DR. BÁNÓ MARGIT EMLÉKÉRE (1942-2003) Vízkötési potenciálra alapozott hő- és anyagtranszport modellek biológiai anyagoknál Neményi Miklós Kovács Attila József* MTA-NYME Mezőgazdasági Termények Feldolgozása Kutatócsoport 9200 Mosonmagyaróvár, Vár 2. Tel.: 96 578 635, Fax: 96 215 931 E-mail: nemenyim@mtk.nyme.hu *Nyugat-Magyarországi Egyetem Agrárműszaki, Élelmiszeripari és Környezettechnikai Intézet 9200 Mosonmagyaróvár, Vár 2. Tel.: 96 578 635, Fax: 96 215 931 E-mail: kovacsaj@mtk.nyme.hu Összefoglaló A biológiai és az élettelen anyagok tulajdonságai több szempontból is eltérőek. Az élő, vagy korábban élt anyagok anizotropok, inhomogének és összetettek; a környezeti jellemzők megváltozásakor ill. mesterségesen előidézett külső hatásokra az anyagban strukturális- ill. méretváltozások lépnek fel, amelyek hiszterézis jellegű függvénykapcsolatokat eredményezhetnek (pl. szorpciós izotermák); az állapotváltozások során kedvezőtlen, általában kémiai irreverzibilis folyamatok indulhatnak el (Pl. denaturáció); az energiaközlés hatására endoterm ill. exoterm reakciók indulhatnak el. A fentiek természetesen az élettelen anyagokat is jellemezhetik, az élőknél azonban általában együttesen lépnek fel a felsorolt jelenségek. Ez pedig nagyon megnehezíti az állapotváltozások matematikai leírását, a modellalkotást. Mint minden területen, itt is az egyszerűsítéssel, számos tényező elhanyagolásával kezdődött a differenciál egyenletrendszerek felállítása. (A szerzők elsősorban az egyes növényfajok szemtermésének az energiaközlés hatására lejátszódó állapotváltozások (hő- és anyagtranszportok) modellezése terén fejtettek ki az elmúlt évtizedben tevékenységet, így az idevonatkozó irodalmat ismerik elsősorban.) Az egyszerűsítések elsősorban a következők voltak: az anyagot homogénnek és izotropnak, ebből következően az anyag áramlás hajtóerejének a sűrűség gradiensét tekintették; az egyes jellemzőket (mindenek előtt a vezetési tényezőket) állandóként vették figyelembe; a bonyolult alakzatokat egyszerűbbekkel (henger, gömb stb.) helyettesítették. A fenti egyszerűsítések miatt a modellek csak az integrális nedvességtartalom változását ill. az anyag átlagos hőmérsékletének változását tudták bizonyos pontossággal leírni. A 4. Magyar szárítási szimpóziumon, 2001-ben beszámoltunk azokról az elméleti kérdésekről, amelyekre az elmúlt időszakban végzett kutatásaink épültek. Az elmúlt időszakban a MATLAB FEMLAB programcsomaggal a nedvességkötési potenciál gradiensére alapozott anyagtranszport egyenletek egyszerűsített változatát megoldottuk. Így az inhomogén, összetett, szabálytalan alakzatokban lejátszódó egyidejű hő- és anyagáramok leírása az eddigi megoldásoknál pontosabb és a fizikai törvényszerűségek szempontjából is 140
helytálló. A modell nem csak a szárítási technológiák megalapozását szolgáló kutatásoknál használható, hanem az élő anyagokban lejátszódó folyamatok (pl. vízmozgás) leírásakor is. Tézis A külső feltételrendszer megváltozása miatt az egyensúlyából kibillentett (összetett, inhomogén stb.) rendszerben a nedvességáramlás irányának várható értéke a vízkötési potenciálok kiegyenlítődését hozza létre. Az egyes alkotórészek közötti nedvességmozgás irányára csak úgy kaphatunk információt, ha ismerjük az ezeknek a külső feltételrendszer megváltozásából eredő, valamint az új egyensúlyi állapot jellemzőit. A fenti tézis igazolására vegyünk egy egyszerű példát: Tegyük fel, hogy az I. alkotórész nedvességtartalma X I az egyensúlyi vízkötési potenciálnál nagyobb, mint a II. alkotórészé, X II. Induljunk ki abból, hogy a légáram a testet a I. alkotórész felöl éri (1.a ábra). Ebből az következik, hogy az I. alkotórész nedvességtartalma az alá a nedvességtartalom alá szárad, mint ami őt az egyensúlyi állapotban jellemzi. Ugyanakkor a II. alkotórész nem szárad le annyira, mint amennyire az egyensúlyi állapotban le kell száradnia. (Természetesen hasonló hatás jelentkezhet pl. az egyoldalú sugárzás esetén, vagy pl. inhomogén mikrohullámú térben.) Magára hagyva a rendszert a nedvességáram a kisebb nedvességtartalmú rendszerből a nagyobb felé indul meg, vagyis ellentétesen a nedvesség gradiens irányával. Ha a légáram a testet a II. oldal felöl éri, akkor a nedvességáramlás iránya megegyezik a nedvesség gradiens irányával.