Mechanikai hullámok 1) Alapfogalmak A rugalmas közegekben a külső behatás térben tovaterjed. Ezt nevezzük mechanikai hullámnak. A hullám lehet egy-, két- vagy háromdimenziós, mint például kifeszített húr rezgése (egy dimenzió), vízhullámok (két dimenzió) vagy hanghullámok (három dimenzió). Két- és háromdimenziós hullámok esetén az azonos rezgés állapotú, azonos fázisú pontokat összekötő görbét hullámfelületnek nevezzük. A hullámforrástól legtávolabbi hullámfelületet hullámfrontnak nevezzük. Alakjuk szerint a hullámfrontok lehetnek, körök (vízbe dobott kő), gömb alakúak (hanghullámok) vagy párhuzamos síkok, síkhullámok esetén. A kör alakú hullámok nagy távolságra a hullámforrástól és kis részüket tekintve jó megközelítéssel síkhullámoknak tekinthetők. A hullám terjedési iránya a hullámfrontra merőleges egyenes. A hullámforrástól távolságra lévő pont, csak bizonyos idő elteltével kezd rezegni. A távolságnak és az időnek a hányadosa a hullám terjedési sebessége. Egy hullám periodikus, ha a hullámforrás rezgése periodikus. Jellemző mennyiségei: terjedési sebesség, amplitúdó, frekvencia, periódus, körfrekvencia (szögsebesség), hullámhossz. A hullám amplitúdója egyenlő a közeg részecskéinek legnagyobb kitérésével az adott helyen. A csillapítatlan, egydimenziós hullám amplitúdója független a helytől és egyenlő a hullámforrás rezgésének amplitúdójával. A hullám frekvenciája egyenlő a hullámforrás frekvenciájával, azzal a kikötéssel, hogy a hullámforrás és megfigyelő nyugalomban van. A közvetítő közeg részecskéi a hullámforrás rezgését ismétlik, bizonyos késéssel. A két legközelebbi, azonos rezgési állapotú részecske közötti távolság a hullámhossz. Másképp fogalmazva az a távolság melyet a hullám egy periódus idő alatt tesz meg. Jele: (lambda). A hullám harmonikus (szinuszos), ha a hullámforrás kitérés-idő függvénye szinuszos. ) A síkhullám egyenlete A következőkben meghatározzuk egy hullámforrástól távolságra lévő részecske kitérés egyenletét és grafikusan ábrázoljuk az idő függvényében. Feltételezzük, hogy a hullámforrás rezgésegyenlete: =sin =sin 1 Az távolságot terjedési sebességgel teszi meg: idő alatt. Tehát az távolságra lévő pont ugyanakkora amplitúdóval, frekvenciával, de az időkésés miatt egy: = = fáziskéséssel fog rezegni a hullámforráshoz képest. Kitérésegyenlete tehát: Mechanikai hullámok 1
=sin sin sin 3 3) Tranzverzális és longitudinális hullámok Aszerint, hogy a hullámzó közeg részecskéi milyen irányú mozgást végeznek a hullám terje- a terjedési dési irányához képest, vannak tranzverzális hullámok, ahol a közeg részecskéi irányra merőlegesen rezegnek és longitudinális hullámok, ahol a közeg részecskéi a terjedési iránnyal megegyező irányú rezgéseket végeznek. Longitudinális hullámok például a hanghultranzverzális pél- lámok, ahol a levegő sűrűsödése és ritkulása a terjedés mechanizmusa, és dául, amikor egy kifeszített kötél egyik végét a kötél irányára merőlegesen rezegtetjük. 