4. fejezet Analitikus táblázatok a kijelentéslogikában Bevezetés A következtetések helyességének ellenőrzésére több eljárás is kínálkozik. Az egyik az igazságtáblázatok módszere, amelyet az előző fejezetekben részletesen tárgyaltunk. Közös igazságtáblázatba foglaljuk a premisszákat és a konklúziót, és megvizsgáljuk, van-e olyan sor, amelyben a premisszák mindegyikénél az igaz, a konklúziónál viszont a hamis érték szerepel. Ha van ilyen sor, akkor a következtetés helytelen; ha nem, akkor helyes. Ez a módszer azonban nem különösebben takarékos. Ha a premisszáink és a konklúziónk összesen három atomi kijelentésből épül fel, akkor a táblázatnak még csak nyolc sora van; ha azonban hétből, akkor már százhuszonnyolc. És egy hét atomi kijelentésből építkező érv még csak nem is tekinthető szélsőséges esetnek. Lássunk egy példát: Ha ellenőr jön, és sem a zsebemben, sem a tárcámban, sem a táskám cipzáros rekeszében nem találom meg a bérletemet, akkor leizzadok. Ha a zsebemben, a tárcámban vagy a táskám cipzáros rekeszében megtalálom a bérletemet, akkor nem hagytam otthon. Ha leizzadok, akkor nincs esélyem az állásinterjún. Márpedig sajnos otthon hagytam a bérletemet. Tehát: Csak akkor van esélyem az állásinterjún, ha nem jön ellenőr. Alkalmazzuk a következő jelöléseket: p: Ellenőr jön. q: A zsebemben megtalálom a bérletemet. r: A tárcámban megtalálom a bérletemet. s: A táskám cipzáros rekeszében megtalálom a bérletemet. t: Leizzadok. u: Otthon hagytam a bérletemet. v: Van esélyem az állásinterjún. A következtetés szerkezete a bevezetett jelölésekkel: (p & ~ q & ~ r & ~ s) t (q r s) ~ u t ~ v u v ~ p Az igazságtáblázat elkészítése itt igen kellemetlen feladat volna. Pedig a következtetés nyilvánvalóan helyes. Ezt mutatja az alábbi gondolatmenet. Tegyük fel, hogy a premisszák igazak, a konklúzió pedig hamis! Ekkor a konklúzió hamisságából adódóan v igaz, ~ p pedig hamis; vagyis p megintcsak igaz. Ha viszont v igaz, akkor ~ v hamis, vagyis a harmadik premissza miatt t hamis. u a negyedik premissza értelmében igaz, tehát ~ u hamis; de ez a második premissza miatt azzal jár, hogy q r s is hamis. Az utóbbi csak úgy lehetséges, ha q is, r is, s is hamis; tehát ~ q is, ~ r is, ~ s is igaz. Ekkor viszont p & ~ q & ~ r & ~ s igaz, így az első premissza értelmében t igaz. Azt kaptuk, hogy t egyszerre igaz és hamis. Ez lehetetlen. Lehetetlen, hogy a premisszák igazak, a konklúzió pedig hamis legyen; a következtetés tehát helyes. A helyesség tehát százhuszonnyolc helyett néhány sorban ellenőrizhető: megmutattuk, hogy ellentmondásra jutnunk abból a feltevésből, hogy a premisszák igazak, de a konklúzió hamis. Ez a helyesség ellenőrzésének indirekt módszere. Egyszerűbb következtetések esetében már éltünk vele az előző fejezetekben is, anélkül, hogy néven neveztük volna. Ez az eljárás lényegesen takarékosabb, mint 1
az igazságtáblázatok készítése. (Az igazsághoz hozzátartozik: a példát szándékosan úgy választottuk meg, hogy az indirekt módszerrel a lehető leggyorsabban célhoz érjünk. De általában is igaz, hogy az indirekt ellenőrzés gyorsabb, mint az igazságtáblázat.) Részletesebben kifejtve a következő lépéseket különíthetjük el az indirekt ellenőrzési eljárásban: (1) feltételezzük, hogy a konklúzió hamis, a premisszák pedig igazak; (2) a kijelentések logikai szerkezetét egészen az atomi kijelentésekig visszakövetve megvizsgáljuk, milyen következményekkel jár feltevésünk a premisszákat és a konklúziót alkotó atomi kijelentések igazságértékére nézve; (3) ellenőrizzük, hogy az atomi kijelentések igazságértékével kapcsolatban jutottunk-e egymásnak ellentmondó következtetésekre. Ha igen, akkor a következtetés helyes; ha nem, akkor helytelen. Az eljárás során tehát a premisszákból és a konklúzió tagadásából álló kijelentéshalmaz rejtett ellentmondásosságát igyekeztünk explicitté tenni. Ehhez mindenekelőtt hipotetikusan igazságértéket