zka I (PE Sc szak számáa) sakkábla a lág; a bábuk az Unezum jelensége, a jáék-szabáloka emésze öéneknek neezzük. z ellenfél eje an előlünk. Tudjuk azonban, hog jáéka mndg koek és üelmes, és sajá káunkon az s meganuluk, hog sohasem köe el hbá és nem bocsája meg a udalanságo. Thomas Hule IZIK TÁRGY, ELDT, MÓDSZEREI Tága Nee az ógöög phss (ϕνσιζ) azaz emésze szóból eed, ez s ual á, hog mel foglalkozk. Tága a emésze jelenségenek zsgálaa, öénenek feldeíése (kée a emésze jelenségek néhán szűkebb csopojá, meleke öéne okokból máshoá soolunk, pl. kéma, bológa, sb.) köülöünk leő lág anulmánozása soán felmeülnek a köekező kédések: Honnan eednek a emésze öének? Szükségszeű-e a léük? Vakszeencse-e, hog a udomán eszközeel skeül megmagaáznunk a lágo, ag öénszeű, hog a kozmosz endjéből kemelkedő bológa szeezeek megsmeő képessége feláják e ende? (Paul Daes) Ezek a kédések áezenek a meafzkába, (flozófa). eladaa emészeudomán: a emésze öénenek megsmeése alkalmazo udomán: a emésze öénenek felhasználása fzka feloszása égen: mlen ézéksze jászk szeepe a anulmánozásában (fénan, hangan sb.) ma: összefüggő nagobb öénendszeek szen - mechanka - emodnamka
- elekodnamka - kanummechanka - magfzka - elem észek fzkája - elaáselméle - sb. Módszee I kp. a udomános módsze póbáljuk öden leín. Ez nem csak a fzkában használaos, de alán jelenk meg a legszábban. Megfgelés, kíséle: empkus (apaszala) összefüggés felállíása. Ennek észe a méés: kanaí (mennség) összefüggés megállapíása ( fonos a maemaka szeepe). Ez nkább a kíséle fzka ága. Álalános öén keesése, melnek specáls esee az empkus öének. Ez nkább az elméle fzka ága. Hpoézs (sejés, deglenes elméle) felállíása, majd a belőle eedő (maemaka, logka úon) köekezmének, apaszala (kíséle) ellenőzése. Eg elméle ag hpoézs fonos feladaa az előejelzés. Ha ez helesnek bzonul, az a hpoézs elméleé álásá elősegí, az elmélee pedg bzosabbá esz. Példák: - Nepunusz, Plúó felfedezése - a Newon-f. gaácós öén alapján - elekomágneses hullámok - a Mawell elméle (elekodnamka) alapján - pozon - Dac elaszkus kanummechankája - kak - Gell-Mann hpoézse alapján sb. megsmeés, öénalkoás ké logka úja: - ndukcó (az egedből az álalánosa köekezeés) a kíséle fzkáa jellemző, míg a - dedukcó (az álalánosból az egede) az elméle fzkáa (maemaka szeepe). z elméleek és hpoézsek gakan ún. modellekben ölenek ese. Ezeke eg-eg jelenségköe onakozó, éges ponossággal gazol öéneknek eknjük. fzka öéneke maemaka egenleek fomájában fogalmazzuk meg. fzka öénekben (egenleekben) szeeplő beűk, fzka mennségeke jelenenek.
fzka ágköe nag onalakban Mondhajuk, hog szne mnden magában foglal a könező lágból, a legksebből - fundamenáls észecskék - a legnagobbg - lágegeem -, és az ősobbanásól (dő kezdee) a lág égég. Tehá ében és dőben a égleeke, és a közük leő aomán agadja meg. észecskefzka sandad elmélee. sandad modellje a fzka ma állása szen nég alapeő kölcsönhaás fomá sme, meleke méékbozonoknak neeze észecskék közeíenek. sandad modellben a fundamenáls észecskék ké családjá, leponoknak és kakoknak híjuk. Ezek, és ezek kölcsönhaása épík fel az álalunk sme lágo. fundamenáls észecskék és a nég alapeő kölcsönhaás, jelenleg () udásunk szen: Leponok Kakok Méékbozonok Kölcsönhaás spn: / spn: / spn: elekon e u-kak u foon γ elekomágneses -,5 +/3 5,6 elekon-neuínó ν e? müon µ - - 5,8 müon-neuínó ν µ? auon τ - - 86 auon-neuínó ν τ? d-kak d -/3 9,9 c-kak c +/3 35 s-kak s -/3 99 -kak W-bozon W ± ± 85 3 Z -bozon W 95 3 gluon g +/3 5 spn: b-kak b -/3 5 gaon G genge eős gaácós észecske nee jele ölése ömege MeV-ban MeV 6 ev (megaelekonol 6 elekonol). z elekonol az az enega, amele eg elekon esz fel, ha V poencálkülönbségen halad á. ömegenega ekalenca (egenlőség) alapján (E mc ), ez a ömeg méékegsége s lehe. 3
elekomágneses eleko- GUT? genge genge TOE? (Gea Unfcaon (Theo of Theo) eős Eehng) gaácós zonos köülmének közö (nagon magas hőmésékle és anagsűűség) az elekomágneses és a genge kölcsönhaás egbeolad. Ez má észecskegosíókban kíséleleg skeül kmuan. Toább hőmésékle- és sűűségnöekedés eseén feléelezheő, hog a öbb kölcsönhaás s összeolad. GUT-a an meggőző elméle leezeés, de a gaácó egesíése a másk 3 kölcsönhaással egelőe nem megoldo. Több elméle modell an, amelek megkísélk megoldan a poblémá. észecskefzkában a szupeszmmekus ag ánék-észecskék családja álasz adha öbb kédése. Ennek kíséle megeősíésée/cáfolaáa a nag észecskegosíókban má folnak a kíséleek. húelméle (. szupehúelméle) sznén elméle megoldásoka kínál, má a gaácó s belleszk az egséges leíásba. Ennek kíséle eszelésée egelőe nem lászk megalósíhaó módsze. kozmológa sandad modellje a g ang ag ősobbanás, am szen lágunk 3,7 mllád ée eg kezde nagon sűű és foó állapoból kndula fomálódo és azóa águl. Ezekől az elméleekől az neneen, ll. a népszeűsíő odalomban lehe olasn bőebben. Okaásechnka megjegzések Ebben a segédanagban leendula színű szöegdobozban a anulása, számonkéése, ualó megjegzések lesznek. Ezzel s segíen szeeném a felkészülés. baackszínű szöegdobozban kegészíő nfomácók lesznek. Ezek smeee nem szgoúan a özsanag észe, csak a jobb jegé kell, és azoknak ajánlo, akk MSc sznen eezk folan a anulmánaka. gakan előfoduló hbáka ualó megjegzéseke, ame fgeln kell, possal íom. szöeg melle - észben - az előadáson használ dáka s beeszem, hog íg egségesen, egmás melle legen mnden segédanag. 4
MECHNIK eladaa: anag esek mozgásáa onakozó öének felállíása. Tágköe: anag ponok mozgásáal kapcsolaos jelenségek. KLSSZIKUS MECHNIK klasszkus mechanka a esek mozgásáal foglalkozk. Kalakulása Galle és Newon neéhez fűződk. méés jelenségek ében és dőben jászódnak le. Ezeke mén kell. Méés: meghaáozzuk, hog hánszo an meg a méendő mennségben, eg ele egnemű, önkénesen egségnek álaszo mennség. méés eedméne ké ada, méékszám és méékegség: pl. 3 m fzka mennség eg meghaáozo módon elégze, ag elleg elégezheő méés eedméné jelen. Vannak ún. alapmennségek, meleke méés eljáással defnálunk (pl. ú, s), és leszámazao mennségek, meleke alapmennségeke ezeünk ssza (pl. sebesség: s/ ). mechankában 3 alapmennség an: a hosszúság, az dő és a ömeg. esek mozgása ében és dőben öénk. é és dő alapmennségek, defnícójuk ehá a méés módjuk megadásáal öénk. ké alapeő mennség a áolság (elmozdulás, kéés; ú) és az dő. z dő z dő ala éheünk dőpono, pllanao (pl. ag ) és dőszakasz (ké dőpon különbségé, azaz áolságuka az dőengelen): - ). mndg az ado mennség égső és kezde éékének különbségé jelöl. (z dő a köznelben még dőjáás s jelenhe.) z dő (jele:, T) méékegsége a másodpec: s másodpec defnícója égebben a öld fogásáa alapul: másodpec (secundum, s) /864 szolás középnap. 5
Ez uóbb a Nap ké delelése közö elel eg ée e álagos dő. Mel a öld ellpszs pálán mozog, nem egenlő uaka esz meg ké köülfodulása ala. á kcs a különbség, ma má jól kmuahaó. Ha az állócsllagokhoz szoníjuk, ez a pobléma nem meül fel. elmeül szon az, hog a öld fogása s ngadozk, ső hosszú dő álagában - kmuahaóan lassul. Ezé kelle eg ponosabb meghaáozás. 967-ben új defnícóban állapodak meg: s a 33 Cs aom alapállapoának ké hpefnom sznje köz ámene soán kelekező sugázás peódusdejének 9 9 63 77-szeese. áolság áolság (jele: l, s) méékegsége a mée: m 79-ben a anca kadéma az ősmée a öld Pázson ámenő délköe hosszának negenmllomod észének álaszoa. z ebből számol ééke eg plana-ídum úd ké kacolaáal jelezék. Ez a uda Seesben (Pázs melle) őzék, és az eges oszágok mééküg haala kapak belőle másolao. Mn kdeül, ez a ké kacola köz éék nem ponosan egezk az ado délkö negenmllomod észének hosszáal, de a defnícó a kacolaok áolsága maad. méésechnka fejlődéséel azonban ez a ponosság má nem felel meg, új aom állandóa alapozo defnícó kelle. 96-ban a mée aom állandóa ezeék ssza: a 86 K spekumában leő naancsszínű fén ákuumbel hullámhosszának 65 763,73 -szeesekén defnálák. fzkában eős öekés ánul aa, hog mnél keesebb alapmennségből ezessük le a öbb. Mel a ákuumbel fénsebesség eg nagon alapeő és sabl fzka mennségnek bzonul (lásd. specáls elaáselméle!), célszeűnek űn a áolságo ennek segíségéel, az dőel meghaáozn. Ez a ma defnícó (a Zolán maga fzkus ajánlásáa) 983-ban fogadák el. 983: mée az a áolság, am a fén ákuumban 3,3356495-9 s ala megesz. 6
Skalá- és ekomennségek fzkában megkülönbözeünk ún. skalá- ll. ekomennségeke. Skalás mennség, ag öden skalá: Olan fzka mennségek, meleke eg méőszámmal és eg méékegséggel egéelműen jellemezn udunk. Ilen pl. a hosszúság, eüle, éfoga, ömeg, hőmésékle, sb. Konkéan: pl. 3 m, 5 m, 8 cm 3, 4 kg, 73 K. jelenségek leíásáa célszeű beezen olan mennségeke s, melek a nagságon úl, az ána onakozó nfomácó s aalmaznak. Ezeke ánmennségeknek neezzük. Ezek közé aozk a ekomennség ag öden eko. Ilen pl. a heleko, a sebesség, a gosulás, az eő, sb. Konkéan: pl. a heleko nagsága: 7,7 m de ez még nem adja meg az áná. é 3 ánának megfelelő komponens megadása szükséges, azaz 3 m, 4 m, z 5 m. Geomea éelemben a ekook ánío szakaszok, ameleke nlakkal ábázolunk. Vekook Skalá: csak nagsága an pl., m, V Veko: nagsága és ána an pl.,, Jelölés: Skalá: dől beű, pl. s (ú), (dő), m (ömeg) Veko:,,, égebben gó beű, de nomaásban leggakabban asagío beű:. Okaás apaszalaom szen a asagío beű nem ol kellően hangsúlos ahhoz, hog a léneges különbsége udaosísa a eko ll. skalá mennségek közö. Ezé én mos nkább a kénelmelenebb, de alán a különbsége jobban udaosíó felül níl ezó ( ) használom. Ha csak a eko nagságá akaom jelöln, akko a skalá jelé, a dől beű használom, pl., ag az abszolú ééke:. 7
ekook ulajdonsága I csak a ekook leglénegesebb ulajdonsága foglaljuk össze, a észleesebb leíás lásd. a megfelelő kézkönekben! Veko nagsága és ána eko nagságán éjük az abszolú ééké ag hosszá. Ez a eko jellemzésée nem elég. Pl. ha meg akajuk adn, hog a szoba észak-kele sakához szonía hol agunk, nem elég az mondan, hog 3 m-e. Ez csak eg 3 m sugaú gömbfelüle ponja adja meg. ponos helmeghaáozáshoz az án s kell. eko nagsága csak eg skalámennség, ehá semmképpen nem azonos a ekoal ( )! Nézzük ké dmenzóban (síkban): Ké dmenzóban: cosα snα + α eko engeleke eső eülee a eko komponense. komponensek egéelműen meghaáozzák a eko. Síkban ez ké ada:,, (ében 3:,, z ). eko ezé íhajuk íg s: (, ), (ében: (,, z) ). Vag beezee az,, z engelek ánába muaó, egségn hosszúságú ekooka (lásd még a onakozaás endszenél!), az ún. egségekooka: ( + j + zk ). Vekook összeadása, konása ekooka összeadhajuk (konhajuk) algeba úon és gafkusan. lgeba ú: a megfelelő komponenseke adjuk össze ll. onjuk k. Pl. a + b c eseén, a( a, a ) + b( b, b ) c( c, c ), ahol c a + b, c a + b ) és a b c eseén, a a, a ) b( b, b ) c( c, c ), ahol c a b c a b ) (, 3 dmenzóban emészeesen a ekook 3-3 megfelelő komponensé adjuk össze ll. onjuk egmásból. 8
Gafkusan: z egk eko égponjába lleszjük a másk eko, és az első knduló ponjából a másk égponjába húzunk eg eko. Ez lesz a ké eko összegekén kapo eko. Vag: a ké eko közös kndulóponba méjük fel, majd ebből a ponból húzunk eg eko a ké eko álal meghaáozo paalelogamma áellenes csúcsponjába. Lásd ába! Vekook Vekook összeadása Háomszög módsze: + C C Paalelogamma módsze: C z uóbb eseben az eedő eko nagsága és ána az alább módon adhaó meg, a kosznusz-, ll. sznuszéel segíségéel: Vekook Vekook összeadása α β C nagsága. abszolú ééke ( C. ): C C + + cosα ána ( -hoz mé szöge): C sn β snα C 9
Több eko összegé úg állíhajuk elő, hog egmás uán felméjük őke az ábának megfelelően, majd az első kezdőponjából az uolsó égponjába húzunk eg eko, ez az összegeko: Vekook Vekook összeadása E + + C + D + E ekook konásá az összeadása ezejük ssza. ekohoz annak ellenejé, ag - szeesé adjuk hozzá. I s alkalmazhajuk a háomszög ll. paalelogamma módsze a fen összeadás analógájáa, és a leggakabban használ (de elsőe keésbé nlánaló) 3. ezó: Vekook C C Vekook konása D C C C Édemes khangsúlozn, hog a különbségeko mndg a ksebbíendő ( ) felé mua.
ekook összeadása (konása) felcseélheő (kommuaí): + + + + C + + C és eszés szen csopoosíhaó (asszocaí): ( ) ( ) z összeadás-konás láhaóan más műele szabálokkal öénk a skalá- és a ekomennségek eseében. Nag hba összekeen őke! zaz nem mndeg, hog m íunk eg fzka egenleben, ekook adódnak össze, aag skalámennségek! Vekook szozása a) Veko szozása eg skaláal. z eko k szoosa eg olan eko, amnek nagsága k, ána megegezk ánáal, ha k pozí, ellenées ele, ha k negaí ( k 3): Tkp. mnden eges komponens szoozzuk a k al. Ha ( + j + zk ), akko k ( k + k j + kzk ) k k b) Ké eko skalá (. skalás) szozaa. Ekko ké eko úg szozunk össze, hog eedménül eg skalá mennsége kapunk: Vekook Vekook szozása I Ké eko skalá szozaa: cosα cosα α cosα
skalászoza felcseélheő (kommuaí): C C és eszés szen csopoosíhaó (asszocaí): ( ) ( ) skalászoza komponensenkén: ( + j + zk )( + j + zk ) + j + zk + j + j j + jzk + k + k j + k k z egmása meőleges ekook skalászozaa, (cos 9 ): j jk k páhuzamos egségekook skalászozaa, (cos ): jj kk Tehá am maad: + + Ké eko skalás szozaa nem keeendő össze eg eko és eg skalá szozaáal! z z z z z z c) Ké eko eko (. ekoáls) szozaa. Ekko ké eko úg szozunk össze, hog eedménül eg eko mennsége kapunk: Vekook Vekook szozása II Ké eko ekoáls szozaa: C nagsága: C snα C α C z z eedménül kapo ekonak ehá an eg nagsága: snα, és eg ána. z ána mndg meőleges a ké összeszozandó eko álal meghaáozo síka. (Ha ké eko nem esk eg egenese, akko mndg meghaáoz eg síko.) Ez még keés az án megadásához, me a síko döfhe alulól, ll. felülől. (Lásd. ába!) z án kjelölése a jobbkéz-szabálnak felel meg. zaz,
3 ha ekooka a szoza felíásának soendjében a ksebb szög menén egmásba fogaom ( - a - be) akko a fogásánba hajlío jobb kezünk hüelkujja mua az eedménül kapo eko ánába. Vag: ebben a fogásánban (ez amúg a + fogásán, az óamuaó jáásáal ellenées) csaaa a jobbmenees csaa, a csaa haladás ána egezk a szozaeko ánáal. Vag: ha a szoza felíásának soendjében a jobb kezünk hüelk-, muaóujjá felelejük meg a kédéses ekooknak, akko az ezek álal meghaáozo síka meőlegesen kno nagujjunk muaja a heles án. Láhaó, ha fodío soendben esszük ez meg, akko ellenkező án kapunk. Tehá a ekoszozásnál nem mndeg a soend! ekoszozás ankommuaí. Hog megkülönbözessük a kéféle szozás, a ekoszoza eseében a ké eko közé eg jele eszünk, és úg mondjuk, hog keesz : pl., keje: keesz. onos hangsúlozn, hog a ekoszoza eedméne eg eko, amelnek ána és nagsága an. Defnícója soán mndkeő meghaáozása fonos. ekoszoza komponensenkén: C ahol z z z z z C C C,, Leezeés: k k j k k k j j j j k j k j k j z z z z z z z z + + + + + + + + + + + + ) ( ) ( z egmása meőleges ekook ekoszozaa: j k k j k j,, és j k j k k j,, páhuzamos egségekook ekoszozaa, (sn 9 ): k k j j Tehá am maad: k j z z z z ) (, ) (, ) ( Ezek az eedménül kapo eko megfelelő,, z komponense: k C j C C z,, jánlom, hog póbálják k a fen leí módsze! onos, hog ez ésék, lássák, éezzék! Vzsgán ez be kell muan, és szne mnden éelnél felbukkan Gako hba: α absn Ez íg nem gaz, me a baloldalon eg eko an, míg a jobboldalon eg skalá (a eko nagsága). Helesen: α absn, azaz a szozaeko abszolú ééke (nagsága) egenlő a ké eko nagságának, és az álaluk bezá szög sznuszának szozaáal.
