1. A szerkeze és jármű dnamka kölcsönhaása A rezgésan egyk klasszkus feladaa a gerendaarón egyenlees sebességgel haladó erő okoza dnamkus haások számíása. Ennek során meghaározhaók a különböző dnamkus haásábrák és számíhaók a maxmáls elmozdulások és génybevéelek. Ezek akkor kelekeznek, amkor az erő a arón arózkodk. Amn az erő a aró elhagyja, a rezgések a mndg meglévő szerkeze csllapíás ma csökkenn fognak. Ez az oka annak, hogy a rezgés ezen másodk szakaszával (a szabadrezgéssel) az rodalom kevéssé foglalkozk. Más a helyze azonban akkor, ha a arón a már áhalad erők okoza szabadrezgések és a arón még arózkodó erők okoza gerjesző haások együesen megjelennek. A rezgésösszeevők közö a szabadrezgésnek megfelelő harmonkus rezgés hullámhossza a rezgéssebességéől függ, és különösen fonos annak az esenek a vzsgálaa, amkor az erők állandó ávolságra vannak egymásól, mvel ebben az eseben az egyes erők haása egymás erősíhe. A geomera elrendezésől függően meghaározhaó egy krkus járműsebesség, amelyhez a legnagyobb dnamka haások aroznak. A valóságban egy arón nem erők, hanem ömeggel rendelkező szerkezeek (járművek) mozognak. A mozgó ömeg haással van a dnamka rendszer jellemzőre s, különösen akkor, ha a mozgó ömeg a szerkeze ömegéhez képes jelenős. Ez a helyze a vasú hdak eseén fennáll. Végül a dnamka haás befolyásolhaják a járműrendszer dnamka paraméere (merevség és csllapíás jellemző) s A kuaás során felíruk a gerenda mozgó erő haására kelekező hajlíó rezgésére vonakozó dfferencálegyenlee a szerkeze csllapíás fgyelembevéelével. v EI x ( x, ) γ 5 v( x, ) v( x, ) + ωr EI x + µ = Fδ ( x v) ϑ I γ =, ahol ϑ a csllapíás logarmkus dekremenuma, ω π r a rúd r-edk sajákörfrekvencája. Az nhomogén egyenle zérus kezde feléelek melle megoldása szolgálaja az elmozdulásoka arra az esere, amkor az erő a arón jár. Ha az erő lemen a aróról, akkor felada a szabad rezgés vzsgálaa az erőnek a aró elhagyáskor lévő kezde elmozdulása és sebessége eseére. Az 1-es ábrán láhajuk a aró középső ponjának dnamkus haásábrájá. Az alkalmazo (a vonakozó előírásokban megado) 1,5 %-os csllapíásnak a haása a gerjesze rezgésnek megfelelő arófele szakaszon nem jelenős, és a haása az ábrában az ado vonalvasagságok eseén nem s lászk. Ugyanakkor a szabadrezgésnek megfelelő szakaszon, jól láhaó a szabadrezgés amplúdójának csökkenése.. 1. ábra. Dnamkus haásábra csllapíalan és csllapío rezgés eseén 1
A dnamkus haásábrában a szabadrezgéshez arozó szakaszon meghaározó szerepe van az első rezgésalaknak. A haásábrában láhaó csúcsponok közö ávolság a rezgésdő és a sebesség segíségével számíhaó. A gyakorlaban az erők közö ávolság ado, így számíhaó az a sebesség, amelynél az erőknek a haásábra csúcsponjara való egydejű esése ma jelenős haásra számíhaunk. Ez a sebessége a ovábbakban krkus erőcsopor sebességnek nevezzük. v kr,erő d = = d n1. T1 Elvleg az erők akkor s eshenek egydejűleg a haásábra csúcsponokra, ha a sebesség a krkus sebesség egészszámmal oszo érékével azonos. A dnamkus haás ksebb lesz, hszen az egyes erőcsoporokban lévő - a vona négy engelyén áadódó erők - egydejűleg nem lehe a dnamka haásábra ado maxmáls ordnáája fele. A krkus járműsebesség egy ado érék, amely eseén az smélődő erhelés haására rezonancaszerű jelenség alakul k, és ez veze a jelenős dnamkus erheléshez. Bár álalában elmondhaó, hogy a dnamkus haás a sebesség növekedésével nő, a szabályos elrendezésű