Ökonometria. Modellspecifikáció. Ferenci Tamás 1 Hatodik fejezet. Budapesti Corvinus Egyetem. 1 Statisztika Tanszék

Átírás

1 Modellspecifikáció Ferenci Tamás 1 tamas.ferenci@medstat.hu 1 Statisztika Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem Hatodik fejezet

2 Tartalom 1 III. esettanulmány Háztartási Költségvetési Felvétel (HKF) 2 Specifikációs torzítás, útelemzés Interakció Kitérő: a marginális hatás általánosabb értelmezése Kvadratikus hatás 3 Pár gondolat a linearitásról általában Változóiban és paramétereiben nemlineáris modell 4 Fontosabb modellek áttekintése 5 Ramsey RESET

3 A HKF-ről III. esettanulmány Háztartási Költségvetési Felvétel (HKF) Durván: háztartásokra irányuló, költségvetésüket vizsgáló adatfelvétel (évtizedek óta készít a KSH ilyeneket) Pontos célsokaság: magánháztartásban élő magyar állampolgárok Pontos cél: a lakosság jövedelmeinek és kiadásainak, mind pénzbeli mind természetbeli vetületben való kimutatása Célsokaság lekérdezése (éves) és naplóvezetés (havi) is igen részletes adatok (főleg: jövedelmek (munka-, tőke- stb.), fogyasztott termékek és szolgáltatások stb.) Célsokasági HT-ok rotálása a mintában (egyharmad per év), érdekesség kedvéért a mintavétel típusa: véletlen, R, TL Súlyozás (a mintában tízezer körüli HT), kalibrálás

4 Eredmény- és magyarázó változóink Háztartási Költségvetési Felvétel (HKF) i feladatunk most a háztartások kiadásának modellezése lesz Eredményváltozó: a háztartás éves kiadása [eft] Ismét igen sok magyarázó változó (-jelölt) 1 Település: régió, város, vidék 2 Lakásjellemzők: méret, jelleg 3 Háztartásjellemzők 1 Méret: taglétszám, fogyasztási egység 2 Szerkezet: aktív, inaktív, eltartott, munkanélküli 3 Felszereletség: tartós fogyasztási cikkek 4 HT tagok demográfiai jellemzői 5 Jövedelmi, vagyoni jellemzők 6 Fogyasztási szokások

5 A modellspecifikációról általában Specifikációs torzítás, útelemzés Interakció Kitérő: a marginális hatás általánosabb értelmezése Kvadratikus hatás Részben hasonló kérdések mint a modellszelekciónál, nincs éles elkülönítés De: a modellszelekciónál nem foglalkoztunk azzal, hogy a változó elhagyás/hozzávétel strukturálisan mit jelent, csak azzal, hogy milyen hatásai vannak ( fenomenologikus leírás) Most a másik felével foglalkozunk: a változó bevonás/elhagyás hogyan hat a modell belső struktúrájára További modellspecifikációs kérdések a modell bonyolultságának egyéb meghatározói (a változók számán túl): változók közti interakciók és általában a függvényforma-választás (részben később foglalkozunk vele)

6 Változó bevonásának hatása a modellre Specifikációs torzítás, útelemzés Interakció Kitérő: a marginális hatás általánosabb értelmezése Kvadratikus hatás Vessük össze ezt a két (demonstráció kedvéért igen kicsi) modellt az esettanulmány feladatára: KiadEFt = 339, 746 (13,783) + 0, JovEFt (0, ) T = 8314 R 2 = 0, 5369 F (1, 8312) = 9637, 2 ˆσ = 662, 02 (standard errors in parentheses) KiadEFt = 283, 172 (16,988) + 0, (0, ) JovEFt + 34, 1727 TLetszam (6,0199) T = 8314 R2 = 0, 5386 F (2, 8311) = 4852, 8 ˆσ = 660, 78 (standard errors in parentheses) Miért változott meg a jövedelem becsült koefficiense?

