Matematikai statisztika feladatsor

Matematikai statisztika feladatsor Nagy-György Judit A feladatsor Bolla Marianna és Krámli András Statisztikai következtetések elmélete cím könyvének [1] elméletére épül, a fejezetek számozása és a jelölések is ennek megfelel ek. Tartalomjegyzék 1. El ismeretek 2 2. Statisztikai alapfogalmak 7 3. Becsléselmélet 12 4. Hipotézisvizsgálat 21 5. Többváltozós módszerek 27 6. Lineáris módszerek 33 1

1. El ismeretek 1. Tekintsük A 1,..., A n mátrixokat, ahol A i m i m i+1 -es i = 1,..., n 1 esetén és A n m n m 1 -es mátrix. Igazoljuk, hogy tr(a 1... A n ) = tr(a n A 1... A n 1 )! 2. Legyen A egy n n-es szimmetrikus mátrix λ 1,..., λ n sajátértékekkel. Mutassuk meg, hogy tr(a) = λ 1 +... + λ n. 3. Legyen R egy d d-s mátrix, amely f diagonálisának minden eleme 1, minden más eleme r. (a) Adjuk meg R spektrálfelbontását! (b) Adjunk szükséges és elégséges feltételt r-re, hogy R pozitív denit legyen! 4. Igazoljuk, hogy ha A egy pozitív denit mátrix, akkor egyértelm en létezik egy V alsó trianguláris mátrix, amelyre A = VV (Cholesky felbontás). 5. Bizonyítsuk be, hogy az unitér mátrixok sajátértékei a komplex egységkörön helyezkednek el! 6. Mutassuk meg, hogy ha egy mátrix sajátértékei különböz ek, akkor sajátvektorai lineárisan függetlenek! 7. Két személy megbeszéli, hogy 3 óra után találkoznak. Érkezésük független, (a) 3 és 4 óra között egyenletes eloszlást követ. (b) 4 paraméter exponenciális eloszlást követ (órában mérve). Adjuk meg a korábban érkez érkezési idejének s r ségfüggvényét! Adjuk meg a korábban érkez várakozási idejének s r ségfüggvényét is! Adjuk meg a kés bb érkez Y várakozási idejének "abszolút", és a korábban érkez érkezési idejere vett feltételes s r ségfüggvényét is! 8. Számítsuk ki a λ paraméter Poisson eloszlás els négy momentumát! 9. Legyen X egy (n, p) paraméter negatív binomiális eloszlású valószín ségi változó. Számítsuk ki E( 1 ) várható értéket! X 1

1. ELŽISMERETEK 3 10. Számoljuk ki az n-edrend λ paraméter Gamma eloszlás k-adik momentumát, ahol k < n. 11. Igazoljuk, hogy (a) a Poisson eloszlás (b) a Gamma eloszlás korlátlanul osztható! 12. Legyenek X, Y független, azonos eloszlású, véges várható érték valószín ségi változók. Határozzuk meg E(X + Y X) és E(X X + Y ) feltételes várható értékeket! 13. Legyen X és Y két független, 1/2 paraméter Bernoulli-eloszlású valószín ségi változó. Adjuk meg E(X X +Y ) által generált σ-algebrát és E(X X + Y ) eloszlását! 14. Legyen X nemnegatív valószín ségi változó. (a) Határozzuk meg E(X 2 X)-et! (b) Határozzuk meg E( 1 X X)-et! 15. Legyen X a [ 1, 1] intervallumon egyenletes eloszlású valószín ségi változó. Határozzuk meg E(X X 2 )-t! 16. Legyenek X 1, X 2 a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlású független valószín ségi változók, továbbá Y := min{x 1, X 2 }, valamint Z := max{x 1, X 2 }. Határozzuk meg (a) E(Y Z), (b) E(Z Y ), (c) E(X 1 Z) feltételes várható értékeket! 17. Legyenek X, Y N (0, 1) független valószín ségi változók, továbbá a, b, c R. (a) Milyen eloszlású ax + by + c? (b) Adjuk meg X s r ségfüggvényét! (c) Határozzuk meg X 2 s r ségfüggvényét! Milyen eloszlást követ X 2? (d) Milyen eloszlású X 2 + Y 2? 18. Legyenek X, Y exp(λ) független valószín ségi változók. (a) Milyen eloszlású X + Y? (b) Adjuk meg X Y s r ségfüggvényét!

1. ELŽISMERETEK 4 19. * Legyenek N, X 1, X 2... független valószín ségi változók, ahol N egy p paraméter geometriai eloszlású, X 1, X 2,... pedig λ paraméter exponenciális eloszlásúak. Bizonyítsuk be, hogy N i=1 X i is exponenciális eloszlású! 20. Mi a kapcsolat az alábbi eloszláscsaládok között? (a) Bernoulli, binomiális és Poisson; (b) geometriai és negatív binomiális; (c) exponenciális, χ 2 és Gamma; (d) Student és Cauchy. 21. Legyen X egy (α, λ), Y pedig (β, λ) paraméter Gamma eloszlású, egymástól független valószín ségi változó. Igazoljuk, hogy X/Y egy (α, β) paraméter másodfajú Béta eloszlású valószín ségi változó, amely s r ségfüggvénye f(x) = Γ(α + β) Γ(α)Γ(β) x α 1 (x + 1). α+β 22. Legyen X egy (α, β) paraméter másodfajú Béta eloszlású valószín ségi változó. Igazoljuk, hogy (a) 1 valószín ségi változó (β, α) paraméter másodfajú Béta eloszlású! X (b) X 1+X (c) 1 1+X valószín ségi változó (α, β) paraméter Béta eloszlású! valószín ségi változó (β, α) paraméter Béta eloszlású! 23. Legyen X 1,..., X n, X n+1,..., X n+m exp(λ) fae valószín ségi változók. (a) Milyen eloszlású n i=1 X i? (b) Igazoljuk, hogy Z = n i=1 X i n+m i=n+1 X i statisztika (n, m) paraméter másodfajú Béta eloszlású!

1. ELŽISMERETEK 5 (c) Igazoljuk, hogy n i=1 X i n+m i=1 X = i 1 1 + 1/Z Beta(n, m). 24. Mi a kapcsolat a Student, F és Béta eloszláscsaládok között? 25. Legyenek X 1,..., X n N (0, 1) és Y 1,..., Y m N (0, 1) független változók, továbbá T 2 n := X 2 1 +... + X 2 n és T 2 m := Y 2 1 +... + Y 2 m. (a) Határozzuk meg X 2 1 s r ségfüggvényét! (b) Mutassuk meg, hogy T 2 n statisztika egy n szabadságfokú χ 2 (n) = Gamma(n/2, 1/2) eloszlású valószín ségi változó. (c) Bizonyítsuk be, hogy statisztika Student eloszlású! (d) Bizonyítsuk be, hogy Z n := Y 1 T 2 n /n Z n,m := mt n 2 ntm 2 statisztika (n, m) szabadságfokú F eloszlású! Az (n, m) szabadságfokú F eloszlás s r ségfüggvénye: f n,m (z) = nγ ( ) n+m 2 mγ ( ) ( n 2 Γ m ) 2 ( n z) n 2 1 m ( n+m. 1 + n 2 z) m 26. Legyen X 1,..., X n+m független standard normális eloszlású változók. Bizonyítsuk be, hogy n i=1 Z n,m := X2 i n+m i=1 X2 i statisztika (n/2, m/2) paraméter béta eloszlású! 27. (a) Adjuk meg X n határeloszlását (n ), ha X n egy n szabadságfokú Stundent eloszlású valószín ségi változó, amely s r ségfüggvénye g n (x) = Γ ( ) n+1 ) n+1 2 ( πn Γ n ) (1 + x2 2, (x > 0). n 2

1. ELŽISMERETEK 6 (b) Adjuk meg Xn n n határeloszlását (n ), ha X n egy n szabadságfokú χ 2 eloszlású valószín ségi változó, amely s r ségfüggvénye f n (x) = x n 2 1 e x 2, (x > 0). 2 n 2 Γ( n ) 2 28. * Legyen X 1,..., X n N (0, 1) fae változók, továbbá T := X 2 1 +... + X 2 n. (a) Legyen Z 1 := X 1 /T. Bizonyítsuk be, hogy Z 2 1 és T 2 is függetlenek! (b) Legyen Z := X/T. Bizonyítsuk be, hogy Z és T 2 is függetlenek! 29. Legyenek X 1,..., X n χ 2 (m) fae változók. Milyen eloszlású X 1 +...+ X n?

