Megoldott eladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA. Az : R R üggvény teljesíti az ( + y) = ( a y) + ( y) ( a ) összeüggést bármely,y R esetén (a egy rögzített valós szám). Bizonyítsd be, hogy ha ( ) =, akkor konstans üggvény! (IV. Balkán Olimpia, 987., Athén) Megoldás. Mivel a megadott összeüggés bármely,y R esetén igaz, próbálkozunk sajátos értékekkel. Ha = y = -t helyettesítünk az adott egyenlőségbe, következik, hogy ( a) = (). Ha y = a -et helyettesítünk, az = + ( a ) () egyenlőséghez jutunk, majd y = esetén = ( a ) (3) adódik. Az utóbbi két egyenlőségből kapjuk, hogy egyenlet ( ) = 4. A (3) összeüggés alapján a megadott ( + y) = ( y) u u alakban írható, ahonnan = y = -re az ( u) = egyenlőséget kapjuk. Ebből következik, hogy nem vesz el negatív értékeket, tehát =, R. Megjegyzések. Nem ez az egyetlen megoldási mód. []-ben további két megoldást és általánosítást találhatunk, ugyanezt a eladatot 97-ben Laurenţiu Panaitopol válogatóversenyen és 995-ben Kolozsváron M. Scridon megyei olimpián is kitűzte.. Elemezzük az előbbi megoldást. Vajon minden eltétel szükséges volt? Mi történik ha ( )? Tegyük el, hogy () = b. Akárcsak az előbb = y = -ra a b = b (a) egyenlőséghez jutunk. Ha b =, akkor ez az egyenlőség semmit sem mond (a) -ról, viszont ha b, akkor következik, hogy ( a) =. Ha b, akkor az eredeti egyenlőségből az y = helyettesítés után az = b ( a ) összeüggéshez jutunk (4), az y = a helyettesítés után pedig az = () + ( ) a b egyenlőséghez. E két összeüggés alapján = + 4b (5), ahonnan = -ra adódik, hogy b ±, tehát a -ban nem vehet el bármilyen A továbbiakban, ha egy összeüggés mellé nem írjuk, hogy milyen értékre igaz, akkor a változó összes lehetséges értékére igaz.
8 Megoldott eladatok IX. osztály értéket! b = -re a (4) összeüggés alapján az eredeti egyenlőséget ( + y) = ( y) alakban írhatjuk, ahonnan következik, hogy R (az u = y = helyettesítés). Ez viszont ellentmond (4)-nek (mert () és ( a ) ellentétes előjelűek kellene legyenek, tehát b nem lehet előbbiek alapján az kijelentésében. Az. Az () = eltétel helyett ( ) -t is írhattunk volna a eladat () = esetben a konstans üggvényen kívül az : R R π = sin ( a ) is teljesíti az egyenletet, tehát létezik nem konstans a megoldása is az adott egyenletnek. Az is kimutatható, hogy az () = eltétel mellett az adott üggvényegyenletnek végtelen sok megoldása van, de ez messzemenően meghaladja a IX.-es tananyag kereteit.. Határozd meg az összes olyan : R R üggvényt, amely teljesíti az ( y) + y = ( + y) (y) egyenlőséget bármely, y R esetén! Megoldás. Ha az adott egyenlőségbe = y -t helyettesítünk, a ( ) = ( ) egyenlőséghez jutunk. Ha egyszerűsíthetünk -el és az () = ( ) egyenlőséget kapjuk. Az u = u egyenlőséget csak az u = és u = értékek teljesítik, tehát a keresett üggvény nullától különböző argumentum esetén csak ezeket az értékeket veheti el. Így létezik olyan A R halmaz, amelyre az üggvény a következő alakú:, A R = a, =, R \ A A továbbiakban megvizsgáljuk, hogy az A halmaz milyen lehet. Ha y A, akkor az eredeti egyenlőségből következik, hogy y =, R, tehát =, R (mert A nem tartalmazza a -t), Ha A=, akkor () = (5) a, = Könnyen ellenőrizhető, hogy az így értelmezett üggvény bármely a R esetén teljesíti a megadott egyenletet, tehát meghatároztuk az összes megoldást. 3. Határozd meg az összes : R R üggvényt, amelyre ( + y ) + y ( y ) = ( ) + ( y),, y R! (Laurenţiu Panaitopol)
