zka I (PE Sc szak számáa) sakkábla a lág; a bábuk az Unezum jelensége, a jáék-szabáloka emésze öéneknek neezzük. z ellenfél eje an előlünk. Tudjuk azonban, hog jáéka mndg koek és üelmes, és sajá káunkon az s meganuluk, hog sohasem köe el hbá és nem bocsája meg a udalanságo. Thomas Hule IZIK TÁRGY, ELDT, MÓDSZEREI Tága Nee az ógöög phss (ϕνσιζ) azaz emésze szóból eed, ez s ual á, hog mel foglalkozk. Tága a emésze jelenségenek zsgálaa, öénenek feldeíése (kée a emésze jelenségek néhán szűkebb csopojá, meleke öéne okokból máshoá soolunk, pl. kéma, bológa, sb.) köülöünk leő lág anulmánozása soán felmeülnek a köekező kédések: Honnan eednek a emésze öének? Szükségszeű-e a léük? Vakszeencse-e, hog a udomán eszközeel skeül megmagaáznunk a lágo, ag öénszeű, hog a kozmosz endjéből kemelkedő bológa szeezeek megsmeő képessége feláják e ende? (Paul Daes) Ezek a kédések áezenek a meafzkába, (flozófa). eladaa emészeudomán: a emésze öénenek megsmeése alkalmazo udomán: a emésze öénenek felhasználása fzka feloszása égen: mlen ézéksze jászk szeepe a anulmánozásában (fénan, hangan sb.) ma: összefüggő nagobb öénendszeek szen - mechanka - emodnamka
- elekodnamka - kanummechanka - magfzka - elem észek fzkája - elaáselméle - sb. Módszee I kp. a udomános módsze póbáljuk öden leín. Ez nem csak a fzkában használaos, de alán jelenk meg a legszábban. Megfgelés, kíséle: empkus (apaszala) összefüggés felállíása. Ennek észe a méés: kanaí (mennség) összefüggés megállapíása ( fonos a maemaka szeepe). Ez nkább a kíséle fzka ága. Álalános öén keesése, melnek specáls esee az empkus öének. Ez nkább az elméle fzka ága. Hpoézs (sejés, deglenes elméle) felállíása, majd a belőle eedő (maemaka, logka úon) köekezmének, apaszala (kíséle) ellenőzése. Eg elméle ag hpoézs fonos feladaa az előejelzés. Ha ez helesnek bzonul, az a hpoézs elméleé álásá elősegí, az elmélee pedg bzosabbá esz. Példák: - Nepunusz, Plúó felfedezése - a Newon-f. gaácós öén alapján - elekomágneses hullámok - a Mawell elméle (elekodnamka) alapján - pozon - Dac elaszkus kanummechankája - kak - Gell-Mann hpoézse alapján sb. megsmeés, öénalkoás ké logka úja: - ndukcó (az egedből az álalánosa köekezeés) a kíséle fzkáa jellemző, míg a - dedukcó (az álalánosból az egede) az elméle fzkáa (maemaka szeepe). z elméleek és hpoézsek gakan ún. modellekben ölenek ese. Ezeke eg-eg jelenségköe onakozó, éges ponossággal gazol öéneknek eknjük. fzka öéneke maemaka egenleek fomájában fogalmazzuk meg. fzka öénekben (egenleekben) szeeplő beűk, fzka mennségeke jelenenek.
fzka ágköe nag onalakban Mondhajuk, hog szne mnden magában foglal a könező lágból, a legksebből - fundamenáls észecskék - a legnagobbg - lágegeem -, és az ősobbanásól (dő kezdee) a lág égég. Tehá ében és dőben a égleeke, és a közük leő aomán agadja meg. észecskefzka sandad elmélee. sandad modellje a fzka ma állása szen nég alapeő kölcsönhaás fomá sme, meleke méékbozonoknak neeze észecskék közeíenek. sandad modellben a fundamenáls észecskék ké családjá, leponoknak és kakoknak híjuk. Ezek, és ezek kölcsönhaása épík fel az álalunk sme lágo. fundamenáls észecskék és a nég alapeő kölcsönhaás, jelenleg () udásunk szen: Leponok Kakok Méékbozonok Kölcsönhaás spn: / spn: / spn: elekon e u-kak u foon γ elekomágneses -,5 +/3 5,6 elekon-neuínó ν e? müon µ - - 5,8 müon-neuínó ν µ? auon τ - - 86 auon-neuínó ν τ? d-kak d -/3 9,9 c-kak c +/3 35 s-kak s -/3 99 -kak W-bozon W ± ± 85 3 Z -bozon W 95 3 gluon g +/3 5 spn: b-kak b -/3 5 gaon G genge eős gaácós észecske nee jele ölése ömege MeV-ban MeV 6 ev (megaelekonol 6 elekonol). z elekonol az az enega, amele eg elekon esz fel, ha V poencálkülönbségen halad á. ömegenega ekalenca (egenlőség) alapján (E mc ), ez a ömeg méékegsége s lehe. 3
elekomágneses eleko- GUT? genge genge TOE? (Gea Unfcaon (Theo of Theo) eős Eehng) gaácós zonos köülmének közö (nagon magas hőmésékle és anagsűűség) az elekomágneses és a genge kölcsönhaás egbeolad. Ez má észecskegosíókban kíséleleg skeül kmuan. Toább hőmésékle- és sűűségnöekedés eseén feléelezheő, hog a öbb kölcsönhaás s összeolad. GUT-a an meggőző elméle leezeés, de a gaácó egesíése a másk 3 kölcsönhaással egelőe nem megoldo. Több elméle modell an, amelek megkísélk megoldan a poblémá. észecskefzkában a szupeszmmekus ag ánék-észecskék családja álasz adha öbb kédése. Ennek kíséle megeősíésée/cáfolaáa a nag észecskegosíókban má folnak a kíséleek. húelméle (. szupehúelméle) sznén elméle megoldásoka kínál, má a gaácó s belleszk az egséges leíásba. Ennek kíséle eszelésée egelőe nem lászk megalósíhaó módsze. kozmológa sandad modellje a g ang ag ősobbanás, am szen lágunk 3,7 mllád ée eg kezde nagon sűű és foó állapoból kndula fomálódo és azóa águl. Ezekől az elméleekől az neneen, ll. a népszeűsíő odalomban lehe olasn bőebben. Okaásechnka megjegzések Ebben a segédanagban leendula színű szöegdobozban a anulása, számonkéése, ualó megjegzések lesznek. Ezzel s segíen szeeném a felkészülés. baackszínű szöegdobozban kegészíő nfomácók lesznek. Ezek smeee nem szgoúan a özsanag észe, csak a jobb jegé kell, és azoknak ajánlo, akk MSc sznen eezk folan a anulmánaka. gakan előfoduló hbáka ualó megjegzéseke, ame fgeln kell, possal íom. szöeg melle - észben - az előadáson használ dáka s beeszem, hog íg egségesen, egmás melle legen mnden segédanag. 4