erhelés eseén mégs az apaszaljuk, hogy nagyobb sebességhez ksebb dnamkus haás arozha. A -es ábrán együ láhaók a 1 m/s krkus sebességhez, valamn a 1 m/s sebességhez arozó elmozdulások.. ábra. A aró középponjának elmozdulása ké különböző sebességeknél A valóságban egy vasú hídon a - hídon egydejűleg arózkodó - járműrendszer ömege akár 5 % -a s lehe a híd ömegének. A dnamka rendszerben lévő ömeg jelenős válozása megválozaja a dnamka jellemzőke s. A válozás ebben az eseben nemcsak mennység, mvel a rendszer ömegmárxa mos dőfüggő lesz. A rezgés márx-dfferencálegyenlee mos ( M M ( ) ) u + Cu + u = r( ) + 1 & & alakú lesz. A jármű maga s egy - rugókkal és csllapíó elemekkel rendelkező - dnamka rendszer, amely a szerkezeel dnamka kölcsönhaásban van. A vzsgálaok céljára a 1 darab 5m hosszúságú kocsból álló Shnkansen japán expressz vonao válaszouk. A felada márxegyenleében a márxoka dőfüggő és dőől függelen agok összegekén felírva: ( + M ) ) u& + ( C + C ( ) ) u& + ( + ( ) ) M u = r ( ). C ( C C
A felada megoldásár kdolgozására alkalmazo kváz modálanalízs leheővé ee a felada méreenek redukálásá. A 3-as ábrán láhajuk a aró középső ponjának a mozgó erőcsopor, a mozgó ömegponok, és a mozgó járművek okoza elmozdulásá. Megfgyelheő, hogy a jármű modell eseén a krkus sebesség ké ágban jelen meg, és a maxmáls elmozduláshoz arozó krkus sebesség ovább csökken. A szerkeze válasza függ a híd és a jármű első frekvencájának arányáól. A legnagyobb dnamkus haás akkor kapjuk, ha a ké frekvenca összeesk. A fenekre vonakozó részleek a özleményjegyzékben,5,7,1,1,15,17-es sorokban megado ckkekben megalálhaók. v kr, erő = 1 m/s v kr,ömp = 89 m/s v kr,vona = 8 m/s v kr,rezon. = 78 m/s v( l / ) max =,853 m v( l / ) max =,969 m v( l / ) max =,38 m v( l / ) =,33 m max 3. ábra. A aró középponjának elmozdulására különböző merevségű járművek eseén A vzsgálaok eredménye megjelenek az egyeem okaásban s, öbb dplomaerv készül ebben a émakörben, közülük egy a Drezda műszak egyeem Tarószerkezeek dnamkája anszékével közösen. A bemuao eljárás kerjeszeük, ívhdak eseére s, ahol már csak a numerkus eljárás jöhe szóban. Ennek kezde eredményeről 6 szepemberében Az IABSE 6 nemzeköz szmpózumon számolunk be (György J., Szabó G.: Dynamc calculaon of ran-brdge neracon a arch brdge). A szerkeze és alajdnamka kölcsönhaása Az elérő csllapíás jellemzőjű elemekből álló szerkezenél a márx-dfferencálegyenle ponos megoldása nehézségekbe üközk. A probléma meg ovább bonyolódk, ha a rendszerben külső - sebességgel arányos - csllapíás s van. Ebben az eseben feladaunk az márx-dfferencálegyenle megoldása. M & x + Cx & + x = q 3
Az nhomogén márx-dfferencálegyenle parkulárs megoldása, az ún. állandósul rezgésrész számíása gen egyszerűen kaphaó, ha a gerjesző erő harmonkus. Ha harmonkus erő a q () = qe ω komplex erő valós vagy képzees része, a komplex elmozdulás amplúdója az egyenleből M & x + Cx & + x = qe ω ( ωc ω 1 + M) q H( ω )q xg = = alakban adódk. Aól függően, hogy a gerjesző erő a komplex erő valós vagy képzees része vol, az elmozdulások s a komplex elmozdulás valós vagy képzees részekén adódnak. Ha az erő az dő álalános függvénye, akkor a Fourer ranszformácó segíségével az dőérben lévő q () függvény ranszformáljuk a frekvenca érben lévő függvénnyé: q = d. A gyakorla számíások során a dszkré Fourer ranszformácó alkalmazva: ( Ω ) q( ) e ( Ω) N 1 q ( Ω ) = ( ) ( n /N) n q m e