I. Folyadékok mechanikája Folyadék - külső erőhatás következtében áramlásra képes közeg, amelyet az anyagrétegek viszonylagos elmozdulása jellemzi. A fluidum gyűjtőnév magába foglalja a cseppfolyós anyagokat és a gázokat egyaránt. A folyadékmolekulák között ható kohéziós erők csak az ún. molekuláris hatásgömb sugarának megfelelő távolságban érvényesülnek (r=1-8 m sugarú gömb belsejében). A kohéziós erők elegendő nagyságú összetartó erőként hatnak, amelyek a folyadéknak állandó térfogatot kölcsönöznek, de nem biztosítanak önálló alakot a folyadék számára. I.1. Hidrosztatika: nyugvó folyadékok mechanikája Ismételjünk át néhány fogalmat a nyugalomban levő folyadékok jellemzése céljából, mint sűrűség, nyomás, viszkozitás, felületi feszültség, stb. a). A sűrűség fogalma értelmezés szerint az egységnyi térfogatban levő anyagtömeget jelöli: m ρ =, V m kg amelynek SI mértékegysége [ ρ ] SI = = 1 m 3 V. SI Gyakran a viszonylagos sűrűség fogalmát is használjuk, amely alatt általában az ρ illető anyag vízhez viszonyított sűrűségét értjük d =, ha nem teszünk más pontosító ρ kg kijelentést. A relatív sűrűség dimenzió nélküli mennyiséget jelent, ahol ρ víz = 1. m 3 víz b). A nyomás értelmezés szerint az egységnyi felületre ható merőleges nyomóerőt jelenti: ΔF F p = lim, illetve p = Δ S ΔS S N A nyomás SI mértékegysége a newton per négyzetméter, illetve a pascal ( 1 1 Pa 2 m = ). A gyakorlatban még használatos nyomásmértékegységek: - technikai atmoszféra : 1 at = 1 kgf/cm 2, 1 kgf/cm 2 = 981 N/m 2, - fizikai atmoszféra: 1 atm = 1,332 kgf/cm 2, illetve - 1 torr = 1 Hgmm = 133,32 N/m 2. c). Nyugalomban levő folyadékok viselkedését Pascal és Arkhimédesz törvényei írják le: - Pascal-törvénye: Zárt edényben levő folyadékra gyakorolt nyomás a folyadék minden részére és az edény falára ugyanolyan mértékű.
- Arkhimédesz-törvénye: Minden, részben vagy teljesen folyadékba merülő testre a kiszorított folyadék súlyával megegyező felhajtóerő hat. Folyadékban úszó test (a folyadékba alámerülő test) esetében az Arkhimédesz-erő nagysága: FA = ρ foly g Vtest, amelynek támadópontja a kiszorított folyadék súlypontjában felhajtóerőként hat. A folyadékok felszínén úszó testek esetében a felhajtóerő a folyadékba merülő test V x térfogata által kiszorított folyadék mennyiségével jellemezhető, F = ρ g V. A foly d). Hidrosztatikai nyomás értelmezése x Az ideális folyadékban nincsen kitüntetett irány, amelyben a nyomás anizotróp változást mutatna. A folyadék belsejében uralkodó nyomás értékét a folyadék felszínén levő nyomás, illetve a felszíntől mért mélység határozza meg: p p + ρgh = A kifejezésben szereplő p a folyadék szabad felszíne fölötti nyomást jelenti, amely sajátos esetben a normális légköri nyomással egyezik meg. A normális légköri nyomás tengerszint magasságban, t = ºC hőmérsékleten, φ=45º szélességi körön mérve p = 76 torr=11325 N/m 2 =113 mbar. A kifejezés bizonyítása végett tekintsünk a folyadék belsejében egy hasáb alakú dv elemi térfogatot, amelynek tömegét jelölje dm és vastagságát dz, vízszintes felületének területe legyen ds. A tekintett térfogatelem egyensúlyi állapotát a hatóerők egyensúlya adja, azaz a ráható erők i i z