MECHNIK eladaa: anag esek mozgásáa onakozó öének felállíása. Tágköe: anag ponok mozgásáal kapcsolaos jelenségek. KLSSZIKUS MECHNIK klasszkus mechanka a esek mozgásáal foglalkozk. Kalakulása Galle és Newon neéhez fűződk. méés jelenségek ében és dőben jászódnak le. Ezeke mén kell. Méés: meghaáozzuk, hog hánszo an meg a méendő mennségben, eg ele egnemű, önkénesen egségnek álaszo mennség. méés eedméne ké ada, méékszám és méékegség: pl. 3 m fzka mennség eg meghaáozo módon elégze, ag elleg elégezheő méés eedméné jelen. Vannak ún. alapmennségek, meleke méés eljáással defnálunk (pl. ú, s), és leszámazao mennségek, meleke alapmennségeke ezeünk ssza (pl. sebesség: s/ ). mechankában 3 alapmennség an: a hosszúság, az dő és a ömeg. esek mozgása ében és dőben öénk. é és dő alapmennségek, defnícójuk ehá a méés módjuk megadásáal öénk. ké alapeő mennség a áolság (elmozdulás, kéés; ú) és az dő. z dő z dő ala éheünk dőpono, pllanao (pl. ag ) és dőszakasz (ké dőpon különbségé, azaz áolságuka az dőengelen): - ). mndg az ado mennség égső és kezde éékének különbségé jelöl. (z dő a köznelben még dőjáás s jelenhe.) z dő (jele:, T) méékegsége a másodpec: s másodpec defnícója égebben a öld fogásáa alapul: másodpec (secundum, s) /864 szolás középnap. 5
Ez uóbb a Nap ké delelése közö elel eg ée e álagos dő. Mel a öld ellpszs pálán mozog, nem egenlő uaka esz meg ké köülfodulása ala. á kcs a különbség, ma má jól kmuahaó. Ha az állócsllagokhoz szoníjuk, ez a pobléma nem meül fel. elmeül szon az, hog a öld fogása s ngadozk, ső hosszú dő álagában - kmuahaóan lassul. Ezé kelle eg ponosabb meghaáozás. 967-ben új defnícóban állapodak meg: s a 33 Cs aom alapállapoának ké hpefnom sznje köz ámene soán kelekező sugázás peódusdejének 9 9 63 77-szeese. áolság áolság (jele: l, s) méékegsége a mée: m 79-ben a anca kadéma az ősmée a öld Pázson ámenő délköe hosszának negenmllomod észének álaszoa. z ebből számol ééke eg plana-ídum úd ké kacolaáal jelezék. Ez a uda Seesben (Pázs melle) őzék, és az eges oszágok mééküg haala kapak belőle másolao. Mn kdeül, ez a ké kacola köz éék nem ponosan egezk az ado délkö negenmllomod észének hosszáal, de a defnícó a kacolaok áolsága maad. méésechnka fejlődéséel azonban ez a ponosság má nem felel meg, új aom állandóa alapozo defnícó kelle. 96-ban a mée aom állandóa ezeék ssza: a 86 K spekumában leő naancsszínű fén ákuumbel hullámhosszának 65 763,73 -szeesekén defnálák. fzkában eős öekés ánul aa, hog mnél keesebb alapmennségből ezessük le a öbb. Mel a ákuumbel fénsebesség eg nagon alapeő és sabl fzka mennségnek bzonul (lásd. specáls elaáselméle!), célszeűnek űn a áolságo ennek segíségéel, az dőel meghaáozn. Ez a ma defnícó (a Zolán maga fzkus ajánlásáa) 983-ban fogadák el. 983: mée az a áolság, am a fén ákuumban 3,3356495-9 s ala megesz. 6
Skalá- és ekomennségek fzkában megkülönbözeünk ún. skalá- ll. ekomennségeke. Skalás mennség, ag öden skalá: Olan fzka mennségek, meleke eg méőszámmal és eg méékegséggel egéelműen jellemezn udunk. Ilen pl. a hosszúság, eüle, éfoga, ömeg, hőmésékle, sb. Konkéan: pl. 3 m, 5 m, 8 cm 3, 4 kg, 73 K. jelenségek leíásáa célszeű beezen olan mennségeke s, melek a nagságon úl, az ána onakozó nfomácó s aalmaznak. Ezeke ánmennségeknek neezzük. Ezek közé aozk a ekomennség ag öden eko. Ilen pl. a heleko, a sebesség, a gosulás, az eő, sb. Konkéan: pl. a heleko nagsága: 7,7 m de ez még nem adja meg az áná. é 3 ánának megfelelő komponens megadása szükséges, azaz 3 m, 4 m, z 5 m. Geomea éelemben a ekook ánío szakaszok, ameleke nlakkal ábázolunk. Vekook Skalá: csak nagsága an pl., m, V Veko: nagsága és ána an pl.,, Jelölés: Skalá: dől beű, pl. s (ú), (dő), m (ömeg) Veko:,,, égebben gó beű, de nomaásban leggakabban asagío beű:. Okaás apaszalaom szen a asagío beű nem ol kellően hangsúlos ahhoz, hog a léneges különbsége udaosísa a eko ll. skalá mennségek közö. Ezé én mos nkább a kénelmelenebb, de alán a különbsége jobban udaosíó felül níl ezó ( ) használom. Ha csak a eko nagságá akaom jelöln, akko a skalá jelé, a dől beű használom, pl., ag az abszolú ééke:. 7
ekook ulajdonsága I csak a ekook leglénegesebb ulajdonsága foglaljuk össze, a észleesebb leíás lásd. a megfelelő kézkönekben! Veko nagsága és ána eko nagságán éjük az abszolú ééké ag hosszá. Ez a eko jellemzésée nem elég. Pl. ha meg akajuk adn, hog a szoba észak-kele sakához szonía hol agunk, nem elég az mondan, hog 3 m-e. Ez csak eg 3 m sugaú gömbfelüle ponja adja meg. ponos helmeghaáozáshoz az án s kell. eko nagsága csak eg skalámennség, ehá semmképpen nem azonos a ekoal ( )! Nézzük ké dmenzóban (síkban): Ké dmenzóban: cosα snα + α eko engeleke eső eülee a eko komponense. komponensek egéelműen meghaáozzák a eko. Síkban ez ké ada:,, (ében 3:,, z ). eko ezé íhajuk íg s: (, ), (ében: (,, z) ). Vag beezee az,, z engelek ánába muaó, egségn hosszúságú ekooka (lásd még a onakozaás endszenél!), az ún. egségekooka: ( + j + zk ). Vekook összeadása, konása ekooka összeadhajuk (konhajuk) algeba úon és gafkusan. lgeba ú: a megfelelő komponenseke adjuk össze ll. onjuk k. Pl. a + b c eseén, a( a, a ) + b( b, b ) c( c, c ), ahol c a + b, c a + b ) és a b c eseén, a a, a ) b( b, b ) c( c, c ), ahol c a b c a b ) (, 3 dmenzóban emészeesen a ekook 3-3 megfelelő komponensé adjuk össze ll. onjuk egmásból. 8
Gafkusan: z egk eko égponjába lleszjük a másk eko, és az első knduló ponjából a másk égponjába húzunk eg eko. Ez lesz a ké eko összegekén kapo eko. Vag: a ké eko közös kndulóponba méjük fel, majd ebből a ponból húzunk eg eko a ké eko álal meghaáozo paalelogamma áellenes csúcsponjába. Lásd ába! Vekook Vekook összeadása Háomszög módsze: + C C Paalelogamma módsze: C z uóbb eseben az eedő eko nagsága és ána az alább módon adhaó meg, a kosznusz-, ll. sznuszéel segíségéel: Vekook Vekook összeadása α β C nagsága. abszolú ééke ( C. ): C C + + cosα ána ( -hoz mé szöge): C sn β snα C 9
Több eko összegé úg állíhajuk elő, hog egmás uán felméjük őke az ábának megfelelően, majd az első kezdőponjából az uolsó égponjába húzunk eg eko, ez az összegeko: Vekook Vekook összeadása E + + C + D + E ekook konásá az összeadása ezejük ssza. ekohoz annak ellenejé, ag - szeesé adjuk hozzá. I s alkalmazhajuk a háomszög ll. paalelogamma módsze a fen összeadás analógájáa, és a leggakabban használ (de elsőe keésbé nlánaló) 3. ezó: Vekook C C Vekook konása D C C C Édemes khangsúlozn, hog a különbségeko mndg a ksebbíendő ( ) felé mua.
