Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás Matematika alapszak, elemző szakirány Programtervező informatikus alapszak, modellező informatikus (A) szakirány Varga László Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Matematikai Intézet Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Honlap: vargal4.elte.hu E-mail: vargal4@cs.elte.hu Szoba: D 3-309 2016. december 13. Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 1 / 35

Tudnivalók a tantárgyról Kötelező irodalom: az előadásokon elhangzottak definíciók, tételek, bizonyítások, példák, ellenpéldák, feladatok Ajánlott irodalom: Balázs M., Tóth B.: Valószínűségszámítás 1. jegyzet matematikusoknak és fizikusoknak. Elérési helye: http://math.bme.hu/~balazs/vsz1jzetb-t.pdf a kurzus anyagát legjobban lefedő magyar jegyzet Arató M., Prokaj V., Zempléni A.: Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal. Elérési helye: http://elte.prompt.hu/sites/default/files/tananyagok/ valszam/zempleni.pdf kidolgozott példák, szimulációk R nyelven S. Ross: A first course in probability. a kurzus anyagát legjobban lefedő angol tankönyv számos feladattal, a függelékben megoldásokkal Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás kiváló klasszikus tankönyv mélyebb eredményekkel, az érdeklődőbb hallgatóknak javasolt Feltöltött előadások, BME Valószínűségszámítás kurzus: https://bme.videotorium.hu/en/contributors/2871/ dr-marton-balazs Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 2 / 35

Tudnivalók a tantárgyról Gyakorlat Gyakjegy szükséges ahhoz, hogy vizsgázhass. A gyakjegy feltételeiről majd a gyakorlaton... A folyamatos feladat-, problémamegoldás nagyon fontos, anélkül nem lehet elsajátítani a tananyagot! Vizsga: 2 részes írásbeli beugró: 30 perces, 20 pontból 13-at kell elérni szóbeli: az "A" tételsorból legfeljebb 3-asért, a "B" (nehezebb anyagrészeket tartalmazó) tételsorból 4-es/5-ösért Alapozó valószínűségszámítás az erre épülő tárgyakhoz "Naiv" valószínűségszámítás nem a mértékelméleti ismeretekre építjük fel A tananyag teljes mértékben egymásra épül ha valaki lemarad, utána szinte egy mukkot se fog érteni Tervezett tematika: a honlapomon A matematika a táblán fog megszületni; közérdekű infók, feladatok, érdekességek, szimulációk, egyéb ábrák lesznek kivetítve Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 3 / 35

Miért tanuljunk valószínűségszámítást? Kiváló karrierlehetőségek itthon és külföldön egyaránt: data scientist (big data analyst), biztosítási matematikus (aktuárius), pénzügyi matematikus, statisztikus A legjobb munkakörök között vannak az amerikai álláslistákon: http://www.careercast.com/jobs-rated/ jobs-rated-report-2015-ranking-top-200-jobs http://money.usnews.com/careers/best-jobs/ rankings/best-business-jobs http://www.businessinsider.com/ highest-paying-jobs-for-math-geeks-2014-11 Elég "nehéz" terület ahhoz, hogy ne unj bele egyhamar. :-) Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 4 / 35

Szimulációkhoz használt szoftver/programnyelv: R Statisztikai modellezésre, adatok elemzésére kiválóan alkalmas programnyelv Nyílt forráskódú, ma már alig van probléma, feladat, aminek a megoldására ne lenne valamilyen package akár több is Népszerűsége 2016 augusztusában az összes programozási nyelv mezőnyében: 9. hely PYPL index 17. hely TIOBE index Jelenleg a legelterjedtebb matematikai célú programnyelv Legkésőbb következő félévben, statisztikából mindenki használni fogja Letöltési helye: https://cran.r-project.org/ Szövegszerkesztésre ajánlott szoftver: RStudio letöltési helye: https: //www.rstudio.com/products/rstudio/download3/ Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 5 / 35

A valószínűségszámítás Matematikai tudomány Kezdete: 1654, De Méré lovag kockajáték 100 évvel később Pascal oldja meg Axiomatikus felépítés: 1933, A. N. Kolmogorov A 20. században számos új terület fejlődött belőle: matematikai statisztika információelmélet (Shannon) sztochasztikus analízis (pénzügyi matematika) véletlen gráfok elmélete (Erdős-Rényi modell, Barabási-Albert modell) Magyar vonatkozások: Jordán Károly, Pólya György, Rényi Alfréd, Erdős Pál Természeti jelenségek, kísérletek: determinisztikus bizonyos feltételek rögzítése esetén a kimenet egyértelműen meghatározott sztochasztikus a kimenetek bekövetkezése bizonytalan, véletlen A valószínűségszámítás tárgya: véletlen kísérletek Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 6 / 35

