Elektrodinamika. Publication date 1977 Szerzői jog 2002 Dr. Nagy Károly, Nemzeti Tankönyvkiadó Rt. Szerző: Nagy Károly. Bírálók:

Elektrodinamika

Elektrodinamika Publication date 1977 Szerzői jog 2002 Dr Nagy Károly Nemzeti Tankönyvkiadó Rt Szerző: Nagy Károly Bírálók: DR GÁSPÁR REZSŐ - egyetemi tanár a Magyar Tudományos Akadémia rendes tagja DR NAGY KÁZMÉR - egyetemi tanár a fizikai tudományok doktora A mű más kiadványban való részleges vagy teljes felhasználása utánközlése illetve sokszorosítása a Kiadó engedélye nélkül tilos! Dr Nagy Károly Budapest 1977; Nemzeti Tankönyvkiadó Rt Budapest 2002

Tartalom 8 A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI 1 A Michelson-féle kísérlet 3 A relativitás elve 7 A Lorentz-transzformáció 10 Távolságok és időtartamok relativitása 13 Sebesség-összetevés 20 9 A MINKOWSKI-FÉLE NÉGYDIMENZIÓS TÉR 24 A Minkowski-féle négydimenziós tér szerkezete 24 Általános Lorentz-transzformáció 28 Négyes vektorok 30 Négyes tenzorok Tenzoranalízis 33 A speciális relativitáselmélet programja 38 10 RELATIVISZTIKUS ELEKTRODINAMIKA 40 A Maxwell-egyenletek tenzor alakban 40 A térerősségek és az áramsűrűség transzformációs képletei 46 Egyenletesen mozgó ponttöltés elektromágneses tere 49 Doppler-effektus és aberráció 53 Az erősűrűség relativisztikus kifejezése 57 Az elektromágneses tér energia-impulzus tenzora 59 11 RELATIVISZTIKUS MECHANIKA 65 Négyes impulzus Relativisztikus mozgásegyenletek 65 A tömeg és az energia közötti kapcsolat 70 Variációs elv A mozgásegyenletek kanonikus alakja 75 A FÜGGELÉK 80 Mértékrendszerek 80 A könyvben alkalmazott vektoralgebrai és vektoranalitikai összefüggések 85 B FELADATGYŰJTEMÉNY 88 iii

Az ábrák listája 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 2 3 5 9 12 21 27 91 93 95 96 97 100 101 103 105 108 109 110 110 111 113 120 125 131 iv

A táblázatok listája 1 Elektromos és mágneses mértékegységek táblázata 84 v

8 fejezet - A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI Könyvünk előző fejezeteiben már hangsúlyoztuk hogy a Maxwell-féle elektrodinamika az elektromágneses erőtér fizikai szerepének a felismerésén alapszik Nevezetesen azon hogy az elektromágneses hatásokat az erőtér közvetíti A tér állapot- változásai a fénysebességgel terjednek Ez a felismerés a mechanikai világkép több mint kétszáz éves egyeduralmát döntötte meg Az objektív anyagi világ mozgásformái nemcsak a mechanikai mozgásra korlátozottak hanem annál sokkal gazdagabbak Az elektromágneses erőtérnek mint objektív fizikai realitásnak a makroszkopikus testekétől teljesen eltérő mozgástörvényei vannak Faraday és Maxwell elévülhetetlen érdemei éppen abban állnak hogy az erőtérnek a szerepét és az annak állapotváltozásait leíró törvényeket felismerték Érdekes azonban hogy Faraday és Maxwell az erőtér új mozgástörvényeit mechanikai alapon próbálták értelmezni Az elektromágneses hatások terjedését a rugalmas hullámokhoz hasonlóan magyarázták 1 Felfogásuk szerint az egész világmindenséget kitölti egy rugalmas sajátságokkal rendelkező közeg az ún világ-éter amelynek állapotváltozásai terjednek véges sebességgel tova mint elektromágneses hullámok Az éter tehát ugyanolyan közvetítő közeg szerepét játszotta mint a rugalmas testek a hanghullámok esetén Csak a későbbi vizsgálatok derítették ki hogy ez a hipotetikus közvetítő közeg nem létezik és az elektromágneses hatások (elektromágneses hullámok) minden közeg nélkül a vákuumban is terjednek ellentétben a hanghullámokkal Tulajdonképpen ekkor vált teljessé a térelméleti felfogás diadala amikor bebizonyosodott hogy az elektrodinamika az elektromos és mágneses jelenségeknek a mechanikától teljesen eltérő új dinamikáját adja Ezek az éterre vonatkozó vizsgálatok ezen túlmenően olyan felismerésekhez vezettek amelyek az eddigi fizikai világképünk alapjainak teljes revízióját eredményezték Többek között a térre és az időre vonatkozó több évszázados ismereteink helytelennek bizonyultak; a newtoni mechanika törvényeiről kiderült hogy csak közelítő jellegűek stb Ezek az új felismerések vezettek századunk egyik legnagyobb fizikai elméletéhez az ún relativitáselmélethez Könyvünk hátralevő részében ezzel az elmélettel foglalkozunk Az éterhipotézis szerint az elektromágneses jelenségek a nyugvó éterben játszódnak le az elektromágneses hatásoknak az éter a hordozójuk Következésképpen a Maxwell-egyenletek is a nyugvó éterben érvényesek Az éter tehát kitüntet egy koordináta-rendszert amelyre vonatkoznak az elektrodinamika alapegyenletei Az éterhez rögzített koordináta-rendszer a Newton-féle abszolút vonatkoztatási rendszer szerepét veszi át A mechanikai tanulmányainkban megismertük hogy mechanikai kísérlettel az abszolút vonatkoztatási rendszer nem található meg mert az egymáshoz képest állandó sebességgel mozgó rendszerek egyenértékűek a mechanikai jelenségek leírása szempontjából Ez a felismerés Galilei nevéhez fűződik és Galilei-féle relativitási elv néven ismeretes Egyszerűen arról van szó hogy a mozgásegyenletek az egymáshoz képest egyenletesen mozgó vonatkoztatási rendszerekben azonos alakúak és ennélfogva a belőlük származó valamennyi eredmény ugyanaz ezekben a rendszerekben A mechanikai jelenségek tehát bennük egyformán mennek végbe és ezért az abszolút vonatkoztatási rendszer a mechanikában fikció maradt Az éterhipotézis bevezetésével úgy tűnt hogy elektrodinamikai kísérlettel mégiscsak megtalálható az abszolút vonatkoztatási rendszer Ugyanis ha a Maxwell-egyenletek a nyugvó éterben érvényesek akkor csak ebben a vonatkoztatási rendszerben izotrop a fény terjedése Az éterhez képest mozgó koordináta-rendszerben a fénysebesség függ a vonatkoztatási rendszer sebességétől is Tételezzük fel hogy az elektromágneses síkhullám az x tengely irányában halad Ekkor a térerősség-komponensek 1 A világ-éter fogalmát Fresnel vezette be még a Maxwell-elmélet előtt a fényhullámokat közvetítő közegként 1

