Dobó Andor A dobó-topa-transzformáció egy újabb tulajdonságáról Az [1]-ben említést tettünk az affin transzformációk néhány fontosabb alcsoportjáról. Az alábbiakban ezekhez tartozóan bevezetünk egy újabb alcsoportot amelyet hipo-reguláris transzformációnak fogunk nevezni. Evégbıl legyen az n-dimenziós tér affin lineáris pontleképezésének analitikus alakja: (0) x a x b (i= 1 2 n). Mint ismeretes az affin transzformáció reguláris ha det[a ij ] 0. A reguláris affin transzformációt hipo-reguláris transzformációnak nevezzük ha (1) deta γ ahol γ>0 állandó; γ 1. (A γ=1 jól ismert esete az affin transzformációknak!) Állítás: Ha a és a változó mennyiség egyenesen arányos vagyis ha (2) γ ahol a pozitív γ 1 arányossági tényezı állandó akkor a Dobó-Topa-transzformáció hiporeguláris. Bizonyítás: A tárgyalást érdemben nem befolyásolja ugyanakkor a bizonyítást átláthatóbbá és egyszerőbbé teszi ha n=4 helyett n=2 dimenzióban maradunk. Ekkor a Dobó-Topatranszformáció alakja (lásd [2]): (3) x α δ xv t (4) t α δ xt ( α ). (Most tehát x 1 =x x 2 =t x x x t.) 1
Ebben az esetben (5) deta α δ α δ α δ α δ δ. A [3]-ban formailag a (2) alatti arányosságra is tekintettel láttuk hogy (6) δγ ahol most a feltevés folytán γ>0 állandó 1. Ebbıl kifolyólag (7) δ γ ami állításunkat igazolja. Ha γ=1 akkor a Dobó-Topa-féle hipo-reguláris transzformáció ekviaffin transzformációba megy át ami viszont k 0 =k v esetén Dobó-Lorentz-transzformációvá alakul. Ha γ 1 akkor k 0 =k v esetén a Dobó-Topa-transzformáció nem megy át Dobó-Lorentz-transzformációba vagyis ekkor elszeparált transzformációt alkot. Ebben az esetben (8) γ és így az ívelemre nézve az affinitás nem lehet unimoduláris transzformáció. Ma még nem tudjuk megítélni hogy a hipo-reguláris Dobó-Topa-transzformáció a fizikában milyen szerepet fog betölteni. Föltehetıleg alkalmazása elıbb-utóbb elıtérbe kerül és az elméleti fizika szerves részévé válik. Ahogyan a Bolyai-féle hiperbolikus geometriában k nemcsak állandó hanem (görbületi) paraméter is szintúgy itt γ nemcsak állandónak hanem paraméternek is tekinthetı 2 ; a szerepét pedig tisztázni kell. 1 A [3]-ban γ-t általánosabb tényezıként értelmeztük vagyis nem föltétlenül kellett neki konstansnak lennie. A peremfeltételbıl adódóan azonban γ 1 lett. Most viszont azzal hogy egyenes arányosságot követeltünk meg a γ- ról csak annyit tudunk mondani hogy dimenzió nélküli állandó. Ez viszont a végeredmény szempontjából azt jelenti hogy az egyenes arányosság megkövetelése gyöngébb feltétel mint a peremfeltétel. Általa ugyanis γ konkrét értéke még nem határozható meg! Ha viszont γ=1 akkor a peremfeltétel teljesül. 2
Nehezen hihetı (szinte kizárható) hogy a természettörvények feltárásakor ne legyen szükség a hipo-reguláris Dobó-Topa-transzformációra amelyet n=2 esetben az (9) x α γ xv t (10) t α γ xt egyenletrendszer jellemez. Ekkor bizonyára a diszkutálás tárgyát képezi az x=0 eset mikor is a sajátidı a (11) t τ α γ t alakot ölti. A (11) alapján ha γ 0 akkor ; ha pedig γ akkor 0 akkor is ha v=c 0. Ha k v =k 0 és v=c 0 akkor (12) τ γ t (1<k D0 ). A (11) illetve (12) alatti sajátidı-kifejezéssel a fizikában eddig még nem találkoztunk. Ez azt jelenti hogy a sajátidı fogalmát is alaposan át kell gondolni. (Mindez köszönhetı Topa Zsolt szárnyalásának ami ide vezetett és még ki tudja hol ér véget!) Ha (9)-ben t=0 akkor (13) xx γ α és így a hosszúságkontrakció : (14) γ 1. 2 A matematikában nem ritka az ilyen eset; így például valamely függvény Laplace-transzformációja is paraméter-függı; mivel azt egy paraméteres improprius integrál fejezi ki amelynek rendkívül fontos szerepe van az analízisben fıleg az állandó együtthatójú lineáris közönséges differenciálegyenletek megoldásainak elıállításában. 3
