. oltds folyamatok szabályozása Az rányított folyamatok jelentés részét képezk a lassú folyamatok. Ilyenek például az par környezetben található nagy méret kemencék, desztllácós oszlopok, amelyekben valamlyen fzka mennységet (pl. hmérsékletet, nyomást, koncentrácót) kell szabályozn. A lassú folyamatok két legfontosabb jellemzje: - Nagy dállandókkal rendelkeznek (másodperces vagy még nagyobb nagyságrend), am lassú választ eredményez. - oltdvel rendelkeznek (Ez lehet akár az rányítás algortmusban alkalmazott mntavétel peródus többszöröse). oltdnek nevezzük azt az dtartamot, amnek el kell telne ahhoz, hogy a bemenet hatása a kmeneten megjelenjen... Ideáls holtds tag és hatása a szabályozás kör stabltására Ideáls holtds tag esetében a bemenet τ dtartamú késleltetéssel jelenk meg a kmeneten: y ( t) u( t τ ) (6.) sτ Alkalmazva a Laplace transzformált { u( t τ )} u( s) e tulajdonságát, kapjuk az deáls holtds tag átvtel függvényét: sτ ( s) e (6.2) Az deáls holtds tag frekvencatartománybel alakját az Euler összefüggés alkalmazásával kapjuk: Euler jωτ ( jω) e cosωτ j snωτ (6.3) Ábrázolva a komplex részt a valós rész függvényében, kapjuk az deáls holtds tag Nyqust dagramját (lásd 6. Ábra).. Ábra: Ideáls holtds tag Nyqust dagramja A rendszer Nyqust dagramja áthalad a (-,0) ponton, tehát ha vsszacsatoljuk, a zárt rendszer a stabltás határán van.
A (6.3) összefüggés alapján meghatározhatjuk az deáls holtds tag ersítését (decbelben) és fázsát. A 2 cos ωτ + sn ωτ A db 0 snωτ ϕ arctg arctg tg cosωτ 2 ( ωτ ) ωτ (6.4) Legyen egy szabályozás körben a nyílt rendszer pólusa és zérusa mellett egy deáls holtds tag s. Ebben az esetben a nyílt rendszer modellje: N sτ ( s) ( s) e (6.5) N (s) a holtd nélkül rendszer modellje. A 6.2 Ábrán a holtds és a holtd nélkül nyílt rendszer Bode dagramja látható. A (6.4) összefüggések alapján az deáls holtds tag az ampltúdó menetet nem módosítja, de a fázsmenetet az ω val arányosan lefele tolja. Így a rendszer fázstartaléka ksebb lesz ( ϕt 80 + ϕ( N ( jωc )) 80 + ϕ( N ( jωc )) ωcτ ). Tehát a holtd rontja a szabályozás rendszer stabltását. N.2 Ábra: A holtd hatása a szabályozás rendszer fázstartalékára Mntavételes rendszerek esetében a holtdt az alább konstanssal jellemezzük: d τ / T (6.6) τ a folytonos holtdt, T a mntavétel peródust jelöl. A mntavételes deáls holtds tagot a z komplex változó defnícója alapján kapjuk: e s τ sdt d e z (6.7) Így a d mntavételny holtdt s tartalmazó, mntavételes rendszer általános modellje:
m oz n b ( z) z... Ideáls holtds tag szabályozása + + a m b z +... + bm d z (6.8) n z +... + an Proporconáls kompenzálás: A vsszacsatolt rendszerben az deáls holtds taggal sorban ersítt helyezünk el (P szabályozás) (lásd 6.3 Ábra). A 6. Ábra alapján látszk, hogy ha a K P ersítést -nél nagyobbra választjuk, a nyílt rendszer Nyqust dagramja a (,0) pontot balról kerül meg, tehát a zárt rendszer nstabllá válk. A stabltást a Kp< választással lehet garantáln. Azonban számos szabályozás alkalmazás megkövetel nagy ersítésérték választását a mnél pontosabb alapjel követés és mnél jobb zajelnyomás eléréséhez. Tehát csak P szabályozással