A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI alakúak c a hullám terjedési sebessége az éterben Milyen sajátságú hullámot észlel az a megfigyelő aki a nyugvó éterhez képest állandó sebességgel mozog az x tengely mentén? Az éterben nyugvó és a hozzá képest az x tengely mentén sebességgel mozgó koordináta-rendszerben valamely P pont koordinátái között az ábrából leolvasható összefüggés áll fenn ha a két vonatkoztatási rendszer tengelyeinek irányát azonosnak választjuk és t = 0-kor a két vonatkoztatási rendszer origója egybeesik s akkor kezdi mozgását a vesszős koordináta-rendszer A koordináták ilyen transzformációját elvégezve (65 ábra) kapjuk: 65 ábra - Az éterhez képest sebességgel mozgó vonatkoztatási rendszerben tehát frekvenciájú és sebességgel haladó hullámot észlelünk Ha a hullám a vesszős koordináta-rendszer mozgásirányával szemben halad akkor a frekvencia -re változik sebessége pedig lesz 2

A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI Az frekvenciaváltozás Doppler-effektus néven ismeretes a hullámelméletben A mi szempontunkból azonban most érdekesebb a hullám terjedési sebességének a megváltozása Eszerint a fény csak a nyugvó éterben terjed minden irányban ugyanazzal a c sebességgel Az éterhez képest mozgó vonatkoztatási rendszerben a fénysebesség iránytól függő: az x tengely mentén aszerint hogy a mozgásiránnyal szemben vagy vele párhuzamosan terjed A mozgásirányra merőlegesen haladó hullám sebessége változatlan Az éterhez képest való mozgás tehát sajátos anizotrópiát eredményez az elektromágneses hullám terjedésében Valóban úgy tűnik tehát hogy a nyugvó éter valósítja meg a klasszikus fizika abszolút koordináta- rendszerét és ezt a kitüntetett vonatkoztatási rendszert fénysebességméréssel meg lehet határozni A kísérlet alapgondolata Maxwelltől származik de csak később (1881-ben) sikerült azt A A Michelsonnak elvégeznie Ez a híres Michelson-kísérlet amely fizikai világképünkben radikális változást eredményezett A Michelson-féle kísérlet A kísérleti berendezés a Michelson-féle interferométer volt (66 ábra) Az F fényforrásból jövő fénysugár a 45 alatt hajló félig ezüstözött T üveglemezre esett amely egy részét áteresztette egy másik részét merőlegesen visszaverte Mind az áthaladt mind a visszavert fénysugár az l1 illetve az l2 út befutása után a T1 illetve a T2 tükrön teljesen visszaverődött majd a T félig ezüstözött üveglemezen való visszaverődés illetve áthaladás után az M távcsőbe jutott A mérésnél az l1 és l2 távolságokat pontosan egyformának választották 66 ábra - 3

A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI Ha a berendezés nyugszik az éterben akkor a fénysugarak az l1 és l2 utakat ugyanazzal a c sebességgel futják be és időkésés nélkül egymást erősítve találkoznak T-ben és jutnak a távcsőbe Ha a készülék sebességgel mozog az éterhez képest az l1 irányban akkor a fentiek szerint a két fénysugár más sebességgel haladva időkéséssel találkozik és ezért fáziskülönbség lép fel közöttük Számítsuk ki a két út megtételekor fellépő időkülönbséget A T-től T1 felé haladó fénysugár sebességgel terjed ezért a távolság befutásához szükséges idő: ((581) egyenlet) A visszafelé haladó fénysugár sebessége ezért a T1 tükörtől T-hez ((582) egyenlet) idő alatt érkezik A fénysugár a TT1T utat ((583) egyenlet) idő alatt futja be Most számítsuk ki a mozgásirányra merőleges l2 út kétszeres befutásához szükséges időt Itt figyelembe kell vennünk hogy a T2 tükör mozog a fénysugárra merőlegesen Ezért az éterben megtett fényút a amiből 4 sebességgel derékszögű háromszög átfogójának kétszerese A 67 ábrából leolvasható:

A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI 67 ábra - A út megtételéhez szükséges idő: ((584) egyenlet) (583)-ból és (584)-ből látszik hogy a két fénysugár nem egy időben érkezik az M távcsőbe a köztük fellépett időkülönbség: ((585) egyenlet) Ha az interferométert 90 -kal elforgatjuk úgy hogy utána az l2 kar mutat a mozgás irányába l1 pedig arra merőleges akkor a két fénysugár a ((586) egyenlet) időkülönbséggel találkozik Mivel a két időkülönbség nem egyenlő az elforgatás során az interferenciaképnek meg kell változnia Az interferenciacsíkok eltolódását az (585) és (586) különbsége határozza meg: 5

A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI ((587) egyenlet) Mivel a berendezés a Földdel együtt mozgott az éterben helyére a Föld Nap körüli keringési sebessége írandó Ez az érték = 30 km/s Ezért Minthogy rendkívül kicsi az 1-hez képest (587)-ben sorfejtést végezve a -ben az elsőrendű tagnál megállhatunk: ((588) egyenlet) Becsüljük meg hogy milyen mértékű lesz az interferenciacsíkok eltolódása Ehhez az (588) időkülönbséget össze kell hasonlítani az alkalmazott fény rezgésidejével Ha az (588) időkülönbség éppen a rezgésidővel egyezik meg akkor az interferenciakép egy teljes csíkszélességgel tolódik el Az interferencia-eltolódás tehát annyiad része a teljes csíkszélességnek ahányad része cm és ezért a τ rezgésidőnek Sárga fény esetén Ebből következik hogy m fényútnál vagyis éppen egy csíkszélesség az eltolódás Ilyen nagy fényút a fénysugarak többszöri visszaverődésével érhető el Michelson a kísérletet először 1881-ben végezte el és nem észlelt csíkeltolódást 1887-ben Morley-vel együtt megismételte a kísérletet ismét sikertelenül Ezután még többször megismételték a kísérletet egyre gondosabb előkészítéssel és pontosabb feltételek mellett Említésre méltó G Joos 1935-ben elvégzett kísérletsorozata amelynél a csíkokat fotografikus úton regisztrálta kiküszöbölve ezáltal a vizuális megfigyelés okozta hibalehetőségeket Azt találta hogy a csíkeltolódás biztosan kisebb mint 1/1000 csíkszélesség A Joos-féle berendezés olyan érzékeny volt hogy 15 km/s sebességű éterszelet már ki tudott volna mutatni 6

