SZÜLE BORBÁLA SZOLVENCIATŐKE MINT FIXPONT A tanulmányban a szező a fixpont-iteáció témájával foglalkozik egy elméleti modellben, a biztosítók szolvenciatőkéjének számolásával kapcsolatban. A téma aktualitását a biztosítók tőkemegfelelésével összefüggő Szolvencia II. euópai uniós iányelv előeláthatólag közeljövőben váható bevezetése mutatja. Az eedmények alapján megállapítható, hogy az elméleti modellben a biztosítók szolvenciához kapcsolódó tőkeszükséglete matematikai ételemben vett fixpontként is ételmezhető. Bá a gyakolati tőkeszükséglet-számítások a tanulmányban bemutatottnál jóval összetettebbek, az elméleti eedmények a szolvenciatőke-modellezés édekes összefüggéseie világítanak á. BEVEZETÉS Az Euópai Unióban 2009-ben fogadták el a Szolvencia II. iányelvet, amelynek gyakolati alkalmazása a közeljövőben váható. Ez az iányelv a biztosítók szolvenciamegfelelésével kapcsolatban is több szabályt hatáoz meg. A Szolvencia II. egészében véve hasonlóságot mutat a bankoka vonatkozó Bázel II. szabályozással is. Az egyik ilyen hasonlóság a kétféle szabályendsze pilléei esetében mutatkozik meg. A Bázel II. szabályendszeben például az első pillé minimum tőkekövetelmény meghatáozását jelenti a bankok számáa, a második pillé a felügyeleti ellenőzés (supevisoy eview pocess) témájáa vonatkozik (vagyis, hogy a bankok belső étékelését a felügyelet áttekint, a hamadik pillét pedig a nyilvános közzététel (public disclosue) jelenti, amely az egyes kockázati métékeke és a kockázatkezelési infomációka vonatkozik. Ehhez hasonlóan a Szolvencia II. szabályendszeen belül is kiemelt szeepe van a tőkekövetelmény meghatáozásának, amelynek soán többféle kockázata vonatkozóan töténik meg a kockázat elemzése [McNeil et al. 2005: 8 5]. A Szolvencia II. szabályok szeint a biztosítóknak legalább annyi saját tőkét kell tataniuk, hogy az egy éves időtatamot tekintve fedezze a nem vát veszteségeket egy adott megbízhatósági szinten (a vállalkozás folytatásának elvét figyelembe véve). A Szolvencia II. definíció alapján a szükséges tőke étékét kockáztatott éték (Value-at-Risk, VaR) számolással lehet megoldani. 2 A kockáztatott éték számolása soán a biztosítók mélegében szeeplő eszközöknek, kötelezettségeknek és a saját tőkének is szeepe van. Elméleti modellben könnyen bemutatható, hogy a VaR-ként számolható tőkekövetelmény étéke attól is függ, hogy mekkoa saját tőkét tételezünk fel a számolás A tanulmány a TÁMOP-4.2.2.B-0/-200-0023 pojekt keetében kapott támogatással jelenik meg. Diective 2009/38/EC of the Euopean Paliament and of the Council of 25 Novembe 2009 on the taking-up and pusuit of the business of Insuance and Reinsuance (Solvency II) 2 Diective 2009/38/EC, Aticle 0