2. Statisztikai alapfogalmak 1. Az 1. táblázat néhány diák testsúlyát és magasságát tartalmazza. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. testsúly (kg) 90 45 70 45 40 54 60 53 53 58 56 78 magasság (cm) 175 160 180 160 157 165 168 161 157 175 158 187 1. táblázat. (a) Adjuk meg a testsúly empirikus eloszlásfüggvényét! (b) Adjuk meg a testsúly tapasztalati mediáját! (c) Határozzuk meg a testsúly empirikus várható értékét, empirikus szórását és korrigált empirikus szórását! (d) Határozzuk meg a testsúly és testmagasság empirikus kovarianciáját! (e) Adjuk meg az empirikus korrelációt! Jellemezzük a kapcsolat szorosságát! 2. Igazoljuk, hogy a tapasztalati korreláció 1 és 1 közé esik. Mikor teljesül valamelyik egyenl ség? 3. Legyen X 1,..., X n független, p paraméter Bernoulli eloszlásból vett statisztikai minta. (a) Milyen eloszlású n i=1 X i? (b) Adjuk meg a k-adik empirikus (tapasztalati) momentum eloszlását! (c) Adjuk meg a második empirikus (tapasztalati) centrális momentum eloszlását! 4. Legyen X 1,..., X n független, λ 1,..., λ n paraméter Poisson eloszlásból vett minta. (a) Milyen eloszlású n i=1 X i? (b) Adjuk meg X eloszlását!

2. STATISZTIKAI ALAPFOGALMAK 8 5. Legyen X 1,..., X n N (µ, σ 2 ) független minta. Milyen eloszlású X? (Adjuk meg a várható értéket és a szórásnégyzetet is!) 6. Legyen X 1,..., X n U( 1, 1) független minta. Aszimptotikusan milyen eloszlású n X? 7. Legyen X 1,..., X n független minta f(x) = 1 2 e 2 x s r ségfüggvénnyel. Aszimptotikusan milyen eloszlású n X? 8. Legyen X 1,..., X n független, λ paraméter exponenciális eloszlásból vett minta. Milyen eloszlású X? 9. Legyen X 1,..., X n+1 független, λ paraméter exponenciális eloszlásból vett minta, továbbá Y k := X 1 +... + X k, ahol k = 1,..., n + 1. (a) Bizonyítsuk be, hogy az Y 1,..., Y n valószín ségi változók együttes eloszlása amellett a feltétel mellett, hogy Y n+1 = θ, éppen a [0, θ] intervallumon egyenletes eloszlás rendezett mintájának az eloszlása. (b) Bizonyítsuk be, hogy az Y k /Y n+1 eloszlása éppen a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlás k-adik rendezett mintaelemének az eloszlása. (c) Bizonyítsuk be, hogy az Y 1 /Y n+1,..., Y n /Y n+1 valószín ségi változók együttes eloszlása éppen a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlás rendezett mintájának az együttes eloszlása. 10. Legyen X 1 <... < X n a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlásból vett rendezett minta. (a) Igazoljuk, hogy X 1,..., X n nem függetlenek! (b) Igazoljuk, hogy 1 X n,..., 1 X 1 szintén a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlásból vett rendezett minta! (c) Milyen eloszlású Xk+1 X k, ahol 1 k < n? 11. Legyen X 1,..., X n független, az [a, b] intervallumon egyenletes eloszlásból vett minta, X 1 <... < X n pedig a bel le gyártott rendezett minta. Adjuk meg X k eloszlás- és s r ségfüggvényét, valamint várható értékét! 12. Legyen X 1,..., X n független minta az F (x) = x (0 < x < 1) eloszlásfüggvénnyel. Adjuk meg X k s r ségfüggvényét!

2. STATISZTIKAI ALAPFOGALMAK 9 13. Legyen X1 <... < Xn a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlásból vett rendezett minta, és Y1 <... < Yn az el z t l független, szintén a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlásból vett rendezett minta. Adjuk meg Xk Y k s r ségfüggvényét (1 k n)! 14. Legyen X 1,..., X n a λ paraméter exponenciális eloszlásból vett rendezett minta. (a) Adjuk meg a k-adik (1 k n) mintaelem eloszlás- és s r ségfüggvényét! (b) Milyen eloszlású Xk+1 X k, ahol 1 k < n? 15. Legyen X 1,..., X n független, a (θ 1, θ + 1 ) intervallumon egyenletes 2 2 eloszlású minta. Legyen T (X) = X 1 + Xn. 2 Határozzuk meg T (X) eloszlásfüggvényét! 16. Igazoljuk, hogy ha n > 1, akkor T (X) = X 1 semmilyen paraméterre sem elégséges! 17. Igazoljuk, hogy a rendezett minta minden paraméterre elégséges statisztika! 18. Elégséges statisztika-e θ paraméterre L θ (X) (ahol L θ a likelihood-függvény)? 19. Legyenek X 1,..., X n független, λ paraméter Poisson eloszlású valószín ségi változók. (a) Igazoljuk, hogy X elégséges statisztika a λ paraméterre! (b) Adjunk a λ paraméterre a fentit l különböz elégséges statisztikát! 20. Legyen X 1,..., X n független, λ paraméter exponenciális eloszlásból vett statisztikai minta. (a) Igazoljuk, hogy n i=1 X i elégséges statisztika a λ paraméterre! (b) Adjunk a λ paraméterre a fentit l különböz elégséges statisztikát! 21. Legyen X 1,..., X n független, p paraméter geometriai eloszlásból vett minta. Adjunk p paraméterre elégséges statisztikát!

2. STATISZTIKAI ALAPFOGALMAK 10 22. Legyen X 1,..., X n független, (5, p) paraméter binomiális eloszlásból vett minta. Adjunk p paraméterre elégséges statisztikát! 23. X 1,..., X n független, (3, p) paraméter negatív binomiális eloszlásból vett minta. Adjunk az p paraméterre elégséges statisztikát! 24. X 1,..., X n független, θ = (r, p) paraméter negatív binomiális eloszlásból vett minta. A θ paraméterre elégséges statisztika-e a mintaátlag? 25. Legyen X 1,..., X n független, (2, λ) paraméter Gamma eloszlásból vett statisztikai minta. Adjunk λ paraméterre elégséges statisztikát! 26. Legyen X 1,..., X n független, (α, 2) paraméter Gamma eloszlásból vett statisztikai minta. Adjunk α paraméterre elégséges statisztikát! 27. Legyen X 1,..., X n független, θ = (α, λ) paraméter Gamma eloszlásból vett statisztikai minta. Adjunk θ paraméterre elégséges statisztikát! 28. Legyen X 1,..., X n független N (µ, 1) eloszlásból vett minta. Adjunk µ-re elégséges statisztikát! 29. Legyen X 1,..., X n független, m szabadságfokú χ 2 eloszlásból vett statisztikai minta. Adjunk m-re elégséges statisztikát! 30. Legyen X 1,..., X n független, θ = (a, b) paraméter Béta eloszlásból vett statisztikai minta. Adjunk θ paraméterre elégséges statisztikát! 31. Legyen X 1,..., X n független N (0, σ 2 ) eloszlásból vett minta. Adjunk σ 2 -re elégséges statisztikát! 32. Legyen X 1,..., X n független N (µ, σ 2 ) eloszlásból vett minta. Adjunk (µ, σ 2 ) paraméterre elégséges statisztikát! 33. Legyen X 1,..., X n független, azonos eloszlásból vett minta az f θ (x) = θx θ 1 (0 < x < 1) s r ségfüggvénnyel. Adjunk a θ-ra elégséges statisztikát! 34. Legyen X 1,..., X n független, azonos eloszlású minta az f α (x) = 2αx(1 x 2 ) α 1 (0 < x < 1) s r ségfüggvénnyel. Adjunk a α-ra elégséges statisztikát! 35. Legyenek X 1,..., X n független, a [0, θ] intervallumon egyenletes eloszlásból vett minta! Igazoljuk, hogy X n a θ paraméterre elégséges statisztika!

2. STATISZTIKAI ALAPFOGALMAK 11 36. Legyenek X 1,..., X n független, a [ α, α] intervallumon egyenletes eloszlásból vett minta! Adjunk a α-ra elégséges statisztikát!

