5. Fajhő mérése jegyzőkönyv Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: 2008. 10. 08. Leadás dátuma: 2008. 10. 15. 1
1. A mérési összeállítás A mérés során a 6-os számú minta fajhőjét akarjuk meghatározni. Ezt kalomiterben végezzük el kétféle módszerrel. A 1. ábrán látható a mérési összeállítás. A kaloriméter úgy van kialakítva, hogy egy R ellenállású drót van körétekerve, amirea tápegységből kapcsolhatunk egyenfeszültséget, amivel fűthetjük a kalorimétert. A kaloriméter környezetét az áramló víz adja, ami biztosítja a mérés során az állandó környezeti hőmérsékletet. A hőkulcson is keresztüláramlik ez a víz, tehát ha a hőkulcsot belerakjuk a kaloriméterbe, akkor gyorsabban beáll a kaloriméterben az egyensúlyi hőmérséklet. A kaloriméter hőmérsékletét egy tranzisztoros hőmérő méri, amin a feszültség arányos a hőmérséklettel, így ezt a feszültséget méri a digitális voltmérő. A voltmérő össze van kötve a számítógéppel, ami átszámítja a feszültséget hőmérsékletté C-ban, és másodpercenként veszi fel az eltelt idő és hőmérséklet adatpárokat, amiket egy adatfájlban rögzít. A termosztát a mintát melegíti fel a kívánt hőmérsékletre, és úgy van kialakítva, hogy az aljából a minta egyenesen a kaloriméter belsejébe esik. 1. ábra. A mérési összeállítása 1
2. A mérések ismertetése A minta fajhőjének meghatározásához ismernünk kell a kaloriméter hőkapacitását. A mérés megkezdéséhez kaloriméter hőmérsékletének meg kell egyezni az áramló víz hőmérsékletével. Ehhez behelyezzük a hőkulcsot a kaloriméterbe, és a számítógép Fajhő nevű programjával figyeljük az egyensúlyi hőmérséklet beállását. Ha már alig változik a hőmérséklet kivehetjük a hőkulcsot, és várjuk, hogy egyensúlyba kerüljön a kaloriméter hőmérséklete. Ezután elkezdhetjük az üres kaloriméter hőkapacitásának mérését. A mérés egy két perces előszakasszal kezdődik, ami alapján a kiértékelés során a környezeti hőmérsékletet határozzuk meg. Ezután bekapcsoljuk a fűtést annyi időre, hogy 2-3 fokkal megemelkedjen a hőmérséklet, ez lesz a főszakasz. A fűtés kikapcsolása után következik az utószakasz, ami addig tart, hogy a mérés hossza körülbelül 15 perc legyen. Az adatok elmentése után, visszarakhatjuk a hőkulcsot, hogy visszaálljon az egyensúlyi hőmérséklet. A második rész a minta fajhőjének meghatározása úgy, hogy az ismert hőmérsékletre felmelegített mintát két perces előszakasz után beleejtjük a kaloriméterbe, és figyeljük a kaloriméter hőmérsékletének változását. Ezt a mérést is 15 percig végezzük, majd az adatok elmentése után visszahelyezzük a mintára a hőkulcsot, hogy visszaálljon az egyensúlyi hőmérséklet. A harmadik részben a minta fajhőjét a következő módszerrel mérjük meg: A környezeti hőmérsékletű mintát és kalorimétert egyszerre fűtjük egy kétperces előszakasz után addig, amíg 2-3 fokkal emelkedik a hőmérsékletük. Ezután várunk addig, hogy 15 perces legyen ez a mérés is, és elmentjük az adatokat. A három adatsor kiértékelését a számítógép Fajhő kiértékelés nevű programjával végezzük. A Kiértékelés menü pontjainak elvégzésével megkapunk minden szükséges paramétert, amikből számolhatunk. Ezután kinyomtatjuk a három ábrát. 3. A kaloriméter hőkapacitásának meghatározása A kaloriméter hőkapacitása, másszóval vízértéke (v) definíció alapján: v = Q T Ez a képlet nem veszi figyelembe a veszteségeket, amit a Newton-féle lehűlési törvénnyel írhatunk le, ami alapján az időegység alatt a környezetnek átadott hő arányos a környezet és a kaloriméter hőmérsékletének különbségével: dq h = h(t T k ) Ezek és a termodinamika első főtétele alapján a következő differenciálegyenletre jutunk: v dt = dq h(t T k) 2