46 KÖZ-GAZDASÁG 204/ kiinduló adataként. Amennyiben például azt feltételezzük, hogy a tulajdonosok viszonylag sok saját tőkét bocsátanak a biztosító endelkezésée, akko az adott megbízhatósági szint elééséhez szükséges tőkekövetelmény étéke viszonylag alacsony is lehet. Gyakolati szempontból egyébként ez a nagyobb jelentőségű eset, mivel a biztosítók tőkeszintje gyakan magasabb, mint a valamilyen módon számított minimális tőke étéke. Ezzel együtt felmeülhet a kédés, hogy mekkoa az a kiinduló adatként megadott tőkeéték, amellyel a VaR-számolás eedményeként kapott tőkeszükséglet-éték éppen megegyezne. E feladat megoldását egy fixpontiteációval kapcsolatos matematikai eedménnyel szemléltetjük a tanulmányban. Az elemzést egy elméleti modellben mutatjuk be, amely a biztosítók gyakolati jellegzetességei közül néhány fontosabb tulajdonsága koncentál. A gyakolatban temészetesen a tőkekövetelménnyel kapcsolatos számolások a tanulmányban szeeplőknél jóval összetettebbek, a bemutatott eedmények viszont alkalmasak lehetnek a biztosítási tőkeszükséglet-számítás jellemzőinek szemléltetésée. A fixpont-iteáció témája a közgazdaságtan számos más teületén is felbukkan 3, így e téma tanulmányozása nemcsak a biztosítási modellezés szempontjából lehet előnyös. A témához kapcsolódó matematikai összefüggéseket ezzel együtt mindöszsze olyan mélységben tekinti át a tanulmány, hogy a biztosítási tőkeszükségletmodellezéssel való kapcsolatok jól követhetők legyenek. A következőkben az első fejezet áttekinti az eedmények levezetésée alkalmazott elméleti modellt. A második fejezetben a tanulmány bemutatja, milyen módon ételmezhető a szolvenciatőke étéke matematikai ételemben fixpontként, majd a hamadik fejezetben azzal foglalkozunk, hogy miként befolyásolják egyes, a biztosítási állománya jellemző paaméteek étékei a fixpontként is ételmezhető tőkeszükséglet étékét. A tanulmány végén a fontosabb megállapítások összegzése található.. A MODELL FELÉPÍTÉSE A biztosítók tevékenysége a gyakolatban viszonylag sokétű és a szolvenciatőke gyakolati modellezése is meglehetősen összetett. A következőkben a klasszikus biztosítási tevékenység fontosabb jellemzőit modellezzük. Hagyományosan a biztosítóknál a működés egyik alapelvének tekinthető a különböző biztosítási kockázatok vállalása biztosítási díjbevétel ellenében. A díjbevétel alapján a biztosítók díjtatalékot képeznek, illetve különböző (például pénzügy eszközökbe fektetik be a díjként befizetett összegek meghatáozott észét. Ennek megfelelően a tanulmányban szeeplő modellben a biztosító szeződések keetében biztosítási kockázatot vállal, az ügyfelek által befizetett díjak alapján számított díjtatalékot, illetve a endelkezése álló saját foásait (tőkét) pedig pénzügyi eszközökbe fekteti. A Szolvencia II. szabályok a tőkeszükséglettel kapcsolatban nem konstans étéket hatáoznak meg minden biztosító számáa egységesen, hanem a szolvencia szempontjából fontos pénzügyi és biztosítási összefüggéseket, illetve a biztosítási 3 A közgazdasági modellekben alkalmazott fixponttételekkel is foglalkozik például Hegedűs és Zalai [978].
