Ökonometria gyakorló feladatok 1.

Átírás

1 Ökonometria gyakorló feladatok szeptember Egy vállalatnál megvizsgálták 0 üzletkötő éves teljesítményét és prémiumát. A megfigyelt eredményeket, és a belőlük számolt regressziós részeredményeket az alábbi táblázatban foglaljuk össze: eladott termékek (db/év) (X) prémium (ezer Ft/év) (Y ) számítási részeredmények 7 80 X = 46, Ȳ = Xi Y i = X i = Y i = (Yi Ŷi) = 7 a) Írja fel a becsült kétváltozós lineáris regressziós modellt, és értelmezze a β paraméter értékét! b) Határozza meg, hogy a teljesítmény hány százalékban magyarázza a prémium szóródását! c) Vizsgálja meg a prémium teljesítményre vonatkozó rugalmasságát az átlagos szinten! Értelmezze az eredményt! d) Adjon 95%-os konfidencia intervallumot a 45 üzletet kötő dolgozó várható prémiumának nagyságára!. Egy New England székhelyű légitársaság 15 repülőjegy értékesítéssel foglalkozó irodájában megvizsgálták, hogy hogyan befolyásolja a reklámkiadás nagysága a repülőjegy értékesítésből származó bevétel alakulását. Az adott év egyik hónapjára vonatkozó adatokat (mindkettő ezer dollárban mérve), és a belőlük számolt regressziós részeredményeket az alábbi táblázatban foglaljuk össze: értékesítés bevétele (Y ) reklámkiadás (X) számítási részeredmények 79,3,5 X = 5, 5, Ȳ = ,1 5,5 (Xi X)(Y i Ȳ ) = 91, 5 (Xi X) = 87, 5 146,0 5, (Yi Ȳ ) = ,7 7,6 a) Írja fel a becsült kétváltozós lineáris regressziós modellt, és értelmezze a β paraméter értékét! b) Határozza meg, hogy a reklámkiadás hány százalékban magyarázza a bevétel szóródását! c) Határozza meg a bevétel reklámkiadásra vonatkozó rugalmasságát 5000 dolláros reklámkiadás esetén, majd vizsgálja meg a bevétel reklámkiadásra vonatkozó rugalmasságát az átlagos szinten is! Értelmezze az eredményt! d) Adjon 95%-os konfidencia intervallumot a 6000 dolláros reklámkiadáshoz tartozó értékesítés várható bevételének nagyságára! 1

2 3. Ön egy életbiztosító társaságnak dolgozik, és egy igazgatói értekezletre készül. Közgazdász múltja azt súgja, hogy az életbiztosításban lekötött vagyont (lins) legjobban a jövedelem jelzi előre. Összegyűjti a fontos adatokat (családi életbiztosítás és családi jövedelem, mindkettő ezer dollárban) és elemezni kívánja kapcsolatukat egy, az életbiztosításban lekötött vagyon és a jövedelem (x) közötti regresszió becslésével. Az eredmények a következők: Model 1: OLS, using observations 1 0 Dependent variable: lins Coefficient Std. Error t-ratio p-value const 6, , ,9844 0, jovedelem 3, , , ,0000 Mean of dep. var S.D. of dep. bariable Error Sum of Sq (ESS) Std Err of Resid. (sgmahat) Unadjusted R-squared Adjusted R-squared F -statistic (1, 18) Prob. F > is < a) El kell magyaráznia a regresszió eredményeit, és mivel az igazgatótanács nem élvezi e kurzus elvégzésének előnyeit, egyszerű szavakkal is le kell tudnia írnia, mi történt. Magyarázza meg, mit jelentenek a következő (ne csak a számokat ismertesse, hanem mutassa be, hogy ezek mit jelentenek a probléma szempontjából): (1) A konstans együttható (α). () A jövedelem együtthatója (β). (3) Az ˆα + ˆβx 0 érték néhány tetszőleges x 0 -ra. (4) Az illeszkedés jóságát mérő R determinációs együttható értéke. b) Az egyik menedzser azzal érvel, hogy a piaci hüvelykujjszabály szerint az embereknek öt dollár életbiztosításuk van a jövedelmük minden egyes dollárjára. Egy másik azt mondja, hogy ez valószínűtlen, ez a szám túl magas. Meg szeretné vizsgálni ezt a véleménykülönbséget. (1) Milyen null- és alternatív hipotézist használna ezen feltételezések megkülönböztetésére? () Tesztelje a hipotézist 5%-os elsőfajú hibát használva. (3) Számolja ki és értelmezze a próba tesztstatisztikáit. (4) Készítsen 95%-os konfidencia-intervallumot a jövedelem együtthatójának becslésére. 4. A következő adófüggvényt az 50 amerikai állam és Washington szövetségi főváros keresztmetszeti adatainak felhasználásával becsülték. T ax = 0.1 (0.087) (<0.0001) Income n = 51 R = ˆσ = 0.687, ahol Tax az összes befizetett adó, az Income pedig a teljes jövedelem, mindkettő milliárd dollárban mérve. A zárójelben lévő számok az adott változó együtthatójának szignifikanciáját tesztelő statisztikából számolt p-értékek.