Feladatok E1.) [Középszintű matematika érettségi, 2015.] Két különböző színű szabályos dobókockával egyszerre dobunk. Adja meg annak a valószínűségét, hogy a dobott számok szorzata prímszám lesz! Egy "remek" megoldás élő adásban: Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 7 / 35

Feladatok E2.) Egy olyan kockát dobunk fel, amelyen az 1-est átírtuk 6-osra. a.) Mik lesznek a kísérletet leíró eseménytér pontjai? b.) Határozzuk meg az elemi események valószínűségét! c.) Mennyi a valószínűsége, hogy páros számot dobunk? d.) 100-szor feldobtuk a kockát, a kapott eredmények: Dobott számok 2 3 4 5 6 Összesen Gyakoriságok 18 17 19 15 31 100 Határozd meg annak a relatív gyakoriságát, hogy páros számot dobtunk! e.) Szimulációval becsüljük meg annak a valószínűségét, hogy páros számot kaptunk! Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 8 / 35

Andrej N. Kolmogorov (1903 1987) Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 9 / 35

Feladatok E3.) Névjegy probléma. Tegyük fel, hogy n ember véletlenszerűen összekeveri a névjegyét (esernyőjét)! Számoljuk ki annak a valószínűségét, hogy a.) senki sem a sajátját kapja; b.) pontosan r ember kapja a sajátját! Hova tartanak ezek a valószínűségek n esetén? Jordán Károly (1871 1959) E4.) Véletlenszerűen kiválasztunk egy pontot a [0; 2] 2 négyzetben. Mi a valószínűsége, hogy a pont koordinátáinak összege a.) 1; b.) kisebb 1-nél? Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 10 / 35

Feladatok E5.) Péter egy piros és egy kék színű, szabályos kockát dob fel egyszerre. Elárulta, hogy a dobott számok összege 8. Mi az esélye, hogy mindkét megdobott számok szorzata 12? E6.) Egy üzemben a készterméket 3 gyártósoron állítják elő. A 2. gyártósorról jön le a napi termelt mennyiség fele, az elsőről a harmada. Az egyes gyártósorok különböző mennyiségű selejtet állítanak elő: az elsőn a késztermékek 5%-a hibás, a 2.-on a 3%-a, a harmadikon pedig a 2%-a. Az igazgató körülnéz a késztermékraktárban, és épp egy selejtes termékben botlik meg. Mi a valószínűsége, hogy ezt az 1. gyártósoron állították elő? Thomas Bayes (1702 1761) Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 11 / 35

Feladatok E7.) Mutass példát olyan (Ω, A, P) valószínűségi mezőre és ezekben olyan A, B, C eseményekre, amelyekre a.) A, B és C páronként függetlenek, azonban nem teljesen függetlenek; b.) P(A B C) = P(A) P(B) P(C) teljesül, azonban az A, B, C események nem teljesen függetlenek! E8.) Legyen Ω = {ω 1, ω 2, ω 3 } eseménytér, A = {, Ω, {ω 1 }, {ω 2, ω 3 }}. Az alábbi függvények valószínűségi változók (Ω, A)-n? a.) X({ω i }) = i + 1 ahol i = 1, 2, 3; b.) X({ω 1 }) = 2, X({ω 2 }) = X({ω 3 }) = 1; c.) X({ω i }) = (i 2) 2 ahol i = 1, 2, 3. Amennyiben valamelyik nem valószínűségi változó, határozd meg azt a legszűkebb F σ-algebrát, hogy (Ω, F)-en már val. változó legyen! E9.) Adjunk példát olyan X éx Y valószínűségi változókra, amelyekre X d = Y, de X Y! Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 12 / 35

Feladatok Pólya György (1887 1985) E10.) Pólya-féle urnamodell. Egy urnában M piros és N M fehér golyó van. Ezenkívül tömérdek fehér és piros golyó áll rendelkezésünkre. Az urnából találomra kiveszünk egy golyót, majd visszateszünk a kivett színűvel azonos színű és a kihúzottal együtt összesen R + 1 golyót (R 1). Ezután az urnából ismét húzunk egy golyót és a fenti eljárást folytatjuk. Legyen X: n húzás során hányszor húztunk piros színű golyót. Határozzuk meg X eloszlását! Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 13 / 35