4) A hullámok terjedése 4 Homogén izotrop közegben a terjedés iránya nem változik, a hullám egyenes vonalban terterjedő tranzverzá- jed. A terjedési sebesség a közeg tulajdonságaitól függ. Kifeszített húrban lis hullámok sebessége például a feszítőerőtől, a húr tömegétől és a hosszától függ a követ- kező összefüggés szerint: ahol a feszítőerő, a húr hossza és a húr tömege. A 4-as csak a húrra vonatkozó mennyi- Longitu- ségeket tartalmaz, tehát a terjedési sebesség nem függ a hullámforrás jellemzőitől. dinális hullámok esetén a terjedési sebesség függ a közeg anyagi minőségétől: 5 ahol a közeg rugalmassági modulusza és a közeg anyagának sűrűsége. Huygens egyszerű módszert dolgozott ki a hullámfrontok megszerkesztésére. Elve a követketovahaladó új hul- ző: A hullámfelület minden pontja új elemi rezgésforrásnak tekinthető. A lámfront a keletkező elemi hullámok közös érintője, burkoló görbéje. Az alábbi ábra síkhul- feke- lám esetén szemlélteti ezt az elvet: A t0 időpillanatban, tével jelölt hullámfront min- den egyes pontja új elemi hullámforrásnak tekinthető, melyekbőll kör alakú hullá- ki. t idő alatt mok indulnak ezek a hullámok hullámfront- Mechanikai hullámok
5) Hullámok visszaverődése ja egy vt sugarú kör. A körök közös érintője egy az eredeti hullámfronttal párhuzamos egye- nes lesz. Tegyük fel, hogy egy hullám két olyan közeg határára érkezik, melyekben a terjedési sebesség eltérő. Egy része átlép a második közegbe (törést szenvisszatér az eredeti ved), a másik része közegbe (visszaverődés). A rajzon vilá- a beeső hul- goskékkel van ábrázolva lám (és hullámfront) ), mely α szöget zár be a beesési merőlegessel. A beeső hullám az A pontbann érinti először a második közeget. Ebben a pillanatban a hullámfront másik széle a B pontban van. Ahhoz, hogy ez is elérje a két közeg határvonalát t időre van szüksége. A t idő alatt v1t utat tesz meg, amely egyenlő a BB távolsággal. Időközben az A pont részecskéi, mint elemi hullámforrás viselkednek és a belőle kiinduló hullámok is v1t utat tesznek meg, az AA távol- pedig visz- ságot. Az új hullámfront a B A lesz és visszavert hullámnak nevezzük, a jelenséget szaverődésnek. Mivel ' egybevágó a '' -el, következik, hogy ' * ' ' * és a merőleges szárú szögek egybevágóságából következik, hogy az ) beesési szög kongruens az ) visszaverődési szöggel. Ez a visszaverődés törvénye. 6) Hullámok törése sin'' * '' ' 0 ' =sin) é sin' * '. Kezdeti időpontnak tekintsük az, amikor a beeső hullám eléri az A pontot. Huygens szerint az A pont elemi hullámforrásként működik és az általa keltett elemi hullám terjed a második közegben. Tételezzük fel, hogy a második közegben a terjedési sebes- míg a beeső hul- ség. / 0 és t idő alatt, lám eléri a B pontot a második közegben a hullám vt utat tesz meg. Az új hullámfront ebben a pillanatban az A B. Az AB közös oldalt kifejezve az ABB éss AB A háromszö- gekből következik, hogy: ' sin n5 6 Mechanikai hullámok 3
A 40-es összefüggésben kifejezzük mindkét egyenlőségből a közös AB átfogót és egyenlővé tesszük a két kifejezést: ' 7 = 0 sin) =. sin5 89 sin) sin5 = 0. 7 Mivel egy közeg törésmutatója egyenlő a fénysebesség értéke légüres térben osztva a fénysebesség értéke az adott közegben ;=</, ezért a 41-es töréstörvény írható: sin) sin5 = 0. = < ; 0 < ;. = ;. ; 0 =;.0 8 ahol ;.0 -et a kettes közeg egyes közeghez viszonyított relatív törésmutatójának nevezzük. A hullámok visszaverődése és törése hasonló a már tanult fény visszaverődéséhez és töréséhez, hiszen a fény is hullám-természetű. 