3 a) A regressziós együtthatók megfigyelt előjelei egyeznek-e az előzetes elképzeléseivel? Magyarázza meg! b) Hogyan értelmezné a jövedelem együtthatóját? c) Fogalmazza meg a null- és alternatív hipotézist, amit a fönt megadott p-értékkel tesztelhet. Szignifikánsak-e az együtthatók 5%-os szinten? Igazolja válaszát! d) A fenti eredmények a Ramanathan könyv D) függelékében bemutatott DATA3-4 fájl használatával ellenőrizhetőek. Az adatbázis ugyanezen a néven a Gretl saját adatbázisai közt is elérhető. Töltse be az adatbázist a Gretl programba, és ellenőrizze a fenti eredményeket a számítógép segítségével is! 5. Egy cég építkezéseknél használt szigetelőanyagot gyárt. A szigetelő keresletére felírt egyszerű modell Q t = α + βp t + u t, ahol Q t adott hónapban leszállított szigetőanyag mennyisége gallonban mérve, és P t a szigetelőanyag gallononkénti ára dollárban. A modellt 89 hónap adatainak felhasználásával becsültük. A következő táblázat a számítógépes output egy részlete (az adatok a Ramanathan könyv DATA3-5 adatbázisában találhatóak meg). Model 1: OLS, using observations 1 89 Dependent variable: Q Coefficient Std. Error const 596, , P -381, ,76575 Error Sum of Sq (ESS) e + 08 Std Err of Resid. (sgmahat) Unadjusted R-squared 0.13 Adjusted R-squared 0.1 a) Milyen előjelet vár α-ra és β-ra, és miért? A regressziós együtthatók megfigyelt előjelei egyeznek-e az elvárásaival? b) Mi az ár együtthatójának értelmezése? Írja le, mennyivel változik a kereslet, amikor a gallononkénti ár megnő egy dollárral. c) Mit tud mondani az illeszkedés jóságáról? d) Tesztelje, hogy minden regressziós együttható szignifikánsan különbözik-e nullától, vagy sem (1%-os szignifikancia szinten szinten). Írja fel a null- és alternatív hipotézist, a tesztstatisztikákat, azok eloszlásait és a szabadságfokokat, és a nullhipotézis elvetésének kritériumát! Mit állapít meg? e) Véleménye szerint megfelelő a modell? Mit gondol, milyen más változókat kellene a modellbe fölvenni? 3

