BG PzK Módszerani Inézei Tanszéki Oszály GAZDAÁGI É ÜZLETI TATIZTIKA jegyze ÜZLETI ELŐREJELZÉI MÓDZEREK A jegyzee a BG Módszerani Inézei Tanszékének okaói készíeék 00-ben.
Az idősoros vizsgálaok legfonosabb célja az előrejelzés. Ekkor becslés adunk egy jövőbeli időponra vagy időszakra. Az előrejelzésnek egyik módja az exrapoláció, ami felhasználja az idősor múlbeli ényadaai, a megfigyelési arományhoz kapcsolódó endenciáka egy jövőbeni időponig veíi ki. A gazdasági folyamaok hosszabb vagy rövid ávon örénő vizsgálaánál a ényérékek idősorba rendezeen jelenik számunkra a vizsgála kiindulóponjá. onos megjegyezni, hogy az idősorok eseében az egymás köveő időponok nem felcserélheők. Az előrejelzés csak akkor adha megbízhaó információ, ha a vizsgál jelensége behaóan vizsgáljuk, válozásainak örvényszerűségei ismerjük. A sraégiai üzlei előrejelzésnek a maemaikai módszerek ada leheőségek melle figyelembe kell vennie a gazdasági szabályozók haásá, ovábbá a dönéshozaal, és ezzel összefüggésben az ado esemény befolyásolásának leheőségé és szükségességé. Az előrejelzési ípusok mind mikro, mind makroszinen rendszerezheők az előrebecsül érék időhorizonja szerin rövid-, közép-, és hosszúávra. Hosszúávon az előrejelzés eredménye gyakran késéges lehe, hiszen az ado folyamao befolyásoló ényezők közül csak néhánynak a számíoól elérő alakulása annyira befolyásolja (befolyásolhaja) a vizsgál esemény, hogy az előrejelzés ponalansága emia nagy lesz. Az előrejelze éréke lérehozó módszer szerin megkülönbözeheő, maemaikai (egzak), nem maemaikai (szakérői becslésen alapuló), és mindké válozao aralmazó úgyneveze vegyes ípusú előrejelzés. Az előrejelzési módszerek oszályozása aszerin is leheséges, hogy a vizsgál folyamao sajá múlbeli alakulásának örvényszerűségeiből, vagy más folyamaok alakulása ismereében válik leheővé az előrejelzés. Ezér az előbbi feléel nélküli, uóbbi feléeles előrejelzésnek ekinjük. A eljesség igénye nélkül, felsorolás szerűen helyezzük el az egyes előrejelzési módszereke. A feléel nélküli első csoporja az egyszerű rendszámíás (lineáris, polinomiális, exponenciális, hiperbolikus, sb.). Második csoporba aroznak a simíó módszerek (mozgó álag, exponenciális kiigazíás, harmonikus súlyok). A harmadik csoporba aroznak az úgyneveze dekompozíciós módszerek (rend, szezon és ciklikus komponens elkülöníése. Uóbbiak meghaározhaók spekrál elemzéssel, analiikus rend módszerével sb.). A negyedik igen jelenős csopor az idősori szochaszikus modellek (auoregresszív AR, mozgó álag MA, ARMA, ARIMA, szezonális ARIMA sb. modellek). A feléeles előrejelzési módszerek egyik csoporja a ké és öbbválozós regresszió felhasználó csopor. További csoporokkén jelennek meg a spekrálelemzés, az idősori szochaszikus modellek öbbválozós eseei is. A gazdasági és üzlei éleben nagy jelenőséggel bír az exrapoláció, aminek egyik elerjed módszeré a simíó eljárásoka muaja be ez a fejeze. A simíó eljárásoka gyakran nevezik kiegyenlíő módszereknek is. Használauk során a vélelen ingadozások kiszűrésével lehe előrejelzés adni, ami örénhe a megfigyelési időszakra (ex pos) ill. a jövőre (ex ane). Ezek az eljárások ényadaok segíségével lépésenkén korrigálják a kialakío modell eredményei. Ezér nem deerminiszikusak, de nem is szochaszikusak, hiszen a vélelen haásá próbálják kiszűrni. E módszerek népszerűségének elsődleges oka a könnyű kezelheőség, jó programozhaóság és kevés memória igény (bár ez uóbbi jelenősége egyre jobban háérbe kerül).