Megoldott eladatok IX. osztály 9 Megoldás. Az = y = helyettesítésből következik, hogy ( ) =, így = -ra, y A ( y) ( ( y) y) = -hoz jutunk, tehát ( y) =. Ha az A* és y, y R * \ A R*\A halmazok közül valamelyik üres, akkor az ()=, R, vagy ( ) =, R üggvényt kapjuk. Tegyük el, hogy A* R*\A, tehát létezik A, és y R*\A. A megadott egyenlet ( + y) + y ( y ) = y alakban írható. Aszerint, hogy +y és y az A-ban vagy az R\A-ban vannak a következő négy esetet kell megvizsgálni:. + y A y A = y y = ellentmondás;. + y A y R * \ A y( y ) = y = ellentmondás; 3. + y R * \ A y R * \ A ( + y) + y( y ) = y = ellentmondás; y ± 5 4. + y R * \ A y A ( + y) = y ellentmondás, mert R* (R*\A) A és így a két halmaz valamelyikében végtelen sok elem van, tehát végtelen sok különböző értékű arány képezhető. Az előbbiek szerint az A* és R*\A halmazok közül valamelyik üres, tehát a megadott üggvényegyenletet csak az identikusan nulla üggvény és az identikus üggvény teljesíti. 4. Határozd meg az összes olyan : R R üggvényt, amelyre: 3 + = +, R! 3 Megoldás. Emeljük a harmadik hatványra az 3 3 3 y = + + 3 = + + 3y 3 +, tehát 3 3 ( y) = y 3y (6) y = + egyenlőséget. Hajlamosak volnánk azt mondani, hogy = 3, R*, de ez nem igaz, mert ha R*, akkor y = + (, ] [, ), tehát a (6) egyenlőségnek csak akkor kell teljesülnie, ha y (, ] [, ). Az előbbiek alapján keresett 3 (-,-] [, ) (,) 3 3 üggvény = alakú, ahol g( ) \ {} g :, \ {} R tetszőleges. Belátható, hogy az összes ilyen üggvény teljesíti a ( ) megadott egyenletet (mert + (,), ha R ).
Megoldott eladatok IX. osztály Megjegyzés. A eladat megtalálható [7]-ben (.. ejezet 7. eladata), hibásan volt megoldva [8]-ban, általánosabb alakban megjelent a G.M. /997. számában (C:893) 5. Határozd meg azt az R R üggvényt, amely teljesíti a : ({}) egyenlőtlenséget minden R esetén ({} az törtrészét jelenti)! (Helyi olimpia, Bukarest, 997., D.M. Batineţu- Giurgiu) Megoldás. Ha [,), akkor {}=, tehát vagyis ( ). Mivel mindkét tényező nagyobb vagy egyenlő mint, az egyenlőtlenség csak úgy teljesülhet, ha ()=, [,). Ekkor viszont az egyenlőtlenség jobb oldalán mindig áll, tehát identikusan nulla. 6. Melyek azok az : N R üggvények, amelyekre ( k m) + ( k n) ( k) ( m n), k,m,n N? (Megyei olimpia, 983., D.M. Batineţu- Giurgiu) Megoldás. m=n=k=-ra ( () ) adódik, tehát ()=. m=n=k=-ből hasonlóan ()=. m=n= -ra (k), k N m=n=-re ( k), k N, tehát (k)=, k N. Megjegyzés. Hasonlóan igazolható, hogy ha az egyenlőtlenség megoldását alakban keressük, akkor is csak a konstans üggvényt kapjuk. 7. Határozd meg azokat az : R R üggvényeket, amelyekre : R R ( y) ( y),,y R! (Megyei olimpia, Bukarest, 99., M. Chiriţă) y ( y), y R. Az y = t ( t) ( t) adódik. Innen t helyett y-t írva az első Megoldás. = esetén kapjuk, hogy ( ) helyettesítéssel egyenlőtlenség ordítottjához jutunk, tehát ( y) = ( y), y R (7) Az eredeti összeüggésben helyett -et és y helyett -et helyettesítünk majd csoportosítjuk és így az ( )( ), R (8) egyenlőtlenséghez jutunk. Az = és y= t helyettesítésekkel (t), t R (9) következik. (9) alapján a (8)-ban > -re egyenlőségnek kell lennie, tehát ()=, >. A (7) alapján következik, hogy ()=, R \. Tegyük el, hogy = a < (() alapján csak ez lehetséges). Az = és y = -et helyettesítés és eddig bizonyított tulajdonságai alapján következik, hogy a. Mivel ez ellentmond eltételezésünknek, csak a= lehetséges és így =, R. ( )