4 6. Egy gépkocsi fenntartási költségeinek következő két modelljét becsültük: E t = α 1 + β 1 Miles t + u t E t = α + β Age t + u t ahol E a kumulált fenntartási költség (az üzemagyag nélkül) dollárban, a Miles változó a megtett út kumulált mennyisége (ezer mérföldben), az Age változó pedig a jármű életkorát jelöli hetekben mérve. A két modellt 57 elemű minta felhasználásával becsültük. A futási eredményeket az alábbi táblázatok foglalják össze: Model A: OLS, using observations 1 57 Dependent variable: E Coefficient Std. Error t-ratio p-value const -65, , , ,0000 Age 7, ,3958, ,0000 Error Sum of Sq (ESS) e + 06 Std Err of Resid. (sgmahat) R-squared Model B: OLS, using observations 1 57 Dependent variable: E Coefficient Std. Error t-ratio p-value const -796, , , ,0000 Miles 53,45074, , ,0000 Error Sum of Sq (ESS) e + 07 Std Err of Resid. (sgmahat) R-squared a) Milyen előjelet vár β 1 -re és β -re? A megfigyelt előjelek megfelelnek-e várakozásainak? b) Melyik modellt gondolja "jobbnak" a kettő közül? Fogalmazza meg az alkalmazott kritériumot. c) A jobbnak ítélt modellben a t-statisztikák segítségével végezzen el a megfelelő próbákat az együtthatók szignifikanciájának tesztelésére. Ne felejtse el felírni a null- és alternatív hipotézist, a tesztstatisztika eloszlását, beleértve a szabadságfokot, és a nullhipotézis elvetésének kritériumát. Mit állapít meg? d) Az A modellben tegyük fel, hogy az Age változót hetek helyett napokban mértük. Írja át a táblázatot ennek megfelelően. e) A fenti eredmények a Ramanathan könyv D) függelékében bemutatott DATA3-7 fájl használatával ellenőrizhetőek. Az adatbázis ugyanezen a néven a Gretl saját adatbázisai közt is elérhető. Töltse be az adatbázist a Gretl programba, és ellenőrizze a fenti eredményeket a számítógép segítségével is! 4

5 7. Egy nagy állami egyetemen hét véletlenszerűen kiválasztott alsóéves közgazdászhallgatónak a következő két kérdést tették fel. (a) Mennyi volt az előző félévben elért tanulmányi átlaga (grade-point average, GPA)? (b) Hetente átlagosan hány órát töltött az Orange and Brew-ban, mely az egyetemi kampusz egyetlen és legnépszerűbb kocsmája? A diákok által adott válaszok az alábbi táblázatban szerepelnek: Diák GPA, G Az Orange and Brew-ban töltött órák száma jetente, H 1. 3,6 3., , ,5 9 5.,7 1 6., ,9 4 a) A fent szereplő adatok felhasználásával becsüljük a legkisebb négyzetek módszerével a modellt! G = α + βh + u b) Milyen előjelet vár a β együtthatóra? Igazolják-e az adatok a várakozásainkat? c) Tegyük fel, hogy az egyik elsőéves hallgató a tanulmányi időszak első két hetében heti 15 órát töltött az Orange and Brew-ban. Adja meg az első negyedév végi tanulmányi átlagának 90 százalékos konfidenciaintervallumát, ha a hallgató továbbra is heti 15 órát tölt az Orange and Brew-ban. d) Tegyük fel, hogy diákunk négy évig jár az alsóéves képzésre, és teljesíti a végzéshez szükséges 1 szemesztert. Számítsuk ki a végső, kumulált tanulmányi átlagának 90 százalékos konfidenciaintervallumát! e) Tegyük fel, hogy a legtöbb közgazdasági egyetem felsőéves (graduális) képzése minimum 3,5-s átlagot ír elő felvételi követelményként. Milyen eséllyel sikerül hallatónknak alsóéves tanulmányai befejezése után bekerülnie graduális képzésre? 8. A sarki fűszeres megállapítja, hogy a kínált narancsok ára igen erőteljes változékonyságot mutat az év során. Szezonon kívül a narancs ára darabonként akár 60 centre is emelkedik, míg a csúcsszezonban különleges árleszállításokat tartanak, amelyeken akár 10, 0 vagy 30 centért kínálják a narancsot. Az eladott narancsmennyiség (y) és az ár (x) hat hétre vonatkozó adatai a következők: 5