vektori összege legyen zérus: F =. A hasáb alakú folyadékelemre ható függőleges irányú erők vektori összegét skaláris egyenlettel helyettesítve (1. ábra), amelyben a lefelé mutató erőket pozitív előjellel vettük figyelembe: p ds ( p + dp) ds + ρ g dz ds =, következik, hogy egyensúly esetén az alulról ható nyomástöbblet értéke dp = ρ g dz. 1 ábra. A hidrosztatikai nyomás értelmezése A folyadék szabad felszínétől mért távolság függvényében a nyomás a folyadék belsejében fokozatosan nő. Az állandó sűrűségű, nyugvó folyadék felszínétől mért mélység irányában ható elemi
nyomásváltozások összegzésével meghatározhatjuk adott h mélységben uralkodó hidrosztatikai nyomás értékét: p dp = p p = p z =+ h z = ρgdz + ρgh e). Barometrikus nyomásváltozás: Laplace-törvénye A folyadékokhoz hasonlóan a gázok is gyakorolnak nyomást a környezetükben levő testekre, ahol a légköri nyomás értéke magasságtól függően változik. A fenti gondolatmenet segítségével levezethetjük a légköri nyomás változását magasság függvényében, amelyet Laplace-barometrikus egyenletének is neveznek. A nyomásváltozás képletében elegendően kis dz szintkülönbséget tekintve, a sűrűségváltozást elhanyagolhatóan kicsinek tekintjük dp = ρ ( h) g dz. A magasság növekedésével a nyomás értéke csökken, ezért a kifejezésben negatív előjelt használtunk. Állandó hőmérsékletű levegőt feltételezve Boyle-Mariotte egyenlete értelmében m p ρ p V = RT = állandó, vagy = állandó, ahonnan felírhatjuk a ρ( h) = p μ ρ p sűrűségváltozást a magasság függvényében, amelyet helyettesítve és integrálva, kapjuk: ρ dp = ρ ( h) g dz = p g dz p p( h) dp ρ = g dz p p p h p ρ ln = g ( h h ) p p p( h) = p e h ρ g ( h h ) p A kifejezés azt mutatja, hogy a légnyomás exponenciálisan csökken a magassággal. A fenti kifejezésben p a föld felszínén mért légnyomást, illetve és ρ =1,29 kg/m 3 a levegő sűrűségét jelölik. I.2. Felületi feszültségi erő Tekintsük a mellékelt fényképet, amely azt a pillanatot rögzíti amikor egy nyugalomban levő folyadék szabad felszínébe becsapódó csepp hatására a felszíni folyadékrétegből, mint rugalmas hártyáról visszapattanó apró cseppek a felületi feszültség hatására gömbszerű alakzatot vesznek fel (2. ábra).
2. ábra. Nyugalomban levő folyadék felszíni rétegéből visszapattanó apró cseppek a felületi feszültség hatására gömbszerű alakzatot vesznek fel Hogyan magyarázhatjuk a felületi feszültség kialakulását? A folyadék szabad felszíne válaszfelületet képez a folyadéktérfogat és a környező szilárd- vagy gázhalmazállapot között. A folyadék felszínén levő molekulák hatásgömbjének csak egyik tartományában találhatóak a folyadék saját molekulái, a másik tartományban a környező tér molekulái találhatóak. Gáz esetében az utóbbi tartományban sokkal kisebb a molekulasűrűség és a köztük ható intermolekuláris erők is jóval kisebbek. Ezért az erők eredője a folyadék belseje felé irányul. A folyadék azon felső rétegében, amelynek vastagsága a molekuláris hatásgömb sugaránál kisebb, a molekulák között ható kohéziós erők eredője a folyadék belseje felé irányúló eredő erőt határoz meg. Ezáltal a felszíni réteg nyomást gyakorol a folyadékra. A folyadék az őt határoló szilárd felületet