ekook összeadása (konása) felcseélheő (kommuaí): + + + + C + + C és eszés szen csopoosíhaó (asszocaí): ( ) ( ) z összeadás-konás láhaóan más műele szabálokkal öénk a skalá- és a ekomennségek eseében. Nag hba összekeen őke! zaz nem mndeg, hog m íunk eg fzka egenleben, ekook adódnak össze, aag skalámennségek! Vekook szozása a) Veko szozása eg skaláal. z eko k szoosa eg olan eko, amnek nagsága k, ána megegezk ánáal, ha k pozí, ellenées ele, ha k negaí ( k 3): Tkp. mnden eges komponens szoozzuk a k al. Ha ( + j + zk ), akko k ( k + k j + kzk ) k k b) Ké eko skalá (. skalás) szozaa. Ekko ké eko úg szozunk össze, hog eedménül eg skalá mennsége kapunk: Vekook Vekook szozása I Ké eko skalá szozaa: cosα cosα α cosα
skalászoza felcseélheő (kommuaí): C C és eszés szen csopoosíhaó (asszocaí): ( ) ( ) skalászoza komponensenkén: ( + j + zk )( + j + zk ) + j + zk + j + j j + jzk + k + k j + k k z egmása meőleges ekook skalászozaa, (cos 9 ): j jk k páhuzamos egségekook skalászozaa, (cos ): jj kk Tehá am maad: + + Ké eko skalás szozaa nem keeendő össze eg eko és eg skalá szozaáal! z z z z z z c) Ké eko eko (. ekoáls) szozaa. Ekko ké eko úg szozunk össze, hog eedménül eg eko mennsége kapunk: Vekook Vekook szozása II Ké eko ekoáls szozaa: C nagsága: C snα C α C z z eedménül kapo ekonak ehá an eg nagsága: snα, és eg ána. z ána mndg meőleges a ké összeszozandó eko álal meghaáozo síka. (Ha ké eko nem esk eg egenese, akko mndg meghaáoz eg síko.) Ez még keés az án megadásához, me a síko döfhe alulól, ll. felülől. (Lásd. ába!) z án kjelölése a jobbkéz-szabálnak felel meg. zaz,
3 ha ekooka a szoza felíásának soendjében a ksebb szög menén egmásba fogaom ( - a - be) akko a fogásánba hajlío jobb kezünk hüelkujja mua az eedménül kapo eko ánába. Vag: ebben a fogásánban (ez amúg a + fogásán, az óamuaó jáásáal ellenées) csaaa a jobbmenees csaa, a csaa haladás ána egezk a szozaeko ánáal. Vag: ha a szoza felíásának soendjében a jobb kezünk hüelk-, muaóujjá felelejük meg a kédéses ekooknak, akko az ezek álal meghaáozo síka meőlegesen kno nagujjunk muaja a heles án. Láhaó, ha fodío soendben esszük ez meg, akko ellenkező án kapunk. Tehá a ekoszozásnál nem mndeg a soend! ekoszozás ankommuaí. Hog megkülönbözessük a kéféle szozás, a ekoszoza eseében a ké eko közé eg jele eszünk, és úg mondjuk, hog keesz : pl., keje: keesz. onos hangsúlozn, hog a ekoszoza eedméne eg eko, amelnek ána és nagsága an. Defnícója soán mndkeő meghaáozása fonos. ekoszoza komponensenkén: C ahol z z z z z C C C,, Leezeés: k k j k k k j j j j k j k j k j z z z z z z z z + + + + + + + + + + + + ) ( ) ( z egmása meőleges ekook ekoszozaa: j k k j k j,, és j k j k k j,, páhuzamos egségekook ekoszozaa, (sn 9 ): k k j j Tehá am maad: k j z z z z ) (, ) (, ) ( Ezek az eedménül kapo eko megfelelő,, z komponense: k C j C C z,, jánlom, hog póbálják k a fen leí módsze! onos, hog ez ésék, lássák, éezzék! Vzsgán ez be kell muan, és szne mnden éelnél felbukkan Gako hba: α absn Ez íg nem gaz, me a baloldalon eg eko an, míg a jobboldalon eg skalá (a eko nagsága). Helesen: α absn, azaz a szozaeko abszolú ééke (nagsága) egenlő a ké eko nagságának, és az álaluk bezá szög sznuszának szozaáal.
Ké eko skalá (. skalás) ll. eko (. ekoáls) szozaa eg megállapodás szen defnícó. Mn sok más maemaka műele, fonos és hasznos segédeszköznek bzonul a fzka jelenségek leíásában. skalá- és ekomennségek melle a fzkában használunk még ún. enzooka s. enzo (ézékleesen, bá kssé slendán módon) öbbdmenzós eko -nak s neezheő, ahol a öbb nlán a 3-nál öbbe jelen, am gakan 9. Ilen pl. feszülség enzo, ag a eheelenség enzo, melek a későbbekben emlíése keülnek. 4
Vonakozaás endsze ámel es helzee (íg helálozaása, mozgása s) csak más esekhez szonía jellemezheő. Ebben az éelemben beszélünk onakozaás esől. onakozaás eshez/esekhez köö koodnáa-endsze neezzük onakozaás endszenek. z álalunk leggakabban használ koodnáa-endsze, a Descaes-féle deékszögű koodnáa-endsze: Vonakozaás endsze Descaes-féle ag deékszögű koodnáaendsze jobbsodású: Z Y X z ábán láhaó módon behajlío jobb kezünk 4 ujjának megfelelő fogásánban (ez a + fogásán, azaz az óamuaó jáásáal ellenées) az X engel az Y-ba udjuk fogan. Vonakozaás endsze Vag: jobb kezünk jelze 3 ujja a megfelelő engelekkel fedésbe hozhaó (balkézzel a engelek más soendben állnak!) Y Vegük észe, hog csak az ujjak/engelek soendje a fonos, nem pedg az ado ána! Pl. a baloldal ajzon a hüelkujj ( engel) X mua felfelé, míg a jobboldal koodnáaendszenél az Z engel. Ezek elfogaással fedésbe hozhaók. Eg z balsodású endszeel szon nem. 5
Ebben eg (P) pon helé egéelműen meghaáozza az ogóból hozzá húzo heleko ( ) háom engele eső eüleének nagsága. Vonakozaás endsze cosα cosβ z cosγ + + z az eko nagságá;, és z koodnáák az megfelelő engeleke eső eüleenek nagságá, míg α, β és γ, az eges engelekkel bezá szögé jelenk. z X Z P z Y + + z (ébel Pagóasz éel) Vonakozaás endsze z egségeko eg egségn z X, Y, Z engelek ánába muaó, j, k egségekook beezeéséel az heleko a köekező alakban íhajuk fel: + j + zk X Z k j Y hosszúságú eko jelen, amel az ado ánba mua. Hagomános jelöléssel az X, Y, Z engelek ánába soban az, j, k egségekook muanak. Lásd ekook összeadása! Léeznek másfaja koodnáaendszeek s. Ilen pl. a gömb polákoodnáás ag hengekoodnáás leíás. Némel feladaban ezeke célszeűbb használn. 6
z anag pon knemakája knemaka csak azzal foglalkozk, hog hogan mozognak a esek (ehá a hogan -a kees a álasz), az okokkal nem foglalkozk (a mé -e nem kédez). Ez majd a dnamka feladaa lesz. z anag pon. ömegpon eg abszakcó (elonakozaás). Mndg az ado pobléma haáozza meg, hog m eknheünk ponszeűnek. Pl. a Nap köül kengésé ekne eg bolgó jó közelíéssel ponszeűnek eknheő, de eg kéaomos molekula má nem, ha az enegaáoló szabadság fokaal számolunk, mondjuk a fajhőjének meghaáozásako. Pála, elmozdulás, ú Knemaka z anag pon mozgásá akko eknjük smenek, ha meg udjuk adn a helé bámel dőpllanaban, azaz ha smejük az ll. komponensenkén az függéneke. () ( ); ( ); z z( ) Ezek az egenleek egéelműen meghaáozzák a ömegpon pálájá, azaz a mozgása soán leí ébel göbé. Ezek a knemaka mozgásegenleek. Láhaó, hog a pálán mege ú méőszáma nem azonos az elmozdulás méőszámáal. Másész az elmozdulás ekomennség, míg az ú skalá. onos ez a különbségéel! 7
Pála és elmozdulás-eko ú (s) pála elmozdulás ( ) eko, azaz a pon -bel helzee és -bel helzee köz különbség. Ez a ké heleko ( és ) különbségekén s kfejezhejük: Lásd ekook konása! Mozgás eg dmenzóban z egszeűbb ágalás ma, nézzük előszö az egdmenzós mozgás! Később ez kejeszjük öbb ( ll. 3) dmenzóa s. Egdmenzós mozgás soán a es eg egenes onal menén mozog. z ábán a szaggao Mozgás eg dmenzóban onallal jelöl s az összes ua jelen, azaz, ha pl. a Ekko a ömegpon eg egenes menén es oda-ssza mozog a mozog, legen ez az engel! kédéses dőneallum elmozdulás: elel dő: ala, akko az oda-ssza uaka, egü, összesen számoljuk. O s 8 az elmozdulás égső eedméné jelen, ehá az, hog a kezde ponól mlen messze juounk el dő ala.