tulajdonítottunk a premisszáknak és a konklúziónak. Erre a lépésre azonban voltaképpen nincs szükség. A rejtett ellentmondást anélkül is feltárhatjuk, hogy explicit módon hivatkoznunk kellene a formulák igazságértékére. Azt ugyanis, hogy egy kijelentés igaz, kifejezhetjük magának a kijelentésnek az állításával; azt pedig, hogy egy kijelentés hamis, kifejezhetjük a kijelentés tagadásával. Hiszen gondoljuk csak meg: az, hogy az»ellenőr jön«kijelentés igaz, maga is csak egy kijelentés, és pontosan ugyanolyan feltételek mellett igaz, mint az, hogy ellenőr jön ; a logikai szempontból tehát sem többet, sem kevesebbet nem mond, mint az utóbbi. És természetesen az, hogy az»ellenőr jön«kijelentés hamis, hasonlóképpen nem mond sem többet, sem kevesebbet, mint az, hogy nem jön ellenőr. A következőkben az iménti meggondolások szerint fogjuk pontosítani az indirekt ellenőrzési módszert. Egy következtetés helyességének ellenőrzéséhez mindenekelőtt felírjuk a premisszákat és a konklúzió tagadását; azután pontosan meghatározott, kizárólag a kijelentések logikai szerkezetére támaszkodó szabályok szerint megvizsgáljuk, milyen információkat tudunk meg ebből a kijelentéshalmazból. Ezeket az információkat magukat is kijelentésekben fogalmazzuk meg, és pontos listát vezetünk róluk. Előfordulhat, hogy egy kijelentésből több, alternatív információt is kibonthatunk; ezekkel mind külön-külön kell tovább dolgoznunk. Így épül fel az, amit a kijelentéshalmaz analitikus táblázatának nevezünk. Az eredeti kijelentéshalmaz rejtett ellentmondásossága explicitté válik, ha a megtudott kijelentések listájának minden alternatív ágán felbukkan egy kijelentés és annak negációjellel ellátott változata. Ilyenkor a kijelentéshalmaz kielégíthetetlen, az ellenőrzött következtetés tehát helyes. Ha viszont valamely alternatív ág olyan atomi információkhoz juttat bennünket, amelyeknek listáján nincs ilyen explicit ellentmondás, akkor az eredeti kijelentéshalmaz kielégíthető; az ellenőrzött következtetés tehát helytelen. Az analitikus táblázatok módszere így a következő formát ölti: (1) felírjuk a premisszákat és a konklúzió tagadását; (2) a kijelentések logikai szerkezetét egészen az atomi kijelentésekig visszakövetve, egyedül azok logikai formájára támaszkodva egészen az atomi információkig végigkövetjük, mit tudunk meg a premisszákból és a konklúzió tagadásából (az információkat kijelentésekkel fejezzük ki; atominak nevezzük azt az információt, amelyet atomi kijelentéssel vagy atomi kijelentés negációjellel ellátott változatával tudunk kifejezni); (3) ha minden irányban felbukkant legalább egy kijelentés és annak negációjellel ellátott változata, akkor a következtetést helyesnek minősíthetjük; ha nem, akkor helytelennek. Ismerkedjünk most meg az analitikus táblázatok készítésének szabályaival. Származékok; a táblázatszerkesztés alaplépései Az analitikus táblázatok szerkesztése során az összetett kijelentésekben megfogalmazott információtömegből egyszerűbb kijelentésekben megfogalmazott, elemibb információkat fogunk kibontani. A kibontott információkat természetesen ismét csak kijelentésekben fogalmazzuk meg. Az így kapott újabb kijelentéseket az elemzett kijelentés származékainak hívjuk. A származékok számba 2
vételével feltérképezhetjük azokat a lehetőségeket, amelyek mellett az eredeti kijelentéseink mindegyike igaz. A származékokat érdemes példákon bemutatni. Milyen elemi információkat tudunk meg a János nálunk járt, és megkóstolta a feleségem almás pitéjét kijelentés igazságából? Egyrészt azt, hogy a János nálunk járt kijelentés igaz; másrészt azt, hogy a János megkóstolta a feleségem almás pitéjét kijelentés is igaz. A két atomi kijelentést az összetett kijelentés alá írhatjuk, így összegezve a megtudott információkat. János nálunk járt, és megkóstolta a feleségem almás pitéjét. János nálunk járt. János megkóstolta a feleségem almás pitéjét. Mit