206.0.08. IGITÁLIS TEHNIK I r. Lovassy Rita r. Pődör álint Óbudai Egyetem KVK Mikroelektronikai és Technológia Intézet 5. ELŐÁS 5. ELŐÁS. z előzőek összefoglalása: kanonikus alakok, mintermek, maxtermek, minimalizálás, stb. 2. Karnaugh táblázat 3. Nem teljesen határozott logikai függvények. Karnaugh táblázat, logikai tervezési példák 2 EIGIEK ÖSSZEFOGLLÁS Kombinációs hálózatok... iszjunktív és konjunktív kanonikus alakok... Mintermek és maxtermek... Szomszédosság, egyszerűsítés, prímimplikánsok... Minimalizálás grafikus módszerrel... Karnaugh tábla... 3 LOGIKI FÜGGVÉNYEK KNONIKUS LKJ kombinációs hálózatok tervezésénél célszerű az algebrai alakból, mégpedig a kanonikus algebrai alakból kiindulni. diszjunktív kanonikus alak konjunktív tagok azaz mintermek összege. konjunktív kanonikus alak diszjunktív tényezők azaz maxtermek szorzata. MINTERMEK ÉS MTERMEK KPSOLT Minden minterm egy maxterm inverze, és minden maxterm egy minterm inverze. k = 2 n - jelöléssel m i n = M k-i n és M i n = m k-i n mintermek és maxtermek indexei, i és 2 n --i egymás komplemensei. ináris alakjukban az és 0 számjegyek fel vannak cserélve. Összegük páronként 2 n -, mely binárisan csupa -est SZOMSZÉOS MINTERMEK, MINIMLIZÁLÁS Szomszédos mintermek: egy logikai változó ponált illetve negált, a többi azonos. minimalizálás menete:. szomszédos mintermeket összevonják, a megfelelő változó kiesik. 2. z új alakban az esetleges szomszédos termeket megint összevonják. 3. z eljárást addig folytatják míg olyan szorzatok összegét kapjuk, melyekből már egy változó sem hagyható el. z így kapott szorzatok, termek a prímimplikánsok. tartalmaz. 5 6
206.0.08. KÉTSZINTŰ KOMINÁIÓS HÁLÓZTOK (ÉS-VGY, ILLETVE VGY-ÉS) diszjunktív, illetve a kanonikus alak közvetlenül ilyen kétszintű megoldást ad (ÉS kapukkal realizált mintermek összegét azaz VGY kapcsolatát, illetve VGY kapukkal realizált maxtermek szorzatát azaz ÉS kapcsolatát). minimalizálás összevonásai egyszerűbb, de ugyancsak kétszintű ÉS VGY, illetve VGY ÉS hálózatra vezetnek. 7 NÉGYVÁLTOZÓS KRNUGH TÁL 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 5 7 6 (0) () 2 3 5 (2) 8 9 0 (0) () (3) (2) kkor, és csak akkor ha 8; ; 2; ; (8) kkor, és csak akkor ha 8; ; 2; ; K tábla peremezése a változók binárisérték-kombinációival vagy az oldalt elhelyezett vonalakkal adható meg. 8 Karnaugh tábla a Venn diagram általánosítása (kiterjesztése) 9 PÉL Z ÖSSZEVONÁSOKR Két-két szomszédos cella, vagy két-két szomszédos hurok mindig összevonható. z összevont hurkok cellaszáma mindig 2-nek egész hatványa kell, hogy legyen. + = (+) = + = = += (+) = 0 f Négyváltozós Karnaugh tábla és lefedések (példák) f2 f + (,3,5,7,2 5 ) =, (,5,9,,2,3, ) = f 2 5 + Kanonikus alakok minimalizált K-TÁL: SUM-OF-PROUTS Realizálás: (,5, 9,,2,3, ) = f 2 5 + kétszintű ÉS-VGY, illetve kétszintű NN-NN hálózat Minimális algebrai alak 2 2
