Gyakorlat: Sztochasztikus idősor-elemzés alapfogalmai II. Egységgyök-folyamatok és tesztek Dr. Dombi Ákos (dombi@finance.bme.hu)
ESETTANULMÁNY 1. Feladat: OTP részvény átlagárfolyamának (Y=AtlAr) stacionaritás vizsgálata és transzformációja Adatállomány: otp.gdt Minta (training): 1995.12.11 2006.11.10 (T=2717)
Trend van a folyamatban! Az idősori folyamat a szinten: OTP napi átlagárfolyam
Stacionaritási vizsgálat: Korrelogram Megállapítások: 1. A folyamat a szinten nem stacioner (a korrelogram nem cseng le zéróhoz kevés számú késleltetést követően) 2. Az ACF, PACF és Q-statisztika értékek értelmezhetetlenek! Lag ACF PACF Q-stat [p-value] 1 0.999 *** 0.999 *** 2712.1 [0.000] 2 0.997 *** -0.069 *** 5416.3 [0.000] 3 0.995 *** 0.028 8112.8 [0.000] 4 0.994 *** 0.022 10802.2 [0.000] 5 0.992 *** 0.026 13484.9 [0.000] 6 0.991 *** -0.005 16160.9 [0.000] 7 0.990 *** 0.002 18830.2 [0.000] 8 0.988 *** -0.010 21492.7 [0.000] 9 0.987 *** 0.012 24148.5 [0.000] 10 0.985 *** -0.039 ** 26797.1 [0.000] 11 0.984 *** 0.014 29438.5 [0.000] 12 0.982 *** 0.033 * 32073.5 [0.000] 13 0.981 *** 0.014 34702.3 [0.000] 14 0.980 *** 0.008 37325.0 [0.000] 15 0.978 *** -0.005 39941.7 [0.000]
Stacionaritás vizsgálat: ADF egységgyök-teszt p 2 * t 1 2 t 1 k t k t k= 1 Trend Y =α+β t+β t +φ Y + δ Y + WN t, Y=AtlAr p max = int(12 (2716 /100) ^ 0.25) = 27 Test down from maximum lag order using modified Akaike criterion Augmented Dickey-Fuller regression OLS, using observations 1996-02-05:2006-11-10 (T = 2689) Dependent variable: d_atlar coefficient std. error t-ratio p-value const 4.3660 4.0310 1.0830 0.2789 AtlAr_1-0.0048 0.0019-2.5960 0.5140 d_atlar_1 0.2804 0.0194 14.4600 0.0000 *** d_atlar_2-0.1118 0.0201-5.5520 0.0000 *** d_atlar_26-0.0422 0.0204-2.0680 0.0387 ** d_atlar_27-0.0177 0.0197-0.9004 0.3680 time -0.0061 0.0068-0.8954 0.3706 timesq 0.0000 0.0000 2.1210 0.0340 ** H0: Coeff(AtlAR_1)= φ* = 0 H1: Coeff(AtlAR_1)<0
Folyamat: elsőrendű differencia ( AtlAr) AtlAr(t) AtlAr(t-1) d_atlar AtlAr(t) AtlAr(t-1) 1995.12.11 86.4 NA NA 1995.12.12 85.2 86.4-1.2 1995.12.22 87.1 85.2 1.9 1995.12.27 91.8 87.1 4.7 2006.11.07 7529 7314 215 2006.11.08 7528 7529-1 2006.11.09 7605 7528 77 2006.11.10 7573 7605-32 d_atlar - zéró körül szóródik - varianciája nem állandó, az idővel növekszik A folyamat vélhetően nem stacioner
Elsőrendű differencia: korrelogram, ADF teszt max int(12 (2715/100) ^ 0.25) 27 p = = Test down from maximum lag order using modified Akaike criterion Augmented Dickey-Fuller regression OLS, using observations 1996-02-05:2006-11-10 (T = 2707) Dependent variable: d_d_atlar coeff std. error t-ratio p-value const 0.336 3.621 0.093 0.926 d_atlar_1-0.787 0.050-15.890 0.000 *** d_d_atlar_1 0.061 0.047 1.295 0.195 d_d_atlar_2-0.052 0.044-1.175 0.240 d_d_atlar_3-0.106 0.041-2.604 0.009 *** d_d_atlar_4-0.108 0.038-2.871 0.004 *** d_d_atlar_5-0.034 0.034-1.017 0.309 d_d_atlar_6-0.091 0.029-3.165 0.002 *** d_d_atlar_7-0.017 0.024-0.719 0.472 d_d_atlar_8-0.076 0.019-3.911 0.000 *** time 7.05E-04 6.13E-03 1.15E-01 9.09E-01 timesq 3.54E-07 2.18E-06 1.63E-01 8.71E-01 Lag ACF PACF 1 0.242 *** 0.242 *** 2-0.058 *** -0.124 *** 3-0.101 *** -0.060 *** 4-0.015 0.021 5 0.071 *** 0.060 *** 6 0.002-0.042 ** 7 0.031 0.056 *** 8-0.021-0.037 * 9 0.052 *** 0.075 *** 10-0.037 * -0.080 *** 11-0.072 *** -0.037 * 12-0.043 ** -0.021 13-0.044 ** -0.041 ** 14 0.028 0.024 15-0.017-0.031 Megállapítások: Az elsőrendű differencia stacionaritása nem egyértelmű. Bár az ADF teszt nem jelez egységgyököt, a lassan lecsengő ACF és PACF függvény, valamint a változékony variancia a stacionaritás ellen szól.