A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI Következtetéseinket azon az alapon végeztük el hogy a Maxwell-egyenletek a nyugvó éterben érvényesek és a hozzá képest mozgó vonatkoztatási rendszerben anizotrop a fény terjedése Eszerint a Michelson-féle kísérletben a berendezés 90 -os elforgatásakor az interferenciaképnek meg kellene változnia A gondosan elvégzett kísérletek negatív eredménnyel jártak csíkeltolódás nem tapasztalható Mi lehet az ellentmondás magyarázata? A múlt század végén több próbálkozás történt a kísérlet negatív eredményének az értelmezésére Ezek közül itt csak egyet említünk meg nevezetesen a Lorentz Fritzgerald-féle kontrakciós hipotézist Eszerint az éterhez képest sebességgel mozgó test mozgásirányába eső mérete mértékben megrövidül A kísérlet első részében az l1 kar mutat a mozgásirányba ezért (585)-ben l1 helyére után az l2 kar rövidül meg és ezért (586)-ban l2 helyére tehát nem várható változás az interferenciaképben írandó A 90 -os elforgatás írandó Ennek alapján a két időkülönbség megegyezik következésképpen Érdemes megjegyezni hogy a feltételezett hosszúságrövidülés kicsi Ugyanis és így a megrövidülés az eredeti hosszúság százmilliomod részének a fele Közvetlen méréssel ez egyébként sem állapítható meg hiszen a feltevés szerint a testhez illesztett mérőrúd is ugyanilyen arányban megrövidül A Lorentz Fritzgerald-féle értelmezés tehát közvetlen méréssel nem ellenőrizhető hipotézisen alapszik A többi próbálkozásnál is hasonló nehézségek lépnek fel Végeredményben tehát elektrodinamikai (vagy optikai) kísérlettel sem sikerült a kitüntetett vonatkozási rendszert megállapítani Az éterhipotézis továbbra is hipotézis maradt A relativitás elve A Michelson-kísérlet negatív eredményéből Albert Einstein 1905-ben azt a következtetést vonta le hogy nem igaz az a feltevés miszerint a Maxwell-egyenletek a nyugvó éterben érvényesek és csak ebben a kitüntetett vonatkoztatási rendszerben c a fénysebesség minden irányban A tapasztalat azt mutatja hogy a fény sebessége a Földdel együtt mozgó koordináta-rendszerben is c és terjedése itt is izotrop Éter nem létezik következésképpen kitüntetett vonatkoztatási rendszer sem A fény terjedése minden inerciarendszerben izotrop Az inerciarendszerek teljesen egyenértékűek a természeti jelenségek leírása szempontjából Semmilyen jelenség (sem mechanikai sem elektrodinamikai) nem tüntet ki közülük egyet sem; nincs abszolút vonatkoztatási rendszer Az inerciarendszerek egyenértékűségében egy általános természeti elv az ún speciális relativitás elve mutatkozik meg A speciális jelző arra utal hogy egymáshoz képest egyenletesen mozgó rendszerekre vonatkozik az egyenértékűség A gyorsuló vonatkoztatási rendszerekre ez nem igaz hiszen azokban tehetetlenségi erők lépnek fel amelyek már megrontják a fény terjedésének izotrópiáját Einstein elévülhetetlen érdeme abban van hogy az inerciarendszerek egyenértékűségét a relativitási elvet felismerte Az éterhipotézist a mechanikai világképhez való görcsös ragaszkodás szülte Einstein nagyságát mutatja hogy tekintélyes elődeivel szemben bátran szakított a több évszázados felfogással és nem újabb hipotézissel próbálta az éterhipotézist menteni hanem elfogadta az objektív anyagi világot olyannak amilyennek azt a tapasztalat mutatja A tapasztalat pedig sohasem ismerte el az éter létjogosultságát 7

A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI Einstein azt is világosan látta hogy a probléma mélyebb gyökerei a térre és az időre vonatkozó felfogásunkkal vannak kapcsolatban A térnek és az időnek a fogalmát a klasszikus fizikában abszolútnak tekintették Különösen áll ez az időre A tér két különböző helyén egy időben lejátszódó eseményt minden vonatkoztatási rendszerben egyidejűnek tekintettek Tehát az egyidejűség fogalmának is abszolút jelentése volt Az Einstein által elvégzett elemzésből kiderül hogy ez a felfogás téves Valamely eseményről a fizikus akkor tud egyértelműen beszélni ha tudja hogy az a tér melyik helyén melyik időpontban játszódott le Minden eseményt tehát négy adattal a három helykoordinátával és az esemény időpontjával jellemzünk Az esemény helyére és idejére vonatkozó kijelentésnek csak akkor van értelme ha a hely és idő mértékszámai jól definiált és elvileg akárhányszor megismételhető mérés eredményeiként adódnak A hely mérésére a méterrudak az idő mérésére az órák szolgálnak A helymérés eredményeként a tér minden pontjához egy számhármas rendelhető amely az illető pont helykoordinátáit adja meg Az időt az esemény helyén elhelyezett órával mérjük Egyértelmű időmeghatározást akkor kapunk ha a tér minden pontjába egyformán járó ún helyi órákat helyezünk és azokat valamilyen eljárással szinkronizáljuk Elképzelhető olyan szinkronizálási eljárás hogy a koordináta-rendszerünk origójában elhelyezett ún normálórához igazítjuk a helyi órákat és azután visszük őket a helyükre Az ilyen módon történő szinkronizálás azonban nem tekinthető kielégítőnek mert nincs kizárva hogy amíg az órákat helyükre szállítjuk mozgásuk befolyásolhatja járásukat Az órákat tehát előbb a helyükre kell szállítanunk és csak azután hozzáigazítani az origóban elhelyezett órához Ehhez a következő eljárás mutatkozik kielégítőnek A koordináta-rendszer kezdőpontjából fényjelet bocsátunk ki abban a pillanatban amikor az ott elhelyezett óra mutatója t = 0-t mutat A tér pontjaiban sűrűn elhelyezett megfigyelőknek olyan utasítást adunk hogy amikor a fényjelet felvillanni látják állítsák be óráikat a időre ahol r az origótól mért távolságukat jelenti Ugyanis ennyi idő alatt futja be a fény az r távolságot Így a vonatkoztatási rendszerünk különböző helyein sűrűn elhelyezett órák egyformán járnak és a szinkronizálás módja fizikai szempontból teljesen kielégítő Két eseményt most már akkor mondunk egyidejűnek ha az események helyén elhelyezett órák ugyanazon mutatóállásnál következtek be Ezek után képzeljünk el két inerciarendszert amelyek egymáshoz képest sebességgel mozognak pl az x tengely mentén Az egyiket K-val a másikat K'-vel jelöljük Az Einstein-féle relativitási elv szerint a fény mindkét inerciarendszerben ugyanazzal a c sebességgel terjed minden irányban A két vonatkoztatási rendszer órái fényjelekkel szinkronizálhatók Tételezzük fel hogy t = 0 időpillanatban a két koordináta-rendszer tengelyei és origójuk egybeesik A közös origóból t = 0-kor fényjelet bocsátunk ki a tér minden irányába és mindkét rendszer megfigyelőinek azt az utasítást adjuk hogy amikor a fényjelet felvillanni látják állítsák óráikat az illetve időre A K' koordináta-rendszer ugyancsak a t = 0 pillanatban kezd el mozogni sebességgel a K-hoz képest az x tengely mentén A 68 ábrából világosan látszik hogy a K és K' rendszer olyan két óráját amely a fényjel megérkezésekor helyileg egybeesik nem ugyanarra az időre fogják beállítani mert a K-beli órát be és mivel ezért ugyanis közben K' origója -re a K'-belit pedig -re állítják távolsággal elmozdult a K origójához képest A P pontban történő rövid esemény idejét a két óra nem egyazon időpontban jelzi hiszen az egyik t időt jelez a másik pedig t'-t és A fénysebesség állandóságából tehát következik hogy egységes időről csak egy vonatkoztatási rendszeren belül lehet szó a különböző inerciarendszerek ideje nem egyezik meg Majd látni fogjuk hogy az egyidejűség is általában csak egy vonatkoztatási rendszeren belül érvényes tehát nem abszolút hanem relatív fogalom 8

