oorádi László Szolnoi Tudományos Közleménye XVI. Szolno, 202 HIBAFA ÉRZÉKENYSÉG ELEMZÉSE 2 A tanulmány egy önnyen algoritmizálható hibafa érzéenység elemzési módszert mutat be, mely a gázturbinás hajtóműve és repülőgép sárányrendszere matematiai diagnosztiai modellezési eljárásain alapszi. A tanulmány fő célja a lineáris matematiai diagnosztiai modellezési módszere alalmazásával a Lineáris Hibafa Érzéenységi Modell (Linear Fault Tree Sensitivity Model LFTSM) módszertanána bemutatása és egy példán eresztül az alalmazási lehetőség szemléltetése MATRIX-ALGEBRAIC FAULT TREE SENSITIVITY ANALYSIS The paper shows an easy-useable fault tree sensitivity investigation method uses matrix-algebraic method based upon the mathematical modeling of aircraft systems and gas turbine engines. The main aim of this study is to shows the adaptation of linear mathematical diagnostic modeling methodology for setting-up of Linear Fault Tree Sensitivity Model (LFTSM) LFTSM and its possibility of use to investigate Fault Tree sensitivity by a demonstrative example.. BEVEZETÉS A hibafa-elemzés (Fault Tree Analysis FTA) során egy valós vagy feltételezett rendszerhibából, az úgynevezett főeseményből (Top Event) indulun i, és foozatosan derítjü fel azoat az alotóelem és részrendszer meghibásodási lehetőségeet, melye az adott, nem ívánt esemény beövetezéséhez vezetne vagy vezethetne. A hibafa-elemzés érzéenyvizsgálatána célja anna meghatározása, hogy az adott hibafa elemi eseménye beövetezési valószínűségeine változásaira milyen mértében reagálna mennyire érzéenye a hozzá apcsolódó özbülső eseménye és a főesemény beövetezési valószínűségei. A hibafa-elemzést fastrutúrájú gráf segíti, amit ülönböző, például megbízhatósági számításoal is i lehet egészíteni. Módszertanát a [5] és [6] szabványoból tudju megismerni. A részletesebb megértéshez szüséges gráfelméleti ismerete Andrásfalvi [] önyvében és Fazeas [3] egyetemi jegyzetében olvashatóa. Számítógéppel segített hibafa-elemzés módszertanát ismerteti Ferdous, szerzőtársaival a [4] irodalomban. Az érzéenységi elemzése orábban alalmazott módszere esetén a iértéelést úgy végezté el, hogy a hibafa egyi elemi eseményéhez nagy, majd is értéű meghibásodási rátát rendelte. Amennyiben a iszámított rendszer-megbízhatósági paraméter, azaz a főesemény beövetezési valószínűsége, nem változott számottevően, aor ez az elemi esemény nem bír nagy ocázati jelentőséggel. Viszont, ha a rendszer-megbízhatósági paraméter változása je- CSc. egyetemi tanár, Debreceni Egyetem, pooradi@eng.unideb.hu 2 Letorálta: orti Tamás, oleveles. matematius, porti.tamas@prosysmod.hu 50
Szolnoi Tudományos Közleménye XVI. lentős mértéűre adódott, aor pontosabb adatoat ell szerezni vagy az eseményt további alap oora ell bontani. Csiba elemzései során a csúcsesemény beövetezési valószínűséget leíró függvény elemi eseménye beövetezési valószínűségei szerinti parciális differenciálhányadosait épezte az érzéenységi együttható meghatározásához [2]. Ezen eljárás hátránya az, hogy egy nagyméretű, összetett hibafa esetén viszonylag nagy a hibázás lehetősége. oorádi [7] önyvében vizsgálta a techniai rendszere lineáris érzéenységi modelljeine felállítási és alalmazhatósági lehetőségeit. A Szerző a repülőgép sárányrendszereine lineáris diagnosztiai eljárásait alalmazta a hibafa-elemzés relatív érzéenységvizsgálatára [9], valamint a Lineáris Hibafa Érzéenységi Modell (LFTSM Linear Fault Tree Sensitivity Model) módszerét dolgozta i [8]. Jelen tanulmány a hibafa-elemzés érzéenységvizsgálatána, a fenti eljárástól eltérő, úgynevezett moduláris megözelítésű, mátrixalgebrai módszerét mutatja be a szerző által idolgozott LFTSM alalmazásával. A tanulmány az alábbi részeből áll: A 2. fejezet röviden bemutatja a Hibafa-elemzést. A 3. fejezet az érzéenységvizsgálat teljes derivált módszerét írja le. A 4. fejezet egy egyszerű mintapéldán eresztül szemlélteti az előzőleg ismertetett módszer alalmazását. Végül az 5. fejezet összegzi a tanulmány elészítéseor szerzett tapasztalatoat és megfogalmazza a Szerző jövőbeli célitűzéseit. 