TANULMÁNYOK 47 állomány jellegzetességeit is figyelembe véve ez az éték biztosítónként különbözhet. A Szolvencia II. szabályok szeint a legalább szükséges tőke valamely biztosító esetében egy éves időtatamot tekintve, meghatáozott (99,5 százalékos) megbízhatósági szinten számolható ki. A tőkeszükséglet meghatáozása a kockáztatott éték (VaR) számolásával oldható meg: 4 It shall coespond to the Value-at-Risk of the basic own funds of an insuance o einsuance undetaking subject to a confidence level of 99,5 pecent ove a one-yea peiod. A gyakolatban a tőkeszükséglet meghatáozása meglehetősen összetett feladat. A szolvencia-tőkekövetelmény (Solvency Capital Requiement) számításánál a Szolvencia II. szabályok alapján a nem életbiztosítási (non-life undewiting isk), az életbiztosítási (life undewiting isk), az egészségbiztosítási (health undewiting isk), a piaci (maket isk), a működési (opeational isk) és a hitelkockázatot (cedit isk) 5 kell figyelembe venni. A számolások soán a működési kockázaton kívül a többi kockázat esetében számolt tőkeszükségleteket egy koelációkat is tatalmazó képlet alapján összegzik (Basic Solvency Capital Requiement), majd ehhez hozzáadják a működési kockázata vonatkozóan számított tőkeszükséglet-étéket, illetve még további koekciók elvégzésée keül so. A tanulmányban szeeplő modellben a gyakolati számításoknál jóval egyszeűbb módon töténik a tőkeszükséglet meghatáozása. Mindössze egyetlen fajta (biztosítás kockázattal foglalkozunk a modellben, ezt azonban úgy definiáljuk, hogy megfeleljen a biztosítások általános jellemzőinek. Ilyen módon olyan modellkeetet alakítunk ki, amely életbiztosítási kockázatok és nem életbiztosítási kockázatok tanulmányozásáa is alkalmas. A modellben egyéves időtávot tekintve keül so a kockázat méésée. A feltevések szeint a biztosítási kötelezettségek az egyéves időtáv végén esedékesek. A biztosító mélege esetében a modellben az egyéves időtatam alatt folyamatosan teljesül a következő összefüggés: A = C + L () ahol: A: eszközök összesen C: a saját tőke étéke L: a kötelezettségek étéke A modell nem tatalmaz további egyéb mélegtételeket (például ingatlanokat, időbeli elhatáolásokat). A gyakolatban a biztosítások egy észe egyszei díjas (amiko a díjat egy összegben fizeti az ügyfél), más esetekben azonban több időpontban is töténhet díjfizetés. Ebben a modellben azt feltételezzük, hogy a biztosító ügyfelei egyszei díjat fizetnek. A díjak egy észe a gyakolatban a költségeket fedezi, a modellben ezzel kapcsolatban feltételezzük, hogy a költségek azonnal esedékesek és a költségeket a befolyó díjból fizetik ki. A biztosító díjtataléka ilyen esetben az egyszei nettó díjak 4 Diective 2009/38/EC, Aticle 0 5 Diective 2009/38/EC, Aticle 0
48 KÖZ-GAZDASÁG 204/ összegével egyezik meg. Az egyszei nettó díj egy adott biztosítási szeződés esetén a kötelezettségek váható jelenétékeként számítható ki a következőképpen: B p (2) i ahol: B: a biztosítási összeg, amely a biztosítási szeződés alapján a szeződésben meghatáozott személynek a biztosítási esemény bekövetkezése esetén fizetendő, p: a biztosítási esemény bekövetkezésének valószínűsége, i: a technikai kamat. Valamely biztosítási szeződés esetében a modellben p valószínűségű a biztosítási esemény bekövetkezése, így az i-edik biztosítási szeződés esetében definiálható > i (kaakteisztikus) valószínűségi változó (i =,, n): > i = a biztosítási esemény bekövetkezéseko, 0, ha a biztosítási esemény nem következik be. Az összesen bekövetkező biztosítási események száma (> valószínűségi változó) a > i (kaakteisztikus) valószínűségi változók összege, tehát binomiális eloszlású: > => + + > n (3) A > valószínűségi változó esetében a váható éték E(>)=n p, a vaiancia (szóásnégyzet) pedig F 2 (> )=n p ( p). Amennyiben n éték, vagyis a biztosító állománya megfelelően nagy, akko a binomiális eloszlás a nomális eloszlással közelíthető (ez má n=000 esetében is teljesülhet, így a továbbiakban a nomális eloszlással való közelíthetőséget feltételezzük). Mivel a biztosító egy év múlva méhető eedménye az összesen bekövetkező biztosítási események számának függvénye, ezét a modellben a biztosító egy év múlva méhető veszteségének jelenétéke is nomális eloszlású valószínűségi változónak tekinthető. Jelölje a veszteség-jelenéték valószínűségi változót 0: B ξ B n p ( ) + C ( ) η = (4) k ( k)( ahol: n: a biztosítási szeződések száma, : a befektetési hozam, k: a veszteség-jelenéték számítása soán a diszkontálásnál alkalmazott áta, C: a saját tőke étéke. A befektetési hozam étékét konstansnak tekintjük, mivel a modellben csak egyetlen fajta (biztosítás kockázattal foglalkozunk. A veszteség-jelenéték, mint valószínűségi változó alapján keülhet so a modellben a tőkeszükséglet számolásáa VaR-ként. Nomális eloszlású változóknál a VaR számolása a váható éték, a szóás és a figyelembe vett " megbízhatósági szint alapján töténhet [McNeil et al.2005: 39]:
VaR TANULMÁNYOK () α = E() η + σ () η Φ () α 49 (5) ahol M (") a standad nomális eloszlás eloszlásfüggvényének invez függvényét jelenti. Az (5) összefüggés alapján számolt tőkeszükséglet ételmezése a kockáztatott éték (VaR) definíciója alapján lehetséges. A szolvenciaszabályozással kapcsolatban például a CEA [2006] a VaR fogalmát úgy definiálja, hogy ha a VaR-nak megfelelő tőke tatásáa keül so, akko a VaR számításánál alkalmazott megbízhatósági szintnek megfelelő a szolvencia valószínűsége, olyan ételemben, hogy az eszközök étéke legalább annyi, mint a kötelezettségek (egulatoy liabilities) étéke, illetve az inszolvencia valószínűsége ( "), ahol " az adott megbízhatósági szint. A modellben számított tőkeszükséglet étéke tehát az (5) összefüggés figyelembevételével: B n p ( ) ( k)( C ( ) ( k)( + Φ () α B p ( p) ( k) n (6) 2. A SZOLVENCIATŐKE SZÁMOLÁSA FIXPONTKÉNT A (6) összefüggés alapján megállapítható, hogy az adott megbízhatósági szinten számított tőkeszükséglet étéke attól is függ, hogy mekkoa a biztosító észée kezdetben endelkezése álló saját tőke étéke. Felmeül az a kédés, hogy mi lehet az a kezdetben endelkezése álló sajáttőkeéték (vagyis C éték), amely ugyanakkoa, mint amekkoa tőkeszükségletet ennek alapján meg lehet hatáozni: C = f (C), (7) ahol az f(x) függvény a (6) képlet alapján számolható VaR meghatáozásához kapcsolódik. A (7) egyenletben C étéke bizonyos esetben fixpont-iteációval is kiszámolható. A (7) egyenlet gyökét iteációval úgy lehet meghatáozni, hogy a gyök (ebben az esetben a szolvenciatőke) valamely közelítő étékét f(x) függvénybe behelyettesítjük, majd a kapott étéket úja behelyettesítjük a függvénybe és ezt az eljáást tovább folytatjuk. Ilyen módon a függvénybe behelyettesítéssel kapott étékek elméletileg végtelen tagú soozatot alkotnak. Elméletileg, ha ez a soozat konvegens és az f(x) függvény folytonos mint a (7) összefüggésben szeeplő függvény, akko a (7) összefüggésben keesett éték ezen soozat hatáétéke [Obádovics Szaka 2002: 603]. A fixpont-iteáció soán a konvegencia az f(x) függvény alakjától is függ. Ha az f(x) függvény diffeenciálható valamely intevallumon (és ez az intevallum tatalmazza a függvény lehetséges étékeinek tatományát is), akko a konvegencia kédése azzal függ össze, hogy lehet-e találni olyan egynél kisebb konstans étéket (jelölje ezt például d), amelynél f '() x d minden lehetséges x étéke az adott intevallum belsejében (az intevallum maximális és minimális étékét kivéve). Tételezzük fel, hogy az iteációs algoitmus kezdő étéke az előzőekben említett inte-