A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI 68 ábra - Az órák egyértelmű szinkronizálása után most már megbeszélhetjük azt a kérdést is hogy hogyan mérjük meg pl olyan tárgyak hosszát amelyek inerciarendszerünkhöz képest mozognak A szokásos hosszúságmérésnél a mérendő hosszúság és a mérőrúd egymáshoz képest nyugalomban vannak így a hosszúságmérés a hosszegység megválasztása után egyszerű feladat: a méterrudat a mérendő hossz mellé fektetjük és a mérőszámokat leolvassuk Ez az eljárás azonban nem alkalmazható mozgó tárgyak esetén Ilyenkor a megmérendő mozgó léc elejének és végének egyidejű lenyomata közötti szakaszt tekintjük a léc hosszának A mérés a következőképpen történik A mozgó rúd mentén megfigyelőket helyezünk el sűrűn és számukra olyan utasítást adunk hogy közülük egy jegyezze fel azt az időpillanatot amikor a rúd eleje éppen hozzá ér a többi pedig azt az időpontot jegyzi fel amikor a rúd vége érkezik hozzájuk Természetesen az eljárás rendkívül éles kontaktusok regisztrálásával végzendő ez azonban nem okoz különösebb elvi nehézséget A rúd hosszán azt a távolságot értjük amely azon két megfigyelő között van akik közül egyik a rúd elejét másik a végét észlelte ugyanabban a t időpillanatban Lényegében hasonlóképpen történik valamely mozgó testen lejátszódó folyamat időtartamának a mérése is Erre természetesen azon két óra időadatai a mérvadók amelyek közvetlen közelében kezdődik illetve végződik az esemény Ez a mérési eljárás elvileg minden korlátozás nélkül elvégezhető bármely inerciarendszerben A különböző inerciarendszerekben elvégzett mérések eredményeit a K illetve K' vonatkoztatási rendszer megfigyelői egymással közölhetik és az összevetésből érdekes következtetések vonhatók Ehhez azonban az szükséges hogy az egyes események K-ban illetve K'-ben mért hely- és időadatai között egyértelmű kapcsolat álljon fenn A következő pontban ezt a kapcsolatot határozzuk meg olyan két inerciarendszer között amelyek egymáshoz képest állandó sebességgel mozognak az x tengely mentén Két inerciarendszer hely- és időkoordinátái közti kapcsolat ismeretének a már említett gyakorlati hasznán túlmenően elvi jelentősége is van Ugyanis a relativitás elve szerint az inerciarendszerek a természetleírás szempontjából egyenértékűek Ez viszont azt jelenti hogy az egzakt természettörvényeknek minden inerciarendszerben azonos alakúnak kell lenniük mert bármilyen alaki különbség arra mutatna hogy az inerciarendszerek nem teljesen egyenértékűek Az egzakt természettörvényeknek tehát invariánsnak kell lenniük azon transzformációval szemben amely két inercarendszer hely- és időkoordinátái között állapít meg kapcsolatot A keresett transzformáció fontossága tehát abban van hogy az egzakt természettörvények vele szemben invariánsak Ez a transzformáció az ún Lorentz-transzformáció 9

A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI A Lorentz-transzformáció Gondoljunk el két inerciarendszert amelyek az x tengely mentén egyenletesen mozognak egymáshoz képest Jelöljük őket K-val illetve K'-vel Tételezzük fel hogy óráikat az előző pont előírásainak megfelelően fényjelekkel szinkronizáltuk A tér valamely pontjában lejátszódó eseményt a K rendszerben az x y z t a K'-ben az x' y' z' t' négy adattal jellemezzük Ez azt jelenti hogy az esemény a K rendszer x y z koordinátájú pontjában t időpillanatban a K' rendszerben pedig az x' y' z' pontban t' időpillanatban történik Keressük azt a transzformációt amely kapcsolatot teremt a vesszős és vesszőtlen koordináták és időadatok között A keresett összefüggésnek ki kell elégítenie a következő feltételeket: 1 A transzformációnak lineárisnak kell lennie Ez a feltétel a tér homogenitását biztosítja Vagyis azt hogy a koordináta-rendszer egyik pontja sincs kitüntetve a többihez képest; történetesen a kezdőpont sem 2 A két inerciarendszer egymáshoz képest állandó transzlációs sebességgel mozog Ha a K' koordináta-rendszer valamely x' y' z' koordinátájú pontja K-hoz képest v sebességgel mozog akkor a K rendszer valamely x y z koordinátájú pontja v sebességgel mozog K'-höz képest E feltevésben rejlő korlátozás a speciális relativitáselméletre jellemző Az ún általános relativitáselmélet amelynek tárgyalása kívül esik könyvünk keretein az egymáshoz képest gyorsuló vonatkoztatási rendszereket is figyelembe veszi 3 A fénysebesség mindkét inerciarendszerben minden irányban ugyanaz a c érték Ezt a tényt Michelson kísérletéből tudjuk és már az órák szinkronizálásánál is figyelembe vettük 4 Semmilyen fizikai méréssel nem lehet a két vonatkoztatási rendszer között valamilyen elvi különbséget találni Az inerciarendszerek a fizikai jelenségek leírása szempontjából egyenértékűek Ezt fejezi ki a speciális relativitás elve A transzformációs képleteket arra a speciális esetre határozzuk meg amikor a két rendszer x illetve x' tengelye tartósan egybeesik és a relatív mozgás az x tengely mentén történik: v( 0 0) továbbá a t = 0 ill t' = 0 időpontban a két koordináta-rendszer kezdőpontja egybeesik Az x és x' tengelyek akkor esnek egybe ha y = 0 z = 0-ból következik hogy y' = 0 z' = 0 Ezért az y-ra és z-re vonatkozó transzformációs képlet a következő alakú: ((601) egyenlet) A koordináta-rendszer térbeli forgásától eltekintünk ezért megköveteljük hogy pl az (x y) sík az (x' y') síkba menjen át Így (601)-ből az y és z irány egyenértékűségének figyelembevételével adódik: ((602) egyenlet) Az α tényező azt jelenti hogy az y vagy a z irányban fekvő egységnyi hosszúságot a K' rendszerben elvégzett mérés nem egységnyinek hanem α-nak találja (602)-ből a transzformáció megfordításával következik hogy a K'-ben y' illetve z' irányban nyugvó léc hosszát a K rendszerbeli megfigyelő 10

A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI -szorosnak méri Ha ez a kölcsönösen megállapított hosszúságváltozás különböző volna ez objektív különbséget jelentene a két inerciarendszer között ami a 4 feltételben megfogalmazott relativitási elv miatt kizárt dolog Ezért fenn kell állnia az és ezáltal összefüggésnek amiből következik hogy ((603) egyenlet) Most foglalkozzunk az x-re és t-re vonatkozó transzformációs képletekkel Feltevésünk értelmében az x' = 0 pont a pozitív x tengely mentén sebességgel halad Ez azt jelenti hogy x' = 0 esetén A 2 feltevés szerint a K rendszer origója sebességgel halad a K' rendszerhez képest Tehát az x = 0-nak az felel meg E meggondolásokból következik hogy a keresett transzformáció ilyen alakú: ((604) egyenlet) Látni fogjuk hogy a 4 feltevés alapján a ϰ és ϰ' egyelőre határozatlan számoknak meg kell egyezniük Tekintsünk e célból egy l hosszúságú lécet amely a K rendszerben az x tengely mentén nyugszik és végpontjai az x = 0 és x = l Mérjük meg a léc hosszát a hozzá képest mozgó K' rendszerben Az előző pontban megbeszélt mérési eljárás szerint a léc két végpontjának egyidejű lenyomatát kell vennünk A t' = 0 időpontban a léc két végpontjának koordinátái (604) szerint x' = 0 illetve nyugszik és végpontjai Vegyünk most egy l hosszúságú lécet amely a K' rendszer x' tengelye mentén ill x' = l Mérjük meg a hosszát a K rendszerben A két végpont egyidejű lenyomata a t = 0 időpillanatban az x = 0 illetve az koordinátájú pontok Az első mérésnél a lécet mértékben megrövidültnek a másodiknál -ször rövidebbnek találtuk A 4 pontban megfogalmazott relativitási elv miatt -nak egyenlőnek kell lennie -vel mert különben objektív különbség lenne a két inerciarendszer között Tehát ((605) egyenlet) Hátra van még értékének a meghatározása Ehhez felhasználjuk a Michelson-kísérletből leszűrt megállapítást miszerint a fény sebessége mindkét vonatkoztatási rendszerben c-vel egyenlő minden irányban Gondoljuk el hogy a t = t' = 0 időpontban fényjelet adunk le a közös origóból amelyet a P pontban levő két megfigyelő (lásd a 69 ábrát) illetve időpillanatban lát felvillanni Ezeket az értékeket (604)-be behelyettesítve kapjuk: 11

