Matemata statszta elıadás III. éves elemzı szaosoa 009/00. élév. elıadás Tapasztalat eloszlás Mde meggyeléshez (,,, ) / súlyt redel. Valószíőségeloszlás! Mtaátlag éppe ee az eloszlása a várható értée. Tapasztalat eloszlás eloszlásüggvéye: tapasztalat eloszlásüggvéy: F (lépcsısüggvéy). F (z)=/, ( ) ( ) ha () 0 =-, () = < z Ha a mta X,X,,X valószíőség változó-sorozat, F (z) s valószíőség változó. Példa Kumulált gyaorság soro a/ 0.0 0. 0.4 0.6 0.8.0 ormáls eloszlás özelítése, =0 30 40 50 60 70 z a/ 0.0 0. 0.4 0.6 0.8.0 ormáls eloszlás özelítése, =00 30 40 50 60 70 z Táblázatos megelelıje a tapasztalat eloszlásüggvéye: megadja, hogy az adott osztályöz elsı határáa megelelı és aál sebb értée háyszor (ll. mlye aráyba) ordula elı. Lehet leele s umulál: az adott osztályöz alsó határáa megelelı és aál agyobb értée háyszor (ll. mlye aráyba) ordula elı. Értéösszegsor Az osztályohoz az azoba tartozó meggyelése smérvértéee az összegét redel Ha a gyaorság sor osztályözöel va megadva és csa a megoszlás smert, aor becsüljü (osztályözép és gyaorság szorzata). Lehet relatív értéösszegsort s épez (a teljes értéösszeggel elosztva az osztályo értéösszegét) Graus ábrázolás Oszlopdagram: a gyaorságoal aráyos az oszlopo magassága Meység smérvere: Gyaorság polgo Hsztogram Megoszlás szemléltetése lehetséges ördagrammal s.
Hsztogram (meység smérvere) Adataat osztályoba sorolju (mdegyet potosa egybe, pl. az -ed osztály: a <a ), a csoporto relatív gyaorsága megegyeze az osztály ölé rajzolt téglalap területével. Összterület: (hasoló a sőrőségüggvéyhez) Példá Túl so osztály Frequecy 0 0 0 30 40 Potszámo graus ábrázolása 0 30 40 50 60 70 80 potszám Példá Túl evés osztály Frequecy 0 50 00 50 00 50 300 350 Potszámo graus ábrázolása Példá Jó osztályszám Frequecy 0 50 00 50 00 Potszámo graus ábrázolása 0 30 40 50 60 70 80 90 potszám 0 30 40 50 60 70 80 potszám Középértée: átlag Mtaátlag:... : = ha az egyes értée (l ) gyaorsága ( ) adotta: = Ha csa az osztályözöbe esı értée gyaorságát smerjü, az egyes értéeet becsüljü az osztályözéppel és alalmazzu az elızı épletet. l... l : Medá A sorbaredezett mta özépsı eleme (ha páros so eleme va: a ét özépsı átlaga). Közelítés osztályözös gyaorságora: ' me Me= l h : l a medát magába oglaló osztály alsó határa me : umulált gyaorság a medát megelızı osztályg bezárólag me : a medát magába oglaló osztály gyaorsága h: a medát magába oglaló osztály szélessége. : a mta elemszáma me
Módusz A leggyaorbb (tpus) érté. Az eloszlás lehet umodáls, bmodáls vagy polmodáls(egy-, ét- vagy többmóduszú). Meghatározása: A gyaorság polgo mamumhelye (a modáls osztályöz özépértée). Közelítése em szmmetrus esetbe Mo= mo 0 0 0 0 0 Ahol mo a móduszt tartalmazó osztály alsó határa 0 a móduszt tartalmazó osztály gyaorsága 0- a móduszt tartalmazó osztályt megelızı osztály gyaorsága 0 a móduszt tartalmazó osztályt övetı osztály gyaorsága h a móduszt tartalmazó osztály szélessége h Tapasztalat vatlse Elmélet