3. Becsléselmélet 1. Tekintsünk egy 0 várható érték 1 szórásnégyzet eloszlást. Hány mintaelem kell a várható érték becsléséhez, hogy P( X > 0,1) < 0,1 legyen, ha (a) a Csebisev egyenl tlenséget alkalmazzuk? (b) a centrális határeloszlástételt alkalmazzuk? 2. Tegyük fel, hogy T statisztika torzítatlan becslése θ paraméternek. Tekintsünk egy tetsz leges S statisztikát. Igaz-e, hogy E(T S) is torzítatlan becslése θ-nak? 3. Legyen X valószín ségi változó, amelynek létezik a szórása. (a) Tegyük fel, hogy ismert az E(X) = θ várható érték. Igazoljuk, hogy S 2 1 = 1 n n i=1 (X i θ) torzítatlan becslése a szórásnégyzetnek! Mit mondhatunk a konzisztenciáról? (b) Az (a) pont segítségével igazoljuk, hogy S 2 n = 1 n n i=1 (X i X) empirikus szórásnégyzet nem torzítatlan becslése a szórásnégyzetnek! Készítsünk segítségével torzítatlan becslést! 4. Legyen X 1,..., X n független, p paraméter geometriai eloszlású minta, továbbá legyen Y = X 1 +... + X n. Torzítatlan becslése-e p-nek n 1 Y 1? 5. Legyen X 1,..., X n független, a [θ + 1, θ 1 ] intervallumon egyenletes 2 2 eloszlású minta. (a) X torzítatlan becslése-e θ-nak? Ha nem, készítsünk segítségével torzítatlan becslést! (b) Xn 1 torzítatlan becslése-e θ-nak? Ha nem, készítsünk segítségével torzítatlan 2 becslést! (c) Igazoljuk, hogy X és Xn 1 is (gyengén illetve er sen is) konzisztens 2 becslései θ-nak! 6. Legyen X 1,..., X n független, a [0, θ] intervallumon egyenletes eloszlású minta. (a) Igazoljuk, hogy 2X torzítatlan becslés θ-ra!

3. BECSLÉSELMÉLET 13 (b) Mivel a θ/2-re szimmetrikus az eloszlásunk, a medián egybeesik a várható értékkel. Tegyük fel, hogy n páratlan, és készítsünk a tapasztalati medián segítségébel torzítatlan becslést θ-ra! (c) X 1 torzítatlan becslése-e θ-nak? Ha nem, készítsünk segítségével torzítatlan becslést! (d) X 1 torzítatlan becslése-e θ-nak? Ha nem, készítsünk segítségével torzítatlan becslést! (e) X n torzítatlan becslése-e θ-nak? Ha nem, készítsünk segítségével torzítatlan becslést! (f) A fenti becslések közül melyik konzisztens? (g) Számítsuk ki és hasonlítsuk össze a fenti torzítatlan becslések szórásnégyzetét! Melyik a leghatásosabb? (h) Teljesül-e az I n (θ) = ni 1 (θ) összefüggés? Teljesül-e minden esetben a Cramér-Rao egyenl tlenség? (i) Igazoljuk, hogy X n elégséges statisztika θ-ra. Segítségével blackwellizáljuk a fenti torzítatlan becsléseket! 7. Legyen X 1,..., X n független, a [ θ, θ] intervallumon egyenletes eloszlású minta. (a) Adjunk θ-ra torzítatlan becslést a rendezett minta segítségével! (b) Adjunk θ-ra torzítatlan becslést X segítségével! (c) Konzisztensek-e a fenti becslések? 8. Legyenek X 1, X 2, X 3 rendre N (µ, 1), N (µ, 4), N (µ, 1/4) eloszlású független mintaelemek. (a) Milyen a, b, c értékekre lesz ax 1 + bx 2 + cx 3 torzítatlan becslése µ-nek? (b) Milyen a, b, c választással kapjuk meg a leghatásosabb becslést a torzítatlanok közül? 9. Tekintsük az X 1,..., X n független, p paraméter Bernoulli eloszlású mintát és számítsuk ki a Fisher-információját! Tekintsük az Y 1,..., Y n független mintát is, amely háttérváltozója p valószín séggel 1, 1 p valószín séggel 1 értéket vesz fel. Számítsuk ki ennek is a Fisherinformációját és vessük össze az el bb meghatározott információval!

3. BECSLÉSELMÉLET 14 10. Legyen X 1,..., X n független, p paraméter Bernoulli eloszlású minta. (a) Számítsuk ki D 2 p(x)-ot is! Mit mondhatunk a CramérRao-egyenl tlenség alapján? (b) Szeretnénk p-re torzítatlan becslést adni. Mekkora legyen n, ha azt szeretnénk, hogy becslésünk szórása ne haladja meg 0,03-at p bármely értéke esetén sem? (c) Adjunk p-re er sen konzisztens becslést! (d) Adjunk X 1 és X 2 függvényeként T torzítatlan becslést p(1 p)-re! Adjunk elégséges statisztikát p-re, majd adjunk a Rao-Balckwell- Kolmogorov tétel segítségével legalább olyan hatásos becslést p(1 p)-re, mint T! 11. Legyen X 1,..., X n egy λ, Y 1,..., Y n pedig 4λ paraméter Poisson eloszlásból vett független minta. Milyen a és b értékekre lesz ax +by torzítatlan becslése λ-nak? Melyik a és b választással kapjuk ezek közül a leghatásosabb becslést? 12. Legyen X 1,..., X n független, λ paraméter exponenciális eloszlású minta. (a) Számoljuk ki a minta Fisher-információját! (b) 1/X nem torzítatlan becslése a λ paraméternek. Készítsünk segítségével ˆη torzítatlan becslést és számoljuk ki ˆη szórásnégyzetét! (c) Az X elégséges statisztika segítségével blackwellizáljuk a fenti torzítatlan becslést! (Ismert, hogy az így kapott becslés hatásos becslése λ-nak. Ellentmond-e ez a CramérRao egyenl tlenségnek?) (d) 1/X konzisztens becslése-e λ paraméternek? (e) Mutassuk meg, hogy 1 n n i=1 I(X i 1) torzítatlan és konzisztens becslése e λ -nak, de nem éri el az e λ -ra vonatkozó információs határt! 13. Legyen X 1,..., X n független, (2, λ) paraméter Gamma eloszlású minta. (a) Torzítatlan becslése-e X 1 statisztika a 1/λ-nak? Ha nem, készítsünk segítségével torzítatlan becslést! (b) Torzítatlan becslése-e 1/X 1 statisztika a λ paraméternek? Ha nem, készítsünk segítségével torzítatlan becslést!

3. BECSLÉSELMÉLET 15 (c) Torzítatlan becslése-e 1/X statisztika a λ paraméternek? Ha nem, készítsünk segítségével torzítatlan becslést! (d) Igazoljuk, hogy n i=1 X i elégséges statisztika a λ paraméterre! Segítségével blackwellizáljuk a fenti torzítatlan becsléseket! 14. Legyen X 1,..., X n N (µ, 1) független minta. (a) Igazoljuk, hogy X 1 torzítatlan, de nem konzisztens becslése µ-nek! Mit mondhatunk a CramérRao-egyenl tlenség alapján? (b) Számítsuk ki a minta Fisher-információját! Számítsuk ki D 2 µ(x)- ot is! Igazoljuk, hogy X hatásos becslése µ-nek! (c) Torzítatlan becslése-e µ 2 -nek X 1 X 2? Mennyi a szórásnégyzete? Mondhatunk-e valamit a CramérRao-egyenl tlenség alapján? (d) Torzítatlan becslése-e µ 2 -nek X 2? Ha nem, tegyük azzá, és számítsuk ki a szórásnégyzetét! 15. Legyen X 1,..., X n N (0, σ 2 ) független minta. (a) Igazoljuk, hogy S 2 1 = 1 n n i=1 X2 i hatásos becslése σ 2 -nek! (b) Igazoljuk, hogy a korrigált empirikus szórásnégyzet nem hatásos becslése a σ 2 paraméternek! 16. Válasszunk a {1, 2,..., θ} halmazból egymástól függetlenül találomra n darab számot. Vegyük θ maximum likelihood becslését! Torzítatlan-e? Konzisztens-e? Adjunk becslést a momentumok módszerével is! 17. Legyen X 1,..., X n független, λ paraméter Poisson eloszlású minta. (a) Vegyük λ maximum likelihood becslését! Minden realizáció mellett létezik-e ML becslés? (b) Igazoljuk, hogy a maximum likelihood módszerrel kapott becslés torzítatlan és számítsuk ki a szórásnégyzetét! Mit mondhatunk a CramérRao-egyenl tlenség alapján? (c) Igazoljuk, hogy X 1 is torzítatlan becslése λ-nak! Az X elégséges statisztika (ld. 2. feladatsor 19.(a) feladat) segítségével blackwellizáljuk az X 1 becslést! (d) Torzítatlan becslése-e λ-nak az empirikus szórásnégyzet? Ha nem, tegyük azzá! Hatásos becslést kapunk-e így?