Sebesség es (mosan ágalásunkban anag pon) mozgásáa jellemző, hog ado áolságo (ua) menn dő ala esz meg, ez a sebességgel jellemezzük. sebesség kssé ponalan, de első közelíésben a lénege üköző megfogalmazása: ú / dő. Méékegsége a m/s, (SI) ag km/h, méföld/h, sb. ponosabb megfogalmazáshoz ezessük be az ún. álagsebesség fogalmá! Ez s lehe ké éelmezésben használn, hog ado esben melke éjük, ez álalában a szöegkönezeből kdeül. Egdmenzós mozgás Álagsebesség (a) álagsebesség ( ál. ) összes ú (s)/összes dő () ál. skalá s Méékegsége: m (SI) s I az összes ú (s) az jelen, hog ha pl. a es oda-ssza s mozog (a mozgása soán ssza s fodulha) a kédéses dőneallum ala, akko az oda-ssza uaka, egü, összesen számoljuk. z összes dő pedg, a közben elel dő ( ). Egdmenzós mozgás Álagsebesség (b) álagsebesség ( ál. ) eljes elmozdulás ( ) /összes dő ( ) ál. I a eljes elmozdulás ( ) az jelen, hog ha pl. a es oda-ssza s mozogna a kédéses dőneallum ala, akko s csak égső helze és a kezde helze köz különbsége számoljuk. z összes dő s a közben elel dő ( ). skalá 9
z uóbb éelmezés (b) a gakobb. Ekko a sebesség nagságá az gafkonon a kezde és a égső ponjáa fekee egenes meedeksége ag másképpen ánangense adja meg ( / ). Egdmenzós mozgás I a ál. áná előjele haáozza meg. Álagsebesség eko ál. eko Ha ponosak és koekek akaunk lenn, akko az elmozdulás ekonak eknjük és íjuk. Egdmenzós mozgásnál az án a előjele egéelműen megadja. Ez haáozza meg az álagsebesség áná s. Ha m aa agunk kíáncsak, hog a ömegpon mekkoa sebességgel mozog eg bzonos ponban, ag eg ado dőpllanaban, akko a sebesség pllanan éékée an szükségünk. Ez a pllanan sebesség. kéés dő gafkonon, ez a göbe ké ponjáa fekee egenesek meedekségéel közelíjük, mdőn a szomszédos ponok áolságá ege csökkenjük. Haáéékben az énőhöz juunk. Egdmenzós mozgás Pllanan sebesség z ege ödebb -khez aozó álagsebességek: ál. ál. ál.3 3 3 4 3 3 P szakasz meedeksége: 3 4 3
pllanan sebesség nagságá a kéés dő gafkonon, a göbéhez az ado ponban húzo énő meedeksége (ánangense) adja meg. Egdmenzós mozgás mennség haáééke, mdőn -hoz a: Pllanan sebesség sebesség ado dőpllanahoz aozó ééke, az énő meedeksége (ánangense). pllanan sebesség a lm d d Tehá, a (pllanan) sebesség, az kéés dő szen dffeencálhánadosa, ag deálja: d d dffeencálhánados jelenése az, hog az ado mennség hogan álozk. álozás (a fzkában és másu s) dffeencálhánadosokkal udjuk leín. dffeencálhánados bőebb és ponosabb jelenésé a maemaka anulmánok soán megsmek. d z dő szen dffeencálhánados szokás még a mennség fölé e ponal s jelöln: & d Ponosabban és pecízebben a pllanan sebesség s ekomennség, még egdmenzós mozgás eseén d s:. Iána a mozgás (elmozdulás) ánába mua. d Gosulás gosulás a sebesség megálozásának mééke. z muaja meg, hog mlen sebességgel álozk a sebesség. gosulás kssé ponalan, de első közelíésben a lénege üköző megfogalmazása: Egdmenzós sebesség / dő ( / ). mozgás Gosulás Méékegsége a m/s, (SI). álagos gosulás(a ál. ) sebességálozás ( ) /elel dő ( ) ponosabb megfogalmazáshoz ezessük be az ún. álaggosulás a fogalmá! ál. Ez eg ado dőneallum ala Méékegsége: m s (SI) öénő sebességálozás méékée ual. z álagos gosulás nagságá a sebesség dő ( ) gafkonon a mozgás kezde és a égső ponjáa
fekee egenes meedeksége ag másképpen ánangense adja meg ( / ). Ez a sebességálozás / elel dő. Koekebb és ponosabb megfogalmazásban az álaggosulás s eko (még egdmenzós eseben s), áná a sebességálozás ána haáozza meg. zaz, ha a sebesség csökken, akko a gosulás ána ellenées a sebesség ánáal. a ál. pllanan gosulás a mennség haáééke, mdőn -hoz a: Pllanan gosulás gosulás ado dőpllanahoz aozó ééke. a lm a d d pllanan gosulás nagságá a sebesség dő gafkonon, a göbéhez az ado ponban húzo énő meedeksége (ánangense) adja meg. Tehá a gosulás a sebesség dő szen dffeencálhánadosa (más szóal deálja). Tekne, hog a sebesség a kéés dő szen deálja, adódk, hog a gosulás a kéés dő szen. dffeencálhánadosa (deálja): d d d a d d d d d z dő szen. dffeencálhánados szokás még a d mennség fölé e ké ponal s jelöln: d && pllanan gosulás s ekomennség. Iána a sebességálozás ánába mua. a d d Egdmenzós mozgásnál a sebesség csökkenéseko fellépő gosulás negaí előjellel lájuk el. Ekko a sebesség ána pozí, de ha nagsága csökken, akko a álozása negaí, ezé negaí a gosulás s. Ez lassulás -nak s lehe neezn.
Egdmenzós mozgás állandó gosulással Ha a gosulás álozk az dőben a mozgás bonolul. Egszeűbb az állandó gosulás eseé zsgáln. Egdmenzós mozgás állandó gosulással Ebben az eseben a pllanan gosulás megegezk az álaggosulással. a Ekko a sebesség dő gafkon eg egenes. I az egenes meedeksége, ag ánangense adja meg a gosulás mééké. Egdmenzós mozgás állandó gosulással kezdő dőpon legen, az eől mé dőaam. -hoz aozó sebesség, a kezdősebesség, a -hez aozó sebesség a égsebesség. Ekko: a ag + a a Ha, akko. Íg egszeűbben íhajuk az egenleenke. + a összefüggés leheőé esz, hog a sebessége megadjuk bámel dőponban, ha sme a kezdősebesség és a gosulás. égsebesség () a kezdősebesség ( ) és a sebesség megálozásának (a) összege. Ha a sebesség csökken ( < ), akko a gosulás negaí. z egenes meedeksége (ánangense) negaí éék. 3
Nézzük az a, a, és az gafkonoka egmás ala! Egdmenzós mozgás állandó gosulással gosulás dő (a - ) gafkon: a cons. a a a sebesség dő ( - ) gafkon: + a a kéés dő ( - ) gafkon: + + a gα gα z a gafkon eg ízsznes egenes mua, me a gosulás az dőben égg állandó. gafkon eg fede egenes mua, ahol az egenes meedekségé az a nagsága adja meg. z gafkonon eg másodfokú göbé (paabola) láunk, ahol bámel dőponban a göbéhez húzo énő meedeksége adja meg a sebesség nagságá. Pl. eseén gα, és ál. gα. Toább hasznos összefüggésekhez juunk, ha meggondoljuk, hog állandó gosulás eseén a kezdősebesség és a égsebesség álaga adja az álagsebessége. Egdmenzós mozgás állandó gosulással + z álagsebesség: ál + z elmozdulás: ál ( + ) + a ( + + a ) + + a helkoodnáa az dő fg.-ében. 4
Können beláhajuk a fen összefüggés éénességé, ha e dő szen dffeencáljuk: d d ( + + a ) + a d d Egdmenzós mozgás állandó gosulással z dő kküszöböle: ( + ) + a a ag: ( + ) a a + a( ) sebesség az elmozdulással és a gosulással kfejeze. Egdmenzóban mozgó es állandó gosulással Gakan az hele s szeepel: s ( ) s + + a s Ú dő gafkon: z ú - dő fg. ado ponjához húzo énő meedeksége adja a (pllanan) sebessége az ado ponban. s gα 5