. Mozgó álagolás Egyszerű mozgó álagolás Egyszerű mozgó álagolás sacionárius idősorokra (A sacionárius idősorok bizonyos állandóságo muanak, rendmenesek.) lehe alkalmazni, k agú álagok sorozaá haározzuk meg úgy, hogy minden eseben a legrégebbi megfigyelés elhagyjuk, helyébe újabb megfigyelés kapcsolunk az álagolandó ényadaokhoz. A (+)-ik időponra vonakozó előrejelzés k agú mozgóálaggal a kövekező módon kapjuk: y y... y k. k Tekinsünk meg egy előrejelzés agú mozgó álagolással, Magyarország kőolajermelésére [ezer /év]. Adaaink az 960-995 közöi időszako ölelik fel. A számíás a kövekező képen örénik: Meghaározzuk agú mozgó álagolással az ex-pos előrejelzéseke. 4 5 y y 4 y y y y 64457 7 48. 457 6475 66.67 eni eljárás folyava kapjuk meg a simío idősor és az előrejelzéseke. Haározzunk meg az exane előrejelzés az 969-es évre. y y8 y 807 686 706 9 7 0 7.00 A számíási eredmények egy részleé az I. ábláza muaja be, aminek uolsó oszlopa a simío és az eredei idősor elérésének négyzeé aralmazza. Ezek összegének álaga adja az úgyneveze reziduális varianciá, aminek méréke a modell illeszés jóságának egy muaója. Év y e = ( - y ) 960 7 96 457 96 64 96 4 75 48. 9886.78 964 5 80 66.67 978.78 965 6 80 7. 56. : 994 5 6 809,00 684,00 995 6 669 7,67 77,78 996 7 669,67 I. ábláza: zámíási eredmények agú mozgó álagolással Magyarország kőolaj ermelési adaaira [ezer /év]
Elemezzük a feni idősor 5 agú mozgó álagolással is! Év y e = ( - y ) 960 7 96 457 96 64 96 4 75 964 5 80 965 6 80 57.6 564.6 966 7 706 690.8.04 967 8 686 740.6 98.6 968 9 807 749.6 94.76 969 0 760.6 II. ábláza: zámíási eredmények 5 agú mozgó álagolással Magyarország kőolaj ermelési adaaira [ezer /év] Az 965-968 közöi időszak előrejelzései és hibái a ké különböző agú simíásnál jelenős eléréseke muanak. Ennek oka abban keresendő, ha k- nagyobbnak válaszjuk, jelenősebb simíás érünk el a reziduális variancia növekedése melle. A k éréké akkor célszerű nagyobbnak válaszani, ha az idősorban nagyfokú vélelen ingadozás figyelheő meg. Az elmondoak jól láhaóak az I. ábrán, ami az eddig vizsgál idősor öbb min 5 éves inervallumban muaja be. Csak grafikonon muajuk be a és 5 agú mozgóálagolás Magyarország cukorermelési adaaira vonakozóan a. ábrán. Az ábra anúsága szerin bár hazánk cukorermelése hosszú évek vonakozásában állandónak mondhaó, de rövid ávon jelenős ingadozásokkal erhel. Ezér szemléleesebben kiűnik, a simíó haás érvényesülése illeve jobban lászik, mennyivel köveik a ényadaoka a simío érékek (köveési effekus). 4
Cukorermelés Magyarországon (ezer /év) Kõolajermelés Magyarországon (ezer /év) 400 00 000 800 600 400 00 Kõolaj [ezer /év] (k=) (k=5) 000 960 965 970 975 980 985 990 995. ábra és 5 agú mozgó álagok Magyarország kőolaj ermelési adaaira Év 650 600 550 500 450 400 50 00 50 00 Cukor [ezer /év] (k=) (k=5) 50 960 965 970 975 980 985 990 995 Év. ábra és 5 agú mozgó álagok Magyarország cukorermelési adaaira A mozgó álag ípusú előrejelzésnek egy korrigál válozaa a kövekező egyenle: y y k k k k y y k. 5
Az egyenleből láhaó hogy a legújabb megfigyelés az előrejelzéshez /k súllyal hozzáadjuk, és a legrégebbi elhagyjuk. Így próbálja meg a módszer kiszűrni az idősorból a vélelen haás. Készísük el Magyarország kőolaj ermelési adaaira a agú korrigál mozgó álago. A számíás meneé az alábbiakban muajuk be: Az első becslésnek a megfelelő időszak ényadaá ekinjük.... y 64 y y 647 64 4 y y 75 457 78.. 78. 4 5 4 y y 807 706 88. 9 7 0 9 880.67 94.00 E módszerrel előrejelzéskén 969-es évre 94 ezer onna kőolaj ermelési éréke kapunk. A ovábbi részlees eredményeke a III. ábláza közli. Év y e y ) ( 960 7 96 457 96 64 96 4 75 78. 90. 964 5 80 880.67 646.78 965 6 80 94.00 76.00 966 7 706 95.00 6005.00 967 8 686 99. 54444.44 968 9 807 880. 577.78 969 0 94.00 III. ábláza agú korrigál mozgó álag számíás eredményei Magyarország kőolaj ermelési adaaira eni adasorra 5 agú korrigál mozgó álagolással a kövekező érékek számíhaók ki: 6