Megoldott eladatok IX. osztály 8. Határozd meg azokat az : R R üggvényeket, amelyekre ( ) ( ) ( y)( y) y +,,y R! (Helyi olimpia, 984., Suceava, Mihai Piticari) y y Megoldás. A műveletek elvégzése és a tagok átrendezése után az ( ( ) ) egyenlőtlenséghez jutunk, tehát y y,,y R Ha y >, következik, hogy, hogy +, R, y R+ () y y * Ha k = y R+, úgy hogy k y < (ilyen az y = ) és k ez ellentmondana ()-nek, tehát =, R 9. Határozd meg az összes olyan : Z Z üggvényt, amelyre ( ) = +, Z 3! (IV. Nemzetközi Magyar Matematikai Verseny, 995., András Szilárd) Megoldás. A megadott összeüggés 3 ( ( ) = ( ) alakban írható, tehát a g:z Z g( ) = üggvényre 3 g( ) = g( ), Z. Mivel g() értéke egész szám, minden Z esetén, g( ) 3 és így következik, hogy g( ) 3 g( ) 3 n g( ) 3, Z. Ekkor viszont, Z. Ezt a gondolatmenetet többször megismételve, n N. Ez viszont csak úgy lehetséges, ha g()=, Z (ellenkező esetben a számnak végtelen sok osztója kellene legyen). Tehát ()=, Z. g ( ) egész Megjegyzés. Felsőbb osztályok anyagának ismeretében sokkal egyszerűbb megoldás is adható. Legyen a n = (... ( )...)) és Z rögzített pont. A ( megadott összeüggésből következik, hogy 3 a + = a n + a, n N, és n kimutatható, hogy a n =α+β (α,β Z, csak -tól üggnek). Mivel a n Z, n N 3 esetén, a β csak lehet, tehát a n konstans sorozat, és így ( )=. Mivel a gondolatmenet bármely Z-re működik, =, Z.. Határozd meg az összes : Z Z üggvényt, amelyre ( ) = +, Z! (Buletin matematic, Târgovişte, 987.) Megoldás. A üggvényösszetétel asszociativitása szerint + = ( ( )) = = ( + ), tehát ( + ) = +, Z. Legyen ()=a és ()=b. Az előbb igazolt összeüggés alapján: ()=a+, ( 4) = ( a + ) + = a + 4, ( 6) = ( a + 4) + = a + b, és általában ( n) = a + n (). ( 3) = b +, ( 5) = ( b + ) + = b + 4, (7) = ( b + 4 ) + = b + 6 és általában ( n + ) = b + n (). n n
Megoldott eladatok IX. osztály A () és () összeüggések negatív n-re is azonnal beláthatóak (Pl.: ( ) + = () ( ) = a stb.), tehát + a, ha = n, n Z =. + b -, ha = n +, n Z A továbbiakban megvizsgáljuk, hogy az így értelmezett üggvény teljesíti-e az eredeti összeüggést. Ehhez tárgyalásra van szükség a és b paritása szerint: I. eset: Ha a = k +. n + = ( (n)) = (n + a) = (( n + k) + ) = b + ( n + k) b = k n + 3 = ( (n + )) = (n + b) = (( n k + )) = n + 3. + k +, ha = n Tehát =, és ez a üggvény teljesíti a megadott + k, ha = n + összeüggést bármilyen előre rögzített k-ra. II. eset: Ha a=k n + = ( (n)) = (n + k) = (n + k) + k = n + 4k, tehát k =. Ez nem lehetséges, tehát = + + ( ) k, ahol k Z rögzített.. Létezik-e olyan : Z Z üggvény, amelyre ( )( ) = + p, Z, ahol p 3 páratlan egész szám? (Bolyai János emlékverseny, 993., András Szilárd) Megoldás. Az összetevés asszociativitásából, akárcsak az előbb, adódik hogy ( + p) = + p, tehát ha ismerjük értékeit a,,,..., p- számokon, akkor egyértelműen meghatározott. Értelmezzük a F:{,,,...,p-} {,,,...,p-} üggvényt a következő módon: n A={,,,...,p-} esetén F(n) legyen az (n)-nek p-vel való osztási maradéka. Az () összeüggés alapján F(F(n))=n, n A. Tekintsük az (n,f(n)) alakú párokat. Ha F(r) r, r A, akkor A elemei diszjunkt párokba szedhetőek, tehát A páros sok elemet tartalmaz. Ez ellentmondás, tehát létezik r A úgy, hogy F(r)=r. Visszatérve -re adódik, hogy ( r) = k p + r (ahol k Z ), tehát r + p = ( () r ) = ( kp + r) = ( r) + kp = ( r + kp) + kp = r + kp, ami ellentmond annak, hogy üggvény. k Z Z. Tehát nem létezik a megadott eltételeknek eleget tevő Megjegyzések.. p=3-ra a eladatot D.M. Bătineţu és F. Vulpescu-Jalea tűzte ki 987-ben. Târgovişte-i Buletin Matematic című lapban.. Hasonló tulajdonságú üggvény (: Z Z) 987-ben a Nemzetközi Olimpián is szerepelt.