Ké eko skalá (. skalás) ll. eko (. ekoáls) szozaa eg megállapodás szen defnícó. Mn sok más maemaka műele, fonos és hasznos segédeszköznek bzonul a fzka jelenségek leíásában. skalá- és ekomennségek melle a fzkában használunk még ún. enzooka s. enzo (ézékleesen, bá kssé slendán módon) öbbdmenzós eko -nak s neezheő, ahol a öbb nlán a 3-nál öbbe jelen, am gakan 9. Ilen pl. feszülség enzo, ag a eheelenség enzo, melek a későbbekben emlíése keülnek. 4
Vonakozaás endsze ámel es helzee (íg helálozaása, mozgása s) csak más esekhez szonía jellemezheő. Ebben az éelemben beszélünk onakozaás esől. onakozaás eshez/esekhez köö koodnáa-endsze neezzük onakozaás endszenek. z álalunk leggakabban használ koodnáa-endsze, a Descaes-féle deékszögű koodnáa-endsze: Vonakozaás endsze Descaes-féle ag deékszögű koodnáaendsze jobbsodású: Z Y X z ábán láhaó módon behajlío jobb kezünk 4 ujjának megfelelő fogásánban (ez a + fogásán, azaz az óamuaó jáásáal ellenées) az X engel az Y-ba udjuk fogan. Vonakozaás endsze Vag: jobb kezünk jelze 3 ujja a megfelelő engelekkel fedésbe hozhaó (balkézzel a engelek más soendben állnak!) Y Vegük észe, hog csak az ujjak/engelek soendje a fonos, nem pedg az ado ána! Pl. a baloldal ajzon a hüelkujj ( engel) X mua felfelé, míg a jobboldal koodnáaendszenél az Z engel. Ezek elfogaással fedésbe hozhaók. Eg z balsodású endszeel szon nem. 5
Ebben eg (P) pon helé egéelműen meghaáozza az ogóból hozzá húzo heleko ( ) háom engele eső eüleének nagsága. Vonakozaás endsze cosα cosβ z cosγ + + z az eko nagságá;, és z koodnáák az megfelelő engeleke eső eüleenek nagságá, míg α, β és γ, az eges engelekkel bezá szögé jelenk. z X Z P z Y + + z (ébel Pagóasz éel) Vonakozaás endsze z egségeko eg egségn z X, Y, Z engelek ánába muaó, j, k egségekook beezeéséel az heleko a köekező alakban íhajuk fel: + j + zk X Z k j Y hosszúságú eko jelen, amel az ado ánba mua. Hagomános jelöléssel az X, Y, Z engelek ánába soban az, j, k egségekook muanak. Lásd ekook összeadása! Léeznek másfaja koodnáaendszeek s. Ilen pl. a gömb polákoodnáás ag hengekoodnáás leíás. Némel feladaban ezeke célszeűbb használn. 6
z anag pon knemakája knemaka csak azzal foglalkozk, hog hogan mozognak a esek (ehá a hogan -a kees a álasz), az okokkal nem foglalkozk (a mé -e nem kédez). Ez majd a dnamka feladaa lesz. z anag pon. ömegpon eg abszakcó (elonakozaás). Mndg az ado pobléma haáozza meg, hog m eknheünk ponszeűnek. Pl. a Nap köül kengésé ekne eg bolgó jó közelíéssel ponszeűnek eknheő, de eg kéaomos molekula má nem, ha az enegaáoló szabadság fokaal számolunk, mondjuk a fajhőjének meghaáozásako. Pála, elmozdulás, ú Knemaka z anag pon mozgásá akko eknjük smenek, ha meg udjuk adn a helé bámel dőpllanaban, azaz ha smejük az ll. komponensenkén az függéneke. () ( ); ( ); z z( ) Ezek az egenleek egéelműen meghaáozzák a ömegpon pálájá, azaz a mozgása soán leí ébel göbé. Ezek a knemaka mozgásegenleek. Láhaó, hog a pálán mege ú méőszáma nem azonos az elmozdulás méőszámáal. Másész az elmozdulás ekomennség, míg az ú skalá. onos ez a különbségéel! 7
Pála és elmozdulás-eko ú (s) pála elmozdulás ( ) eko, azaz a pon -bel helzee és -bel helzee köz különbség. Ez a ké heleko ( és ) különbségekén s kfejezhejük: Lásd ekook konása! Mozgás eg dmenzóban z egszeűbb ágalás ma, nézzük előszö az egdmenzós mozgás! Később ez kejeszjük öbb ( ll. 3) dmenzóa s. Egdmenzós mozgás soán a es eg egenes onal menén mozog. z ábán a szaggao Mozgás eg dmenzóban onallal jelöl s az összes ua jelen, azaz, ha pl. a Ekko a ömegpon eg egenes menén es oda-ssza mozog a mozog, legen ez az engel! kédéses dőneallum elmozdulás: elel dő: ala, akko az oda-ssza uaka, egü, összesen számoljuk. O s 8 az elmozdulás égső eedméné jelen, ehá az, hog a kezde ponól mlen messze juounk el dő ala.
Sebesség es (mosan ágalásunkban anag pon) mozgásáa jellemző, hog ado áolságo (ua) menn dő ala esz meg, ez a sebességgel jellemezzük. sebesség kssé ponalan, de első közelíésben a lénege üköző megfogalmazása: ú / dő. Méékegsége a m/s, (SI) ag km/h, méföld/h, sb. ponosabb megfogalmazáshoz ezessük be az ún. álagsebesség fogalmá! Ez s lehe ké éelmezésben használn, hog ado esben melke éjük, ez álalában a szöegkönezeből kdeül. Egdmenzós mozgás Álagsebesség (a) álagsebesség ( ál. ) összes ú (s)/összes dő () ál. skalá s Méékegsége: m (SI) s I az összes ú (s) az jelen, hog ha pl. a es oda-ssza s mozog (a mozgása soán ssza s fodulha) a kédéses dőneallum ala, akko az oda-ssza uaka, egü, összesen számoljuk. z összes dő pedg, a közben elel dő ( ). Egdmenzós mozgás Álagsebesség (b) álagsebesség ( ál. ) eljes elmozdulás ( ) /összes dő ( ) ál. I a eljes elmozdulás ( ) az jelen, hog ha pl. a es oda-ssza s mozogna a kédéses dőneallum ala, akko s csak égső helze és a kezde helze köz különbsége számoljuk. z összes dő s a közben elel dő ( ). skalá 9
z uóbb éelmezés (b) a gakobb. Ekko a sebesség nagságá az gafkonon a kezde és a égső ponjáa fekee egenes meedeksége ag másképpen ánangense adja meg ( / ). Egdmenzós mozgás I a ál. áná előjele haáozza meg. Álagsebesség eko ál. eko Ha ponosak és koekek akaunk lenn, akko az elmozdulás ekonak eknjük és íjuk. Egdmenzós mozgásnál az án a előjele egéelműen megadja. Ez haáozza meg az álagsebesség áná s. Ha m aa agunk kíáncsak, hog a ömegpon mekkoa sebességgel mozog eg bzonos ponban, ag eg ado dőpllanaban, akko a sebesség pllanan éékée an szükségünk. Ez a pllanan sebesség. kéés dő gafkonon, ez a göbe ké ponjáa fekee egenesek meedekségéel közelíjük, mdőn a szomszédos ponok áolságá ege csökkenjük. Haáéékben az énőhöz juunk. Egdmenzós mozgás Pllanan sebesség z ege ödebb -khez aozó álagsebességek: ál. ál. ál.3 3 3 4 3 3 P szakasz meedeksége: 3 4 3
pllanan sebesség nagságá a kéés dő gafkonon, a göbéhez az ado ponban húzo énő meedeksége (ánangense) adja meg. Egdmenzós mozgás mennség haáééke, mdőn -hoz a: Pllanan sebesség sebesség ado dőpllanahoz aozó ééke, az énő meedeksége (ánangense). pllanan sebesség a lm d d Tehá, a (pllanan) sebesség, az kéés dő szen dffeencálhánadosa, ag deálja: d d dffeencálhánados jelenése az, hog az ado mennség hogan álozk. álozás (a fzkában és másu s) dffeencálhánadosokkal udjuk leín. dffeencálhánados bőebb és ponosabb jelenésé a maemaka anulmánok soán megsmek. d z dő szen dffeencálhánados szokás még a mennség fölé e ponal s jelöln: & d Ponosabban és pecízebben a pllanan sebesség s ekomennség, még egdmenzós mozgás eseén d s:. Iána a mozgás (elmozdulás) ánába mua. d Gosulás gosulás a sebesség megálozásának mééke. z muaja meg, hog mlen sebességgel álozk a sebesség. gosulás kssé ponalan, de első közelíésben a lénege üköző megfogalmazása: Egdmenzós sebesség / dő ( / ). mozgás Gosulás Méékegsége a m/s, (SI). álagos gosulás(a ál. ) sebességálozás ( ) /elel dő ( ) ponosabb megfogalmazáshoz ezessük be az ún. álaggosulás a fogalmá! ál. Ez eg ado dőneallum ala Méékegsége: m s (SI) öénő sebességálozás méékée ual. z álagos gosulás nagságá a sebesség dő ( ) gafkonon a mozgás kezde és a égső ponjáa
fekee egenes meedeksége ag másképpen ánangense adja meg ( / ). Ez a sebességálozás / elel dő. Koekebb és ponosabb megfogalmazásban az álaggosulás s eko (még egdmenzós eseben s), áná a sebességálozás ána haáozza meg. zaz, ha a sebesség csökken, akko a gosulás ána ellenées a sebesség ánáal. a ál. pllanan gosulás a mennség haáééke, mdőn -hoz a: Pllanan gosulás gosulás ado dőpllanahoz aozó ééke. a lm a d d pllanan gosulás nagságá a sebesség dő gafkonon, a göbéhez az ado ponban húzo énő meedeksége (ánangense) adja meg. Tehá a gosulás a sebesség dő szen dffeencálhánadosa (más szóal deálja). Tekne, hog a sebesség a kéés dő szen deálja, adódk, hog a gosulás a kéés dő szen. dffeencálhánadosa (deálja): d d d a d d d d d z dő szen. dffeencálhánados szokás még a d mennség fölé e ké ponal s jelöln: d && pllanan gosulás s ekomennség. Iána a sebességálozás ánába mua. a d d Egdmenzós mozgásnál a sebesség csökkenéseko fellépő gosulás negaí előjellel lájuk el. Ekko a sebesség ána pozí, de ha nagsága csökken, akko a álozása negaí, ezé negaí a gosulás s. Ez lassulás -nak s lehe neezn.
Egdmenzós mozgás állandó gosulással Ha a gosulás álozk az dőben a mozgás bonolul. Egszeűbb az állandó gosulás eseé zsgáln. Egdmenzós mozgás állandó gosulással Ebben az eseben a pllanan gosulás megegezk az álaggosulással. a Ekko a sebesség dő gafkon eg egenes. I az egenes meedeksége, ag ánangense adja meg a gosulás mééké. Egdmenzós mozgás állandó gosulással kezdő dőpon legen, az eől mé dőaam. -hoz aozó sebesség, a kezdősebesség, a -hez aozó sebesség a égsebesség. Ekko: a ag + a a Ha, akko. Íg egszeűbben íhajuk az egenleenke. + a összefüggés leheőé esz, hog a sebessége megadjuk bámel dőponban, ha sme a kezdősebesség és a gosulás. égsebesség () a kezdősebesség ( ) és a sebesség megálozásának (a) összege. Ha a sebesség csökken ( < ), akko a gosulás negaí. z egenes meedeksége (ánangense) negaí éék. 3
Nézzük az a, a, és az gafkonoka egmás ala! Egdmenzós mozgás állandó gosulással gosulás dő (a - ) gafkon: a cons. a a a sebesség dő ( - ) gafkon: + a a kéés dő ( - ) gafkon: + + a gα gα z a gafkon eg ízsznes egenes mua, me a gosulás az dőben égg állandó. gafkon eg fede egenes mua, ahol az egenes meedekségé az a nagsága adja meg. z gafkonon eg másodfokú göbé (paabola) láunk, ahol bámel dőponban a göbéhez húzo énő meedeksége adja meg a sebesség nagságá. Pl. eseén gα, és ál. gα. Toább hasznos összefüggésekhez juunk, ha meggondoljuk, hog állandó gosulás eseén a kezdősebesség és a égsebesség álaga adja az álagsebessége. Egdmenzós mozgás állandó gosulással + z álagsebesség: ál + z elmozdulás: ál ( + ) + a ( + + a ) + + a helkoodnáa az dő fg.-ében. 4
Können beláhajuk a fen összefüggés éénességé, ha e dő szen dffeencáljuk: d d ( + + a ) + a d d Egdmenzós mozgás állandó gosulással z dő kküszöböle: ( + ) + a a ag: ( + ) a a + a( ) sebesség az elmozdulással és a gosulással kfejeze. Egdmenzóban mozgó es állandó gosulással Gakan az hele s szeepel: s ( ) s + + a s Ú dő gafkon: z ú - dő fg. ado ponjához húzo énő meedeksége adja a (pllanan) sebessége az ado ponban. s gα 5
zka laboaóum gakola keeében megméjük az egenleesen gosuló es ú-dő, ll. sebességdő függéne. z alább ábák ez muaják. Egdmenzóban mozgó es állandó gosulással Pl. fzka labo gak: s s + + a s (m) 5 4 3 Gosuló mozgás ú-dő függéne I az, az -engele fele -nek felel meg, az pedg az -egele fele s-nek..954 +.34 + 5.976 3 4 5 6 (s) Egdmenzóban mozgó es állandó gosulással Pl. fzka labo gak: + a (m/s) 6 4 8 6 4 Gosuló mozgás sebesség-dő függéne I az, az -engele fele -nek felel meg, az pedg az -egele fele -nek. + 3 4 5 6 7 (s) 6
Egdmenzós mozgás állandó gosulással Ha az állandó gosulás, azaz nncs gosulás: Egenes onalú, egenlees mozgás: a ömegpon egenes onalú pálán, eg ánba halada, egenlő dők ala egenlő uaka esz meg. + () Nlán ebben az eseben a pllanan sebesség megegezk az álagsebességgel:, ál d d a hel dő fg. gafkonjának meedeksége (ánangense): gα α Egenes onalú, állandó gosulással mozgó es knemaka mozgásegenlee (összefoglalás): + a a sebesség mn az dő fg.-e ( + ) az elmozdulás, mn a sebesség és az dő fg.-e + a az elmozdulás, mn az dő fg.-e + a( ) a sebesség, mn az elmozdulás fg.-e Számolásnál, feladamegoldásnál hasznos, ha ezeke megjegezzük, ag legalább gosan le udjuk ezen. jobb megééshez elengedheelen, hog feladaokon gakooljunk! 7
Néhán szemlélees módsze a knemaka köéből Sokszo előfoduló felada, hog a sebességnek (mn az dő függénének) smeeében, az ua kell meghaáozn. Ha a sebesség állandó, a -ől -g mege ú:, (ahol - ). Álalános eseben közelíő eljáás alkalmazhaunk, azaz a, neallumo olan ks észneallumoka oszjuk, hog ezen belül a sebessége állandónak ehejük. Ekko:, ahol a neallum eg eszőleges ponjához aozó sebesség. Ez, az ábán, a kék oszlop eüleének a méőszámáal egezk meg. (z ába a sebesség dő gafkon muaja.) z íg kapo uaka összegezzük: Ez az jelen, hog az ábán az összes ks églalap eüleé összeadjuk, szummázzuk. Ezzel az összeggel a göbe ala eüle méőszámá közelíjük. Ponosabb az eedmén, ha fnomabb a beoszás, azaz ege ksebb. fen közelíő összegek, a beoszás mnden haáon úl fnomíásához aozó haáééke a ponos eedmén, azaz a göbe ala eüle méőszáma, am a mege ú méőszámáal lesz egenlő: lm d z ú a sebesség dő szen haáozo negálja. Ponosabban az elmozdulás kéne ín az ú hele, me a lehe negaí s. z negál jelenésé, defnícójá, alamn műelee a maemaka anulmánok soán megsmek. z ú meghaáozása a sebességből lm d 8
Vegünk pl. eg állandó sebességgel haladó ese. Ekko a gafkon eg ízsznes egenes lesz. z egenes ala eüle, azaz a églalap eülee, megadja a dőneallum ala mege áolságo. z ú meghaáozása a sebességből Példa. állandó és a Ha a sebesség az dő lneás függéne, azaz a, (ahol a állandó), a gafkon eg fede egenes lesz. z egenes ala eüle, azaz a háomszög eülee, megadja a - dőneallum ala mege áolságo. I a kezdősebesség ( -nál, ), és hele egszeűen csak - íunk. z ú meghaáozása a sebességből Példa. állandó gosulás (a > és ) a a a 9
Ha a kezdősebesség nem, hanem eg zéusól különböző ( -nál, ) a gafkon sznén z ú meghaáozása a sebességből Példa 3. állandó gosulás (a > és > ) + a a a eg fede egenes lesz, amel mos a függőleges engel nem a nullánál, hanem a -nál mesz. I az egenes szakasz ala eüle: a háomszög eülee + a églalap eülee. Ez adja meg a - ól -g mé dő ala mege áolságo. Mozgás ké dmenzóban ké dmenzóban, ag síkban öénő mozgás eseén sokkal jobban kdomboodk a sebesség és a gosulás eko Mozgás ké dmenzóban ú (s) jellege. z megsme szabáloka können kejeszhejük háom dmenzóa s. elmozdulás ( ) eko, azaz a pon -bel helzee és -bel helzee köz különbség. Ez a ké heleko ( és ) különbségekén s kfejezhejük: Lásd ekook konása! 3 pála Koábban má láuk ez az ábá. Mos nézzük meg, hogan ezehejük le a sebessége az elmozdulásekoból!