7) Hullám interferencia Rugalmas kötél két végéről indított hullámok zavartalanul áthaladnak egymáson. Találkozásuk helyén az eredő kitérés a két hullám által létrehozott kitérések vektori összegével egyenlő. Azt a tényt, hogy hullámok találkozásánál, mindegyik hullám létrehozza a saját kitérését, mintha csak egyedüli hullám lenne, az eredő kitérés pedig az egyes kitérések vektori összege, szuperpozíció elvnek is nevezzük. A jelenség hasonló a dinamikában tanult esettel, amikor egy testre több erő hat és az eredő hatás az egyes erők hatásainak vektori összegével egyenlő. A hullámok találkozását hullám interferenciának nevezzük. Időben állandó, jól észlelhető interferencia jön létre azonos frekvenciájú állandó fáziseltérésű hullámok szuperpozíciója esetén. Az ilyen hullámokat koherens hullámoknak nevezzük. A közeg adott pontjában kialakuló eredő rezgés amplitúdóját és fázisát a harmonikus rezgések összetételénél tanultak szerint kiszámíthatjuk feltéve, hogy a hullámok harmonikusak és a rezgések adott pontban egy egyenes mentén mennek végbe (tranzverzális hullámok esetén). Tételezzük fel, hogy két koherens, azonos fázisban rezgő hullámforrás kitérésegyenlete: 0 =sin é 0 =sin 9 Tanulmányozzuk az eredő hullám kitérését egy P pontban, amely az első hullámforrástól 0 távolságra, a másodiktól pedig. távolságra található. Alkalmazzuk a síkhullám egyenletét mindkét hullámra: 0A =sin 0 é.a =sin. 10 Az eredő kitérés, felhasználva a Mechanikai hullámok 4
sin)+sin5=cos ) 5 sin )+5 11 trigonometriai kifejezést:. 0 A =<E sin.+ 0 =<E. 0 sin.+ 0 Az utolsó egyenlet szerint az eredő amplitúdó a cos függvény argumentumától függ: vagy: <E. 0 =±1. 0 =G. 0 =G 89 =G (1) A 46-ban = (hullámhossz) egyenlőséget és =. 0 útkülönbség jelölést használtam. A k egy pozitív egész szám, értékei k=0,1,,3. Tehát a P pont rezgéseinek amplitúdója maximálisan A és akkor következik be, ha az útkülönbség egyenlő a hullámhossz egész számú többszörösével. A fentiekből következik, hogy a hullámok maximálisan gyengítik egymást (egyenlő amplitúdók esetén kioltják egymást), ha az útkülönbség 8) Állóhullámok =(G+1) λ (13) Egy l hosszúságú kötél végét egy falhoz rögzítjük, a másik végéből szinuszhullámot indítunk el. Vizsgáljuk meg a hullámforrástól x távolságra lévő P pontban a kitérést. A P pontban két hullám tevődik egymásra: a beeső hullám és a falról ellentétes fázisban visszaverődött hullám. A beeső hullám egyenlete a P pontban: A visszavert hullám egyenlete pedig: =sin (14) 7 =sinl +M= sin (15) A 49-ben felhasználtam a sin()+)= sin) egyenlőséget. A két kitérés eredője: Felhasználva a A =+ 7 =Lsin sin M Mechanikai hullámok 5