6 Eladott narancsmennyiség, y (100 darabban) Narancsár darabonként, x (centben) Tegyük fel, hogy a narancskeresletet az y = α + βx + u lineáris egyenlet írja le. Becsüljük meg az egyenlet együtthatóit a legkisebb négyzetek módszerével! Adjuk meg a hetedik héten eladott narancsmennyiség 90 százalékos konfidenciaintervallumát, ha azon a héten 5 centbe kerül a narancs! 9. A Ramanathan könyv DATA3-10 adatbázisa keresztmetszeti adatokat tartalmaz 7 német társaság 1995-ös teljes eladásairól. Töltse be az adatbázist a Gretl programba, és oldja meg az alábbi feladatokat a számítógép segítségével. a) Becsülje a P ROF IT S t = α + β SALES t + u t modellt. b) Rajzolja meg a pontdiagramot. Jó illeszkedésre számít? Számolja ki R -et. Valóban jó az illeszkedés? c) Becsülje a reziduumok (hibák), valamint ˆα és ˆβ szórását. d) Végezze el a t-próbát az α = 0 és a β = 0 hipotézisekre, saját maga által választott szignifikanciaszinten. Mindegyik esetben írja fel a null- és alternatív hipotézist, a tesztstatisztika eloszlását, és a nullhipotézis elfogadásának vagy elvetésének kritériumát. e) Tegyük fel, hogy a profitot millió dollár helyett dollárban mértük. Mutassa be a mértékegység megváltozásának hatását a regressziós együtthatókra, a becsült szórásokra, a t- és F -statisztikákra, és az R értékére. f) Véleménye szerint milyen egyéb tényezőkön nyugszik egy társaság profitja? 10. A Ramanathan könyv DATA3-11 adatbázisa különböző egyetemek professzorának a fizetésére (ezer dollárban) és a Ph. D. megszerzése óta eltelt évek számára vonatkozó adatait tartalmazza. Töltse be az adatbázist a Gretl programba, és a számítógép segítségével becsülje a modellt. SALARY = α + β Y EARS + u a) Tesztelje a modell általános szignifikanciáját (saját maga által választott szignifikanciaszinten). b) Tesztelje minden egyes regressziós együttható szignifikanciáját is 1%-os szinten. c) Mit mond önnek az R értéke? Ábrázolja a fizetést az évek függvényében, és tegye fel magának a kérdést, hogy a modell megfelelő-e a fizetési szintek szóródásának megmagyarázására. 6

7 d) Az eredményeire alapozva milyen javaslatokat tenne a modellspecifikáció javítása érdekében? e) Vizsgálja meg annak következményeit, ha a fizetést ezer dollár helett dollárban mérnénk. Képletgyűjtemény - kétváltozós regressziós modell Modell: Y t = α + βx t + u t, t = 1,..., n Paraméterbecslés: ˆα = Ȳ ˆβ X és ˆβ = n t=1 X ty t n XȲ n t=1 X t n X = S xy S xx Becslések sztenderd hibái: s e = n t=1 e t n, sˆα = s n t=1 X t ns xx s ˆβ = s S xx A pontbecslés sztenderd hibája: s Ŷ i = s e ( 1 n + (X i X) ) S xx Konfidencia intervallum az együtthatókra: ( P t 1 ε/(n ) ˆα α ) t 1 ε/(n ) = 1 ε sˆα P ( t 1 ε/(n ) ˆβ β s ˆβ t 1 ε/(n ) ) = 1 ε Az együtthatók relevanciájára vonatkozó hipotézisvizsgálat teszt-statisztikája: t = ˆα α s ˆβ sˆα t n és t = ˆβ β t n, Konfidencia intervallum az eredményváltozó átlag-előrejelzésére: t = Ŷi Y i sŷi t n 7