holtds rendszereket nem célszer rányítan..3 Ábra: Ideáls holtds tag P kompenzálással Integráló kompenzálás: A vsszacsatolt rendszerben az deáls holtds taggal sorban ntegrátort helyezünk el T ntegrálás dvel. (I szabályozás) (lásd 6.4 Ábra)..4 Ábra: Ideáls holtds tag I kompenzálással Az ntegráló szabályozóval a nyílt rendszer: N sτ ( s) e (6.9) A zárt rendszer stabltásának vzsgálatához határozzuk meg elször a nyílt rendszer ampltúdó menetét: N j T ω T s ( jω) ( cosωτ j snωτ ) ( snωτ j cosωτ ) db T ω 2 2 ( cos ωτ + sn ωτ ) 20log 0 20lg (6.0) 2 2 T ω Tω
Ebbl könnyen számítható a nyílt rendszer vágás frekvencája: db 0 ωc T ω T C (6.) A nyílt rendszer fázsmenete a (6.5) összefüggés alapján: ϕ ( ω) ωτ 90 (6.2) A (6.) és (6.2) összefüggések alapján egyszeren következk a fázstartalék: τ τ ϕt 80 + ϕ( ωc ) 80 90 90 (6.3) T T A rendszer stabl, ha a fázstartalék értéke poztív. A (6.3) összefüggés alapján látszk, hogy mnél nagyobb a holtd, a fázstartalék annál ksebb. Ugyanakkor nagy ntegrálás d választásával a fázstartalékot javíthatjuk. Tehát ntegráló szabályozóval, nagy ntegrálás d választásával garantálható a holtds szabályozás kör stabltása..2. Szabályozók kísérlet hangolása Abban az esetben alkalmazandó hangolás eljárások, amkor a folyamatról kevés nformácó áll rendelkezésre, a folyamatot leíró modell és paramétere nem, vagy csak részben smertek. Segítségükkel PID típusú szabályozókat lehet hangoln (megválasztan a szabályozóstruktúrát, meghatározn a szabályozó paraméteret K P, T, T d ) (lásd 6.5 Ábra). Emprkus módszerek, de a gyakorlat azt mutatja, hogy ha a szabályozás követelmények nem túl ersek, jól alkalmazhatóak. Egyszerségük matt elterjedtek. Általában lassú, holtdvel s rendelkez rendszerekre kdolgozott módszerek..5 Ábra: Szabályozás rendszer PID szabályozóval.2.. Oppelt módszer Számos olyan módszer létezk, amely a rendszer egységugrásra adott válasza alapján adja meg a szabályozó paraméteret. Ilyen hangolás módszer az Oppelt módszer, amely feltételez, hogy az rányított folyamat elsfokú stabl rendszer, amely holtdvel s rendelkezk: K sτ ( s) e (6.4) T s +
Ebben az esetben az rányított folyamatot három paraméterrel jellemezhetjük: K ersítés, T dállandó, τ holtd. Az Oppelt módszer lényege, hogy a folyamat egységugrásra adott válasza alapján határozzuk meg ezen paramétereket, majd a folyamat paraméterenek smeretében hangoljuk be a PID szabályozót. A stabl rendszer egységugrásra adott válaszát könnyen megkaphatjuk, hszen ehhez csak arra van szükség, hogy a folyamatnak konstans egységny bemenetet bztosítsunk, mközben mérjük a kmenetet. Bzonyos folyamatoknál problémát jelenthet, hogy a K értéke túlságosan nagy, nem a mérhet tartományban van, az egységugrásra adott nomnáls kmenet, amely körül a szabályozás történk, sohasem ér el a K értékét. Ebben az esetben a K /T érték közelítleges meghatározására a rendszer válaszát egyenesekkel közelítjük. A 6.6 Ábra alapján az OAB háromszög hasonló az ACD háromszöggel, tehát: a τ K a OAB ACD (6.5) K T T τ.6 Ábra: Egységugrásra adott válasz és approxmácója egyenesekkel Nagy K értékek esetén a válasz alapján legkönnyebb a τ és az