Függvének 7 8. évfolam Szerkesztette: Orosz Gula 016. december 1.
Technikai munkák (MatKönv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó András, Kalló Bernát, Szabó Péter, Szoldatics József Budapesti Fazekas Mihál Gakorló Általános Iskola és Gimnázium 108 Budapest, Horváh Mihá tér 8. http://matek.fazekas.hu/ 005 / 015
Tartalomjegzék Feladatok 3 1. Grafikonok.......................................... 3. Geometriai transzformációk................................. 13 3. Geometriai transzformációk (teszt)............................. 19. Lineáris függvén....................................... 3 5. Lineáris függvén (teszt)................................... 31 6. Abszolútérték függvén................................... 37 7. Abszolútérték függvén (teszt)............................... 3 8. Másodfokú függvén..................................... 7 9. Másodfokú függvén (teszt)................................. 53 10. Racionális törtfüggvén................................... 57 11. Racionális függvén (teszt)................................. 61 1. Négzetgök függvén.................................... 65 13. Négzetgök függvén (teszt)................................ 69 1. Előjel, törtrész, egészrész.................................. 71 15. Előjel, törtrész, egészrész (teszt).............................. 73 16. Függvéntranszformációk.................................. 75 17. Függvéntranszformációk (teszt).............................. 83 18. Összetett függvének..................................... 89 19. Összetett függvének (teszt)................................. 95 0. Tulajdonságok, műveletek.................................. 97 1. Tulajdonságok, műveletek (teszt).............................. 103. Grafikus megoldás...................................... 109 3. Grafikus megoldás (teszt).................................. 113. Függvénkapcsolatok..................................... 115 5. Függvénkapcsolatok (teszt)................................ 11 6. Veges feladatok....................................... 15 7. Lineáris programozás..................................... 131 Segítség, útmutatás 133 1. Grafikonok.......................................... 133. Geometriai transzformációk................................. 133 3. Geometriai transzformációk (teszt)............................. 133. Lineáris függvén....................................... 133 5. Lineáris függvén (teszt)................................... 133 6. Abszolútérték függvén................................... 133 7. Abszolútérték függvén (teszt)............................... 133 8. Másodfokú függvén..................................... 133 9. Másodfokú függvén (teszt)................................. 133 10. Racionális törtfüggvén................................... 133 11. Racionális függvén (teszt)................................. 13 1. Négzetgök függvén.................................... 13 1
13. Négzetgök függvén (teszt)................................ 13 1. Előjel, törtrész, egészrész.................................. 13 15. Előjel, törtrész, egészrész (teszt).............................. 13 16. Függvéntranszformációk.................................. 13 17. Függvéntranszformációk (teszt).............................. 13 18. Összetett függvének..................................... 13 19. Összetett függvének (teszt)................................. 13 0. Tulajdonságok, műveletek.................................. 13 1. Tulajdonságok, műveletek (teszt).............................. 13. Grafikus megoldás...................................... 13 3. Grafikus megoldás (teszt).................................. 135. Függvénkapcsolatok..................................... 135 5. Függvénkapcsolatok (teszt)................................ 135 6. Veges feladatok....................................... 135 7. Lineáris programozás..................................... 135 Megoldások 137 1. Grafikonok.......................................... 137. Geometriai transzformációk................................. 137 3. Geometriai transzformációk (teszt)............................. 137. Lineáris függvén....................................... 138 5. Lineáris függvén (teszt)................................... 138 6. Abszolútérték függvén................................... 139 7. Abszolútérték függvén (teszt)............................... 139 8. Másodfokú függvén..................................... 10 9. Másodfokú függvén (teszt)................................. 10 10. Racionális törtfüggvén................................... 10 11. Racionális függvén (teszt)................................. 10 1. Négzetgök függvén.................................... 11 13. Négzetgök függvén (teszt)................................ 11 1. Előjel, törtrész, egészrész.................................. 11 15. Előjel, törtrész, egészrész (teszt).............................. 11 16. Függvéntranszformációk.................................. 11 17. Függvéntranszformációk (teszt).............................. 11 18. Összetett függvének..................................... 13 19. Összetett függvének (teszt)................................. 13 0. Tulajdonságok, műveletek.................................. 13 1. Tulajdonságok, műveletek (teszt).............................. 13. Grafikus megoldás...................................... 1 3. Grafikus megoldás (teszt).................................. 1. Függvénkapcsolatok..................................... 15 5. Függvénkapcsolatok (teszt)................................ 15 6. Veges feladatok....................................... 15 7. Lineáris programozás..................................... 15 Alkalmazott rövidítések 19 Könvek neveinek rövidítései................................. 19 Segítség és megoldás jelzése.................................. 19 Hivatkozás jelzése....................................... 19
