az eredmény egybeesik azzal, amit józan gondolkodással elvárunk. Mivel a kocka szabályos, ezért átlagosan minden 6 dobásra jut egy 6-os, így 4 dobásra átlagosan 3 hatos jut. d) A szóráshoz szükség van a második momentumára 0 65 500 50 3 0 4 96 M 96 96 5

Innen a szórás 5 D M ( ) M ( ) 0,745 3 3 e) mod() = 0, mert a = 0 a legvalószínűbb esemény; med() =, mert 0,48 < 0,5 de 0,48 + 03858 > 0,5 az alsó kvartilis x 0,5 = 0, a felső kvartilis x 0,75 =, a felső decilis x 0,9 =. 500 50 0 670 f) egyrészt az eloszlás alapján: P( 3) = 96 96 másrészt eloszlásfüggvénnyel: P( 3) = P( < 4) = F(4) F() = 95 65 670 96 96 96 Példa: Tegyük fel, hogy egy bizonyos típusú sorsjegy minden tízedik példánya nyerő. Elhatározzuk, hogy addig vásárolunk sorsjegyet, amíg nem nyerünk, de legfeljebb 5 sorsjegyet vásárolunk meg. Ha nyerünk, abbahagyjuk a sorsjegyek vásárlását. Legyen a valószínűségi változó a megvásárolt sorsjegyek száma. a) Határozza meg a valószínűségeloszlását. b) Határozza meg a eloszlásfüggvényét. c) Határozza meg a várható értékét és szórását. d) Móduszt, mediánt. e) Számítsa ki az alábbi valószínűségeket az eloszlásfüggvény segítségével: P( < 3), P( ), P( < 4). Megoldás: Legyen a valószínűségi változó a megvásárolt sorsjegyek száma. Ekkor a) eloszlása: P( = ) = 0, = p ; P( = ) = 0,9 0, = 0,09= p ; P( = 3) = 0,9 0, = 0,08= p 3 ; P( = 4) = 0,9 3 0, = 0,079= p 4 ; P( = 5) = 0,9 4 = 0,656= p 5 ; b) eloszlásfüggvénye 0, ha x 0, ha x 0,9 ha x 3 F( x) 0, 7 ha 3 x 4 0,3439 ha 4 x 5 ha 5 x 6

c) M() = 5 xi pi = 4,0956; M( ) = i 5 xi pi = 8,7579 i D() = M M, 4059 d) mod() = 5; med() = 5; e) P( < 3 ) = F(3) = 0,9; P( ) = F() = 0 = ; P( < 4) = F(4) F() = 0,7 0, = 0,7; Példa: Tegyük fel, hogy ketten kosárlabdáznak. Az A játékos 0,4, a B játékos 0,3 valószínűséggel dob kosarat. Felváltva dobnak kosárra addig, amíg egyikük kosarat nem dob, de egyenként legfeljebb 3 alkalommal dobnak. Legyen a valószínűségi változó az elsőként dobó játékos dobásainak a száma. a) Határozza meg a valószínűségeloszlását. b) Határozza meg a eloszlásfüggvényét. c) Határozza meg a várható értékét és szórását. d) Móduszt, mediánt. e) Számítsa ki az alábbi valószínűségeket az eloszlásfüggvény segítségével: P( < 3), P( < ), P(3 < 4). Megoldás: Legyen a valószínűségi változó az elsőként dobó A játékos dobásainak száma. a) eloszlása: P(=) = 0,4+0,6 0,3 = 0,58 = p ; P(=) = 0,6 0,7 0,4+0,6 0,7 0,6 0,3 = 0,436 = p ; P(=3) = 0,6 0,7 0,4+0,6 0,7 0,6 = 0,764 = p 3 ; b) eloszlásfüggvénye 0, ha x 0,58, ha x F( x) 0,836, ha x 3, ha 3 x c) M() = 3 xi pi =,5964; M( ) = i 3 xi pi = 3,4 i D() = M M 0, 7704 d) mod() = ; med() = ; e) P( < 3 ) = F(3) = 0,836; 7

P( < ) = P( ξ) = F() = 0,58 = 0,4; P( 3 < 4) = F(4) F(3) = 0,836 = 0,764; Példa: Tegyük fel, hogy egy bizonyos árucikket egy üzletben 0,4 valószínűséggel kapunk meg. Ha nem kapjuk meg, akkor továbbmegyünk egy másik üzletbe, de legfeljebb 4 üzletet látogatunk meg ebből a célból. Legyen a valószínűségi változó a meglátogatott üzletek száma. a) Írja fel a valószínűségeloszlását. b) Számítsa ki várható értékét és szórását. c) Határozza meg a móduszt, a mediánt és a felső kvartilist. d) Írja fel a eloszlásfüggvényét. Megoldás: a) P( = ) = 0,4 P( = ) = 0,4 P( = 3) = 0,44 P( = 4) = 0,6 b) M() =,76; M( ) = 6,; D() =,73; c) mod() = ; med() = ; x 0,75 = 3 d) F x 0; ha x ; 0,4; ha x ; 0,64; ha x 3; 0,784 ha 3 x 4; ; ha 4 x; HIPERGEOMETRIAI ELOSZLÁS Példa: Egy 3 lapos Magyar kártya csomagból leosztunk 4 lapot. A valószínűségi változó jelentse a leosztott lapok között a piros lapok számát. Határozzuk meg a) A valószínűségeloszlását. b) Adjuk meg a valószínűségi változó várható értékét és szórását. c) Számítsuk ki, mi a valószínűsége annak, hogy a leosztott lapok mindegyike piros, d) illetve annak valószínűségét, hogy a leosztott lapok között legfeljebb két piros lap van. Megoldás: Mivel a "leosztás" nyilvánvalóan ismétlés nélküli mintavételt jelent a hipergeometriai eloszlású, lehetséges értékei k = 0,,, 3, 4. A paraméterek N = 3; S = 8 (piros lapok száma); n = 4 (a minta elemszáma). a) Az eloszlás a következő 8