206.0.08. Négyváltozós Karnaugh tábla és lefedések (további példák) f3 ( 0, 2,5, 7,8,0,3, ) = f 3 5 + ( 0 3, 5, 8, ) = f 3 + _ f _ 3 NEM TELJESEN HTÁROZOTT LOGIKI FÜGGVÉNY z összevonás során a nem rögzített (közömbös) függvényértéket tetszőlegesen választhatjuk -nek vagy 0-nak, attól függően, hogy melyik adja a legkedvezőbb megoldást. ejegyzések a Karnaugh táblán (háromféle!) a minterm szerepel a függvényben, 0 a minterm nem szerepel a függvényben, a minterm értéke közömbös. ( 0 bejegyzés helyett sokszor üresen marad a cella.) lternatív jelölések: d (don t care) NEM TELJESEN HTÁROZOTT FÜGGVÉNYEK Nem teljesen határozott logikai függvényeknél előfordulhat, hogy a közömbös értékeket máskép célszerű rögzíteni a legegyszerűbb konjunktív alak képzésekor, mint ahogy azt a legegyszerűbb diszjunktív alaknál tennénk. Ekkor a két elvi logikai rajzon a kapubementek száma különböző lehet! megvalósításkor, ha szabadon választhatunk a két alak között, azaz nincs megkötés az ÉS és VGY szintek sorrendjére, akkor a legkevesebb kapubemenetet igénylő megoldást a két függvényalak további, heurisztikus elemzésével kaphatjuk csak meg. 5 NEM TELJESEN HTÁROZOTT LOGIKI FÜGGVÉNY F 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-0 0 0-3 F = Σ ((0,2,3,7) + (,6)) - - Optimális lefedés két -es hurok: F = + Itt a közömbös függvényértékeket -nek tekintjük. 6 NEM TELJESEN HTÁROZOTT LOGIKI FÜGGVÉNY z összevonás során a nem rögzített (közömbös) függvényértéket tetszőlegesen választhatjuk -nek vagy 0-nak, attól függően, hogy melyik választás adja a legkedvezőbb megoldást. LEGEGYSZERŰ KONJUNKTÍV FÜGGVÉNYLK Eddig mindig a legegyszerűbb diszjunktív alakot írtuk fel a Karnaugh tábla alapján. legegyszerűbb konjunktív algebrai alak is könnyen kiolvasható a K-táblából, ekkor a tagadott függvény mintermjeit kell hurkokkal lefedni, ez megadja a függvény negáltjának legegyszerűbb diszjunktív algebrai alakját. Ebből a emorgan azonosság alapján rögtön adódik a ponált függvény legegyszerűbb konjunktív alakja. 7 8 3
206.0.08. PÉL LEGEGYSZERŰ KONJUNKTÍV LK KÉPZÉSÉRE Három négyes és két kettes hurok jelölhető ki. Pl. a felső sorbeli négyes hurok (a peremeken ellentétesnek kell venni a változókat!) ( + ) Maxtermek: a mintermeket tartalmazó K táblából a 0-t tartalmazó cellákat tekintjük, és a peremen a változókat 9 komplementáljuk! LEGEGYSZERŰ KONJUNKTÍV LGERI LK F = + + + + F = (+)(+)(++)(++)(+) Természetesen ugyanez olvasható ki a Karnaugh táblázatból is. 20 MINIMLIZÁLÁS KONJUNKTÍV LKN K-TÁL: PROUT-OF-SUMS Realizálás: (+)(+)(+)(+) kétszintű VGY-ÉS, illetve kétszintű NOR-NOR hálózat Minimális algebrai alak 2 22 PÉL KÖZÖMÖS FÜGGVÉNY- ÉRTÉK ELTÉRŐ RÖGZÍTÉSÉRE LEGEGYSZERŰ LGERI LKOK - - színkóddal jelölt cella értékét a diszjunktív alak keresésénél célszerű -nek rögzíteni, a konjunktív alak keresésénél pedig 0-nak! F d = + + F k = (+)(++)(++) változók negáltjait előállító invertereket is figyelembe véve a diszjkunktív alak realizálásnál, a konjunktív alakénál pedig kapubementre van szükség! 23 2