Kõolajermelés Magyarországon (ezer /év) Év y e = ( - y ) 960 7 96 457 96 64 96 4 75 964 5 80 965 6 80 97.80 79.04 966 7 706 987.00 7896.00 967 8 686 000.00 98596.00 968 9 807 986.80 8.04 969 0 988.00 IV. ábláza 5 agú korrigál mozgó álag számíás eredményei Magyarország kőolaj ermelési adaaira Összehasonlíva a ill. 5 agú simíó módszereke, apaszalhaó a négyzees elérések jelenős növekedése az uóbbi eseén, ovábbá az előrejelzések jelenősen különböznek egymásól. Az elmondoaka megerősíi a. és 4. ábra is. A cukorermelési adaok vizsgálaánál felűnő, hogy a számío ill. az 5 agú korrigál mozgó álag idősor másképpen viselkedik, hiszen a agú a ényadaok fölé, az 5 agú pedig a ényadaok alá becsül. 50 50 950 750 550 50 Kõolaj [ezer /év] *(k=) *(k=5) 50 960 965 970 975 980 Év 985 990 995. ábra és 5 agú korrigál mozgó álagok Magyarország kőolaj ermelési adaaira 7
Cukorermelés Magyarországon (ezer /év) 650 600 550 500 450 400 50 00 50 00 Cukor [ezer /év] (k*=) (k*=5) 50 960 965 970 975 980 985 990 995 4. ábra és 5 agú korrigál mozgó álagok Magyarország cukorermelési adaaira Év Lineáris mozgó álag Ez az eljárás nem sacionárius idősorok elemzésére alkalmas. Tulajdonképpen a simíás öbbszöri mozgó álagolással éri el. Lineáris rend eseén készeres mozgó álago számíunk. y y y k. k ( ) ( )... k 4. k A. a k-agú mozgó álago, míg a 4. az álagok álagá adja. a 5. () () ( ) ) ( b ( ) 6. k Az előrejelzés kezdei éréké korrigálja az egyszeres és a készeres mozgó álagok különbségével az 5. egyenle, míg a 6. a rend meghaározására szolgál. A 7. előrejelzés ad T időszakra. T a bt 7. A T+-ik időszakra feni egyenleekből a kövekező, egyszerűbb módon is kaphaunk előrejelzés. k ( ( ) ) 8. k A módszer végrehajásának szemléleésére adjunk előrejelzés és 5 agú lineáris mozgó álagolással Magyarország szénermelésére. k= eseére muajuk be a számíás meneé. 8
zámísuk ki a. alapján a agú álagoka. y y y 865 875 654 778 y4 y y 0479 865 875 4 90 y5 y4 y 548 0479 865 5 06 Mos kiszámíjuk a 4. alapján az álagok álagá. 4 06 90 778 () 5 5 5 907 Az 965 -ik év előrejelzésé a 8. képle alapján kapjuk () () 6 5 ( 5 5 ) 5 5 ) *06 * 907 604 A számíások folyaásakén kapo eredményeke aralmazza az V. ábláza. Év y e y ) () ( e y ) () ( k= k=5 960 654 96 875 96 865 778 96 0479 90 964 548 06 907 9075 965 49 55 06 604 575 0058 966 048 08 44 78766 049 967 709 9605 064 67 56676 069 968 7 897 968 7568 5867 955 0059 969 6498 69 88 54 400 8505 996 8700 4848804 970 780 780 740 46 7696 7784 860 769 4785 97 75 75 668 799 789 6557 V. ábláza zámíási eredmények Magyarország szénermelési adaaira és 5 agú lineáris mozgó álagok alkalmazásával A ábláza aralmazza év ényadaai, az előre jelze időszakoka és a négyzees eléréseke. Az 960-995 időszak megfigyel és előre jelze idősorai az V. ábra muaja be. 9