8 4 8 4 8 4 0 4 3 P 0 0, 95495; P 0, 45078; P 0, 4905; 3 3 3 4 4 4 8 4 8 4 3 4 0 P 3 0, 037375; P 4 0, 00947; 3 3 4 4 b) A várható érték és szórás a következő M S 8 n 4 N 3 S S N n 8 4 4 D n 4 0,5806 0, 760 N N N 3 3 3 8 4 4 0 4 0, 00947; 3 4 c) P d) P P P P 0 0,960679 Példa: Egy urnában van 6 piros és néhány fehér golyó. Ismétlés nélkül kiveszünk az urnából egy mintát. A mintában a piros golyók számának várható értéke a szórásnégyzete pedig 8/. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a mintában legalább piros golyó található. Megoldás: A mintavétel ismétlés nélkül történik, tehát a mintában a piros golyók száma hipergeometriai eloszlású. A paraméterek közül csak az S = 6 ismert, N és n ismeretlen. Ismert viszont a várható érték és a szórásnégyzet. Ezt felírva kapunk egy egyenletrendszert a két ismeretlenre. S 6 M n n ; ahonnan N 3n N N S S N n 6 N n 6 3n n 3n 6 n n 4 D n N N N N N 3 n 3 n 3 n 3 n 9 n 3 Kapjuk tehát az ismeretlen n-re a n 4 8 ; 3 n 64 7 n 4; 60 n 40 9n 3 egyenletet amiből n = 4, tehát N = 3n =. Innen már válaszolhatunk a kérdésre. 9

6 6 6 6 4 k 4k k 4k P P 0, 777 k k0 4 4 Példa: Mi a valószínűsége, hogy egyetlen szelvényt kitöltve a) Az 5-ös LOTTO-n pontosan 3 találatunk lesz? b) A 6-os LOTTO-n legalább 4 találatunk lesz? c) A Skandináv LOTTO-n legfeljebb 5 találatunk lesz? Megoldás: Minden egyes LOTTO játék alapja az ismétlés nélküli mintavétel. Ezért minden egyel ilyen játék esetén a találatok száma hipergeometriai eloszlású. Mivel azonban a paraméterek eltérőek, minden játék esetén más valószínűségi változót kell definiálnunk. a) 5-ös LOTTO esetén a paraméterek: N = 90, S = 5, n = 5. A válasz a kérdésre 585 3 P 3 0, 00083 90 5 b) 6-os LOTTO esetén a paraméterek: N = 45, S = 6, n = 6. A válasz a kérdésre 639 639 639 4 5 6 0 P 4 P 4 P 5 P 6 0, 00393 45 6 c) Skandináv LOTTO esetén a paraméterek: N = 35, S = 7, n = 7. A válasz a kérdésre 7 8 7 8 6 7 0 P 5 P 5 P 6 P 7 0,99997 35 7 0

BINOMIÁLIS ELOSZLÁS Példa: Egy szabályos hatoldalú kockával 0 alkalommal dobunk. a) Mi a valószínűsége annak, hogy pontosan 3 db hatost dobunk? b) Mi a valószínűsége, hogy legalább annyi hatost dobunk, mint nem hatost? c) Mi a valószínűsége, hogy a hatos dobások száma nem tér el az átlagtól a szórásnál jobban? Megoldás: A ξ valószínűségi változó a 0 dobás során a dobott 6-osok száma, Binomiális eloszlású valószínűségi változó, mert független eseményeket vizsgálunk, melyek során az esemény bekövetkezése minden alkalommal megegyezik. Ez tehát Bernoulli-féle feladat n = 0, p = /6 paraméterekkel. a) k = 3: P 3 b) k = 5, 6, 7, 8, 9, 0: P 5 3 7 0 5 3 6 6 0 0 5 k5 k 6 6 c) M(ξ) = np = 0/6 =,66; D(ξ) = np p k 0k 5 0 =,7 6 6 0,49 < ξ <,83 k =, : P 0 5 k k 6 6 Példa: Egy főiskolai valószínűségszámítás kurzus 40 hallgatója egymástól függetlenül /3 valószínűséggel jár be az órákra. Válaszoljunk az alábbi kérdésekre. a) Átlagosan hányan vannak jelen az órákon? b) Mi a valószínűsége, hogy az órán mindenki jelen van? c) Mi a valószínűsége, hogy a jelenlevők száma legalább egy tarokkpartira (4 fő) elegendő? Megoldás: A ξ valószínűségi változó a 40 hallgató közül a jelen lévők számát, ez Binomiális eloszlású valószínűségi változó, hiszen egy Bernoulli-feladatról van szó. 40 független megfigyelést végzünk és a vizsgált esemény minden alkalommal /3 valószínűséggel következik be. Bernoulli feladat: n = 40, p = /3. a) M b) k = 40: P c) k 4: P P k 0k np 40 6,66... 3 40 0 40 40 40 9,043 0 40 3 3 3 3 k 40k 40 4 3 k0 k 3 3 Példa: 0 db 5-ös lottó szelvénnyel játszunk amelyeket egymástól függetlenül töltünk ki. Mi a valószínűsége, hogy legfeljebb 5 szelvényen lesz legalább 3 találatunk? 8