adott körülmények között nedvesíti (homorú meniszkusz jellemzi a folyadékfelszín görbületét), vagy nem nedvesíti (domború meniszkusz jellemzi a folyadékfelszín görbületét). Ezt a körülményt a folyadékmolekulák között ható kohéziós erők (F c ), illetve a folyadék és környzetét alkotó molekulák között ható adhéziós erők (F a ) határozzák meg. A folyadékot határoló szilárd felület környezetében a szabad folyadékfelszín eltér a vízszintes irányától, a görbült folyadékfelszín merőleges az intermolekuláris erők eredőjének irányára. A szilárd test felületi síkja és a folyadék szabad felszínéhez húzott érintőegyenes által bezárt θ szöget illeszkedési szögnek nevezzük, amelynek értéke θ 18 között változhat. Azt a tényt, hogy a folyadékok milyen körülmények között nedvesítik a velük érintkező szilárd testeket a felületi feszültség és az adszorpció együttesen határozza meg. Ha a folyadék nedvesíti a szilárd felületet akkor az illeszkedési szög hegyesszög, π amelynek értéke θ (lásd a 3a. ábrát), illetve a felületet tökéletesen nedvesítő 2 folyadék esetén θ =. Ha a folyadék a szilárd testet nem nedvesíti, akkor az illeszkedési szög tömpaszög, π amelynek értéke θ > (lásd a 3b. ábrát). 2
3. ábra. Homorú, illetve domború meniszkusz kialakulása a folyadék szabad felszínén Ha θ illeszkedési szög hegyesszög, akkor a folyadék részben nedvesíti a felületet (hidrofil felület), ha pedig θ tompaszög, akkor a folyadék nem nedvesíti a szilárd test felületét (hidrofób felület). A folyadék határfelületén jelentkező felületi erők a folyadék felszíni síkjában érintőlegesen hatnak és felületi feszültséget eredményeznek. A felületi feszültség a folyadékfelszín minimálisra való csökkenését segíti, ezáltal a felszíni réteg úgy viselkedik mint egy kifeszített rugalmas hártya. A folyadékfelszínt csökkentő F σ felületi feszültségi erő nagysága arányos a határvonal l hosszával, és függ a folyadékra jellemző σ felületi feszültségi együtthatónak nevezett anyagállandó értékétől: Fσ = σ l. F N A felületi feszültségi együttható mértékegysége [ σ ] = = 1. l m A folyadékfelszín csökkentését okozó F σ erőnek a legyőzése pozitív munkavégzést igényel: L = ΔW = σ ΔS. A felületi feszültségi erő által végzett L munka Δ W energiacsökkenést eredményez, amely arányos a felületváltozás ΔS = 2 l Δd nagyságával. Az utóbbi kifejezésben azért jelenik meg a 2-es szorzótényező, mert a folyadékhártyának két felszíne van. Ennek értelmében a felületi feszültségi tényező más alakban is kifejezhető: ΔW J σ = Δ 2 S m, A felületi feszültségi tényező anyagállandó, amely jellemzi az adott folyadék fajlagos felületi energiáját. Számos kísérlet igazolja a felületi feszültség munkáját, amelyet kísérletileg bizonyíthatunk a Quinke-féle mérleggel (4. ábra). Az ábrán látható drótkeretet folyadékba merítve (például szappanos vízbe) folyadékhártya képződik a keret síkjában. A kialakuló folyadékhártya rugalmas viselkedését igazolja az a tény, hogy a vízszintes síkban tartott keret l hosszúságú drótszála szabadon elmozdul a folyadékfelszín érintő síkjában. Az elmozdulás a folyadék felszínét összehúzó felületi feszültségi erő hatására történik, csökkentve a folyadék szabad felszínét.