zénermelés Magyarországon (ezer / év) 500 zén [ezer /év] (k=) (k=5) 7500 500 7500 500 7500 960 965 970 975 980 985 990 995 5. ábra és 5 agú lineáris mozgó álagok alkalmazása Magyarország szénermelési adaaira Év A ényadaok nehezen kezelheő idősorá jobban közelíi a agú lineáris mozgó álagolás, különösen az idősor második felében meglévő rendhaás. Az 5 agú nagyobb simíás eredményez és szembeűnően jelenkezik az úgyneveze köveési effekus is.. Exponenciális simíás Az exponenciális simíó eljárások az előrejelzéseke úgy készíik el, hogy a mindenkori előrejelzéseke korrigálják valamilyen hibakorrekciós függvénnyel. + = + f( e ) Leggyakrabban a -ik időszakban elkövee hibával ( e = y - ) korrigálunk. Az simíó paraméer megválaszásához kiszámíjuk a reziduális varianciáka. A minimális varianciához arozó érék adja a legjobb modellilleszés. Ha - kicsire, 0-hoz közeli érékre válaszjuk a simíás nagyon nagy mérékű lesz, az idősor ingadozásai megszűnnek. -hez közeli esén ellenkező haás érünk el, vagyis nem örénik meg a kellő mérékű simíás, az előrejelzés is aralmazni fogja a vélelen ingadozásoka. A kövekezőkben a (+) - ik időpon előrejelzésé adjuk meg: + = + ( y - ) A feni összefüggés árendezés uán a kövekezőképpen írhaó fel: + = y + (- ) 0
súly Láhaó, hogy a legfrissebb megfigyelés míg a legfrissebb előrejelzés - súllyal szerepel. Írjuk á az előbbi előrejelzés a -ik időponra. = y - + ( - ) - zorozzuk meg a. egyenlee (-)-val és helyeesísük be a 0. egyenlebe. Ekkor a kövekező összefüggés kapjuk: + = y + (- y - + ( - ) - Tovább folyava az eljárás a kövekező egyenlehez juunk: + = y + (- y - + ) y - +... + - y + ( - ) A. egyenle a legjobban muaja be az exponenciális simíás lényegé. A módszer jósága pedig abban áll, hogy a legfrissebb megfigyeléseke a megelőzőknél nagyobb súllyal szerepelei. Ezzel figyelembe veszi az a ény, hogy az uolsó megfigyelések hordozzák a legöbb információ. Hosszú idősor eseén (az előrejelzés függelen lesz a kiinduló érékől, mivel az uolsó ag ar nullához ( (- ) Ebben az eseben viszon az idősor így írhaó fel: wi y i 4. i0 ahol w i = i, i=0,,,... súlyok formailag geomeriai eloszlásúak és a kövekező ulajdonságokkal rendelkeznek: i0 w i i=0,,,... és w i A w i súlyok exponenciálisan csökkennek ami indokolja ennek a simíó módszernek az elnevezésé A súlyok eloszlásá =0.5 esere az alábbi 6. ábra muaja be. 0.6 0.5 0.4 0. 0. 0. 0 4 5 6 7 sorszám 6. ábra úlyok eloszlása =0.5 eseén
Brown féle egyszeres exponenciális simíás Ez a módszer sacionárius idősorokra alkalmazhaó. Alkalmazásá egy példán kereszül, Magyarország kőolajermelésére [ezer /év] muajuk be. Megfigyeléseink kiinduló érékei és a különböző -hoz arozó előrejelzéseke a négyzees elérésekkel a VI. ábláza aralmazza. A számíás menee: Legyen =0., kiinduló érékünk =y =7 Alkalmazzuk 0-e, miszerin =0. y+0.9 =0. y+0.9 y=y=7 =0. y+0.9 =0. y+0.9 y=0.*457+0.9*7=4 4 =0. y+0.9 =0.* 64+0.9*4=8... Év y (0.) e y ) (0.5) (0.9) e y ) ( ( 960 7 7.00 0.00 7.00 0.00 7.00 0.00 96 457 7.00 57600.00 7.00 57600.00 7.00 57600.00 96 64 4.00 60000.00 7.00 946.00 4.00 464.00 96 75 8.00 84.00 489.00 6969.00 60.0 77.4 964 80 8.0 64.4 60.50 580.5 78.8 866.5 965 80 75.9 8850. 70.75 850.06 794.78 67.54 966 706 48.5 8857.05 756.88 588.7 80.8 950.5 967 686 446.94 575.64 7.44 064.57 75.6 877. 968 807 470.84 00.99 708.7 9659.0 688.96 9.0 969 754 504.46 757.86 795.0 VI. ábláza zámíási eredmények Magyarország kőolaj ermelési adaaira Brown - féle egyszeres exponenciális simíással, 0., 0.5, 0.9 simíóparaméerek alkalmazásával Az alábbi ábrákon Magyarország kőolajermelése idősorá (960-995) és a különböző -hoz arozó simíásoka muajuk be. Észreveheő, hogy a simío idősor az -ól függően késéssel kövei és ompíja az eredei idősor ingadozásai.