vatls: abszolút olytoos, szgorúa mooto F eseté q z =F - (z) Általába: {:F()>z} A tapasztalat eloszlás vatlse: tapasztalat vatlse. Esetleg leárs terpolácóval lehet potosíta a becsléseet. z=/: medá. z=/4, 3/4: vartlse Alapstatsztá graus megjeleítése boplot Az egyes dobozo az alsó vartlstól Gam a elsı vartlsg tartaa. Középvoal a medá. T5 A voala a teljes terjedelmet Norm elölel, ha ez az egyes ráyoba em agyobb a U05 vartlse özött ülöbség.5- szereséél. Ha eze ívül s vaa poto, azoat ülö-ülö jeleít meg. -4-0 4 6 Graoo/: Éves mamáls vízálláso Graoo/: halálozás rátá relatív gyaorság 0.0000 0.0005 0.000 0.005 0.000 0.005 Hsztogram 00 400 600 800 000 Survval probablty mortalty 0. 0.4 0 e00 6 e04 0.0 0.6 Mortalty Rate 0 40 60 80 00 Survval probablty 0 40 60 80 00 probablty rato.0 0 000 000 3000 0.5.5.0 Rato o Mortalty Rates 0 40 60 80 00 Age at death 0 40 60 80 00 Magyar éphaladóság (000, olytoos voal) USA éphaladóság (950, szaggatott voal) Meggyelése (cm) 3
Graoo/3: Relámampáyo Kvatlse számítása Webull becslése Webull becslése Osztályözös gyaorság sorból 0 0 40 60 80 eml l 0 0 40 60 80 eml l Potdagramo pn Qp = ' h 0 00 600 000 0 00 600 000 0 0 40 60 80 = Webull becslése eml l 0 00 600 000 = 7 0 0 40 60 80 = 4 Webull becslése eml l 0 00 600 000 = 0 Ahol a vatlst tartalmazó osztály alsó határa N a mta elemszáma - umulált gyaorság a vatlst tartalmazó osztályt megelızı osztályyal bezárólag a vatlst tartalmazó osztály gyaorsága h a vatlst tartalmazó osztály szélessége Szóródás Meység smérv értéee ülöbözısége Mérıszáma: Terjedelem: ma( )-m( ) Átlagos abszolút eltérés: 3... d = Gyaorság sorra: d =... Tapasztalat szórás Tapasztalat szóráségyzet: ( ) ( ) ( 3 )... ( ο = ) Gyaorság sorora: ( ) ( )... ( ο = ) Kszámítás lehetıség: ο = Négyzetgyöe a tapasztalat szórás. Optmumtulajdoságo A mtaátlag adja az átlagos égyzetes eltérése mmumhelyét, a mmum értée a szóráségyzet: ο ( a) = m a,a megoldás : a= A medá pedg az átlagos abszolút eltérést mmalzálja: m a a,a megoldás : a= medá Redezett mta Az X,...,X mta elemet agyság szert sorbaredezve apju az X () X ()... X () redezett mtát. Mostatól: az X,...,X mta eleme üggetle, azoos eloszlásúa. Ha eltesszü, hogy a özös eloszlásu abszolút olytoos, aor elírható a redezett mta -ad elemée, X () -e a sőrőségüggvéye. 4
Redezett mta elemee sőrőségüggvéye, ( ) Spec.: mmum: mamum: F = ( ) ( )( ( )) A grao éháy esetre. F, ( ) = ( )( F ( )), ( ) = ( ) F ( ) Becsléselmélet A mta eloszlásáa smeretle paraméterét özelítjü a mta üggvéyével (elevezés: becslés, becslıüggvéy) Statszta: a mta üggvéye. A becslése magu s statsztá. Tovább példá statsztára: tapasztalat mometumo: X = Tapasztalat szóráségyzet stb. / Becslése tulajdosága Torzítatlaság. θ valós paramétert becslü a T(X) statsztával. Ez torzítatla, ha, E T (X ) mde θ paraméterértére. Példá: ( ) θ θ = Valószíőség becslése relatív gyaorsággal. Várható érté becslése mtaátlaggal Korrgált tapasztalat szóráségyzet ( X X) /( ) = 5