A folyadékfelszín növelését külső terhelő erővel valósíthatjuk meg. A külső erő a felületi feszültségi erő ellenében munkát végez a Δ d elmozdulás során és a terhelő erő nagyságával arányos ΔW pozitív energiaváltozást eredményez. 4. ábra. Quinke-féle mérleg a folyadék felületi feszültségének mérése céljából A felületi feszültség értéke függ az anyagi minőségtől. Desztillált víz esetében, például a felületi feszültségi együttható értéke σ = 7,29 1-2 N m -1. A felületi feszültség értéke függ a folyadék T hőmérsékletétől is: σ = C ( T T ). k Tiszta folyadék felületi feszültsége csökken a hőmérséklet emelkedésével. Ha a folyadék T hőmérséklete eléri a folyadékra jellemző T k kritikus hőmérsékletet, a felületi feszültség nullára csökken. Ekkor a folyadék és a gázhalmazállapot közti különbség eltűnik. I.3. Kapilláris jelenségek: Jurin-törvénye A közlekedő edények valamennyi ágában a homogén folyadék ugyanolyan magasságra emelkedik. Ha valamelyik cső átmérője kb. 1 mm-nél kisebb, azaz kapilláris (hajszálcső), a folyadékoszlop magasabban illetve alacsonyabban lesz mint a közlekedő edény nagyobb átmérőjű csövében. Kapilláris esetében a folyadékoszlop magassága attól függ, hogy a folyadék nedvesíti vagy nem nedvesíti a szilárd fal felszínét, amellyel érintkezésben van. Ezt a jelenséget Jurin-törvénye írja le matematikai formában. Nedvesítő folyadék esetében a folyadékra emelő, míg a felületet nem nedvesítő folyadék esetében a folyadékoszlopra süllyesztő erő hat és az átlagos szabadfelszínhez viszonyítva annak lecsúszását eredményezi. Például emelkedés történik víz esetén a tiszta üvegkapillárisban, illetve sülyedést azonosíthatunk higany esetén az üvegkapillárisban. A felületi feszültség addig emeli fel a folyadékot a kapillárisban, amíg a folyadékoszlop súlya egyenlő nem lesz a feszültségi erővel, tehát G=F: 2 π r h ρ g = 2π r σ, amelyből következik a kapilláris magasság kifejezése: 2σ h = r ρ g
Az elmozdulás mértékét mennyiségileg meghatározó Jurin-törvény értelmében a kapilláris emelkedés, illetve sülyedés h értéke függ a kapilláriscső r sugarától, a folyadék ρ sűrűségétől, illetve a folyadékot jellemző σ felületi feszültségi tényező értékétől. Az edényben levő folyadék szabad felszínéhez viszonyított emelkedés meghatározásával, a folyadék sűrűségének és a kapilláris cső sugarának ismeretében, kiszámíthatjuk a felületi feszültségi együttható értékét. A folyadékok szabad felszínén adszorbeálódott anyagok megváltoztatják a folyadék felületi feszültségét. A felületi feszültség nagysága függ az oldat C koncentrációjától. Elméleti megfontolások alapján igazolták, hogy dc koncentrációváltozás dσ változást hoz létre a felületi feszültségben. Adott C koncentrációjú oldat szabad felületén adszorbeált anyag a mennyisége a Gibbs-féle egyenlettel fejezhető ki: C dσ a = RT dc Ha dσ dc < a koncentráció növekedésével csökken a felületi feszültség, akkor a >, (pozitív adszorpcióról beszélünk). Ha viszont dσ dc >, vagyis a felületi feszültség nő a koncentrációval, akkor a < (negatív adszorpcióról beszélünk). A pozitívan adszorbeálódó anyagokat kapillár-aktívaknak, a negatívan adszorbeálódó anyagokat viszont kapillár-inaktívaknak nevezzük. A kapilláraktív anyagok megnevezés azokra az anyagokra utal, amelyek a folyadék felületi feszültségét megváltoztatják. Ilyen anyagok a mosószerek, amelyek poláris (hidrofil) és apoláris (hidrofób) komponenseket tartalmaznak. A poláris hidrofil komponens jól oldódik vízben, az apoláris komponens pedig zsírokban oldódik jobban. Ez megkönnyíti a mosóvízben emulgeált zsírcseppek eltávolítását. A folyadékok felületi feszültségének meghatározása céljából különböző mérési eljárásokat alkalmazhatunk. A felületi feszültségi erő mérése Traube-féle sztalagmometriás eljárás szerint azon alapszik, hogy a kapilláris csőből lassan kiszivárgó folyadékcsepp leszakadásának pillanatában a felületi feszültségi erő egyensúlyt tart a cseppre ható nehézségi erő értékével (5. ábra): G= Fσ, azaz m g = σ 2 π r A kifejezésben szereplő mennyiségek jelentése: m a folyadékcsepp tömege (kg), g nehézségi gyorsulás (m/s 2 ), m = ρ v, ahol ρ a folyadék sűrűsége (kg/m 3 ), v a folyadékcsepp térfogata (m 3 ). Tetszőleges V térfogatú folyadékmennyiségben levő n számú folyadékcsepp esetén V = n v, a felületi feszültségi együttható értékét megadó összafüggés: ρ V g σ =. 2 π r n A módszert relatív módszerként is alkalmazhatjuk. A fenti egyenletet két különböző felületi feszültségű folyadékra felírva, amelyek közül az egyik felületi feszültsége ismert, akkor meghatározhatjuk az ismeretlen felületi feszültségű folyadék σ együtthatóját.
