Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke egy adott µ 0 számmal egyelő. Nullhipotézis: H 0 : µ µ 0 Lehetséges ellehipotézisek (alteratív hipotézisek): H : µ µ 0 kétoldali ellehipotézis H : µ < µ 0, H : µ > µ 0, H : µ µ egyoldali ellehipotézisek
u-próba elemű mitát veszük egy N(µ,σ)-eloszlású (ormális eloszlású µ várható értékkel és σ szórással) sokaságból, és σ (azaz a szórás) ismert, µ (a várható érték) em. Az egész sokaság (pld. tömeg, méret stb.) várható értékére szabváyelőírás, hogy az egy bizoyos adott érték legye: µ µ 0 (tehát µ 0 lesz a szabváy által előírt érték). x (az átlag mellyel a sokaság várható értékét becsüljük a mita alapjá) em lesz potosa µ 0, haem akörül igadozik. A próbával eldöthetjük, hogy milye mértékű igadozást tekithetük véletleek. u-próba Ha a H 0 ullhipotézis teljesül, akkor az x µ u 0 σ véletle változó stadard ormál eloszlású lesz, ahol a mérések számát jeleti, a tört evezőjébe tehát az átlag szórása található.
3 u-próba A stadard ormál eloszlás sűrűség- és eloszlásfüggvéyei: ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0, ) ( b b b b d z e x e x e x f x z x x Φ Φ Φ ϕ ϕ π π ϕ σ µ π σ σ µ u-próba A Φ(x) stadard ormál eloszlásfüggvéy értékeit, a köyebb kezelhetőség miatt, táblázatba foglalták. Φ(x) tehát azt a valószíűséget jeleti, amellyel a vizsgált valószíűségi változó (amely stadard ormál eloszlású) értéke em lesz agyobb x-él (kisebb vagy legfeljebb egyelő lesz vele).
u-próba Az ábrá a Φ(x) eloszlásfüggvéy grafikoja és az x,6 értékhez tartozó függvéyérték (0,945) látható. Φ (u) 0,945 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, u 0-4 -3 - - 0,6 3 4 u-próba Az ábra azt illusztrálja, hogy a ϕ(x) sűrűségfüggvéy - és,6 közötti itegrálja (görbe alatti területe) lesz egyelő Φ (,6)-del, vagyis 0,945-del. ϕ(u) 0,4 0,35 Φ(,6) 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0,05 0-4 -3 - - 0,6 3 4 u 4
u-próba (kétoldali hipotézis) Ha a ullhipotézis igaz, úgy az u agy valószíűséggel ( -α) a ( x 0 σ µ ) ú. elfogadási tartomáyba esik, és csak kis valószíűséggel ( α) esik kívülre. Tehát a H 0 : µ µ 0 feltevést elfogadjuk (-α) 00% biztosági szite, ha x u u u > u ( µ ) 0 u σ α tablazatbeli tablazatbeli [ u, u α α ] és elvetjük, ha u-próba (kétoldali hipotézis) u tablazatbeli értékét úgy határozzuk meg, hogy a α táblázatból a Φ( u) valószíűséghez kikeressük u értékét. 5
u-próba Legye a szigifikacia szit 5%, azaz α 0,05. α 0,05 Φ( u) 0,975 A táblázatból u értéke,96. 6
u-próba (egyoldali hipotézis) Az előzőekbe kétoldali próbát végeztük, azaz az alteratív hipotézis H : µ µ 0 volt. Egyoldali próba eseté az alteratív hipotézis pl. H : µ > µ 0 lehet. Ez azt jeleti, hogy vagy elfogadjuk a H 0 : µ µ 0 ullhipotézist, vagy elvetjük azt és a H : µ > µ 0 alteratív hipotézist fogadjuk el. Ha µ valamilye egészségügyileg káros kompoes (NO x, CO, CO, szálló por, polle, stb.) kocetrációját jeleti és µ 0 az egészségügyi határérték, yilvá az a jó, ha a H 0 ullhipotézist el tudjuk fogadi. u-próba (egyoldali hipotézis) A H 0 : µ µ 0 feltevést elfogadjuk (-α). 00% biztosági szite, ha ( x µ 0) u u u σ α tablazatbeli és elvetjük, ha u > utablazatbeli u tablazatbeli értékét úgy határozzuk meg, hogy a táblázatból a valószíűséghez kikeressük u értékét. Egy korábbi ábra adatai alapjá, ha u értéke em agyobb, mit,6 ( u tablazatbeli 94,5%-os biztosági szite), akkor elfogadjuk a H 0 ullhipotézist, és ezzel együtt azt is, hogy a mért µ kocetráció érték az egészségügyileg meghatározott µ 0 kocetráció alatt va. 7