50 KÖZ-GAZDASÁG 204/ vallumból számazik (amelyben az f(x) függvény diffeenciálható és amely a függvény lehetséges étékeinek tatományát is tatalmazza). Ebben az esetben belátható, hogy az ezzel a kezdőétékkel számolható az f(x) függvénybe behelyettesített étékeket tatalmazó soozat konvegens és az x = f(x) egyenletnek az előzőekben említett intevallumbeli egyetlen megoldásához konvegál [Obádovics Szaka 2002: 604]. A modellben a biztosító tőkeszükségletének étékée vonatkozóan a (7) összefüggés tehát abban az esetben oldható meg a fixpont-iteációs módszeel, ha () C f C nem nagyobb egy egységnyinél kisebb étéknél. A (6) képlet alapján f () C =. C ( k)( A modellben feltételezhető, hogy az () éték kisebb, mint az (k) ( szozat, mivel i éték a modellben a technikai kamat, éték a konstansnak feltételezett befektetési hozam, k pedig a pénzáamlások diszkontálásánál alkalmazott hozaméték. 6 A gyakolatban a befektetési hozamok étéke nem konstans, de a biztosítók befektetéseie általában jogszabályi kolátozások vonatkoznak, ami a befektetési kockázatot meghatáozott métékben behatáolja. Amennyiben például feltételeznénk, hogy a befektetési hozam elméletileg kockázatmentesnek tekinthető, akko a kockázatmentes befektetési hozam és a technikai hozam között szoos összefüggés lenne. Mivel ezenkívül a pénzáamlások diszkontálásánál alkalmazott hozam a pénzáamlások kockázatosságát is figyelembe veszi (a biztosító eedménye pedig nem tekinthető kockázatmentesnek a biztosítási kockázat következtében), ezét a modellben elfogadható feltevésnek tekinthető, hogy < ( k)(. A konvegenciát lehetővé tevő ezen feltevés figyelembevételével az adott megbízhatósági szintnek megfelelő VaR-nak is tekinthető induló tőke étéke: C * = B n p + Φ k ( () α B ( k)( n p k ( p) (8) A (8) összefüggést és a C* éték fixpont-iteációval töténő számolását az. ába szemlélteti (B =, n = 0000, p = 0,05, k = 0,025, = 0,05, i = 0,0, " = 0,995): 6 Az i, és k étékek esetében feltételezhető, hogy étékük nem negatív a modellben.
TANULMÁNYOK 5 Foás: saját számítások. ába: Szolvenciatőke meghatáozása fixpont-iteációval Mivel az. ábán szeeplő példában < ( )( ), k i így a szolvenciatőke étéke fixpont-iteációs módszeel is meghatáozható. Valamilyen kezdőtőke-étéket feltételezve kiszámolható, hogy ehhez a kezdőtőkéhez mekkoa VaR tatozik. Ha a fixpont-iteációs eljáás következő lépésében a kezdőtőke étékét a számolásokban ezzel a VaR étékkel megegyezőnek feltételezzük, akko szintén számolható valamilyen szolvenciatőkeként ételmezhető VaR éték. A fixpont-iteációs eljáás konvegenciája következtében a második lépésben számolt VaR éték és a fixpontként is ételmezhető szolvenciatőke étéke közötti (euklidesz távolság kisebb, mint az első lépésben számolt VaR éték és a fixpont között. Az. ába a konvegenciáa tett feltevés ételmezését is elősegíti. Amennyiben például = ( k)( teljesülne, akko valamely kezdőtőke-étékből indulva az iteációs módsze minden lépésben ugyanazt a szolvenciatőke- (VaR) étéket, illetve kezdőtőke-étéket eedményezné. Hasonló módon poblematikus lenne a fixpont eléése az iteációs módszeel, ha > ( k)(, mivel ekko az egyes iteációs lépésekkel a számolt tőke étéke nem közelebb, hanem egye távolabb keülne a fixponttól. Édemes azonban hangsúlyozni, hogy a szolvenciatőke étéke + = ( k)( és > ( k)( esetében is számolható a (8) képlet alapján, mindössze a fixpont-iteációs módszeel töténő számolás nem oldható meg ezekben az esetekben.