7 Változó bevonásának hatása a modellre Specifikációs torzítás, útelemzés Interakció Kitérő: a marginális hatás általánosabb értelmezése Kvadratikus hatás Mondjuk, hogy a bővebb modell írja le a valóságos helyzetet (a gyakorlatban ezt persze soha nem tudhatjuk, filozófiai kérdés) Azaz a valós helyzet a második regresszió Az érdekes, hogy ez alapján előre meg tudjuk mondani, hogy az első regresszióban mi lesz a jövedelem együtthatója! (... és ebből persze a változás okát is rögtön le tudjuk olvasni) A jövedelem ugyanis nem csak a kiadásra hat sztochasztikusan, hanem a taglétszámra is: TLetszam = 1, , JovEFt (0,025067) (1,1807e 005) T = 8314 R2 = 0, 2359 F (1, 8312) = 2566, 9 ˆσ = 1, 2040 (standard errors in parentheses)

8 Változó bevonásának hatása a modellre Specifikációs torzítás, útelemzés Interakció Kitérő: a marginális hatás általánosabb értelmezése Kvadratikus hatás Ebből összerakhatjuk a szűkebb regresszióban a jövedelem együtthatóját: 0,637 = 0, , ,17 A bővebb modellben az együttható 0,617: ennyi a jövedelem direkt hatása (ha egy egységgel nő stb.), és itt véget is ér a sztori, mert a bővebb modellben a taglétszámot állandó értéken tartjuk (v.ö.: c.p.) ezért nincs jelentősége a taglétszám és a jövedelem közti sztochasztikus kapcsolatnak A szűkebb modellben viszont a jövedelem egységnyi növekedése a taglétszámot is növeli tendenciájában, a növekvő taglétszám viszont (önmagában is!) növeli a kiadást, ez lesz az indirekt hatás Totális hatás = direkt hatás + indirekt hatás(ok)

9 Változó bevonásának hatása a modellre Specifikációs torzítás, útelemzés Interakció Kitérő: a marginális hatás általánosabb értelmezése Kvadratikus hatás A szűkebb regresszióban nem tudjuk izolálni a taglétszám hatását: ha a jövedelem nő, az a bővebb modellben nem társul a taglétszám növekedésével (v.ö. a paraméter c.p. értelmezésével), a szűkebb modellben viszont igen (hiszen ott nem endogén változó a taglétszám) a szűkebb modellben a kihagyott változón keresztül terjedő hatások is beépülnek az együtthatóba A gyakorlatban persze nem tudhatjuk, hogy mi a kihagyott változó

10 A specifikációs torzítás iránya Specifikációs torzítás, útelemzés Interakció Kitérő: a marginális hatás általánosabb értelmezése Kvadratikus hatás Ez a torzítás milyen irányban módosítja a becsült paramétert? Az indirekt hatástól függ, és nem tudható általánosságban: növelheti, csökkentheti (és változatlanul is hagyhatja) a becsült koefficienst!

11 Specifikációs torzítás, útelemzés Interakció Kitérő: a marginális hatás általánosabb értelmezése Kvadratikus hatás Interakció mint a linearitás egyféle feloldása Eddigi modellünkben a marginális hatások a többi változó szintjétől függetlenül állandóak voltak Például: 1 Ft pluszjövedelem taglétszámtól függetlenül azonos többletkiadást jelent...? Ha nem, akkor azt mondjuk, hogy a két változó között interakció van: az egyik marginális hatásának nagyságát befolyásolja a másik szintje A kapcsolat tehát marginális hatás és szint között van (nem marg. hatás és marg. hatás vagy szint és szint között!) Kézenfekvő indulás: az egyik változó szintje lineárisan hasson a másik marginális hatására; sokaságban felírva: (β J + β JT Tag) Jov, ahol β JT az interakció hatását kifejező (lineáris) együttható