ezer /év ezer /év ezer /év 500 000 500 000 500 0 960 970 980 990 7/a ábra Magyarország kőolajermelése idősora (960-995) és egyszeres exponenciális simíása, =0. év 500 000 500 000 500 0 960 970 980 990 7/b ábra Magyarország kőolajermelése idősora (960-995) és egyszeres exponenciális simíása, =0.5 év 500 000 500 000 500 0 960 970 980 990 7/c ábra Magyarország kőolajermelése idősora (960-995) és egyszeres exponenciális simíása, =0.9 év onos felhívni a figyelme arra, hogy a Brown féle egyszeres exponenciális simíás csak egyelen időszakra képes előre jelezni. Ennek oka, hogy minden ovábbi előrejelzés a ényada hiányában a
0.0 0. 0. 0. 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.99 Reziduális variancia már előre jelze ada segíségével készíheünk el. Ebből kövekezően eől kezdve minden előrejelzés riviálisan isméli önmagá amin az az alábbi egyenleből adódik: + = y + + ( - ) + + + ( - ) + + A 8. ábra bemuaja Magyarország kőolajermelése idősorára a reziduális varianciáka, különböző - ra. Láhaó, hogy = 0.0 eseén nagyságrendekkel nagyobb a reziduális variancia, min amikor az 0.. Ennek oka, hogy ilyen kicsi simíóparaméer eseén olyan nagymérékű simíás végzünk, ami nagymérékben elrugaszkodik a ényadaokól. 400000 50000 00000 50000 00000 50000 00000 50000 0 8. ábra A reziduális variancia az függvényében Előrejelzés Brown féle keős exponenciális simíással Ez a módszer nem sacionárius, feleheően lineáris rende köveő idősorok eseén alkalmazhaó. A módszer készeres simíás alkalmaz hasonlóan a lineáris mozgó álagoláshoz. Előnye, hogy az idősor vélelen ingadozásának gyorsabb köveésé és a rendhaás jobban érzékelő ex ane előrejelzés esz leheővé. Az eljárás menee a kövekezőkben foglalhaó össze: y ( ) y ( ) 5. () () ( ) y () 6. a b () () () ( ) () ) ( T /( =,. 7. a b T. T az előrejelzés hossza 9. A 5. és a 6. egyenleek az egyszeres, ill. a készeres simíás adják. A 7. és a 8. egyenleek rend paraméerei, míg a 9. az előre jelze élékeke haározza meg. 8. 4
A 5 és a 6. egyenleek eseében, ha = az és () y -vel helyeesíjük (vagy ha van leheőség rá, akkor a megelőző időszak valamely álagá vesszük). Az opimális megválaszása a minimális reziduális varianciák alapján örénik. Hol-féle ké paraméeres lineáris exponenciális kiigazíás E módszer lineáris rende aralmazó idősorok eseén alkalmazhaó. A rende közvelen módon simíja ki ké paraméer segíségével. Az eljárás az alábbi egyenleekkel adhaó meg. ( x y ( )( bi ) y b x ( ) ( y) b b T T T y 0. =... b =0. A 0. egyenle a késleleés javíja, ebből kövekezően az a megfigyeléseke elég jól közelíik. A. a rend kisimíásá adja. A. a T időszak előrejelzésére szolgá.. Brown-féle quadraikus exponenciális kiigazíás A módszer másodfokú függvényekkel leírhaó alapirányzao aralmazó idősorok eseén alkalmazhaó. Az eljárás hasonló a lineáris exponenciális simíás módszeréhez, i sor kerül egy harmadik simíásra és egy újabb együhaó c becslésére. Az egyenleek az alábbiak: a b (9 () () y () ( ) () ( ) () ( ) () () ( () () y / ( ) (6 5 ) (0 8 ) () (4 () () ()?/( ) ( ) ) c T a bt / c T 9.. - 5. simíó egyenleek, 6. - 8. a másodfokú alapirányza együhaóinak becslésé adja. A 9 a T - ik időszak előrejelzése. ). 4. 5 6. 7. 8. 5
Winer-féle lineáris és szezonális exponenciális kiigazíás A módszer figyelembe veszi a lineáris rende és a szezonális ingadozásoka is. A módszer leíró egyenleek: y b / L ( )( b ) ( ) ( ) b l? y / ( ) l L 0.. ahol L a szezonaliás hossza. Az előrejelzés Hol módszeréhez hasonló. Az elérés abban áll, hogy a 0. aralmaz egy szezonális kiigazíó formulá. A. a rend kiigazíására, míg a. a szezonindex becslésére szolgál. 6