52 KÖZ-GAZDASÁG 204/ 3. A BIZTOSÍTÁSI ÁLLOMÁNY JELLEMZŐINEK HATÁSAI A szolvenciatőke étékét több tényező is befolyásolja. Mivel ebben a modellben mindössze a biztosítási kockázattal foglalkozunk (a befektetési kockázatot például konstansnak feltételezzük, így a pénzügyi kockázatot közvetlenül nem modellezzük), a szolvenciatőke étékée ható tényezők közül édemes foglalkozni a biztosítási állomány jellemzőivel. A következőkben a modellfeltevések közül a biztosítási esemény bekövetkezési valószínűségének és a biztosítási állomány nagyságának hatását elemezzük. Azzal a kédéssel is foglalkozunk, hogy e két tényező esetében van-e különbség a (8) képlet alapján fixpontként ételmezhető tőke étékée és a (6) képlet alapján számolható (valamilyen adott induló tőkeétéket feltételező) tőkeszükséglet-étéke gyakoolt hatás között. A tőkeszükséglet-étékeket a számolások soán édemes elosztani B n p étékkel, mivel így egy olyan mutatószám az eedmény, ami azzal is összefügg, hogy a biztosító mélegén belül mekkoa a tőke aánya. A (6) képletben szeeplő tőkeszükséglet-étéket B n p étékkel elosztva és a képletek jobb áttekinthetősége édekében alkalmazva az a = ( k)( jelölést, az eedményül kapott elatív tőkeszükséglet étéke: ( a) C a + Φ ( α) k n p p (9) A (9) képletben szeeplő elatív tőkeszükséglet-éték csökken, ha a biztosító állományának méete nagyobb (a biztosítási szeződések számát n jelöl. Ez az eedmény azzal is kapcsolatban van, hogy a modellben a biztosítási állománynál a biztosítási események számáa vonatkozóan is teljesül a nagy számok tövénye. A (9) képlet alapján az is megállapítható, hogy a elatív tőkeszükséglet étéke nagyobb, ha a biztosítási események bekövetkezési valószínűsége kisebb, mivel a (9) képletben szeeplő éték p szeinti paciális deiváltjának étéke negatív: Φ 2 () α k n p 3 ( p) (0) A (0) képlet alapján kapott eedmény úgy is ételmezhető, hogy ha kevésbé valószínű a biztosítási esemény bekövetkezése, akko a nettó díjak összegeként számolható B n p kezdeti nettó díjtatalék étéke is kisebb, és ehhez a díjtatalékétékhez képest viszonylag nagyobb a tőkeszükséglet étéke kisebb valószínűséggel bekövetkező biztosítási eseménynél, mint nagyobb valószínűségű biztosítási eseménynél. Az előzőkben szeeplőkhöz hasonlóak az eedmények abban az esetben is, amiko a fixpontként is ételmezhető, a (8) képlet alapján számolható tőkeszükséglet
TANULMÁNYOK 53 étékének és a B n p kezdeti nettó díjtatalék étékének hányadosát elemezzük. E hányados az előzőekben is alkalmazott a jelölés figyelembevételével: a + Φ () α a a k ( k)( a) n p p () A () képletben szeeplő elatív tőkeszükséglet-éték is kisebb, ha a biztosítási állomány nagyobb. Az is teljesül, hogy ha nagyobb a biztosítási események bekövetkezésének valószínűsége, akko kisebb a elatív tőkeszükséglet, mivel a () képletben szeeplő éték p szeinti paciális deiváltjának étéke a (0) képletben szeeplő étékhez hasonlóan negatív: 2 Φ a () α k n p 3 ( p) (2) Ahogyan azt a (0) és (2) képletek összehasonlítása mutatja, a p szeinti paciális deiváltak mindössze annyiban különböznek, hogy a fixpontként is ételmezhető tőkeszükséglet-éték esetében számolt deivált a másik deivált étékének és az a étéknek a szozata. Mivel a modellben az < ( k)( elfogadható feltevésnek tekinthető, ezét < a pozitív éték. A biztosítási esemény bekövetkezésének valószínűsége esetében