A differenciálegyenlet az utószakaszban leegyszerűsödik, mert ott csak a lehűlési hőnek van szerepe, és ennek megoldása: T u (t) = T k + Ce ε0t Az exponenciális függvény kitevőjét az utószakaszra való illesztésből határozza meg a számítógép. A differenciálegyenlet megoldásából meghatározható a kaloriméter korrigált hőmérséklete, ami a veszteségektől mentes rendszerre lenne jellemző, amit ugyancsak a számítógép illeszt rá az ábránkra: t T (t) = T(t) + ε 0 (T(t ) T k ) Ezen kívül a vízérték meghatározásához szükségünk van a betáplált hőre, amit a oule-hő ad. A t ideig az R ellenállásra rákapcsolt U fűtőfeszültségből származó oule-hő: Q = U2 R t Ezek alapján már kiszámolható a kaloriméter vízértéke: v = 0 U 2 R t A vízérték hibáját a hibaterjedés alapján számoljuk: v v = 2 U U + R R + T k + T A mért idő-hőmérséklet grafikon a 2. ábrán található, amin szerepel az illesztett korrigált hőmérséklet. A mérési adatainkat a hibáikkal együtt a következő táblázatban rögzítettük, amikből behelyettesítés után kiszámolható a kaloriméter vízértéke. Fűtőfeszültség: U (1, 779 ± 0, 0005) V A drót ellenállása: R (7, 07 ± 0, 01)Ω Fűtésidő: t 158, 74 s Környezeti hőm.: T k (17, 482 ± 0, 001) C Korrigált hőm.: T (20, 69 ± 0, 01) C Lehűlési paraméter: ε 0 0, 0816 1 min 1. táblázat. Az első mérés adatai Behelyettesítések után a kaloriméter hőkapacitása hibával együtt: v = (22, 15 ± 0, 12) K 3
4. A minta fajhőjének meghatározása az a. módszerrel A mintából és a kaloriméterből álló rendszer hőmérsékletének időbeli változását leíró differenciálegyenlet most így néz ki: v dt(t) + w dt m(t) = h(t(t) T k ) ahol v az előzőekben meghatározott vízérték, w a minta hőkapacitása, vagyis w = cm. Az előző részhez hasonló megfontolások alapján bevezethető a minta korrigált hőmérséklete: T m = T k + ε ε ε 0 ( ) ahol ε a mintát tartalmazó kaloriméter főszakaszát leíró függvény kitevőjében szereplő állandó. Ezek alapján a minta fajhője a következő kifejezésből számolható: c = v m T m0 Tm A fajhő hibáját a hibaterjedés törvényeivel számoljuk a következő módon: c c = v v + m m + ( ) + (T m0 T m) T m0 T m Az idő-hőmérséklet grafikon a 3. ábrán látható, amin szerepel az illesztett korrigált hőmérséklet és a főszakaszra illesztett exponenciális függvény. A mérési eredményeinket a következő táblázatban rögzítettük, és ezeket helyettesítjük be a képletekbe. Környezeti hőm.: T k (17, 31 ± 0, 005) C Korrigált hőm.: T (20, 67 ± 0, 005) C Minta kezdeti hőm.: T m0 (32, 0 ± 0, 05) C Minta korrigált hőm.: Tm 20, 6704 C (3, 36 ± 0, 01) K T m0 Tm (11, 3296 ± 0, 06)K Lehűlési paraméter: ε 1, 5405 1 min Minta tömege: m (14, 4234 ± 0, 00005) g 2. táblázat. Az második mérés adatai Behelyettesítések után a 6-os számú minta fajhője az a. módszerrel, és ennek hibája: c a = (455, 4 ± 6, 2) kgk A vas fajhőjének irodalmi értéke: c Fe = 460 meghatároztunk. kgk, amit ebben a mérésben jól 4