Feladatok Jacob Bernoulli (1654 1705) E11.) Bernoulli-féle kísérletsorozat: egymástól függetlenül végtelen sokszor végrehajtunk egy kísérletet, ami minden alkalommal p valószínűséggel lehet sikeres (0 p 1). Határozzuk meg X eloszlását, amennyiben X a.) az első n kísérletben a sikeres kísérletek száma; b.) az első sikeres kísérlet száma; c.) az n-edik sikeres kísérlet száma. Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 14 / 35

Poisson-eloszlás Előfordulása: "ritka" események bekövetkezésének száma egy "nagy" sokaságban Gyakorlati példák: első alkalmazás: 1898 lórúgás miatt meghalt katonák száma a porosz hadseregben (1 év alatt, 1 hadtestben) egy merevlemezen 3 év alatt keletkező hibás szektorok száma téves kapcsolások száma egy telefonközpontban (adott idő alatt) a 2. világháború alatt London egyes területeit ért bombatalálatok száma 1 év során a Föld felszínét elérő, 1 méternél nagyobb átmérőjű meteorok száma Siméon Denis Poisson (1781 1840) Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 15 / 35

Feladatok E12.) Vezessük le az alábbi nevezetes diszkrét eloszlások várható értékét és szórásnégyzetét: Jelölése Eloszlása EX D 2 X P(I a.) I A = 1) = P(A) A P(A) P(A)(1 P(A)) P(I A = 0) = 1 P(A) P(X = 1) = p a.) Ind(p) p p(1 p) P(X = 0) = 1 p P(X =k)= ( ) n b.) Bin(n, p) k p k (1 p) n k np np(1 p) k = 0, 1,..., n c.) HipGeo(N, M, n) d.) e.) Geo(p) Poi(λ) P(X = k) = (M k )( N M ( N n) k = 0, 1,..., min(n, M) P(X = k) = p(1 p) k 1 k = 1, 2,... n k ) P(X = k) = λk k! e λ aa k =0,1,... n M N n M ( ) N 1 M N n N N 1 1 p λ 1 p p 2 λ Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 16 / 35

Feladatok E13.) Három befektetési lehetőség közül választhatunk: bankszámla, fix éves 3, 3%-os kamattal; egy 5 éve futó befektetési alap, ami a korábbi tapasztalatok alapján 50% eséllyel 2%-os hozamot, vagy 50% eséllyel 6%-os éves hozamot nyújt; egy részvény, a több éves tőzsdei adatok alapján azt látjuk, hogy 50% eséllyel 1%-ot veszít értékéből, vagy 50% eséllyel 11%-ot nő a részvény értéke egy év alatt. Melyik befektetést tartod a legjobbnak? Várható érték 4 2 0 2 4 Hozam magas részvény befektetési alap államkötvény alacsony bankbetét alacsony magas Szórás Kockázat Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 17 / 35

Feladatok E14.) Határozzuk meg és ábrázoljuk az X diszkrét valószínűségi változó eloszlásfüggvényét! E15.) Vezessük le az alábbi nevezetes abszolút folytonos eloszlások várható értékét és szórásnégyzetét! Az egyenletesnél és az exponenciálisnál számítsuk ki az eloszlásfüggvényt is! Jelölése Sűrűségfüggvény EX D 2 X a.) E(a, b) c.) Exp(λ) { 1 b a ha a < x < b 0 különben a+b 2 (b a) 2 12 b.) N(0, 1 2 ) 1 e x2 2 { 2π x R 0 1 λe λx ha x > 0 0 különben E16.) Legyen X N(2, 3 2 ), Y = I(X > 5). Határozd meg Y várható értékét! Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 18 / 35 1 λ 1 λ 2

Carl Friedrich Gauß (1777 1855) Gauss-eloszlás (normális eloszlás) legkisebb négyzetek módszere aa kongruencia 15 10 (mod 5) Gauss-egészek: Z[i] = {a + bi : a, b Z} szabályos 17-szög szerkesztése kvadratikus reciprocitás tétele Gauss-elimináció fast Fourier transform (FFT) Gauss vs Bolyai Farkas: nem-euklidészi geometria Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 19 / 35

A normális eloszlás sűrűségfüggvénye f (x) = 1 2πσ e (x µ)2 2σ 2 Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 20 / 35