12 Interakció III. esettanulmány Specifikációs torzítás, útelemzés Interakció Kitérő: a marginális hatás általánosabb értelmezése Kvadratikus hatás Helyezzük ezt be a (sokasági) regresszióba: Y = β 0 + (β J + β JT Tag) Jov + β T Tag + u, azonban felbontva a zárójelet: Y = β 0 + β J Jov + β JT Tag Jov + β T Tag + u = = β 0 + β J Jov + (β T + β JT Jov) Tag + u Tehát az interakció szükségképp, automatikusan szimmetrikus : ha az egyik változó szintje hat a másik marginális hatására akkor szükségképp fordítva is: a másik szintje is hatni fog az előbbi marginális hatására

13 Interakció III. esettanulmány Specifikációs torzítás, útelemzés Interakció Kitérő: a marginális hatás általánosabb értelmezése Kvadratikus hatás Azaz egyszerre lesz igaz, hogy (β J + β JT Tag) Jov és (β T + β JT Jov) Tag: attól függően, hogy milyen szempontból nézzük (melyik marginális hatását vizsgáljuk, ezt még ld. később is) A regresszióban így elég egyszerűen ennyit írni: β T Tag + β J Jov + β JT (Jov Tag).... mindkét másik szintjétől függő marginális hatás ebből kiadódik, függően attól, hogy hogyan bontjuk fel a zárójelet (melyik változót vizsgáljuk) Ez a marginális hatás pontosabb értelmezése mellett még szebben látható lesz

14 A marginális hatás fogalma Specifikációs torzítás, útelemzés Interakció Kitérő: a marginális hatás általánosabb értelmezése Kvadratikus hatás Marginális hatás: a magyarázó változó kis növelésének hatására mekkora az eredményváltozó egységnyi magyarázóváltozó-növelésre jutó változása Tipikus egyszerűsítés: a magyarázó változó egységnyi növelésének hatására mennyit változik az eredményváltozó Feltettük, hogy az 1 egység kicsinek tekinthető; mértékegységgel nem kell törődni Idáig az i-edik magyarázó változó ilyen módon értelmezett marginális hatása és a β i számértéke gyakorlatilag szinonima volt

15 A marginális hatás precízebben Specifikációs torzítás, útelemzés Interakció Kitérő: a marginális hatás általánosabb értelmezése Kvadratikus hatás Definíció alapján a marginális hatás: Y X j, ha X j kicsiny Ugye egyetemen vagyunk a marginális hatás Y X j A többváltozós lineáris regresszió eddigi (sokasági) modelljében Y = β 1 + β 2 X β k X k + u, ezért Y X j = X j [β 1 + β 2 X β j 1 X j 1 + β j X j + β j+1 X j β k X k + u] = = β j... hát ezért tekinthettük eddig a marginális hatást és a becsült regressziós koefficienst szinonimának!

16 A marginális hatás interakciók esetén Specifikációs torzítás, útelemzés Interakció Kitérő: a marginális hatás általánosabb értelmezése Kvadratikus hatás Ha azonban interakció van, például a l-edik és az m-edik tag között, akkor az l-edik marginális hatása: Y = [β 1 + β 2 X X l X l β l X l β m X m β k X k + β lm X l X m + u] = = β l + β lm X m Így precíz az előbbi állításunk arról, hogy ha az egyik szerint vizsgáljuk a marginális hatást, akkor az a másik szintjétől fog függeni (gondoljuk hozzá a másik szerinti deriválást is!)

17 Specifikációs torzítás, útelemzés Interakció Kitérő: a marginális hatás általánosabb értelmezése Kvadratikus hatás Kvadratikus hatás, mint a linearitás újabb megsértése Már volt: mit jelent az, ha megsértjük a marginális hatás nem függ attól, hogy a többi magyarázó változót milyen szinten rögzítjük következményét a linearitásnak És ha a marginális hatás nem függ attól, hogy milyen szintről indulva növeljük a változót következményt szeretnénk feloldani? Például: 1 évvel idősebb életkor kiinduló életkortól függetlenül azonos kiadásváltozást jelent...?