3. BECSLÉSELMÉLET 16 (e) A fenti becslések közül melyik konzisztens? 18. Legyen X 1,..., X n Bin(5, p). (a) Vizsgáljuk meg a maximum likelihood és a momentumok módszerével kapott becslések torzítatlanságát és hatásosságát! (b) Számítsuk ki a minta Fisher-információját! 19. A kékbálnaállomány becslésére a következ módszert alkalmazták: néhány napon át kb. 30 cm hosszú fémhengereket l ttek be a bálnák zsírpárnájába, közvetlenül a b r alá. Feljegyezték, hogy hány bálnát jelöltek meg (M). Ezután felszólították a bálnahalászhajókat, hogy adják meg, hány bálnát fogtak (n), s azok közt hány volt megjelölve (k). Adjunk maximum likelihood becslést a bálnák N számára! 20. Egy céllöv p valószín séggel talál el egy célpontot egy lövésb l. Adjunk maximum-likelihood becslést p-re, ha (a) a céllöv n kísérletb l k találatot ért el! (b) az els találat k-adikra következett be! 21. Adjunk becslést a negatív binomiális eloszlás paramétereire momentumok módszerével! 22. Tekintsünk az [1, Θ] intervallumon egyenletes eloszlásból származó mintát! Adjunk maximum likelihood becslést Θ-ra az x 1,..., x n realizáció segítségével! 23. Legyen X 1,..., X n független, a [0, θ] intervallumon egyenletes eloszlású minta. Adjunk maximum likelihood becslést θ-ra, majd a kapott becslést tegyük torzítatlanná! 24. Tekintsünk az [ Θ, Θ] intervallumon egyenletes eloszlásból származó n elem mintát! Adjunk becslést Θ-ra maximum likelihood elv és momentumok módszere segítségével is! 25. Határozzuk meg egy ismeretlen helyzet 1 hosszúságú intervallum felez pontjának maximum likelihood becslését! Adjunk becslést a momentumok módszerével is!

3. BECSLÉSELMÉLET 17 26. Tekintsünk egy n elem független, λ paraméter exponenciális eloszlású mintát. Az x 1,..., x n realizáció segítségével adjunk maximum likelihood becslést λ-ra! Adjunk becslést a momentumok módszerével is! 27. Egy alkatrész élettartama exponenciális eloszlású η/t paraméterrel, ha t h mérsékleten m ködtetjük. (a) Hogyan függ a várható élettartam a t h mérséklett l? (b) Tegyük fel, hogy n meggyelést különböz t 1, t 2,..., t n h mérsékleten végeztünk és x 1, x 2,..., x n élettartamot gyeltünk meg. Adjunk maximum likelihood becslést η-ra! 28. Legyen X 1,..., X n Gamma(α, λ) független minta. (a) Tegyük fel, hogy α ismert. Adjunk maximum likelihood becslést λ-ra! (b) * Adjunk maximum likelihood becslést a két paraméterre! (A Ψ(x) = d log Γ(x) = Γ (x) digamma függvényt tekinthetjük ismertnek.) dx Γ(x) 29. Tekintsünk egy n elem független, N (µ, σ 2 ) eloszlású mintát. Az x 1,..., x n realizáció segítségével adjunk maximum likelihood becslést θ = (µ, σ 2 )- re! Adjunk becslést a momentumok módszerével is! 30. Legyen f α (x) = { 2α x(1 x 2 ) α 1, ha 0 < x < 1, 0 különben ahol α > 0 ismeretlen paraméter. Tekintsünk egy n elem független mintát közös f α (x) s r ségfüggvénnyel. Az x 1,..., x n realizáció segítségével adjunk maximum likelihood becslést α-ra! 31. Legyen f α (x) = { θx θ 1, ha 0 x 1, 0 különben ahol θ > 0 ismeretlen paraméter. Tekintsünk egy n elem független mintát közös f α (x) s r ségfüggvénnyel. Az x 1,..., x n realizáció segítségével adjunk θ-ra maximum likelihood becslést, illetve adjunk becslést a momentumok módszerével is!

3. BECSLÉSELMÉLET 18 32. Legyen f ϑ (x) = { 2ϑ 2 x 3, ha x ϑ, 0 különben ahol ϑ > 0 ismeretlen paraméter. Tekintsünk egy n elem független mintát közös f ϑ (x) s r ségfüggvénnyel. Az x 1,..., x n realizáció segítségével adjunk maximum likelihood becslést ϑ-ra! 33. Legyen 3x 2, ha η x η, f η (x) = 2η3 0 különben ahol (η > 0) ismeretlen paraméter. Tekintsünk egy n elem független mintát közös f η (x) s r ségfüggvénnyel. Az x 1,..., x n realizáció segítségével adjunk maximum likelihood becslést η-ra!, 34. Tekintsük az p a p, ha x a, f a,p (x) = xp+1 0 különben s r ségfüggvény Pareto-eloszlást, ahol a, p > 0 paraméterek. Az x 1,..., x n realizáció segítségével adjunk maximum likelihood becslést θ = (a, p)- re! Tegyük fel, hogy p > 2. Adjunk becslést θ-ra a momentumok módszerével! 35. Legyen X 1,..., X n független minta az f α,β (x) = αe α(x β) (x β) s r ségfüggvény eloszlásból (α pozitív, β valós). Adjuk becslést (α, β)- ra maximum likelihood módszerrel, illetve momentumok módszerével! 36. Tekintsünk egy kételem független, (µ, 1) paraméter Cauchy eloszlású mintát! A (µ, σ) paraméter Cauchy eloszlás s r ségfüggvénye: f µ,σ (x) = σ π(σ 2 + (x µ) 2 ). (a) Adjunk maximum likelihood becslést µ-re az x 1, x 2 realizáció segítségével! (b) Tudunk-e becslést adni momentumok módszerével? Használjuk ki, hogy 1-nél kisebb momentumok is léteznek!

3. BECSLÉSELMÉLET 19 37. Legyen X 1,..., X n független, [a, b] intervallumon egyenletes eloszlású minta. Adjunk becslést (a, b)-re a momentumok módszerével! Adjunk maximum likelihood becslést is! 38. Legyen X 1,..., X n P oisson(λ) független minta. Legyen Y i = (X i X) 2. Adjunk becslést λ-ra az Y 1,..., Y n minta alapján momentumok módszerével! Számítsuk ki a kapott becslés szórását! 39. Legyen X 1,..., X n N (µ, σ 2 ) független minta. Szerkesszünk 1 ε megbízhatósági szint kondencia intervallumot µ-re ismert és ismeretlen szórás esetén is! Használjuk segítségül µ torzítatlan, konzisztens becslését! Hogyan változik az intervallum hossza a mintaelemszám növelésével? 40. Legyen X 1,..., X n N (µ, σ 2 ) független minta. Adjunk 1 ε megbízhatósági szint kondencia intervallumot σ-ra (a) X µ σ/, (b) ns2 n n σ 2 segítségével! 41. Tekintsük az 1. táblázat adatait. (a) Feltételezzük, hogy a testsúly normális eloszlást követ 15 kg szórással. Adjunk 95%-os kondencia intervallumot a testsúly várható értékére! (b) Feltételezzük, hogy a testmagasság normális eloszlást követ. Adjunk meg egy olyan intervallumot, amely a magasság várható értékét 0,99 valószín séggel tartalmazza! (c) Adjunk egy 95%-os kondencia intervallumot a magasság szórására! (d) Mit mondhatunk, ha nem tesszük fel a testsúlyról és a testmagasságról, hogy normális eloszlásúak? 42. Egy cukorgyárban kockacukrokat gyártanak. Tegyük fel, hogy a cukrok élhossza közelít leg normális eloszlású. Megmérjük 16 cukor élhosszúságát. Az adatok átlaga 10,06 mm, tapasztalati szórása 0,46 mm. Adjunk 95% megbízhatósági szint kondencia intervallumot µ 3 -re (azaz egy átlagos kockacukor térfogatára)! 43. Legyenek X 1,..., X n N (µ 1, σ 2 ) és Y 1,..., Y m N (µ 2, σ 2 ) független minták. Adjunk 1 ε szint kondencia intervallumot µ 1 µ 2 -re X Y segítségével!