Mozgás ké dmenzóban Ekko az álagsebesség: ál z álagsebesség az elmozdulás(eko) és az elel dő hánadosa. Mel az elmozdulás eko, ezé a belőle eg skaláal ( ) öénő oszással képze mennség s eko. Tehá az álagsebesség s eko. Iána az elmozduláseko ánáal egezk meg. Mozgás ké dmenzóban különbségeko ege ksebbe ée haáéékben az énőhöz juunk. pllanan sebesség: lm sebesség, a heleko dőszen (első) dffeencálhánadosa Iána a pála énőjének 3 ánába mua. d d Vekoos eseben s az előzőhöz hasonlóan jáunk el, ha a pllanan sebessége akajuk defnáln. z elmozduláseko és az dőaam ege ksebb éékehez endelheő hánadosok eg haáéékhez aanak. Ez a heleko dő szen (első) dffeencálhánadosa. Ez a pllanan sebesség ponos defnícója. Innenől, ha csak sebességől beszélünk, akko ez éjük alaa. (Ha az álagsebességől, ag csak a sebesség nagságáól beszélünk, az mndg külön jelezzük.) ekook dffeencálásáól a maemaka anulmánok soán anul(ha)nak bőebben. Számunka mos az a léneg, hog ez a dffeencálhánados jellemz a eko álozásá (aká án, aká nagság szen). 3
Mozgás ké dmenzóban z álaggosulás: Iána ánába mua. a ál z álaggosulás a sebesség (mn eko) megálozásának és az elel dőnek a hánadosa. Mel a sebesség eko, ezé a belőle eg skaláal ( ) öénő oszással képze mennség s eko. Tehá az álaggosulás s eko. Iána a sebességálozás eko ánáal egezk meg. Mozgás ké dmenzóban a pllanan gosulás d d d d lm gosulás a sebesség dő szen első dffeencálhánadosa. (ag a heleko dő szen másodk dffeencálhánadosa) onos megjegezn, hog gosulás lép fel aká a sebesség nagsága, aká az ána álozk. pllanan gosulás a sebesség dő szen (első) dffeencálhánadosa. Ez a pllanan gosulás ponos defnícója. Innenől, ha csak gosulásól beszélünk, akko ez éjük alaa. (Ha az álaggosulásól, ag csak a gosulás nagságáól beszélünk, az mndg külön jelezzük.) Háomdmenzóban: heleko: sebesség: gosulás: + j + zk + j + k a a + a z j + a k z Háom dmenzóban a hel-, sebesség-, és gosulásekooknak 3 komponense an. Ez jelölhejük a é 3 ánának megfelelő egségekookkal. Számolás feladaoknál ne felejsük el az eges komponenseknél felünen a megfelelő méékegsége! 3
3 Ekko: : : 3 : : 3 ede hajíás Kezdjük a fede hajíás eg specáls eseéel, a ízsznes hajíással! Kíséle: (közel) azonos kndulóponból ejsünk el eg asgoló, eg máska pedg lökjük meg, ízsznes ánú kezdősebességgel! Méjük az azonos dőközök ala mege ízsznes (), és függőleges () ánban mege uaka! z elejee goló az engel menén függőlegesen lefelé esk, míg a másk az ábán láhaó göbe onalú pálán halada közelí a alaj felé. : : 3 : : 3 : : 3 : 4 : 9 Láhaó, hog a pála eg ízsznes ánú egenlees mozgás,, és eg függőleges ánú egenleesen gosuló mozgás, -k (ahol k,5 g) szupepozícója (összeéele). Láhaó, hog a ízsznes mozgás nem befolásolja a függőleges ánú, a ké goló mndg azonos magasságban an. 3 α ede hajíás kezde feléelek ; cosα ; -nál: snα a gosulás komponense: a a -g ede hajíásól beszélünk akko, ha eg ese (ömegpono) alamlen kezdősebességgel ( ), a ízsznessel α szöge bezáóan elhajíunk a öld homogénnek eheő gaácós eében. (Tágabban ée elég kkön, hog a es állandó gosulással mozogjon.) z engel pozí ána felfelé mua, a nehézség gosulás lefelé, ezé a g. g 33
ede hajíás sebesség komponense a megfelelő gosuláskomponensekből kapjuk: cosα cons. g snα g helkoodnáa komponense a megfelelő sebességkomponensekből kapjuk: cosα) cosα ( α g sn g Mel a ízsznes ánú gosuláskomponens, a sebesség ízsznes ánú komponense égg uganakkoa maad. függőleges ánú komponense álozk, mel lefelé gosul a es. helkoodnááka a sebességből és a gosulásból számolhajuk. ede hajíás g cosα cosα; a snα g ha és snα g a g Ha nem lenne lefelé ánuló gosulás, a es állandó sebességgel haladna és ua enne meg. alós mozgás soán a dő ala, ½ g ua esz meg lefelé, (+ ízsznesen állandó sebességgel mozog). Íg jön lée az eedő mozgás, am eg paabola. 34
ede hajíás Láhaó, hog a mozgás síkmozgás, amel az síkban meg égbe. Ebben az eseben az dőpaamée kküszöböléséel az egk koodnáá kfejezhejük a másk függénében: f() Ez neezzük pálaegenlenek. fede hajíás eseén az dő az kfejeze: cosα g ede hajíás Ez az heleesíe: g α cos snα α cosα g -be -ból pála egenlee paabola. a + b fen egenleek alapján öbb kédése álasz adhaunk: - az emelkedés deje, e, (ekko ánban eg pllanaa megáll a es): snα ( e) snα ge snα ge e g -a hajíás deje, h, (a es a kezdőponon ámenő ízsznes síkba sszaé): snα ( h ) h snα gh h e g -a hajíás magassága (a koodnáa e -hez aozó ééke): sn α sn α sn α ( e) ma. snα g g g -a hajíás áolsága (az koodnáa h -hoz aozó ééke): snα cosα sn α ( h ) ma. g g g cosα 35
ede hajíás mamáls áolsága kapo összefüggésből adódk, hog akko hajíhaunk a legáolabba, ha 45 os szögben ndíjuk a ese. z ennél ksebb áolságba ké különböző szög ala s eljuahajuk a ese. sn α amel mamáls ééké α 45 o eseén ma. g esz fel hajíás fen öéne magukban foglalják a specáls eseeke s, úgmn a függőlegesen felfelé- ag lefelé hajíás, ízsznes hajíás, sb. esee. Ne felejsük el, hog a fen egenleek eseén a kezdőfeléelek:! Ha a konké feladanál ez más éék, akko az fgelembe kell enn! Közelíe a alós esee, a leegő közegellenállásá s fgelembe kell ennünk. Ekko a ballszkus göbéhez juunk. ede hajíás deáls (paabola) pála alód pála Ha a leegő súlódásá s fgelembe esszük, akko a paabola páláól eléő pálá, az ún. ballszkus göbé kapjuk. 36
z ábáól láhaó, hog a mozgás eg ellpszs pála daabjakén íhaó le, ha a g (a gaácós öénben megfogalmazo módon lásd. később!) a magassággal álozk. ede hajíás Ha nag magasságoka kell fgelembe ennünk, ahol má a g álozásáal s számoln kell, akko a paabola hele ellpszs íja le a pálá. kömozgás Kömozgásól akko beszélünk, ha eg es köpálán mozog, azaz ha az anag pon álal leí pála eg kö. Ezen belül megkülönbözeünk egenlees kömozgás és álozó kömozgás. Egenlees kömozgás égez az anag pon akko, ha eg köpálán egenlő dőközök ala, egenlő uaka esz meg, mndg uganabban a köülfuás ánban: s ahol s : íhosszúság, : a sebesség nagsága Ekko a sebesség nagsága állandó, de az ána pllanaól pllanaa álozk. sebesség ána a kö énője ánába mua (angencáls) és ezé ponól pona álozk, ehá a mozgás, gosuló mozgás. gosulás pedg a sebesség dő szen álozása: aál Ha, akko ána a a -e meőleges ánhoz, íg mel a gosulás ána mndg a sebesség álozásának ána, a gosulás s meőleges -e. Ez az jelen, hog a gosulás a kö sugaának onalába esk, úg hog ána mnden pllanaban a kö középponjába mua. Ezé neezzük adáls (sugáánú,) ag cenpeáls (középpon /cenum/ felé muaó) gosulásnak. 37
Kömozgás Egenlees kömozgásnál sebesség nagsága állandó, ána a kö énője, azaz mndg meőleges a sugáa. gosulás a sebességálozás ánába mua, ez haáeseben meőleges a sebessége, és a sugáal ellenées ánba mua. a ál a d a a d Kömozgás a a a adáls (cenpeáls) gosulás z ábán láhaó ké háomszög hasonlóságá khasznála: ál ál ál haáámenenél: a a s a α α gosulás nagsága: az ábáól lászk, hog a, ha akko a, Tehá a gosulás mnden pllanaban a középpon felé mua, cenpeáls. adáls gosulás, és nagsága: a /. 38
Kömozgás onos meglán, hog ebben az eseben a sebesség nagsága nem álozk. m álozk, az a sebesség ána, ez okozza ez a gosulás. a Iána a kö középponja felé mua. a gosulás énőleges komponense. a adáls (cenpeáls) gosulás a s α a α Láhaó, hog az egenlees kömozgásnál a sebességeko nagsága állandó. Ezé az énő ánú, ag más néen angencáls gosulás ééke. Szögsebesség, szöggosulás Köpálán mozgó pon helzeé egszeűen megadhajuk az ado knduló helzeől mé fogásszöggel. fogásszögből a sebességgel és a pála men gosulással analóg mennségeke ezeünk le, a szögsebessége és a szöggosulás. Kömozgás Szögsebesség, szöggosulás Szögsebesség: a szögelfodulás dő szen dffeencálhánadosa: ϕ dϕ ω lm d szöggosulás a szögsebesség dő szen dffeencálhánadosa: ω dω d ϕ β lm d d fogásszög ímééke és a keüleen mege ú köz összefüggés: s ϕ keüle sebesség és a keüle (angencáls) gosulás nnen: ds dϕ ω d d s ϕ ; és s m ; m s ad d dω a β d d 39 ϕ s
z szögsebesség (ω) méékegsége: /s (s - ). Mel a szögelfodulás ( ϕ) méékegsége a adán, íhanánk, hog ad/s. De a adán: íhossz / sugá ( s/), ennek dmenzója: hossz/hossz, azaz dmenzólan mennség. Tehá, az ω fzka méékegsége: /s. Kömozgás cenpeáls (adáls, nomáls) gosulás pedg: Egenlees kömozgásnál a szögsebesség állandó, a szöggosulás pedg zéus: ϕ ϕ + ω( ) kengés dő ag peódusdő (T) ala az eg eljes kö megéeléhez szükséges dő éjük, míg a fodulaszám (n) az dőegségenkén mege fodulaok számá jelen, azaz n /T. Mndebből: π ω πn T keüle sebesség (mn eko), a szögsebesség és a heleko (sugá) ekoáls szozaa: ω a ω ω ω Lásd eko szoza! szögsebessége mn eko úg kapjuk meg, hog a ϕ-hez án endelünk (ánmennség). Ez az án meőleges a kezde és a égső heleko álal meghaáozo síka, és szembenéze ele az elfodulás + ánú (az óamuaó jáásáal ellenées, bala fogó). Valójában a ϕ éges szögelfodulás nem eknheő ekonak, csak a haáééke, az elem elfodulás: dϕ. ω szögsebesség eko: ω ϕ dϕ lm d keüle sebesség (mn eko), a szögsebesség és a heleko ekoáls szozaakén adódk: ω ( ω,, ebben a soendben, jobbsodású endsze) 4
Kömozgás Ha szögsebesség nem szöggosulás eko: dω β d a a állandó, akko beszélünk szöggosulásól (β). Ekko nlán a keüle (angencáls) sebesség sem angencáls és adáls ánú gosulásekook: a β ω ω a a a a + a állandó és a angencáls gosulás (a ) sem nulla. z ábáól láhaóan, a keüle gosulás és a cenpeáls (adáls) gosulás (a ) eko eedője adja az eedő gosulás. Állandó síkú kömozgásnál ánaω -al egező, ha ω nő, ellenées ele ha ω csökken. Ha a mozgás síkja álozk, β nem, állandó nagságú ω melle sem. gosulás pálamen, és aa meőleges komponenséhez hasonlóan, s beszélheünk engellel páhuzamos és aa meőleges szöggosulás komponensől. Tangencáls és adáls gosulás göbüle kö a a a pála smulósík Göbe onalú mozgás eseén a gosulás felbonhajuk ké egmása meőleges komponense, a angencáls (pálamen) gosulása és középpon felé muaó adáls (cenpeáls) gosulása. a a a Teszőleges göbe onalú mozgásoknál defnálhaunk eg ún. smulósíko, az a síko, amelbe (pongolán fogalmaza) legjobban belesmul az ado pálaszakasz, és eg göbüle kö, amel a legjobban lleszkedk az ado göbéhez (ponalanul). 4
a angencáls (pálamen) gosulás: d d s a d d a adáls (cenpeáls) gosulás: a R gosulás nagsága: a a + a a () a a Láhaó, hog a ömegpon gosulásá egfelől a sebesség nagságának megálozása, másfelől a pála göbülsége eedménezhe. Egenes onalú mozgásoknál: R / R azaz a gosulásnak csak angencáls komponense an. Egenlees kömozgásnál ( áll.) pedg csak adáls komponense. hamonkus ezgőmozgás knemakája Hamonkus ezgőmozgásnak neezzük az olan mozgásoka, ahol a kéés az dőnek sn(ω + ϕ ) sn(π/t + ϕ ) sn(πf + ϕ ) alakú függéne, ahol, ω, és ϕ állandók, f /T pedg a fekenca. sebesség: d/d ω cos(ω + ϕ ) a gosulás: a d /d - ω sn(ω + ϕ ) -ω hamonkus ezgőmozgás knemakája π sn( ω + ϕ) sn( + ϕ) sn(πf + ϕ) T - amplúdó [m] ω - köfekenca [/s] π ω πf T T f T ϕ - peódusdő [s] - fekenca [/s, Hz] -kezdőfázs Íg mozog pl. eg csaaugóa akaszo és kéíés uán elengede es. Tehá a kéés az dő sznuszos függéne. z amplúdó () a mamáls kéés jelen, a peódusdő (T) az eg oda-ssza ezgéshez szükséges dő, a fekenca (f)az dőegség (öbbne eg másodpec) ala ezgések számá, a kezdőfázs pedg az, hog a méés kezdeeko hol ol a es. Ez álaszhaó -nak s. fekenca /s egségé hez-nek neezzük, jele: Hz. 4
hamonkus ezgőmozgás knemakája kéés hamonkus ezgőmozgás kéés dő, sebesség dő és gosulás dő függéne: sebesség gosulás hamonkus ezgőmozgás knemakája hamonkus ezgőmozgás mn az egenlees kömozgás eülee: ϕ z egenlees kömozgás égző pon eülee az ll. az engele hamonkus ezgőmozgás égez. (Pl. eg kengő goló ánéka a falon.) cosϕ cos(ω + ϕ ) snϕ sn(ω + ϕ ) ϕ az ún. kezdőfázs, azaz a méésünk kezdeéhez ( ) aozó szögelfodulás. + ; + ω ; a a + a ω hamonkus ezgőmozgás észleesebben majd a dnamkában ágaljuk. 43
z anag pon dnamkája Kezdeben ol szoelész, És a nugó dolgok nugalomban maadak, És a mozgó dolgok előbb-uóbb megállak, És égül mnden dolog áll, és a haalmas Isen köülnéze, és láa, hog unalmas. (Tm Joseph (Unfed eld Theo) knemakában megsmekedünk azokkal a mennségekkel, amelekkel le udjuk ín hogan mozognak a esek (anag ponok). dnamka azzal foglalkozk, hog megállapísa mé mozognak a esek ado módon, azaz a esek ulajdonságaból, kölcsönös helzeéből meghaáozza a mozgás mkénjé. Ehhez új mennségek beezeése szükséges. lapeő fonosságúak lesznek ezek közül (a fzka más ágaban s) az ún. megmaadó mennségek, amelek ééke eg zá anag endszee állandó (pl. ömeg, mpulzus, mpulzusmomenum, enega). eheelenség öéne (Newon I. öéne) z óko nag göög gondolkodója szoelész (.e. 384-3) - aknek munkássága meghaáoza az egész középko szellemségé - az monda, hog a esek emészees állapoa a nugalom. zaz a esek magukól nem mozognak. Galle (564-65), ak szoelész kona Galle kíséleeel megalapoza Newon munkásságá, ez úg módosíoa, hog a esek magukól nem szoelész ndulnak el. Ha eg (.e. 384-3) Galleo Galle ízsznes síkon anulmánozzuk pepaekus (564-65) a esek emészees állapoa a nugalom, mégs mozog a öld a esek sebessége eg mozgó es sebességé, az apaszaljuk, azaz a esek magukól csak más esek nem mozognak haásáa álozk meg hog mnél jobban csökkenjük a súlódás, annál keésbé csökken a sebessége. Ez eapolála aa az deáls esee, amko a súlódás zéusnak feléelezzük, aa juunk, hog ebben az eseben a sebessége nem álozk. sebesség megálozásá, ehá eg másk es (pl. a 44