1. FEJEZET Grafikonok A fejezetben a statisztikai adatokat a KSH kiadvánaiból válogattuk. 1.1. Ábrázoljuk derékszögű koordináta rendszerben az alábbi függvéneket! Rendeljük minden egjegű pozitív egész számhoz a) magát a számot; b) a szám felét; c) a szám háromszorosát; d) a szám ellentettjét; e) a szám abszolút-értékét; f) a szám reciprokát; g) a szám négzetgökét; h) a szám osztóinak a számát; i) a szám pozitív osztóinak a számát; j) a 0-t, ha a szám prím, egébként 1-et; k) azt a számot, ahán betűből áll a szám neve. 1.. Eg kórházi beteg testhőmérsékletét kétóránként megmérték, a kapott értékeket az alábbi táblázatban láthatjuk. idő (óra) 8 10 1 1 16 18 0 testhőmérséklet ( C) 38,5 38,7 39 39,1 38,5 38, 38,1 38 Szemléltessük az adatokat például vonaldiagrammal! (Alkalmazhatunk különböző ábrázolási módokat.) 1.3. Összefüggő adatok szemléltetésére az OpenOffice.org Calc vag a Microsoft Ecel program segítségével többféle diagram-típust, ezeken belül pedig különféle altípusokat is alkalmazhatunk. E programok pl. a következő diagram-lehetőségeket kínálják fel: oszlopdiagram (ezen belül lehetséges altípusok: csoportosított, halmozott és 100 sávdiagram; grafikon; kördiagram; pont-; terület-; perec-; sugár-; felület-; buborék-; árfolam-; henger-; kúp-; piramis-diagramok. a) Eg-eg bemenő adatsorral próbáljuk ki az összes ábrázolási lehetőséget! b) Elemezünk néhán csemegét : 3D-oszlop; vonal térhatással; 100%-ig halmozott terület; torta; robbantott perec stb. c) Adjunk meg olan adatokat, amelek szemléltetésekor valamelik módszer lénegesen előnösebb a másiknál! d) Eges szemléltetési módokkal können manipulálhatjuk a kapott adatokat. Melik diagrammal van erre lehetőség, és hogan? 3
1 fejezet. Grafikonok 1.. Az alábbi táblázatban Budapest jellemző hőmérsékleti adatait tüntettük fel. Hőmérséklet, C 000 003 00 005 közepes 13,9 11,9 11,3 11 maimum 36,9 37,3 33,6 35,1 minimum -10,0-1,5-9,8-10,9 ingadozás a) Töltsük ki a táblázat utolsó sorát! b) Elemezzük a számadatokat! Milen tendenciák figelhetők meg a táblázat alapján? c) Ábrázoljuk vonaldiagramon eg-eg év adatait! d) Ábrázoljuk vonaldiagramon a nég év eg-eg hőmérsékleti jellemzőjét! 1.5. Az alábbi táblázatban a magarországi népesség korcsoportok szerinti eloszlását tüntettük fel (aktuális év január 1-i adatok). Elemezzük a számadatokat! Milen tendenciák figelhetők meg a táblázat alapján? Korcsoport, 000 005 006 ebből férfi, ebből nő, év ezer fő ezer fő ezer fő ezer fő ezer fő 0-50 78 77 5 3 5-9 597 503 91 5 39 10-1 631 599 58 99 85 15-19 68 63 66 30 306 0-8 688 671 3 39 5-9 751 86 816 17 399 30-3 680 753 790 01 389 35-39 61 679 70 356 38 0-757 61 605 300 5 5-9 811 738 695 337 358 50-5 671 779 79 377 17 55-59 618 635 66 307 357 60-6 56 57 567 9 318 65-69 50 7 81 195 86 70-7 3 8 0 161 59 75-79 335 338 31 10 1 80-8 130 5 7 71 156 85-89 97 69 8 3 59 90-33 11 31 a) Hasonlítsuk össze néhán azonos korcsoportban a 000., 005. és 006. évi adatokat! b) Ábrázoljuk mindhárom évben a népesség nagságát a korcsoportok függvénében! (Alkalmazhatunk különböző szemléltetési módokat.) c) Ábrázoljuk uganazon a grafikonon a férfiak és nők számát 006-ban, korcsoportonként! d) Hogan becsülhetjük meg a három adatsor alapján valamel korcsoport lélekszámának természetes fogását? Érdekességképpen mellékeljük a Magarországra bevándorló, illetve a Magarországról kivándorló külföldiek számát korcsoportok szerint. A Magarországra bevándorló külföldiek száma korcsoportok szerint:
1 fejezet. Grafikonok Korcsoport, 1999 00 év - 1 375 136 15-59 15 738 19 53 60-038 195 A Magarországról kivándorló külföldiek száma korcsoportok szerint: Korcsoport, 1999 00 év - 1 78 173 15-59 97 3138 60-85 155 1.6. Az alábbi táblázat az aktuális év január 1-i adatait tartalmazza. Milen tendenciák figelhetők meg a táblázat alapján? Területi egség Népesség, 003., Népesség, 006., Terület, ezer fő ezer fő km Bács-Kiskun mege 55 538 85 Békés mege 396 386 5631 Fejér mege 8 9 359 Hajdú-Bihar mege 55 58 611 Heves mege 35 31 3637 Komárom-Esztergom mege 317 316 65 Pest mege 1106 1160 6393 Somog mege 336 330 6036 Vas mege 67 6 3336 a) Válasszunk ki a felsoroltak közül néhán megét, s ábrázoljuk ezek népességét és területét! (Alkalmazzunk csoportosított oszlopdiagramot a megék területének nagság szerint csökkenő sorrendjében.) b) Ábrázoljuk az eges megéket a népesség-terület grafikonon! c) Mekkora az eges megék népsűrűsége? (Az előző grafikonon közvetlenül összehasonlíthatjuk két mege népsűrűségét. Hogan?) 1.7. Az alábbi táblázatban a különböző típusú oktatási intézméneket elvégzett diákok számát tüntettük fel. Milen tendenciák figelhetők meg a táblázat adatai alapján? Végzettség (ezer fő) 001 003 00 005 8 évfolam 119,3 116,6 118 10,3 gimnáziumi érettségi 38,7 8,3 5, szakközépiskolai érettségi 50,9 6,5,7 3, felsőfokú oklevél 7, 5,8 53,5 57, a) Hán tanuló szerzett középiskolai érettségi bizonítvánt az eges években? b) Az összes megszerzett középiskolai érettségi bizonítván hán százaléka volt gimnáziumi érettségi? 5
1 fejezet. Grafikonok c) Ábrázoljuk az érettségi bizonítvánt szerzett diákok számát az eges években! (Alkalmazhatunk különböző szemléltetési módokat.) d) Határozzuk meg az alap-, közép- és felsőfokú végzettséget szerzett diákok százalékos aránát az összes végzettséget szerző diák számához képest! (Az adatok szemléltetésére alkalmazhatunk például kördiagramot.) 1.8. Az alábbi táblázatban a középiskolai oktatással, neveléssel kapcsolatos adatokat tüntettük fel. Elemezzük az adatokat! Milen tendenciák figelhetők meg a táblázat alapján? febr.01 003/00 máj.0 jún.05 iskolák száma 1576 16 165 169 összes tanuló (nappali + esti tagozat, 1000 fő) 516,1 531, 59 531,1 tanulók száma (nappali, 1000 fő) 0,9 38,1 38,7 1,1 osztálok száma (nappali) 15 83 15 910 16 051 16 17 a) Hán esti tagozatos tanuló járt középiskolai képzésre az eges években? b) Átlagosan hán tanulóra jut eg pedagógus? c) Átlagosan hán tanulóra jut eg osztálterem? d) Menni volt az átlagos osztállétszám az eges években? e) Ábrázoljuk az a) - d) származtatott adatokat az eges években! (Alkalmazhatunk különböző szemléltetési módokat.) 1.9. Az alábbi táblázatban az eges intézmének hallgatóinak számát tüntettük fel (ezer fő). Intézmén febr.01 ápr.03 máj.0 jún.05 Óvoda 3,3 37,5 36 36,6 Általános iskola 97 913 890,6 861,9 Szakiskola 133 13,8 135,3 135 Középiskola 516,1 531, 59 531,1 Felsőfokú iskola 39,3 09,1 1,5, Összesen a) Töltsük ki a táblázat utolsó sorát, pl. az OpenOffice.org Calc vag a Microsoft Ecel programot használva! b) Szemléltessük az eges intézmének hallgatói számának időbeli változását! (Alkalmazzunk különböző ábrázolási módokat!) c) Elemezzük az adatokat! Milen tendenciák figelhetők meg a táblázat alapján? 1.10. András eg táblázatot talált a régi papírjai között. A táblázatban a Magarországon kiadott szépirodalmi könvek számát tüntették fel, a művek műfaja szerint csoportosítva. Sajnos, a táblázat eges celláiba írt számok már elmosódtak, olvashatatlanná váltak, ennek ellenére András sikerrel válaszolt az alábbi kérdésekre. Mik voltak a válaszai? Műfaj 001 00 Példánszám (00, ezer darab) Verses mű, antológia 38 301 396 Regén, elbeszélés 1661 11150 Színmű 63 65 Egéb széppróza 0 198 95 Összesen: 19 6