3. BECSLÉSELMÉLET 20 44. Legyenek X 1,..., X n N (µ 1, σ 2 1) és Y 1,..., Y m N (µ 2, σ 2 2) független minták. Adjunk 1 ε szint kondencia intervallumot σ 1 /σ 2 -re! 45. Legyen X 1,..., X n független, a [0, θ] intervallumon egyenletes eloszlásból vett minta. Adjunk 1 ε megbízhatósági szint kondencia intervallumot θ-ra (a) X 1 + X 2, (b) X n segítségével! 46. Legyen X 1,..., X n független, λ paraméter Poisson eloszlású minta. Adjunk λ-ra 1 ε megbízhatósági szint kondencia intervallumot (a) n i=1 X i segítségével! (b) a Csebisev-egyenl tlenség felhasználásával! (c) a centrális határeloszlás-tétellel! 47. Legyen X 1,..., X n független, λ paraméter exponenciális eloszlású minta. Adjunk λ-ra 1 ε megbízhatósági szint kondencia intervallumot (a) n i=1 X i segítségével! (b) a Csebisev-egyenl tlenség felhasználásával! (c) a centrális határeloszlás-tétellel! 48. Végezzünk el n-szer egy kísérletet, legyen az A esemény bekövetkezéseinek száma K n. Szerkesszünk 1 ε megbízhatósági szint kondencia intervallumot p = P(A)-ra n = 10 és n = 10000 esetén is! 49. Legyen X 1,..., X n független, a (θ 1/2, θ + 1/2) intervallumon egyenletes eloszlású minta. Adjunk 1 ε megbízhatósági szint kondencia intervallumot θ-ra T (X) = (X 1 + X n)/2 segítségével! Használjuk fel a 2. feladatsor 15. feladatát! 50. Legyen X egy egyelem minta, s r ségfüggvénye e θ x, ha x > θ. Szerkesszünk 1 ε megbízhatósági szint kondencia intervallumot a θ paraméterre X segítségével!

4. Hipotézisvizsgálat 1. Legyen X 1,..., X n N (µ, σ 2 ) független minta. Tekintsük a H 0 : σ = σ 0 és H 1 : σ < σ 0 hipotéziseket, és azt a próbát, amelyre X k = {x : ns 2 n/σ 2 0 > c} (S 2 n = 1 n n i=1 (X i X) 2 az empirikus szórásnégyzet). Torzítatlan-e az adott próba? 2. Legyen X 1,..., X n független, λ paraméter exponenciális eloszlású minta. (a) Konstruáljunk ε terjedelm próbát H 0 : λ = λ 0 és H 1 : λ λ 0 hipotézisekre X 1 segítségével! (b) Konstruáljunk ε terjedelm próbát H 0 : λ = λ 0 és H 1 : λ λ 0 hipotézisekre 1/X alapján! (c) A fenti próbák közül melyik konzisztens? 3. Valódi (θ) selejtarányra szeretnénk min ségellen rzést. Vegyünk egy n = 25 elem független Bernoulli-mintát: X 1,..., X n. Konstruáljunk ε terjedelm (randomizált) próbát a H 0 : θ = θ 0 és H 1 : θ > θ 0 választáshoz! Határozzuk meg a másodfajú hibát! 4. Legyen X 1 egy egyelem, p paraméter geometriai eloszlású minta. (a) A H 0 : p = 0,5 vs. H 1 : p = 0,9 esetén a mekkora a terjedelme annak a véletlenített próbának, amelynek er függvénye 0 k 3 Ψ(X 1 ) = 0,5 k = 2? 1 k = 1 Adjuk meg a mádosfajú hiba valószín ségét is! (b) Konstruáljunk pontosan ε terjedelm (randomizált) próbát a H 0 : p = p 0 és H 1 : p < p 0 választáshoz! Torzítatlan-e a konstruált próba? 5. Legyen X 1,..., X n független, λ paraméter exponenciális eloszlású minta. Konstruáljuk meg a H 0 : λ = λ 0 és H 1 : λ = λ 1 egyszer alternatívához tartozó ε terjedelm leger sebb próbát a Neyman-Pearson alaplemma segítségével!

4. HIPOTÉZISVIZSGÁLAT 22 6. X 1,..., X n N (µ, 1) független minta. Konstruáljuk meg a H 0 : µ = µ 0 és H 1 : µ = µ 1 egyszer alternatívához tartozó ε terjedelm leger sebb próbát a Neyman-Pearson alaplemma segítségével! 7. X 1,..., X n N (0, σ 2 ) független minta. Konstruáljuk meg a H 0 : σ = σ 0 és H 1 : σ = σ 1 egyszer alternatívához tartozó ε terjedelm leger sebb próbát a Neyman-Pearson alaplemma segítségével! 8. 5 elem mintát feltételezve konstruáljuk meg a Bernoulli-eloszlás p paraméterére vonatkozó H 0 : p = 1/2 és H 1 : p = 1/4 egyszer alternatívához tartozó pontosan 0,2 terjedelm, leger sebb próbát! 9. Legyen X 1,..., X n független, p paraméter geometriai eloszlású minta. Konstruáljuk meg a H 0 : p = p 0 és H 1 : p = p 1 egyszer alternatívához tartozó pontosan ε terjedelm, leger sebb próbát! 10. Írjuk fel a likelihood-hányados próba statisztikáját, ahol (a) X geom(p) és H 0 : p = p 0 vs H 1 : p p 0. (b) X P oisson(λ) és H 0 : λ = λ 0 vs H 1 : λ λ 0. (c) X exp(λ) és H 0 : λ = λ 0 vs H 1 : λ λ 0. (d) X U(a, b) és H 0 : b = b 0 vs H 1 : b b 0. (e) Teljesülnek-e a fenti esetekben a regularitási feltételek? 11. Legyen X 1,..., X n N (µ, σ 2 ) független minta, mindkét paraméter ismeretlen (n elegend en nagy). Legyen H 0 : σ = 1 és H 1 : σ 1. Konstruáljunk ezekhez 0,05 terjedelm likelihood-hányados próbát! 12. Legyenek X 1,..., X n N (µ 1, σ 2 ) és Y 1,..., Y m N (µ 2, σ 2 ) független minták. (a) Írjuk fel a H 0 : σ = σ 0 és H 1 : σ σ 0 hipotézisekhez konstruált likelihood-hányados próba statisztikáját! (b) Írjuk fel a H 0 : µ 1 = µ 2 és H 1 : µ 1 µ 2 hipotézisekhez konstruált likelihood-hányados próba statisztikáját, ha σ ismert! (c) Írjuk fel a H 0 : µ 1 = µ 2 és H 1 : µ 1 µ 2 hipotézisekhez konstruált likelihood-hányados próba statisztikáját, ha σ ismeretlen!

4. HIPOTÉZISVIZSGÁLAT 23 13. Az 1. táblázatbeli adatok alapján Teszteljük azt a nullhipotézist, hogy a testsúly várható értéke 45 kg, ha (a) a szórás ismeretlen! (b) a szórás 15 kg! (c) Fel kell-e tennünk a normalitást? 14. Igazoljuk, hogy az ε terjedelm (kétoldali) u-próba pontosan akkor fogadja el a nullhipotézist, ha µ 0 benne van az X segítségével µ-re szerkesztett 1 ε szint kondencia intervallumban! 15. Legyen X 1,..., X n N (µ, σ 2 0) független minta, (σ 0 ismert). Legyen H 0 : µ = µ 0 és H 1 : µ µ 0. Konstruáljunk ezekhez 0,05 terjedelm likelihood-hányados próbát! Vessük össze a kapott próbát az u-próbával (két- és egyoldali változatával is)! 16. Legyen (X 1, Y 1 ),... (X n, Y n ) N (m, C), ahol ( σ m 2 = (µ 1, µ 2 ) és C = 1 0 0 σ2 2 ). Alkalmazzunk önkontrollos vizsgálatot a H 0 : µ 1 = µ 2 vs H 1 : µ 1 µ 2 hipotézisek vizsgálatára ismert szórások esetén, és vessük össze a kapott tesztet a kétmintás u-próba kétoldali változatával! 17. Legyen X 1,..., X n N (µ, σ 2 ) független minta. Tekintsük a t-próba statisztikáját: t(x) = X µ 0 S n/ n és a következ (likelihood-hányados próbához tartozó) statisztikát: ( n j=1 λ n (X) = (X ) j X) 2 n/2 n j=1 (X. j µ 0 ) 2 Igazoljuk, hogy ( ) n/2 1 λ n (X) =. 1 + t2 (X) n 1 Mutassuk meg, hogy ez azt jelenti, hogy a fenti likelihood-próba a t- próba kétoldali változatával ekvivalens!