tudunk meg tehát általában egy A & B formájú kijelentés igazságából? Egyrészt azt, hogy A igaz; másrészt azt, hogy B igaz. Ha egy kijelentésből egy vagy több másik kijelentés együttes igazságát tudjuk meg, ezt mindig úgy jelezzük, hogy a megtudott információkat a táblázatban a kijelentés alá írjuk. A & B A B Az ilyen esetekben azt mondjuk, hogy kijelentésünknek konjunktív származékai vannak: A & B-ből mind A, mind B igazságát megtudjuk. Folytassuk vizsgálódásunkat a negációval! Mit tudunk meg abból, hogy Tamás nem ment el a megnyitóra? Azt, hogy a Tamás elment a megnyitóra kijelentés hamis. Ezt az információt viszont megint csak a Tamás nem ment el a megnyitóra kijelentéssel fejezhetjük ki. Nem tudunk tehát az eredetinél elemibb információkhoz jutni. Más a helyzet azonban a nem igaz, hogy Tamás elment a megnyitóra vagy az azt követő fogadásra kijelentés esetében. Ebből ugyanis megtudhatjuk, hogy egyfelől a Tamás elment a megnyitóra kijelentés hamis; másfelől pedig a Tamás elment a megnyitót követő fogadásra is hamis. A megtudottakat táblázatszerűen összegezve: Nem igaz, hogy Tamás elment a megnyitóra vagy az azt követő fogadásra. Tamás nem ment el a megnyitóra. Tamás nem ment el a megnyitót követő fogadásra. A származtatott információk természetesen a tagadott kijelentés belső szerkezetétől függnek; másra jutottunk volna a nem igaz, hogy Tamás elment a megnyitóra és az azt követő fogadásra kijelentésből. Általában is igaz, hogy a ~ A formájú kijelentéseknek csak A belső szerkezete ismeretében tudjuk megadni a származékait. Ha A elemi kijelentés, akkor ~ A-nak egyáltalán nincsenek származékai. ~ p, ~ q stb. éppúgy elemi információnak minősül, mint p, q stb. Ha viszont A összetett, akkor a származékok A belső szerkezetétől függenek. Ami pedig a tárgyalt példát illeti, a ~ (A B) formájú kijelentések származékai: ~ (A B) ~ A ~ B A konjunkcióhoz, valamint a tagadott diszjunkcióhoz hasonlóan konjunktív származékai vannak a tagadott feltételes kijelentéseknek is. A nem igaz, hogy ha idejében odaérek, mindent el tudok intézni kijelentés igazságából a kondicionálisra adott sajátos, egyszerűsítő értelmezésünk alapján egyrészt azt tudjuk meg, hogy az idejében odaérek kijelentés igaz, másrészt azt, hogy a mindent el tudok intézni kijelentés hamis. Táblázatszerűen: Nem igaz, hogy ha idejében odaérek, mindent el tudok intézni. Idejében odaérek. Nem tudok mindent elintézni. A ~ (A B) formájú kijelentések származékai tehát általánosságban: 3
~ (A B) A ~ B De nem minden kijelentésforma származékai konjunktívak. Mit tudunk meg például a júliusban vagy augusztusban lesz az esküvő kijelentés igazságából? Azt, hogy a júliusban lesz az esküvő és az augusztusban lesz az esküvő kijelentések közül legalább az egyik igaz. Az ilyen esetekben alternatív származékokról beszélünk, és a származékokat nem egymás alá írjuk, hanem egymás mellé, vonallal elválasztva: Júliusban vagy augusztusban lesz az esküvő. Júliusban lesz az esküvő. Augusztusban lesz az esküvő. Így az A B formájú kijelentések származékai a következőképpen alakulnak: A B A B Ha alternatív származékok bukkannak fel, az egész táblázat kettéágazik; minden olyan kijelentést, amely a kettéágazás fölött, a fő ágban szerepel, az alternatív ágak mindegyikében figyelembe kell venni; és ha a fő ágban nem vettük még fel a származékait, akkor azokat az alternatív ágak mindegyikében fel kell venni. Erre majd a későbbiekben látunk példát. Szintén alternatív származékokkal járnak a feltételes kijelentések. Igazságfeltételeiket úgy határoztuk meg, hogy csak akkor legyenek hamisak, amikor előtagjuk igaz, utótagjuk hamis; így például a ha igaz, amit a tanú állít, akkor még valaki jelen volt a rablásnál igazságából annyit tudunk meg, hogy vagy az hamis, hogy igaz, amit a tanú állít, vagy az igaz, hogy még valaki jelen volt a rablásnál; vagy másként fogalmazva: azt tudjuk meg, hogy a