18 Specifikációs torzítás, útelemzés Interakció Kitérő: a marginális hatás általánosabb értelmezése Kvadratikus hatás Kvadratikus hatás, mint a linearitás újabb megsértése A változó marginális hatása függ a saját szintjétől... hasonló az előző esethez, de nem egy másik változó szintje hat a marginális hatásra, hanem a sajátja mintha önmagával lenne interakcióban! És tényleg: β j X j helyett β j X j + β jj X j X j esetén a j-edik magyarázó változó marginális hatása: [ ]... + β j X j + β jj Xj = β j + 2β jj X j X j (Máshogy is bevezethető, később majd látni fogjuk)

19 Grafikus magyarázat Specifikációs torzítás, útelemzés Interakció Kitérő: a marginális hatás általánosabb értelmezése Kvadratikus hatás Szemléletesen az egy magyarázó változós esetben: x+10 2x^2-16x Szélsőértékhely nyilvánvaló (első derivált előjelet vált): β j + 2β jj X j = 0 X j = β j 2β jj

20 Linearitás, mint közelítés Pár gondolat a linearitásról általában Változóiban és paramétereiben nemlineáris modell Az élet általában nemlineáris (ez van) Miért használunk mégis lineáris modelleket: mert sokszor nem térnek el (nagyon) a valóságtól, de mégis sokkal könnyebben kezelhetőek matematikailag (ez van) Ez tehát az esetek többségében egy közelítés Mint ilyen: vizsgálni kell az érvényességi határokat (csap példája) Munkaponti linearizálás

21 Érvényességi határok Pár gondolat a linearitásról általában Változóiban és paramétereiben nemlineáris modell

22 Érvényességi határok Pár gondolat a linearitásról általában Változóiban és paramétereiben nemlineáris modell

23 Érvényességi határok Pár gondolat a linearitásról általában Változóiban és paramétereiben nemlineáris modell

24 Érvényességi határok Pár gondolat a linearitásról általában Változóiban és paramétereiben nemlineáris modell Az érvényességi határokat az eddig látott modellekben is érdemes végiggondolni Azonnal kézenfekvő példa: a konstans (nagyon sok esetben) De sok meredekségnél is megragadható ez (fogyasztási függvény példája) Ez is egyfajta munkaponti linearizálás

25 Nemlinearitás fajtái Pár gondolat a linearitásról általában Változóiban és paramétereiben nemlineáris modell Az β 1 + β 2 X + β 3 X 2 egy nemlineáris kifejezés (matematikailag) De figyelem: ennek ellenére minden további nélkül, tökéletesen kezelhető pusztán az eddig látott (lineáris!) eszköztárral, hiszen az OLS-nek mindegy, hogy a második magyarázó változó értékei történetesen épp az első négyzetei (Egészen addig nincs baj, amíg a kapcsolat nem lineáris) Nem úgy mint az β 1 X β 2 ez nem becsülhető OLS-sel A megkülönböztetés végett az első esetet változójában, a másodikat paraméterében nemlineáris modellnek nevezzük Mi van nemlinearitást okozó pozícióban

26 Változójában nemlineáris modell Pár gondolat a linearitásról általában Változóiban és paramétereiben nemlineáris modell Jellemző: továbbra is fennáll a változók konstansokkal szorozva majd összeadva (tehát: lineáris kombinációs) struktúra De elképzelhető, hogy egy változó egy eredeti változó transzformáltja Itt szükségképp nemlineáris transzformációról beszélünk! Vegyük észre, hogy az eredeti és transzformált közti megkülönböztetés teljesen mesterséges (csak mi tudjuk, hogy mi volt az adatbázisban bemenő adatként), az OLS-nek mindegy Ide tartozik a kvadratikus hatás, általában az X a magyarázó változók, a log a X (de vigyázat: a logaritmus alapja nem paraméter), az a X stb. (a=konst) Az előzőek miatt további tárgyalást nem igényel