Abszolút folytonos eloszlások a gyakorlatban A normális eloszlás előfordulása: mérési hibák loghozamok (tőzsdeindexek, részvény-, valutaárfolyamok) hőmérséklet testmagasság vérnyomás standardizált tesztpontszámok (pl. IQ-teszt) kvantum harmonikus oszcillátor alapállapoti energiája Az exponenciális eloszlás előfordulása: várakozási idő a következő villamosra/buszra DNS-láncban két mutáció közti távolság napi csapadékadatok maximuma (extrém érték) fizetések egy vállalatnál gázmolekulák mérete gravitációs térben Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 21 / 35

További abszolút folytonos eloszlások Eloszlás neve Jelölése Eloszlásfüggvény Sűrűségfüggvény EX D 2 X Cauchy Cauchy(a, b) a R, b > 0 Pareto Pareto(α, β) a, b > 0 ( ) 1 π arctg x a + b 2 1 { ( ) 1 β α x ha x β 0 ha x < β [ 1 ( πb 1+ x a b ( ) α β α+1 β ha x β x 0 ha x < β ) 2 ] x R αβ α 1 β 2 α (α 1) 2 (α 2) A Pareto-eloszlásnak akkor van véges várható értéke a képletnek megfelelően, ha α > 1, szórásnégyzete pedig akkor, ha α > 2. Gamma Γ(α, λ) α, λ > 0 Jelölése Sűrűségfüggvény EX D 2 X χ 2 k k N 1 2 k/2 Γ(k/2) xk/2 1 e x/2 x R k 2k { 1 Γ(α) λα e λx x α 1 ha x 0 α α 0 ha x < 0 λ λ 2 Béta Beta(α, β) α, β > 0 Eloszlás neve Khínégyzet Lognormális LN(m, σ 2 ) m R, σ > 0 Student t ν ν > 0 Fisher F d1,d 2 d 1, d 2 > 0 { Γ(α+β) Γ(α)Γ(β) xα 1 (1 x) β 1 x [0, 1] 0 különben (log x m) 2 1 x 2πσ e 2σ 2 ha x 0 0 hax < 0 ( ) Γ ν+1 ( 2 ( ) πνγ ν2 1 + x2 ν ) d1 +d Γ( 2 ( 2 d1 ) d 1 ( ) ( ) 2 d12 d22 d Γ Γ 2 α α+β e m+σ2 /2 ) ν+1 2 0 (ha ν > 1) d 12 1 ( x 1+ d ) d 1 +d 2 1 x 2 d 2 d 2 d 2 2 (ha d 2 > 2) αβ (α+β) 2 (α+β+1) (e σ2 1 )e 2m+σ 2 ν ν 2 (ha ν > 2) 2d 2 2 (d 1 +d 2 2) d 1 (d 2 2) 2 (d 2 4) (ha d 2 > 2) Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 22 / 35

Feladatok E17.) Adjunk meg olyan (X, Y ) diszkrét valószínűségi vektorváltozót, amire a peremeloszlások egyenletesek, azonban az együttes eloszlás nem egyenletes! E18.) Polinomiális eloszlás. Egymástól függetlenül n-szer végrehajtunk egy kísérletet, aminek r (1 r Z) különböző kimenetele lehet. Jelölje p i az i-edik kimenet r valószínűségét, i = 1, 2,..., n, p i = 1. i=1 Legyen X i : hányszor adódott az i-edik kimenetel. a.) Határozd meg az X = (X 1,..., X r ) valószínűségi vektorváltozó eloszlását! b.) Határozd meg a peremeloszlásokat! c.) Számítsuk ki a koordináták közti lineáris korrelációs együtthatót, azaz az R(X i, X j ) mennyiséget 1 i j n esetén! d.) Adjuk meg X kovarianciamátrixát! Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 23 / 35

Feladatok E19.) Legyen { (X, Y ) együttes sűrűségfüggvénye (c valós paraméter) cy ha 0 < x < 2 és 0 < y < 1 f (x, y) = 0 egyébként a.) Független X és Y? b.) Számítsuk ki a c értékét, a peremsűrűségfüggvényeket, valamint a P ( X < 3 2, Y > 1 2) valószínűséget! E20.) Névjegy probléma újratöltve. Tegyük fel, hogy n ember véletlenszerűen összekeveri a névjegyét (esernyőjét)! Legyen X: hány ember kapja a saját névjegyét. a.) Határozd meg X várható értékét! b.) Határozd meg X szórását! E21.) Adjunk meg olyan X és Y valószínűségi változókat, amik korrelálatlanok, de nem függetlenek! Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 24 / 35

