Makroökonómiai modellépíés moneáris poliika Szabó-Bakos Eszer 200. ½oszi félév Téelezzük fel, hogy az álalunk vizsgál gazdaságban a reprezenaív fogyaszó hasznossági függvénye az X U = ln C +! v M+ L + v + = alakban adhaó meg, ahol C a -edik periódus fogyaszása, L a -edik periódus munkakínálaa, és M+ a fogyaszó álal a -edik periódusban birokol pénzkészle reáléréke. A fogyaszó abból szerez magának jövedelme, hogy a rendelkezésére álló ermelési ényez½oke az egyszer½uség kedvéér legyen csak munkaer½o megfelel½o bérlei díj fejében kölcsönadja a vállalanak, megkapja a vállala álal eseleg realizál pro o, valamin hozammal kiegészíve visszakapja az el½oz½o periódusban felhalmozo vagyoná. Ezen forrásoka fogyaszásra, és vagyonfelhalmozásra fordíja, valamin reáleszközöke kell feláldoznia a -edik periódus elején már meglév½o pénzkészleeinek b½ovíése érdekében is. Ennek megfelel½oen a kölségveési korlá a kövekez½o alako öli w L + profi + ( + r ) B + S = C + I + B + + M + (2) A feni egyenleben még egy "válozó" gyelembe veünk (S ). Feléelezzük ugyanis, hogy az a szerepl½o, aki pénz bocsá ki, ebb½ol a evékenységb½ol jövedelme realizál. Ez a jövedelme valakinek "oda kell adnia", s egyéb lehe½oség hiányában mos a fogyaszónak adja oda. S ehá a pénzkibocsáásból származó jövedelem. A gazdaságban m½uköd½o reprezenaív vállala az Y = al ermelési függvény segíségével jellemezhe½o echnológiával alakíja ermelési ényez½oi oupuá. Az állam a modellben kizárólag moneáris poliikai funkcióka lá el, és dön a nominális pénzmennyiség ado id½oszaki szinjér½ol. A modell szerkezee. Szerepl½ok Fogyaszó Vállala Állam csak moneáris poliikai funkció FIGYELEM!!! NINCS VAGYONKEZEL ½O, a fogyaszó ha szerene más gazdasági szerepl½ok½ol kényelen hiel felvenni, vagy más gazdasági szerepl½oknek ud hiel nyújani, s a reálkamaláb a piaci feléeleknek megfelel½oen alakul. 2. Piacok Árupiac Munkapiac Vagyoneszköz piac Pénzpiac 3. Egyensúly A modell formálisan. Magaarási egyenleek és egyensúlyi feléelek. 2. Endogén válozók, exogén válozók, és paraméerek. M ()
2 A gazdasági szerepl½ok magaarása, és az egyensúlyi feléelek 2. A fogyaszó problémája A fogyaszó olyan fogyaszási, munkakínálai, pénzfelhalmozási, és vagyonfelhalmozási pálya meghaározásában érdekel, amely a (2) korláok id½obeli sorozaa melle a () formában felír célfüggvény maximumá bizosíja. A probléma megoldása: Lagrange-függvény, els½orend½u feléelek, a Lagrange muliplikáor kihelyeesíése. L = X = ln C + v M+ v! L + + M + M + w L + profi + ( + r ) B + S C B + M +2 M + + + w + L + + profi + + ( + r + ) B + + S + C + B +2 +::: Miuán a fogyaszónak a fogyaszásról, a munkakínálaról, a pénzkeresler½ol, valamin a vagyon nagyságáról kell dönenie, a Lagrange-függvény álalános eseben C ; L, M+ ; valamin B + szerin kell deriválni, s az els½o deriválaka nullával kell egyenl½ové enni. Az els½orend½u feléelek így a kövekez½o formában adhaók meg: + ::: C -szerini derivál B + -szerini derivál L -szerini derivál M+ -szerini derivál C = 0 (3) + + ( + r + ) = 0 (4) L = w (5) v M+ + + = 0 (6) + + A Lagrange-muliplikáor -edik periódusbeli szinje a (3) egyenleb½ol meghaározhaó. Ezen összegüggés, valamin ennek az egy id½oszakkal el½ore lépee válozaá a (4) egyenlebe behelyeesíve kapjuk a jól ismer Euler-egyenlee: = ( + r + ) C Amennyiben a (3) egyenle segíségével kihelyeesíjük a Lagrange-muliplikáor az L -szerini deriválással kapo els½orend½u feléelb½ol (5), s az így kialakul egyenlee L -re rendezzük, a fogyaszó munkakínálai függvényéhez juunk! L = C w A kapo függvény a fogyaszó munkakínálai függvénye, mely a fogyaszó számára ké hasznosnak ½un½o ényez½o, a fogyaszás és a szabadid½o közöi inraemporális helyeesíés muaja. Az álalunk felír formában egészen ponosan egy pólólagosan ledolgozo munkaórához kapcsolódó pólólagos haszno egyenlíi ki ugyanennek a pólólagos munkaórának a pólólagos kölségével. A (3) egyenleb½ol meghaározo Lagrange muliplikáor, illeve ezen egyenle egy id½oszakkal el½orébb lépeejének felhasználásával a (6) egyenleb½ol a Lagrange muliplikáorok kihelyeesíhe½ok. Adja meg az a egyenlee, amely a feni behelyeesíések uán adódik (az egyenle levezeése során használja az m + M+ de níció)! C + 2
A kapo egyenle, a fogyaszás, és a reálegyenleg közöi opimális helyeesíés leíró pénzkereslei függvény, mely az fejezi ki, hogy ha a fogyaszónak a -edik periódusban vagy egségnyi fogyaszási cikke (almája), akkor ez legalább ké módon használhaja fel:. még a -edik periódusban elfogyaszja. Ezen alernaíva válaszásával a fogyaszás haárhasznával, azaz C -vel növelhe½o az élepálya hasznossága. 2. a -edik periódusban b½ovíi vele pénzkészleei (azaz ácseréli az almá pénzre), majd a + -edik periódusban a pénz visszacseréli almára, és az így kapo almáka elfogyaszja. Egységnyi alma a -edik periódusban egységnyi reálegyenlege (m + ) jelen (egységnyi alma ára, így az egységnyi alma becseréléséér a fogyaszó egységnyi pénhez ju, melynek reáléréke P = ), s egységnyi reálegyenleg felhalmozása még a -edik periódusban m+ v -vel növeli a fogyaszó élepálya-hasznosságá. A egységnyi pénzkészlee a fogyaszó P áviszi a + -edik periódusba, ahol + = + + darab almá sikerül raja vásárolni az akkor éppen érvényes + -es alma-áron. Miuán egységyni + -edik periódusbeli alma C + -el növeli a fogyaszó élepálya-hasznosságá, + + darab alma C + + + egységnyi hasznosság növekmény okoz. A pénzfelhalmozásból ehá a fogyaszónak összesen m+ v + C + + + pólólagos haszna származik. 3. A ké alernaívából származó pólólagos haszon nem érhe el egymásól (ha elérne, a fogyaszó nem haszonmaximalizáló módon allokála er½oforrásai a lehe½oségek közö), így C = m+ v C + + +, ami ponosan az Ön álal levezee egyenle. Az Ön álal az imén levezee egyenleben egyszerüsísen -el, szorozza végig az egyenlee C -vel, s a korábban már levezee Euler egyenlee felhasználva próbálja beilleszeni a reálkamalába ( + r + ) a képlebe. De niáljuk a nominális kamalába a reálkamaláb és a várhaó in áció szorzaakén +i + ( + r + ) ( + + ). Illessze be ez az összefüggés az Ön álal kapo képlebe, majd rendezze az egyenlee m + -re! A levezee összefüggés alapján a fogyaszó -edik id½oszaki pénzkereslee ké ényez½o½ol, a -edik id½oszaki fogyaszásól és a nominális kamalából függ. Milyen irányban, és miér? 3