Folyamat: másodrendű-differencia ( AtlAr) d_atlar(t) d_atlar(t-1) d_d_atlar 1995.12.11 NA NA NA 1995.12.12-1.2 NA NA 1995.12.22 1.9-1.2 3.1 1995.12.27 4.7 1.9 2.8 2006.11.09 77-1 78 2006.11.10-32 77-109 Augmented Dickey-Fuller test for d_d_atlar including one lag of (1-L)d_d_AtlAr (max was 27, criterion modified AIC) sample size 2713 unit-root null hypothesis: a = 1 with constant and quadratic trend model: (1-L)y = b0 + b1*t + b2*t^2 + +(a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: -0.082 estimated value of (a - 1): -1.67572 test statistic: tau_ctt(1) = -56.3926 asymptotic p-value 0 Lag ACF PACF Q-stat [p-value] 1-0.302 *** -0.302 *** 248.0 [0.000] 2-0.169 *** -0.287 *** 325.9 [0.000] 3-0.085 *** -0.285 *** 345.5 [0.000] 4-0.001-0.253 *** 345.5 [0.000] 5 0.103 *** -0.118 *** 374.1 [0.000] 6-0.065 *** -0.191 *** 385.6 [0.000] 7 0.054 *** -0.080 *** 393.5 [0.000] 8-0.083 *** -0.176 *** 412.4 [0.000] 9 0.107 *** -0.013 443.8 [0.000] 10-0.035 * -0.057 *** 447.2 [0.000] 11-0.043 ** -0.071 *** 452.1 [0.000] 12 0.020-0.048 ** 453.2 [0.000] 13-0.048 ** -0.107 *** 459.5 [0.000] 14 0.076 *** -0.047 ** 475.4 [0.000] 15-0.054 *** -0.104 *** 483.2 [0.000]
Folyamat: log-differencia ( lny t ) ADF test for ld_atlar including one lag of (1-L)ld_AtlAr (max was 27, criterion modified AIC) sample size 2714 unit-root null hypothesis: a = 1 with constant and quadratic trend model: (1-L)y = b0 + b1*t + b2*t^2 + +(a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: -0.002 estimated value of (a - 1): -0.8908 test statistic: tau_c(1) = -36.58 asymptotic p-value 0 Augmented Dickey-Fuller regression OLS, using observations 1995-12-27:2006-11-10 (T = 2714) Dependent variable: d_ld_atlar coefficient std. Error t-ratio p-value const 0.0044 0.0013 3.3020 0.0010 *** ld_atlar_1-0.8908 0.0244-36.5800 0.0000 *** d_ld_atlar_1 0.0980 0.0191 5.1250 0.0000 *** time 4.555e-06 2.27096e-06-2.0060 0.0450 ** timesq 1.3106e-09 8.078e-010 1.6220 0.1048 H0: Coeff(ld_AtlAR_1)=0 H1: Coeff(ld_AtlAR_1)<0
Az OTP log-hozam korrelogramja LAG ACF PACF Q-stat. [p-value] 1 0.1906*** 0.1906*** 98.7357 [0.000] 2-0.0562*** -0.096*** 107.3309 [0.000] 3-0.0407** -0.0112 111.8445 [0.000] 4-0.0205-0.0159 112.9868 [0.000] 5-0.0296-0.028 115.3787 [0.000] 6-0.023-0.0152 116.8216 [0.000] 7 0.0302 0.0346* 119.3089 [0.000] 8 0.0044-0.014 119.3617 [0.000] 9-0.0089-0.0044 119.5779 [0.000] 10-0.0149-0.0127 120.1853 [0.000] 11 0.0255 0.0309 121.9555 [0.000] 12 0.007-0.0061 122.0885 [0.000] 13 0.0104 0.0152 122.3819 [0.000] 14 0.0063 0.001 122.4916 [0.000] 15-0.0134-0.0139 122.9817 [0.000] Feladat: Határozza meg a H0: AC(1)=AC(2)=0 null-hipotézishez tartozó Ljung-Box teszt értékét! ( ) K 2 2 2 r k 0.1906 0.0562 Q = n n + 2 = 2716(2716 + 2) + = 107.37 Chi2 k= 1 n k 2715 2714 DF = 2