nem igaz, amit a tanú állít és a még valaki jelen volt a rablásnál kijelentések közül legalább az egyik igaz. Táblázatszerűen: Ha igaz, amit a tanú állít, akkor még valaki jelen volt a rablásnál. Nem igaz, amit a tanú állít. Még valaki jelen volt a rablásnál. Így tehát az A B formájú kijelentések származékai: A B ~ A B Hasonlóan alternatív származékai vannak még a ~ (A & B) formájú kijelentéseknek is. A nem igaz, hogy Kati szép és buta kijelentés igazságából azt tudjuk meg, hogy a Kati nem szép és a Kati nem buta kijelentések közül legalább az egyik igaz. Nem igaz, hogy Kati szép és buta. Kati nem szép. Kati nem buta. Általánosságban, sémával kifejezve: ~ (A & B) ~ A ~ B Sajátos helyzetbe kerülünk az A B formájú kijelentésekkel; az ilyeneknek a származékai ugyanis egyszerre konjunktívak és alternatívak. Annak a kijelentésnek az igazságából, hogy Kati akkor és csak akkor kedves a férjéhez, ha az ajándékot vesz neki, a bikondicionálisra adott sajátos értelmezésünk alapján azt tudjuk meg, hogy a Kati kedves a férjéhez; Katinak ajándékot vesz a férje kijelentéspár és a Kati nem kedves a férjéhez; Katinak nem vesz ajándékot a férje kijelentéspár közül legalább az egyiknek (illetve ez esetben pontosan az egyiknek) mindkét tagja igaz: Kati akkor és csak akkor kedves a férjéhez, ha az ajándékot vesz neki. Kati kedves a férjéhez. Kati nem kedves a férjéhez. 4
Katinak ajándékot vesz a férje. Katinak nem vesz ajándékot a férje. A származékok tehát az ilyen esetekben: A B A ~ A B ~ B Hasonlóan alakulnak a tagadott bikondicionális formájú kijelentések származékai is. A nem igaz, hogy a szegháti csapat akkor és csak akkor nyer, ha a bíró is szegháti kijelentés igazságából azt tudjuk meg, hogy vagy igaz, hogy a szegháti csapat nyer, de hamis, hogy a bíró szegháti, vagy fordítva: Nem igaz, hogy a szegháti csapat akkor és csak akkor nyer, ha a bíró is szegháti. A szegháti csapat nyer. Nem a szegháti csapat nyer. A bíró nem szegháti. A bíró szegháti. A ~ (A B) formájú kijelentések származékai tehát: ~ (A B) A ~ A ~ B B Külön figyelmet érdemel az az eset, amikor egy tagadott kijelentés maga is tagadott kijelentés. A nem igaz, hogy nem mentem be az előadásra kijelentés igazságából természetesen azt tudjuk meg, hogy a bementem az előadásra kijelentés igaz: Nem igaz, hogy nem mentem be az előadásra. Bementem az előadásra. ~ ~ A egyetlen származéka tehát A: ~ ~ A A Végül összefoglaljuk az egyes mondatkonnektívumokhoz és tagadásukhoz tartozó származékokat. A & B A B A B A B ~ ~ A A A B ~ A B A ~ A A B B ~ B ~ (A & B) ~ (A B) ~ (A B) ~ (A B) ~ A ~ B ~ A A A ~ A ~ B ~ B ~ B B Táblázatok szerkesztése és kiértékelése Ebben a szakaszban ideiglenesen elszakadunk a természetes nyelvi példáktól, hiszen olyan következtetéseket vizsgálunk, amelyekről a korábbi fejezetekben már volt szó. Kijelentéseinkben minden nem-logikai elemet paraméterek p, q, r stb. betűk képviselnek; a logikai elemeket pedig a második fejezetben bevezetett szimbólumokkal &,,,, ~ jelöljük. Az ilyen, minden természetes nyelvi esetlegességtől megfosztott és a logika sajátos jelnyelvére átírt kijelentéseket formulának nevezzük. Itt és a következőkben tehát formulán mindig a logika jelnyelvén írt kijelentés értendő. Egy vagy több kijelentés analitikus táblázatának nevezzük azt a diagramot, amit a kiinduló kijelentésből vagy kijelentésekből a származékok módszeres kifejtésével kapunk. A származékok felírását a táblázat minden egyes ágán addig folytatjuk, amíg fel nem bukkan egy kijelentés és a tagadása, vagy amíg fel nem vettük az adott ágon szereplő összes összetett kijelentés minden egyes származékát. A táblázatszerkesztés pontos menetét néhány példán mutatjuk meg. 5
