3. (b) Kereszthatások Utolsó módosítás: 2013. április 1.
Vezetési együtthatók fémekben (1) 1 Az elektrongáz hővezetési együtthatója A levezetésben alkalmazott feltételek: 1. Minden elektron ugyanazzal a v sebességgel mozog. 2. Minden elektron időközönként izotróp módon szóródik. 3. A szóródás után mindegyik elektronnak az abban a pontban, ahol a szóródás bekövetkezett az energiája éppen akkora legyen, mint amekkora a gáz egy elektronra jutó belső energiája.
Vezetési együtthatók fémekben (2) 2 Az tengely mentén T(z) hőmérséklet eloszlás kis hőmérsékletgradiens mellett; a hőmérsékletváltozás az közepes szabad úthosszon kicsi. (Rajz!) Az elektron belső energiát szállít. Kis hőmérséklet-gradiens esetén: Az izotrópia miatt annak valószínűsége, hogy az elektron pályája a intervallumban legyen:
Vezetési együtthatók fémekben (3) 3 Az időegység alatt áthaladó elektronok száma a z=0 síkban: : elektronsűrűség A teljes energiaáram (hőfluxus):
Vezetési együtthatók fémekben (4) 4 Mivel: A hővezetési együttható: egységnyi térfogatra vonatkozó hőkapacitás
Vezetési együtthatók fémekben (5) 5 Az elektronok átlagos szabad úthossza Izotróp rendszerben annak a valószínűsége, hogy az elektron sebessége a intervallumba essen: Ezzel a intervallumba eső elektronok száma: Figyelembe véve, hogy
Vezetési együtthatók fémekben (6) 6 Így: Szobahőmérsékleten A szabad úthossz: A hővezetési együttható: (A relaxációs időt az elektromos ellenállásból kapjuk meg.)
Vezetési együtthatók fémekben (7) 7 Az elektromos töltésre ható erő: A drift sebesség: Elektromos vezetés fémekben Ha két ütközés között eltelt idő : A stacionárius állapotot kifejező egyenlet:
Vezetési együtthatók fémekben (8) 8 Az sűrűségű gázban az A felületen áthaladó részecskék száma: Az áthaladó töltés: Az áramsűrűség: A vezetőképesség:
Vezetési együtthatók fémekben (9) 9 A (klasszikus) Drude-modell A hővezetési és elektromos vezetési együtthatók: A relaxációs idő eliminálható: Lorenz-szám:
Vezetési együtthatók fémekben (10) 10 Fermi-eloszlási függvény: A stacionárius eloszlási függvény Állandó tér és hőmérséklet-gradiens feltételezése. Az elektronok impulzusváltozása: Így:
Vezetési együtthatók fémekben (11) 11 Kis elektromos terek esetén: Itt:
Vezetési együtthatók fémekben (12) 12 Hasonlóképpen (a hőmérséklet-gradiens jelenlétében): Felhasználva, hogy a szabad úthosszon a hőmérséklet-változás kicsi
Vezetési együtthatók fémekben (13) 13 Így: Az elektromos tér és a hőmérséklet-gradiens együttes jelenléte esetén:
Vezetési együtthatók fémekben (14) 14 A részecskeáram sűrűsége: Az elektromos áram és a hőáram Az elektromos áram sűrűsége: Az energiaáram sűrűsége:
Vezetési együtthatók fémekben (15) 15 Gibbs-reláció: A hőáram sűrűség:
Vezetési együtthatók fémekben (16) 16 A kereszthatások megfogalmazása (1) Az elektromos vezetőképesség:
Vezetési együtthatók fémekben (17) 17 Definíció: Ezzel: A Sommerfeld-féle sorfejtést alkalmazva:
Vezetési együtthatók fémekben (18) 18 Az ideális elektrongáz állapotsűrűsége A A térben a megengedett állapotok száma: közötti gömbhéj térfogata: Így az állapotok száma: Minden állapothoz két spin-beállás tartozik, így az egységnyi térfogatbeli állapotok száma:
Vezetési együtthatók fémekben (19) 19 Mivel: Ezzel: Az állapotsűrűséget figyelembe véve energia szerinti integrálásra áttérve: Alacsony hőmérsékleten a rendű korrekciótól eltekintve:
Vezetési együtthatók fémekben (20) 20 Figyelembe véve, hogy elektronra : Az elektronsűrűség: Így: Ezért: Ahogy ez a Drude-modellben is van!
Vezetési együtthatók fémekben (21) 21 A kereszthatások megfogalmazása (2) Tiszta hővezetési folyamat van, ha nincs elektromos áram, amelynek feltétele: Ezt felhasználva a hőáram: Innen a hővezetési együttható:
Vezetési együtthatók fémekben (22) 22 Az együtthatók viszonyát érdemes megvizsgálni. A deriváltat a hányadossal közelítve a kiszámolásakor, és további közelítésekkel: Ezért kis hőmérsékleten:
Vezetési együtthatók fémekben (23) 23 A korábbi eredményeket felhasználva: Az elektromos vezetőképesség korábbról: Az termikus és elektromos vezetőképességek kapcsolata: A Lorentz-szám: A kísérleti eredményekkel jó összhangban van.
Vezetési együtthatók fémekben (24) 24 Pontkontaktus kvantált elektromos vezetőképessége Pontkontaktus ellenállása mint a feszültség függvénye 0,6 K hőmérsékleten. B. J. van Wees et al., Quantized conductance of point contacts in a two-dimensional electron gas, Phys. Rev. Lett. 60, 848 850 (1988).
Vezetési együtthatók fémekben (25) 25 Pontkontaktus elektromos vezetőképessége mint a feszültség függvénye 0,6 K hőmérsékleten GaAs-AlGaAs mintán. A vezetőképesség az kvantum egészszámú többszöröse. B. J. van Wees et al., Quantized conductance of point contacts in a two-dimensional electron gas, Phys. Rev. Lett. 60, 848 (1988).
Vezetési együtthatók fémekben (26) 26 Elektromos vezetőképesség pásztázó alagútmikroszkópos mérése Bi nanovezetőn 4 K hőmérsékleten. J. L. Costa-Kramer et al., Conductance Quantization in Bismuth Nanowires at 4 K, Phys. Rev. Lett. 68, 4990 (1997).
Vezetési együtthatók fémekben (27) 27 Elektromos vezetőképesség pásztázó alagútmikroszkópos mérése Bi nanovezetőn 4 K hőmérsékleten. A vezetőképesség az kvantum egészszámú többszöröse. J. L. Costa-Kramer et al., Conductance Quantization in Bismuth Nanowires at 4 K, Phys. Rev. Lett. 68, 4990 (1997).
Termikus vezetőképesség szilíciumban (1) 28 Kvantált termikus vezetőképesség mérése szilícium-nitrid vékony rétegen 80-600 mk hőmérsékleten. K. Schwab, et al., Measurement of the quantum of thermal conductance, Nature 404, 974 (2000).
Termikus vezetőképesség szilíciumban (2) 29 Kvantált termikus vezetőképesség mérése szilícium-nitrid vékony rétegen 80-600 mk hőmérsékleten. A termikus vezetőképesség kvantuma: K. Schwab, et al., Measurement of the quantum of thermal conductance, Nature 404, 974 (2000).