1 fejezet. Grafikonok a) Hán művet adtak ki összesen 001-ben? b) Hán regén, illetve elbeszélés jelent meg 00-ben? c) Hán százalékkal változott 001 és 00 között a kiadott verses művek, illetve antológiák száma? d) 00-ben az összes kiadott műnek hán százaléka volt regén? e) A nég műfaji kategória közül meliknek volt a legmagasabb a művenkénti átlagos példánszáma 00-ben? 1.11. Az alábbi táblázatban amel, az előző feladatban szereplővel ellentétben, már nem hiános a Magarországon kiadott szépirodalmi könvek számát tüntettük fel, műfajuk szerint csoportosítva. Milen tendenciák figelhetők meg a táblázat alapján? Művek száma 000 003 00 005 példánszám (005-ben, ezer db) Verses mű, antológia 10 31 7 8 376 Regén, elbeszélés 136 157 159 155 935 Színmű 55 59 87 63 118 Egéb széppróza 3 180 5 59 91 a) Hán szépirodalmi művet adtak ki összesen az eges években? b) A kiadott művek hán százaléka volt színmű az eges években? c) Menni volt az eges művek átlagos példánszáma 005-ben? d) A táblázat alapján szemléltessük a kiadott szépirodalmi könvek számának időbeli változását! (Alkalmazhatunk különböző ábrázolási módokat.) 1.1. Az alábbi táblázat a 00-ben és 005-ben legnagobb példánszámban megjelent tíz országos napilapot tartalmazza. Elemezzük az adatokat! Milen tendenciák figelhetők meg a táblázat alapján? Országos napilap (átlagos megjelenési példánszám, ezer db) Sajtótermék 00 005 Metro 316 35 Blikk 3 330 Népszabadság 186 175 Nemzeti Sport 11 110 Magar Nemzet 9 93 Mai Nap 87 9 Népszava 38 38 Magar Hírlap 31 Epressz 30 8 Világgazdaság 16 17 a) Készítsünk a táblázat alapján normál oszlopdiagramot a 00-es év öt legnagobb napilapja példánszámának feltüntetésével! b) Készítsük el a két évre vonatkozóan a halmozott, majd a 100%-ig halmozott oszlopdiagramokat is! c) Készítsük el a megfelelő kördiagramokat az öt legnagobb napilap példánszámának a feltüntetésével! 1.13. Az alábbi táblázatban 1990-ben, 001-ben és 00-ben a Magarországon kiadott szépirodalmi könvek számát tüntettük fel, a szerzők állampolgársága szerint csoportosítva. Elemezzük az adatokat! Milen tendenciák figelhetők meg a táblázat alapján? 7
1 fejezet. Grafikonok Állampolgárság 003 00 005 példánszám (005, ezer db) amerikai (USA) 75 61 651 597 angol 16 99 138 53 cseh 9 5 5 79 francia 73 75 98 383 lengel 8 8 13 magar 109 1177 109 61 német 117 111 105 503 olasz 3 16 3 150 orosz 7 35 79 összesen 050 319 670 10 0 a) A felsorolt 9 országon kívüli szerzőktől hán mű jelent meg az eges években? b) Hán százalékkal részesedtek az eges nemzetiséges szerzői 005-ben a teljes példánszámból? c) Menni volt az amerikai, angol stb. szerzők műveinek átlagos példánszáma 005-ben? d) Ábrázoljuk a magar szerzők szépirodalmi műveinek alakulását a három évben! (Szemléltethetünk különböző ábrázolási módokkal.) 1.1. Közös koordinátarendszerben megrajzoltuk eg galogos, eg kocogó és eg kerékpáros út-idő grafikonját (lásd az 1.0.1. ábrát, ahol az eges pontok koordinátái: A(0; 0), B(6; ), C(; 0), D(; 0), E(; 36)). s (km) 0 E 30 0 10 C B A D 6 8 1.1.1. ábra. t (óra) Elemezzük a grafikont! (Mi jellemzi az indulási időket és a megtett útszakaszokat, mekkorák a sebességek?) 1.15. Az A és B városokat összekötő úton halad eg galogos, eg kocogó és eg kerékpáros. Az út-idő grafikonon ábrázoltuk a mozgásukat (lásd az 1.0.1. ábrát), ezek: az AFGH és BDE töröttvonalak, valamint az IC szakasz. Jellemezzük a mozgásokat, s próbáljuk meghatározni az eges találkozási időpontokat! 1.16. Pisti fürödni ment. Az 1.0.1. grafikonon a fürdőkádban lévő vízszint magasságát tüntettük fel, az eltelt idő függvénében. Mi történhetett az eges időszakokban? 1.17. Az 1.0.1. út-idő grafikonon három test mozgását ábrázoltuk. Elemezzük a grafikont! (Mi jellemzi az indulási időket és a megtett útszakaszokat, mekkorák a sebességek?) 8
1 fejezet. Grafikonok s (km) 50 B 0 D 30 0 10 F G C H E A I 1.15.1. ábra. t (óra) 1.18. Az 1.0.1 ábrán három függvén grafikonja látható. Mi a függvének értelmezési tartomána és értékkészlete? 1.19. Az f függvén képe a derékszögű koordináta rendszerben az AB és CD szakaszokból áll, A( 5; 8), B(; 7), C(3; 3), D(6; 11). Határozzuk meg a függvén értelmezési tartománát és értékkészletét, ha a) A( 5; 3), B(; 1), C(1; 0), D(6; 11); b) A( 5; 3), B(; 7), C(3; 3), D(6; 6); c) A( 5; 3), B(; 5), C(0; ), D(6; 7). 1.0. Mel pontban metszik a derékszögű koordináta rendszer tengelét az alábbi függvének görbéi? a) a() = 5; + 3, [; ]; c) c() = 3 6; d) d() = + 3 + 7 6; e) e() = ( + ) 3, {, 1, 0, 1, }; f) f() = 3 ; g) g() = 3. b) b() = 5 1.1. Mel pontban metszik a derékszögű koordináta rendszer tengelét az alábbi függvének görbéi? a) a() = 5; b) b() = 3 +, [ 1; 1]; c) c() = 3 + 18, [ 1; 1]; d) c() = 9; e) d() = 3 ; f) e() = ; g) f() = +. 9
1 fejezet. Grafikonok h (cm) 35 30 F G 5 D E 0 15 10 C H 5 A B 5 10 15 0 5 30 35 I 0 t (perc) 1.16.1. ábra. s (km) 00 B 300 00 100 D F A C E 6 8 10 1.17.1. ábra. t (óra) 10
1 fejezet. Grafikonok 1 1 10 8 6 8 10 6 8 10 1 1 16 1.18.1. ábra. 11
1 fejezet. Grafikonok 1
. FEJEZET Geometriai transzformációk.1. Adott a P(; 1) pont. Hajtsuk végre a P ponttal az alábbi transzformációkat, s adjuk meg P képének koordinátáit! a) Tengeles tükrözés az tengelre; b) tengeles tükrözés az tengelre; c) középpontos tükrözés az origóra; d) középpontos tükrözés a Q(; 6) pontra. Oldjuk meg a feladatot P helett az R(; 6) ponttal is!.. Adott a P( 5; ) pont. Hajtsuk végre a P ponttal az alábbi transzformációkat, s adjuk meg P képének koordinátáit! a) λ = aránú nagítás az origóból; b) λ = 1 aránú kicsinítés az origóból; c) λ = 3 aránú nagítás az origóból; d) λ = aránú nagítás a C( 1; ) pontból; e) λ = 1 aránú kicsinítés a C( 1; ) pontból. Oldjuk meg a feladatot P helett a Q(; 6) ponttal is!.3. Adott a P(8; 5) pont. Toljuk el P-t a a) (3; 0); b) (0; ); c) (1; ); d) ( 100; 11) vektorral, s adjuk meg P képének koordinátáit! Oldjuk meg a feladatot P helett a Q(; 6) ponttal is!.. Adott a P(10; ) pont. Hajtsuk végre a P ponton azt a merőleges affinitást, amelnek tengele az tengel, arána pedig a) λ = b) λ = 1 c) λ =. Adjuk meg a P pont képének koordinátáit! Oldjuk meg a feladatot P helett a Q(; 6) ponttal is!.5. Alkalmazzunk olan merőleges affinitást, amelnek tengele az tengel, arána pedig a) λ = ; b) λ = 1 ; c) λ =. Határozzuk meg a P(10; ) pont képét ezeknél a transzformációknál! Oldjuk meg a feladatot P helett a Q(; 6) ponttal is!.6. Adott a P( 5; ) pont. Vetítsük merőlegesen P-t az a) ; b) tengelre, s adjuk meg P képének koordinátáit! Oldjuk meg a feladatot P helett a Q(; 6) ponttal is!.7. Adott a P(5; ) pont. Forgassuk el P-t az origó körül a) 90 -kal; b) 90 -kal; c) 180 -kal s adjuk meg P képének koordinátáit! Oldjuk meg a feladatot P helett a Q(; 6) ponttal is! 13