a paramétereket mérn. Ezért az Oppelt módszer esetén ezeket a paramétereket használjuk a PID paraméterek meghatározására. A különböz struktúrájú szabályozók esetén az alább paraméterválasztások javasoltak: 6. Táblázat Oppelt módszer hangolás P PI PID K P T T D a - - 0.8 a 3 τ -.2 a 2 τ 0.42τ Csak a P szabályozó nem garantálja a zérus állandósult állapotbel hbát egységugrás alapjelre, ezért ha nagy pontosságú szabályozást szeretnénk, ntegrátort kell elhelyezn a szabályozóba. A szabályozás kör csllapítása a 6. Táblázat alapján ζ0.25, am matt nagy túllövésre számíthatunk. Mntavételes megvalósításnál a mntavétel peródust T 0.3τ értékre kell választan. Léteznek más hangolás módszerek s, amelyek segítségével az egységugrásra adott válasz alapján hangolhatjuk a szabályozókat. Ilyen például a Chen-rones-Reswck módszer, am ugyancsak feltételez, hogy az rányított folyamat elsfokú és holtdvel rendelkezk. Ez a módszer túllövés-mentes választ bztosít. Az Strejc módszer kett lletve n dállandóval
rendelkez folyamatokra van kdolgozva. Az Oppelt módszernek létezk ntegráló folyamatokra kdolgozott változata s..2.2. A Zegler-Nchols módszer A Zegler-Nchols módszert csak olyan folyamatoknál lehet alkalmazn, amelyeknél a technológa megenged, hogy a szabályozás kört a stabltás határán mködtessük. A hangolás módszernél nem szükséges smern a rendszer válaszát. A hangoláshoz a szabályozás körbl kktatjuk az ntegráló és derváló csatornát a (T, T d 0 paraméterezéssel). Így a szabályozó egy ersítre redukálódk (P szabályozó). A szabályozó K p essítését nulláról kell növeln addg, amíg a zárt rendszer elér a stabltás határát. A stabltás határán állandósult állapotban a folyamat kmenete sznuszosan leng az alapjel körül. Jelölje K Pkrtt a krtkus ersítést, vagys a szabályozó ersítését a konstans ampltúdójú lengések bekövetkeztekor. Jelölje T krt a krtkus peródust, a konstans ampltúdójú lengések peródusát. A szabályozó hangolása ezen értékek alapján történk. 6.2 Táblázat: Zegler-Nchols módszer - hangolás P PI PID K P 0. 45 K Pkrt - - K 0. 45 K T 0. 85 T - P Pkrt krt P 0. K Pkrt T 0. 5 Tkrt TD 0. 2 Tkrt K 6 A szabályozás kör csllapítása a 6.2 Táblázat alapján s ζ0.25, am 40% körül túllövést eredményez. Mntavételes megvalósításnál a mntavétel peródust T ( 0.0. 3) T krt körül értékre kell választan. A hangolás elnye, hogy nncs szükség az egységugrásra adott válaszra, az egyetlen paraméter, amt a folyamatról smern kell a T krt. A hátránya egyrészt hogy a szabályozás rendszert el kell vnn a stabltás határára, másrészt, hogy ha az rányított folyamat lassú, a hangolás dgényes. Másk elnye, hogy a kdolgozott táblázat használható az önhangoló szabályozások megvalósításánál. 6. Példa: Legyen a 6.4 modell által leírt folyamat az alább paraméterekkel: K 0.05, T 0 másodperc (mp), τ3 mp. Tervezzünk P és PID szabályozót a folyamatnak a Zegler-Nchols módszer alapján. Teszteljük a kapott szabályozás rendszert úgy, hogy az alapjel 00 legyen. A PID szabályozás Matlab/Smulnk tömbrajzát a 6.7 Ábra mutatja. A holtds rendszer vselkedését a sorban elhelyezett Transport Delay és Transfer uncton blokkokkal szmuláljuk.