27 Paramétereiben nemlineáris modell Pár gondolat a linearitásról általában Változóiban és paramétereiben nemlineáris modell Megsérti a lineáris kombináció struktúráját: paraméter nem csak szorzóként szerepel a regresszióban Például X β, log β X stb. Ez már nem becsülhető OLS-sel: az eredmányváltozó nem állítható elő mátrixműveletekkel Más módszert fogunk használni

28 Interakció és kvadratikus hatás revisited Pár gondolat a linearitásról általában Változóiban és paramétereiben nemlineáris modell Az előzőek fényében nyilvánvaló: a kvadratikus hatás egyfajta (igen egyszerű) változójában nemlineáris modell Ezért mondtam azt, hogy másképp is bevezethető, mint öninterakció: egyszerűen egy speciális nemlineáris modell Az interakció szintén változóbeli nemlinearitás, de nem annyira kézenfekvő módon (mindenképp indokolt a külön tárgyalása)

29 Nemlinearitás kezelése Pár gondolat a linearitásról általában Változóiban és paramétereiben nemlineáris modell Mi egyetlen módszert fogunk látni: algebrai linearizálás Alkalmas transzformációval a nemlineáris problémát lineárissá alakítjuk, azt OLS-sel megoldjuk, majd a kapott eredményeket visszatranszformáljuk az eredeti transzformáció inverzével Például: Y = β 1 X β 2 u paramétereiben nemlineáris de mindkét oldal logaritmusát véve log Y = log β 1 + β 2 log X + u már az! Adatbázis logaritmálása, eredmények visszahatványozása Olyan esettel most nem foglalkozunk, ami ne lenne linearizálással kezelhető (Ekkor a másik lehetőség: nemlineáris optimalizálás rendkívül sok sajátos részletkérdése, problémája van)

30 Nemlinearitás hatásai Pár gondolat a linearitásról általában Változóiban és paramétereiben nemlineáris modell Kezelés szükségessége: lásd előbb Eltérő, specifikus értelmezések megjelenése

31 Log-log modell III. esettanulmány Fontosabb modellek áttekintése Például a Cobb-Douglas termelési modell: Y = β 1 L β L K β K u, ahol Y a kibocsátás, L a munka, K a tőke (ill. általában a termelési tényezők) felhasználása Elaszticitása: El (Y, L) = dy Y dl L = dy dl L Y = β 1β L L β L 1 K β K L β 1 L β L K β K Ezért nevezik konstans elaszticitású modellnek is Kezelése linearizálással: mindkét oldalt logaritmáljuk log Y = log β 1 + β L log L + β K log K + u = β L

32 Log-log modell III. esettanulmány Fontosabb modellek áttekintése Minden változót (eredmény és összes magyarázó is) logaritmálni kell Innen a modell neve Csak a konstans lesz logaritmálva, a többi koefficienst a transzformáció ellenére (ill. épp azért... ) közvetlenül kapjuk Volumenhozadék (skálahozadék): β K + β L viszonya 1-hez

33 Fontosabb modellek áttekintése Szakágazati termelési modell, Cobb-Douglas megközelítés Model 1: OLS, using observations (n = 476) Missing or incomplete observations dropped: 3 Dependent variable: l_ertnarb Coefficient Std. Error t-ratio p-value const 1, , ,4268 0,0000 l_befeszk 0, , ,8823 0,0000 l_forgeszk 0, , ,6409 0,0000 l_szemraf 0, , ,5506 0,0000 l_ecsleir 0, , ,6655 0,0000 l_rlejkot 0, , ,5935 0,0000 Mean dependent var 3, S.D. dependent var 1, Sum squared resid 109,4631 S.E. of regression 0, R 2 0, Adjusted R 2 0, F (5, 470) 1490,231 P-value(F ) 1,3e 285 Log-likelihood 325,5952 Akaike criterion 663,1904 Schwarz criterion 688,1829 Hannan Quinn 673,0179 Volumenhozadék lineáris kombinációként tesztelhető