fejezet. Geometriai transzformációk.8. Adott a P(5; ) pont. Forgassuk el P-t a O(10; 6) pont körül a) 90 -kal; b) 90 -kal; c) 180 -kal s adjuk meg P képének koordinátáit! Oldjuk meg a feladatot P helett a Q(; 6) ponttal is!.9. Adott a P(8; 0) pont. Forgassuk el P-t az origó körül a) 60 -kal; b) 10 -kal; c) 0 -kal; d) 5 -kal; e) 135 -kal s adjuk meg P képének koordinátáit! Oldjuk meg a feladatot P helett a Q(0; 1) ponttal is!.10. A derékszögű koordináta-rendszerben vegük fel az A(; ) pontot. Az A pont tengelre vonatkozó tükörképe legen B, a B pont tengelre vonatkozó tükörképe pedig C. Ezután változtassuk az A pont helzetét (ezt mi a Geogebra program segítségével végezzük el)! B A C 6.10.1. ábra. a) Hogan változik a B pont két koordinátája? b) Hogan változik a C pont két koordinátája? c) Milen sejtést fogalmazhatunk meg C koordinátáinak a változása alapján? d) Próbáljuk igazolni a sejtést!.11. A derékszögű koordináta-rendszerben vegük fel az A(; ) és C(3; 0) pontokat. Az A pontot tükrözzük az origóra, íg kapjuk a B pontot; majd a B-t tükrözzük C-re, ekkor keletkezik a D pont. Ezután változtassuk az A pont helzetét (ezt mi a Geogebra program segítségével végezzük el)! A D C 6 B.11.1. ábra. a) Hogan változik a D pont két koordinátája? 1
fejezet. Geometriai transzformációk b) Milen sejtést fogalmazhatunk meg D koordinátáinak a változása alapján? c) Ezután változtassuk a C pont helzetét az tengelen. Hogan változik a D pont két koordinátája? Ez alapján milen újabb sejtést fogalmazhatunk meg?.1. A derékszögű koordináta-rendszerben vegük fel a P( 3; 5) pontot, és az ábra szerinti a és b egeneseket. (Az a egenes merőleges az tengelre, és átmeg az A(0; ) ponton; a b egenes merőleges az tengelre, és a B(1; 0) ponton halad át.) Az a és b egenesek metszéspontja a C pont. A P pontot az a egenesre tükrözve kapjuk a Q pontot; majd Q-t tükrözve b-re, keletkezik az R pont. Ezután változtassuk a P pont helzetét (ezt mi a Geogebra program segítségével végezzük el)! P b a A C Q B 6 R.1.1. ábra. a) Határozzuk meg Q és R kezdeti koordinátáit! (Tehát amikor P koordinátái ( 3; 5).) b) Hogan változik P mozgatásakor az R pont két koordinátája? c) Milen sejtést fogalmazhatunk meg R koordinátáinak a változása alapján? d) Ezután változtassuk az a egenes helzetét, például az A pont mozgatásával az tengelen. Hogan változnak a Q, R pontok koordinátái? e) Végül változtassuk a b egenes helzetét, például a B pont mozgatásával az tengelen. Hogan változnak ekkor a Q, R pontok koordinátái? f) Fogalmazzunk meg sejtéseket a fenti mozgatások alapján, s próbálkozzunk meg ezek igazolásával!.13. A derékszögű koordináta-rendszerben vegük fel az A(; ) és B(3; 0) pontokat. Alkalmazzunk λ = 0,5 aránú origó centrumú középpontos hasonlóságot (ekkor az A pont képe C), majd λ = aránú B centrumú középpontos hasonlóságot (ekkor C képe D). Ezután változtassuk az A pont helzetét (ezt mi a Geogebra program segítségével végezzük el)! a) Határozzuk meg a C és D pontok kezdeti koordinátáit! (Tehát amikor A koordinátái ( ; ).) b) Hogan változnak A mozgatásakor C és D koordinátái? c) Ezután változtassuk a B pont helzetét az tengelen. Hogan változnak a C, D pontok koordinátái? d) Fogalmazzunk meg sejtéseket a fenti mozgatások s D koordinátáinak a változása alapján, és próbálkozzunk meg ezek igazolásával!.1. Adott két pont, A(8; 3) és B(; 7). Határozzuk meg az AB szakasz a) hosszát; b) F felezőpontjának koordinátáit; c) az A végpontjához közelebbi H harmadoló pontjának a koordinátáit! 15
fejezet. Geometriai transzformációk A D B 6 C.13.1. ábra. d) Oldjuk meg az a-c) feladatokat A és B helett az A (; ) és B (8; 1) pontokkal is!.15. Hajtsuk végre a.0.1. ábrán látható ABCD négzettel az alábbi geometriai transzformációkat, s adjuk meg a keletkezett csúcsok koordinátáit. B 6 C A 6 D.15.1. ábra. A transzformációk: a) Tengeles tükrözés az tengelre; b) középpontos tükrözés az origóra; c) középpontos tükrözés a (; 3) pontra; d) eltolás a ( 1; 3) vektorral; e) λ = 1 aránú merőleges affinitás, melnek tengele az tengel; f) λ = aránú merőleges affinitás, melnek tengele az tengel; g) forgatás 90 -kal az origó körül; h) forgatás 90 -kal a (; 3) pont körül. i) Oldjuk meg az a-h) feladatokat ABCD helett az EF GH négzettel, melnek csúcsai: E( 3; ), F(3; ), G(5; ), H( 1; )..16. Adott az O(3; ) középpontú kör, melnek sugara 5 egség hosszú. Hajtsuk végre a körrel az alábbi geometriai transzformációkat, s határozzuk meg a keletkezett körök középpontjának a koordinátáit, valamint a körök sugarainak a hosszát! A transzformációk: a) Tengeles tükrözés az tengelre; b) középpontos tükrözés az origóra; 16
fejezet. Geometriai transzformációk c) középpontos tükrözés a (; 3) pontra; d) eltolás az (1; ) vektorral; e) λ = 1 aránú merőleges affinitás, melnek tengele az tengel; f) λ = 3 aránú merőleges affinitás, melnek tengele az tengel; g) forgatás 90 -kal az origó körül; h) forgatás 90 -kal a (; 3) pont körül..17. Határozzuk meg a derékszögű koordináta-rendszerben azon P(; ) pontok halmazát, amelek koordinátáira teljesülnek az alábbiak: a) = 1; b) ; c) 0; d) + = 0; e) + = 0; f) = 0; g) > 0 és + = 1; h) + ; i) + = ; j) = 1 vag = 1. Tükrözzük a ponthalmazokat először az, majd az tengelre, végül az origóra (ez három különböző feladat). Az íg kapott ponthalmazokat (alakzatokat, görbéket) adjuk meg egenlettel vag egenlőtlenség segítségével! 17
fejezet. Geometriai transzformációk 18