206.0.08. GRFIKUS MINIMLIZÁLÁS 5 VGY NNÁL TÖ VÁLTOZÓVL Öt változó esetén a minimalizálás két négyváltozós Karnaugh táblával, hat változónál pedig négy négyváltozós táblával végezhető el. négy tábla páronkénti áttekintése már elég bonyolult. Ezért hat vagy ennél több változó esetén a Karnaugh táblás minimalizálási eljárás nem előnyös. Öt- és hatváltozós Karnaugh táblák: Rőmer 27 old., Zsom I 29 old., rató megfelelő fejezet. 25 ÖTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY EGYSZE- RŰSÍTÉSE KRNUGH TÁLÁN módszert az alábbi, kanonikus alakjával adott függvénnyel illusztráljuk: F(E) = 5 Σ (0,,5,0,,,6,20,2,2,25,26,27,30) Megjegyzés: látható pl. hogy a 2(=6+8),25, majd a 26,27 mintermek összevonhatók, utána a párok is, és és E itt kiesik, stb. ( példa rató könyve 59. oldalán található. függvény algebrai alakja sajtóhibákat tartalmaz.) 26 ÖTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY EGYSZERŰSÍTÉSE () E = 0 E = ÖTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY EGYSZERŰSÍTÉSE Prímiplikáns: 27 28 ÖTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY EGYSZERŰSÍTÉSE ÖTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY MINIMLIZÁLT LKJ E E minimalizált függvény öt prímimplikánst tartalmaz: F(E) = + + + E + E z eredeti alakban az elvi logikai rajzon a szükséges kapubemenetek száma x 5 + = 8, míg a minimalizált függvénynél 5 x 3 + 5 = 20. Kapuk: 5 db 3 bemenetű ÉS, db 5 bemenetű VGY, db INVERTER. 29 Tokok (TTL 7-es sorozat): db HE INV, 2 db 3x bemenetű NN, db x8 bemenetű NN. 30 5
206.0.08. ÖTVÁLTOZÓS EGYEFÜGGŐ KRNUGH TÁL ÖTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY SÍK TERÍTETT KRNUGH TÁLÁN minimalizálás menetét a már ismert és előzőleg két négyváltozós Karnaugh tábla segítségével minimalizált, kanonikus alakjával adott függvénnyel illusztráljuk: F(E) = 5 Σ (0,,5,0,,,6,20,2,2,25,26,27,30) két négyváltozós táblát a peremezés megváltoztatásával egybefüggővé tehetjük a szomszédossági viszonyok még könnyebb felismerése céljából. szomszédosságnál a függőleges tengelyre vett tükrözési szimmetria is figyelembe veendő. 3 32 MINIMLIZÁLÁS SÍKELI K-TÁLÁN E E Könnyen felismerhető az 5 darab négyes hurok F(E) = + + + E + E Redundáns prímimplikáns 33 KRNUGH TÁL HT VÁLTOZÓR Hat változó esetében a függvény ábrázolásához négy négyváltozós Karnaugh tábla szükséges. hat változóból kettőnek az értékét kell rögzítettnek venni egy-egy táblán. Másik lehetőség a megfelelő kódolás révén egyesített síkbeli tábla használata. 3 _ a b c d e f KRNUGH MP FOR 6-VRILES MINIMLIZÁLÁS HTVÁLTOZÓS KRNUGH TÁLÁN Minimalizálandó függvény (9 minterm): F(,,,,E,F) = Two dimensional (in-plane) arrangement of 6-variable Karnaugh map Σ 6 (0,2,6,9,,8,2,23,25,27,32,3,,9,53,55,57,6,62) Three dimensional arrangement of 6 variable K map 35 36 6