34 Fontosabb modellek áttekintése Szakágazati termelési modell, lineáris megközelítés Érdemes az R 2 -et is megnézni: ugyanez lineáris modellként 62,3%! Model 2: OLS, using observations Dependent variable: ErtNArb Coefficient Std. Error t-ratio p-value const 13,9163 6, ,1996 0,0283 BefEszk 0, , ,9919 0,0000 ForgEszk 1, , ,0689 0,0000 RLejKot 1, , ,8714 0,0000 SzemRaf 5, , ,4620 0,0000 ECsLeir 10,6803 0, ,8904 0,0000 Mean dependent var 90,55261 S.D. dependent var 196,0772 Sum squared resid S.E. of regression 120,5148 R 2 0, Adjusted R 2 0, F (5, 473) 158,4643 P-value(F ) 1,18e 98 Log-likelihood 2971,912 Akaike criterion 5955,824 Schwarz criterion 5980,854 Hannan Quinn 5965,663

35 Log-lin modell III. esettanulmány Fontosabb modellek áttekintése Például a jövedelem alakulása: Y = e β 1+β 2 X+u Linearizálás ismét mindkét oldal logaritmálásával: log Y = β 1 + β 2 X + u Elnevezés logikája így már látható: az eredményváltozó logaritmálva, de a magyarázó változók maradnak szintben Növekedési ráta: e β 1+β 2 (X+1)+u = Ye β 2, pillanatnyi növekedési ütem: β 2 = dlog Y dx = 1 dy Y dx Elaszticitás: El (Y, X) = dy dx X Y = β 2X, tehát csak X-től függ

36 Lin-log modell kakukktojás! Fontosabb modellek áttekintése Az előzőek alapján már világos a jelentése (pl. terület és kínálati ár összefüggése): Miért kakukktojás? β 2 értelmezése: Y = β 1 + β 2 log X + u dy dx = β 2 X β 2 = dy dx/x Elaszticitás: El (Y, X) = β 2 X X Y = β 2 Y, tehát csak Y -től függ (közvetlenül)

37 Reciprok modell kakukktojás Fontosabb modellek áttekintése Például keresleti modell: Y = β 1 + β 2 X + u Miért kakukktojás? Határkiadás: dy dx = β 2 X 2 Elaszticitás: El (Y, X) = β 2 X X 2 Y = β 2 XY Paraméterek értelmezése, β j előjelének jelentősége az aszimptotikus viselkedés szempontjából: az élvezeti cikkek példája

38 A specifikációs tesztek Ramsey RESET Itt már nagyon erősen felmerül a kérdés: hogyan dönthetek a különféle függvényformák között? Ld. a termelési függvény példáját megadható lineárisan és Cobb-Douglas jelleggel (eredmény nagyon nem mindegy) Hogyan lehet analitikusan dönteni? Az előző példára: BM-teszt, PE-teszt stb., lásd Maddala Általánosságban (nem csak log/lin kérdésekre, mint az előzőek): ún. specifikációs tesztek

39 Ramsey RESET-je Ramsey RESET A modellspecifikáció általános tesztje Emiatt előnye: nem egy adott specifikációs kérdésre keres választ, hanem általában vizsgálja, hogy a specifikáció jó-e; hátránya, hogy ha nemleges választ ad, nem derül ki, hogy pontosan mi a specifikáció baja Trükk: új regressziót becsül, melynek eredményváltozója ugyanaz, de a magyarázó változókhoz hozzáadja az eredeti regresszió becsült eredményváltozójának magasabb hatványait (Ŷ 3 -ig néha Ŷ 4 -ig is)