Megoldott eladatok IX. osztály 3 3. A tulajdonság könnyen általánosítható. Legyen m,n N * úgy, hogy m nem osztja n-et. Igazold, hogy nem létezik olyan :Z Z (vagy :N N) üggvény, amelyre = + ( )( ) n, Z.. Legyen A egy véges halmaz (A R). Bizonyítsd be, hogy nem létezik olyan : A A üggvény, amelyre ( ) ( y) y és ( ) A,! (András Szilárd) Megoldás. Igazoljuk, hogy a megadott egyenlőtlenséget teljesítő összes üggvényre ( =. létezik olyan A, hogy ( ) ) Legyen d az A elemei közt előorduló legkisebb távolság ( d = { y, y A} ) min és A d = { A y A úgy, hogy y = d}. Kimutatjuk, hogy :A d A d. Ha A d, létezik y A úgy, hogy ( ) ( y) d = y = d. Mivel ( y) d és d a legkisebb távolság,. Tehát () A d. Jelöljük a -gyel, a -vel,..., a m -mel az A d halmaz elemeit növekvő sorrendben. Ha létezik olyan A, hogy ( ) =, akkor ( ( )) =, tehát eltételezhetjük, hogy, A. Így ( a ) > a és ( a m ) am < (mert ( a ), ( a ) A d ={a, a,..., a m }). Az előbbiek alapján létezik olyan m p {,,..., m} hogy (a p )>a p és ( a p+ ) < a p+. De ( a p ) a p ( p) ( a p+ ) < a p+ ( a p+ ) a p, tehát a p+ a p ( a p+ ) ( a p ) lehetséges, ha éppen egyenlőség teljesül, tehát ( a p+ ) = ap és ( a p ) érvényes az ( ( a i)) = ai ( i { p, p+}) egyenlőség. > a a és p+. Ez csak úgy = a p+. Így 3. Szerkesszél olyan : R R üggvényt, amelyre érvényesek a következő implikációk (a kettő egyszerre): a) Z Z ; b) Z Z. Megoldás. Látható, hogy az, Z = üggvény teljesíti a eltételeket., Z 4. Adjál példát egy olyan : R R üggvényre, amely teljesíti az ( ) = összeüggést R esetén! Megoldás. Az összetétel asszociativitásából következik, hogy ( ) = () (3) Legyen R + tetszőleges. Az ( ( )) =, ( ) = ( ) és ( ( )) = összeüggések alapján y = y, (4) ( )
4 Megoldott eladatok IX. osztály tehát R * -t el kell bontani diszjunkt, {, y,, y} alakú számhalmazokra és ezeken a kis halmazokon értelmezhetjük az üggvényt. Egy ilyen elbontás például a következő {, +,, } (,) [ n,n + ) n= (a -t külön kell választani, mert (3) alapján ( ) = ). Ha a (4) diagramnak megelelően értelmezzük -et és y = +, a következő képletekhez jutunk: + (,) [ n,n + ) n= = [ n +,n + ). n= = ( ) < Megjegyzés. Az előbbi szerkesztésből kitűnik, hogy végtelen sok megoldás létezik. 5. Hány olyan :[,] [, ] üggvény létezik, amelyre [,] ( y) y,, y? Megoldás. = és y=-re következik, hogy ( ) (). Mivel ( ), () [, ], ez csak úgy teljesülhet, ha { ( ), () } = {, }. A következő két esetet kell megvizsgálni:. eset: ()= és ()=. Az y= helyettesítéssel (), [,] míg az y= helyettesítéssel az = = =,,., [,], tehát [ ]. Eset: ( ) = és ( ) =. Az y= helyettesítéssel az ( ), [,] = =, [,] [,] =,. A eladatnak tehát két megoldása van, az míg az y = helyettesítéssel az egyenlőtlenséghez jutunk, tehát = és az = üggvény.