Feladatok E22.) Dobjunk egy érmével annyiszor, amennyit egy szabályos kockával dobtunk. Jelölje X a fejek számát. Adjuk meg X várható értékét! E23.) Egy biztosító 1000 lakásbiztosításos ügyféllel rendelkezik. Egy év alatt egy biztosított lakásában a káresemények száma Poisson-eloszlású 0,1 paraméterrel. Az okozott kár nagysága (e Ft) 1/100 paraméterű exponenciális eloszlást követ. Várhatóan mennyi lesz a biztosító kiadása 1 év alatt? E24.) Határozzuk meg az alábbi eloszlások momentumgeneráló függvényét: a.) Bin(n, p); b.) Exp(λ); c.) N(m, σ 2 ). E25.) Határozzuk meg két független, a (0; 2) intervallumon egyenletes eloszlású valószínűségi változó konvolúcióját! Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 25 / 35

A. A. Markov (1856 1922) P. Csebisev (1821 1894) E26.) Egy szabályos pénzérmét n = 60 alkalommal feldobunk. Legyen X a fejek száma. Becsüljük felülről a P(X 50) valószínűséget a.) Markov-egyenlőtlenséggel, g(x) = x esetén; b.) Csebisev-egyenlőtlenséggel; c.) Markov-egyenlőtlenséggel, g(x)=e tx esetén, majd határozzuk meg azt a t értéket, amire a felső becslés a legélesebb! Hasonlítsuk össze ezeket a becsléseket a valódi valószínűséggel! Becsüljük felülről általánosan, n érmedobás esetén a P(X K ) valószínűséget, ha K > n 2! Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 26 / 35

Feladatok E27.) Nagyon sokszor dobálva egy szabályos kockával, hova tart (és milyen értelemben) a dobások átlagos értéke? E28.) Legalább hány embert kell megkérdezni egy közvélemény-kutatásnál, ha egy p = 10%-os párt támogatottságát legalább 1 α = 95%-os valószínűséggel ε = 0, 01-nél kisebb hibával szeretnénk megbecsülni? a.) Számoljunk a Csebisevegyenlőtlenséggel! b.) Számoljunk a centrális határeloszlás-tétellel! c.) Szimulációval nézzük meg, hogy hány embert kell megkérdezni különböző támogatottságú pártok esetén! Megkérdezendo emberek száma 0 10000 30000 50000 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Párt támogatottsága Csebisev CHT Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 27 / 35

Véletlen bolyongás Tükrözési elv: Legyen A és B az x tengely azonos oldalán levő két pont. Jelölje A az A tükörképét az x tengelyre. Ekkor az A-ból B-be vezető azon utak száma, amelyeknek az x tengellyel van közös pontjuk, megegyezik az A -ből B-be vezető utak számával. Tömören: #(utak: A B; érintik vagy metszik az x tengelyt) = #(utak: A B) y A B x A Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 28 / 35

Szimmetrikus bolyongás E29.) Ballot-lemma (Bertrand). Tegyük fel, hogy egy választáson két jelöltre lehetett szavazni: Márton Móricra és Nagy Nimródra. A választáson összesen n szavazópolgár vett részt, amit Márton Móric nyert meg, m szavazatnyi előnnyel. Mutassuk meg, ekkor annak a valószínűsége, hogy a szavazatszámlálás során (egyenként számlálták meg a szavazatokat) végig ő vezetett: m n. Egy "rossz" út: Márton Móric előnye (n; m) (1; 1) (1; 1) Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 29 / 35

Szimmetrikus bolyongás E30.) Tönkremenési probléma. Adél és Bea egymás ellen játszanak, Adélnak a egységnyi pénze van, Beának b (a és b egész számok) egységnyi. Minden fordulóban feldobnak egy szabályos érmét, Adél nyer, ha fej, és Bea, ha írás adódik. Az a játékos nyer, aki megszerzi a másik összes pénzét. Határozd meg annak a valószínűségét, hogy Bea tönkremegy (azaz Adél nyer)! Mihez tart a tönkremenés valószínűsége rögzített b esetén, ha a? E31.) A szimmetrikus bolyongás visszatérő. a.) Mutassuk meg, hogy a szimmetrikus bolyongás 1 valószínűséggel visszatér a 0-ba! b.) Mutassuk meg, hogy a szimmetrikus bolyongás várhatóan végtelen sok lépésben tér vissza a 0-ba! Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 30 / 35