Megoldás: A feladatban két valószínűségi változó is értelmezve van. Egyrészt egy 5-ös LOTTO szelvényen a találatok száma. Erről korábban láttuk, hogy hipergeometriai eloszlású, jelölje ezt. Ennek paraméterei N = 90, S = 5, n = 5. Továbbá valószínűségi változó a 0 kitöltött szelvény között azok száma amelyeken legalább 3 találat van. Mivel a szelvényeket egymástól függetlenül töltjük ki, ez egy Bernoulli-féle feladatot értelmez, n = 0 megfigyelést végzünk és az esemény bekövetkezése, vagyis az, hogy a szelvényen legalább 3 találat van minden megfigyelésnél ugyanannyi. Jelölje ez utóbbi binomiális eloszlású valószínűségi változót. Korábbiak szerint 585 585 585 3 4 5 0 p P 3 0, 00089 90 5 Ez a p valószínűség lesz az eloszlás p paramétere. Válaszolva a kérdésre 5 0 k 0k P 5 0, 00089 0, 00089 k0 k Példa: CD lemezek gyártása során a tapasztalat szerint 000 CD között átlagosan db selejtes van. A legyártott CD-ket húszasával csomagolják. Vásárolunk 5 csomag CD-t, (amelyek mindegyike tehát 0 db CD-t tartalmaz). Mi a valószínűsége, hogy ezek között legalább 4 olyan van, amely nem tartalma egyetlen selejtes CD-t sem? Megoldás: Ez a feladat két binomiális eloszlású valószínűségi változót is értelmez. Egyrészt valószínűségi változó egy 0-as csomagban a selejtes CD-k száma. Mivel a CD-k egymástól függetlenül selejtesek, ez egy Bernoulli-féle feladat n = 0, p = 0,00 paraméterekkel. Jelölje ezt a valószínűségi változót. Meg kell határoznunk annak valószínűségét, hogy egy ilyen doboz egyetlen selejtes CD-t sem tartalmaz. 0 0 0 P 0 0, 00 0,998 0,9607 0 Ezután tekintsük az 5 megvásárolt CD csomagot. Ezek úgyszintén egymástól függetlenül rendelkeznek azzal a tulajdonsággal, hogy bennük minden CD hibátlan. Ezért ez is egy binomiális eloszlású valószínűségi változó, jele legyen, paraméterei n = 5 és p = 0,9607. Így a kérdésre a válasz 5 4 5 5 P 4 0,9607 0,9607 0,9607 0,9857 4 5 Példa: Egy jelsorozatot továbbítunk digitálisan. A tapasztalatok szerint a továbbítás során eltorzult jelek számának az átlagértéke 0 a szórása pedig 4. Határozzuk meg mi a

valószínűsége annak, hogy egy alkalommal a továbbított jelsorozatban legfeljebb 0 jel torzul el. Megoldás: A továbbított jelek nyilvánvalóan egymástól függetlenül torzulnak. Összesen annyi megfigyelést végzünk, ahány jelet továbbítottunk, egymástól függetlenül, és az is világos, hogy minden jel torzulása azonos valószínűséggel következik be. Ezért a továbbított jelsorozatban az eltorzult jelek száma binomiális eloszlású valószínűségi változó, jelölje ezt. Nem ismert azonban sem az n sem a p paraméter. Ezeket viszont meg tudjuk határozni a két feltételből amely egy egyenletrendszer a két ismeretlenre. M np 0; D np p 6; Ebből azonnal adódik, hogy p 0 6 ahonnan p = 0,8 tehát p = 0,. Ebből pedig a várható érték alapján n = 00 adódik. Most már kiszámíthatjuk a kérdéses valószínűséget. 00 0 00 00 99 00 0 80 P 0 0, 0,8 0, 0,8... 0, 0,8 0,5594 0 0 3