2. A HIBAFA-ELEMZÉS A hibafa-elemzés során egy feltételezett rendszerhibából, az úgynevezett főeseményből (Top Event) indulun i, és foozatosan derítjü fel azoat az alotóelem és részrendszer meghibásodási lehetőségeet, melye az adott, nem ívánt esemény beövetezéséhez vezetne vagy vezethetne. Az elemző munát fastrutúrájú gráf megjelenítés segíti, amit ülönböző, például megbízhatósági számításoal is i lehet egészíteni. A gráf olyan alazat, amely pontoból és bizonyos pontpároat összeötő (nem feltétlenül egyenes) vonaldaraboból áll. Matematiai megfogalmazásban a G(V;E;f) gráfon olyan alazatot értün, amely a V pontoból és bizonyos pontoat összeötő E vonaldaraboból áll. A V halmaz elemeit pontona (esetleg gráf szögpontjaina vagy csúcsaina), az E halmaz elemeit pedig a gráf éleine nevezzü. A fenti jelölésben szereplő f függvény az E halmazt épezi le a VxV-re, azaz bármely e élhez hozzárendel egy pontpárt a V halmaz elemei özül. Ezért f-t szoás illeszedési leépezésne is nevezni []. Az olyan összefüggő irányítatlan gráf neve, mely nem tartalmaz öröet, a fa. Az n csúcspontot tartalmazó fána pontosan n- éle van. Egy fa gráfban bármely ét pontot pontosan egy út öt össze [3].. ábra A hibafa-elemzés főbb jelölései a ÉS apu; b VAGY apu 5
Szolnoi Tudományos Közleménye XVI. Az. ábra a Hibafa elemzés úgynevezett alapapuit szemlélteti. Egy (nem elemi) esemény beövetezési valószínűsége meghatározható az azt iváltó eseménye melye lehetne elemi vagy alacsonyabb szintű özbülső eseménye beövetezési valószínűségeine, illetve a apcsolatot leíró logiai apu ismeretében, azaz: ÉS apu esetén: VAGY apu esetén: ahol: i i, () i. (2) i i i [0,] i{,2,..., } az i-edi iváltó esemény beövetezési valószínűsége; a iváltó eseménye száma. 3. ÉRZÉKENYSÉGI MODELL FELÁLLÍTÁSA A hibafa-elemzés érzéenyvizsgálatána célja anna meghatározása, hogy az elemi eseménye beövetezési valószínűségeine változásaira milyen mértében reagál, azaz mennyire érzéeny a özbülső eseménye és a főesemény beövetezési valószínűsége [9]. Az érzéenységi elemzése egyi lehetséges, orábban alalmazott módja az, amior a iértéelést úgy végezzü el, hogy a hibafa egyi elemi eseményéhez nagy, majd is értéű meghibásodási rátát rendelün. Amennyiben a iszámított rendszer-megbízhatósági paraméter, azaz a főesemény beövetezési valószínűsége, nem változott számottevően, aor ez az elemi esemény nem bír nagy jelentőséggel. Viszont, ha a rendszer-megbízhatósági paraméter változása jelentős mértéűre adódott, aor pontosabb adatoat ell szerezni vagy az eseményt további alap oora ell bontani. Jelen tanulmány a hibafa-elemzés érzéenységvizsgálatána, a fenti eljárástól eltérő, egy mátrixalgebrai módszerét mutatja be. Az érzéenységi modell felállítása során mindegyi logiai apuhoz apcsolódó valószínűségi leírás lásd () és (2) egyenlete alapján meghatározzu a belőle levezethető érzéenységi függvényeet és együtthatóat. Az érzéenységi együttható meghatározása során az eredeti egyenlet mindét oldalána y f(x,x,...,x ) f : (3) 2 f (x ;x ; x ) dy f (x ;x ; x ) 2 2 dx dx x x n (4) 52