4. HIPOTÉZISVIZSGÁLAT 24 18. Határozzuk meg az egyoldali u-próba er függvényét! Igazoljuk, hogy a próba torzítatlan és konzisztens is! Hogyan változik a próba ereje, ha (a) ε, (b) θ θ 0, (c) n n? 19. Ha kétdimenziós normális eloszlású mintánk van, ahol a komponensek függetlenek, azonos szórásúak, akkor a komponensek várható értékeinek egyenl ségének tesztelésére a páros és a kétmintás t-próbát is alkalmazhatunk. Írjuk fel a két próba er függvényt! Ha az empirikus kovariancia 0, mondhatjuk-e, hogy a kétmintás t-próba er sebb? 20. Egy, az 1. táblázatbelit l különböz csoportban a diákok magassága rendre 176, 165, 145, 177, 155, 175, 164, 166, 148, 163, 145, 161, 170 cm. Azt a nullhipotézist szeretnénk tesztelni, hogy a két csoport magasságának várható értéke megegyezik. Alkalmazható-e a kétmintás t- próba? Ha igen, alkalmazzuk, ha nem, milyen próbát használhatunk helyette? 21. Egy dobókockával n = 1200-szor dobunk. Az egyes oldalak gyakoriságai: ν 1 = 184, ν 2 = 212, ν 3 = 190, ν 4 = 208, ν 5 = 212, ν 6 = 194. Teszteljük 90%-os szignikancia-szinten azt a nullhipotézist, hogy a dobókocka szabályos! Hogyan változik az eredmény, ha n = 12000 lenne és ν i -k 10-szereseik? Miért? 22. Tekinthet -e az 1. táblázatban a testsúly normális eloszlásúnak 5%-os szignikancia-szinten? 23. Békéscsabán 80 évig gyelték az októberi középh mérsékletet. Az adatok gyakorisági eloszlása az alábbi: <11 C 11-12 C 12-13 C 13-14 C >14 C 16 13 22 15 14 Igazolható-e 0,05 szinten az adatok normális eloszlás szerinti megoszlása? Milyen próbát alkalmaznánk, ha ismernénk a 80 év pontos októberi középh mérsékleteit? 24. Egy kísérlet során kiderült, hogy két egyetemi csoportban a úk közül 7-en dohányoznak, 8-an nem. A lányok közül 28 a dohányos és 7 nem az. Hogyan tudnánk ezekb l az adatokból eldönteni, hogy az egyetemisták esetében a úk vagy a lányok között magasabb a dohányzók aránya (5%-os szignikancia-szinten)? Mi itt a nullhipotézis?

4. HIPOTÉZISVIZSGÁLAT 25 25. Egy társaságban 20 dohányzó fér, 10 nemdohányzó fér, 10 dohányzó n és 10 nemdohányzó n van. Teszteljük 5%-os szignikancia-szinten, hogy a nem és a dohányzás függetlenek! 26. Igazoljuk, hogy a függetlenségvizsgálatra vonatkozó χ 2 próba becsléses változata a diszkrét minták homogenitásvizsgálatára vonatkozó χ 2 próba általánosítása! 27. Teszteljük 5%-os szignikancia-szinten azt a nullhipotézist, hogy az 1. táblázatbeli magasságok mediánja 170 cm! 28. Teszteljük 5%-os szignikancia-szinten azt a nullhipotézist, hogy az 1. táblázatbeli magasságok és a 20. feladatbeli adatok azonos eloszlásból származnak! 29. Legyenek X 1,..., X n és Y 1,..., Y n független, 0 mediánú minták. Deniáljuk ɛ i,j -t a következ képpen: { 1, ha Xi < Y j, ɛ i,j = 0 ha X i > Y j. Feltehetjük, hogy P(X i = Y j ) = 0. Számítsuk ki a kétmintás Wilcoxonpróba R = i,j ɛ i,j statisztikájának várható értékét és szórásnégyzetét! 30. Tekintsük az (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) mintát és az r sp Spearman-féle rangkorrelációs együtthatót. (a) Igazoljuk, hogy r sp 1 és egyenl ség pontosan akkor teljesül, ha minden i j párra X i X j az Y i Y j, illetve Y i Y j relációt vonja maga után (r sp el jelének megfelel en). (b) Igazoljuk, hogy ha a háttérváltozók függetlenek, akkor E(r sp ) = 0. 31. Legyen X 1, X 2,... N (µ, σ 2 0) független azonos eloszlású minta (σ 0 ismert). Adjunk a H 0 : µ = µ 0 vs. H 1 : µ = µ 1 egyszer alternatíva eldöntésére szekvenciális eljárást (ε 1 els fajú és ε 2 másodfajú hibával)! Adjuk meg a várható lépésszámokat! 32. Legyen X 1, X 2,... B(p) független azonos Bernoulli eloszlású minta. Adjunk a H 0 : p = p 0 vs. H 1 : p = p 1 egyszer alternatíva eldöntésére szekvenciális eljárást (ε 1 els fajú és ε 2 másodfajú hibával)! Adjuk meg a várható lépésszámokat!

4. HIPOTÉZISVIZSGÁLAT 26 33. Legyen X 1, X 2,... exp(λ) független azonos eloszlású minta. Adjunk a H 0 : λ = λ 0 vs. H 1 : λ = λ 1 egyszer alternatíva eldöntésére szekvenciális eljárást (ε 1 els fajú és ε 2 másodfajú hibával)! Adjuk meg a várható lépésszámokat!

5. Többváltozós módszerek 1. Igazoljuk, hogy egy többdimenziós normális eloszlású vektorváltozó komponensei pontosan akkor függetlenek, ha páronként korrelálatlanok! 2. Mutassuk meg, hogy ha Y 1,..., Y m független normális eloszlásúak, akkor együttes eloszlásuk m-dimenziós normális! 3. * Adjunk olyan véletlen vektorváltozót, amely komponensei 1-dimenziós normális eloszlásúak, maga nem többdimenziós (és nem is elfajult többdimenziós) normális eloszlású! 4. Legyen Y N d (m, C), ahol C pozitív denit, B pedig egy d d-s nemszinguláris mátrix. Milyen eloszlású X = BY? 5. Legyen X N 2 (m, C). (a) Adjuk meg a komponensek összegének, különbségének eloszlását! (b) Adjuk meg X komponenseinek tetsz leges ax 1 +bx 2 lineáris kombinációjának eloszlását! (c) Adjuk meg X komponenseinek korrelációs mátrixát! (d) Adjuk meg annak a lineáris transzformációnak a mátrixát, amely X véletlen vektort a 2-dimenziós standard normális eloszlásúba viszi át. Egyértelm -e ez a mátrix? 6. Legyenek X i N d (m i, C i ), i = 1,..., n független véletlen vektorok. Adjuk meg n i=1 X i eloszlását! 7. Legyen X egy d dimenziós ún. szimmetrikus normális eloszlású vektor, azaz komponensei azonos eloszlásúak és bármely két komponens kovarianciája ugyanakkora. (a) Határozzuk meg a korrelációs mátrix spektrálfelbontását! (b) Határozzuk meg C 1 -et, ahol C a kovarianciamátrix! (c) Adjuk meg annak a lineáris transzformációnak a mátrixát, amely X véletlen vektort a d-dimenziós standard normális eloszlásúba viszi át. (d) Mutassuk meg, hogy bármely két komponens korrelációja nagyobb mint (1 d) 1.

5. TÖBBVÁLTOZÓS MÓDSZEREK 28 8. * Legyen A és B két n n-es pozitív denit mátrix. Mutassuk meg, hogy elemenkénti szorzatuk is pozitív denit! 9. Mutassuk meg, hogy egy d-dimenziós normális eloszlású vektorváltozó komponensei közül (d >)k-t tetsz legesen kiválasztva azok együttes eloszlása k-dimenziós normális! 10. * Van-e olyan d-dimenziós vektorváltozó, amely nem többdimenziós (és nem is elfajuló többdimenziós) normális, de komponensei közül bárhogy kiválasztva d 1-et azok együttes eloszlása már d 1-dimenziós normális? 11. Mutassuk meg, hogy (X 1, X 2 ) N 2 (0, C) esetén X 2 1/c 1,1 + X 2 2/c 2,2 pontosan akkor χ 2 (2) eloszlású, ha X 1 és X 2 korrelálatlanok! 12. Legyen Y N d (0, C), továbbá A egy d d-s szimmetrikus r rangú mátrix. Igazoljuk, hogy Y AY χ 2 (r) pontosan akkor teljesül, ha ACA = A. 13. Legyen ν = (ν 1,..., ν k ) P oly n (p 1,..., p k ). Igazoljuk, hogy ν i B n (p i ). 14. A polinomiális és χ 2 eloszlások kapcsolatát felhasználva adjuk meg a χ 2 -próbák statisztikáinak aszimptotikus eloszlásainak szabadságfokait! 15. Tekintsük az X = (X 1,..., X n ) mátrixot, amely oszlopvektorai X i N d (0, C), i = 1,..., n fae változók, valamint a W = XX Wishartmátrixot! (a) Milyen eloszlású W? (b) Hogy változik meg W, ha X két oszlopát felcseréljük? (c) Hogy változik meg W, ha X két sorát felcseréljük? (d) Adjunk meg W várható értékét! (e) Milyen eloszlású W k-adik f minora? 16. Legyenek W i W d (n i, C), i = 1,..., k független Wishart-mártixok. Milyen eloszlású k i=1 W i? 17. Legyen W W d (n, C) és a R +. Milyen eloszlású aw?