POISSON-ELOSZLÁS Példa: Tegyük fel, hogy egy telefonközpontba a hívások Poisson-eloszlás szerint érkeznek, 0 percenként átlagosan 5 a bejövő hívások száma. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy a) 0 perc alatt pontosan 8 a bejövő hívások száma. b) egy fél óra alatt legalább 0 hívás érkezik. c) 5 perc alatt van bejövő hívás. d) egy óra alatt a bejövő hívások számának az átlagtól való eltérése legfeljebb a szórás szerese. Megoldás: A megoldás azon a tényen alapszik, hogy a Poisson-eloszlás várható értéke a λ paraméter. Mivel az eloszlást ez az egyetlen adat határozza meg, minden feladat a λ paraméter meghatározásán múlik. Vegyük észre, hogy minden kérdés más intervallumra vonatkozik, így minden esetben más a bejövő hívások átlagos száma, így a λ paraméter értéke, tehát a négy feladat négy különböző valószínűségi változóra vonatkozik. a) Legyen a valószínűségi változó a 0 perc alatt beérkező hívások száma. Ez Poissoneloszlású. Mivel 0 percenként átlag 5 hívás érkezik 0 perc alatt átlagosan 0 a bejövő hívások száma, tehát λ = 0. Ebből már következik, hogy 8 0 e 0 P 8 0,395 8! b) Legyen a valószínűségi változó a 30 perc alatt beérkező hívások száma. Ez Poissoneloszlású. Mivel 0 percenként átlag 5 hívás érkezik 30 perc alatt átlagosan 5 a bejövő hívások száma, tehát λ = 5. Mivel itt egy végtelen sort kell összegeznünk, célszerű a komplementer esemény valószínűségét számolnunk k 9 k 5 5 P 5 5 0 0,930 k! e k! e k0 k0 c) Legyen a 3 valószínűségi változó az 5 perc alatt beérkező hívások száma. Ez is Poissoneloszlású. Mivel 0 percenként átlag 5 hívás érkezik 5 perc alatt átlagosan,5 a bejövő hívások száma, tehát λ 3 =,5. Az a kijelentés, hogy "van bejövő hívás" azt jelenti, hogy k. Mivel itt is egy végtelen sort kell összegeznünk, ismét célszerű a komplementer esemény valószínűségét számolnunk k k 0,5,5,5,5,5 P3 e e e 0,979 k! 0! d) Legyen a 4 valószínűségi változó a 60 perc alatt beérkező hívások száma. Ez Poissoneloszlású. Mivel 0 percenként átlag 5 hívás érkezik 60 perc alatt átlagosan 30 a bejövő hívások száma, tehát λ 4 = 30. Mivel a szórás D4 4 30 5, 47, ezért a kérdés a 9,06 4 40,94 esemény valószínűségének a meghatározására vonatkozik. 30 30 P9, 06 4 40,94 P0 4 40 e 0,9458 k! 4 40 k0 k

Példa: Tegyük fel, hogy egy cég vaslemezekből bizonyos idomokat gyárt. Egy lemezből 5db idom gyártható hulladék nélkül. A vaslemezeken átlagosan 5 db pontszerű öntési-hengerlési hiba található. Hány db vaslemezt kell beszerezni a cégnek, ha 500.000 db hibátlan idomra vonatkozó megrendelést kell kielégíteniük? Megoldás: Legyen a ξ valószínűségi változó a hibák száma egy idomon, amely Poisson-eloszlású valószínűségi változó. Határozzuk meg a λ paraméter értékét. lemez = 5 idom = 5 hiba tehát idom = 5/5 = /5 hiba λ = /5; "hibátlan idom" azt jelenti, hogy k = 0, tehát P(ξ = 0) = 5 0! 0 e 5 5 e 0,887 N 0,887 = 500.000 N = 60.74,3 db idomot kell gyártani. Ehhez kell 60.74,3 K = 5 + = 4.49 db lemez. Példa: Egy üzlet pénztáránál a sorban állók száma - azok száma akik a pénztárhoz érkeznek - nagyon jó közelítéssel Poisson-eloszlású valószínűségi változó. A tapasztalat szerint egy negyed órás intervallumban (pl. 0:00 és 0:5 között) átlagosan 7 vásárló szokott várni a pénztárnál - ennyien érkeznek a pénztárhoz -. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy ebben a negyed órás intervallumban a) amikor beállunk a sorba már négyen várakoznak előttünk. b) a sorban állók száma -nél több. c) a sorban állók száma 5-nél kevesebb. d) nincs se előttünk se mögöttünk senki. Megoldás: A feladat szövege alapján a sorban állók száma tehát Poisson-eloszlású, jelölje ezt a valószínűségi változót, melynek várható értéke, tehát a paramétere λ = 7. Ennek alapján a) Ha négyen vannak előttünk, akkor az azt jelenti, hogy összesen öten állunk sorban, tehát 5 7 e 7 P 5 0,77 5! b) k k 0 7 7 7 7 7 7 P e e e 0,997 k! 0!! 7 7 c) P 5 e 0,79 k0 k! 7 P e 0,490! d) 7 4 k 5