zka laboaóum gakola keeében megméjük az egenleesen gosuló es ú-dő, ll. sebességdő függéne. z alább ábák ez muaják. Egdmenzóban mozgó es állandó gosulással Pl. fzka labo gak: s s + + a s (m) 5 4 3 Gosuló mozgás ú-dő függéne I az, az -engele fele -nek felel meg, az pedg az -egele fele s-nek..954 +.34 + 5.976 3 4 5 6 (s) Egdmenzóban mozgó es állandó gosulással Pl. fzka labo gak: + a (m/s) 6 4 8 6 4 Gosuló mozgás sebesség-dő függéne I az, az -engele fele -nek felel meg, az pedg az -egele fele -nek. + 3 4 5 6 7 (s) 6
Egdmenzós mozgás állandó gosulással Ha az állandó gosulás, azaz nncs gosulás: Egenes onalú, egenlees mozgás: a ömegpon egenes onalú pálán, eg ánba halada, egenlő dők ala egenlő uaka esz meg. + () Nlán ebben az eseben a pllanan sebesség megegezk az álagsebességgel:, ál d d a hel dő fg. gafkonjának meedeksége (ánangense): gα α Egenes onalú, állandó gosulással mozgó es knemaka mozgásegenlee (összefoglalás): + a a sebesség mn az dő fg.-e ( + ) az elmozdulás, mn a sebesség és az dő fg.-e + a az elmozdulás, mn az dő fg.-e + a( ) a sebesség, mn az elmozdulás fg.-e Számolásnál, feladamegoldásnál hasznos, ha ezeke megjegezzük, ag legalább gosan le udjuk ezen. jobb megééshez elengedheelen, hog feladaokon gakooljunk! 7
Néhán szemlélees módsze a knemaka köéből Sokszo előfoduló felada, hog a sebességnek (mn az dő függénének) smeeében, az ua kell meghaáozn. Ha a sebesség állandó, a -ől -g mege ú:, (ahol - ). Álalános eseben közelíő eljáás alkalmazhaunk, azaz a, neallumo olan ks észneallumoka oszjuk, hog ezen belül a sebessége állandónak ehejük. Ekko:, ahol a neallum eg eszőleges ponjához aozó sebesség. Ez, az ábán, a kék oszlop eüleének a méőszámáal egezk meg. (z ába a sebesség dő gafkon muaja.) z íg kapo uaka összegezzük: Ez az jelen, hog az ábán az összes ks églalap eüleé összeadjuk, szummázzuk. Ezzel az összeggel a göbe ala eüle méőszámá közelíjük. Ponosabb az eedmén, ha fnomabb a beoszás, azaz ege ksebb. fen közelíő összegek, a beoszás mnden haáon úl fnomíásához aozó haáééke a ponos eedmén, azaz a göbe ala eüle méőszáma, am a mege ú méőszámáal lesz egenlő: lm d z ú a sebesség dő szen haáozo negálja. Ponosabban az elmozdulás kéne ín az ú hele, me a lehe negaí s. z negál jelenésé, defnícójá, alamn műelee a maemaka anulmánok soán megsmek. z ú meghaáozása a sebességből lm d 8
Vegünk pl. eg állandó sebességgel haladó ese. Ekko a gafkon eg ízsznes egenes lesz. z egenes ala eüle, azaz a églalap eülee, megadja a dőneallum ala mege áolságo. z ú meghaáozása a sebességből Példa. állandó és a Ha a sebesség az dő lneás függéne, azaz a, (ahol a állandó), a gafkon eg fede egenes lesz. z egenes ala eüle, azaz a háomszög eülee, megadja a - dőneallum ala mege áolságo. I a kezdősebesség ( -nál, ), és hele egszeűen csak - íunk. z ú meghaáozása a sebességből Példa. állandó gosulás (a > és ) a a a 9
Ha a kezdősebesség nem, hanem eg zéusól különböző ( -nál, ) a gafkon sznén z ú meghaáozása a sebességből Példa 3. állandó gosulás (a > és > ) + a a a eg fede egenes lesz, amel mos a függőleges engel nem a nullánál, hanem a -nál mesz. I az egenes szakasz ala eüle: a háomszög eülee + a églalap eülee. Ez adja meg a - ól -g mé dő ala mege áolságo. Mozgás ké dmenzóban ké dmenzóban, ag síkban öénő mozgás eseén sokkal jobban kdomboodk a sebesség és a gosulás eko Mozgás ké dmenzóban ú (s) jellege. z megsme szabáloka können kejeszhejük háom dmenzóa s. elmozdulás ( ) eko, azaz a pon -bel helzee és -bel helzee köz különbség. Ez a ké heleko ( és ) különbségekén s kfejezhejük: Lásd ekook konása! 3 pála Koábban má láuk ez az ábá. Mos nézzük meg, hogan ezehejük le a sebessége az elmozdulásekoból!
Mozgás ké dmenzóban Ekko az álagsebesség: ál z álagsebesség az elmozdulás(eko) és az elel dő hánadosa. Mel az elmozdulás eko, ezé a belőle eg skaláal ( ) öénő oszással képze mennség s eko. Tehá az álagsebesség s eko. Iána az elmozduláseko ánáal egezk meg. Mozgás ké dmenzóban különbségeko ege ksebbe ée haáéékben az énőhöz juunk. pllanan sebesség: lm sebesség, a heleko dőszen (első) dffeencálhánadosa Iána a pála énőjének 3 ánába mua. d d Vekoos eseben s az előzőhöz hasonlóan jáunk el, ha a pllanan sebessége akajuk defnáln. z elmozduláseko és az dőaam ege ksebb éékehez endelheő hánadosok eg haáéékhez aanak. Ez a heleko dő szen (első) dffeencálhánadosa. Ez a pllanan sebesség ponos defnícója. Innenől, ha csak sebességől beszélünk, akko ez éjük alaa. (Ha az álagsebességől, ag csak a sebesség nagságáól beszélünk, az mndg külön jelezzük.) ekook dffeencálásáól a maemaka anulmánok soán anul(ha)nak bőebben. Számunka mos az a léneg, hog ez a dffeencálhánados jellemz a eko álozásá (aká án, aká nagság szen). 3
Mozgás ké dmenzóban z álaggosulás: Iána ánába mua. a ál z álaggosulás a sebesség (mn eko) megálozásának és az elel dőnek a hánadosa. Mel a sebesség eko, ezé a belőle eg skaláal ( ) öénő oszással képze mennség s eko. Tehá az álaggosulás s eko. Iána a sebességálozás eko ánáal egezk meg. Mozgás ké dmenzóban a pllanan gosulás d d d d lm gosulás a sebesség dő szen első dffeencálhánadosa. (ag a heleko dő szen másodk dffeencálhánadosa) onos megjegezn, hog gosulás lép fel aká a sebesség nagsága, aká az ána álozk. pllanan gosulás a sebesség dő szen (első) dffeencálhánadosa. Ez a pllanan gosulás ponos defnícója. Innenől, ha csak gosulásól beszélünk, akko ez éjük alaa. (Ha az álaggosulásól, ag csak a gosulás nagságáól beszélünk, az mndg külön jelezzük.) Háomdmenzóban: heleko: sebesség: gosulás: + j + zk + j + k a a + a z j + a k z Háom dmenzóban a hel-, sebesség-, és gosulásekooknak 3 komponense an. Ez jelölhejük a é 3 ánának megfelelő egségekookkal. Számolás feladaoknál ne felejsük el az eges komponenseknél felünen a megfelelő méékegsége! 3
3 Ekko: : : 3 : : 3 ede hajíás Kezdjük a fede hajíás eg specáls eseéel, a ízsznes hajíással! Kíséle: (közel) azonos kndulóponból ejsünk el eg asgoló, eg máska pedg lökjük meg, ízsznes ánú kezdősebességgel! Méjük az azonos dőközök ala mege ízsznes (), és függőleges () ánban mege uaka! z elejee goló az engel menén függőlegesen lefelé esk, míg a másk az ábán láhaó göbe onalú pálán halada közelí a alaj felé. : : 3 : : 3 : : 3 : 4 : 9 Láhaó, hog a pála eg ízsznes ánú egenlees mozgás,, és eg függőleges ánú egenleesen gosuló mozgás, -k (ahol k,5 g) szupepozícója (összeéele). Láhaó, hog a ízsznes mozgás nem befolásolja a függőleges ánú, a ké goló mndg azonos magasságban an. 3 α ede hajíás kezde feléelek ; cosα ; -nál: snα a gosulás komponense: a a -g ede hajíásól beszélünk akko, ha eg ese (ömegpono) alamlen kezdősebességgel ( ), a ízsznessel α szöge bezáóan elhajíunk a öld homogénnek eheő gaácós eében. (Tágabban ée elég kkön, hog a es állandó gosulással mozogjon.) z engel pozí ána felfelé mua, a nehézség gosulás lefelé, ezé a g. g 33