5. A minta fajhőjének meghatározása a b. módszerrel Az eddigiekhez hasonló módon számolhatjuk a minta fajhőjét a b. módszernél is. A differenciálegyenletbe beleírjuk a fűtésre használt oule-hő teljesítményét: v dt(t) + w dt m(t) = dq h(t(t) T k) Itt a kezdeti feltételünk, hogy T m0 = T k, és felhasználjuk a minta korrigált hőmérsékletére vonatkozó összefüggést az előző részből, így megkaphatjuk a minta fajhőjére vonatkozó képletet: ahol c = 1 Q v( ) m Tm T k Q = U2 R t A mérés során a minta korrigált hőmérsékletét nem tudjuk meghatározni közvetlenül, de a meghatározására két módszerünk is van. Az egyik módszer szerint a minta korrigált hőmérséklete megegyezik a kaloriméter korrigált hőmérsékletével, a másik módszer szerint az előző mérésben meghatározott ε felhasználásával határozzuk meg a minta korrigált hőmérsékletét. A következőkben mindkét módszerrel kiszámoljuk a minta fajhőjét. A mérési eredményinket a következő táblázat tartalmazza: Fűtőfeszültség: U (1, 777 ± 0, 0005) V A drót ellenállása: R (7, 07 ± 0, 01)Ω Fűtésidő: t 158, 73 s Környezeti hőm.: T k (17, 161 ± 0, 001) C Korrigált hőm.: T (19, 644 ± 0, 005) C (2, 483 ± 0, 006) K Minta tömege: m (14, 4234 ± 0, 00005) g 3. táblázat. Az harmadik mérés adatai Ha úgy számolunk, hogy T m = T, akkor a következő fajhőre jutunk, aminek hibáját megbecsültük: c b1 = (443, 9 ± 10, 0) kgk Ha behelyettesítjük a következő képletbe az előző mérésekből a paramétereket: ε 0 = 0, 0816 1 min és ε = 1, 5405 1 min. T m = T k + ε ε ε 0 ( ) = (19, 783 ± 0, 007) C 5
Így a fajhő becsült hibával: c b2 = (420, 2 ± 10, 0) kgk Ez a mérésünk jóval pontatlanabb értékeket adott a vas fajhőjére, mivel itt kevésbé pontosan számoltunk. A mérés idő-hőmérséklet grafikonja a 4. ábrán látható. Az ábrán jól látszik, hogy a hőmérséklet túlmegy az egyensúlyi hőmérsékleten, és onnan hűl vissza. Ennek oka, hogy a minta és a kaloriméter között a hőátadás nem tökéletes, tehát a minta hőmérséklete lassan követi a kaloriméterét a fűtés alatt. Tehát amikor kikapcsoljuk a fűtést az egyensúlyi hőmérséklet a hőkapacitások arányában a minta és a kaloriméter hőmérséklete között áll be egy egyensúlyi szintre. Az ábra és a hőkapacitások alapján kiszámolható, hogy a fűtés kikapcsolásakor, mekkora volt a hőmérsékletkülönbség a minta és a kaloriméter között: A kaloriméter maximális hőmérséklete és az egyensúlyi hőmérséklet között a különbség 0,116 fok. A kaloriméter hőkapacitása v = 22, 15 K, a minta hőkapacitása w = cm = 6, 568 K. A minta hőmérséklete, és az egyensúlyi hőmérséklet közti különbség körülbelül: 0, 116 v w = 0, 39 fok. Tehát a fűtés kikapcsolásakor a kaloriméter és a minta között fellépett hőmérsékletkülönbség körülbelül 0,5 fok, aminek hatása már jól látható az ábrán. Kisebb hőkapacitású minta esetén nem biztos, hogy látható ez a különbség, mert a hőátadási tényező arányos a hőkapacitással. Ez az eltérés ugyancsak hibákat okozhat a számolásainkban. 6. A hőátadási tényezők A Newton-féle lehűlési törvényben szereplő h a kaloriméter és a környezete közötti hőátadási tényező. Az üres kaloriméter hőkapacitásának mérési eredményeiből ez meghatározható. A kiszámításához a következő összefüggést használjuk fel: h = ε 0 v A hibaterjedés szerint ennek a hibája: h h = ε 0 + v ε 0 v Az első mérés eredményeinek behelyettesítésével (ε 0 = 0, 0816 1 v = (22, 15 ± 0, 12) K ) a hőátadási tényező: h = (1, 81 ± 0, 01) min K min és A k hőátadási tényező a kaloriméter és a minta közötti hővezetésre jellemző. A kiszámításához a következő két összefüggést használjuk fel: k = εε w ε 0 6
ε = h v + w ε ε ε 0 Behelyettesíthetjük az előzőekben meghatározott értékeket, és így a hőátadási tényező: k = (10, 7 ± 0, 2) min K Látható, hogy a minta és a kaloriméter közötti hőátadási tényező egy nagyságrenddel nagyobb, mint a kaloriméter és a környezete közötti hőátadási tényező, tehát érvényes az a közelítés, amit a levezetések során kimondatlanul is kihasználtunk, hogy h << k. 7