3. FEJEZET Geometriai transzformációk (teszt) 3.1. (M) A derékszögű koordináta-rendszerben adott a P(0; 7) pont. A P ponttal a következő transzformációkat hajtjuk végre: (1) Tengeles tükrözés az tengelre a transzformáció eredméne az X pont; () tengeles tükrözés az tengelre a transzformáció eredméne az Y pont; (3) középpontos tükrözés az origóra a transzformáció eredméne a Q pont; () középpontos tükrözés a C(; 11) pontra a transzformáció eredméne az R pont. Az alábbi állítások a P pont képének a koordinátáira vonatkoznak. Melik heles az állítások közül? A) X(0; 7), Y (0; 7), Q(0; 7), R(0; 1) B) C) D) E) Egik sem. X(0; 7), Y (0; 7), Q(0; 7), R(8; 15) X(0; 7), Y (0; 7), Q(0; 7), R(8; 1) X(0; 7), Y (0; 7), Q(0; 7), R(8; 15) 3.. (M) A derékszögű koordináta-rendszerben adott a P(0; 8) pont. A P ponttal a következő transzformációkat hajtjuk végre: (1) λ = aránú nagítás az origóból a transzformáció eredméne az A pont; () λ = 0,5 aránú kicsinítés az origóból a transzformáció eredméne a B pont; (3) λ = aránú nagítás a Q(7; ) pontból a transzformáció eredméne a C pont; () λ = 1 3 pont. aránú kicsinítés az R(; ) pontból a transzformáció eredméne a D Az alábbi állítások a P pont képének a koordinátáira vonatkoznak. Melik hamis az állítások közül? A) A(0; 16) B) B(10; ) C) C(61; 7) D) D( 8; 0) E) Egik sem. 3.3. (M) A derékszögű koordináta-rendszerben adott a P(0; 8) pont. A P pontot eltoljuk a (6; 0) vektorral; az íg kapott A pontot eltoljuk a (0; 3) vektorral; végül az íg kapott B pontot eltoljuk az (5; 9) vektorral, s kapjuk a C pontot. Az alábbi állítások a pontok koordinátáira vonatkoznak. Melik igaz az állítások közül? A) Az A tükörképe az tengelre a (1; 8) pont. B) B( 1; 10) C) C( 9; ) D) B tükörképe az tengelre a (1; 10) pont. E) Egik sem. 19
3 fejezet. Geometriai transzformációk (teszt) 3.. (M) A derékszögű koordináta-rendszerben adott a P(0; 8) pont. A P ponttal a következő transzformációkat hajtjuk végre: (1) λ = aránú merőleges nújtás (affinitás) az tengelre a transzformáció eredméne az A pont; () λ = 0,5 aránú merőleges zsugorítás (affinitás) az tengelre a transzformáció eredméne a B pont; (3) λ = 0, aránú merőleges zsugorítás (affinitás) az tengelre a transzformáció eredméne a C pont; () λ = 1 aránú merőleges affinitás előbb az tengelre, majd a P pont képére λ = 1 aránú merőleges affinitás alkalmazása az tengelre is a transzformáció eredméne a D pont. Az alábbi állítások a P pont képének a koordinátáira vonatkoznak. Melik hamis az állítások közül? A) A(0; 16) B) Az AB távolság 1 egség. C) C(; 8) D) P középpontos tükörképe az origóra D. E) Egik sem. 3.5. (M) A derékszögű koordináta-rendszerben adott a P( 13; 7) pont. A P ponttal a következő transzformációkat hajtjuk végre: (1) Merőleges vetítés az tengelre, majd eltolás a v(1; 3) vektorral a transzformációk szorzatának az eredméne az A pont. () Eltolás a v(1; 3) vektorral, majd merőleges vetítés az tengelre a transzformációk szorzatának az eredméne a B pont. (3) Merőleges vetítés az tengelre, majd eltolás a v(1; 3) vektorral a transzformációk szorzatának az eredméne a C pont. () Merőleges vetítés az tengelre, majd tükrözés az tengelre a transzformáció eredméne a D pont. Az alábbi állítások a P pont képének a koordinátáira vonatkoznak. Melik hamis az állítások közül? A) A( 1; 3) B) C(1; 10) C) D(0; 0), függetlenül P kezdeti helzetétől. D) A és B megegezik. E) A merőleges vetítés nem kölcsönösen egértelmű transzformáció. 3.6. (M) A derékszögű koordináta-rendszerben adott a P(1; 7) pont. A P ponttal a következő transzformációkat hajtjuk végre: (1) Forgatás az O origó körül 90 -kal a transzformáció eredméne az A pont. () Forgatás az O origó körül 180 -kal a transzformáció eredméne a B pont. (3) Forgatás az O origó körül 70 -kal a transzformáció eredméne a C pont. Az alábbi állítások a P pont képének a koordinátáira vonatkoznak. Melik hamis az állítások közül? A) A(7; 1) B) B( 1; 7) C) C az A pontnak O-ra vonatkozó középpontos tükörképe, függetlenül P kezdeti helzetétől. D) A P pont origó körüli, 90 -os elforgatottja megegezik C-vel. E) Egik sem. 0
3 fejezet. Geometriai transzformációk (teszt) 3.7. (M) A derékszögű koordináta-rendszerben adottak a P(8; 3) és Q(; 5) pontok. A P ponttal a következő transzformációkat hajtjuk végre: (1) Forgatás a Q pont körül 90 -kal a transzformáció eredméne az A pont. () Forgatás a Q pont körül 180 -kal a transzformáció eredméne a B pont. (3) Forgatás a Q pont körül 70 -kal - a transzformáció eredméne a C pont. Az alábbi állítások a P pont képének a koordinátáira vonatkoznak. Melik hamis az állítások közül? A) A(; 11) B) B(; 7) C) C(0; 1) D) C az A pontnak Q-ra vonatkozó középpontos tükörképe, függetlenül P kezdeti helzetétől. E) Egik sem. 3.8. (M) A derékszögű koordináta-rendszerben adott a P(10; 0) pont. Forgassuk el P-t az origó körül 60 -kal. Mik az íg kapott P pont koordinátái? A) P (10; 5) B) P (5; 10) C) P (5; 10 3) D) P (5; 5 3) E) P (5; 5 3) 3.9. (M) A derékszögű koordináta-rendszerben adott a P(0; 10) pont. Forgassuk el P-t az origó körül 135 -kal. Mik az íg kapott P pont koordinátái? A) ( 10 ; 10 ) B) (10 ; 10 ) C) ( 5 ; 5 ) D) ( 5 ; 10 ) E) Egik sem. 3.10. (M) A derékszögű koordináta-rendszerben adott a P(1; 6) pont. Forgassuk el P-t az origó körül 0 -kal. Mik az íg kapott P pont koordinátái? A) (; 1) B) (6 3; 6 3 + ) C) (6 + 3; 3 + ) D) ( 3 3; 6 3) E) Egik sem. 3.11. (M) A derékszögű koordináta-rendszerben adott a P( 10; 6) pont. Tükrözzük P-t az A(0; 3) pontra, képe P ; majd a P pontot tükrözzük a B(0; 3) pontra, íg kapjuk a P pontot. Az alábbi állítások közül hán hamis? (1) A P pont koordinátái (10; 0). () A P pont koordinátái ( 10; ). (3) A PP P háromszög egenlő szárú. () A P pont a P pont tengelre vonatkozó tengeles tükörképe, függetlenül P kezdeti helzetétől. (5) A P pont a P pont vektorral eltolt képe, függetlenül P kezdeti helzetétől. A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 3.1. (M) A derékszögű koordináta-rendszerben adott a P( 1; 6) pont. Alkalmazzunk λ = = 1 3 aránú középpontos hasonlóságot az A(0; 3) centrummal (ekkor a P pont képe P ); majd alkalmazzunk µ = 3 aránú középpontos hasonlóságot a B(0; 3) középponttal, ekkor P képe P. Az alábbi állítások közül hán igaz? (1) A P pont koordinátái (; ). () A P pont koordinátái ( 1; 18). 1