.7 Ábra: oltds rendszer PID szabályozásának Smulnk modellje A hangolás fázsában a PID blokk T I és T D paraméteret nullának válasszuk (T I 0 választás esetén az ntegráló csatorna kmenete s nullává válk). Többször smételjük meg a szabályozás rendszer szmulálását növekv K P értékekkel. Tapasztaln fogjuk, hogy 00-nál nagyobb K P értékekre a rendszer túllövése megn, majd 8.2 értéknél nagyobb szabályozóersítésre a rendszer nstabllá válk. K Pkrt 8.2 értékre a kmenet konstans ampltúdóval leng, tehát a szabályozás rendszer a stabltás határán van (lásd 6.8, 6.9, 6.0 Ábrák)..8 Ábra: P szabályozás - stabl válasz
.9 Ábra: P szabályozás határcklus.0 Ábra: P szabályozás - nstabl válasz A 6.9 Ábráról leolvashatjuk a krtkus peródust: T krt mp. Alkalmazva a 6.2 Táblázatot, a szabályozóparaméterek P szabályozó esetén: K P 53.9, PID szabályozó esetén K P 70., T I 5.5 mp, T D.32 mp. Az így felparaméterezett szabályozókkal, a rendszer válasza és a beavatkozó jelek a 6., 6.2 Ábrán (P szabályozó esetén) lletve a 6.3, 6.4 Ábrán láthatóak (PID szabályozó esetén).. Ábra: P szabályozás Zegler-Nchols hangolással
.2 Ábra: P szabályozás Zegler-Nchols hangolással (beavatkozó jel).3 Ábra: PID szabályozás Zegler-Nchols hangolással.4 Ábra: PID szabályozás Zegler-Nchols hangolással (beavatkozó jel) Látható, hogy P szabályozó esetén az állandósult állapotbel hba jelents, tehát nem alkalmazható a feladat megoldására. A PID szabályozó garantálja a zérus állandósult állapotbel hbát. Mndkét esetben jelents, 40% körül túllövésre számíthatunk. Ezt elkerülhetjük, ha az alapjelet nem egységugrásnak, hanem a szabályozás ndításakor korlátosan növekv sebesség ugrásnak választjuk, majd amkor elérjük az elírt értéket, az alapjelet konstans értéken tartjuk. A
6.5 Ábrán az alapjel 25 másodperc alatt lneársan növekszk az elírt értékg. A 6.5 Ábrán látszk, hogy a túllövés jelentsen ksebb lesz (3% körül)..5 Ábra: PID szabályozás Zegler-Nchols hangolással (módosított alapjellel).3. Önhangoló PID szabályozók Az önhangoló szabályozók képesek a saját paraméterek meghatározására, am jelentsen megkönnyít használatukat. A szabályozó maga határozza meg azokat a folyamatra jellemz paramétereket, amelyek alapján a szabályozóparaméterek kszámíthatóak. Így az önhangoló szabályozók esetében nduláskor van egy úgynevezett hangolás üzemmód (Tunng) amkor a szabályozó megmér/kszámítja a folyamat azon paraméteret, amelyek szükségesek a szabályozóparaméterek meghatározásához, majd meg s határozza ezeket. Ezután átkapcsol önmköd üzemmódba (Automat), amely során a felparaméterezett szabályozó rányítja a folyamatot zárt hurokban. Az önhangoló PID szabályozók egy típusa a Zegler-Nchols módszer alapján határozza meg a szabályozóparamétereket. E módszer esetében a hangolás s zárt rendszerben történk. A hangolás alatt egy P szabályozó ersítését kell növeln, amíg a folyamat kmenete leng, a zárt rendszer stabltás határára jut, majd a szabályozó ersítése és a lengések peródusa alapján meghatározható. Az önhangoló PID szabályozó ugyancsak a krtkus ersítés és peródus alapján számolja k a szabályozóparamétereket, de anélkül, hogy eljuttatná a rendszert a stabltás határára. Ehhez egy kétállású (ON-O) szabályozót alkalmaz. Így a szabályozóban párhuzamosan egy PID és egy kétállású szabályozó van (lásd 6.6 Ábra).