trigonometriai egyenlőséget, kapjuk: sin) sin5=sin ) 5 cos )+5 A =sinn ( ) OcosL M (16) Az 50-ből látszik, hogy a elejétől x távolságra lévő P pontban lévő részecskék harmonikus rezgőmozgást végeznek, időben állandó amplitúdóval. Az amplitúdó nagysága a sin függvény argumentumától függ, amely az l-x távolságtól függ. Azokat a pontokat ahol az eredő amplitúdó maximális orsópontoknak nevezzük, ahol pedig minimális (zéró) csomópontoknak nevezzük. Az orsópontok létének feltétele tehát: ( ) =(G+1) 89 ( ) = ( ) =(G+1) (17) Az 51-ből következik, hogy: ( )=(G+1) 4 (18) Az első orsópont tehát k=0 esetén P távolságra van a kötél szélétől, a következő k=1 esetén Q RP távolságra és így tovább. Két orsópont közötti távolság P. Csomópontok létének feltétele: Q. ( ) Az 51-ből következik, hogy: =G 89 ( ) = ( ) =G (19) ( )= G (0) Általános esetben a hullám többször is visszaverődhet és a csomópontok és orsópontok helye változhat. Ebben az esetben a hullámok sehol sem oltják ki egymást teljesen (nincs csomópontunk). Ha olyan kötelünk (húrunk) van, amely mindkét végén rögzített, akkor mindkét végén csomópontja van. Lehetséges, hogy mindig ugyanott legyenek a csomópontok, de csak akkor, ha a kötél hossza =G (1) Mechanikai hullámok 6
, vagyis a kötél hossza egész számú csomópontot kell tartalmazzon. Ebben az esetben egy pont kitérésének maximuma időben állandó, ún. állóhullámok jönnek létre. Ha az 55-ben k=1, akkor a húron két csomópont keletkezik (a két végén) és egy orsópont a közepén. Ha k=, akkor három csomópont és két orsópont keletkezik, és így tovább. Ha k=1, akkor azt mondjuk, hogy a húr alapfrekvenciája szerint rezeg. Ha k>1, akkor azt mondjuk, hogy felharmonikus rezgések keletkeznek. Ezeknek a felharmonikusoknak a frekvenciája az alapfrekvencia egész számú többszöröse. S=G () ahol v a hullám terjedési sebessége, l a húr hossza és k=1,,3 egész szám. k=1 értékre megkapjuk az alapfrekvenciát és a többi értékre a felharmonikusait. 9) Hullámelhajlás Tekintsünk egy AB rést, melyre merőlegesen esik be egy síkhullám. Az AB hullámfelületet úgy foghatjuk fel, mint sűrűn elhelyezkedő azonos fázisú pontszerű hullámforrások. Ilyen esetben a legerősebb hullámzás a résre merőleges irányban jön létre. Ez a jelenség magyarázza a hullám egyenes vonalú terjedését. Ettől az iránytól jobbra és balra is haladnak hullámok, de ezek intenzitása sokkal kisebb. Azt a jelenséget, hogy a hullámok behatolnak az árnyéktérbe is elhajlásnak nevezzük. Az intenzitás eloszlást a hullám terjedési irányával bezárt α szög függvényében a csatolt grafikon mutatja. Az α nagyon kis értékeire az intenzitás nagy, míg nagyobb értékekre az intenzitás elenyésző. 10) Szeizmikus hullámok Eddig még nem tisztázott okokból a Föld belsejében 700km mélységig idővel óriási feszítőerők halmozódnak fel. Az erők következményeképpen hirtelen szakadások és elmozdulások jönnek létre a Föld mélyében. Az a helyet ahol létrejönnek, hipocentrumnak nevezzük. A földmozgás a kőzetek rugalmassága következtében szeizmikus hullám alakjában tovaterjed. Ahol a hipocentrumból induló, a Föld felületére merőleges egyenes metszi a felszínt ott van Mechanikai hullámok 7
a rengés epicentruma. A szeizmikus hullám áthaladását a Föld felszínén, egyszerűen földrengésnek nevezzük. A hipocentrumból a rengések tranzverzális és longitudinális hullámok formájában terjednek minden irányban. A tranzverzális hullámok nem terjednek a Föld folyékony magjában (megközelítőleg 0,65R F, ahol R F a Föld sugara), a longitudinális hullámokat pedig lencseszerűen fókuszálja az epicentrummal szemben levő oldalra. A szeizmikus hullámok terjedésekor figyelembe kell venni, hogy