3 fejezet. Geometriai transzformációk (teszt) (3) A PP P és AP B háromszögek hasonlók, a megfelelő oldalak arána 1 : 3. () A P pont a P pont AB vektorral eltolt képe, függetlenül P kezdeti helzetétől. (5) Ha λµ = 1, akkor a két transzformáció eredméne egbevágósági (távolságtartó) leképezés, függetlenül az A és B pontok kezdeti helzetétől. A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 3.13. (M) A derékszögű koordináta-rendszerben adott két pont, A(1; 8) és B(; 16). Az alábbi állítások közül melek igazak? (1) Az AB szakasz hossza 0 egség. () Az AB szakasz F felezőpontjának a koordinátái (3; ). (3) Az AF szakasz hossza 10 egség. () Az AB szakasz A végpontjához közelebbi H harmadolópontjának a koordinátái (6; 0). (5) A HB szakasz hossza 0 egség. A) () és () B) (), () és (5) C) Csak (5) hamis. D) (1), () és (3) E) Csak () hamis. 3.1. (M) Az O(; 9) középpontú, 5 egség sugarú k kört tükrözzük a C(1; 6) pontra, íg kapjuk a k kört. Az alábbi állítások között hán igaz állítás van? (1) Az A(; 6) pont rajta van a k körön. () A k kör középpontja (; 3). (3) A B(7; 7) pont rajta van a k körön. () A k és k körök területe megegezik. (5) A k kör átmeg az origón. A) 1 B) C) 3 D) E) 5 3.15. (M) A derékszögű koordináta-rendszer P(; ) pontjain három halmazt definiálunk: A = P(; ); < 0; B = P(; ); > 0; C = P(; ); =. Az alábbi állítások között hán hamis állítás van? (1) Egik ponthalmaz sem korlátos. () A B. (3) C B. () A C halmaz képe két egenes. (5) Van olan egenes a koordináta-rendszerben, amelnek nincs közös pontja A-val. (6) Bármel az, tengelekkel nem párhuzamos egenesnek van közös pontja B-vel. (7) Bármel az, tengelekkel nem párhuzamos egenesnek van közös pontja C-vel. (8) A B (B komplementer halmaza) az tengel. A) 0 B) 1 C) D) 3 E)
. FEJEZET Lineáris függvén Ahol külön nem jelezzük, ott a függvének értelmezési tartomána a valós számok lehető legbővebb részhalmaza..1. Vázoljuk az alábbi függvének grafikonját! a) a() = 0; b) b() = 3; c) c() = +,5; d) d() = 1 3 3; e) e() = + 5; f) f() = 1 + 1. g) Hogan helezkednek el az a)-f) feladatrészekben kapott függvéngörbékhez képest az A 1 (; 1), A (6; 3), A 3 (; 1), A (10000; 0000), A 5 ( 10000; 0000) pontok? (Melik pont van az adott görbe felett, a görbe alatt, vag esetleg rajta a görbén?) h) A P(3; ) pont második koordinátáját nem ismerjük. Mit állíthatunk -ról, ha a P pont rajta van az a)-f) feladatrészekben adott függvén grafikonján? Adjunk választ külön-külön mind a hat esetre! Mel értékekre lesz P a görbe felett, illetve a görbe alatt az a) - f) esetekben? i) Oldjuk meg a h) feladatrészt P helett a Q(; ) pontra is! j) Oldjuk meg a h)-i) feladatokat, ha most a P, Q pontok első koordinátáit nem ismerjük. Legen például P(; 5) és Q(; )!.. Ábrázoljuk az f() = m függvén grafikonját, ha a) m =, b) m = 1, c) m = 0,5, d) m =. Mi a kapott függvéngörbék közös jellemzője?.3. Ábrázoljuk az f() = + b függvén grafikonját, ha a) m =, b) m = 0, c) m = 0,7, d) m = 3. Mi a kapott függvéngörbék közös jellemzője?.. A derékszögű koordináta-rendszerben vegük fel az A(0; ) pontot, majd ezen keresztül az 1 meredekségű e egenest (ez az egenes az tengelt a B pontban metszi). Ezután változtassuk az A pont helzetét az tengelen (ezt mi a Geogebra program segítségével végezzük el) úg, hog a rajta átmenő e egenes meredeksége ne változzzék! Mi jellemzi az íg kapott egeneseket? Hogan mozog a B pont?.5. A derékszögű koordináta-rendszerben vegük fel az = + b egenletű egenest, ahol b =. Ezután b értékét változtassuk rendre b = 1; b = ; b = 5-re. (Ezt mi a Geogebra programban, eg csúszka segítségével végezzük el.) Mi jellemzi az íg kapott egeneseket?.6. A derékszögű koordináta-rendszerben vegük fel a = m + 1 egenletű egenest, ahol m = 0,5. Ezután változtassuk m értékét! Legen rendre a) m = 0,5, b) m = 1, c) m = 1,5, d) m =! (Ezt mi a Geogebra programban, eg csúszka segítségével végezzük el.) Mi jellemzi az íg kapott egeneseket? 3
fejezet. Lineáris függvén A B 6..1. ábra. 6 b.5.1. ábra..7. Ábrázoljuk a derékszögű koordináta-rendszerben a h() = c( ) alakú függvéneket, ahol rendre a) c = 1, b) c = 0, c) c = 1, d) c =! (Ezt mi a Geogebra programban, eg csúszka segítségével végezzük el.) a) Mi jellemzi az íg kapott egeneseket? b) Milen sejtést fogalmazhatunk meg az egenesek illeszkedésével kapcsolatban? c) Igaz-e a sejtés tetszőleges c valós szám esetén?.8. Vázoljuk az alábbi függvének grafikonját! Mi a függvének értékkészlete? a) [ 5; ], a() = 3. b) [; 3[, b() = { 1 + 1. 3, ha 0; c) c() = 0, ha < 0. { d) d() = 3 1 3, ha 5 < 8;, ha 8 < 11. { 1 e) e() = 3 3, ha < 5;, ha 5 < 8. f) f : + 3, ha { 1; 0; 1; ; 3; }..9. Vázoljuk az alábbi függvének grafikonját! Mi a függvének értékkészlete? a) a() =, b) b() =, c) c() = ++ +, ( [ 3; ]),
fejezet. Lineáris függvén m = 1 6.6.1. ábra. c = 1 6.7.1. ábra. d) d() = +9 (+) 5, e) e() = 3+ ( 1) (1 )..10. Mi a.0.1. ábrán látható a d függvének hozzárendelési szabála?.11. Az és menniségek egenesen aránosak egmással. Melik grafikon ábrázolhatja ezt a függvénkapcsolatot? Menni az aránossági ténező az eges esetekben?.1. Adjunk meg olan képleteket, amelek segítségével a Celsius-hőmérő, a Fahrenheit-hőmérő és a Réaumur-hőmérő értékeit átválthatjuk! A Celsius-skálán 0 C jelöli a víz fagáspontját, 100 C a forráspontját; uganezen értékek a Fahrenheit-skálán 3 F, ill. F; uganezen értékek a Réaumur-skálán 0 R, ill. 80 R; továbbá mindhárom skála lineáris beosztású. Egenesen aránosak a Celsius-, a Fahrenheit-, illetve a Réaumur-fokban mért értékek?.13. Határozzuk meg, hog milen hőmérsékletnél lesz a Fahrenheit-fokban mért hőmérséklet mérőszáma a) 10-szer; b) 5-ször; c) -szer akkora, mint a Celsius-fokban mért hőmérséklet mérőszáma. A kapott eredmének alapján először becsüljük meg, majd számítsuk is ki, hog milen hőmérsékletnél lesz a Fahrenheit-fokban és a Celsius-fokban mért hőmérséklet mérőszáma egenlő. Milen érdekességet tapasztalunk?.1. Közös koordinátarendszerben megrajzoltuk az eg helről induló, egenletes sebességgel haladó kerékpár, motorkerékpár és személgépkocsi út-idő grafikonját. 5
fejezet. Lineáris függvén d 8 6 b a c 6.10.1. ábra. d e 8 6 b a c 6.11.1. ábra. Jellemezzük a görbéket! a) Melik görbe melik járműhöz tartozik? b) Mekkora az eges járművek átlagsebessége? c) Mi a járművek indulási sorrendje? d) Mikor találkoztak egmással az eges járművek?.15. Eg r sugarú körbe írt szabálos háromszög kerülete k. a) Hogan függ r-től a k értéke? Határozzuk meg a függvénkapcsolatot! b) Egenes aránosság-e a kapott függvén? Oldjuk meg a feladatot háromszög helett az r sugarú körbe írt szabálos n-szöggel, ha b) n = ; c) n = 6; d) n = 8; e) n = 1..16. Az f függvén képe a derékszögű koordináta rendszerben az A és B ponton átmenő egenes, A(; ), B(; 8). a) Adjuk meg a függvén hozzárendelési szabálát! b) Mel pontban metszi az egenes az és melikben az tengelt? 6