Véletlen bolyongás A véletlen bolyongás alkalmazási területei: információ, vírusok stb. terjedése komplex hálózatokban (internet, neuronhálók, kapcsolati hálók, stb.); a WWW méretének becslése; Pagerank algoritmus; Twitter kit javasol követni; képszegmentáció (random walker algoritmus); molekulák által bejárt út folyadékokban/gázokban; szerencsejátékok modellezése; a Brown-mozgás közelítése; "random walk hypothesis" a részvénypiaci árak véletlen bolyongás szerint alakulnak (vitatott); ideális lánc leírása polimerfizikában; genetikai sodródás statisztikai tulajdonságainak vizsgálata; Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 31 / 35

A vizsga Gyakorlati jegy megléte szükséges. Nem elvárás az ünnepi öltözet. Nyugodtan gyertek kényelmes, hétköznapi utcai ruhában. Készülés nélkül ne gyere el vizsgázni! A 2-eshez a teljes anyagból kell minimális ismeretekkel rendelkezni. Ha megtanulod 5-ösre az első 7 előadás anyagát, a többiből pedig nem tudsz semmit, akkor P(megbuksz a beugrón) = 1. Használható egy vizsgasegédletet, amiből mindenki kapni fog egyet a beugrón és a szóbelin is. Ez tartalmazza a nevezetes eloszlások fontosabb képleteit, illetve a normális eloszlás táblázatát. Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 32 / 35

A vizsga menete Írásbeli beugró: 30 perces, 20 pontból 13-at kell elérni Alapvető keresztkérdések, definíciók, tételek, állítások, példamegoldás, amik a 2-es szinthez elvártak. Egy próbabeugró: http://vargal4.elte.hu/probabeugro.pdf Szóbeli: Húzol egy "A" tételt és aki szeretne, húz egy "B" tételt. A "B" tételből újat kell húznod, ha az erős átfedést mutat az "A" tétellel. Az "A" tétel ismertetésével legfeljebb 3-ast, a "B" tétel ismertetésével 4-est/5-öst szerezhetsz. "B" tétel ismertetésére akkor kerülhet sor, ha az "A" tétel alapján legalább 3-ast kapnál. 2-es érdemjegy esetén a vizsgának vége. "B" tételt azután is húzhatsz, ha az "A" tételből 3-ast kaptál, ekkor visszaülhetsz felkészülni. Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 33 / 35

A vizsga szóbeli része (folytatás) Egy szóbeli időtartama tipikusan 15 perc ("A" tétel), illetve 25 perc ("A"+"B" tétel). Ha valaki nagyon meggyőző az "A" tétel ismertetése során, nem kérdezek végig minden részletet, hanem gyorsan áttérünk a "B" tételére. A szóbeli fő célja a tárgyi tudás felmérése mellett, hogy kiderüljön, mennyire értetted meg a tananyagot, átlátod-e az összefüggéseket. Minden "A" tételt két témából ollóztam össze. A vizsga elégtelen, ha az egyik témához abszolút nem tudsz hozzászólni. A vizsga szóbeli része azonnal elégtelennel zárul, ha alapvető hiányosságokra derül fény. Például nem tudsz alapvető definíciókat: valószínűségi változó, eloszlásfüggvény összekevered a korrelálatlanságot a függetlenséggel nem tudod kimondani a nagy számok egyik törvényét se nem tudod kimondani a centrális határeloszlás-tételt kérek tőled egy példát diszkrét eloszlásra, és a normális eloszlást mondod nem tudsz várható értéket/szórást számolni Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 34 / 35

Konzultációs és vizsgaidőpontok Nap Időpont Hely konzultáció dec. 20.,kedd 14:00 D 3-309 1. vizsga dec. 21., szerda beugró 10:00 D 0-803 szóbeli 13:30 D 3-306 konzultáció jan. 3., kedd 10:00 D 3-309 2. vizsga jan. 4., szerda beugró 10:00 D 0-822 szóbeli 11:00 D 3-316 konzultáció jan. 10., kedd 10:00 D 3-309 3. vizsga jan. 11., szerda beugró 10:00 D 0-822 szóbeli 11:00 D 3-316 konzultáció jan. 24., kedd 10:00 D 3-309 4. vizsga jan. 25., szerda beugró 10:00 D 0-822 szóbeli 11:00 D 3-316 konzultáció jan. 31., kedd 10:00 D 3-309 5. vizsga (UV) febr. 1., szerda beugró 10:00 D 0-822 szóbeli 11:00 D 3-316 Varga László (ELTE) Valószínűségszámítás 2016. december 13. 35 / 35