felüle, amn csúszk) okozza. Tehá kmondhajuk, hog a esek sebessége (ána és nagsága) csak más esek haásáa álozk meg. Ideáls haáese: elonakozaás, mel alapjá képez bonolulabb eseek zsgálaának. z deáls haáesee onakozó öéneke, a ájuk épülő oább köekezeések helessége (apaszalaal aló egezése) gazolja. Galle felsmeése, a eheelenség öéne, fzka aóma, azaz olan alapöén, am közelenül nem udunk eljes ponossággal gazoln, de a áépülő köekezeéseke má gen. öén Newon (64-77) fogalmaza meg a ma alakjában (Newon I., ö.: N.I.): Mnden es megaja mozgásállapoá (sebességének nagságá és áná), amíg más esek (a könezee) ennek megálozaásáa nem késze. zaz ha eg es sebessége megálozo, keesn kell a ese, ag eseke, amelek ezé "felelőssé eheők". De ajon mndg gaz-e a fen Newon I. aómája kjelenés? Vegünk eg példá! Eg onaon üle a sík, sma aszalon fgelünk eg bládgoló. Egsze Mnden es megaja mozgásállapoá csak az apaszaljuk, hog a goló a (sebességének nagságá és áná), amíg más esek (a könezee) ennek meneánban elmozdul, holo a megálozaásáa nem késze. leggondosabb zsgála sem deí fel ( eheelenség öéne) olan ese, amel ezé a Inecaendszeben gaz! mozgásállapoálozásé okolhaó lenne. Tudjuk, a ona fékeze, gosuló (negaí) mozgás égze elünk egü, míg a goló folaa egenes onalú, egenlees Newon I. aómája mozgásá. De az ado endszeben (onafülke) leő megfgelő akko s a N.I.-ől eléő apaszala esz sze. M a koek megoldás? Meg zonos onakozaás endszeekben a eheelenség öéne nem éénes. kell adnunk a öén keeé, azaz Newon I. aómája bukolan magában foglalja az, hog mlen feléelek eseén az az állíás, hog léeznek olan eljesül, neezeesen az, hog onakozaás endszeek, amelekben a eheelenség öéne eljesül. Ezeke mel onakozaás endszeben necaendszeeknek neezzük. éénes. Megállapíhaó, hog ha Inecaendsze: dealzácó, ellenőzés eg onakozaás endszeben apaszalaokkal eljesül, akko eg ehhez képes 45
egenes onalú egenlees mozgás égző endszeben sznén eljesül, de eg gosuló (ag fogó) endszeben nem. (Lásd. az Egmáshoz képes mozgó onakozaás endszeek fejezee!) Tehá a N.I. kmondásako hozzá kell ennünk, hog hol (mlen köülmének közö) éénes, azaz az, hog a N.I. csak necaendszeben éénes. E mellé defnálnunk kell, hog m az az necaendsze. z olan onakozaás endsze, amelben a N.I. eljesül, necaendszenek (eheelenség sz.) neezzük. Ha egmás mellé esszük a fen ké állíás, akko ez kapjuk: a N.I. olan endszeben éénes, amelben éénes N.I. Ez logkalag auológának (önazonosság, önhakozás) neezzük. N.I. önmagában még az sem mondja k, hog len endsze léezk. Ezé a klasszkus mechankában (az aomakus felépíés ma) poszuláljuk, hog necaendsze léezk. Ez kp. eg kálaszás szabál, amel megadja, hog a dnamka öéne necaendszehez szonía fogalmazzuk meg. kálaszás szabál megjelöl azoka a endszeeke, amelekben a öbb öén éénesül. És gazából az sem baj, hog necaendsze a gakolaban eljes ponossággal nem muahaó. öld foog a engele köül és keng a Nap köül. Napendsze keng a Tejú endsze ömegközépponja köül. Tejúendsze beagozódk a lokáls galashalmazba, és a galasok s álozó sebességgel áolodnak egmáshoz képes. z necaendsze eg abszakcó, dealzácó amelnek segíségéel öénenk egszeűen, szemléleesen megfogalmazhaók. belőle fakadó köekezméneke pedg apaszala úon udjuk ellenőzn. Newon II. aómája Eg es gosulása egenesen aános a á haó eőel és fodíoan a es ömegéel: a Vag: m z aómák közül, alán a legfonosabb a másodk. z alábbakban észleesen elemezzük, hog az összefüggésben szeeplő mennségek m s jelenenek ponosan. ma ( dnamka alapöéne) 46
Newon II. aómája ma m: ömeg a esek eheelenségének mééke. ömegealon: ömeg egsége a pázs Tömeg és Mééküg Haalban őzö plana-dum öözeből készül hengees es ömege, a klogamm [kg]. z aomok és molekulák lágában eg másk ömegegség s használaos. z aom ömegegség a szénaom ömegének / észe, azaz TE,665-7 kg. Tömeg: a ömeg egk köznap jelenése az, hog nagság, mennség, sokaság (anagmennség, pl. a kémában). I más éelemben fogjuk használn ez a köznap fogalma. fzkában - akácsak más udománokban s - sok olan szó, fogalma használunk, amelek a köznelben s előfodulnak, de sokszo más jelenéssel, ag keésbé ponos jelenéssel. Ezé mndg meg kell adn, hog az ado kfejezésen ponosan m éünk. Induljunk k ké es kölcsönhaásából! Pl. egünk ké légpánás sínen mozgó kskocs. Ha az egke neklököm a másknak, akko az üközés soán mndké kocs mozgásállapoa megálozk. Vag ha ké kocsolás embe köéllel húzza egmás (egk a máska) akko mndkeő mozgásállapoa megálozk. Ké es kölcsönhaása soán, mndké es mozgásállapoa megálozk. kocsolások példájánál maada, az apaszaljuk, hog a köéebb mozgásállapoa keésbé álozk meg. sebességálozás ána ellenées, míg a nagságuk hánadosa eg ado espáa jellemző állandó. z mondjuk, hog es ömege (m ) n szeese es ömegének, ha a kölcsönhaásuk soán, es sebességálozása n-ed észe es sebességálozásának. zaz, / /n m /m n ag: m nm ; n - fen példá álalánosía, mnden eshez eg m ömege endelheünk, melen az m / kg mennsége éjük, ahol az kg az ún. ömegealon. és a méendő es és a ömegealon pákölcsönhaásánál fellépő sebességálozások. Ezek a sebességálozások azonos dő ala öének, azaz a gosulások s úg aánlanak egmáshoz, mn a sebességálozások: / a / a. ömeg nem ezeheő ssza (a klasszkus fzkában) a hosszúság és az dő alapmennségeke. z íg beezee ömeg, a esek azon ulajdonságá jellemz, hog a sebességüke megálozan gekő haásoknak (különböző méékben) ellenállnak. ömeg a esek eheelenségének mééke. 47
Newon II. aómája ma Eg smeelen es m ömegének meghaáozása: alkalmazzunk azonos eő az m és m ömegeke és méjük meg, hog azok mekkoa a llee a gosulása esznek sze. m m a és m a z eők egenlősége ma: m a m a azaz m m - eheelen ömeg (m ): a esek dnamka ulajdonságá jellemz a a N.II. alapján eg es (eheelen) ömegé eg sme eő aja okozo gosulásának mééséel haáozhajuk meg. Ez neezzük dnamka ömegméésnek. - súlos ömeg (m s ): a gaácós eőé foásakén szeeplő gaácós ölés (Relaáselméle: a ömeg függ a sebességől) ( elaáselméle ágalásako lán fogjuk, hog a ömeg nem állandó különböző sebességeknél, hanem a sebességgel nőn lászk. De ez a (elaszkus) haás, csak nagon nag, a fénsebessége megközelíő, sebességeknél jelenős. Ksebb sebességeknél, jó közelíéssel állandónak eknheő.) I szóln kell a kéfaja ömegől. mos beezee ömeg az ún. eheelen ömeg (m ), amel a esek dnamka ulajdonságá jellemz. gaácós kölcsönhaás ágalásako, lán fogjuk, hog a gaácós eőé foásakén szeeplő gaácós ölés jellegű mennsége s ömegnek neezzük, ez ún. súlos ömeg (m s ). Newon II. aómája Néhán eőöén: -ugalmas eő: - nehézség eő: -ál. ömegonzás:, γ mm ma z eő számazao mennség, méékegsége a [kgms - N(newon)]. ömegpona haó eő, a ömegpon és a ele kölcsönhaásban leő es elaí helzeének, sebességének, defomácójának, belső állapoának, sb. egéelmű függéne. Ez a függén eőöénnek neezzük. D mg - elekoszakus eő:, - Loenz eő: Emlékezeő: QQ k 48 Q a nég alapeő kölcsönhaás (eő) Eő esek kölcsönhaásában megnlánuló fzka mennség. z eő a gosulás oka. Eőöének: kjelenjük, hog eőöének léeznek, és a köülmének egéelmű függéne.
I a "kjelenés" hangsúlozása smé a klasszkus mechanka aomakus felépíésé emel k. Ez üköz az a szándéko, hog megalkoó, a mnának ekne eukledész geomeához hasonló fomá akaak adn nek. Newon II. aómája z mpulzus (lendüle, mozgásmennség): m I m kg s z eő az mpulzusálozás gosasága: di d di d m d d ( ) d m d ma (ha m állandó) Ké ömegponnál: Vag: I I I I' + ' + I I Impulzus (lendüle) z ömeg és a sebesség szozaakén defnál mennsége mpulzusnak (lendülenek) neezzük. Ké ömegpon kölcsönhaásánál, mndké ömegpon mpulzusa megálozk, és az mpulzusok álozása egenlő nagságú és ellenées ánú: I I Máskén, ké ömegpon összmpulzusa a kölcsönhaás soán állandó maad: ez az mpulzusmegmaadás öéne. I I' + ' + I I ( baloldalon a kölcsönhaás elő, a jobboldalon a kölcsönhaás uán mpulzusok állnak. Később észleesen kéünk á.) z mpulzusálozás az előző eseben egenlő nagságú és ellenées ánú ol, és ez függelen aól, hog mlen ípusú kölcsönhaás an a esek közö. z, hog mlen nagságú és ánú ez az mpulzusálozás, má nem függelen eől. kölcsönhaás pllanan eősségének mennség jellemzőjéül az mpulzusálozás gosaságá álaszjuk, és ez eőnek neezzük. Ez az eő eg másk defnícója. (Eedeleg Newon íg fogalmaza meg az eő.) Newon III. aómája (N.III.) Ha eg ömegpon eő gakool eg másk ömegpona, akko a másk s eő gakool az egke. (z eők mndg páosáal lépnek fel.) ké eő egenlő nagságú és ellenées ánú. Ez más néen a haás - ellenhaás (akcó - eakcó) öéne. 49
Newon III. aómája Ha eg ese a es eő gakool, akko az es s ha -e uganolan nagságú, de ellenées ánú eőel. ( haás-ellenhaás öéne) hana, akko kompenzálnák egmás, nem lenne mozgás. Ez kp. az mpulzusmegmaadásból s számazahaó. kölcsönhaás deje mndké ese (ömegpona) ua., ehá a I I egenle mndké oldalá elosza a kölcsönhaás dejéel, a megfelelő eőke kapjuk. onos megjegezn, hog az eőpában fellépő ké eő, különböző eseke ha. Ha uganaa a ese Newon IV. aómája Ha eg ese egdejűleg öbb eő ha (öbb esel Ha az anag pona egdejűleg öbb eő an kölcsönhaásban), a ha akko ezek egües haása egenéékű ömegpon úg mozog, eko eedőjük haásáal. mnha egedül a á haó (z eőhaások függelenségének ele, szupepozícó ele) eők eko eedője hana E + + C ma á. D + D Más szóal, az eők z eők ekokén összegződnek. ekoálsan E C összegződnek. Ez a szupepozícó ele, am szokak Newon IV. j aómájának (N.IV.) s neezn. Emlegek még, mn az eők függelenségének az elé", azaz, a ömegpona egdejűleg haó eők, egmás nem befolásolják, haásak zaaalanul egmása akódnak (szupeponálódnak). szupepozícó ele nemcsak az eők heles összegzésé haáozza meg, de fodío ánban alkalmaza az s leheőé esz, hog a ese haó eőke különböző ánú komponenseke bonhassuk. Specáls ese, ha a ömegpona haó eők eedője. Ekko a ömegpon neca (eheelenség) mozgás égez, azaz állandó sebességgel halad. (Ha ez az állandó sebesség, akko áll.) 5
Szaka Ha a es nugalomban an, ag egensúlban an,, akko beszélünk szakáól. szaka eőméés alapja eg ugalmas es defomácója soán kelekező feszülség és az mg súleő egensúla, azaz a N.III.-a alapul. apaszala szen, az egenlő ömegű esek súla egenlő. Ez másképpen az jelen, hog a gaácós gosulás mnden ese azonos, és függelen az anag mnőségől. súlos ömeg (m s ) nag ponossággal aános a eheelen ömeggel (m ). Ez nag ponossággal mée meg Eöös Lóánd, aknek méés módszee legendás ol a koában. mechanka alapja a Newon aómák. z aómák közelenül nem bzoníhaó éelek, noha nlánalóan a bennük megfogalmazo állíások eedendően a apaszalaban gökeeznek. Igazságuka a belőlük leonhaó köekezeések apaszalaal aló egezése dön el. apaszala pedg az muaja, hog a Newon-féle dnamka alapján pecízen leíhaó a mechanka jelenségek endkíül széles köe. De mn mnden fzka elmélenek, a newon dnamkának s megannak a maga koláa: nagon gos, a fénsebessége megközelíő mozgások eseén, alamn a mkoészecskék lágában a klasszkus elméle kegészíése szoul. Éénesség köé kejesze áesz helé a specáls elaáselméle és a kanummechanka. dnamka alapegenlee a IV. aómáal kegészíe II. aóma: dnamka alapegenleének álalános alakja II. és IV. aóma alapján a dnamka alapegenleének álalános alakja: ma e (,, ) z eő álalában a ömegpon helekoának, sebességének és az dőnek függéne. Kéféle poblémakö: -mozgásbóleőöén (ndukcó) /pl. bolgómozgásból ga. ö./ -eőöénből mozgás (dedukcó) /pl. D ből ham. ezgés/ kezde feléelek + a dff. egenle megoldása, mechankában az okság ele mechankában kéféle feladakö fogalmazhaunk meg:, a ömegpon mozgásának megfgelése úján (a heleko dőfüggésének megállapíásáal) köekezeünk a gosulása, azaz a ömeg smeeében az eőe: eőöének felállíása (ndukcó). 5
, a másk feladaköben az alapegenle alkalmazása fodío ánú. z eőöének smeeében (ha az.-es ponban leí módon má megaláluk) a gosulás, majd a helálozaás meghaáozása (dedukcó). Ez a mechankában megfelel az okság elének. kezde feléelek, és a ese haó sme eők, a es később helzeé egéelműen meghaáozzák. z anag pon nem endszeelenül mozog, hanem a könező lág álal meghaáozo módon. Kénszemozgások Kénszemozgás soán a esnek, eg meenek eknheő felüleen ag göbén kell maadna, ag mozgásá más geomea feléelek koláozzák. z eő mel a kénsze bzosíja (pl. ado felüleen aja a ese) kénszeeőnek, a geomea feléel, pedg kénszenek ag kénszefeléelnek neezzük. Ha eg eőől hangsúlozn akajuk, hog nem kénszeeő, szabadeőnek neezzük. Pl. eg aszala heleze es nugalomban an, mel a á haó mg súleő kompenzálja a ele ellenées ánú kénszeeő, am aszal lapja fej k a ese ( k ). k mg + k k mg m g Néha megkülönbözek a súleő és gaácós eő. gaácós eő a es ömegközépponjában ha, a súleő az aláámaszás felüleen, a gaácós eő haásonalában lefelé (ez nomja a felülee). Ha nncs aláámaszás (felfüggeszés) a es szabadon esk. Ekko beszélünk súlalanságól. De a gaácós eő ekko s ha. Lásd a meseséges hold eseé, lejjebb! Lejő: kénszemozgások bemuaásáa példakén eknsük eg es lejőn öénő súlódásmenes mozgásá! Ekko a ese ké eő ha, az m g súleő és a lejő álal kfeje, a lejőe meőleges ánú k kénszeeő. onsuk fel a súleő a lejőel páhuzamos és á meőleges komponenseke: mg snα mg cosα kénszeeő megakadálozza a kénszefelülee meőleges mozgás. es a lejőe meőlegesen nem gosul, s íg a dnamka alapegenleé a lejőe meőleges ánú komponenseke felía kapjuk: mg cosα mg cosα k k Α lejőel páhuzamos ánban: ma mg snα Íg a lejőn súlódás nélkül lecsúszó es gosulása: a g snα 5