(1.b ábra) Hiszen ekkor a II. oldali rész várhatóan az egyensúlyi nedvességtartalom alá szárad, míg az I. rész az egyensúlyi nedvességtartalom fölé. Itt egyensúlyi nedvességtartalom alatt természetesen az adott alkotórész nedvességtartalmát kell érteni az egyensúlyi állapotnak megfelelő vízkötési potenciál mellett: ψ I ψ = ; II X I X II II. Légáram Légáram I. I. II. 1.a. 1.b. 1.a,b ábrák. A összetett anyagok alkotórészeinek tulajdonságai eltérő módon változnak meg a légáram irányának függvényében 141
Előzmények Már említettük, hogy a 4. Magyar szárítási szimpóziumon, 2001-ben beszámoltunk az elméleti kérdésekről [1]. Ennek ellenére - teljesen leegyszerűsített tárgyalásmóddal - térjünk vissza néhány alapproblémára: A vízkötési potenciál természetesen kapcsolatba hozható a kémiai potenciállal, amely U H F G egykomponensű rendszerek esetén: µ = = = =. Ahol U a N s, v N s, p N T, v N T, v belső energia, H az entalpia, F a szabad energia, G a szabad entalpia. A legkézzelfoghatóbb módon a szabad entalpia vagy más néven Gibbs potenciál tömeg szerinti differenciálhányadosát tudjuk felhasználni. Vagyis az ideális gázok kémiai potenciálja: o µ = µ + R ut ln p ahol µ o az egységnyi nyomású ideális gáz kémiai potenciálja (egy adott nyomásra számolt hőmérséklet függvény), az univerzális gázállandó. Ru Többkomponensű rendszereknél a kémiai potenciál egyenlő a parciális moláris szabad entalpiával [2]. Élelmiszer compozitokra N. Sakai és K. Hayakawa dolgozott ki eljárást az egyidejű hő- és vízmozgások leírására [3]. Esetünkben elsősorban olyan biológiai anyagokkal foglalkozunk, amelyek alkotórészei fizikai és kémiai értelemben eltérő összetevőkből épülnek fel [4,5,6]. Az természetesen egy másik kérdés, hogy az elkülönülő alkotórészek közötti anyagtranszport hogyan alakul. Vagyis hogy pl. a két alkotórész között kell-e számolni szigeteléssel [5,6]. A vízkötési potenciál függvény meghatározása az un. szorpciós izotermák alapján történik [1,7], pl. úgy, hogy az adott nedvességtartalomhoz (X) tartozó ψ értékeket adott hőmérsékletnél (T) és relatív páratartalomnál (ϕ) a következő ismert összefüggéssel kiszámítjuk: [ ψ ] R T u X lnϕ mv = (2) és így a ψ = ψ ( T, X ) függvény az egyes alkotórészekre meghatározható. ( ) a víz mv molekulatömege. Adott kukorica hibrid endosperpermiumának és scutellumának vízkötési potenciálja a nedvességtartalom függvényében a szorpciós izotermákból [8] számolva a 2. ábrán látható. Az (1) és a (2) függvények analógiája könnyen felismerhető. (1) 142
Vízkötési potenciál, Η [kj/kg] 200 150 100 50 0 Endosperm Scutellum 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Nedvességtartalom, X [-] 2.ábra. A szorpciós izotermákból számolt vízkötési potenciálok a nedvességtartalom függvényében Florencia kukorica hibridnél (40 C) Természetesen azonos filozófia szerint kell megoldani a problémát, mint amikor a hajtóerő a nedvességtartalom gradiens [4]. Helyesebben az ott felhasznált egyenleteket úgy kell átalakítani, hogy hajtóerő a vízkötési potenciál gradiense legyen [1]. (Meg kell jegyezni, hogy a pl. [1,8] irodalmakban felírt egyenletrendszerekben a Dufour- ill. a Soret- effektusokat is figyelembe lehet venni, a nehézséget a vezetési tényező meghatározása jelenti [3].) A biológiai anyagok alkotórészeinek pf görbéi (Sitkei György javaslata) A szárítási problémák elméletei megfogalmazásakor, a hő- és anyagtranszportok matematikai megfogalmazásakor nem általában nem vesszük figyelembe, hogy a természetben más területeken lejátszódó állapotváltozások analogizálhatók, ill. az ottani gyakorlat hasznosan adaptálható. Sitkei György akadémikus javaslatára meghatároztuk az egyes alkotórészek un. pf görbéit (3. ábra). ( A talaj víztartó képességét a negatív kapilláris nyomással, mint tenzióval jellemezzük. A tenzió a p= hγ összefüggés alapján a h nyomómagassággal is kifejezhető, s ennek cm-ben megadott értékének 10-es alapú logaritmusát nevezzük pf számnak. [9]). 143