A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI 69 ábra - E két kifejezés egybevetéséből adódik: amiből következik: ((606) egyenlet) A t'-re vonatkozó transzformációs képletet (604)-ből kapjuk: A (606) összefüggés figyelembevételével adódik hogy Ezzel tulajdonképpen meghatároztuk a keresett transzformációt Foglaljuk össze képleteinket: 12

A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI ((607) egyenlet) Az inverz transzformáció ezekből egyszerűen adódik: ((608) egyenlet) Érdemes megjegyezni hogy az inverz transzformáció képletei (607)-ből egyszerűen a mennyiségek felcserélésével adódnak helyettesítéssel és a vesszős és vesszőtlen A pontszerű esemény K-ban illetve K'-ben mért koordinátái és ideje közötti kapcsolatot megadó (607) illetve (608) transzformációs képleteket hívjuk Lorentz-transzformációnak Lorentz volt az első aki ezeket az összefüggéseket levezette amikor azokat a lineáris transzformációkat kereste amelyek az elektrodinamika alapegyenleteit invariánsul hagyják Hasonlítsuk össze e képleteket a mechanikából ismert Galilei-féle transzformációval: Mint tudjuk e transzformáció a mechanika alapegyenleteit invariánsul hagyja Látjuk hogy a Lorentz-transzformáció a határesetben átmegy a Galilei-félébe Ebben az esetben t = t' vagyis érvényes az abszolút egyidejűség Az abszolút egyidejűség tehát abban az esetben állna fenn ha végtelen sebességgel terjedő jelekkel lehetne szinkronizálni az órákat A relativitáselmélet szerint a c fénysebesség határsebesség szerepét játssza; ennél nagyobb sebességgel terjedő jelek nem léteznek a természetben A következő pontban látni fogjuk hogy ha létezne olyan hatás amely sebességgel terjedne akkor meg lehetne adni olyan vonatkoztatási rendszert amelyben a hatás visszafelé terjedne a múltba vagyis felcserélődne az ok és okozat természetes sorrendje A (608) transzformációból közvetlenül is látszik hogy a fénysebességnek határsebesség szerepe van Ugyanis Két inerciarendszer tehát legfeljebb fénysebességgel mozoghat egymáshoz képest esetben képzetessé válik Távolságok és időtartamok relativitása Már az előző pontban láttuk hogy a mozgó léc hossza rövidebb mint nyugalmi állapotban mért hosszúsága Ezt a problémát a Lorentz-transzformáció alapján még egyszer megvizsgáljuk 13

A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI Tekintsünk egy lécet amely a K' rendszer x' tengelye mentén helyezkedik el és azzal együtt mozog sebességgel a K-hoz képest Végpontjai a K'-ben legyenek és A K'-ben elvégzett hosszúságméréskor a mérőrúd és a léc egymáshoz képest nyugalomban vannak ezért az hosszúságot a léc nyugalmi mérőszámának nevezzük Mérjük meg a léc hosszát a hozzá képest mozgó K rendszerben Mozgó tágyak hosszát az 59 pontban megbeszélt eljárással mérjük meg Nevezetesen a kezdő- és végpont ugyanazon t időpontban mért koordinátáinak különbségét tekintjük a léc hosszának A Lorentz-transzformáció szerint a végpontok egy időben mért koordinátáinak transzformációs képlete a következő: A kettő különbsége: ((611) egyenlet) Az távolság a K rendszerben mért ún mozgási mérőszám E képletből látszik hogy l rövidebb az l0 nyugalmi mérőszámnál: ((612) egyenlet) A tárgyak hossza tehát nem abszolút fogalom hanem a koordináta-rendszertől függő A léc hosszának csak akkor van értelme ha azt is megmondjuk hogy melyik koordináta-rendszerben mért hosszúságról van szó A hosszúság mérőszámának relatív volta az egyidejűség relativitásával van igen szoros kapcsolatban hisz mint láttuk a mérésnél az egyidejűséget felhasználjuk Természetesen ugyancsak a (612) képletet kapjuk akkor is ha a léc nem a K' hanem a K rendszer x tengelye mentén nyugszik és hosszát a K' rendszerben mérjük meg Most a két végpontnak az ugyanazon t' időpontban vett koordinátáit mérjük A Lorentz-transzformáció szerint: A kettő különbsége: 14

A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI Mivel a léc most a K rendszerben nyugszik ezért a hosszúság nyugalmi mérőszáma és nyugalmi mérőszám viszonyára ugyanazt kaptuk mint előbb vagyis a (612) összefüggést a mozgási Látjuk hogy a mozgási és a A Lorentz-transzformáció (607) (608) képleteiből az is látszik hogy a mozgásirányra merőleges koordináták nem transzformálódnak Ebből viszont következik hogy a tárgyak mozgásirányra merőleges méretei sem változnak vagyis ezek mozgási és nyugalmi mérőszámai megegyeznek: ((613) egyenlet) Ennek természetes következménye hogy a testek térfogatának nyugalmi és mozgási mérőszáma sem egyezik meg Tekintsünk példaként egy hasábot amely nyugszik a K' rendszerben élei párhuzamosak a koordinátatengelyekkel és hosszúságuk: nyugalmi térfogat: A K'-ben mért a K-ban mért mozgási mérőszám pedig: A két mérőszám közötti összefüggés (611) és (613) alapján: ((614) egyenlet) A testek térfogatának mozgási mérőszáma tehát ugyanolyan mértékben kisebb a nyugalminál mint a mozgásirányba eső hosszúságé A Lorentz-transzformáció alapján megnyugtatóan értelmezhetjük a Michelson-kísérlet negatív eredményét is Az első esetben az l1 kar esik a mozgás irányába tehát hossza a 90 -os elforgatás után pedig az l2 kar lesz rövidebb: Így az elforgatáskor nem lép fel különbség a fényutakban és ezért az interferenciacsíkok rendszere sem változik meg Formálisan hasonlóképpen magyarázza a kísérletet a Lorentzkontrakciós hipotézis is de azzal az elvi különbséggel hogy ott az egyidejűség problémája fel sem merül Amint láttuk ez pedig igen lényeges a relativitáselméleten alapuló helyes magyarázatnál 15