FOLYTONOS ELOSZLÁSOK ÁLTALÁNOS LEÍRÁSA Példa: Egy folytonos eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvénye az alábbi függvény Határozzuk meg az alábbiakat. a) Az a paraméter értéke. b) eloszlásfüggvénye. c) várható értéke. d) szórása. e) mod(), med(). f) P( ) =?, P( < 3 ) =?, P( < < 4) =? x axe ; ha 0 x f( x) 0; különben Megoldás: a) Parciálisan integrálva és a számításokat elvégezve: x x x x x e 3 f ( x) dx axe dx a xe 0 e dx a xe 0 e 0 a 0 0 e e Ebből következik, hogy a =. Az alábbiakban ezt az értéket csak a végeredményekben e 3 helyettesítjük, a számításokat az egyszerűség végett az a paraméterrel írjuk fel! b) Az eloszlásfüggvényt csak az x ] 0, ] intervallumon kell meghatározni, hiszen az eloszlásfüggvény definíciójából azonnal következik, hogy az intervallumtól jobbra konstans, ettől balra pedig konstans 0. x x x t t x t x x F x f ( t) dt ate dt a te 0 e dt a ( x ) e a x e 0 0. Tehát az eloszlásfüggvény a következő 0; ha x 0 e x F( x) ; ha 0 x x e 3 e ; ha x c) Ismét parciális integrálással és a sűrűségfüggvény tulajdonságainak felhasználásával kapjuk, hogy 6

x x x M ( ) xf ( x) dx ax e dx a x e 0 xe dx 0 0 x 4 4a e 0 a 4e xe dx a, 079 e a e e 3 0 d) A szóráshoz szükség van a második momentumára. Itt megint parciálisan integrálunk, közben felhasználjuk a c) pont eredményét. Innen a szórása 3 x 3 x x M ( ) x f ( x) dx ax e dx a x e 0 3x e dx 0 0 x 8 3 e 0 6e 38 a 8e 3 x e dx a,39 e a e 3 e 3 0 D M ( ) M ( ),39,079 0,475 e) A módusza ebben az esetben az f(x) sűrűségfüggvény maximumhelye, ha az létezik! A maximumhelyet pedig az analízisben tanult módszerrel kapjuk. Ha x ] 0, [ akkor f(x) = a x e x ; f (x) = a e x a x e x = ( x) a e x = 0. Az egyenlet egyetlen megoldása x =. Ez benne is van a ] 0, [ intervallumban. Kérdés, hogy ez valóban maximumhely-e. f (x) = a e x + ( x) a ( e x ) = (x ) a e x Helyettesítve a második deriváltba a stacionárius pontot: f () = f e e 0 e 3 Mivel ez negatív ezért az x = pont valóban lokális maximumhely. Tehát mod() =. e x A medián az F(x) = egyenlet megoldása. Az x e 3 e egyenlet egy transzcendens egyenlet, a megoldáshoz nem juthatunk el a négy alapművelettel és gyökvonással. Numerikus megoldás számítógéppel kapható, de ebben az egyszerű esetben könnyen kitalálhatunk egy közelítő megoldást, ha kéznél van egy számológép. Kiszámítva a x konstansokat a következőt kapjuk: 0, 97 x e, átrendezve pedig azt kapjuk, hogy 7

x + = 0,703 e x. Próbálgatással adódik, hogy x = med(),09, de alkalmazhatunk egy numerikus módszert, például a Newton módszert az egyenlet megoldására. f) A valószínűségeket az eloszlásfüggvény felhasználásával számítjuk e P( ) = F() = 0,557 e 3 e 5 3 3 e P F 0,74 3 e 3 e P( < < 4) = F(4) F() = F() 0,557 Példa: Egy folytonos eloszlású, valószínűségi változó sűrűségfüggvénye az alábbi x Asin, ha 0 x f(x) = 0, különben Határozza meg az alábbiakat: a) A =? b) eloszlásfüggvényét. c) A várható értéket és a szórást. d) Számítsa ki a következő valószínűségeket: P( ) =; P( 4 < ) =; P( < < 3 ) =. Megoldás: b) ha 0 x < π, akkor x a) Asin dx A; A ; 0 Összefoglalva: x t x F( x) sin dt cos ; különben triviális: 0 0 ; ha x 0 x F( x) cos ; ha 0 x ; ha x c) M() = x x sin dx 0 ; 8

M( ) = x x sin dx 4 8 0 ; D() = M M 4 ; d) P( ) = F( ) = P( 4 < ) = F( 4 ) = cos( 8 ); 3 P( < < ) = F( ) F( ) = 0 3 3 Példa: Egy folytonos eloszlású, valószínűségi változó sűrűségfüggvénye az alábbi x A, ha x f x x 0, különben Határozza meg az alábbiakat a) Az A paraméter értékét. b) eloszlásfüggvényét. c) A várható értéket és a szórást. d) Számítsa ki a következő valószínűségeket: P( 3 ) =, P( 4 5 < ) =, P( < < 3 4 ) =; Megoldás: a) x 3 A dx A A ; x 3 ; b) ha < x, akkor Összefoglalva: x t F( x) dt x ; különben triviális. x 3 t 3 9

0 ; ha x F( x) x ; ha x 3 x ; ha x c) M() = x 3 x dx ln 3 x 3,457; M( x 0 ) = x dx,; 3 x 9 D() = M M 0,35; d) P( 3 ) = F( 3 ) = 9 5 ; 5 5 5 8 P( < ) = F( ) = ; 4 4 6 5 4 4 8 4 P( < < ) = F( ) F( ) = ; 3 3 9 Példa: Legyen a valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a következő c x x ; ha x 4 f( x) 0, különben a) Határozza meg a c konstans értékét. b) Számítsa ki szórását. 3 8 Megoldás: a) c = ; b) M() = ; M( 938 ) = ; D() = 0,55 74 37 85 Példa: Legyen a valószínűségi változó sűrűségfüggvénye x x a x ; ha 4 f( x) 0, különben a) Határozza meg az a konstans értékét. b) Írja fel a eloszlásfüggvényét. c) Számítsa ki mediánját. d) Számítsa ki a következő valószínűségeket: P( 0,5) =?; P(0 < 0,5) =? 30