1. Az analitikus táblázat szerkesztésének első példája legyen a legalapvetőbb következtetési sémánk, a modus ponens. Az egyszerűség kedvéért helyettesítsünk a sémába atomi formulákat: p q, p q. A következtetés akkor és csak akkor helytelen, ha a premisszákból és a konklúzió tagadásából ellentmondó információkra jutunk. Az analitikus táblázat szerkesztését tehát a két premisszával és a konklúzió tagadásával kezdjük. Ezek alkotják a táblázat kezdősorait. (2) p (3) ~ q A három sor közül csak az elsőnek vannak származékai; a másodikban atomi kijelentés, a harmadikban atomi kijelentés tagadása áll. Az első sor származékait felvéve a táblázat két ágra bomlik: (2) p (3) ~ q (4) ~ p q (1)-ből Itt és a következőkben a jobb szélső oszlopban jelezzük, hogy melyik sor származékai szerepelnek az adott sorban. Mivel a táblázat kettéágazott, ha lennének további származékok, azokat már az egyes ágakban külön-külön kellene felvenni. Mivel azonban esetünkben már sem az eredeti formuláknak, sem maguknak a származékoknak nincsenek további származékai egyik ágon sem, mindkét ággal készen vagyunk; az ágak befejezettek. Hátra van még a táblázat kiértékelése. A bal ágon megtaláljuk p-t és ~ p-t is, a jobb oldalon pedig q-t és ~ q-t; ezek jelzik a számunkra, hogy a premisszákból és a konklúzió tagadásából ellentmondásra jutunk. Ha egy analitikus táblázat valamely ágán egy adott formulát és annak tagadását is megtaláljuk, akkor ezt az ágat zártnak mondjuk. Ha nem találunk ilyen párt, akkor az ágat nyíltnak mondjuk. Egy formulahalmaz ellentmondást rejt magában vagyis kielégíthetetlen, ha kész (tehát csupa befejezett ágat tartalmazó) analitikus táblázatának minden ága zárt. És megfordítva: egy formulahalmaz nem rejt magában ellentmondást vagyis kielégíthető, ha kész analitikus táblázatának van nyílt ága. A zárt ágat csillaggal jelöljük: (2) p (3) ~ q (4) ~ p q (1)-ből Ha egy táblázat minden egyes ágának alján csillagot látunk, akkor megállapíthatjuk, hogy a táblázat kiinduló formulahalmaza kielégíthetetlen. Ha ez a formulahalmaz egy következtetés premisszáiból és konklúziójából áll, akkor megállapíthatjuk, hogy a következtetés helyes. Mint most, modus ponens sémájú következtetésünk esetében. 2. Természetesen semmi nem kötelez bennünket arra, hogy az analitikus táblázatokban konkrét formulákat és ne sémákat szerepeltessünk. Az iménti táblázat alábbi változata általánosságban is igazolja a modus ponens sémáját: (1) A B (2) A (3) ~ B (4) ~ A B (1)-ből A következőkben az analitikus táblázatokat elsősorban formulákkal és nem sémákkal fogjuk használni. Ennek azonban nincsenek elvi okai: a két használat szabályai megegyeznek. 6
3. Ellenőrizzünk most egy a korábbi fejezetekből szintén jól ismert helytelen következtetést: p q, q p. A származékok a modus ponens táblázatához hasonlóan két ágban helyezkednek el: (2) q (3) ~ p (4) ~ p q (1)-ből A táblázat mindkét ága nyílt. A nyílt és befejezett ágakat körrel jelezzük: (2) q (3) ~ p (4) ~ p q (1)-ből o o Mivel a táblázatban van nyílt ág, a kiinduló formulahalmaz kielégíthető; tehát nem lehetetlen, hogy a premisszák igazak, a konklúzió viszont hamis legyen. A táblázatból még azt is kiolvashatjuk, hogy mikor fordul elő ez a helyzet: akkor, amikor p hamis, q viszont igaz. 4. Az analitikus táblázat eddig tehát megnyugtató eredményeket adott: a modus ponenst helyesnek, megfordítását helytelennek mutatta. Nézzünk most egy árnyalattal összetettebb példát! Ellenőrizzük analitikus táblázattal a láncszabály legegyszerűbb esetét: p q, q r p r. A táblázat elején, mint mindig, a premisszák és a konklúzió tagadása állnak: (2) q r (3) ~ (p r) A folytatásra három lehetőségünk is van: felvehetjük bármelyik premissza vagy a konklúzió tagadása származékait. Melyiket válasszuk? Érdemes a harmadikkal kezdeni, mert ennek a származékai még nem elágazók, és így némileg egyszerűbb lesz a táblázatunk: (2) q r (3) ~ (p r) p (3)-ból ~ r A számozást itt és a következőkben már csak addig a sorig folytatjuk, ahonnan utoljára veszünk fel származékokat. Most sort keríthetünk például az első premissza származékaira: (2) q r (3) ~ (p r) p (3)-ból ~ r ~ p q (1)-ből Végül a második premissza származékait természetesen mindkét ágban fel kellene vennünk; a bal ágat azonban fölösleges tovább írni, hisz az a p, ~ p ellentmondó párral már lezárult: (2) q r 7