π m. m= Az ado harmonkus erőkomponenshez arozó megoldáshoz mndenegyes összeevő eseén meg kelle oldan egy komplex együhaómárxú egyenlerendszer. Egy ado dőponhoz arozó eljes komplex megoldás az nverz dszkré Fourer ranszformácó alkalmazva: N 1 1 x ( ) = ( ) ( ) ( ) Ω Ω nm/n g m H n q n e π. T1 n= A alaj haásá saka számíásoknál egy rugómárx segíségével vehejük fgyelembe, amelye az aláámaszás ponokon működő egységerőkből számío elmozdulásoka aralmazó hajlékonyság márx nverálásával nyerheünk. Rezgésszámíásnál s hasonlóan járhaunk el, de ekkor a gerjeszés haására a alaj s rezgésbe jön, és az elmozdulásoka befolyásolják a alaj dnamka jellemző s. A különböző frekvencájú harmonkus gerjeszés eseén más-más lesz az elmozdulás. Ez az jelen, hogy a hajlékonyság márx és a dnamkus rugómárx s frekvencafüggő lesz. A frekvenca érben való vzsgálanál a komplex merevségekkel felír egyensúly egyenle ado ω frekvencájú harmonkus gerjeszés eseén a -es ábrán láhaó. dn ss dn sb * = x s dn bs dn bb + X Xx * b x b + q * b. ábra. A szerkeze dnamka egyenlee szerkeze és alaj kölcsönhaásánál Az egyenle együhaómárxában láhaók a szerkeze dn = ω M + γ dnamka merevség márxának blokkja, a alaj X komplex rugómárxa (mpedanca márx).
Az X mpedanca márx előállíhaó a komplex hajlékonyság márx nverzekén, amely leheővé esz a alajban való hullámerjedéskor kelekező szóródó csllapíásnak a modellben való fgyelembevéelé s. A felada megoldása nagyméreű épímény végeselemek módszerével való földrengésszámíása eseén rendkívül dőgényes, mvel a rendszer szabadságfoka öbb százezer és a Fourer ranszformácóban szereplő N éréke s elér az ö ezre. Elvégezve a szerkeze elmozdulásanak kváz-sakus és dnamkus részre való feloszásá, valamn a dnamkus elmozdulásvekor a fx megámaszású szerkeze sajávekoranak bázsában dyn x V s = z alakban felírva, bevezeve a P = 1 ss sb kfejezés a felada az 5-ös ábrán láhaó egyenlere veze. I az smerelenek száma csak a ámaszponok szabadságfokának és a fgyelembeve sajávekorok számának összege. * = V T dn ss V V + V T T dn ss dn sb P z T dn P ss V dn + V bs dn bb X T P + dn + ss P T dn P sb dn P bs x b f b 5. ábra. A szerkeze dnamka egyenlee a sajávekorokkal való redukálás uán dolgozunk egy olyan eljárás, ahol olyan egyenlerendszer kell - gen sokszor - megoldanunk, amelynek rendszáma mndössze a alajjal érnkező csomóponok szabadságfokáól függ. A numerkus kísérleek során egy szabadságfokú modellen számíouk a különböző rányú elmozdulásokhoz arozó ável függvényeke. A szerkeze maxmáls elmozdulásanak kellő ponosságú számíásához már ö sajávekor alkalmazása elegendő vol, am a számíás dő a drek megoldás 5%-ra csökkenee. Tovább eredmények a közleményjegyzék 11, 1, 13-as soraban láhaó publkácókban megeknheők. Egy érdekes mérnök felada olyan szerkezeek számíása, amelyeknél mnd a széleherből, mnd a földrengésből származó génybevéelek mérékadóak lehenek. Egy hajlékony orony eseén a alajjal való együműködés haásának elhanyagolása a földrengésszámíásnál a bzonság javára szolgál, míg a szél haásánál annak kárára van. Ez a kérdés elemz a közleményjegyzék 18-as sorában szereplő dolgoza, és erről szól a 6 májusában a Frs Euro Mederranean Symposum of Advances n Geomaerals and Srucures címmel Tunsban szerveze nemzeköz konferencán arandó előadás s.(györgy J: Effec of sol-srucure neracon n case of earhquake and wnd calculaon of owers) A rendszerben lévő csllapíások haása más egy szokásos 1-3 másodpercg aró földrengés eseén és más akkor, ha lökésszerű 1- másodperces rengés van. A ovábbakban nemzeköz együműködés kereében - ez a kérdés kuajuk. Az eredményekről szóló első beszámoló 6 auguszusában Japánban arandó STESSA 6 nemzeköz konferencán smerejük. ( J. György, V. Goncu & M. Mosoarca: Behavour of seel MRFs subjeced o near-faul ground moons) 5