Lejő: mg cosα α k mmg g mg snα Lejőe meőleges komponens: mg cosα mg cosα Lejőel páhuzamos komp.: a gosulás: k a g snα k α ma mg snα k Göbe onalú mozgások: knemakában láuk, hog a göbe onalú mozgások eseén a gosulás énőleges (angencáls) és sugáánú (más neeken: adáls, nomáls, cenpeáls) komponenseke bonhaó fel. dnamka alapöénének ( ma ) felhasználásáal können felíhajuk az eges gosuláskomponensek léehozásához szükséges eőke: d angencáls komponens: ma m a adáls komponens: d ma m Tehá az elsőnél a sebesség nagságának álozása adja a gosulás, míg a másodknál a sebességeko Kénszemozgások Egenlees kömozgás dnamkája: a Innen az eő: m m mω knemekából: ekoosan: m cenpeáls eő ánának álozása okozza az. adáls eő kfejhe pl. eg köél (köéle köö ese pögeünk), ag eg göbül pála kénszeeeje, ag a gaácós eő, sb. Egenlees kömozgás eseén az énőleges komponens, azaz csak a cenpeáls komponens maad meg: 53 m
Példakén eknsük eg h magasságban a öld köül köpálán kengő m ömegű meseséges hold eseé! dnamka alapegenleének alkalmazásáal haáozzuk meg a kengés sebességé! meseséges holda egelen eő ha, a öld álal kfeje g gaácós onzóeő: Egenlees kömozgás dnamkája: öld köül köpálán kengő esnél: g m m m m γ γ ( R + h) R m g h ez okozza a cenpeáls gosulás : m m γ m R ( R + h + ( ) h) ebből a kengés sebesség: γ m ( R + h) Ezé a öld köül kengő es folamaosan szabadon esk a öld felé, mközben an eg ízsznes ánú sebességkomponense s. Íg esése közben kfog alóla a öld, mondhanók, köbees a ölde. Ez a súlalanság állapoa. es nncs aláámasza (felfüggesze), nncs súleő. Ha á szon a gaácós eő, ez okozza a gosulásá. Ha h<< R R + h R íg: γ m gr R 7,9 km s ez az ún. első kozmkus sebesség. Ekkoa ízsznes ánú sebességgel kell endelkezne eg esnek a öld felszínének közelében (pakkusan a sűű légkö fele), hog ne essen ssza a ölde, hanem kengjen köülöe. nem-egenlees Kénszemozgások nem-egenlees kömozgás dnamkája: kömozgásnál, mel a keüle Álalános eseben az eedő eő ké egmása meőleges komponense bonhajuk : sebesség nagsága angencáls (pálamen) s álozk, fellép d eg keüle ma m gosulás. Ehhez d endelheő a adáls (cenpeáls) angencáls (pálamen) eőkomponens. z m e eedő eő a cenpeáls és a e + angencáls eők eko eedője lesz. 54
Göbe onalú mozgások: göbüle kö pála smulósík Göbe onalú mozgás eseén s felbonhajuk az eedő eő ké egmása meőleges komponense: d ma m m d angencáls (pálamen) adáls (cenpeáls) hog a knemakában láuk, mnden göbe onalú mozgás eseén a gosulás felbonhaó ké, egmása meőleges komponense, a angencáls és a adáls gosulása. z ezekhez aozó eőke egszeűen képezhejük Newon II. aómájának felhasználásáal. Mozgás akadálozó eők Súlódás Ha eg ese eg ízsznes felüleen alamlen sebességgel elndíunk, akko annak mozgása fokozaosan lassul, míg égül megáll. ké egmáson elmozduló felüle közö fellép ehá eg elaí mozgásuka akadálozó eő, am csúszás súlódás eőnek neezünk. apaszala szen a csúszás súlódás eő első közelíésben csupán a ké felüle köz k nomóeőel aános, de nem függ a felüleek nagságáól és elaí sebességéől: s µ k ag eko alakban: s µ k negaí előjel az jelen, hog a súlódás eő ána mndg ellenées a felüleek elaí sebességének ánáal. µ aánosság énező csúszás súlódás egühaónak neezzük, ééke az énkező felüleek anag mnőségéől függ. Súlódásól eg felüleen nugó es eseén s beszélheünk, ugans az csak akko kezd el a felüleen csúszn, ha a áhaó felüleel páhuzamos eő nagsága elé eg meghaáozo küszöbééke. z elndulás akadálozó eő apadás súlódás eőnek neezzük. apadás súlódás eő küszöbéékée s gaz, hog függelen a felüleek nagságáól, csak a felüleek mnőségéől függ és egenesen aános a felüleek közö nomóeő nagságáal, azaz µ k alakban íhaó fel, ahol µ a apadás súlódás egühaó, amelnek ééke mndg meghaladja a megfelelő csúszás súlódás egühaó ééké, azaz µ > µ. z eőe íg a köekező összefüggés íhajuk fel: 55 µ k
Eg felüleen nugó es eseén éppen akkoa, hog a ese haó szabadeők felüleel páhuzamos komponensé kegensúlozza. z ábán a súlódás eő Mozgás akadálozó eők csúszás súlódás eő első közelíésben ( s ) lájuk a ese Súlódás: csupán a ké felüle köz k nomóeőel alkalmazo eő () aános, de nem függ a felüleek nagságáól és elaí sebességéől. függénében. Láhaó, hog a súlódás eő s µ µ: csúszás súlódás egühaó s µ ; ; k k nagsága egenlő az Tapadás súlódás eő: alkalmazo eőéel s mndaddg, amíg a es Tapadás µ nem mozdul meg. Ez a k ma Súlódás apadás súlódás. mko µ > µ a es megmozdul, a súlódás eő lecsökken, µ k és állandó éékűé álk. I má csúszás súlódásól beszélünk, hszen a es mozog a felülehez képes. súlódás eő oka egész a esek édessége. ks kálló észek egmásba akadnak, elönek, defomálódnak, ezgésbe jönnek. Súlódás soán hő kelekezk. Másész, ha nagon sma a ké felüle, Mozgás akadálozó eők má észecskék közö Lejő súlódással: onzóeő s jelenőssé álk. ( Ménök Kaon s µ k k a modellane szen a ménökhallgaóknak a. mg snα α szemeszeben an a zka laboaóum mg cosα mgm g α zka labo! gakola. Ennek keeében kíséle mko a es éppen megcsúszk a lejőn: µ k úon meghaáozzák öbb µ cosα mg snα es apadás súlódás mg µ mg cosα mg snα egühaójá.) z el az, µ gα hog amko a lejő hajlásszögének nöelése soán a es éppen megcsúszk, akko a hajlásszög angensének számééke megegezk a apadás súlódás egühaó éékéel. (Lásd az ábán!) Ez megfelel a felső ábán a szaggao onal álal jelze pllananak. 56
Közegellenállás Közegellenállásnak neezzük a foladékban, llee légnemű közegben mozgó esek eseén fellépő, mozgás akadálozó eő. súlódással szemben a közegellenállás függ a mozgó es sebességéől és alakjáól s. Ks sebességek eseén, amko a es köül kalakuló áamlás éeges, a közegellenállás aános a sebességgel, s azzal ellenées ánú: ahol a k közegellenállás énező függ a közeg anag mnőségéől, a mozgó es alakjáól és méeéől. Nagobb sebességek eseén a es köül áamlás öénessé álk, am a közegellenállás megnöekedéséhez eze: ke ~. Pl. leegőben: k ke Cρ. hol a es sebessége meőleges keeszmeszee (homlokfelülee), ρ a leegő sűűsége, és C az ellenállás-énező ag alakénező (ééke gömb alakú esnél,5, szabálalan alakúnál s lehe) Lásd a hdodnamkában! ke Egmáshoz képes mozgó onakozaás endszeek mechanka alapöéne necaendszeben éénesek. (Ee fogalmazuk meg azoka.) Nézzük meg, mkén módosulnak a mechanka öének, ha egmáshoz képes mozgó onakozaás endszeekben íjuk fel őke! a) Egenes onalú, egenlees anszlácó égző koodnáaendszeek Téelezzük fel, hog a K' onakozaás endsze K-hoz képes állandó sebességű, egenes onalú, egenlees anszlácó égez, alamn, hog a dőpllanaban a ké koodnáaendsze kezdőponja Egmáshoz képes mozgó onakozaás endszeek egbeese. Eg a) Egenes onalú, egenlees anszlácó ömegpon helzeé K- égző koodnáaendszeek ban jellemezze az K X Z Y K' Galle-féle elaás el: X' Z' ' ' P Y' a gosulások ( 57 + ' sebességek: + ' áll.): z egmáshoz képes egenes onalú, egenlees anszlácó égző koodnáaendszeek a mechanka jelenségek leíása szemponjából egenéékűek. Ha az egk len endsze necaendsze, akko a másk s az. + ' a a' heleko, míg K'-ben az ' heleko. Legen a K' endsze ogójának helekoa a K endszeben. Láhaó, hog + + ' ' Ebből dő szen dffeencálással a sebességeke a
köekező összefüggés kapjuk: + ' Ez, az ún. sebességösszeadás öén (egenes onalú, egenlees anszlácó égző koodnáaendszeek eseée a klasszkus mechankában). Pl. ha eg a öldhöz képes sebességgel haladó onaból, a onahoz képes sebességgel khajíok eg ese, akko a es öldhöz szonío sebessége e keő (eko) összege lesz. (I a ölde necaendszenek eük. Hamaosan lán fogjuk, hog ez nem gaz, de sok eseben eől eleknheünk. z s lán fogjuk majd a specáls elaáselméle ágalásako, hog a fén ákuumbel sebességé megközelíő sebességeknél ez az egszeű összeadás má hams eedméne eze. Ezé o új szabál kell.) + ' - még egsze dffeencála dő szen (nem felede, hog áll.): a a' ömegpon gosulása ehá mndké endszeben uganaz. Nlán a ömegpona haó eedő eő s uganaz, hszen az csak a öbb eshez szonío elaí elhelezkedésől és sebességekől függ. ömeg pedg a klasszkus mechankában a onakozaás endsze megálaszásáól függelen állandó. zaz ha eg magáa hago ömegpon nem gosul K-ban, akko nem fog gosuln K'-ben sem. Mndez az jelen, hog ha a K onakozaás endsze necaendsze, akko mnden hozzá képes egenes onalú egenlees mozgás égző K' onakozaás endsze s az. (Ha K nem necaendsze, akko mnden hozzá képes egenes onalú egenlees mozgás égző K' onakozaás endsze sem az.) haó eők, ömegek, gosulások azonosságából köekezk, hog az eges endszeekben a közöük fennálló elácók s uganolan alakúak lesznek. Más szóal a mechanka jelenségek alapján nem eheő különbség az egmáshoz képes egenes onalú egenlees mozgás égző onakozaás endszeek közö. Ez a én fejez k a Galle-féle elaás el: z egmáshoz képes egenes onalú, egenlees anszlácó égző koodnáaendszeek a mechanka jelenségek leíása szemponjából egenéékűek. Ha az egk len endsze necaendsze, akko a másk s az. Gako hba zsgán, hog ennél a éelnél k. csak a Galle-féle elaás ele emlí meg. Ez önmagában, a fen éelmezés és leezeés nélkül keés, és különösen nem meggőző, ha példákkal és a megéés, lénege üköző gondolameneel nncs aláámasza. b) Gosuló anszlácó égző koodnáaendszeek Eleenísük fel úja az az necaendszeek beezeésénél emlíe gondolakísélee, amelben eg a gosulással mozgó onaon elheleze aszalon fgeljük eg bládgoló selkedésé! 58
Ilenko mndg édemes sszalapozn a hakozo észhez. (I a 45. old.) Ez segí a megéés, a memozálás, az összefüggések áeknésé, az egséges szemlélemód kalakulásá. És a zsgán ké éelnél s eladhajuk uganaz! onaon ülő megfgelőhöz képes a goló a gosulással mozog, noha semmféle másk es sem endelheő hozzá ehhez a mozgásállapo álozáshoz. Pesze a peonhoz ögzíe K necaendszeből néze a goló egenes onalú egenlees mozgás égez, a gosuló ona a hozzá ögzíe aszallal egü egszeűen kszalad a goló alól. K' endszebel megfgelő a goló álala észlel gosulásá a dnamka alapegenlee szen eg ma eőnek ulajdoníja. Vag aká fodía, ha a megfgelő ma eőel bzosíja a goló nugalm helzeé, úg az egensúl ma fel kell éelezne eg ma eő léé. Mndezek alapján, ha eg necaendszehez képes a gosulással mozgó endszeben s használn akajuk a dnamka alapegenleé, akko az necaendszeben s fellépő alód eőkhöz hozzá kell adnunk az eh ma ún. eheelenség eő. Íg a K' onakozaás endszeben a dnamka alapegenleének álalános alakja a köekezőképpen íhaó fel: ma' ma. alód eő az jelen, hog eg másk es okozza. eheelenség eő azé nem alód eő, me nem eg másk es okozza, hanem a gosuló endszeből és es eheelenségéből fakad. Egmáshoz képes mozgó onakozaás endszeek b) Gosuló anszlácó égző koodnáaendszeek a K Eg külső megfgelő szen a ona gosul, a goló eheelen ömege ennek ellenálln gekszk. ma K' Eg a onaal egü mozgó megfgelő szen a goló eg láhaalan eő gosíja. ma' m eh a ma 59
c) ogó onakozaás endszeek gosuló anszlácó égző onakozaás endszeekhez hasonlóan a fogó onakozaás endszeekben s fellépnek a alód eők melle eheelenség eők. leezeés mellőzéséel csupán közöljük, hog eg K necaendszehez szonía ögzíe engel köül állandó ω szögsebességgel fogó K endsze eseén a dnamka alapegenlee: m a' + m ' ω + m ω alakban íhaó fel, ' ahol ' és ' a ömegpon K' endszebel helekoá és sebességé jelenk. fellépő kéféle eheelenség eő cenfugáls eőnek: m 'ω, és Cools-eőnek: m' ω neezzük. Egmáshoz képes mozgó onakozaás endszeek c) ogó onakozaás endszeek K K' m s Eg K necaendszehez szonía ögzíe engel köül, állandó ω szögsebességgel fogó K endsze eseén, a dnamka alapegenlee: ω ma' cf m' + m' ω + m' ω cf ω s Egmáshoz képes mozgó onakozaás endszeek c) ogó onakozaás endszeek cp cp m cp mω m 'ω cp cf m Co Cenfugáls eő: mω m 'ω cf cf cenfugáls eő eg olan eheelenség eő, mel a fogásengelől sugáánban kfelé mua a fogó endszeben. z alább ábán láhajuk eg megpögee hodóban leő megfgelőe haó eők necaendszeben, ll. a fogó endszeben öénő leíásá. z necaendszeben ha a cenpeáls eő, mel a köpálán öénő mozgás okozza. Ez eg alód eő (a köél, ll. a hodó alja közeí) és a fogásengel felé mua. fogó endszeben a cenfugáls eő lép fel, amel nem alód eő, nem es okozza, és ez a fogásengele meőlegesen kfelé mua. 6