(3) ~ (p r) p (3)-ból ~ r ~ p q (1)-ből * ~ q r (2)-ből Mindkét újabb ágon ellentmondás lépett fel, így ezek az ágak is zártak. (2) q r (3) ~ (p r) p (3)-ból ~ r ~ p q (1)-ből * ~ q r (2)-ből Minden ág zárt, tehát a premisszák ellentmondanak a konklúzió tagadásának. Az analitikus táblázatok módszere a láncszabályon is jól vizsgázott. Természetesen más sorrendben is felvehettük volna a származékokat; például felülről lefelé haladva: (2) q r (3) ~ (p r) ~ p q (1)-ből ~ q r ~ q r (2)-ből p p * p (3)-ból ~ r ~ r ~ r * Szigorúan véve tehát nem lehet azt mondani, hogy egy formulahalmaznak egy analitikus táblázata van; a nem triviális formulahalmazok analitikus táblázatát általában számos változatban megszerkeszthetjük. Erre a kérdésre néhány szakasszal később még visszatérünk. 5. Gyakran előfordul, hogy nem kell minden ágon egészen az atomi származékokig elmenni a táblázat megszerkesztésében ahhoz, hogy az ág lezáruljon. Egy kicsit szélsőséges példaként tekintsük ezt a következtetést: (p q) (r s), ~ (r s) ~ (p q). Ennek analitikus táblázatát a fentiek alapján már igen egyszerűen megszerkeszthetjük: (1) (p q) (r s) (2) ~ (r s) (3) ~ ~ (p q) ~ (p q) r s (1)-ből Itt egyik ág sem befejezett. Ez nem meglepő, ha észrevesszük, hogy a következtetés a modus tollens séma egy esete. Ha nem vettük volna figyelembe, hogy az ágak már lezárultak, és végigvezettük volna őket az atomi származékokig, meglehetősen összetett táblázatot kaptunk volna. 6. Az analitikus táblázatokat nem csak következtetések helyességének ellenőrzésére használhatjuk, hanem bármely olyan feladatra, amely véges formulahalmaz kielégíthetőségének vizsgálatát igényli. Az előző fejezetben láttuk, hogy az ellentmondás, a logikai igazság és az ekvivalenciafogalma is definiálható 8
a kielégíthetőséggel. Az ellentmondások kielégíthetetlen formulák; a logikai igazságok tagadása ellentmondás. Az ekvivalens formulák közül pedig bármelyik kielégíthetetlen formulahalmazt alkot a másik tagadásával. A továbbiakban ilyen példákat is adunk majd az analitikus táblázat módszerének alkalmazására. 7. Az analitikus táblázatok szerkesztése és kiértékelése során hallgatólagosan elfogadtuk az alábbi metatételeket (vagyis a logikai eszköztárunk tulajdonságaira vonatkozó tételeket): (1) Egyazon véges formulahalmaz analitikus táblázatainak kiértékelése kivétel nélkül ugyanazt az eredményt adja. (2) Minden véges formulahalmaz tetszőleges analitikus táblázatának véges sok ága van, és ezek az ágak véges sok lépés után befejeződnek. (3) Egy véges formulahalmaz akkor és csak akkor kielégíthető, ha analitikus táblázatainak van nyílt és befejezett ága. E tételek meghatározásaink alapján a szemlélet számára nyilvánvalóak, és szabatos bizonyításuk sem különösebben nehéz feladat; itt és most azonban eltekintünk tőle. Alkalmazási példák 1. Lássuk mindenekelőtt a fejezet elején szereplő következtetés ellenőrzését analitikus táblázattal! Hogy minden lépést el tudjunk végezni, pótoljuk azokat a zárójeleket, amelyeket a konjunkció és az alternáció asszociativitása miatt fentebb elhagytunk. Az így módosított premisszák és a tagadott konklúzió analitikus táblázata: (1) (p & ((~ q & ~ r) & ~ s)) t (2) ((q r) s) ~ u (3) t ~ v (4) u (5) ~ (v ~ p) (6) v (5)-ből (7) ~ ~ p (8) ~ t ~ v (3)-ból (9) ~ ((q r) s) ~ u * (2)-ből (10) ~ (q r) * (9)-ből (11) ~ s (12) ~ q (10)-ből (13) ~ r (14) ~ (p & ((~ q & ~ r) & ~ s)) t (1)-ből (15) ~ p ~ ((~ q & ~ r) & ~ s) * (14)-ből (16) * ~ ((~ q & ~ r) ~ ~ s (15)-ből ~ ~ q ~ ~ r * (16)-ból A (kissé terjedelmes, de még mindig nem százhuszonnyolc soros) táblázat minden ága zárt, a következtetés tehát helyes. 2. Helyes-e az alábbi következtetés? Ha ír, vagy legalább gondol rám, akkor rá sem nézek másra, és végre meg tudok békélni a világgal. Ha rá sem nézek másra, nem tudok megbékélni a világgal még akkor sem, ha ír és gondol rám. Tehát: Ha nem ír, nem is gondol rám feltéve, hogy ha gondol rám, ír. Alkalmazzuk a következő jelöléseket: 9