3. öél és sáorszerkezeek dnamka számíás széleherre Ha a számíások során a ömegerőke elhanyagoljuk, akkor feladaunk az dőben válozó erhekre a sakus elmozdulások számíása. A eherválozásnak megfelelő elmozdulás válozása a ( ) r = q + G összefüggésből számíhaó, ahol és G a dőponbel helyzehez arozó merevség márx ll. kegészíő (geomera) merevség márx. Az r vekor smereében a rúderők válozásának vekora s számíhaó. A + dőponhoz arózó helyzenek megfelelően válozk a geomera márx s. Ennek segíségével számío ehervekor nem fog megegyezn az ado vekorral. Ugyancsak elérés lesz knemaka ehervekorban s, így erácós eljárásra van szükség. Az egyes erácós lépésekben a számíhaó a eher redukál q red hbavekora és ebből az elmozdulás- növekmény a ( + ) r = q G red egyenle megoldásával. Az erácós eljárás addg kell folyan, amíg a q vekor elegendően kcs nem lesz. Ez köveően elvégezheő a kövekező dőlépésre red vonakozó számíás. Ha a számíások során a ömegerőke nem hanyagoljuk el, akkor az egyensúly egyenleben megjelenk az ado dőlépéshez arozó gyorsulásválozásnak megfelelő eheelenség erő s: ( ) r = q M& r + G I M a szerkezenek a számíások során állandónak ekne ömegmárxa, míg az & r& vekor a gyorsulásválozás vekora. A márx-dfferencálegyenle megoldására öbb numerkus eljárás áll rendelkezésünkre. A numerkus kísérleek alapján a Newmark-féle eljárás bzonyul a legalkalmasabbnak a számíások elvégzésére. A szélerheléshez a szélsebesség dőfüggvényé a amal álal megado u f n S ( ) * v z, n = spekrum függvényből az u() = S ( ) ( ) ( 1 + 5 f ) 5/ 3 u n n cos π n + φ összefüggéssel = 1 számíouk. Algormus dolgozunk k a felüleen megoszló szélnyomásnak a válozó geomerához arozó ehervekora számíására, fgyelembe véve a válozás sebessége, így az aerodnamkus csllapíás, ll. ado eseben az aerodnamkus gerjeszés. Ebben az eseben az egyes dőlépésekben feladaunk a. egyenle megoldása ( ) r = q Mr & Cr& + G A erhelés számíásánál fonos szerepe van az alak ényezőnek. A ényező meghaározásának klasszkus módszere a szélcsaorna kísérle. A 6-os ábra egy olyan feladao mua, amelynél a kísérle eredmények rendelkezésünkre állak. 6. ábra. Szélcsaornában vzsgál szerkeze mechanka modellje, 6
A 7-es ábrán egy szerkeze elmozdulásanak dőben alakulásá lájuk. A numerkus kísérleek szern a számíás dő (a számíás dőlépésenek nagysága) a szerkeze előfeszíésének nagyságáól erősen függ. Tovább eredmények alálhaók a közleményjegyzék 1,, 3, 6 és 16-os soraban megado publkácókban 7. ábra. Sáorszerkeze mozgása szél haására.. Geomeralag és fzkalag nem lneárs dnamka rendszerek modellezése A nem lneárs dnamka feladaok megoldásának módszere a numerkus negrálás. A felada skeresen akkor oldhaó meg, ha elemezzük a szerkeze dnamka jellemző, meghaározzuk a még jelenős kváz-rezgésalakokhoz arozó legmagasabb frekvencá, és az ennek megfelelő peródusdő alapján dönünk az negrálás lépésközről. A közleményjegyzék 8, 9 és 19-es soraban megado publkácók bemuaják ezen munka eredménye, leheővé éve nagyjelenőségű aomerőmű szerkezeek korrek vzsgálaá. 7