Megoldás: a) a = 3 ; b) 0; ha x 0 3 x x F( x) x ; ha 0 x 3 3 ; ha x c) a med() az 3 m m m 0 egyenlet megoldása: med() 0,60 3 3 d) P( 0,5) = 5 8 ; P(0 < 0,5) = 3 8. Példa: Legyen a valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a következő ; ha 0 x f( x) x 4 0, különben a) Határozza meg eloszlásfüggvényét. b) Határozza meg, mekkora annak valószínűsége, hogy -nek a 0-tól való eltérése kisebb, mint 0,. Megoldás: 0; ha x 0 a) F( x) x; ha 0 x 4 ; ha x 4 b) P( 0, < < 0,) = 0,6. Példa: Legyen a valószínűségi változó eloszlásfüggvénye 0; ha x 0 F( x) cos x; ha 0 x ; ha x a) Számítsa ki várható értékét. b) Számítsa ki az alsó kvartilist, a mediánt és a felső kvartilist. 3

Megoldás: a) M() =, b) x 0,5 = 0,7; med() = 3 ; x0,75 =,3. Példa: Legyen a valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a következő A ; ha x 3 f( x) x 0, különben a) Számítsuk ki az A paraméter értékét. b) Határozzuk meg a eloszlásfüggvényét. c) Számítsuk ki a várható értékét. d) Mutassuk meg, hogy -nek nem létezik szórása. Megoldás: a) A x A A A f xdx dx A lim ; ahonnan A 3 x x x x b) Az eloszlásfüggvény értelmezése szerint nyilván F x 0, ha x x x F x f tdt dt ; 3 t t x x Összefoglalva az eredményeket, kapjuk az eloszlásfüggvényt. F x 0, ha x, ha x x x, ha pedig x >, akkor c) A várható érték a következő. M xf xdx x dx dx lim 0 ; x x x 3 x x d) A szóráshoz szükség van a második momentumra. 3 x M x f x dx x dx dx ln x lim ln x ln 0 ; x x 3

A második momentumot meghatározó improprius integrál divergens, ebből következik, hogy a szórás, amelyet a D M M formula alapján számíthatnánk, szintén végtelen, amire azt mondjuk, hogy a szórás nem létezik. Példa: Legyen a valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a következő A ; ha x f( x) x 0, különben a) Számítsuk ki az A paraméter értékét. b) Mutassuk meg, hogy -nek nem létezik várható értéke. Megoldás: A f x dx dx A A A lim A ; tehát A x x x x x a) b) A várható értéket a következő integrállal számíthatjuk. M xf xdx x dx dx ln x lim ln x ln 0 ; x x x Mivel a várható értéket megadó improprius integrál divergens, a várható érték nem létezik. Példa: Legyen a valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a következő A f ( x) ; x x R Ezt az eloszlást nevezzük Cauchy-eloszlásnak. a) Számítsuk ki az A paraméter értékét. b) Mutassuk meg, hogy -nek nem létezik várható értéke. Megoldás: a) A x x x x f xdx dx A dx A arctg x A lim arctg x lim arctg x A A ; tehát A b) x M xf xdx x dx dx 0 x x 33

mert az integrandus páratlan függvény és az origóra szimmetrikus intervallumra, az egész számegyenesre integrálunk. Azonban az integrál nem abszolút konvergens, ugyanis x x f xdx x dx x dx dx x x x 0 0 lim ln x ln 0 x tehát a függvény abszolút értékének improprius integrálja divergens, tehát az improprius integrál nem abszolút konvergens. A definíció szerint ekkor a valószínűségi változónak nem létezik várható értéke. 34

EXPONENCIÁLIS ELOSZLÁS Példa: Egy radioaktív atommag átlagos élettartama 00 év. Mi a valószínűsége annak, hogy ezen atommag élettartama a) legalább 300 év? b) legfeljebb 50 év? c) legalább 80 de legfeljebb 50 év? d) feltéve, hogy az atommag már élt 00 évet, mi a valószínűsége, hogy további 70 évet él? Megoldás: Egy radioaktív mag élettartama tipikus példa exponenciális eloszlásra. A radioaktív mag ugyanis nem amortizálódik, nem öregszik, ugyanis egy mag vagy az adott elem atommagja vagy elbomlik és akkor más elem magja lesz, de nem öregszik. Tehát ha a valószínűségi változó az atommag élettartama, akkor az "örökifjú" tehát exponenciális eloszlású valószínűségi változó. Átlaga 00, amiből következik, hogy a λ paraméter értéke Ebből következően M 00 alapján 0,0 0,0300 3 3 P 300 F 300 e e e 0,0497 a) 0,050 0,5 b) P 50 F 50 e e 0, 3934 0,050 0,080 0,8,5 P 80 50 F 50 F 80 e e e e 0, 6 c) d) Ha 00 év után további 70 évet él, az azt jelenti, hogy 70 évet él, de ennek feltétele, hogy már élt 00 évet, tehát a kérdés a P 70 00 feltételes valószínűségre vonatkozik. A választ azonnal tudjuk az örökifjú tulajdonság alapján, ez megegyezik a P 70 valószínűséggel, ezt most ebben a konkrét esetben igazoljuk is. A feltételes valószínűség definíciója alapján írhatjuk, hogy 0,070 P 70 00 P 70 F 70 P 70 00 P 00 P 00 F 00 e 0,070 e 0,0 70 0,0 70 0,7 e 0,0 00 e F 70 e 0, 4965 0,000 e e Példa: Egy áruház pénztáránál a sorban állással eltöltött idő exponenciális eloszlású valószínűségi változó. A tapasztalat alapján tudjuk, annak valószínűsége, hogy 5 percen belül sorra kerülünk 0,4. Mi a valószínűsége, hogy a) legalább 0 percig tart amíg sorra kerülünk? b) percnél kevesebbet kell sorban állással tölteni? c) a sorban állással töltött idő 3 és 7 perc közötti időtartam? d) Mennyi a sorban állással eltöltött átlagos időtartam? e) Mi a valószínűsége, hogy további 3 percet kell sorban állnunk, feltéve hogy 6 percig más sorban álltunk? 35