töténő (kis) változások tehát a modellben kisebb hatással vannak a elatív tőkeszükséglet étékée a fixpontként is ételmezhető szolvenciatőke esetében. A (9) és () képlet alapján hasonló eedmények adódnak a biztosítási állomány nagyságával kapcsolatban is: a biztosítási állomány nagyságának adott (kismétékű) emelkedése kisebb csökkenést okoz a elatív tőkeszükséglet étékében a fixpontként is ételmezhető szolvenciatőke esetében. ÖSSZEFOGLALÁS A biztosítók tőkeszükségletének meghatáozása a hamaosan a gyakolatban is alkalmazott Szolvencia II. euópai uniós iányelv egyik központi témája. A tanulmány elméleti modellben, a gyakolathoz képest egyszeűsítéseket jelentő feltevések alkalmazásával tőkeszükséglet-étékek számolásával foglalkozik. Bá a gyakolat-
54 KÖZ-GAZDASÁG 204/ ban a biztosítók szolvenciatőkéjének étékét sok tényező befolyásolhatja, az elméleti modellben lehetőség van kiemelten a biztosítási kockázat hatásának tanulmányozásáa. A modellben levezethető, hogy milyen feltevések esetében lehetséges a szolvenciatőke étékét fixpont-iteációval meghatáozni. Amennyiben ezek a feltevések teljesülnek, a biztosító adott időszak elején endelkezése álló induló tőkéje fixpontként úgy is meghatáozható, hogy megegyezik a kockáztatott étékként (VaR) számolt tőkeszükséglettel. Az elméleti modell feltevései alapján a fixpontnak tekinthető tőkeszükséglet étéke, a modellben szeeplő paaméteek alapján, képlettel is meghatáozható. A tanulmány a fixpontként is ételmezhető és a valamilyen tetszőleges módon meghatáozott induló tőkét feltételező eljáással számított tőkeszükséglet-étékeket is összehasonlítja. Ez az összehasonlítás a kezdeti díjtatalék-étékhez viszonyítva töténik a modellben, mivel a tőkeszükséglet és a kezdeti díjtatalék aánya egyfajta elatív tőkeszükségletként is ételmezhető és ez az aány azzal is kapcsolatban van, hogy a biztosító mélegén belül mekkoa a tőke étéke. Az összehasonlítás eedményeként megállapítható, hogy a modellben mindkét esetben kisebb a elatív tőkeszükséglet, ha nagyobb a biztosítási állomány vagy pedig a biztosítási esemény bekövetkezésének valószínűsége. Az is megállapítható az eedmények alapján, hogy e két paaméte változásának hatása a fixpontként is ételmezhető szolvenciatőke esetében kisebb. A tanulmányban található eedmények a biztosítók tőkeszükségletével kapcsolatos számítások jellegzetességeit szemléltetik. A bemutatott, a biztosítások fontosabb jellemzői alapján létehozott elméleti modellben viszonylag egyszeűen szemléltethetők a fixpont-iteáció alkalmazási lehetőségei is a tőkeszükséglet-számítással kapcsolatban. A témával kapcsolatos további kutatási lehetőségek közül a gyakolat szempontjából a leginkább édekes eedmények feltehetőleg a pénzügyi kockázat észletesebb modellezéséből adódhatnak. IRODALOM CEA [2006]: CEA Woking Pape on the isk measues VaR and TailVaR Diective 2009/38/EC of the Euopean Paliament and of the Council of 25 Novembe 2009 on the taking-up and pusuit of the business of Insuance and Reinsuance (Solvency II) Hegedűs Miklós Zalai Enő [978]: Fixpont és egyensúly a gazdasági modellekben. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest. McNeil, A.J. Fey, R. Embechts, P.[2005]: Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques and Tools. Pinceton Univesity Pess. Obádovics J. Gyula Szaka Zoltán [2002]: Felsőbb matematika. Scola Kiadó