fejezet. Lineáris függvén s (km) 500 00 300 00 100 6 8 10.1.1. ábra. t (óra).17. Írjunk fel először s = At, majd s = At + B alakú lineáris út-idő kapcsolatot az alábbi, két mérési adatpárt tartalmazó táblázat alapján, s magarázzuk meg a kapott eredmént: t(s) 1 s(m) 3 6.18. Van-e olan f() = a + b alakú függvén, amelre teljesül, hog a) f(0) = 3 és f() = 5; b) f( 1) = 5 és f() = 5; c) a függvéngörbe áthalad az A(; 1), B(9; 6) pontokon; d) a függvéngörbe áthalad az A(; 1), B(9; 6), C(1; 8) pontokon? e) Változtassuk meg a d) feladatban C második koordinátáját úg, hog az f() függvéngörbe áthaladjon mindhárom ponton! f) Mel pontban metszik az íg kapott görbék az tengelt?.19. Az országút mentén fekvő A és B városok távolsága 10 km. Reggel 8 órakor elindul A-ból B-felé eg kerékpáros v 1 = 15 km/h átlagsebességgel, 9 órakor B-ből A-felé eg másik kerékpáros, v = 30 km/h átlagsebességgel. a) Ábrázoljuk a két kerékpáros mozgását út - idő grafikonon! b) Mikor találkoznak a kerékpárosok? c) Oldjuk meg az előző feladatokat akkor is, ha a kerékpáros A-ból nem B város felé, hanem azzal ellentétes iránban indul el!.0. Az f függvén képe a derékszögű koordináta rendszerben az AB szakaszból áll, A( 5; ), B(; 16). Adjuk meg a függvén hozzárendelési szabálát!.1. A.0.1. ábrán a f() = aa+1 függvén grafikonja látható az a = 1.5 esetben. Változtassuk a értékét! Rajzoljuk meg közös koordinátarendszerben az alábbi értékeknek megfelelő eseteket! a) a =,5; b) a = 0,5; c) a = 0,5; d) a = 1,5. (Használhatjuk a Geogebra programot is.) a) Milen sejtést fogalmazhatunk meg az egenesek illeszkedésével kapcsolatban? b) Igaz-e a sejtés tetszőleges a valós szám esetén?.. Vegük fel a derékszögű koordináta-rendszerben az A(3; ) pontot, valamint az O origón és az A ponton átmenő a egenest. Szerkesszünk az origóban merőlegest a-ra, íg kapjuk a b egenest; ezen pedig úg vegük fel a B pontot, hog OA = OB teljesüljön (.0.1. ábra). (A B pont két lehetséges helzetéből mi azt választottuk, amikor az AOB iránított szög 90.) Ezután változtassuk az A pont helzetét! (A szerkesztést a Geogebra program segítségével végezzük el.) a) Hogan módosul az a és b egenesek egenlete, valamint a B pont két koordinátája? b) Milen sejtést fogalmazhatunk meg az a és b egenesek meredekségével kapcsolatban? 7
fejezet. Lineáris függvén 6 a = 1.5.1.1. ábra. B A 0 6..1. ábra..3. Melik igaz és melik hamis az alábbi állítások közül a derékszögű koordináta-rendszerben? a) Ha két egenes párhuzamos, akkor meredekségük megegezik. b) Ha és egenesen arános menniségek, akkor a két menniség közötti függvénkapcsolat képe eg egenes. c) Ha az és menniségek közötti függvénkapcsolat képe eg egenes, akkor és egenesen arános menniségek. d) Az f() = m + b függvénkapcsolat képe minden m és b esetén egenes. e) Minden egenes egenlete = m + b alakú. f) Bármel egenesnek van meredeksége. g) Ha két merőleges egenes meredeksége m 1 és m, akkor m 1 m = 1. h) Ha az m 1 és az m meredekségű egenes merőleges egmásra, akkor m 1 m = 1... Mekkora szöget zárnak be az, illetve az tengellel az alábbi egenesek? a) = ; b) = + ; c) = ; d) = 1 3 1; e) = 3 + 1,5..5. A derékszögű koordináta-rendszerben vegük fel az A(0; 3) és B(; 3) pontokat, majd vegük fel az A és B pontot összekötő e egenest. a) Határozzuk meg az e egenes egenletét! 8
fejezet. Lineáris függvén e B A 6.5.1. ábra. b) Változtassuk a koordináta-rendszerben a B pont helzetét (ezt mi a Geogebra program segítségével végezzük el). Határozzuk meg az íg kapott egenes egenletét! c) Változtassuk az A pont helzetét az tengelen, s határozzuk meg az ekkor kapott egenesek egenletét is! d) Most A és B a koordináta-rendszer tetszőleges rácspontjai lehetnek. Adjuk meg az A és B pontot összekötő egenes egenletét, s miközben a pontok helzetét változtatjuk, elemezzük az egenes egenletének a változását!.6. Ábrázoljuk az alábbi ponthalmazokat a derékszögű koordináta-rendszerben: a) = 3, ha ; b) = 3, ha ; c) + < 1; d) ( )( 1) = 0; e) ( 1) + ( 1) = 0; f) 1 1 = 0; g) +1 0. 9
fejezet. Lineáris függvén 30
5. FEJEZET Lineáris függvén (teszt) 5.1. (M) Az alábbi kifejezések közül hán elsőfokú? (1) + 3 + z 1 () + (3) 3 () 3 + 5 6 (5) + 3 (6) + 3 A) 5 B) C) 3 D) E) 1 5.. (M) Az alábbi a d függvének között hán lineáris függvén található? (1) a : = 3 () b : + = 0 (3) c : = 3 () d : = 0,3 +, ha 3 < A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 5.3. (M) Az alábbi a d egenletek között hán olan van, amel a derékszögű koordinátarendszerbeli egenesnek az egenlete? (1) a : = + 1,3, ha > () b : + 0,5 + 3 = 0 (3) c : =,3 () d : = 1,7 A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 5.. (M) Adott a P(8; 13) pont, valamint az e : = m+b egenes. Az alábbi állítások közül hán igaz? (1) Ha m = és b =, akkor az e egenes átmeg P-n. () Ha m = 0,5 és b = 15, akkor a P pont az e egenes alatt van. (3) Bármel m értékhez található olan b, amelre az e egenes átmeg P-n. () Az tengel bármel B pontján áthaladhat az e egenes úg, hog átmeg a P ponton is. (5) Az tengel bármel C pontján áthaladhat az e egenes úg, hog átmeg a P ponton is. A) 5 B) C) 3 D) E) 1 5.5. (M) A derékszögű koordináta-rendszerben adott három egenes: e : = 3 + 1; f : = = 10 és g : = 0,5 + 1; valamint adott három pont: A(; 10), B( 1; 1) és C( 8; 5). Az alábbi állítások közül hán igaz? (1) Az egenesek között nincs párhuzamos. () Az A pont mindhárom egenes felett van. (3) A B pont rajta van valamelik adott egenesen. () A g egenes áthalad valamelik adott ponton. (5) A három egenes által közrefogott háromszög nem tartalmaz rácspontot. A) 5 B) C) 3 D) E) 1 31
5 fejezet. Lineáris függvén (teszt) 5.6. (M) A derékszögű koordináta-rendszerben adott nég egenes: a : = + 3; b : = 0,5 ; c : = 0,5 + 1; és d : = + 1. Az alábbi állítások közül hán igaz? (1) Az egenesek között vannak azonos tengelmetszetűek. () Az egenesek között vannak azonos meredekségűek. (3) Az egenesek között vannak párhuzamosak. () Az egenesek között vannak merőlegesek. (5) Van olan pont, amelre három egenes illeszkedik. (6) A (0; 1) pont mindegik egenes alatt van. A) 6 B) 5 C) D) 3 E) 5.7. (M) A derékszögű koordináta-rendszerben adott két egenes: e : = 0,5 + 1; f : = 3 + 15. Az alábbi állítások közül hán igaz? (1) Az e egenes tengelmetszete +1. () Az f egenes tengelmetszete (0; 5). (3) Ha a két egenes metszéspontja M(p; q), akkor p + q = 7. () Az e egenes tengelmetszete = -nél van. (5) Az f egenes és a koordináta-tengelek által bezárt háromszög területe 75 egség. A) 5 B) C) 3 D) E) 1 5.8. (M) Az 5.0.1. ábrán az a, b, c függvének képe látható, az állítások a függvéngörbék egenleteire vonatkoznak. Melik heles közülük? 6 a c b 5.8.1. ábra. A) a : = + 3; b : = B) a : = + 3; c : = C) b : = 0,5 + ; c : = + 1 D) a : = + 3; c : = + 1 E) b : = 0,5 ; c : = + 1 3