p: Ír. q: Gondol rám. r: Rá sem nézek másra. s: Meg tudok békélni a világgal. (Feltételezzük, hogy a kontextusból kiderül, kikről van szó.) A következtetés szerkezete: (p q) (r & s), (p & q) (r ~s)) (p q) (~q ~ p) A premisszák és a tagadott konklúzió közös analitikus táblázata: (1) (p q) (r & s) (2) (p & q) (r ~s)) (3) ~ ((p q) (~q ~ p)) (4) p q (3)-ból (5) ~ (~q ~ p) (6) ~ q (4)-ből (7) ~ ~ p p (7)-ből ~p q (5)-ből Mindkét ág zárt; a következtetés tehát helyes. A táblázat érdekessége, hogy kizárólag a konklúzió tagadásának származékait kellett felvennünk. Ez azért van, mert a konklúzió logikai igazság, tagadása tehát ellentmondás. A következtetés újabb példa arra, hogy a logikai igazságok bármilyen zagyva premisszákból következnek. 3. Kielégíthető-e a következő kijelentéshalmaz? (1) Akkor és csak akkor igaz, hogy hálás vagyok neked, amennyiben segítesz a munkámban, ha te is hálás vagy nekem, amennyiben segítek a munkádban. (2) Segítesz a munkámban, pedig nem vagy nekem hálás. (3) Akkor és csak akkor segítek a munkádban, ha hálás vagyok neked. Vezessük be az alábbi jelöléseket: p: Segítesz a munkámban. q: Hálás vagyok neked. r: Segítek a munkádban. s: Hálás vagy nekem. Tehát a {(p q) (r s), p & ~ s, r q} formulahalmaz analitikus táblázatát kell elkészítenünk és kiértékelnünk. (1) (p q) (r s) (2) p & ~ s (3) r q (4) p (2)-ből (5) ~ s (6) r ~ r (3)-ból (7) q ~ q (8) p q ~ (p q) p q ~ (p q) (1)-ből (9) r s ~ (r s) r s ~ (r s) 10
~ p q p ~ p q p (8)-ból * ~ r s ~ q ~ q (9)-ből * r ~s * Minden ág zárt; a formulahalmaz tehát nem kielégíthető. 4. Logikai igazság-e az alábbi állítás? Vagy akkor és csak akkor szavaz a törvénymódosítás mellett a jobboldal, ha a baloldal ellene szavaz, vagy alkut kötöttek a háttérben feltéve, hogy vagy a jobboldal a módosítás mellett szavaz, vagy nem igaz, hogy vagy ellene szavaz a baloldal, vagy alkut kötöttek a háttérben. Ez a kijelentés önmagában is jó érv a logikai jelnyelvünk hasznossága mellett; eredeti megfogalmazásában szinte követhetetlen a szerkezete. Alkalmazzuk azonban az alábbi jelöléseket: p: A jobboldal a törvénymódosítás mellett szavaz. q: A baloldal a törvénymódosítás ellen szavaz. r: Alkut kötöttek a háttérben. Így a következő, jóval áttekinthetőbb formulához jutunk: (p ~ (q r)) ((p q) r) A formula tagadásának analitikus táblázata: (1) ~ ((p ~ (q r)) ((p q) r)) (2) ~ (p ~ (q r)) (1)-ből (3) (p q) r (4) ~ p (2)-ből (5) ~ ~ (q r) (6) q r (5)-ből (7) q r (6)-ból (8) p q r p q r (3)-ból o o (8)-ból Van nyílt és befejezett ág, tehát a formula tagadása nem ellentmondás; maga a formula pedig nem logikai igazság. A táblázatból kiolvasható, hogy ha a jobboldal a módosítás mellett szavaz és a háttérben alku köttetett, akkor bárhogy szavaz a baloldal, a kijelentés hamis lesz (a feltételes állításokra adott sajátos értelmezésünk mellett). 5. Ekvivalens-e a következő két állítás? (a) Segítek rajtad feltéve, hogy ha bajban vagy, hívsz. (b) Ha bajba jutsz, segítek rajtad feltéve, hogy hívsz. Alkalmazzuk az alábbi jelöléseket: p: Bajban vagy. q: Hívsz. r: Segítek rajtad. Így a vizsgált ekvivalencia: (p q) r q (p r) A két formula akkor és csak akkor ekvivalens, ha kölcsönösen következnek egymásból; vagyis ha az egyik is ellentmondásos formulahalmazt alkot a másik tagadásával, meg a másik is az egyikével. 11