Kétmitás u-próba Egy kompoes kocetrációjáak meghatározását két függetle aalitikai módszerrel végeztük el (pl. klasszikus titrálással és egy műszeres módszerrel). Az első méréssorozat úgy tekithető, hogy egy elemű mitát veszük egy N(µ,σ )-eloszlású (ormális eloszlású µ várható értékkel és σ szórással) sokaságból, a második méréssorozat úgy tekithető, hogy egy elemű mitát veszük egy N(µ,σ )-eloszlású (ormális eloszlású µ várható értékkel és σ szórással) sokaságból, és σ, σ (azaz a szórások) ismertek, a µ, µ (a várható értékek) em. A kérdés az, hogy a két méréssorozat átlagaiak alapjá a két módszer által szolgáltatott kocetráció becslések azoosak tekithetők-e, vagy az egyik módszerrel csak szisztematikus hibával tuduk méri. (A feladat megfogalmazható azoos aalitikai módszerrel mérő két laboratórium méréseiek összehasolítására is.) Kétmitás u-próba A próbával eldöthetjük, hogy milye mértékű igadozást tekithetük véletleek. H 0 : µ µ H : µ µ 8
Kétmitás u-próba Ha a H 0 ullhipotézis teljesül, akkor az u véletle változó stadard ormál eloszlású lesz, ahol és a mérések számát jeleti. Ha a ullhipotézis igaz, úgy az u agy valószíűséggel ( -α) a [ u α, u α ] ú. elfogadási tartomáyba esik, és csak kis valószíűséggel ( α) esik kívülre. x x σ σ + Kétmitás u-próba Tehát a H 0 : µ µ 0 feltevést elfogadjuk (-α) 00% biztosági szite, ha x x u u u α tablazatbeli σ σ + és elvetjük, ha u > u tablazatbeli 9
Kétmitás u-próba u tablazatbeli értékét úgy határozzuk meg, hogy α a táblázatból a Φ( u) valószíűséghez kikeressük u értékét. Studet-féle egymitás t-próba Normál eloszlású változóra csak akkor alkalmazható az u-próba, ha az elméleti szórás ismert. A gyakorlatba ikább csak az korrigált szóráségyzetet ismerjük. Ilyekor az N(µ,σ)-eloszlású adatokkal a H 0 : µ µ 0 hipotézis elleőrzésére a x µ próbastatisztikát képezzük. s i t ( x x) i 0 s 0
Studet-féle egymitás t-próba Kimutatható, hogy ez a változó - szabadságfokú, Studet-féle t-eloszlású. Ha a ullhipotézis igaz, úgy a t agy valószíűséggel ( -α) a [ t α, t α ] ú. elfogadási tartomáyba esik, és csak kis valószíűséggel ( α) esik kívülre. Tehát a H 0 : µ µ 0 feltevést elfogadjuk (-α). 00% biztosági szite, ha x µ 0 t t és elvetjük, ha t > t tablazatbeli s α t tablazatbeli Studet-féle egymitás t-próba t tablazatbeli értékét úgy határozzuk meg, hogy a táblázatból a v- szabadsági fok mellett α szigifikacia szithez kikeressük t értékét. A kiadott táblázatot úgy szerkesztették, hogy az oszlopok fejlécébe az α szigifikacia szitet tütették fel kétoldali próba esetére. Egyoldali próba eseté a táblázat fejlécébe található szigifikacia szit értéket el kell osztai -vel, akkor kapjuk meg a helyes értéket.
F-próba Két függetle, ormál eloszlású változó tapasztalati szórása kissé eltér. Feltehető-e, hogy az egész sokaságba megegyezik a két elméleti szórás, σ σ. E próbával eldöthetjük, hogy két aalitikai módszer, két műszer, két laboratórium reprodukálhatósága (a mérési eredméyekbe a véletle hiba által okozott igadozása) azoos-e. F-próba Osszuk el a agyobbik korrigált tapasztalati szóráségyzetet a kisebbel! Az így kapott s F s változó bizoyíthatóa ( -),( -) szabadságfokú F-eloszlású, ha a H 0 : σ σ ullhipotézis teljesül. 3
F-próba Tehát a H 0 : σ σ feltevést elfogadjuk (-α). 00% biztosági szite, ha F s s F s F és elvetjük, ha F > F tablazatbeli. s α tablazatbeli 4
Studet-féle kétmitás t-próba Ha az előbbi F-próbával már igazoltuk, hogy σ σ, akkor vizsgálhatjuk azt is, hogy a két ormál eloszlású sokaság várható értékei is azoosak-e. Azaz eldöthetjük, hogy két módszer, két műszer, két laboratórium által kapott mérési eredméyek azoosak-e, ha már bizoyítottuk, hogy reprodukálhatóság azoos. A várható értékek egyezésére, a H 0 : µ µ ullhipotézis igazolására feltéve, hogy σ σ, a következő próbát tehetjük. 5
Studet-féle kétmitás t-próba Kiszámítjuk a t változó értékét, majd a H 0 : µ µ feltevést elfogadjuk (-α). 00% biztosági szite, ha és elvetjük, ha x x ( ) s + ( ) s + + t t α t tablazatbeli t > t tablazatbeli Studet-féle kétmitás t-próba t tablazatbeli értékét úgy határozzuk meg, hogy a táblázatból az ν + - szabadsági fok mellett α szigifikacia szithez kikeressük t értékét. 6
7