.6 Ábra: Önhangoló PID szabályozó A hangolás üzemmódban a kétállású szabályozó aktív. Ezzel a szabályozóval a folyamat kmenete állandósult állapotban s lengen fog az elírt érték körül a nagyenergájú kapcsoló üzemmódú szabályozás és a folyamat tehetetlensége matt. Ugyanakkor a rendszer nncs a stabltás határán, a kétállású szabályozó bztosítja, hogy a szabályozás kör ne váljon nstabllá. A hangoláshoz elször meg kell határozn azt az ekvvalens P szabályozót, amely a stabltás határán a kétállású szabályozó által generált lengéseket képes létrehozn..3.. Az ekvvalens P szabályozó ersítésének meghatározása eltételezzük, hogy a kétállású szabályozó kmenete ± b értékeket vehet fel. A folyamat kmenetén az állandósult állapotbel lengések ampltúdója a. Mvel a P szabályozó esetében a stabltás határán a beavatkozó jel (a szabályozó kmenete) s sznuszosan leng, meg kell határozn a kétállású szabályozó négyszögjel beavatkozó jelének sznuszos megközelítését. eltételezve, hogy a négyszögjel perodkus (am állandósult állapotban gaz), a jelet ourer sorba fejthetjük. Általában egy b(t) perodkus jel ourer sorát az alább alakban írhatjuk fel: ahol: b a 2 n 0 ( t) + [ a cos( nω t) + a sn( nωt) ] (6.6) Cn Sn a 0 b( t) d( ωt) b( t) cos( nωt) d( ωt) a Cn a Sn b sn ( t) ( nωt) d( ωt) (6.7) A négyszögjelet a fharmonkusával közelítjük meg, vagys azzal a komponenssel a sorból, amelynek ugyanaz a peródusa, mnt az eredet jelnek. Így az n ndex sznuszos komponenssel közelítjük meg a négyszögjelünket, az összes többt elhanyagoljuk. Mvel a négyszögjel páratlan függvény (b(t)-b(-t)) az a Cn komponens mndng zérus. A megközelítés ezért az alább formájú (lásd még a 6.7 Ábra): ( t) a ( t) (6.8) b S sn ω
.7 Ábra: Négyszögjel és fharmonkusa atározzuk meg a megközelítés a S ampltúdóját: a S B b [ ] 0 ( t) sn( ωt) d( ωt) ( B) sn( ωt) d( ωt) + Bsn( ωt) d( ωt) ( cos( ωt) ) + ( cos( ωt) ) [ ( cos( 0) + cos( )) + ( cos( ) + cos( 0) )] 0 4B 0 B 0 (6.9) A krtkus ersítés meghatározásához feltételezzük, hogy az ekvvalens P szabályozóval, am a lengéseket okozza, a rendszer a stabltás határán van. Ennek a frekvencatartománybel feltétele: arg ( jωkrt ) K Pkrt ( ( jω ) K ) krt Pkrt (6.20) a folyamat smeretlen átvtel függvényét jelöl, ω krt 2/T krt a krtkus körfrekvenca, a lengések körfrekvencája. A folyamat átvtelét állandósult állapotban (sznuszos kmenettel és közelítleg sznuszos bemenettel) az alább formában számíthatjuk: a a ω krt (6.2) 4B 4B ( j ) A (6.20) lengésfeltétel és (6.2) összefüggés alapján kapjuk az ekvvalens krtkus ersítést: ( jω ) C a 4B K Pkrt K Pkrt K Pkrt (6.22) 4B a Az önhangoló PID mködése: - A szabályozás kétállású szabályozóval ndul. - A tranzensek lecsengése után a szabályozó megmér a lengések peródusát (T krt ) és a lengések ampltúdóját (a). - A (6.20) összefüggés alapján kszámolja a krtkus ersítést (K Pkrt ). - A krtkus ersítés és krtkus peródus alapján a 6.2 Táblázat felhasználásával meghatározza a PID szabályozó paraméteret. - Átkapcsolás PID szabályozásra.
Mvel mérés zajokra számíthatunk, a lengések peródusának és ampltúdójának meghatározásánál fontos, hogy a mért jelet szrjük, valamnt a mérést több lengésckluson keresztül smételjük meg, az ampltúdót és peródust több mérés átlagaként számítsuk. A 6.8 Ábrán az önhangoló PID szabályozó tpkus válasza látható..8 Ábra: Önhangoló szabályozás (folyamat kmenete, beavatkozó jel)