Megoldás: A szövegben nem szerepel explicit módon a λ paraméter értéke, de közvetett P 5 0,4 információnk van róla. Ha jelöli a valószínűségi változót, akkor ismert a valószínűség. Ebből az ismeretlen paraméter meghatározható. 5 5 P 5 F 5 e 0,4; ahonnan e 0,6; azaz 5 ln 0,6; tehát ln 0,6 0,0 5 Ennek ismeretében már válaszolhatunk a kérdésekre. a) 0,00,0,0 P 0 F 0 e e e 0,3605 0,0 0,04 b) P F e e 0,845 0,0 7 0,0 3 0,306 0,74 P 3 7 F 7 F 3 e e e e 0, 467 c) d) M 9,8039 0,0 e) Ha 6 perc után további 3 percet kell várakoznunk, az azt jelenti, hogy összesen legalább 9 percet várakozunk, de ennek feltétele, hogy 6 percig már sorban álltunk, tehát a kérdés a P 9 6 feltételes valószínűségre vonatkozik. A választ azonnal tudjuk az örökifjú tulajdonság alapján, ez megegyezik a P 3 valószínűséggel, ezt most ebben a konkrét esetben ismét igazoljuk. A feltételes valószínűség definíciója alapján írhatjuk, hogy 0,09 e 0,09 e 0,0 3 0,0 3 0,306 e 0,0 6 e F 3 e 0, 7363 0,06 e e P 9 6 P 9 F 9 P 9 6 P 6 P 6 F 6 Példa: Tapasztalatokból tudjuk, hogy egy étteremben annak valószínűsége, hogy legalább 0 percet kell várni a kiszolgálásra 0,367. Legyen az η valószínűségi változó a kiszolgálásig eltelt várakozási idő. a) Határozza meg az eloszlás várható értékét és szórását. b) Határozza meg annak valószínűségét, hogy 0 percen belül kiszolgálnak bennünket. c) Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a kiszolgálás ideje nem tér el a várható értéktől a szórás felénél jobban. Megoldás: Legyen az valószínűségi változó a kiszolgálásig eltelt várakozási idő. Ez exponenciális eloszlású valószínűségi változó. P(η > 0) = F(0) = [ e λ 0 ] = e λ 0 = 0,367, ebből = 0,05. a) M(η) = D(η) = /λ = /0,05 = 0; b) 0,050 0,5 P( 0) F(0) ( e ) e 0,6063; 36

c) D(η)/ = 0: 0,05 30 0,050 0,5,5 P(0 30) F(30) F(0) e e e e 0,3834 Példa: Tegyük fel, hogy egy telefonközpontba egy perc alatt átlagosan 4 hívás fut be. Mennyi annak valószínűsége, hogy a) percig figyelve a hívásokat, pontosan 6 hívást regisztrálnak? b) 3 perc alatt legalább hívás érkezik? c) Egy adott hívás után legalább 0 másodpercig nem érkezi újabb hívás? d) Két egymást követő hívás között eltelt időtartam 30s és 90s közé esik? Megoldás: a) : a hívások száma perc alatt. Poisson-eloszlású valószínűségi változó, = 4; k = 6. 6 4 e 4 P 6 0,04 ; 6! b) : a hívások száma 3 perc alatt. Poisson eloszlású valószínűségi változó, = ; k. k 0 k k! 0!! P e P e e 0,9999 c) : Két egymást követő hívás között eltelt idő. Exponenciális eloszlású valószínűségi változó. M() = ¼, ezért = 4. d) ugyanaz 4 4 3 3 P F ( e ) e 0, 644 3 3 3 3 3 4 4 6 P F F e e e e 0,38 37