5 fejezet. Lineáris függvén (teszt) 5.9. (M) Az alábbi összefüggések között hán olan van, amelben a két változó és menniség egenesen arános egmással? (1) = ; () = 0,; (3) = + 3; () + 7 = 0; (5) = 6; (6) = 11 A) 5 B) C) 3 D) E) 1 5.10. (M) Az 5.0.1. ábrán látható a d grafikonok közül hán ábrázol egenes aránosságot? c d b a 5.10.1. ábra. A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 5.11. (M) A derékszögű koordináta-rendszerben tekintsük az a : = 1 és b : = m + egeneseket (m paraméter). Az alábbi állítások közül hán igaz? (1) Az a egenes 135 -os szöget zár be a koordináta-tengelekkel. () Az origó és a b egenes távolsága legfeljebb. (3) Van olan pont a koordináta-rendszerben, amelen a b egenes (m-től függetlenül) biztosan áthalad. () Az a egenes bármel M pontja előállhat, mint az a és b egenesek metszéspontja. (5) Ha az a és b egenesek merőlegesek, akkor metszéspontjuk M(1,5; 0,5). (6) Ha a b egenes merőleges valamelik tengelre, akkor m = 0. A) 6 B) 5 C) D) 3 E) 5.1. (M) A derékszögű koordináta-rendszerben tekintsük az e : = + 3 és f : = + b egeneseket (b paraméter). Az alábbi állítások közül hán igaz? (1) Ha az e és f egenesek tengelmetszete megegezik, akkor szükségképpen b = 3. () Az O origó és az e egenes távolsága 3. (3) Az f egenes és az tengel bezárt szöge 60 (b-től függetlenül). () Ha b = 0, akkor a két egenes M metszéspontjára OM = 5. (5) Van olan b érték, amelre e és f párhuzamosak. (6) Van olan b érték, amelre e és f az tengelen metszik egmást. A) 6 B) 5 C) D) 3 E) 33
5 fejezet. Lineáris függvén (teszt) 5.13. (M) Adott három függvén: f() = + 7, ha [; 3]; g() = 0,5 + 1, ha 0; végül h() = 9 3. Az alábbi kijelentések a függvénekre, valamint az értékkészletükre vonatkoznak. Hán igaz állítás szerepel közöttük? (1) R f végtelen elemszámú halmaz. () R g nem korlátos halmaz. (3) Az [1; 7] intervallum mindhárom értékkészletnek a részhalmaza. () R f maimuma 16. (5) Van olan függvén a felsoroltak között, amelnek a képe szakasz. (6) Van olan függvén a felsoroltak között, amelnek a képe félegenes. (7) Van olan függvén a felsoroltak között, amelnek a képe egenes. A) 6 B) 5 C) D) 3 E) 5.1. (M) Eg f lineáris függvén (hiános) értéktáblázata a következő: Az alábbi állítások közül hán igaz? (1) Az = f() egenes meredeksége. 5 13 19 f() 7 3 () A táblázat üresen hagott heléről a 35 hiánzik. (3) f(0) bármilen értéket felvehet. () f() = 11. (5) Az f függvénkapcsolat lehet egenes aránosság. A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 5.15. (M) Az 5.0.1. ábrán az a() és c() függvéneket ábrázoltuk, melek képe az A és B, illetve C és D pontokon áthaladó egenes. D 6 B 8 c C A a 5.15.1. ábra. Az alábbi állítások közül hán hamis? 3
5 fejezet. Lineáris függvén (teszt) (1) A c = CD egenes 5 -os szöget zár be a tengelekkel. () Az a = AB egenes tengelmetszete =,5. (3) Az a és c egenesek merőlegesek egmásra. () Az a = AB egenes tengelmetszete = 8. (5) Ha az a és c egenesek metszéspontja M(p; q), akkor p + q = 8. A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 5.16. (M) A következő nég a d függvén között hán olan van, amelnek a képe a derékszögű koordináta-rendszerben félegenes? (1) a() =, ha < 6 () b() = ( + 1),. (3) c() = 3, ha 7. () d() = +6+9 +3, 5 A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 5.17. (M) Az f függvén képe a derékszögű koordináta rendszerben az AB szakasz, A(; ), B(8; ). Az alábbi állítások közül hán igaz? (1) D f = [; 8] () R f = [; 30] (3) Az AB szakasz meredeksége 3. () Az f függvén hozzárendelési szabála + 0. A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 5.18. (M) A derékszögű koordináta-rendszer P(; ) pontjain három halmazt definiálunk: A = {P(; ); + < }; B = {P(; ); ( )( ) = 0}; Az alábbi állítások között hán hamis van? (9) Egik ponthalmaz sem korlátos. (10) Az A ponthalmaz félsík. (11) A B halmaz képe két egenes. (1) C A. C = {P(; ); ( ) + ( + 3) = 0}. (13) Van olan negatív meredekségű egenes a koordináta-rendszerben, amelnek nincs közös pontja A-val. (1) Bármel egenesnek van közös pontja B-vel. A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 35
5 fejezet. Lineáris függvén (teszt) 36
6. FEJEZET Abszolútérték függvén Ahol külön nem jelezzük, ott a függvének értelmezési tartomána a valós számok lehető legbővebb részhalmaza. 6.1. Vázoljuk az alábbi függvének grafikonját! Mi a függvének értékkészlete? a) a() = ; b) b() = ; c) c() = a [; ] intervallumon; d) d() = ; e) e() =, ha [; 7[. 6.. Vázoljuk az alábbi függvének grafikonját! Mi a függvének értékkészlete? a) a() = ; b) b() =, ha 8 < 10; c) c() = 1 ; d) d() =, ha [ 5; 5]; e) e() =. 6.3. Hogan helezkednek el a 6.1.,6.. feladatokban kapott függvéngörbékhez képest az A 1 (5; ), A (5; ), A 3 ( 7; ), A (10000; 0000), A 5 ( 10000; 0000) pontok? (Melik pont van az adott görbe felett, a görbe alatt, vag esetleg rajta a görbén?) 6.. A 6.0.1. ábrán az = + b egenletű abszolútérték-függvén grafikonja látható a b = 3 esetben. Változtassuk b értékét! Készítsük el az alábbi eseteknek megfelelő grafikonokat közös koordinátarendszerben! a) b = 1; b) b = 1; c) b = 3; 6 6..1. ábra. (Használhatjuk a GeoGebra programot is!) Mi jellemzi az íg kapott függvéngörbéket? 6.5. A 6.0.1. ábrán az = c egenletű abszolútérték-függvén grafikonja látható a c = 1 esetben. Változtassuk c értékét! Készítsük el az alábbi eseteknek megfelelő grafikonokat közös koordinátarendszerben! 37
6 fejezet. Abszolútérték függvén a) c = ; b) c = 0; c) c = 1; d) c = ; 6 6.5.1. ábra. (Használhatjuk a GeoGebra programot is!) Mi jellemzi az íg kapott függvéngörbéket? 6.6. Vázoljuk az alábbi függvének grafikonját! Mi a függvének értékkészlete? a) a() = 3 ; b) 1 3 + 3 ; c) c() = 1,5 1 +, ha ] ; 5[; d) d() = + + 3; e) e() = + 1 + 3, ha 3 < 5. 6.7. Mi a 6.0.1. ábrán látható a c függvének hozzárendelési szabála? a b c 6 6.7.1. ábra. 6.8. Mi a 6.0.1. ábrán látható a c függvének hozzárendelési szabála? 6.9. Mi a 6.0.1. ábrán látható a c függvének hozzárendelési szabála? 6.10. Vázoljuk az alábbi függvének grafikonját! Mi a függvének értékkészlete? a) a() = ; b) b() =, ha < 7; c) c() = 33 3. 38