A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI Foglalkozzunk most a két inerciarendszerben mért időpontok és időtartamok összehasonlításával és vizsgáljuk meg annak néhány következményét hogy az idő is transzformálódik Tekintsünk két olyan pontszerű eseményt amelyek a K' rendszerben az x' tengely két különböző pontjában egy időben (a t' időpontban) játszódnak le A K rendszerben a két esemény nem egy időben történik! Jelölje egyik helyét x idejét t a másikét x2 illetve t2 A Lorentz-transzformáció szerint: A K-ban mért t2 t1 időkülönbség ebből a következő: ((615) egyenlet) E képletből látszik hogy ha a két esemény mozgásirányba eső koordinátái nem egyeznek meg akkor a K rendszerbeli megfigyelő a két eseményt nem ugyanabban az időpontban észleli Az egyidejűség tehát amint erről már volt is szó nem abszolút jelentésű fogalom értelme csak egy inerciarendszeren belül van Lényegében ezzel függ össze a távolságok mérőszámának relativitása is mint azt előbb említettük Tételezzük fel hogy a K rendszer x1 pontjából t1 időpontban valamilyen hatás indul ki amely C sebességgel terjedve az x2 pontban t2 időben eseményt vált ki A hatás kiindulása és az esemény kiváltása között eltelt idő: ((616) egyenlet) Felmerülhet az a furcsa kérdés hogy a K'-beli megfigyelő nem észlelheti-e előbb az eseményt és csak később a hatás kiindulását Más szóval: a K' megfigyelői számára nem fordulhat-e meg az ok és okozat természetes sorrendje? Ehhez az kellene hogy a K' rendszerben a negatív legyen Képezzük (607)-ből a ídőkülönbséget: Helyettesítsük be ide (616) értékét: 16 időkülönbség

A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI ((617) egyenlet) Mivel a jobb oldal első és harmadik tényezője pozitív akkor lenne negatív ha vagyis ((618) egyenlet) Az ok és okozat időbeli sorrendje tehát akkor fordulna meg ha létezne olyan hatás amely a c fénysebességnél nagyobb sebességgel terjedne A tapasztalat szerint a fénysebességnél nagyobb sebességgel terjedő hatás nem létezik a természetben ezért fennáll az a filozófiai szempontból is megnyugtató tény hogy az ok és okozat természetes időbeli sorrendje semmilyen megfigyelő számára nem fordul meg Gondoljunk el két eseményt amelyek a K' rendszerben az x' tengely ugyanazon pontjában játszódnak le illetve időpontban A két esemény között eltelt időt az pontban nyugvó helyi órán mérjük ezért a különbséget az időtartam nyugalmi mérőszámának nevezzük Az ponthoz (K'-höz) képest mozgó K rendszerben az első eseményt t1 időpontban észleli az esemény helyén levő megfigyelő a másodikat t2-ben egy másik megfigyelő aki éppen az esemény helyén van (Azért másik órán történik a második esemény idejének a mérése mert K mozog K'höz képest) A két esemény között eltelt időtartam ún mozgási mérőszáma: mérőszámot (608) negyedik képletéből kapjuk hogy ((619) egyenlet) amiből következik: ((6110) egyenlet) 17 A Lorentz-transzformáció alapján összehasonlíthatjuk a két

A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI Az időtartam mozgási mérőszáma tehát nagyobb a nyugalminál Ezt szemléletesen úgy fejezhetjük ki hogy a mozgó óra késik a nyugvóhoz képest A relativitás elve szerint ugyancsak a (6110) összefüggést kapjuk ha a K rendszer x0 pontjában lejátszódó két esemény időtartamát (most ez a nyugalmi mérőszám) a K'-ben mért időtartammal hasonlítjuk össze A (607) utolsó képlete alapján írható: amiből következik: ((6111) egyenlet) Mivel most az időtartam nyugalmi pedig a mozgási mérőszáma a (6111)-ből szintén a ((6112) egyenlet) összefüggés adódik A K rendszer megfigyelője azt tapasztalja hogy a K' rendszer órái késnek A (6110) és a (6112) összefüggés tehát ugyanazt a tényt fejezi ki; nevezetesen azt hogy az időtartam is a vonatkoztatási rendszertől függő fogalom: a mozgási mérőszám a sebességtől függően nagyobb a nyugalmi mérőszámnál Az alkalmazásokban gyakran előfordul egy fontos mennyiség: a mozgó test ún sajátideje Ezt az időt a testtel együtt mozgó óra méri Az inerciarendszerek t rendszeridejétől való megkülönböztetés céljából τ-val jelöljük A test pillanatnyi sebessége legyen Tekintsünk két pontszerű eseményt amelyek időben egymáshoz végtelen közel játszódnak le A testtel együtt mozgó óra a két esemény idejét τ-nak és -nak méri A K inderciarendszerben mért megfelelő időpontok t illetve Mivel végtelen rövid időtartamról van szó ezalatt a test mozgása egyenesvonalú egyenletes mozgásnak tekinthető és így a dτ és dt időtartamokra érvényes a (6112) összefüggés: ((6113) egyenlet) 18

A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI A dτ sajátidőtartam invariáns mennyiség bármely inerciarendszerre vonatkoztatjuk is a test sebességét mert dτ-t mindig a testtel együtt mozgó óra méri Erről egyébként közvetlenül meggyőződhetünk ha (6113)-at négyzetre emeljük és a következő alakba írjuk: ((6114) egyenlet) A test sebességének négyzete: Ezt (6114)-be beírva kapjuk: A jobb oldalon levő zárójeles kifejezés pedig invariáns a (607) (608) Lorentz-transzformációval szemben amiről egyszerű számítással könnyen meggyőződhetünk Az időtartam relativitását kifejező (6112) összefüggés helyességét szépen igazolja a müon élettartamára vonatkozó kísérleti érték A müon jól ismert elemi részecske amely a pí-mezon bomlásakor keletkezik: (π a pí-mezont μ a müont pedig a mű-neutrinót jelzi) A müon mint általában az elemi részek legtöbbje nem stabil részecske hanem 2 s idő elteltével elbomlik elektronra anti-el-neutrinóra és mű-neutrinóra: A tapasztalat szerint a müon ezen rövid élettartama alatt 20 30 km utat megtesz A kozmikus sugárzásból eredő müonok a sztratoszférában keletkeznek a Föld felett 20 30 km magasságban és eljutnak a Föld felszínére mielőtt elbomlanának Egyszerű szorzással meggyőződhetünk arról 2 A természetben kétfajta neutrínó létezik: az el-neutrinó a radioaktív béta-bomlásban keletkezik a pozitronnal együtt a mű-neutrinó pedig a pí-mezon bomlásakor a müonnal együtt Az elnevezés az elektron-neutrínó illetve a müon-neutrinó rövidítéséből keletkezett Az antineutrinó az elektron antirészecskéje A kvantumelméletben majd tanulunk arról hogy az ún feles-spinű részecskéknek (az ún fermionoknak) van antirészecskéjük Az elektron antirészecskéje a pozitron 19

A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI hogy ennyi idő alatt még akkor sem tudnák megtenni ezt a távolságot ha fénysebességgel mozognának valójában pedig ennél valamivel kisebb sebességgel mozognak Ugyanis A látszólagos ellentmondás magyarázata kézenfekvő: a s élettartam a müon nyugalmi élettartama A laboratóriumi koordináta-rendszerhez képest a müon nagy sebességgel mozog ezért (6112) alapján élettartama ebben a rendszerben nem s hanem ahol a müon sebessége Így az általa megtett út: Mivel megközelíti a fénysebességet a megtett l út valójában 20 30 km A jelenség értelmezhető a müonnal együtt mozgó koordináta-rendszerben is Ekkor az l út rövidül meg -szeresére Sebesség-összetevés Tekintsük ismét a K és K' két inerciarendszert amelyek a közös x x' tengely mentén mozognak egymáshoz képest fel hogy a K' rendszerben mozog egy tömegpont sebességgel (70 ábra) Tegyük sebességgel A pálya paraméteres egyenletrendszere: ((621) egyenlet) 20