Szolnoi Tudományos Közleménye XVI. teljes deriváltját épezzü, majd a jobb oldal mindegyi tagját bővítjü oldalt osszu a (4) egyenlet megfelelő oldalával azaz: A dy y xi -vel, és mindét xi f (x ;x ; x ) x f (x ;x ; x ) x dx (5) 2 2 dx x f (x;x2; x )x x f (x;x2; x)x együttható bevezetésével, és a f (x;x2; x) xi y Ky;x i x f (x ;x ; x ) x i d egyenlőség felhasználásával az alábbi lineáris egyenletet apju: 2 i xi y (6) (7) y K x K x, (8) y;x y;x y;x 2 amely a vizsgált rendszer paramétereine relatív változásai özti apcsolatot azaz a imenő jellemző relatív érzéenységét írja le [7]. A fenti összefüggés alapján meg tudju határozni, hogy a vizsgált logiai apu imenő jellemzője (pontosabban anna beövetezési valószínűsége) milyen relatív érzéenységgel bír a bemenő eseménye beövetezési valószínűségeine változásával szemben. éldául, a iváltó eseménye beövetezési valószínűségeine becslése során fellépő pontatlanság hogyan befolyásolja az oozat beövetezési valószínűségéne pontosságát, értééne megbízhatóságát. A hibafa elemzésenél alalmazott logiai apu érzéenységi együtthatóit az alábbia szerint határozhatju meg: ÉS apu esetén: VAGY apu esetén: K i i{,2,..., }. (9) j K j i. (0) i i j Követező lépésént ülönválasztju a vizsgált hibafa eseményeit az elemi és nem-elemi (özbülső és fő-) eseményere, mivel az utóbbia mindegyie valamelyi logiai apu imenő (függő) változója. Az elemi és nem-elemi eseménye beövetezési valószínűségeit az x m, illetve y n vetoroba rendezzü. Eor a beövetezési valószínűsége relatív változásai özti apcsolat az mátrixegyenlettel tudju leírni, ahol: A y Bx () 53
A B Szolnoi Tudományos Közleménye XVI. nn nem elemi eseménye együttható mátrixa; nm elemi eseménye együttható mátrixa; n nem elemi eseménye száma m elemi eseménye száma. Felhasználva a D A B nm (2) mátrixalgebrai összefüggést, a hibafa-elemzés D relatív érzéenységi mátrixát apju meg, és a () egyenlet a alaura módosul. y Dx (3) A relatív érzéenységi mátrix i-edi sorána j-edi eleme azt mutatja meg, hogy az i-edi nem elemi esemény beövetezési valószínűségéne relatív változását milyen mértében befolyásolja a j-edi elemi esemény beövetezési valószínűségéne relatív változása. 4. ÉRZÉKENYSÉGVIZSGÁLAT (MINTAÉLDA) A 2. ábra az elemzésein során alalmazott hibafát szemlélteti. 2. ábra Hibafa (mintapélda) Az ábrából leolvasható, hogy az ; 2; és 22 ódú eseménye a özbülső eseménye, míg a 2; 2; ; 2; 22 és 222 számú eseménye pedig elemi eseménye. A vizsgált hibafa valószínűségi modellje: 54
Szolnoi Tudományos Közleménye XVI. (4) TE 2 2 2 (5) (6) 2 222 (7) 2 (8) 22 22 222 22222 További vizsgálatunhoz először az elemi eseménye névleges (átlagos, jellemző) beövetezési valószínűségeit ell meghatároznun, melyeet az. Táblázat tartalmazza. Eze alapján, a (8) (4) egyenlete felhasználásával (visszafelé haladva) meghatározható a özbülső eseménye, valamint a főesemény névleges beövetezési valószínűsége (2. Táblázat). A 2. ábrán szemléltetett hiba-fa, a (4) (8) egyenleteel leírt, valószínűségi elemzéséne érzéenységi függvényei és együtthatói a övetező: K 2 TE K K22 K ; K 2 K K22 2 0, 525 ; K 2 0, 8305 K22 222 22 2 K2 2 K2222 K 2 ; K 22 K K22 K ; K 2 22 K22 22 K222222 222 22 22 22 0, 48 ; K 222 0, 48 (9) (20) (2) (22) (23) 2 = 0,0 2 = 0,20 = 0,5 2 = 0,25 22 = 0,3 222 = 0,0. Táblázat Kiinduló adato 22 = 0,370 = 0,03750 2 = 0,074 = 0,375 TE = 0,0098975 2. Táblázat Számított (névleges) valószínűségi értée Követező lépésént ülön ell választanun vizsgált hibafa eseményeit a 2; 2; ; 2; 55