ESETTANULMÁNY 2. Feladat: Eur/USD árfolyam (Y=EUR_USD) stacionaritás vizsgálata és transzformációja Adatállomány: EUR_USD.gdt Minta: 1999.01.04 2008.03.14 (T=2302)
Trend van a folyamatban! A folyamat a szinten
Stacionaritási vizsgálat Lag ACF PACF Q-stat [p-value] 1 0.998 *** 0.998 *** 2295.3 [0.000] 2 0.996 *** -0.004 4581.7 [0.000] 3 0.994 *** 0.037 * 6860.2 [0.000] 9 0.982 *** -0.003 20366.1 [0.000] 12 0.977 *** 0.008 27018.0 [0.000] 13 0.975 *** 0.006 29221.2 [0.000] 14 0.974 *** 0.025 31418.1 [0.000] 15 0.972 *** -0.004 33608.4 [0.000] Augmented Dickey-Fuller regression OLS, using observations 1999-01-19:2008-03-14 (T = 2291) Dependent variable: d_eur_usd Coeff. std.e. t-ratio p-value const 0.003 0.002 1.904 0.057 * EUR_USD_1-0.004 0.002-2.406 0.621 d_eur_usd_1 0.002 0.021 0.112 0.911 d_eur_usd_2-0.031 0.021-1.486 0.138 d_eur_usd_3-0.003 0.021-0.154 0.877 d_eur_usd_4-0.010 0.021-0.467 0.641 d_eur_usd_5 0.013 0.021 0.611 0.541 d_eur_usd_6 0.012 0.021 0.596 0.552 d_eur_usd_7 0.002 0.021 0.104 0.917 d_eur_usd_8-0.001 0.021-0.064 0.949 d_eur_usd_9-0.006 0.021-0.306 0.759 d_eur_usd_10-0.040 0.021-1.914 0.056 * time 1.1E-06 8.7E-07 1.215 0.225 timesq 1.8E-10 4.1E-10 0.430 0.667 Megállapítás: Az EUR/USD árfolyam a szinten nem stacioner!
Folyamat: elsőrendű-differencia ( EUR_USD) Augmented Dickey-Fuller test for d_eur_usd including 24 lags of (1-L)d_EUR_USD (max was 26, criterion modified AIC) sample size 2276 unit-root null hypothesis: a = 1 test with constant model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) +... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: 0.001 lagged differences: F(24, 2250) = 0.584 [0.9456] estimated value of (a - 1): -0.902397 test statistic: tau_c(1) = -8.50279 asymptotic p-value 1.59e-014 Megállapítás: Mind a folyamat lefutása, mind az ADF(24) teszt alapján az árfolyam elsőrendű differenciája stacioner!
Az elsőrendű differencia fehér zaj! Az EUR/USD árfolyam elsőrendű differenciája fehér zaj! 1. A diff(eur/usd) tiszta véltetlen, nem modellezhető! 2. Az EUR/USD véletlen bolyongás! A Drift (D) paraméter becslése a diff(eur/usd)-re illesztett OLS üres modellel: Model 1: OLS, using observations 1999-01-05:2008-03-14 (T = 2301) Dependent variable: d_eur_usd Coefficient Std. Error t-ratio p-value Const 0.00016 0.00014 1.1573 0.24727 Az intercept nem szignifikáns, ezért a Drift paraméter zéró!