ede hajíás sebesség komponense a megfelelő gosuláskomponensekből kapjuk: cosα cons. g snα g helkoodnáa komponense a megfelelő sebességkomponensekből kapjuk: cosα) cosα ( α g sn g Mel a ízsznes ánú gosuláskomponens, a sebesség ízsznes ánú komponense égg uganakkoa maad. függőleges ánú komponense álozk, mel lefelé gosul a es. helkoodnááka a sebességből és a gosulásból számolhajuk. ede hajíás g cosα cosα; a snα g ha és snα g a g Ha nem lenne lefelé ánuló gosulás, a es állandó sebességgel haladna és ua enne meg. alós mozgás soán a dő ala, ½ g ua esz meg lefelé, (+ ízsznesen állandó sebességgel mozog). Íg jön lée az eedő mozgás, am eg paabola. 34
ede hajíás Láhaó, hog a mozgás síkmozgás, amel az síkban meg égbe. Ebben az eseben az dőpaamée kküszöböléséel az egk koodnáá kfejezhejük a másk függénében: f() Ez neezzük pálaegenlenek. fede hajíás eseén az dő az kfejeze: cosα g ede hajíás Ez az heleesíe: g α cos snα α cosα g -be -ból pála egenlee paabola. a + b fen egenleek alapján öbb kédése álasz adhaunk: - az emelkedés deje, e, (ekko ánban eg pllanaa megáll a es): snα ( e) snα ge snα ge e g -a hajíás deje, h, (a es a kezdőponon ámenő ízsznes síkba sszaé): snα ( h ) h snα gh h e g -a hajíás magassága (a koodnáa e -hez aozó ééke): sn α sn α sn α ( e) ma. snα g g g -a hajíás áolsága (az koodnáa h -hoz aozó ééke): snα cosα sn α ( h ) ma. g g g cosα 35
ede hajíás mamáls áolsága kapo összefüggésből adódk, hog akko hajíhaunk a legáolabba, ha 45 os szögben ndíjuk a ese. z ennél ksebb áolságba ké különböző szög ala s eljuahajuk a ese. sn α amel mamáls ééké α 45 o eseén ma. g esz fel hajíás fen öéne magukban foglalják a specáls eseeke s, úgmn a függőlegesen felfelé- ag lefelé hajíás, ízsznes hajíás, sb. esee. Ne felejsük el, hog a fen egenleek eseén a kezdőfeléelek:! Ha a konké feladanál ez más éék, akko az fgelembe kell enn! Közelíe a alós esee, a leegő közegellenállásá s fgelembe kell ennünk. Ekko a ballszkus göbéhez juunk. ede hajíás deáls (paabola) pála alód pála Ha a leegő súlódásá s fgelembe esszük, akko a paabola páláól eléő pálá, az ún. ballszkus göbé kapjuk. 36
z ábáól láhaó, hog a mozgás eg ellpszs pála daabjakén íhaó le, ha a g (a gaácós öénben megfogalmazo módon lásd. később!) a magassággal álozk. ede hajíás Ha nag magasságoka kell fgelembe ennünk, ahol má a g álozásáal s számoln kell, akko a paabola hele ellpszs íja le a pálá. kömozgás Kömozgásól akko beszélünk, ha eg es köpálán mozog, azaz ha az anag pon álal leí pála eg kö. Ezen belül megkülönbözeünk egenlees kömozgás és álozó kömozgás. Egenlees kömozgás égez az anag pon akko, ha eg köpálán egenlő dőközök ala, egenlő uaka esz meg, mndg uganabban a köülfuás ánban: s ahol s : íhosszúság, : a sebesség nagsága Ekko a sebesség nagsága állandó, de az ána pllanaól pllanaa álozk. sebesség ána a kö énője ánába mua (angencáls) és ezé ponól pona álozk, ehá a mozgás, gosuló mozgás. gosulás pedg a sebesség dő szen álozása: aál Ha, akko ána a a -e meőleges ánhoz, íg mel a gosulás ána mndg a sebesség álozásának ána, a gosulás s meőleges -e. Ez az jelen, hog a gosulás a kö sugaának onalába esk, úg hog ána mnden pllanaban a kö középponjába mua. Ezé neezzük adáls (sugáánú,) ag cenpeáls (középpon /cenum/ felé muaó) gosulásnak. 37
Kömozgás Egenlees kömozgásnál sebesség nagsága állandó, ána a kö énője, azaz mndg meőleges a sugáa. gosulás a sebességálozás ánába mua, ez haáeseben meőleges a sebessége, és a sugáal ellenées ánba mua. a ál a d a a d Kömozgás a a a adáls (cenpeáls) gosulás z ábán láhaó ké háomszög hasonlóságá khasznála: ál ál ál haáámenenél: a a s a α α gosulás nagsága: az ábáól lászk, hog a, ha akko a, Tehá a gosulás mnden pllanaban a középpon felé mua, cenpeáls. adáls gosulás, és nagsága: a /. 38
Kömozgás onos meglán, hog ebben az eseben a sebesség nagsága nem álozk. m álozk, az a sebesség ána, ez okozza ez a gosulás. a Iána a kö középponja felé mua. a gosulás énőleges komponense. a adáls (cenpeáls) gosulás a s α a α Láhaó, hog az egenlees kömozgásnál a sebességeko nagsága állandó. Ezé az énő ánú, ag más néen angencáls gosulás ééke. Szögsebesség, szöggosulás Köpálán mozgó pon helzeé egszeűen megadhajuk az ado knduló helzeől mé fogásszöggel. fogásszögből a sebességgel és a pála men gosulással analóg mennségeke ezeünk le, a szögsebessége és a szöggosulás. Kömozgás Szögsebesség, szöggosulás Szögsebesség: a szögelfodulás dő szen dffeencálhánadosa: ϕ dϕ ω lm d szöggosulás a szögsebesség dő szen dffeencálhánadosa: ω dω d ϕ β lm d d fogásszög ímééke és a keüleen mege ú köz összefüggés: s ϕ keüle sebesség és a keüle (angencáls) gosulás nnen: ds dϕ ω d d s ϕ ; és s m ; m s ad d dω a β d d 39 ϕ s
z szögsebesség (ω) méékegsége: /s (s - ). Mel a szögelfodulás ( ϕ) méékegsége a adán, íhanánk, hog ad/s. De a adán: íhossz / sugá ( s/), ennek dmenzója: hossz/hossz, azaz dmenzólan mennség. Tehá, az ω fzka méékegsége: /s. Kömozgás cenpeáls (adáls, nomáls) gosulás pedg: Egenlees kömozgásnál a szögsebesség állandó, a szöggosulás pedg zéus: ϕ ϕ + ω( ) kengés dő ag peódusdő (T) ala az eg eljes kö megéeléhez szükséges dő éjük, míg a fodulaszám (n) az dőegségenkén mege fodulaok számá jelen, azaz n /T. Mndebből: π ω πn T keüle sebesség (mn eko), a szögsebesség és a heleko (sugá) ekoáls szozaa: ω a ω ω ω Lásd eko szoza! szögsebessége mn eko úg kapjuk meg, hog a ϕ-hez án endelünk (ánmennség). Ez az án meőleges a kezde és a égső heleko álal meghaáozo síka, és szembenéze ele az elfodulás + ánú (az óamuaó jáásáal ellenées, bala fogó). Valójában a ϕ éges szögelfodulás nem eknheő ekonak, csak a haáééke, az elem elfodulás: dϕ. ω szögsebesség eko: ω ϕ dϕ lm d keüle sebesség (mn eko), a szögsebesség és a heleko ekoáls szozaakén adódk: ω ( ω,, ebben a soendben, jobbsodású endsze) 4
Kömozgás Ha szögsebesség nem szöggosulás eko: dω β d a a állandó, akko beszélünk szöggosulásól (β). Ekko nlán a keüle (angencáls) sebesség sem angencáls és adáls ánú gosulásekook: a β ω ω a a a a + a állandó és a angencáls gosulás (a ) sem nulla. z ábáól láhaóan, a keüle gosulás és a cenpeáls (adáls) gosulás (a ) eko eedője adja az eedő gosulás. Állandó síkú kömozgásnál ánaω -al egező, ha ω nő, ellenées ele ha ω csökken. Ha a mozgás síkja álozk, β nem, állandó nagságú ω melle sem. gosulás pálamen, és aa meőleges komponenséhez hasonlóan, s beszélheünk engellel páhuzamos és aa meőleges szöggosulás komponensől. Tangencáls és adáls gosulás göbüle kö a a a pála smulósík Göbe onalú mozgás eseén a gosulás felbonhajuk ké egmása meőleges komponense, a angencáls (pálamen) gosulása és középpon felé muaó adáls (cenpeáls) gosulása. a a a Teszőleges göbe onalú mozgásoknál defnálhaunk eg ún. smulósíko, az a síko, amelbe (pongolán fogalmaza) legjobban belesmul az ado pálaszakasz, és eg göbüle kö, amel a legjobban lleszkedk az ado göbéhez (ponalanul). 4