Szolnoi Tudományos Közleménye XVI. 22 és 222 elemi és nem-elemi TE; ; 2; és 22 (fő- és özbülső) eseményere, és eze beövetezési valószínűségeit a vetoroba rendezzü. x T 2;2;;2;22;222, (24) y T TE ; ;2 ;;22 (25) A fenti vetoro ismeretében, valamint a (28) (32) egyenlete alapján meghatározzu a beövetezési valószínűsége relatív változásaina együttható mátrixait: K K2 0 0 0 0 0 0 K 0 0 0 0,2523 0 A 0 0 0 K 0 0 0 2 ; (26) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 K2 0 0 0 0 0 0,796 0 0 0 0 0 B 0 K2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (27) 0 0 K K 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0,7297 0,892 0 0 0 0 K22 K222 A relatív érzéenységi együttható mátrix: illetve érzéenységi vetora: 0,796 0,2523 0,2523 0,7297 0,892 0,796 0 0,2523 0,2523 0 0 D 0 0 0 0,7297 0,892. (28) 0 0 0 0 0 0 0 0 0,7297 0,892 d T 0,796 0,2523 0,2523 0,7297 0,892. (29) Matematiailag megfogalmazva, az érzéenység vetor elemei megmutatjá, hogy az elemi eseménye beövetezési valószínűségeine értécsöenése vagy növeedése a főesemény beövetezési valószínűségéne milyen mértéű csöenését, illetve növeedését oozzá. Máséppen fogalmazva: mely elemi esemény beövetezési valószínűségéne változása bír a legnagyobb hatással a főesemény beövetezési valószínűségére. Mérnöi szempontból ez azt mutatja meg, mely elemi eseményt létrehozó rendszerelem megbízhatóságána növelésével tudju a legnagyobb, illetve legisebb mértében javítani a teljes rendszer megbízhatóságát. 5. ÖSSZEFOGLALÁS Az utóbbi éveben a Szerző utatómunát folytat anna feltárására, hogy a széles értelemben vett modellezési és rendszer bizonytalanság, valamint rendszerérzéenység elemzés és ezelés milyen módon oldható meg a leghatéonyabb formában. A utatási program eretében 56
Szolnoi Tudományos Közleménye XVI. észült ez a tanulmány, mely egy új, önnyen algoritmizálható mátrixalgebrai módszert mutat be a hibafá érzéenységi elemzéséhez. A ci egy egyszerű mintapéldán eresztül szemlélteti és igazolja az eljárás használhatóságát. Az elemzőmuna egyértelműen bizonyította, hogy a repülőgépészeti rendszere diagnosztiai elemzéseinél alalmazott rendszerérzéenységi modellvizsgálati eljáráso jól alalmazhatóa a hibafa elemzése érzéenységvizsgálatához. A Szerző további tudományos utatómunája során olyan tanulmányo elészítését tűzte i célént, amelye leírjá a modell- és rendszerbizonytalanságoat, illetve rendszer érzéenységeet, értelmezi, vizsgáljá és szemlélteti azo elemzési módszereit. FELHASZNÁLT IRODALOM [] Andrásfalvi B: Gráfelmélet, olygon, Szeged, 997., pp. 74. [2] Csiba J.: Sensitivity Analysis of the Reliability Computed by Using the Failure Tree Method, roc. Of the th Mini Conference on Vehicle System Dynamics, Identification and Anomalies, 2008., Budapest, 749 760. [3] Fazeas F.: Alalmazott matematia II., egyetemi jegyzet, Tanönyviadó, Budapest, 979., pp. 347. [4] Ferdous R., et al. Methodology for Computer-Aided Fault Tree Analysis, Trans IChemE art B, rocess Safety and Environmental rotection, 2007, 85 (B): 70-80. [5] IEC (990), Standard IEC 025 Fault tree analysis (FTA), International Electrotechnical Commission, 39. [6] MSZ EN 050 999, Gépe biztonsága. A ocázatértéelés elvei, Magyar Szabványügyi Testület, Budapest, 999., pp. 22. [7] oorádi L.: Rendszere és folyamato modellezése, Campus Kiadó, Debrecen, 2008., 242. [8] oorádi L.: Sensitivity Investigation of Fault Tree Analysis with Matrix-Algebraic Method, Theory and Applications of Mathematics & Computer Science (ISSN: 2067-2764), 20 Spring (April), Volume, Number, p. 34-44. [9] oorádi L.: Hibafa-elemzés mátrixalgebrai érzéenységvizsgálata, Repüléstudományi Közleménye 20. április 5. (HU ISSN 789-770X) pp.0. http://www.szrf.hu/rt/ulonszamo/20_cie/ooradi_laszlo.pdf. 57