A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI 70 ábra - A sebességkomponensek: ((622) egyenlet) A tömegpont mozgását a K rendszerben az ((623) egyenlet) egyenletrendszer írja le A K rendszerben mért sebességkomponensek: ((624) egyenlet) A klasszikus mechanika szerint a tömegpont K-beli V sebessége a K'-ben mért V' sebességnek és a K' vonatkoztatási rendszer sebességének az összege: ((625) egyenlet) amely komponensekkel felírva: ((626) egyenlet) A relativitáselmélet szerint nem ilyen egyszerű a sebességek összeadása mert a (625) illetve (626) képletek abban az esetben lennének érvényesek ha az idő nem transzformálódna amikor az egyik inerciarendszerről egy másikra áttérünk Mivel a Lorentz-transzformáció szerint az idő is transzformálódik a valóságban nem a (625) (626) képletek adják helyesen a sebesség-összetevés szabályát Az érvényes képleteket a Lorentz-transzformáció felhasználásával kapjuk 21

A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI E célból képezzük a (608) transzformációs képletek differenciáljait: ((627) egyenlet) Ezek valamint (622) segítségével (624) a következőképpen írható: ((628) egyenlet) Ezeket a képleteket Einstein-féle sebesség-összetevési képleteknek nevezzük Látható hogy (628) akkor egyezik meg a klasszikus (626) képletekkel ha és kicsi a c fénysebességhez képest Ebben a határesetben a és a nevezők második tagja elhagyható az 1 mellett Az itt levezetett relativisztikus képletek helyességét bizonyítja a Fizeau-kísérlet Fizeau megmérte a fénysebességet áramló vízben és azt találta hogy a fénysebesség az áramlás irányában: ha u a fény sebessége a nyugvó vízben Fizeau-féle eredményt kapta a víz áramlási sebessége a víz törésmutatója Később Zeeman megismételte a kísérletet és a Tegyük fel hogy a víz az x tengely irányában áramlik A K rendszer legyen a nyugvó csőhöz rögzített koordináta-rendszer K' pedig a vízzel együtt mozgó A K' rendszerben a fény sebessége A nyugvó csőhöz viszonyított fénysebesség (628) első képlete szerint Mivel igen kicsi szám kifejezése így írható jó közelítéssel: 22

A RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAI ((629) egyenlet) Ez pedig megegyezik a Fizeau-kísérlet eredményével A Fizeau-kísérlet tehát a relativisztikus sebesség-összetevés képletét igazolja A sebesség-összetevés (628) képletéből érdekes következmény adódik Tegyük fel hogy a K'-ben mért sebesség megegyezik a c fénysebességgel Mivel ehhez hozzájárul a K' rendszer sebessége logikusan azt várnánk hogy a K-ban mért sebesség túllépi a fénysebességet Ez ellentmondana annak a korábbi megállapításunknak hogy a c fénysebesség határsebesség és azt semmilyen sebesség nem lépi túl A (628) első képletébe történő helyettesítés azonban meggyőz bennünket arról hogy nem lép fel ilyen ellentmondás: Az Einstein-féle sebesség-összetevési szabály tehát megegyezésben van azzal a kiindulásul szolgált feismeréssel hogy a fény sebessége minden inerciarendszerben ugyanaz a c érték; az semmilyen sebesség-összetevéssel nem növelhető 23

9 fejezet - A MINKOWSKI-FÉLE NÉGYDIMENZIÓS TÉR A Minkowski-féle négydimenziós tér szerkezete A relativitáselmélet további kifejtése szempontjából igen nagy jelentősége van a Minkowski által bevezetett négydimenziós térnek az ún négyes világnak Ha az x y z három koordinátához hozzávesszük a t időt mint negyedik változót ezáltal egy négydimenziós sokaság keletkezik A sokaságnak egy pontját négy szám az x y z és t értékeinek megadása határozza meg Fizikai szempontból a sokaság pontjai események hely- és időadatait jellemzik Egy tömegpont mozgását (623) szerint ilyen pontok egydimenziós egymásutánja vagyis a négydimenziós sokaság egy vonala ábrázolja E vonal a tömegpont világvonala Az idővel kibővített négydimenziós sokaságot négydimenziós világnak vagy Minkowski-féle négydimenziós térnek nevezzük Mivel a természetben végbemenő mozgások mindig a háromdimenziós térben és időben mennek végbe a fizikai események színtere nem a háromdimenziós tér hanem az idővel mint negyedik dimenzióval kibővített négyes világ A klasszikus fizikában az időnek kitüntetett szerepe van nem transzformálódik midőn egyik inerciarendszerről a másikra áttérünk Ezért a klasszikus fizika a teret és az időt egymástól különválasztva tekintette A relativitáselmélet az egyidejűség relativitásának felismerésével megszüntette az idő abszolút jelentését és megállapította hogy a háromdimenziós tér és az idő a fizikai események számára nem tekinthető külön hanem együtt; hiszen mindegyik transzformálódik egyik sem abszolút A kettő egyesítésével létrejött négydimenziós világnak van abszolút jelentése A speciális relativitáselméletben az inerciarendszereknek alapvető szerepük van: a természettörvények az inerciarendszerekben érvényesek és azok között egy sincs kitüntetve a természetleírás szempontjából valamennyi egyenértékű Az inerciarendszerek egymáshoz képest egyenes pályán és állandó sebességgel mozognak Fizikai jellemzésükhöz a tér önmagában nem elegendő azok térben és időben egyenletesen mozognak A tér és az idő tehát már az alapvetésnél egybekapcsolva jelenik meg A térnek és az időnek egybekapcsolása a fizika dinamikus a mozgást természetes állapotnak tekintő jellegével függ össze és merőben szemben áll a sztatikus ókori fizikával Az időnek mint negyedik dimenziónak a háromdimenziós térhez kapcsolása tehát nem formális hanem mély fizikai tartalommal rendelkezik A későbbiekben látni fogjuk hogy éppen ez teszi lehetővé a tér és az idő közötti fizikai összefüggések pontos matematikai leírását A Minkowski-féle négyes világ geometriai szerkezetének a megismeréséhez első lépésként értelmeznünk kell a négydimenziós térre jellemző metrikát Ezen olyan összefüggést értünk amely meghatározza a tér két pontja: (x1 y1 z1 t1) és (x2 y2 z2 t2) közötti távolságot A keresett összefüggés a háromdimenziós tér megfelelő képletének a relativitáselvből adódó általánosításával nyerhető A klasszikus fizika háromdimenziós tere euklideszi két pont távolságát a ((631) egyenlet) képlet határozza meg A d12 hosszúságnak legfontosabb sajátsága az hogy invariáns a koordináta-rendszer elforgatásával szemben 24