A fogyaszó magaarási egyenleei ehá C = ( + r + ) L C = w i+ v C v = m + + i + C + w L + profi + ( + r ) B + S = C + B + + m + m + Ado árak melle a fogyaszó ezen négy egyenle id½obeli sorozaából kívánja meghaározni négy válozó: a fogyaszás, a munkakínála, a pénzkeresle, és a vagyonállomány pályájá. 2.2 A vállala problémája A vállala problémájához arozó Lagrange-függvény: Az els½orend½u feléelek: L = Y w L + Y al Y -szerin: L -szerin: + = 0 (7) w ( ) al = 0 (8) Amennyiben a (7) egyenleb½ol kifejezzük a Lagrange-muliplikáor, s visszahelyeesíjük a (8) egyenlebe, s az így kapo összefüggésbe "visszacsempésszük" a ermelési függvény, a vállala munkakereslei függvényéhez juunk: L = ( ) Y w A vállala magaarási egyenleei L = ( ) Y w Y = al Ezen ké egyenle id½oli sorozaa alapján kívánja a vállala ado árak melle meghaározni a munkakeresle, és a kibocsáás pro maximalizáló pályájá. 2.3 Az állam problémája Az állam csak moneáris poliikai evékenysége folya és meghaározza az ado id½oszakban a gazdasági szerepl½ok rendelkezésére álló likvidiás, azaz pénzmennyisége M + -e. Amennyiben b½ovíi a likvidiás, ebb½ol a evékenységéb½ol reáljövedelme származik, melye seigniorage-nak hívunk, és S -vel jelölünk: S = M + M 2.4 Egyensúlyi feléelek. Az árupiacon egyensúly van, így Y = C 2. A munkapiacon egyensúly van, így a munkakínálai és a munkakereslei függvényben egyensúly melle ugyanaz a foglalkozaási szine, valamin reálbér szerepelejük. 4
3. A vagyoneszközök piacán egyensúly van, de a fogyaszó csak fogyaszóársaiól, vagy az államól udna hiel felvenni. De miuán minden egyes fogyaszó azonos problémával szembesül, ha a reprezenaív fogyaszó sajá fogyaszóársaiól hiel szerene felvenni, nem ud, mer minden fogyaszó hiel szerene felvenni az ado körülmények közö. Az állam pedig nem folya skális poliikai evékenysége, nem nyúj hieleke a fogyaszónak, így B + = 0: 4. A pénzpiacon egyensúly van, így az állam álal felkínál pénzmennyiség M + ponosan megegyezik a fogyaszó álal felhasznál pénzmennyiséggel, azaz m + = M+ -ben az M + nagyságá a moneáris haóság haározza meg. 3 A modell A modell egyenleei C = ( + r + ) L C = w i+ v C v = m + + i + C + w L + profi + ( + r ) B + S = C + B + + m + m + L = ( ) Y w Y = al M + = M S = m + m + Y = C B + = 0 Megjegyzés: ha a vagyoneszközök piacán egyensúly van, akkor az árupiaci egyensúly és a fogyaszó kölségveési korlája nem különbözik egymásól. A modell a felesleges egyenleek eliminálása uán C = ( + r + ) L C = w i+ v C v = m + + i + L = ( ) Y w Y = al Y = C A feni ha egyenle alapján meghaározgaó az alábbi ha válozó pályája:. Kibocsáás 2. Fogyaszás 3. Munkafelhasználás 4. Reálbér 5. Kamaláb 6. Reálegyenleg C + 5
4 Megoldás. Az árupiacon egyensúly van, így Y = C : 2. A munkapiacon egyensúly van, így L S = L D, mely összefüggésb½ol kiszámíhaó a reálbér és a foglalkozaás éréke L C = ( ) Y L L = ( ) + w = a ( ) + + 3. A foglalkozaás ismereében megadhaó a kibocsáás (és a vele az árupiaci egyensúly mia megegyez½o fogyaszás) Y = a ( ) + 6