Gako hba, hog a cenfugáls eő a cenpeáls eő elleneejének defnálja k. Ez nem gaz! keő nem egü lép fel, me más endszeben használjuk az egke ll. a máska. Inecaendszeben a cenpeáls-, míg a fogó endszeben a cenfugáls eő használjuk. Cools-eő Képzeljük el, hog az ábán láhaó koongo megpögejük, majd a ölcsébe eg goló dobunk! másodk ába felülnézeből muaja, hog a goló mlen pálá í le. koonggal egümozgó megfgelő ez úg éz, mnha eg láhaalan eő a goló sebességée meőlegesen hana, és íg eléíené az egenes onalú pálájáól. Ez a eheelenség eő a Cools-eő: m ' ω. Lájuk, Egmáshoz képes mozgó onakozaás endszeek c) ogó onakozaás endszeek Cools-eő: Co m ' ω Gaspad- Gusae Cools (79-843) Co hog ez az eő mndg meőleges a sebességekoa és a szögsebesség-ekoa, és áná a jobbkéz-szabál haáozza meg. (Lásd. ekoáls szoza!) z ábán láhaóan a sebességekoa jobba meőlegesen ha a Cools-eő, és íg a goló mndg a sebességéhez képes jobba éí el. I a fogás pozí ánú (azω felfelé mua). Negaí fogásánnál bala éülne el. Teheelenség eők a fogó öldön: π öld ω szögsebességgel foog engele köül. (z állócsllagokhoz szonía. Naphoz 8664 s képes 4 6 6 864 s a köülfodulás dő.) Ezé a 99,5 N N öld öldhöz ögzíe onakozaás endszeben s fellép a cenfugáls eő és a Cools-eő. cenfugáls eőnek ulajdoníhaó a öld lapulsága és (észben) a felszín gaácós gosulás (g) helfüggése. Valójában az mg súleő a Newon-féle gaácós öénből fakadó nehézség eő és a cenfugáls eő eedője. Ennek köekezméne az, hog az egenlíőn ksebb a esek súla, mn a sakokon. 6
öldön fellépő Cools-eő zsgálaához célszeű ω - ké komponense bonanunk: ω ω snϕ és ω ω cosϕ. ϕ földajz szélességű helen leő megfgelő számáa ω függőleges, míg ω ízsznes ánú. Íg a Cools-eő s ké komponense bonhaó: C m ω és C m ω. Egmáshoz képes mozgó onakozaás endszeek c) ogó onakozaás endszeek fogó öld: ω ω π 8664 s ω ω snϕ ω ω cosϕ ω ω Cools eő: C m ω C m ω z C eő az észak félekén ízsznes síkban mozgó eseknél a sebessége meőlegesen jobba muaó eő jelen (a dél félekén bala muaó). Ezen eő köekezménekén a folók a jobb pajuka mossák az észak félekén, de szeepe megfgelheő a passzászelek, cklonok kalakulásánál s. Cools-eő C komponense jászk szeepe a oucaul-féle nga kíséleben s. 85-ben oucaul a pázs Panhenonban eg 67 m hosszú köéle eg 8 kg ömegű ese függesze, és íg eg síkngá képeze demonsála a öld fogásá. lengő ömege eg ű heleze, az a alaja eíe homokba ajzola a mndenko lengés síkjá. Íg láhaó ol, hog a lengés sík 5 /h sebességgel elfodul északkele-dél ánba. Mel az nga megaja lengés síkjá, alaa a öldnek kell elfodulna. Ez a műel közönség számáa bzoníoa a öld fogásá. z C eő a függőlegesen lefelé eső eseknél kele ánú elmozdulás okoz, m magasságnál,5 cm- a m szélesség köünkön. kele-nuga ánba mozgó eseknél pedg függőleges ánba mua, mégpedg úg, hog a nuga felé mozgó eseknél az észak félekén súlnöekedés okoz (Eöös effekus). Cools-eő haása megéendő (és a zsgán demonsálandó), édemes a készülés soán az eő ánának meghaáozásá a ekoszozás szabálanak alkalmazásáal gakooln! 6
Munka és enega Noha a dnamka alapöénenek közelen alkalmazása leheőé esz a mechanka poblémák megoldásá, bzonos eseekben mégs gosabban célhoz éünk, ha az eők és gosulások hele egéb leszámazao fzka mennségeke használunk. fzkában különösen hasznosnak bzonul a munka és az enega fogalmának beezeése és alkalmazása. Teknsünk eg ese, munka amelnek egenes Munka: onalú elmozdulása elmozdulás soán, állandó eő ha: legen mközben állandó eő ha á. z eő álal égze méékegsége: munkának az és ekook skalás [J Nm] szozaa álal defnál mennsége neezzük: α W cosα, s cosα am úgs megfogalmazhaunk, hog a égze munka megegezk az eő elmozdulás ánába muaó komponensének ( s ) és az elmozdulásnak a szozaáal: W s. munka ehá (mel skalászoza eedméne) skalá mennsség. s munka defnícójából adódóan nem öénk munkaégzés, ha az eő és az elmozdulás meőlegesek egmása. munka negaí, ha az elmozdulás és az eő elmozdulás ánú eülee ellenées ánúak, azaz ha α ompaszög. W cosα munka méékegsége a joule [J Nm]. z előbb defnícó mn láuk akko gaz, ha az eő álozalan (nagsága és ána s állandó) az elmozdulás soán. Hogan számolhajuk k a munká, ha az, az elmozdulás soán álozk? Pl. nézzük meg, hog eg ( ) eőében, ahol az eő ponól pona álozk, eg eszőleges göbe onalú pálán mozgó ömegpon eseén a pála és ponja közö mképpen számíhajuk k az eőé álal munkaégzés az mén egszeű defnícóa sszaezee! Osszuk fel az és ponok közö a pálá N db apó szakasza! Legenek ezek a páladaabok olan ödek, hog eg ado aománon belül az eőé má ne álozzon számoeően, s bámelk páladaabka a ké égé összeköő elmozdulásekoal jól közelíheő legen! s s 63
Munka W Ha az eő álozk az elmozdulás soán: z. páladaab menén égze munka: W W Ponosan: lm N N Ha öbb eő ha: d az ado páladaab eszőleges ponjában haó eő. z és ponok közö égze (eljes) munka: N ag: W W munkam az eő elmozdulás (ú) szen negálja. ds Nlán mnél fnomabb feloszás álaszunk, ezek a feléelek annál jobban eljesülnek. z. páladaab menén égze munká jól közelíhejük a W mennséggel, ahol az ado páladaab eszőleges ponjában (pl. kezdőponjában) haó eő. Íg az és ponok közö égze munkáa az alább becslés adhajuk: W N Ha az oszásponok számá mnden haáon úl nöeljük, mégpedg úg, hog az eges páladaabkák hossza mnden haáon úl csökkenjen, akko a fen összeg haáééke pecízen megadja a égze N munká: W lm d ahol az egenle jobboldalán álló szmbólumo az eő és N ponok közö pálamen negáljának (onalnegáljának) neezzük. (z negál íhajuk íg s: W ds, ahol s az eőnek a pllanan elmozdulás ánába eső komponense.) Álalános eseben s ehá a munká az eő pálamen negálásáal haáozhajuk meg. Ha a ömegpona öbb eő ha, akko az eedő eő munkája megegezk az eges eők munkának algeba összegéel. fen elmondoaka lluszálandó nézzük az alább ábá, ahol az eő ábázoluk az elmozdulás függénében! s 64
Munka Munka: z (a) ábán eg églalap eüleének számééke,, megegezk a ks szakaszon égze munkáal, Munka W W d munkam az eő elmozdulás s (ú)( szen negálja. (Vonalnegál, lásd maek!) ha az eő a ks szakaszon állandónak esszük. Íg, ha a göbe ala eülee közelíjük a sok ks églalap eüleének összegéel, száméékben a álozó eő és közö munkájának számééké közelíjük: W f. göbe ala eüle ponos méőszámá, (b) ába, negálással kapjuk meg: W d. Ez adja meg a égze munka ponos ééké. z negálás pecízebb és mélebb kfejésé lásd a maemaka analízs ágnál! f f Néhán példa: Munka Pl. a súlódás eő álal égze munka: s W s s negaí előjel onnan adódk, hog a súlódás eő ellenées ánú az elmozdulással, azaz az eő és az elmozdulás 8 -os szöge zának be, és: o cos8 W s cosα I s a súlódás munká jelen. Nlán ebben az eseben ez megegezk az elmozdulás egenesébe eső eőel ( s ). 65
Munka Homogén gaácós ében gaácós eő álal égze munka: (ahol a gaácós W cosα éeősség, ll. gosulás mnden ponban állandó), a mg W mgh munkaégzés uganannnak h adódk az és közö D bámelk úon. Ha pl. -ből előbb C-be, majd onnan -ba megünk, a C úon égze I g állandó. Válozó g eseén, lásd később (a gaácós énél)! mmgg h munka: mgh. (z eő és az elmozdulás szöge, és cos.) C szakaszon C az eő és az elmozdulás köz szög 9, és cos 9.) ámlen ua álaszok s, az mndg függőleges és ízsznes szakaszoka oszhaó, ahol a ízsznes szakaszokon a gaácós é munkája zéus lesz, míg a függőleges szakaszokon az összegzés uán: mgh. Ez jó közelíéssel gaz a öld felszínén ks magasságkülönbségek eseén. (z az álalánosabb esee, amko a gaácós é magassággal öénő álozásá s fgelembe esszük, később ágaljuk.) Munka ugóeő álal égze munka: ugóeő nagsága: D ugóeő munkája: W D D W 66 hog az ábán lájuk, a ugóeő - ól lneásan nő a mamáls D éékg. z eő elmozdulás gafkonon, a munká jellemző eüle méőszáma, azaz a háomszög eülee: D /. Ez adja meg a ugóeő munkájá elmozdulás soán. Ha észleesebben elemezzük, akko különbsége kell ennünk aszen, hog az akuáls ugóeő ána egbeesk-e a es elmozdulásának ánáal, ag pedg azzal ellenées. Ha az eő és az elmozdulás áná s zsgáljuk (ehá nem csak a nagságá, mn fen), akko az egk eseben a ugóeő munkája D
Munka ugóeő álal égze munka: ugóeő: D ha az elmozdulás megegezk az eő ánáal: D ( ) W W D d ugóeő munkája, D D ha az elmozdulás ellenées az eő ánáal: W W D D D d D pozínak adódk (a ugó égez a esen munká), másk eseben pedg negaínak (a es égez a ugón munká). égze munká elegánsabban kszámíhajuk a megfelelő negálásokkal s. eljesímén Gakan fonos az s, hog a munkaégzés mlen sebességgel meg égbe. Ez, a munkaégzés sebességé, ag az dőegség ala égze munká jellemző mennség a eljesímén. z álagos eljesímén a munka és az elégzéséhez szükséges dő hánadosa: W W P ag P ponosabban a pllanan eljesímén: dffeencálhánadosa. Méékegsége a wa: J W s dw P, azaz a munka dő szen d munká és a eljesímén méékegségé uganazzal a beűel jelöljük. Ne keejük őke! eljesímén eg égebb (nem SI) méékegsége a lóeő [LE]: LE,736 kw. Eg sebességgel mozgó esen az eő álal kfeje eljesímén: dw d P d d Mel eg P eljesíménnel deg öén munkaégzés nagsága: W P, gakan a munka (és az enega) méékegségé a eljesímén méékegségéből számazaa adják meg. Pl. joule waszekundum: J Ws, ag am a llanszámlán s láunk, a klowaóa : kwh 3,6 6 J. 67
z enega z enega a fzkában eg fonos fogalom. Ez s az ún. megmaadó mennségekhez aozk, azaz nagon sok folamaban kndulás és égösszege megegezk. megmaadó mennségeke (mn még pl. a ömeg, az mpulzus, az elekomos ölés, sb.) mélegegenleeke íhaunk fel (az egenle ké oldalán szeeplő mennségeknek meg kell egeznük) és ez sok folama leíásá megkönní. z enega az előbb ágal munkaégzéssel hozhaó kapcsolaba. Előszö lássunk eg álalános defnícó, majd példákon keeszül alkalmazzuk a fogalma! Eg meghaáozo állapoban leő es (ag endsze) enegáal endelkezk, ha megfelelő köülmének közö munkaégzése képes. Enegájá azzal a munkáal méjük, amele a es égez, míg eg állapoból a megállapodás szen álaszo állapoba ju, ag azzal a munkáal, amele a ese haó eők ellenében égeznünk kell, míg -ból -ba juajuk. z enega méékegsége megegezk a munkáéal. [J, kwh] z enegának öbbféle fajájá különbözejük meg. mechankában a ké legfonosabb, a mozgás (knekus) és a helze (poencáls) enega. Nézzük meg, m jelenenek ezek! Enega knekus enega eő hasson ánban eg m ömegű ese. Állandó s úon öénő elmozdulás soán a égze munka: W s ( ma ) s a s ( ) + W W m m mozgás (knekus) enega: ( + m E kn m Skalá, méékegsége ua. mn a munkáé: [J] ) Tehá eg es mozgása, sebessége één enegáal (munkaégző képességgel) bí. Ez az enega a ömeggel egenesen, a sebességgel négzeesen aános. 68
Enega knekus enega éele W Eg ömegpon knekus enegájának megálozása megegezk a áhaó eők eedője álal égze munkáal. Vag: m m W E kn eg mozgó ömegpon munkaégző képességgel endelkezk, azaz knekus enegájának csökkenése áán munká égezhe. Ha eg es mozgás enegája megálozk, az az jelen, hog munkaégzés öén. Vag aja égze munká eg eő, amnek köekezében nő a mozgás enegája, ag a es égze munká a könezeén, a mozgás enegájának csökkenése één. Eg folama soán a mozgás enega álozása felíhaó, mn a égső állapobel enega és kezde enega különbsége: W E E E (Ügeljünk á, hog mndg a égállapoból onjuk k a kezde állapoo!) kn kn, kn, Ez nem-állandó eő eseén s gaz. Eg ánú eőnél: W d ma d ahol W d m d m d m d d d d d a, azaz: d d d d m Álalános eseben: W d,, z ; W ( d + d + zdz),, z Tehá, az eő álal égze munka a mozgás enega megálozásá eedménez. Poencáls (helze) enegáól eg eőében léő es eseén beszélheünk, amelk a (más esekhez szonío) helzeénél foga képes munkaégzése. Ilen lehe pl. eg ömegpon gaácós eőében, eg megfeszíe ugó égée akaszo es, ag eg elekomos ölés az elekomos ében. helze és a mozgás enega a mechanka enegafomá. (Egéb enegafaják s léeznek, elekomágneses, hő, kéma, nukleás, sb. Ezekől máshol ágalunk majd.) z előbb láuk, hog a gaácós eő álal égze munka függelen aól, hog mlen úon juounk el a kndulás ponból a égponba, ez a munka csak a ké pon helzeéől függ. Álalánosan, az olan eő, amele ez a feléel eljesül, azaz, amelnél a munkaégzés csak a esek kezde és égponjáól függ, de függelen aól, hog mlen úonalon juounk el egk ponból a 69
máskba konzeaí eőnek neezzük. (Me konzeálja az enegá.) z len eőeeke pedg, mn amlen a gaácós eőé, konzeaí eőének. Enega Gaácós poencáls enega Gaácós eőében ké eszőleges pon közö munkaégzés csak a ponok helzeéől függ, de függelen aól, hog mlen úonalon juounk el egk ponból a máskba. D külső eő a é ellen: W mgh mg C h a ga. é: W mgh W cosα I g állandó. Ha g álozk a magassággal, lásd később (a gaácós énél)! Nemkonzeaí (dsszpaí) eők eseén, a munka függ az úól. Ilen pl. a súlódás soán égze munka. Ilenko a munka észben hőé alakul. Nlán a hosszabb úon nagobb mennségű munka fodíódk hő kelésée (azonos súlódás eő eseén). Poencáls enega Konzeaí eő Ha ese a gaácós Ha ese a gaácós eőében eg eszőleges göbe menén mozgajuk köbe, a égze munka zéus, hszen: eőében eg eszőleges göbe menén mozgajuk D köbe, a égze munka W W zéus, hszen bámel ké ponja közö az egk mg h mgh mgh úon uganann a munkaégzés mn a máskon. Tehá, ha az C odaúon mgh munká Konzeaí eő álal eszőleges zá göbe menén égze munka zéus. égez eg eő, akko a sszaúon mgh O ponosabban: munká. Konzeaí eőének neezzük az az dőben állandó eőee, amelben eszőleges zá göbe menén a égze munka zéus, azaz konzeaí eőé eseén az eő zá göbén e negálja zéus: d. 7 d