5. TÖBBVÁLTOZÓS MÓDSZEREK 29 18. Legyen W W d (n, C) és B egy d d-s nemszinguláris mártix. Milyen eloszlású BWB? 19. Legyen W W d (n, I). (a) Milyen eloszlásúak W diagonális elemei? (b) Milyen eloszlású trw? (c) Igazoljuk, hogy W nemdiagonális elemei el állnak két független χ 2 (n) eloszlású változó különbségének konstansszorosaként! 20. Legyen X 1,..., X n N d (m, C) független minta. Milyen eloszlású (a) (X m)(x m)? (b) az empirikus kovarianciamátrix? (c) a korrigált empirikus kovarianciamátrix? 21. Igazoljuk a Steiner-egyenl ség következ többdimenziós változatát: ha x 1,..., x n, v R d, akkor n (x k v)(x k v) = k=1 n (x k x)(x k x) + n(x v)(x v). k=1 22. Legyen X 1,..., X n N d (m, C) független minta. Igazoljuk, hogy Cov(X, X i X) = 0. 23. Legyen X 1,..., X n N (µ, σ 2 ) minta. (a) Adjuk meg az I 1 Fisher-féle információs mátrixot! a kor- (b) Igazoljuk, hogy (X, Sn 2 ) hatásos becslése (µ, σ 2 )-nek (Sn 2 rigált empirikus szórásnégyzet)! 24. Legyen X 1,..., X n U(a, b) független minta. Adjuk meg az I 1 és I n Fisher-féle információs mátrixokat! 25. X 1,..., X n egy d-dimenziós a középpontú b sugarú gömbben egyenletes eloszlásból vett független minta. (a) Adjuk meg az I 1 Fisher-féle információs mátrixot!

5. TÖBBVÁLTOZÓS MÓDSZEREK 30 (b) Adjunk maximum likelihood becslést a-ra b = 1 esetben! (c) Adjunk maximum likelihood becslést (a, b)-re! 26. 49 id s embert az orvos két csoportba sorolt aszerint, hogy van-e szenilis faktor a viselkedésükben (I. csoport) vagy sem (II. csoport). Ezután elvégeztettek velük 4 pszichológiai tesztet (1. információ, 2. hasonlóság, 3. aritmetika, 4. képfelismerés), melyekre kapott átlagpontszámok az alábbi táblázatban láthatók: I. (n=37) II. (m=12) 1. 12,57 8,75 2. 9,57 5,33 3. 11,49 8,50 4. 7,97 4,75 Vizsgálja meg, 95%-os szignikanciaszinten elfogadható-e az a nullhipotézis, hogy a két csoport várhatóan nem különbözik szignikánsan a teszteredmények alapján. Feltesszük, hogy az egyes emberek teszteredményei 4-dimenziós normális eloszlást követnek ismeretlen (közös) kovarianciamátrixszal. Az egyesített (49) elem mintából számolt S = S 1 + S 2 mátrix inverze: S 1 = 0,0052 0,0028 0,0012 0,0012 0,0028 0,0038 0,0008 0,0002 0,0012 0,0008 0,0030 0,0004 0,0012 0,0002 0,0004 0,0042. 27. Legyen X 1,..., X n N d (m, C) független minta, ahol C ismert. (a) Adjuk meg az I 1 Fisher-féle információs mátrixot! (b) Igazoljuk, hogy X hatásos becslése m-nek! (Használjuk a Cramér- Rao egyenl tlenség többdimenziós változatát!) (c) Igazoljuk, hogy a H 0 : m = m 0, H 1 : m m 0 hipotézisek vizsgálatára konstruált próba likelihood-hányados teszt! (d) Igazoljuk, hogy az el z pontbeli teszt az u-próba általánosítása!

5. TÖBBVÁLTOZÓS MÓDSZEREK 31 28. 20 atal emberre az A, B, C stimuláló szerek hatását vizsgálták a reakcióid szempontjából (századmásodpercben). X A = 21,05 X B = 21,65 X C = 28,95, S = 45,2 43,6 32,6 43,6 53,2 36,4 32,6 36,4 49,4 95%-os szignikanciaszinten vizsgálja meg az egyenl hatás elvét a B A, C B különbségekre! (Feltesszük, hogy a hatások többdimenziós normális eloszlást követnek, és azt teszteljük, hogy a B és A hatás különbsége, valamint a C és B hatás különbsége mint 2-dimenziós normális eloszlású véletlen vektor 0 várható érték vektorúnak tekinthet e.) Megjegyezzük, hogy valójában a három stimulálószer hatása várható értékének egyenl sége itt a nullhipotézis, azonban meggyeléseink nem független mintákra, hanem ugyanarra a 20 emberre vonatkoznak. Így a javasolt vizsgálat a t-próbánál bevezetett önkontrollos vizsgálat többdimenziós általánosításának tekinthet. 29. Legyen X 1,..., X n N d (m, C) független minta. Vegyük az (m, C) paraméter ( ˆm, Ĉ) = (X, S/n) (maximum likelihood) becsléseit!. (a) Igazoljuk, hogy (X, S) elégséges statisztika (m, C)-re! (b) Torzítatlan becslése-e (X, S/n) az (m, C) paraméternek? Ha nem, korrigáljuk! (c) Mutassuk meg, hogy a (Hotelling-féle) T 2 -próba a t-próba (kétoldali változatának) általánosítása (de az egyoldalinak nem)! (d) Konstruáljunk likelihood-hányados próbát a H 0 : C = C 0 hipotézis tesztelésére! (e) Konstruáljunk ε terjedelm egyenletesen leger sebb próbát a Neyman- Pearson alaplemma segítségével a H 0 : (m, C) = (m 0, C 0 ) vs. H 1 : (m, C) = (m 1, C 0 ) egyszer alternatíva vizsgálatára! 30. Igazoljuk, hogy a (Hotelling-féle) kétmintás T 2 -próba likelihood-hányados próba! Igazoljuk, hogy ez a teszt a kétmintás t-próba általánosítása!

5. TÖBBVÁLTOZÓS MÓDSZEREK 32 31. Legyen X 1,..., X n1 N d (m 1, C 1 ) és Y 1,..., Y n2 N d (m 2, C 2 ) független minták. Konstruáljunk likelihood-hányados próbát a H 0 : C 1 = C 2, H 1 : C 1 C 2 hipotézisek vizsgálatára (kétmintás T 2 próba feltételének ellen rzése)! 32. Legyen X 1, X 2,... N d (m, C) fae. Adjunk a H 0 : (m, C) = (m 0, C 0 ) vs. H 1 : (m, C) = (m 1, C 0 ) egyszer alternatíva eldöntésére szekvenciális eljárást (ε 1 els fajú és ε 2 másodfajú hibával)! Adjuk meg a várható lépésszámokat! 33. Legyen A 1,..., A k teljes eseményrendszer, P(A i ) = p i. Legyen X az eseményrendszer k-dimenziós indikátorváltozója, valamint p = (p 1,..., p k ). Legyenek X 1, X 2... független vektorok, amelyek eloszlása megegyezik X eloszlásával. (a) Mutassuk meg, hogy n i=1 X i P oly n (p 1,..., p k ). (b) Adjunk maximum likelihood becslést az els n mintaelem alapján p-re a Lagrange-multiplikátor módszerével! (c) Adjunk maximum likelihood becslést az els n mintaelem alapján p-re p k = 1 p 1... p k 1 felhasználásával is! (d) Adjunk a H 0 : p = p 0 vs. H 1 : p = p 1 egyszer alternatíva eldöntésére szekvenciális eljárást (ε 1 els fajú és ε 2 másodfajú hibával)! Adjuk meg a várható lépésszámokat!