206.0.08. HT VÁLTOZÓS MINIMLIZÁLÁS MINIMLIZÁLÁS HT VÁLTOZÓR 37 F(,,,,E) = Σ6 (0,2,6,9,,8,2,23,25,27,32,3,,9,53,55,57,6,62) 38 KRNUGH TÁL PROGRMOK Karnaugh map programok általában mindkét kanonikus alakot kezelik. SOP: sum-of-products, diszjunktív algebrai alak. POS: product-of-sums, konjunktív algebrai alak. PÉL: ÖT-VÁLTOZÓS MINIMLIZÁLÁS F(,,,,E) = Σ 5 (2,6,8,0,2,,7,9, 2,23,26,27,30,3) 39 0 PÉL: ÖT-VÁLTOZÓS MINIMLIZÁLÁS F(,,,,E) = Σ 5 (2,6,8,0,2,,7,9, 2,23,26,27,30,3) PÉL: HTVÁLTOZÓS MINIMLIZÁLÁS F(,,,,E,F) = Σ 6 (0,2,6,9,,8,2,23,25,27,32,3,,9,53,55,57,6,62) _ E E E 2 7
206.0.08. PÉL: HTVÁLTOZÓS MINIMLIZÁLÁS TERVEZÉSI GYKORLT. Tervezzen bemenetű (), kimenetű (F) kombinációs hálózatot, amelynek F kimenete, ha a bemenetre adott bináris számok (legmagasabb helyérték ) maradék nélkül oszthatók 3-mal vagy -el. Rajzolja fel a Karnaugh tábláját, és az elvi logikai rajzot. 3 TERVEZÉS (): MEGOLÁS (ÉS-VGY) TERVEZÉS (): MEGOLÁS (ÉS-VGY) 3-al osztható: 0,3,6,9,2,5 -el osztható: 0,,8,2 megvalósítandó logikai függvény F = Σ(0,3,,6,8,9,2,5) z egyszerűsített alak F = + + + + (Esetleg OR logika?) 5 6 TERVEZÉSI PÉL (): MEGOLÁS z elvi logikai rajz: db két-bemenetű ÉS 2 db három-bemenetű ÉS 2 db négy-bemenetű ÉS db 5 bemenetű VGY kapu. minimalizált hálózatban 2 kapubement van. Realizálás: / 700 (x2 bemenetű NN) 2 720 (2x bemenetű NN) 730 (x8 bemenetű NN) teljes diszjunktív kanonikus alak realizálása 8x + x8 = 0 kapubementet igényelne. 7 TERVEZÉS (): MEGOLÁS (VGY-ÉS) + + stb., hat hasonló szerkezetű tényező 8 8
206.0.08. TERVEZÉS (): MEGOLÁS (VGY-ÉS) z elvi logikai rajz (VGY-ÉS): 6 db három-bemenetű VGY kaput és db 6 bemenetű ÉS kaput tartalmaz. minimalizált hálózatban 2 kapubemenet van. teljes konjunktív kanonikus alak realizálása 8x + x8 = 0 kapubementet igényelne. TERVEZÉSI GYKORLT (2) Rajzolja fel az F Karnaugh tábláját és az elvi logikai rajzot, ha a bemenetre csak binárisan kódolt decimális számok ( 8--2- súlyozás) érkezhetnek, melyek maradék nélkül oszthatók 3-mal vagy -el. Egy gyakori eset a nem teljesen határozott logikai függvények alkalmazására, amikor binárisan kódolt decimális () számokkal kell valamilyen műveletet, kódolást, dekódolást, stb. elvégezni. kód, és a vele rokon kódok (pl. a 3 többletes kód) a lehetséges 6 négy-bites kódszóból csak tízet használ. 9 50 TERVEZÉS (2): MEGOLÁS TERVEZÉSI PÉL (2): MEGOLÁS 3-al osztható: 0,3,6,9 (2,5 kizárva!) -el osztható: 0,,8 (2 kizárva!) minimalizált függvény F = + + + megvalósítandó logikai függvény F = Σ((0,3,,6,8,9) +(0-5)) 5 52 TERVEZÉSI GYKORLT (3) Egy kombinációs hálózat bemenetei,,,, kimenetei, Y, Z. bemenetet mint 2 db 2 bites számot értelmezve (, a magasabb helyérték), illetve (, a magasabb helyérték), a kimenet legyen a két bemenet összege, (YZ, a legmagasabb helyérték), YZ = +. Pl. 0 = + 0 (bináris összeadás). dja meg a hálózat igazságtábláját. dja meg a hálózat kimenetenként legegyszerűbb logikai függvényeit algebrai alakban. 53 9