Poencáls enega Konzeaí eő Konzeaí eők Ha ese a gaácós eőében eg eszőleges göbe menén mozgajuk köbe, a égze munka zéus, hszen: eseén (de csak ekko!) a égze munká felíhajuk a D W poencáls enega W negaí mg h megálozásakén. mgh mgh (Ne feledjük, a álozás mndg úg C defnáljuk, hog a égállapoból onjuk Konzeaí eő álal eszőleges zá göbe menén k a kezdőállapoo!) égze munka zéus. Mel a d O ponosabban: munkaégzés csak a helzeek különbségéől függ, álaszhaunk eg szoníás hele, ahol a poencáls enegá zéusnak esszük. Ehhez szonía mnden más helhez eg meghaáozo poencáls enega aozk. Tehá a poencáls enega függén csak a helől függ. Pl. gaácós ében (egünk mos eg homogén ee, azaz g állandó) a padló sznjén -nak ée a poencáls enegá, a padló fele h magasságban mgh lesz. Poencáls enega Konzeaí eőeek gaácós eőéhez hasonló ulajdonságú eőeeke, P ponban a poencáls enegá ehá a ahol a eszőleges zá göbe menén a égze munka gaácós eő zéus, konzeaí eőének neezzük. P -ól P-g e d negálja Konzeaí eőeekben ké pon közö az eőé álal szeesekén (ag ellenében) égze munka csak a ponok helzeéől számoljuk k. függ, és függelen a ponoka összeköő úól. gaácós Ezé konzeaí eőeekben mndg megadhaó eg olan skaláfüggén, a poencáls enega függén, eő pedg az amelnek a égponokban fele ééke különbségekén elmozdulással megkapjuk a égze munká. ellenées: W mg. Ha a P - d Epo, Epo, Epo ban zéusnak Poencáls enega függén csak konzeaí eőeek esszük a eseén defnálhaó. poencáls enegá, akko a számolás eedménekén adódk a P ponbel poencáls enegáa az mgh. z s láhaó, 7
hog a munkaégzés szemponjából kp. mndeg, hog hol álaszjuk meg az alappono. Hszen a ké helze közö különbség mndg uganaz maad, és a munkaégzés szemponjából csak ez számí. Pl. ha a padló ala m-e álaszanánk a nulla helzee, akko a padló sznjén a poencáls enega mg m lenne. Ha ese a padlóól m-e emeljük, akko a gaácós eő ellenében égze munka mg m lenne mel a poencáls enega megálozása: mg 3m (a égponbel poencáls enega) mg m (a kezdőponbel poencáls enega) mg m (a poencáls enegák különbsége). Összefoglala ehá az mondhajuk, hog konzeaí eőeében eg es mozgaása soán égze munká a poencáls enega függén égponokban fele éékenek különbsége adja. Vag ha az eőé álal égze munká eknjük, akko az egenlő a poencáls enega negaí megálozásáal. Poencáls enega függén koánsem defnálhaó mndg, csak konzeaí eőeek eseén léezk. Elég például aa gondolnunk, hog súlódás ag közegellenállás eő jelenlée eseén ké pon közö a égze munka nlán nem függelen a mege úól, azaz nem léezhe olan skaláfüggén, amelnek segíségéel csupán a égponok smeeében megkaphanánk a égze munká. mechanka enega megmaadásának éele Teknsünk eg ömegpono, mel kzáólag konzeaí eők haásáa mozog! á haó eedő eő munkája egfelől a knekus enega megálozásá eedménez, másfelől ez a munká a poencáls enega negaí megálozásakén s felíhajuk: W E m ; E E kn W Epo; m d kn po ( E E ) po, po, z és ponbel éékeke azonos oldala endeze: m + Epo, m + Epo, ag ( E kn + Epo ) felső egenleek fejezk k a mechanka enega megmaadásának éelé: eg konzeaí eőében mozgó ömegpon knekus és poencáls enegájának összege a mozgás folamán állandó. E kn + Epo Emech cons knekus és poencáls enega összege adja eljes mechanka enegá. Úg s megfogalmazhajuk, hog amennel megálozk a poencáls enega, uganannal álozk a knekus enega. eljes álozás előjeles összege ehá zéus. Példakén eknsünk eg magasól leeje ese! z elengedés pllanaában a poencáls enegája: mgh ma. (hol h ma a alajsznől mé mamáls áolság, és a nullhelzee a alajsznen álaszouk.) knekus enegája nulla, mel a sebessége nulla. Tehá a eljes enegája: E mgh + m mgh ma 7
Valahol félúon a eljes enega a knekus és poencáls enegák összegekén adódk: E mgh + m ahol a az ado pllanaban a es sebessége és h a alajszn fele magassága. becsapódás pllanaában a es helze enegája nulla lesz (ez álaszouk alapponnak, h ), míg a mozgás enegája é el a mamáls ééke, hszen a sebessége lesz mamáls: E mgh + m mma Temészeesen a légellenállásól elekneünk, hszen ekko má nem csak konzeaí eők hanának a ese. Ebben az eseben má nem alkalmazhanánk a mechanka enega megmaadásának éelé. Nézzük meg, hog a mechanka enega megmaadásának éele mkén éénesül pl. eg ugó égée akaszo, hamonkus ezgőmozgás égző es eseén! Eg deáls ugó álal kfeje eő aános és ellenées ánú az egensúl helzeől mé kééssel, és D alakban íhaó fel, ahol D a ugóa jellemző ún. dekcós állandó. ugóeő s konzeaí eő, ehá s használhajuk a poencáls enegá. Láuk, hog a ugóeő munkája: W D, a poencáls enegája pedg: po D mozgás enegája pedg: E kn m E, ( ) 73 E po ( ) ( ) d Dd D eljes mechanka enega: E m + D D mma ahol a mamáls kéés, azaz az amplúdó. Ez az jelen, hog a mamáls kéés eseén, amko a es eg pllanaa megáll, a eljes mechanka enegá a helze enega adja, mel a mozgás enega nulla. Ezuán a helze enega ege csökken, áalakul mozgás enegáá, és az egensúl helzeen aló áhaladásko a eljes enegá a mozgás enega ag adja, ekko mamáls a sebesség ééke. Ezuán a mozgás enega ééke csökken, és a másk fodulóponban smé a helze enegáal lesz egenlő a eljes enega. I sem feléelezünk súlódás eőke. Hasonlóka mondhaunk el eg ngamozgás égző es eseén s. Nézzük meg m a helze, ha nemkonzeaí (dsszpaí) eők s hanak! Legen W k a konzeaí, és W nk a nemkonzeaí eők álal égze munka! mozgás enega eljes megálozásá mnd a konzeaí, mnd a nemkonzeaí eők munkája egüesen adja: W nk + W k E kn Tudjuk, hog a konzeaí eők álal égze munka a poencáls enega negaí megálozásáal egenlő: W k E po Tehá nemkonzeaí eők munkája mechanka enega megálozásáal lesz egenlő: W nk E + E E Tehá ekko, a eljes mechanka enega a mozgás folamán nem kn po mech állandó, hanem megálozása a nemkonzeaí eő(k) álal égze munkáal egezk meg.
apaszala azonban az muaja, hog nemkonzeaí eők jelenlée eseén s fennáll a mechanka enega megmaadásának éelénél sokkal áfogóbb álalános enegamegmaadás ele, amel alamenn faja enega - a mechanka enegán kíül a hő, elekomos, kéma és más enegafaják - összegének állandóságá fejez k. Kapcsola a konzeaí eők és a poencáls enega közö d Teknsük a é eg eszőleges P (,,z) ponjának könezeében a poencáls enega függén eg eszőleges d ( d, d, dz) elmozduláshoz aozó megálozásá! öbbálozós függének dffeencálszámíása szen fennáll: Epo Epo Epo depo d + d + dz Másfelől azonban a poencáls enega megálozásá az eőé ellenében a ömegpona kfeje (,, ) eő elmozdulás soán égze z munkájáal s felíhajuk, neezeesen: de po W d E d d d dz z E z E po, po, po fen összefüggések ún. negáls elácók, amelek eg kejed éaomána állíanak alam a konzeaí eőeeke lleően. Vzsgáljuk meg, hog lokálsan, a é eg ado ponjában mlen összefüggés áll fenn a poencáls enega és az eő közö! Mnhog az eő negálásáal kapjuk meg a poencáls enegá, ezé sejheő, hog a fen elácó megfodíásakén a poencáls enega alamlen dffeencálhánadosakén állíhajuk majd elő az eő. d Kapcsola a konzeaí eők és a poencáls enega közö de po E po E po E d + po E d + z po dz E po és de po d d d dz alapján, a megfelelő elmozdulás-komponensek összeeéséből az kapjuk, hog a konzeaí eő eges komponense a poencáls enega megfelelő koodnáák szen negaí pacáls deáljaal egeznek meg: z E z po z gadens dffeencál-opeáo beezeéséel: gad + gad E po + z ag pl. gad E po E po E po ( ) E po E + po E + z po zaz, konzeaí eőében az eő a poencáls enega negaí gadensekén állíhaó elő. 74
75 E po E po z E z po E po E po és eges pacáls deálak egenlősége ma: Hasonló módon kaphaunk még ké analóg egenlee: z z z z ( ),, o z és k j z z z z + + o ) ( ag Kapcsola a konzeaí eők és a poencáls enega közö fen összefüggésekből leszámazahaunk eg olan kéumo, amelnek alapján egszeűen eldönheő eg ado eőéől, hog konzeaí-e ag sem. Ha ugans léezk poencáls enega függén, akko az első szen, llee a. szen pac. dff.-al: Ha eg eőé konzeaí, akko oácója szükségképpen zéus, azaz a konzeaí eőé öénmenes é.
Gaácó gaácó, ag ömegonzás, a beezeésben megemlíe nég alapeő kölcsönhaás egke. bolgók mozgása, Keple öéne bolgók mozgásának megfgelése má az óko óa fonos észé képez a emésze megfgelésének. Polemaosz (9 68) göög csllagász és maemakus neéhez fűződk a öldközépponú (geocenkus) lágendsze és bolgómodell megalkoása. Ez azon az előfeleésen alapul, hog a mndenség középponjában a mozdulalan öld áll és a bolgók csak köpálán mozoghanak. Mel, mn ma má udjuk, a bolgók nem köpálán mozognak a öld köül, ezé sok köből összeako, bonolul modell kelle alkon a lászólagos mozgásuk leíásához. Ez a modell közel kéeze ég haáoza meg a csllagászao. Keple (57 63) neéhez fűződk az a háom híes öén, mel úllép a köökön, és a középponba a öld hele a Napo esz. Nézzük ez a háom öén! Keple öéne Keple. bolgók ellpszs alakú pálákon kengenek a Nap köül, és az ellpszs egk gújóponjában a Nap áll. a alóságban ezek az ellpszsek csak kcs lapulak, alg különböznek a köől (kcs az ecencásuk). z ábák az éheőség ma elúlzoak. 76
Keple öéne Keple. Napól eg bolgóhoz húzo áduszeko egenlő dők ala egenlő eüleeke súol. ( eüle sebesség éele.) Nap. öén ehá az aalmazza, hog a bolgó és a Napo összeköő egenes (sugá ag áduszeko) uganakkoa eüleeke súol, ha uganakkoa dőaamoka zsgálunk a mozgása folamán. Ez az s jelen, hog a súol felüle és az dő hánadosa ( / ) állandó. / hánados szokás eüle sebességnek neezn. z ábáól s láhaó, hog a bolgó sebessége a pála különböző szakaszan nem uganakkoa. Napközelben (pehélum) nagobb, napáolban (aphélum) ksebb. z ábán láhaó Keple öéne ellpszs Keple 3. nagengélének bolgók kengés dőnek négzee felé jelölük a-al, a úg aánlanak egmáshoz, mn bolgó kengés ellpszspálák fél nagengelenek dejé pedg T-el. köbe: Tehá ha bámelk 3 ké bolgóa T a jellemző T-e és a-a 3 a T felíjuk a öén, az a eljesül. Ez a 3 hánados eg a állandó, amel a CN T Napa jellemző: C N. d d áll. Napendszehez aozó bolgók a Napól kfelé halada: Mekú, Vénusz, öld, Mas, Jupe, Szaunusz, Uánusz, Nepunusz, (a Plúó má csak öpebolgó). Keple dejében még csak a ha belső bolgó ol smeees. mos ágalandó gaácós eőöén megalkoása ee leheőé a má sme bolgók pálában megfgelheő anomálák analízse alapján a külső bolgók felfedezésé. (z Uánusz Heschel 78-ben nem az anomálák elemzése alapján fedeze fel, de a Nepunusz megalálása 846-ban - má íg öén.) 77
z álalános ömegonzás öéne Keple álal megfogalmazo háom öén a ponos megfgelés adaoka üköz. Ezekből a apaszala öénekből Newon ezee le az álalános ömegonzás öéné. Nézzük meg, hogan lehe leezen ezekből a öénekből és a dnamka alapegenleéből ez a öén! Előszö ezessük le a Nap álal eg bolgóa kfeje eő Keple 3. öénéből! Vegünk eg köpálá! (Ez megehejük. z ellpszspáláa onakozóan s uganee az eedméne juunk, de a kö eseén egszeűbb a számolás.) Nap álal a ölde kfeje N onzóeő bzosíja az sugaú egenlees kömozgáshoz szükséges cenpeáls eő: N m mω ahol m a öld ömege pedg az álagos Nap öld áolság. Tudjuk, hog ω π/t, azaz: 4π m ahol T a öld Nap köül kengés deje. T N Keple 3. öénében szeeplő fél nagengel (a) mos a kö sugaa () lesz: T 3 C (C N csak a Napól függő állandó) N CN Ez osza a sugá négzeéel: T m Ez beheleesíe az eő kfejezésébe: N 4π CN Ez a Nap álal a ölde kfeje eő, De Newon III. öéne alapján a öld s uganekkoa nagságú, de ellenées ánú eőel ha a Napa. És ha a Nap álal kfeje eő aános a öld ömegéel, akko a öld álal a Napa kfeje eőnek s aánosnak kell lenne a Nap ömegéel: 4π CN γmn aalmazó unezáls állandó, az ún. gaácós állandó. Íg: N m m γ N ahol γ sem a bolgó, sem a Nap ömegé nem Ez nlán nem csak a öld eseén gaz, hanem a öbb bolgóa s hasonló öén onakozk. Álalánosan: a Nap az eges bolgóka onzóeő fej k, amel aános mnd a Nap, mnd az ado bolgó ömegéel, s fodíoan aános áolságuk négzeéel: m m γ N Newon felsmee, hog e öén alapján nemcsak a bolgók Nap köül mozgása magaázhaó, de uganez az eő déz elő a Hold öld köül kengésé, alamn a nehézség gosulás jelenségé s. Eedméne oább álalánosía Newon kmonda, hog az álala meghaáozo eő nem csak az égesek közö fgelheő meg, hanem bámel ké ömeggel endelkező objekum közö fellép. Megfogalmaza az álalános ömegonzás öéné: 78
Ké eszőleges es közö mndg fellép eg onzóeő, amel ponszeű esek eseén aános azok ömegéel, s fodíoan aános áolságuk négzeéel. z eő ána a ké ömegpono összeköő egenes ánába mua. z ábából láhaó, hog az z álalános ömegonzás öéne m -ből az m -be muaó Ké es közö mndg fellép eg onzóeő, helekoal ( ) ellenées amel aános azok ömegéel, s fodíoan aános áolságuk négzeéel. ánú az az eő, am az m m m γ m 79 álal ha az m -e ( ). gaácó mndg onzóeő (ömegonzás). maemaka képle -ben ez fejez k a negaí előjel. heleko eloszjuk a nagságáal, ekko eg egségn nagságú, és a heleko ánába muaó eko kapunk. z az m álal ha az m -e haó eő ( ) pedg ezzel ellenées ánú, ehá ennek mínusz egszeesé kell enn. z eő ána a ké ömegpono összeköő egenes ánába mua. m m e m álal kfeje eő: γ gaácós állandó ééké kíséle úon udjuk meghaáozn. Nag ponossággal előszö Caendsh (73-8) mée meg ozós (csaaás) ngájáal 798-ban. méés ele az ábáól lászk: ké nagobb ömeg közelébe eg ékon pálca égée eősíe ké ksebb ömege szünk. pálca közepe eg ékon dószálon függ. m ömegonzás haásáa a pálca (és ele a szál) m elfodul. z elfodulás mééke a szála eősíe ükö segíségéel felnagíhaó. z elfodulás méékéből lehe köekezen a ömegek köz onzóeőe. gaácós állandó ééke: γ 6,67 - Nm /kg. m m γ z állandó éékéből lászk, hog a gaácós eő a mndennap éleben előfoduló ágak közö gen genge.