6. Lineáris módszerek 1. Legyen X egy d-dimenziós vektorváltozó és Y a hozzá tartozó f komponensvektor. Adjuk meg X i és Y j kovarianciáját! ( ) 1 ρ 2. Legyen X N 2 (0, C), ahol C =, ahol 0 < ρ < 1. Adjuk meg ρ 1 a f komponenseket és a f komponensvektor kovarianciamátrixát! 3. Legyen X N d (0, C), ahol C diagonális mátrix f átlójában különböz (pozitív) értékekkel. Adjuk meg a f komponensvektort! 4. Legyen X N d (0, C), ahol C f diagonálisának minden eleme 1, minden más eleme r valamely 0 < r < 1 számra. (a) Adjuk meg X els f komponensét! (b) Adjuk meg a f komponensek szórásnégyzeteit! ( ) λ1 0 5. Legyen X N 2 (0, C), ahol C =. Adjunk maximum likelihood becslést C 0 λ 2 sajátértékeire! 6. A f komponensanalízis egy módosított változatában a korrelációs mátrixból indulunk ki. (a) Mutassuk meg, hogy ezzel a módszerrel más megoldást kapunk, mint a kovarianciamátrixot használó modellben! (b) A Kaiser-kritérium azon sajátvektorokkal konstruált f komponenseket választja, amelyekhez tartozó sajátérték legalább a sajátértékek átlaga. Igazoljuk, hogy tetsz leges nemszinguláris korrelációs mátrix sajátértékeinek átlaga 1! (c) Tegyük fel, hogy a korrelációs mátrix minden eleme nagyobb mint 1 ε. Mutassuk meg, hogy a legnagyobb sajátérték nagyobb d(1 ε)-nál (egy nagy és sok kis szórású f komponens van)! (d) Tegyük fel, hogy a korrelációs mátrix sajátértékei a legnagyobb kivételével kisebbek mint ε. Mutassuk meg, hogy a mátrix elemeinek abszolutértékei nagyobbak mint 1 2dε.

6. LINEÁRIS MÓDSZEREK 34 7. Legyen X egy d-dimenziós véletlen vektor, k < d, és tekintsük a következ modellt: X = AY + Z + m, ahol A egy d k-as mátrix, Y egy k-dimenziós, Z egy d-dimenziós véletlen vektor, amelyekre E(Y) = 0, E(YY ) = I k, E(Z) = 0, E(YZ ) = 0 k d-s azonosan 0 mátrix (a faktoranalízissel szemben itt nem követelmény E(ZZ ) diagonális volta, de elvárjuk, hogy elemei kicsik legyenek). Adjunk megoldást a f komponensanalízis segítségével! 8. Tekintsük az X = Af + e + m k-faktor modellt (X egy d-dimenziós vektorváltozó, A a d k-as faktorsúlymátrix, f a k-dimenziós közös faktor I k kovarianciamátrixszal, e d-dimenziós egyedi faktor D diagonális kovarianciamátrixszal, amelyre E(fe ) = 0). (a) Mutassuk meg, hogy ha i j, akkor X i és e j korrelálatlanok! (b) Adjuk meg X i változó és e i egyedi faktorkomponens kovarianciáját! (c) Adjuk meg X i változó és f j közös faktorkomponens kovarianciáját! 9. A faktoranalízis modelljében legyen A és B két faktorsúly-mátrix, amelyekre AA = BB. Mutassuk meg, hogy ekkor van olyan G k k méret ortogonális mátrix, amelyre B = AG. 10. A faktoranalízis modelljének mátrixalakja C = AA + D, ahol A egy d k-s mátrix, D pedig egy d d-s diagonális mátrix nemnegatív elemekkel. Tekintsük a d = 2 és k = 1 esetet! (a) Mikor van megoldása a fenti modellnek? (b) Adjunk maximum likelihood becslést A-ra és D-re! 11. Legyen (Y, X 1,..., X m ) N (m, C). Adjuk meg az E((Y g(x 1,..., X m )) 2 )- et mininalizáló regressziós függvényt! 12. Igazoljuk, hogy ha X, Y véges szórású valószín ségi változók, valamint Y ax + b a legjobb lineáris közelítés négyzetes értelemben, akkor (a) r(x, Y ) = a D(X) D(Y ), (b) E((Y (ax + b)) 2 ) (1 r(x, Y ))D 2 (Y ).

6. LINEÁRIS MÓDSZEREK 35 13. Tekintsük az (X, Y ) véletlen vektort, az l 1 (X) = ax + b (amelyre E((Y l 1 (X)) 2 ) minimális) és az l 2 (Y ) = cy +d (amelyre E(X l 2 (Y )) 2 minimális) regressziós egyeneseket. Mikor teljesül, hogy c = 1/a? 14. Legyenek x 1,..., x n mérési pontok, továbbá Y 1,..., Y n változók amelyek kielégítik a Y i = ax i +b+ɛ i, i = 1,..., n regressziós modellt, ahol a mérési hibák ɛ 1,..., ɛ n N (0, σ 2 ) független valószín ségi változók. (a) Adjunk maximum likelihood becslést az (a, b, σ 2 ) paraméterre a Y minta segítségével! (Mi köze a kapott becslésnek a legkisebb négyzetek módszeréhez?) (b) Igazoljuk, hogy a és b fenti becslései pontosan akkor korrelálatlanok, ha x = 0. (c) Adjunk kondencia intervallumot a-ra, ha b = 0 és σ ismert. (d) Konstruáljunk a H 0 : a = a 0 és H 1 : a a 0 hipotézisekhez ε terjedelm próbát, feltéve, hogy b és σ 2 ismert! (e) Konstruáljunk likelihood-hányados próbát H 0 : a = a 0 és H 1 : a a 0 hipotézisekhez, ha b = 0 és σ 2 ismeretlen! (f) Konstruáljunk likelihood-hányados próbát H 0 : a = a 0 és H 1 : a a 0 hipotézisekhez, ha b és σ 2 ismeretlen! (g) Hogyan ellen rizhetjük a modell alkalmazhatóságát, azaz a mérési hibákra vonatkozó feltételek teljesülését? 15. Tekintsük az Y = a x + ɛ regressziós modellt, ahol ɛ N (0, σ 2 ), σ 2 ismert értékre. Konstruáljuk meg a Neyman-Pearson alaplemma segítségével a H 0 : a = a 0 vs. H 1 : a = a 1 egyszer alternatívához tartozó ε terjedelm egyenletesen leger sebb próbát! 16. Tekintsük az Y = a 1 x 1 +... + a d x d + b + ɛ regressziós modellt és a H 0 : a 1 =... = a d = 0 hipotézist tesztel regresszióanalízist. (a) Legyen Q = n i=1 (Y i Y ) 2, Q r = n i=1 (Ŷi Y ) 2 és Q e = n i=1 (Ŷi Y i ) 2, ahol Ŷi = â 1 x i,1 +...+â d x i,d +ˆb. Igazoljuk, hogy Q = Q r +Q e. (b) Jelölje R n a többszörös korrelációs együttható becslését. Mutassuk meg, hogy R 2 n = Qr Q. (c) Igazoljuk, hogy a próbastatisztika F = (n d 1)Qr dq e alakokban is felírható! = (n d 1)R2 n d(1 R 2 n )

6. LINEÁRIS MÓDSZEREK 36 (d) Vessük össze a regresszióanalízist a korrelációs együtthatókra vonatkozó tesztekkel! Indokolt-e a regresszióanalízist függetlenség tesztelésére használni? (e) A regresszióanalízist szokás varianciaanalízisnek is nevezni. Magyarázzuk meg az elnevezést! 17. Vessük össze a lineáris regresszió megoldását (a = C 1 d, ha a várható értékek 0-k) a determinisztikus változók esetén kapott megoldással (â = (X X) 1 X Y)! 18. Igazoljuk, hogy X X pontosan akkor nemszinguláris, ha X oszlopvektorai lineárisan függetlenek. 19. Tekintsük a következ multiplikatív modellt: Y = bx a 1 1... X a k k. Vezessük vissza a lineáris modellre, és adjunk becslést a paraméterekre a módosított modellben a legkisebb négyzetek módszerével! Más becslést kapnánk-e, ha a legkisebb négyzetek módszerét közvetlenül az eredeti modellre alkalmaznánk? 20. Polinomiális regresszió esetén a modell Y = b + a 1 X +... + a k X k alakú. A megoldást úgy keresik, hogy az X i = X i független változókra vonatkozó többváltozós lineáris regressziót vizsgálják. Viszont X i és X j nem független változók. Okoz-e ez problémát a megoldás egyértelm sége tekintetében? Miért? 21. Tekintsük az egyszempontos varianciaanalízis modelljében a paraméterek legkisebb négyzetek módszerével kapott becsléseit. (a) Mutassuk meg, hogy ezek maximum likelihood becslések! (b) * Számoljuk ki ezeket a becsléseket Lagrange-multiplikátor módszerrel! 22. Tekintsük az egyszempontos varianciaanalízis csoporthatás-vizsgálatát, ahol Q e = k ni i=1 j=1 (X ij X i ) 2 és Q a = k i=1 n i(x i X ) 2. (a) Mutassuk meg, hogy Q e /σ 2 χ 2 (n k)! (b) Igazoljuk, hogy H 0 teljesülése mellett Q a /σ 2 χ 2 (k 1), de ha H 0 nem teljesül, Q a nem χ 2 eloszlású! (c) Adjuk meg H 0 mellett Q a és Q e várható értékét és szórásnégyzetét!