(1) (p q) r (2) ~ (q (p r)) (3) q (2)-ből (4) ~ (p r) (5) p (4)-ből (6) ~ r (7) ~ (p q) r (1)-ből p * (7)-ből ~ q * Mindkét ág zárt; a (p q) r q (p r) következtetés tehát helyes. (1) q (p r) (2) ~ ((p q) r) (3) p q (2)-ből (4) ~ r (5) ~ p q (3)-ból (6) ~ q p r ~ q p r (1)-ből o * Van nyílt és befejezett ág; a p (q r) (p q) r következtetés tehát helytelen. A táblázatból kiolvasható, hogy ha se nem vagy bajban, se nem hívsz, se nem segítek rajtad, akkor a (b) kijelentés igaz, de (a) hamis. A két formula tehát nem ekvivalens. Feladatok 1. Fennáll-e a p ~ q, q ~ r p r következményviszony? 2. Fennáll-e a p ~ q, ~ p & q r következményviszony? 3. Fennáll-e a p (q r), ~ r ~ p p q következményviszony? 4. Fennáll-e a (p q) (r s), p ~ r, q s ~ (p q) következményviszony? 5. Logikai igazság-e a ((q r) (p q)) (p r) formula? 6. Ellentmondás-e a ~ (~ (p q) (~ q p)) formula? 7. Kielégíthető-e a {(p & q) r, ~ q r, ~ r p, q} formulahalmaz? 8. Kielégíthető-e a {p (q r), (p r) ~ s, ~ s (p & ~ q), r} formulahalmaz? 9. Ekvivalensek-e a ~ (p q) és a ~ p & ~ q formulák? 10. Ekvivalensek-e a (p q) r és a p (q r) formulák? Megoldások 1. (1) p ~ q (2) q ~ r (3) ~ (p r) p (3)-ból ~ r ~ p ~ q (1)-ből * ~ q ~ r (2)-ből 12
o o Van nyílt és befejezett ág; a következtetés tehát helytelen. A táblázatból kiolvasható, hogy ha p igaz, q hamis és r is hamis, akkor a premisszák igazak, de a konklúzió hamis. 2. (1) p ~ q (2) ~ p & q (3) ~ r ~ p (2)-ből q p ~ q (1)-ből Mindkét ág zárt; a következtetés tehát helyes. Az ellentmondó párok között egyik ágon sem szerepel r. Ebből is látható, hogy már a premisszák ellentmondanak egymásnak. 3. (1) p (q r) (2) ~ r ~ p (3) ~ (p q) p (3)-ból ~ q ~ ~ r ~ p (2)-ből ~ p q r * (1)-ből * q r Minden ág zárt; a következtetés tehát helyes. 4. (1) (p q) (r s) (2) p ~ r (3) q s (4) ~ ~ (p q) (5) p q (4)-ből (6) ~ (p q) r s (1)-ből (7) * r ~ r (6)-ból (8) s ~ s ~ p ~ r ~ p ~ r (2)-ből ~ q s * ~ q s ~ q s (3)-ból p ~ p p ~ p p ~ p * p ~ p * (5)-ből q ~ q q ~ q q ~ q q ~ q * o * o * o * o Van nyílt ág; a következtetés tehát helytelen. A táblázatból kiolvasható: ahhoz, hogy a premisszák igazak, a konklúzió viszont hamis legyen, elég, ha mind p, mind q hamis, valamint r és s igazságértéke megegyezik. 5. 13
(1) ~ (((q r) (p q)) (p r)) (2) (q r) (p q) (1)-ből (3) ~ (p r) (4) p (3)-ból (5) ~ r (6) ~ (q r) p q (2)-ből q ~ p q (6)-ból ~ r * o o Két ág is nyílt és befejezett; a formula tehát nem logikai igazság. 6. (1) ~ (~ (p q) (~ q p)) (2) ~ ~ (p q) (1)-ből (3) ~ (~ q p) (4) p q (2)-ből ~ q (3)-ból ~ p p q Mindkét ág zárt; a formula tehát ellentmondás. 7. (1) (p & q) r (2) ~ q r (3) ~ r p (4) q (5) ~ q ~ ~ q (2)-ből (6) r ~ r (7) * ~ ~ r p (3)-ból (8) * ~ (p & q) r (1)-ből ~ p ~ q * (8)-ból Minden ág zárt; a formulahalmaz tehát nem kielégíthető. 8. (1) p (q r) (2) (p r) ~ s (3) ~ s (p & ~ q) (4) r (5) ~ (p r) ~ s (2)-ből (6) ~ p (5)-ből (7) ~ r 14
(8) * ~ ~ s p & ~ q (3)-ból (9) * p (8)-ból (10) ~ q (11) ~ p q r (1)-ből * ~ q r (11)-ből o o Van nyílt ág; a formulahalmaz tehát kielégíthető. A táblázatból kiolvasható, hogy ha p igaz, q hamis, r igaz, s pedig hamis, akkor mind a négy formula igaz. 9. (1) ~ (p q) (2) ~ (~ p & ~ q) ~ p (1)-ből ~ q ~ ~ p ~ ~ q (2)-ből Mindkét ág zárt; tehát fennáll a ~ (p q) ~ p & ~ q következményviszony. (1) ~ p & ~ q (2) ~ ~ (p q) (3) p q (2)-ből ~ p (1)-ből ~ q p q (3)-ból Mindkét ág zárt; tehát a ~ p & ~ q ~ (p q) következményviszony is fennáll. A két formula ekvivalens. 10. (1) (p q) r (2) ~ (p (q r)) (3) p q ~ (p q) (1)-ből (4) r ~ r (5) p ~ p p ~ p (3)-ból (6) q ~ q ~ q q (7) p ~ p p ~ p p ~ p p ~ p (2)-ből (8) ~ (q r) q r ~ (q r) q r ~ (q r) q r ~ (q r) q r q ~ q q ~ q q ~ q q ~ q (8)-ból ~ r r r ~ r ~ r r r ~ r Minden ág zárt; a (p q) r p (q r) következtetés tehát helyes. (1) p (q r) (2) ~ ((p q) r) (3) p ~ p (1)-ből 15
(4) q r ~ (q r) (5) q ~ q q ~ q (4)-ből (6) r ~ r ~ r r (7) p q ~ (p q) p q ~ (p q) p q ~ (p q) p q ~ (p q) (2)-ből (8) ~ r r ~ r r ~ r r ~ r r * p ~ p p ~ p * p ~ p p ~ p (7)-ből ~ q q q ~ q q ~ q ~ q q Minden ág zárt; tehát a p (q r) (p q) r következtetés is helyes. Mivel mindkét irányban fennáll a következményviszony, a két formula ekvivalens. 16