visszaverődnek, megtörnek és elnyelődnek. Az emberek földrengésmérő műszereket fejlesztettek ki, melyek érzékenyek a földkéreg mozgásaira és grafikusan ábrázolják ezeket. A rengések sebességének mérése is fontos, mivel a longitudinális és tranzverzális hullámok terjedési sebességének különbségét mérve meghatározható a rengés hipocentruma. Így feltérképezhető a Föld belseje, megjelölhetők a földrengés-veszélyes területek, új információkra tehetünk szert a Föld felépítésével kapcsolatosan. A hang 11) Akusztika A hang fogalma az emberi hangérzettel kapcsolatos. A hangok longitudinális mechanikai hullámok, melyeket egy hangforrásnak nevezett rezgéseket végző test hoz létre. Az ember számára hallható hangok frekvenciája nagyjából 0-0000Hz között van, de egyénenként változik. A 0Hz alatti hangokat infrahangoknak, a 0000Hz feletti hangokat pedig ultrahangoknak nevezzük. A hanghullám terjedéséhez mindig szükséges egy terjesztő közeg, légüres térben nem terjed. A (longitudinális) hullámokra vonatkozó jelenségek, szabályok a hanghullámokra is érvényesek. Lássunk néhány hanghullámokra jellemző tulajdonságot: A hallható hang tulajdonságainak egy része a hangot jellemző fizikai mennyiségekkel, másik része a hangérzékelő szervünk sajátosságaival magyarázható. Három fizikai mennyiség jellemzi a hallható hangokat: hangmagasság, hangerősség és hangszínezet. A hangmagasságot kizárólag a hang frekvenciája határozza meg. Mivel egy alaphangot mindig felharmonikusai is kísérnek, ezért egyezség szerint hangmagasságon az alaphang ( tiszta hang ) frekvenciáját értjük. A zenében a hangokat frekvenciájuk szerint skálákba osztják. Két alaphang frekvenciáinak arányát hangköznek nevezzük. A hangközök oktávnak nevezett távolságok után ismétlődnek. A hangokat összesen 10 oktávba sorolták. A fülünkhöz eljutó hangerősséget kétféleképpen jellemezhetjük: a) a hangintenzitás az egységnyi idő alatt egységnyi felületre jutó energiát fejezi ki. Mivel a fület érő hangok intenzitása nagyságrendben is eltérő, bevezették a logaritmikus skálát. Összehasonlításként az éppen még hallható 1000Hz frekvenciájú hangot tekintik (I 0 =10-1 W/m ). Tehát: T=9 U U V (3) Mechanikai hullámok 8
ahol, L-intenzitásszint mértékegysége a bel (jele B) vagy decibel (jele db, 1dB=0,1B). Például 100dB azt jelenti, hogy a hang intenzitása: 100W'=10'=9 U U V U=U V 10 0V =10 X. Y. (4) b) Mivel a két azonos intenzitásszintű, de különböző frekvenciájú hang, különböző erősségű hangérzetet okoz, szükséges egy olyan mértékegység is mely ezt a frekvenciafüggést figyelembe veszi. Alapul az 1000Hz frekvenciájú hangot választották. Adott frekvenciájú hang hangossága egyenlő annak az 1000Hz frekvenciájú hangnak az intenzitásával, amelyet a tanulmányozott hanggal egyenlő erősségűnek hall a normális fül. A hangszínezetet az alaphang mellett megjelenő felharmonikusok adják. Például ugyanaz a 440Hz frekvenciájú hang másképp szól zongorán és másképp hegedűn. Ez azért van, mert az alaphang mellett megjelenő felharmonikusok száma és intenzitása különböző a két hangszeren. Ha a hang nagyszámú összetevőt, sok apró hangközt tartalmaz, akkor zajnak nevezzük. 1) Ultrahang felhasználási területek Mechanikai hullámok 9