Most v=c 0 esetén l v 0! (Az Einstein-féle speciális relativitáselmélet szerint ha v a vákuumbeli fény sebességének értékét veszi fel akkor l v=co =0! 3 ) Összefoglalva megállapítható: a Dobó-Topa-transzformáció vagy hipo-reguláris (γ 1) vagy ekviaffin (γ=1) transzformáció. A hivatkozáskor erre tekintettel kell lenni elkerülendı a félreértéseket. * A mai hivatalos /ortodox/ kanonizált fizika mellett (Topa szóhasználata; lásd [4]) fontosnak vélem még megemlíteni az alábbiakat: Belátható ha γ=1 a sebesség és impulzus négyesvektorának önmagával vett skaláris szorzata: k illetve m k. (Einsteinnél ezek az értékek c illetve m c!) Tehát egyik érték sem függ k 0 -tól! Ugyanakkor k v c 0 miatt a vektorok pszeudo-hosszúsága ellentétben Einstein speciális relativitáselméletével univerzálisan nem kötött mivel értékük függ k v - tıl is ezen keresztül pedig a téridı k Dv görbületi paraméterétıl. Mindez jól mutatja hogy a görbület fogalmának már a speciális relativitáselméletben is jelentıs és megkerülhetetlen szerep jut. Einsteinnél mindennek még csak nyomát sem látjuk. Alapvetıen ez (is) az oka annak hogy elmélete annyi kívánnivalót hagy maga után. Ha abból indulunk ki hogy az általános relativitáselmélet görbült térrel számol (Riemann-görbület) akkor speciális esetként a térnek egyszerőbb változatban ugyan de továbbra is görbültnek (Gauss-görbület) kell maradnia. (Ha az n-dimenziós tér görbült akkor n=2 esetén is az marad. Ekkor a Riemann-tenzor egyetlen el nem tőnı független komponense az R 1212 mennyiség.) Ez a felismerés képezi az alapját Topával végzett kutatásainknak! (Newton idején még csak az euklideszi geometriát ismerték a görbületnek még a fogalma sem létezett!) Naiv hozzáállás ennek realitását és jogosságát megkérdıjelezni. Mint látható az új világképet adó Einstein nem végzett tökéletes munkát (mert eredményei cáfolhatók); ugyanakkor úttörı 3 Bár (mint korábban már annyiszor rámutattunk) a v=c=c 0 sebességértékre az egész Einsteini elmélet matematikailag már teljességgel értelmezhetetlen magyarán csıdöt mond; pedig az Einstein csodálatos évében született. A modern tudomány történetében az 1666-os esztendıt csodálatos évnek (latinul annus mirabilis ) nevezik. Ekkor vetette meg Isaac Newton a 17. századi tudományt forradalmasító fizika és matematika alapjainak jelentıs részét. Ezt a kifejezést az 1905-ös esztendıre Albert Einsteinre is vonatkoztatják aki ekkor alapozta meg newtoni fizikától való elszakadást ami viszont a 20. századi fizikát forradalmasította. Ami a megalapozást illeti: hát ilyenre sikerült! Az elszakadás sem felel meg annak ahogyan azt ma értelmezik. Az euklideszi geometriában Newton mechanikája tökéletesen helytálló benne a mozgásegyenlet nem szorul semmiféle felülvizsgálatra. 4
szerepe a fizikában vitán felül áll. Munkásságának megfelelı történelmi keretekbe való helyezése azonban ma még kellı biztonsággal nem végezhetı el. Jelentıs fejlıdés forradalmi változás a tudományban mindig akkor következik be amikor rákényszerülünk elvetni elıdeink hosszú ideig nagyra tartott csodálatra méltó eredményeit ami sokáig a tudomány hajtóerejének bizonyult késıbb viszont a kerékkötıjévé vált. Persze minden kutató arra törekszik hogy az általa felfedezett természettörvény idıálló legyen; vagyis ne lehessen kikezdeni. A szándék ellenére a korlátolt ismereteink folytán ez sajnos ritkán sikerül. A legtöbbször nem rendelkezünk azzal a tudással amely a valóság pontos leírásához kellene ezért elért eredményeink gyakran átmenetiek késıbb korrigálni vagy elvetni kényszerülünk ıket. Ebben a folyamatban nem könnyő a helytállás mert cáfolni kell a régit s védelmezni az újat ; és fordítva. Mindez elkerülhetetlen konfliktussal jár mert mindenki ragaszkodik a saját igazához ami emberileg még érthetı is. Budapest 2010. január 31. IRODALOM [1] Dobó Andor Topa Zsolt: Mérleg (kézirat Budapest 2010. január 24.) [2] Dobó Andor: A Dobó-Topa-féle transzformáció és alkalmazása (kézirat Budapest 2009. december 3.) [3] Dobó Andor: A Dobó-Topa-transzformáció egyértelmővé tétele és következményei (kézirat Budapest 2010. január 21.) [4] Topa Zsolt: A Minkowski-modell kiigazítása (kézirat Budapest 2009. december 2.) 5