NORMÁLIS ELOSZLÁS Példa: Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy egy normális eloszlású valószínűségi változó értéke az m várható érték k sugarú környezetébe esik. Az alábbiakból kiderül, hogy ez függetlenül az m várható értéktől és a szórástól kizárólag a k értékétől függ, és a jelzett valószínűség értékei k =, és 3 esetén nagyon nevezetesek és különösen a matematikai statisztikában alapvető szerepet játszanak. Kiszámítandó tehát a P m k m k valószínűség értéke, egyelőre tetszőleges pozitív k valós szám esetén. A valószínűségek kiszámítására vonatkozó alapvető formulára és a fentiekben igazolt összefüggésekre támaszkodva kapjuk, hogy m k m m k m Pm k m k F m k F m k k k k k k valóban csak k értékétől függ. Eredményünk tehát P m k m k k Alkalmazzuk ezt most k =, és 3 esetén. A Φ(x) függvény értékei a táblázat alapján a következők Ezek felhasználásával kapjuk, hogy 0,843; 0,977; 3 0,9986; m m m P m 0,843 0, 686 P m 0,977 0,9544 P m 3 3 3 0,9986 0,997 Ezek az eredmények tehát a következőt jelentik. Függetlenül a várható értéktől és a szórástól egy normális eloszlású valószínűségi változó értékeinek a 68,6%-a, a 95,44%-a illetve a 99,7%-a rendre a várható érték egyszeres-, kétszeres- illetve háromszoros szórásnyi sugarú környezetébe esik. Ezt szokás néha egy szigma, két szigma illetve három szigma szabálynak nevezni. A kapott intervallumokat a statisztika nyelvén szokás konfidencia intervallumoknak nevezni. Ezeket illusztrálja az ábra. (Az ábrán s = ) 38

A normális eloszlásra vonatkozó leggyakoribb konfidencia intervallumok Példa: Egy műszaki cikk élettartama a tapasztalatok szerint normális eloszlású valószínűségi változó 00 óra várható értékkel, 00 óra szórással. a) Írja fel a sűrűségfüggvényt és az eloszlásfüggvényt. b) Mi a valószínűsége, hogy a működési idő az átlagtól nem tér el a szórásnál jobban? c) Milyen időhatárokat biztosíthatunk 85% pontossággal a működésre vonatkozólag? d) Hány működési órára szóló garanciaidőt adjon a gyártó cég, ha az eladott szerkezeteknek legfeljebb 5%-át szeretné garanciálisan cserélni? e) Ha rendelkezünk 5 db ilyen szerkezettel, mi a valószínűsége, hogy közülük pontosan egy lesz garanciálisan kicserélve? Megoldás: A valószínűségi változó a műszaki cikk élettartama: N(m, σ) = N(00, 00); a) a sűrűségfüggvény: f(x) = e 00 x00 00 ; xr az eloszlásfüggvény: F(x) = x e 00 t00 00 dt; x R Explicit alakja nem létezik. 300 00 00 00 b) P( 00 < < 300 ) = F(300) F(00) = 00 00 = Φ() Φ( ) = Φ() ( Φ()) = Φ() = 0,686 c) P( 00 δ < < 00 + δ ) = F(00 + δ) F(00 δ) = 00 00 00 00 = 00 00 00 00 = 00 00 00 = 0,85. 39

Ahonnan = 0,95. Táblázatból kapjuk, hogy δ = 44. 00 d) P( < t ) = 0,05; t 00 P( < t ) = F(t) = Φ 00 = Φ 00 t 00 t = 0,05. Ahonnan: Φ 00 00 = 0,95. 00 t Táblázatból adódik, hogy =,645, tehát t = 035,5 óra. 00 e) Legyen az valószínűségi változó az 5 eszköz közül azok száma, amelyet garanciálisan javítani kell. Ez egy Bernoulli feladat, így Binomiális eloszlású valószínűségi változó, melynek paraméterei: n = 5, p = 0,05, k =. P 5 4 0, 05 0,95 Példa: Egy fűrésztelepen fenyődeszkákat darabolnak. A deszkák hossza normális eloszlású valószínűségi változó. A hossz átlagértéke 5m, a hossz szórása 5cm. a) Írja fel a sűrűségfüggvényt és az eloszlásfüggvényt. b) Mi a valószínűsége, hogy a deszkák hossza 493cm és 50 cm közé esik? c) Milyen határokat biztosíthatunk 90% pontossággal a deszkák hosszára vonatkozólag? d) Milyen hosszúságot tekintsenek a fűrésztelepen elfogadhatónak, ha legfeljebb a deszkák 5%-át szeretnék selejtesnek tekinteni? e) Ha rendelkezünk 0 szál fenyődeszkával, mi a valószínűsége, hogy közülük legfeljebb tekinthető selejtesnek? Megoldás: A valószínűségi változó a deszkák hossza: N(m, σ) = N(500, 5); x500 5 f x e ; x R 5 x t500 az eloszlásfüggvény: F 5 x e dt; x R Explicit alakja nem létezik. 5 a) a sűrűségfüggvény: b) P( 493 < < 50 ) = F(50) F(493) = Φ(0,4) Φ( 0,6) = Φ(0,4) + Φ(0,6) = 0,3809; c) P( 500 δ < < 500 + δ ) = F(500 + δ) F(500 δ) = 500 500 500 500 = 5 5 5 5 5 5 = 5 = 0,9. Ahonnan = 0,95. Táblázatból kapjuk, hogy δ = 8,5. 5 d) P( 500 δ < < 500 + δ ) = F(500 + δ) F(500 δ) = 5 = 0,95. 40