a angencáls (pálamen) gosulás: d d s a d d a adáls (cenpeáls) gosulás: a R gosulás nagsága: a a + a a () a a Láhaó, hog a ömegpon gosulásá egfelől a sebesség nagságának megálozása, másfelől a pála göbülsége eedménezhe. Egenes onalú mozgásoknál: R / R azaz a gosulásnak csak angencáls komponense an. Egenlees kömozgásnál ( áll.) pedg csak adáls komponense. hamonkus ezgőmozgás knemakája Hamonkus ezgőmozgásnak neezzük az olan mozgásoka, ahol a kéés az dőnek sn(ω + ϕ ) sn(π/t + ϕ ) sn(πf + ϕ ) alakú függéne, ahol, ω, és ϕ állandók, f /T pedg a fekenca. sebesség: d/d ω cos(ω + ϕ ) a gosulás: a d /d - ω sn(ω + ϕ ) -ω hamonkus ezgőmozgás knemakája π sn( ω + ϕ) sn( + ϕ) sn(πf + ϕ) T - amplúdó [m] ω - köfekenca [/s] π ω πf T T f T ϕ - peódusdő [s] - fekenca [/s, Hz] -kezdőfázs Íg mozog pl. eg csaaugóa akaszo és kéíés uán elengede es. Tehá a kéés az dő sznuszos függéne. z amplúdó () a mamáls kéés jelen, a peódusdő (T) az eg oda-ssza ezgéshez szükséges dő, a fekenca (f)az dőegség (öbbne eg másodpec) ala ezgések számá, a kezdőfázs pedg az, hog a méés kezdeeko hol ol a es. Ez álaszhaó -nak s. fekenca /s egségé hez-nek neezzük, jele: Hz. 4
hamonkus ezgőmozgás knemakája kéés hamonkus ezgőmozgás kéés dő, sebesség dő és gosulás dő függéne: sebesség gosulás hamonkus ezgőmozgás knemakája hamonkus ezgőmozgás mn az egenlees kömozgás eülee: ϕ z egenlees kömozgás égző pon eülee az ll. az engele hamonkus ezgőmozgás égez. (Pl. eg kengő goló ánéka a falon.) cosϕ cos(ω + ϕ ) snϕ sn(ω + ϕ ) ϕ az ún. kezdőfázs, azaz a méésünk kezdeéhez ( ) aozó szögelfodulás. + ; + ω ; a a + a ω hamonkus ezgőmozgás észleesebben majd a dnamkában ágaljuk. 43
z anag pon dnamkája Kezdeben ol szoelész, És a nugó dolgok nugalomban maadak, És a mozgó dolgok előbb-uóbb megállak, És égül mnden dolog áll, és a haalmas Isen köülnéze, és láa, hog unalmas. (Tm Joseph (Unfed eld Theo) knemakában megsmekedünk azokkal a mennségekkel, amelekkel le udjuk ín hogan mozognak a esek (anag ponok). dnamka azzal foglalkozk, hog megállapísa mé mozognak a esek ado módon, azaz a esek ulajdonságaból, kölcsönös helzeéből meghaáozza a mozgás mkénjé. Ehhez új mennségek beezeése szükséges. lapeő fonosságúak lesznek ezek közül (a fzka más ágaban s) az ún. megmaadó mennségek, amelek ééke eg zá anag endszee állandó (pl. ömeg, mpulzus, mpulzusmomenum, enega). eheelenség öéne (Newon I. öéne) z óko nag göög gondolkodója szoelész (.e. 384-3) - aknek munkássága meghaáoza az egész középko szellemségé - az monda, hog a esek emészees állapoa a nugalom. zaz a esek magukól nem mozognak. Galle (564-65), ak szoelész kona Galle kíséleeel megalapoza Newon munkásságá, ez úg módosíoa, hog a esek magukól nem szoelész ndulnak el. Ha eg (.e. 384-3) Galleo Galle ízsznes síkon anulmánozzuk pepaekus (564-65) a esek emészees állapoa a nugalom, mégs mozog a öld a esek sebessége eg mozgó es sebességé, az apaszaljuk, azaz a esek magukól csak más esek nem mozognak haásáa álozk meg hog mnél jobban csökkenjük a súlódás, annál keésbé csökken a sebessége. Ez eapolála aa az deáls esee, amko a súlódás zéusnak feléelezzük, aa juunk, hog ebben az eseben a sebessége nem álozk. sebesség megálozásá, ehá eg másk es (pl. a 44
felüle, amn csúszk) okozza. Tehá kmondhajuk, hog a esek sebessége (ána és nagsága) csak más esek haásáa álozk meg. Ideáls haáese: elonakozaás, mel alapjá képez bonolulabb eseek zsgálaának. z deáls haáesee onakozó öéneke, a ájuk épülő oább köekezeések helessége (apaszalaal aló egezése) gazolja. Galle felsmeése, a eheelenség öéne, fzka aóma, azaz olan alapöén, am közelenül nem udunk eljes ponossággal gazoln, de a áépülő köekezeéseke má gen. öén Newon (64-77) fogalmaza meg a ma alakjában (Newon I., ö.: N.I.): Mnden es megaja mozgásállapoá (sebességének nagságá és áná), amíg más esek (a könezee) ennek megálozaásáa nem késze. zaz ha eg es sebessége megálozo, keesn kell a ese, ag eseke, amelek ezé "felelőssé eheők". De ajon mndg gaz-e a fen Newon I. aómája kjelenés? Vegünk eg példá! Eg onaon üle a sík, sma aszalon fgelünk eg bládgoló. Egsze Mnden es megaja mozgásállapoá csak az apaszaljuk, hog a goló a (sebességének nagságá és áná), amíg más esek (a könezee) ennek meneánban elmozdul, holo a megálozaásáa nem késze. leggondosabb zsgála sem deí fel ( eheelenség öéne) olan ese, amel ezé a Inecaendszeben gaz! mozgásállapoálozásé okolhaó lenne. Tudjuk, a ona fékeze, gosuló (negaí) mozgás égze elünk egü, míg a goló folaa egenes onalú, egenlees Newon I. aómája mozgásá. De az ado endszeben (onafülke) leő megfgelő akko s a N.I.-ől eléő apaszala esz sze. M a koek megoldás? Meg zonos onakozaás endszeekben a eheelenség öéne nem éénes. kell adnunk a öén keeé, azaz Newon I. aómája bukolan magában foglalja az, hog mlen feléelek eseén az az állíás, hog léeznek olan eljesül, neezeesen az, hog onakozaás endszeek, amelekben a eheelenség öéne eljesül. Ezeke mel onakozaás endszeben necaendszeeknek neezzük. éénes. Megállapíhaó, hog ha Inecaendsze: dealzácó, ellenőzés eg onakozaás endszeben apaszalaokkal eljesül, akko eg ehhez képes 45
egenes onalú egenlees mozgás égző endszeben sznén eljesül, de eg gosuló (ag fogó) endszeben nem. (Lásd. az Egmáshoz képes mozgó onakozaás endszeek fejezee!) Tehá a N.I. kmondásako hozzá kell ennünk, hog hol (mlen köülmének közö) éénes, azaz az, hog a N.I. csak necaendszeben éénes. E mellé defnálnunk kell, hog m az az necaendsze. z olan onakozaás endsze, amelben a N.I. eljesül, necaendszenek (eheelenség sz.) neezzük. Ha egmás mellé esszük a fen ké állíás, akko ez kapjuk: a N.I. olan endszeben éénes, amelben éénes N.I. Ez logkalag auológának (önazonosság, önhakozás) neezzük. N.I. önmagában még az sem mondja k, hog len endsze léezk. Ezé a klasszkus mechankában (az aomakus felépíés ma) poszuláljuk, hog necaendsze léezk. Ez kp. eg kálaszás szabál, amel megadja, hog a dnamka öéne necaendszehez szonía fogalmazzuk meg. kálaszás szabál megjelöl azoka a endszeeke, amelekben a öbb öén éénesül. És gazából az sem baj, hog necaendsze a gakolaban eljes ponossággal nem muahaó. öld foog a engele köül és keng a Nap köül. Napendsze keng a Tejú endsze ömegközépponja köül. Tejúendsze beagozódk a lokáls galashalmazba, és a galasok s álozó sebességgel áolodnak egmáshoz képes. z necaendsze eg abszakcó, dealzácó amelnek segíségéel öénenk egszeűen, szemléleesen megfogalmazhaók. belőle fakadó köekezméneke pedg apaszala úon udjuk ellenőzn. Newon II. aómája Eg es gosulása egenesen aános a á haó eőel és fodíoan a es ömegéel: a Vag: m z aómák közül, alán a legfonosabb a másodk. z alábbakban észleesen elemezzük, hog az összefüggésben szeeplő mennségek m s jelenenek ponosan. ma ( dnamka alapöéne) 46