6.5 6.0 Endosperm Scutellum pf-szám 5.5 5.0 4.5 4.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Nedvességtartalom, X [-] 3. ábra Az alkotórészek pf görbéi a nedvességtartalom függvényében A differenciál egyenletrendszer megoldása Véges Elem Módszerrel A differenciál egyenletrendszer megoldására a MATLAB FEMLAB programcsomagot használtuk. A vízkötési potenciál differenciál egyenletét a program által használt un. Coefficient form egyszerűsített (forrás- és nyelőmentes forma) egyenletben írtuk fel: u d a c u = 0 (3) t Peremfeltétel (Neumann ill. vegyes): n ( c u) + qu = qu (4) ahol u megfelel a vízkötési potenciálnak (Ψ) ill. n a normálvektor d = X a ; ψ c az alkotórészekre kiszámított diffúziós koefficiens:c= X=f(Ψ);[4] D ( X, T ) = e a+ bx + ct 1, ahol A hőtranszport egyenlet megoldásakor a független változó természetesen a hőmérséklet. Jelen X esetben nem vettük figyelembe a párolgásból származó hőmérséklet változást, azaz a Lρ t tagot nullának tekintettük (L: latens hő, ρ: sűrűség, t: idő) [4]. A véges elem megoldásához a következő hálót használtuk (4. ábra): a nóduszok száma: 341, csomópontok száma: 580. 144
4. ábra A véges elem modellhez használt háló (a csomópontok számát a bonyolult egyenletrendszer megoldása miatt minimalizálni kellett). A vízkötési potenciál és a hőmérséklet kezdeti értékei: Ψ endosp (t 0 ) = 8 kj/kg, X = 0.24 kg/kg; Ψ endosp. scutellum(t 0 ) = 12 kj/kg, X = 0,34 kg/kg; ill. scutellum T(t 0 ) = 293 K Az 5. ábra a program futtatása alapján világosan látszik, hogy a vízkötési potenciál kiegyenlítődése alapján a nedvességeloszlás meghatározható. FEMLAB modellel számolt vízkötési potenciál (Ψ) eloszlás változás száradáskor 145
5. ábra Vízkötési potenciál eloszlásából számított nedvességtartalom változás száradáskor Összefoglalás A fentiek alapján egyértelműen belátható, hogy a vízkötési potenciálra alapozott hő- és anyagtranszport modellek korrekt leírását adják az ilyen jellegű folyamatoknak. Az eddigiekhez viszonyítva előrelépést jelentett, hogy a diffúziós tényezőt a program változóként, adott esetben két független változó függvényeként tudja kezelni. Továbbra is problémát jelent azonban, hogy bonyolult egyenletek esetén a program csak korlátozott számú csomópontnál tudja a differenciál egyenletrendszereket megoldani. Jelenleg a programnak ilyenirányú továbbfejlesztésén dolgozunk Köszönet az OTKA (T75006, F035247) és a NK+F Programnak (4/0030/2002) a kutatás anyagi támogatásáért. A szerzők hálás köszönetüket fejezik ki továbbá Sitkei György akadémikusnak hasznos tanácsaiért és bátorításáért. Irodalom [1] Neményi M.: Biológiai anyagokban lejátszódó hő- és anyagtranszportok modellezése Gibbs-től napjainkig- javaslat egy új modellezési eljárásra. 4. Magyar szárítási szimpózium. Mosonmagyaróvár, 2001. okt.18-19. [2] Harmatha A.: Termodinamika műszakiaknak. Műszaki Könyvkiadó. Budapest, 1982 [3] Sakai, N.-Hayakawa K.:Two Dimensional Simultaneous Heat and Moisture Transfer in Composite Food. Journal of Food Science, Volume57, No.2, pp. 475-480, 1992 [4] Neményi M. et.al.: Investigation of simultaneous heat and mass transfer within the maize kernels during drying. Computers and Electronics in Agriculture. 26 (2002) 123-135 [5] Neményi, M.- A. J. Kovács: Finite Element Modeling of Simultaneous Heat and Mass Transfer Using Femlab. EurAgEng 2002. International Conference on Agricultural Engineering. CD-ROM. No. ISBN 963 9058 15 7. 30 June 4 July 2002. [6] Neményi, M.- A. J. Kovács: Revised Finite Element Modelling of Corn Drying. ASAE Annual International Meeting/XV CIGR World Congress. Chicago Ill. USA. Paper No.: 023048. 07. 29-31. 2002 [7] Neményi M.: Modeling of coupled heat and moisture transfer in grain kernels by modified Luikov s equation. 3rd ÍFAC/CIGR Workshop on Control Application in Post-Harvest Technology, Tokyo, Prepints:55-59, October 3-5, 2001 146
[8] Neményi M.-Kovács A.: A termodinamika első és második főtételének használata egy szárítási probléma kapcsán. MTA-AMB Kutatási és Fejlesztési Tanácskozás. Gödöllő, 1.kötet, 97-102. p. 2003 [9] Sitkei Gy.: Gyakorlati áramlástan. Mezőgazdasági Szaktudás Kiadó, Budapest, 1997 147