A MINKOWSKI-FÉLE NÉGYDIMENZIÓS TÉR A négydimenziós tér (x1 y1 z1 t1) és (x2 y2 z2 t2) pontjai közötti távolságot jelöljük s12-vel Kézenfekvő megkövetelnünk hogy az képlete tartalmazza a (63l)-ben fellépő tagokat és ezenkívül még egy tagot a negyedik dimenzióra vonatkozóan Alapvető követelmény hogy s12 legyen invariáns a Lorentz-transzformációval szemben E követelményeknek (607) szerint eleget tesz az ((632) egyenlet) kifejezés (632) helyett szokás az (x y z t) és az (x + dx y + dy z + dz t + dt) végtelen szomszédos pontok közötti távolságra vonatkozó ((633) egyenlet) képletet használni A (632) illetve (633) által definiált metrika jellemzi a speciális relativitáselmélet Minkowski-féle négyes terét A háromdimenziós euklideszi tér távolságnégyzetét előállító (631) kifejezéssel összehasonlítva szembetűnő az utolsó tag előtti negatív előjel A Minkowski-féle négydimenziós tér tehát nem euklideszi hanem ún pszeudo-euklideszi 2 Az időkoordináta négyzete előtti negatív előjel miatt illetve ds nem pozitív definit hanem lehet pozitív negatív vagy zérus Ennek megfelelően a Minkowski-féle négyes tér vektorait vagy elmozdulásait három csoportba lehet sorolni A következőkben ezek tulajdonságait vizsgáljuk meg az infinitezimális négyes elmozdulás példáján 2 a) Ha ds > 0 akkor a (dx dy dz dt) elmozdulást térszerűnek nevezzük Könnyen belátható hogy ez az elmozdulás alkalmasan megválasztott Lorentz-transzformációval a ((634) egyenlet) alakra hozható Abban az inerciarendszerben amelyben az elmozdulást (634) írja le a két végponthoz tartozó események egyidejűek Más inerciarendszerben azonban dt általában zérustól különböző és a koordináta-rendszertől függően pozitív vagy negatív lehet Ennélfogva az elmozdulás végpontjaihoz tartozó események időbeli sorrendje a koordináta-rendszertől függően más lehet 2 2 b) Ha ds > 0 akkor a (dx dy dz dt) elmozdulást időszerűnek nevezzük Alkalmasan megválasztott Lorentz-transzformációval a ds < 0 elmozdulások ((635) egyenlet) alakra hozhatók Az ilyen elmozdulások jellegzetes sajátsága hogy az időkomponens előjelét a transzformáció nem változtatja meg Ebben az esetben az elmozdulás végpontjaihoz tartozó események időbeli sorrendje invariáns a Lorentz-transzformációval szemben A leggyakoribb példa az időszerű elmozdulásokra a fénysebességnél kisebb sebességgel mozgó részecske világvonalának ds eleme Ugyanis 25

A MINKOWSKI-FÉLE NÉGYDIMENZIÓS TÉR ((636) egyenlet); ahol és mivel A pontszerűnek tekintett fizikai részek (a fénykvantum és a neutrinó kivételével) a vákuumbeli fénysebességnél kisebb sebességgel mozognak ezért világvonaluk olyan görbe amelynek minden eleme időszerű A (635) szerint van olyan koordináta-rendszer amelyben a világvonal elemének megfelelő (dx dy dz dt) elmozdulás ((637) egyenlet) alakú Ebben a koordináta-rendszerben a részecske sebessége zérus ezért ezt a részecske nyugalmi rendszerének nevezzük A részecske nyugalmi rendszere csak abban az esetben ugyanaz minden időben ha a világvonal egyenes vagyis ha egyenes vonalú egyenletes mozgásról van szó Egyébként a nyugalmi rendszer pillanatról pillanatra változik Ezért helyesebb a pillanatnyi nyugalmi rendszerről beszélni dτ a (6113)-ban definiált sajátidőtartam amely ds-sel a következő kapcsolatban van: ((638) egyenlet) 2 c) Ha ds = 0 akkor az elmozdulást nullelmozdulásnak vagy nullvektornak nevezzük A nullelmozdulásnak bármely koordináta-rendszerben van legalább egy el nem tűnő térszerű és zérustól különböző időszerű komponense A (636) összefüggésből látszik hogy a vákuumbeli fénysebességgel mozgó részecske világvonalának minden eleme nullelmozdulás A fénykvantum (az ún foton) világvonala ilyen tehát Mivel a fény állandó sebességgel terjed a világvonala egyenes vonal amelynek nemcsak végtelen kis elemei hanem bármely véges része is nullvonal Az O világpontból különböző irányokba kiinduló fényvilágvonalak egy hiperkúpfelületet alkotnak; ezt nevezzük fénykúpnak (71 ábra) Az O-ból kiinduló t > 0-nak megfelelő részt pozitív fénykúpnak a t < 0-nak megfelelő részt negatív fénykúpnak nevezzük 26

A MINKOWSKI-FÉLE NÉGYDIMENZIÓS TÉR 71 ábra - A fénykúp a Minkowski-féle négyes teret a következő három részre osztja: I A pozitív fénykúp belseje a palást pontjaival együtt Tehát azon PI pontok összessége amelyekre vonatkozóan az nem pozitív és időkomponense pozitív vagyis vektor hosszának négyzete II A negatív fénykúp belseje a palást pontjaival együtt Azon PII pontok összessége tehát amelyekre vonatkozóan az nem pozitív de az időkomponense negatív: ; III A Minkowski-féle négyes tér fénykúpon kívüli része Azon PIII pontok összessége tehát amelyekre az vagyis vektor hosszának négyzete 27 vektor hosszának négyzete pozitív

A MINKOWSKI-FÉLE NÉGYDIMENZIÓS TÉR Mivel a relativitás elve szerint az O pontból kiinduló bármilyen hatás legfeljebb fénysebességgel terjedhet az csak az I tartomány PI pontjait érheti el Másrészt csak a II tartomány PII pontjaiból kiinduló hatások érhetik el az O pontot Ezzel szemben az O pont és a III tartomány PIII pontjai között semmilyen ok-okozati összefüggés nincs Más szóval: az O pontból kiinduló hatások a PIII pontokat nem érik el és ez megfordítva is igaz Általános Lorentz-transzformáció A Minkowski-féle négydimenziós tér bevezetése után foglalkozzunk azokkal a legáltalánosabb transzformációkkal amelyek az egyik inerciarendszerről a másikra való áttérést teszik lehetővé A (607) (608) transzformációk ugyanis speciálisak abban az értelemben hogy a tengelyek speciális választása miatt y és z nem transzformálódik Most meg akarunk szabadulni ettől a korlátozástól is Minkowski nyomán bevezetjük a következő jelöléseket: ((641) egyenlet) A Minkowski-féle négydimenziós tér OP távolságának négyzete e jelölésekkel: ((642) egyenlet) Tekintsünk két inerciarendszert Az egyiket jelöljük K-val a másikat K'-vel Valamely pontszerű esemény hely- és időkoordinátáit jelöljük x1 x2 x3 x4gyel illetőleg x'1 x'2 x'3 x'4-vel A keresett transzformáció kapcsolatot teremt a vesszős és vesszőtlen koordináták között E kapcsolatnak olyannak kell lennie hogy a két inerciarendszer a fizikai jelenségek leírása szempontjából egyenértékű legyen Két vonatkoztatási rendszert akkor tekintünk egyenértékűnek ha 1 az egyenes vonalú egyenletes mozgás a transzformáció során ugyanilyenbe megy át Ez geometriailag azt jelenti hogy a transzformáció a négydimenziós tér K rendszerbeli egyenesét a K'-beli egyenesbe viszi át 2 2 s invariáns marad vagyis ((643) egyenlet) Ezt a második követelményt arra alapozzuk hogy a fénysebesség mindkét vonatkoztatási rendszerben ugyanaz a c érték Ebből közvetlenül adódik hogy -nak -ba kell átmennie Ezt mi a (643) alakba általánosítottuk Az 1 és 2 feltételt kielégítő transzformációkat nevezzük általános Lorentz-transzformációknak 28