Newon II. aómája ma m: ömeg a esek eheelenségének mééke. ömegealon: ömeg egsége a pázs Tömeg és Mééküg Haalban őzö plana-dum öözeből készül hengees es ömege, a klogamm [kg]. z aomok és molekulák lágában eg másk ömegegség s használaos. z aom ömegegség a szénaom ömegének / észe, azaz TE,665-7 kg. Tömeg: a ömeg egk köznap jelenése az, hog nagság, mennség, sokaság (anagmennség, pl. a kémában). I más éelemben fogjuk használn ez a köznap fogalma. fzkában - akácsak más udománokban s - sok olan szó, fogalma használunk, amelek a köznelben s előfodulnak, de sokszo más jelenéssel, ag keésbé ponos jelenéssel. Ezé mndg meg kell adn, hog az ado kfejezésen ponosan m éünk. Induljunk k ké es kölcsönhaásából! Pl. egünk ké légpánás sínen mozgó kskocs. Ha az egke neklököm a másknak, akko az üközés soán mndké kocs mozgásállapoa megálozk. Vag ha ké kocsolás embe köéllel húzza egmás (egk a máska) akko mndkeő mozgásállapoa megálozk. Ké es kölcsönhaása soán, mndké es mozgásállapoa megálozk. kocsolások példájánál maada, az apaszaljuk, hog a köéebb mozgásállapoa keésbé álozk meg. sebességálozás ána ellenées, míg a nagságuk hánadosa eg ado espáa jellemző állandó. z mondjuk, hog es ömege (m ) n szeese es ömegének, ha a kölcsönhaásuk soán, es sebességálozása n-ed észe es sebességálozásának. zaz, / /n m /m n ag: m nm ; n - fen példá álalánosía, mnden eshez eg m ömege endelheünk, melen az m / kg mennsége éjük, ahol az kg az ún. ömegealon. és a méendő es és a ömegealon pákölcsönhaásánál fellépő sebességálozások. Ezek a sebességálozások azonos dő ala öének, azaz a gosulások s úg aánlanak egmáshoz, mn a sebességálozások: / a / a. ömeg nem ezeheő ssza (a klasszkus fzkában) a hosszúság és az dő alapmennségeke. z íg beezee ömeg, a esek azon ulajdonságá jellemz, hog a sebességüke megálozan gekő haásoknak (különböző méékben) ellenállnak. ömeg a esek eheelenségének mééke. 47
Newon II. aómája ma Eg smeelen es m ömegének meghaáozása: alkalmazzunk azonos eő az m és m ömegeke és méjük meg, hog azok mekkoa a llee a gosulása esznek sze. m m a és m a z eők egenlősége ma: m a m a azaz m m - eheelen ömeg (m ): a esek dnamka ulajdonságá jellemz a a N.II. alapján eg es (eheelen) ömegé eg sme eő aja okozo gosulásának mééséel haáozhajuk meg. Ez neezzük dnamka ömegméésnek. - súlos ömeg (m s ): a gaácós eőé foásakén szeeplő gaácós ölés (Relaáselméle: a ömeg függ a sebességől) ( elaáselméle ágalásako lán fogjuk, hog a ömeg nem állandó különböző sebességeknél, hanem a sebességgel nőn lászk. De ez a (elaszkus) haás, csak nagon nag, a fénsebessége megközelíő, sebességeknél jelenős. Ksebb sebességeknél, jó közelíéssel állandónak eknheő.) I szóln kell a kéfaja ömegől. mos beezee ömeg az ún. eheelen ömeg (m ), amel a esek dnamka ulajdonságá jellemz. gaácós kölcsönhaás ágalásako, lán fogjuk, hog a gaácós eőé foásakén szeeplő gaácós ölés jellegű mennsége s ömegnek neezzük, ez ún. súlos ömeg (m s ). Newon II. aómája Néhán eőöén: -ugalmas eő: - nehézség eő: -ál. ömegonzás:, γ mm ma z eő számazao mennség, méékegsége a [kgms - N(newon)]. ömegpona haó eő, a ömegpon és a ele kölcsönhaásban leő es elaí helzeének, sebességének, defomácójának, belső állapoának, sb. egéelmű függéne. Ez a függén eőöénnek neezzük. D mg - elekoszakus eő:, - Loenz eő: Emlékezeő: QQ k 48 Q a nég alapeő kölcsönhaás (eő) Eő esek kölcsönhaásában megnlánuló fzka mennség. z eő a gosulás oka. Eőöének: kjelenjük, hog eőöének léeznek, és a köülmének egéelmű függéne.
I a "kjelenés" hangsúlozása smé a klasszkus mechanka aomakus felépíésé emel k. Ez üköz az a szándéko, hog megalkoó, a mnának ekne eukledész geomeához hasonló fomá akaak adn nek. Newon II. aómája z mpulzus (lendüle, mozgásmennség): m I m kg s z eő az mpulzusálozás gosasága: di d di d m d d ( ) d m d ma (ha m állandó) Ké ömegponnál: Vag: I I I I' + ' + I I Impulzus (lendüle) z ömeg és a sebesség szozaakén defnál mennsége mpulzusnak (lendülenek) neezzük. Ké ömegpon kölcsönhaásánál, mndké ömegpon mpulzusa megálozk, és az mpulzusok álozása egenlő nagságú és ellenées ánú: I I Máskén, ké ömegpon összmpulzusa a kölcsönhaás soán állandó maad: ez az mpulzusmegmaadás öéne. I I' + ' + I I ( baloldalon a kölcsönhaás elő, a jobboldalon a kölcsönhaás uán mpulzusok állnak. Később észleesen kéünk á.) z mpulzusálozás az előző eseben egenlő nagságú és ellenées ánú ol, és ez függelen aól, hog mlen ípusú kölcsönhaás an a esek közö. z, hog mlen nagságú és ánú ez az mpulzusálozás, má nem függelen eől. kölcsönhaás pllanan eősségének mennség jellemzőjéül az mpulzusálozás gosaságá álaszjuk, és ez eőnek neezzük. Ez az eő eg másk defnícója. (Eedeleg Newon íg fogalmaza meg az eő.) Newon III. aómája (N.III.) Ha eg ömegpon eő gakool eg másk ömegpona, akko a másk s eő gakool az egke. (z eők mndg páosáal lépnek fel.) ké eő egenlő nagságú és ellenées ánú. Ez más néen a haás - ellenhaás (akcó - eakcó) öéne. 49
Newon III. aómája Ha eg ese a es eő gakool, akko az es s ha -e uganolan nagságú, de ellenées ánú eőel. ( haás-ellenhaás öéne) hana, akko kompenzálnák egmás, nem lenne mozgás. Ez kp. az mpulzusmegmaadásból s számazahaó. kölcsönhaás deje mndké ese (ömegpona) ua., ehá a I I egenle mndké oldalá elosza a kölcsönhaás dejéel, a megfelelő eőke kapjuk. onos megjegezn, hog az eőpában fellépő ké eő, különböző eseke ha. Ha uganaa a ese Newon IV. aómája Ha eg ese egdejűleg öbb eő ha (öbb esel Ha az anag pona egdejűleg öbb eő an kölcsönhaásban), a ha akko ezek egües haása egenéékű ömegpon úg mozog, eko eedőjük haásáal. mnha egedül a á haó (z eőhaások függelenségének ele, szupepozícó ele) eők eko eedője hana E + + C ma á. D + D Más szóal, az eők z eők ekokén összegződnek. ekoálsan E C összegződnek. Ez a szupepozícó ele, am szokak Newon IV. j aómájának (N.IV.) s neezn. Emlegek még, mn az eők függelenségének az elé", azaz, a ömegpona egdejűleg haó eők, egmás nem befolásolják, haásak zaaalanul egmása akódnak (szupeponálódnak). szupepozícó ele nemcsak az eők heles összegzésé haáozza meg, de fodío ánban alkalmaza az s leheőé esz, hog a ese haó eőke különböző ánú komponenseke bonhassuk. Specáls ese, ha a ömegpona haó eők eedője. Ekko a ömegpon neca (eheelenség) mozgás égez, azaz állandó sebességgel halad. (Ha ez az állandó sebesség, akko áll.) 5