gaácós öén úg fogalmazuk meg, hog ömegponok, és a közük leő áolság szeepelnek benne. Ez nlán eg dealzácó. alóságo közelíe, a nem ponszeű esek közö gaácós eőhaás meghaáozásához a eseke ponszeűnek eknheő ömegelemeke kell bonanunk, s az eges ömegelemek közö haó eők összegzéséel (negálásáal) kaphajuk meg az eedő eő. Megmuahaó pl., hog a gömbszmmekus ömegeloszlású esek a ajuk kíül éészben olan gaácós eőhaás fejenek k, mnha összes ömegük a szmmea-középponjukba lenne egesíe. (Lásd a ponendszeeknél a ömegközéppon fogalmá!) Ezé számolhaunk a Caendsh-féle méésben a gömbök középponja köz áolsággal és a gömbök eljes ömegéel. gaácós gosulás különböző esek anag mnőségükől függelenül azonos g gosulással esnek a öld felé, amele gaácós (nehézség) gosulásnak neezünk. lkalmazzuk az álalános ömegonzás öéné a jelensége! Teknsünk eg a öld ömegonzásának haásáa a felszín fele h magasságban g gosulással szabadon eső m ömegű ese! dnamka alapegenlee szen: ma mg és mm γ mg ahol m a öld ömegé és R a öld sugaá jelöl. ( R h) + nehézség gosulás éékée kapjuk: g m γ ha h, azaz a öld felszínén: g γ ( R ) + h R Láhaó, hog g ééke énleg függelen a szabadon eső es ulajdonságaól, csak a öld ömegének és a középponjáól mé áolságnak a függéne. (Valójában g ééke mégsem ponosan a fen képlenek megfelelő a öld felszínén, amnek oka egész a öld lapulsága (gömbszmmekusól aló eléése), alamn a öld engel köül fogása ma fellépő cenfugáls eő, amel g ééké az egenlíő menén kssé csökken a sakokon méheő éékhez képes. Lásd a fogó onakozaás endszeeknél!) öld és a Nap ömege Newon gaácós eőöénének alkalmazásáal leheőség nílk pl. a öld és a Nap ömegének meghaáozásáa. öld felszínén, azaz a öld középponjáól R 637 km áolságban méheő nehézség gosulás éékéből (g 9,8 m/s ) egszeűen megkaphajuk a öld ömegé (m ): m 6 R (6,37 ) 4 g 9,8 5,97 kg γ 6,67 öld sugaá má az óko göögök s szonlag ponosan smeék. Ma műholdak segíségéel ez nagon ponosan meghaáozhaó. öld ömegé elosza éfogaáal megkaphajuk álagos sűűségé, amelnek ééke 5,5 kg/dm 3. felszín közelében leő kőzeek sűűsége ennél ksebb. Ez aa ual, hog a öld belsejében a felszín közel kőzeeknél lénegesen nagobb sűűségű anagoknak kell lennük. 8 m
öld Napól aló áolságának és kengés dejének smeeében az alább összefüggések felhasználásáal kszámíhaó a Nap ömege (m N ) s. Keple 3. öénéből: T 3 C N és a 4π CN γ mn összefüggésből (lásd feljebb!): m N 3 4π 3,99 kg γ T Láhaó, hog a Nap ömege öbb mn háomszázezeszeese a öldének. Nap álagos sűűsége:,4 kg/dm 3, amből a Nap eléő anag összeéelée s köekezeheünk. (z anag összeéelől sok nfomácó kaphaunk színképelemzéssel, de ez má nem a mechanka ágköe.) eheelen és a súlos ömeg Newon másodk aómája ( ma ) alapján a ömege, mn a es eheelenségének mééké defnáluk. gaácós eőöénben szeeplő ömegek azonban nem állnak kapcsolaban a esek gosíhaóságáal, hanem a gaácós kölcsönhaásban aló észéel mééké jellemzk. Éppen ezé a Newon másodk aómájában ll. a gaácós öénben szeeplő ömegek a esek ké különböző ulajdonságá üközk. dnamka alapegenleében szeeplő ömege eheelen ömegnek, míg a ömegonzás méékée jellemző mennsége súlos ömegnek neezzük. z, hog a eheelen ömeg aános, llee a má megálaszo méékendszeben egenlő a súlos ömeggel, egálalán nem magáól éeődő, hanem kíséleleg gazolandó állíás. eheelen és a súlos ömeg egenlőségée ual az a megfgelés, hog a nehézség gosulás ééke mnden esnél uganaz. Teknsünk ugans ké ese, amelek súlos és eheelen ömegé jelölje m s, m s llee m, m. Ha a öld felszínének közelében a esek a ll. a gosulással szabadesés égeznek a ájuk haó nehézség eő haásáa, akko felíhajuk: m m s γ m a ll. γ s m a R R Ha a a g, az egenleek jobb és baloldala egmással elosza kapjuk: m s m s m m m m zaz ha a ké es eheelen ömege egenlők, akko súlos ömegek s megegeznek. eheelen és a súlos ömeg egenlőségének (aánosságának) a maga koában legmeggőzőbb kíséle gazolása Eöös Loánd neéhez fűződk, ak endkíül ézéken ozós ngájáal : ponossággal muaa meg azonosságuka. eheelen és súlos ömeg egenlősége esz leheőé a súlméésen alapuló ömegméés. 8
eheelen és súlos ömeg egenlősége folán gaácós eőében mnden es a é eg ado ponjában ömegéől függelenül azonos gosulással mozog. Mndez kíséeesen hasonlí a gosuló koodnáaendszeeknél elmondoaka, ahol a eheelenség eők köekezménekén fgelheünk meg hasonló jelenségeke. Ensen álalános elaáselméleének egk alapposzuláuma le az ekalenca ele, azaz a gosuló és gaácós onakozaás endszeek egenéékűsége. gaácós eőé z eőel kapcsolaos apaszalaank úlnomó észe a esek közelen énkezésén (konakusán) alapul. Ezzel szemben a gaácós eő (ag pl. amn az később lán fogjuk, az elekomos és a mágneses eő) ún. áolba haó eő, hszen a közeíésük één kapcsolaba keül esek közelen énkezés nélkül, áolól hanak egmása. aada az eőé fogalmának beezeéséel póbála meg sszaezen a áolba haó eőke konakuson alapuló kölcsönhaásoka. Éelmezése szen a esek maguk köül léehoznak eg ún. eőee (pl. gaácós ag elekomos eőee), és a másk es ezzel az eőéel keül közelen kölcsönhaásba. Íg ehá a nehezen éelmezheő áolhaás közelhaással heleesíee, am a fzka leíás szemponjából sokszo előnösebb. Álalánosan a ének az a aománá, amelnek mnden ponjához eg bzonos dőpllanaban egéelműen meghaáozo eő aozk, eőének neezzük. Maemakalag az eőé eg ekoé, amele (, ) alakban íhaunk fel. Ez az jelen, hog az eő függ a helől ( ) és az dőől () (Időben állandó eőeek eseén az dő eplce nem aalmazza, azaz ().) Egszeűen eldönhejük, hog a é eg ado aománában jelen an-e gaácós eőé ag sem. Vegünk ugans eg m ömegű póbaese, s nézzük meg ha-e á eő! Nlán a póbaese haó eő (az álalános ömegonzás öénének éelmében) aános annak ömegéel. póbaes megálaszásáól függelen, csupán csak az eőé ulajdonsága jellemző mennséghez úg juhaunk, ha a haó eő eloszjuk a póbaes ömegéel: G m z íg defnál mennsége neezzük gaácós éeősségnek, amelnek méékegsége a [N/kg]. gaácós éeősségnek a geomea é mnden ponjához eg jól meghaáozo ééke aozk. Szemléleesen a gaácós éeősség az adja meg, hog mlen eő hana a é ado ponjába heleze egségn ömegű póbaese. Példakén haáozzuk meg eg M ömegű ömegpon gaácós eőeé! Ha az M ömegű es könezeének eg P ponjába eg m ömegű ponszeű póbaese helezünk el, akko ee a ese az álalános ömegonzás öénének éelmében haó eő: mm M M γ ez osza az m ömeggel: G γ nagsága: G γ 8
m Ez a öld felszínén nlán megegezk a gaácós gosulással: g γ R m gaácós éeősségekook a ee kelő es felé muanak ezé a ese a m M G éeősség foásának neezzük. gaácós éeősség foása a (súlos) ömeg. z M ömegű ponszeű es álal léehozo gaácós é gömbszmmekus, és nagsága a foásesől mé áolság négzeéel fodíoan aános. P gaácós éeősség eg ado P ponban, az összes könezeében leő 3 ömegpon álal léehozo eged éeősségek, eko eedője: m G( P) G γ m 3 ahol m jelöl az eges ömegponok m m ömegé, pedg az eges ömegponokól a é eg eszőleges P ponjába muaó helekooka. gaácós eőee eőonalakkal szemlélehejük. z eőonalak képzelebel ánío égöbék, amelek énője bámel ponban a gaácós éeő ánába mua. z eőonalak nem ágazhanak el, nem keeszezhek egmás, hszen ekko az elágazás ag keeszeződés ponban nem lenne egéelmű a éeősség. éeőonalak a égelenből közelednek a é foásá jelenő ömeghez és ezen égződnek. éeősség ééké eg ado helen az eőonalak sűűsége, azaz az eőonalaka meőleges egségn felüleen áhaladó eőonalak száma adja meg. Megjegezzük, hog a gaácós eőé eőonalakkal aló szemléleése csaks az eőhaás / -es áolságfüggése ma leheséges, ugans nlánalóan eg ömegpon eőonalanak sűűsége a ömegponól aló áolság négzeéel fodío aánban csökken. 83
z álalános ömegonzás öénének jelenősége z álalános ömegonzás öéné Newon a mozgások eg szűk oszálának, neezeesen a bolgók mozgásának megfgelése één ne smeeekből kndula alkoa meg. gaácós eőöén azonban nemcsak a bolgómozgások pecíz magaázaáa képes, hanem a mozgások eg jóal ágabb köé enged meg. dnamka álalános alapegenleének dedukí alkalmazása één, a másodendű dffeencálegenle eszőleges kezdőfeléelekhez aozó álalános megoldásáal meghaáozhajuk a gaácós kölcsönhaás eedménekén kalakuló mozgások eljes köé. pála alakjá a kezde feléelek (, ) haáozzák meg. Megmuahaó, hog a leheséges pálák alakja mnden eseben olan kúpszele (ellpszs, paabola, hpebola), amelnek egk fókusza az eőcenumban an. Kmuahaó, hog ha a endsze (pl. eg bolgó és eg könezeében leő aszeoda) eljes mechanka enegája ksebb mn nulla (azaz a mozgás enega ksebb, mn a gaácós poencáls enega, amel negaí, mn majd hamaosan lájuk), akko az aszeoda köö pálán (ellpszs, ag kö) mozog a bolgó köül. Ha az összes enega nagobb mn nulla (azaz a mozgás enega nagobb, mn a gaácós poencáls enega) akko az aszeoda hpebola pálán halad el a bolgó melle. Ha éppen nulla az összes enega (azaz a mozgás enega egenlő, a gaácós poencáls enegáal), akko az aszeoda paabola pálán halad el a bolgó melle. gaácós eőöén smeeében ehá pecízen meghaáozhajuk a bolgókon kíül a Napendszehez aozó eszőleges egéb égesek, pl. üsökösök, meeook, holdak, meseséges holdak mozgásá s. Cenáls mozgásokól léén szó, emészeesen alamenn éges eseében éénes a eüle sebesség éele. Mnhog a Nap ömege sokszoosan nagobb a bolgók ömegénél, ezé a bolgók mozgásá elsősoban a Nap gaácós ee haáozza meg. Nlán azonban a öbb bolgó s haás gakool eg kszemel bolgó mozgásáa, amelnek eedménekén a alóságos bolgópálák paán méékben elének az deáls ellpkus páláól. Ezeke az elééseke neezzük bolgópála peubácóknak. gaácós eőöén alapján ezek a peubácók - ado bolgóelendeződések eseén - kszámíhaók. bolgópála peubácók ponos számíása ee leheőé a Napendsze külső bolgónak a felfedezésé. Íg pl. az Uánusz megfgel pálájának eléése az összes addg sme bolgó fgelembe éeléel égze számíásokhoz képes csak eg újabb nag ömegű külső bolgó feléelezéséel olak magaázhaók. z álalános ömegonzás öéne alapján ponosan megjósolhaó ol a feléeleze bolgó pálája, llee eg ado dőpllanaban elfoglal hele. számíások (Uban Le Vee) alapján a ácsöe az égbol megfelelő ponjáa ánía fedezék fel az Nepunusz bolgó (Galle, 846). gaácós kölcsönhaás egke a ma smeeenk szen léező nég alapeő kölcsönhaásnak. Noha a gaácós kölcsönhaás a öbbhez szonía gen gengének eknheő, mégs ez az egedül kozmkus méeekben ualkodó eőhaás. z eős és a genge kölcsönhaás ugans endkíül öd haóáolságúak, míg a gaácóhoz hasonló áolságfüggés muaó elekomos kölcsönhaás a kéféle ölés léezése, s a lág alapeő semlegessége ma ggankus méeekben nem éénesül. 84
gaácós kölcsönhaás szabja meg az égesek, galasok, galashalmazok mozgásá, s ezálal az egész Unezum sosának alakulásá. Tudjuk, hog eg águló lágegeemben élünk, de e águlás mééké eősen befolásolja a benne léő ömeg (és ma még smeelen emészeű ún. söé enega ). gaácó ponosabb leíásá az álalános elaás elmélee adja meg. gaácós é álal égze munka Gaácós é Láuk, hog homogén gaácós é álal égze munka gaácós ében, ahol Ha g állandó: W mgh W cosα a g mnden ponban maek analízsből: uganakkoa, a mg Ha g álozk a magassággal: gaácós é álal d égze munka: mgh, h mm W ahol h a kezdő és a d γ d γmm d égpon köz γmm γmm sznkülönbség, azaz a γmm + γmm kezdő és a égpono összeköő heleko g Tehá a é álal égze munka csak a kndulás és a ánába eső égső helzeől függ (konzeaí eőé). komponensének mg nagsága. Ha a munkaégzés soán a g nem állandó mnden ponban (más a g, mn a g ), akko az álalános szabál kell alkalmazn, azaz a munkaégzés az eő ú (heleko) szen negálja. Heleesísük be az eő helée a gaácós eő, az álalános ömegonzásból! W d mm γ d felhasználuk az, hog az eő és a heleko uganazon ánba mua, azaz a másodk egenlőségjel uán elhaghajuk a ekojelöléseke (a cosα lesz). Íg az negál eg -ől függő skaláfüggén haáozo negáljáá egszeűsödk. z M legen pl. a öld ömege, míg a m eg a öld gaácós eében mozgó es ömege. Láuk, hog a g függ a öld középponjáól mé áolságól, azaz nagobb magasságokban ksebb. Ez a álozás esszük mmá fgelembe az alább számolásnál. z negál kszámía: mm W d γ d γmm d γmm + γmm γmm γmm 85
Tehá a é álal égze munka csak a kndulás és a égső helzeől függ ( és ), de függelen aól, hog mlen úonalon juounk el egk ponból a máskba, azaz a nem homogén gaácós eőé s konzeaí eőé. poencáls enega gaácós ében Ha az nhomogén gaácós é s konzeaí, akko ee s defnálhaunk poencáls enegá (poencáls enega függén). Konzeaí eő álal égze munka, a poencáls enega negaí megálozásakén íhaó fel: W d E po, Epo, ) ( E E E po, po, po ag: W γmm d γmm Mn koábban láuk, a poencáls enega alapponjá szabadon megálaszhajuk. Sokszo célszeűnek bzonul az alappono a égelenben álaszan ( E po, ha ) Ekko a poencáls enega a ponban: E po, γmm Álalánosan, bámel P ponban: E po, P γmm Ké ömegpon gaácós poencáls enegája ehá: P γmm Epo poencáls enegák különbsége: Epo Epo, E azaz: γmm γmm po, E po I s felíhaó a mechanka enega megmaadásának öéne (hszen konzeaí az eőé): m gaácós poencál + Epo, m + Epo, ll. m γmm m γmm gaácós eőé munkaégző képességének jellemzésée beezehejük gaácós poencál fogalmá, amel a helze enegáal ellenében csupán az eőé ulajdonságaól függő mennség. E γm U po ahol M a ee kelő ömeg (a é foása) m Ha a fen defnícó alkalmazzuk az alább összefüggése: d Epo, ( Epo, ) és fgelembe ée, hog: G kapjuk: G d ( U U ) m zaz a éeősség onalmen negálja megegezk a poencálfüggén égponokbel éékenek negaí különbségéel. Számééké ekne a gaácós éeősség az egségn ömege haó eőel egenlő, ezé ké pon közö poencálkülönbség megadja a ponoka összeköő eszőleges göbe 86
menén az egségn ömeg mozgaása soán égze munká. (z elekomos é poencáljá majd hasonlóan defnáljuk.) Míg a gaácós éeőssége eőonalakkal szemlélehejük, addg az U( ) poencálfüggén ún. ekpoencáls felüleek segíségéel epezenálhajuk. z ekpoencáls felüleek olan felüleek, amelek menén a poencál ééke állandó, azaz eg ekpoencáls felüle menén öénő mozgaás (mozgás) soán munkaégzés nem öénk. Können beláhaó, hog az eőonalak ána az ekpoencáls felüleeke meőleges. Ha ugans nem íg Ucons. lenne, akko az eőonalak énőjének ánába muaó éeősségnek lenne a felüleel G páhuzamos komponense, am a M felüle men elmozdulás eseén munkaégzés eedménezne. Eg M ömegpon gaácós eőeének poencálfüggéné az alappon álaszás eseén a köekezőképpen íhajuk fel: γm U Eseünkben az ekpoencáls felüleek az M ömegpon köé ajzol koncenkus gömbfelüleek ( szaggao onal). z ekpoencáls felüleek (fekee szaggao onal) és a gaácós éeőssége epezenáló eőonalak (pos nlak) szoná az ábán fgelhejük meg. z eő és éeősség, llee a poencáls enega és a poencál közö fennálló elácók alapján éénesek a köekező összefüggések: G gadu és o G ; ( G U ll. G ) Konzeaí eőeekben az eőee, éeőssége skalás függének segíségéel (E po, U) eljes méékben epezenálhajuk. hele ehá, hog a konzeaí eőeek leíása soán ekofüggénekkel kéne bajlódnunk, egszeű skaláfüggénekkel számolhaunk, amelekből gadens képzéssel (dffeencálással) bámko könnedén meghaáozhaó a éeősség, llee az eő. 87