5. ábra. Traube-féle sztalagmométer vázlatrajza A folyadékok felületi feszültségének meghatározására alkalmas módszer az ún. gyűrű leszakítás módszere. Ennek lényege, hogy egy érzékeny rugóra rögzített fémgyűrűt a tanulmányozott folyadékba merítjük, majd a folyadékból való kiemelés pillanatában meghatározzuk a rugóerő értékét a folyadékhártya lefele húzó és a rugó emelő ereje által megvalósított egyensúlyi állapot feltételének megfelelően (lásd a 6. ábrát). 6. ábra Folyadékok felületi feszültségének mérése a gyűrű leszakítás módszerével A folyadékhártya a körgyűrű külső és belső pereméhez tapad, ezért a lefele húzó felületi feszültségi erő értéke: F σ = ( 2π r b + 2π rk ) σ, ahol r k és r b a gyűrű külső, illetve belső sugara.
A leszakadás pillanatában a rugó által kifejtett emelőerőt meghatározhatjuk a Jolly-féle rugós mérleg (rugós dinamométer) segítségével, amelyre felírható az emelőerő és a megnyúlás értéke közötti összefüggés: F = k y 1 y A folyadékhártya által kifejtett erő és a rugó erejének egyenlőségéből kiszámíthatjuk a felületi feszültség σ értékét: k y1 y σ = 2 π ( r b + r k ) A k rugóállandó meghatározása céljából megmérjük egy ismert m tömegű test (néhány gramm nagyságú tömeget használva) súlya által létrehozott megnyúlást: mg k =, y 2 y amelyben y 2 jelöli a rugó megnyúlási értékét az m tömeg hatására. II. Folyadékok dinamikája II.1. Áramlástani alapfogalmak A folyékony állapotú anyagok jellemző tulajdonsága, hogy külső erő hatására könnyen megváltoztatják alakjukat, azaz folynak. Az áramló folyadék által kitöltött teret dr áramlási térnek nevezzük, amelynek bármely pontjához hozzárendelhető egy v = dt sebességű folyadékrészecske. A részecskék pillanatnyi sebességvektorai az áramlási vonalak érintőegynese mentén fekszenek és az elmozdulás irányába mutatnak. Ha az áramvonalak a tér pontjaiban párhuzamosak, réteges vagy lamináris áramlásról beszélünk, ellenkező esetben turbulens vagy örvénylő áramlásról beszélünk. A folyadékáramlás leírása céljából ismerni kell azokat a mennyiségeket, amelyek az áramlást jellemzik. Ezek a mennyiségek térkoordináták és időkoordináták szerinti eloszlásban jellemzik a folyadék v=v(x,y,z,t ) áramlási sebességét, p=p(x,y,z,t) nyomását, illetve a közeg ρ = ρ( x, y, z, t) sűrűségét, amelyek együttesen határozzák meg az áramlási teret. Ugyancsak ismernünk kell a kezdeti feltételeket és az áramlást kiváltó okot, vagyis a hatóerőket. A jelenség egyszerűsített leírása céljából tételezzük fel, hogy a folyadék gyakorlatilag összenyomhatatlan és állandó sűrűségű, azaz homogén folyadék mozgását vizsgáljuk. Továbbá feltételezzük, hogy a folyadék belső súrlódása a sebességtől független, vagyis az úgynevezett newtoni folyadék stacionárius áramlását tanulmányozzuk. Tekintsük a folyadék áramlását egy változó keresztmetszetű csőben, amelyben az áramlás egy Δp stacionárius nyomáskülönbség hatására következik be (7. ábra).
értékét Jelölje az áramlás tömeghozamának értékét dv Q v = dt dm Q m =, illetve a térfogati hozam dt, amely az adott keresztmetszeten egységnyi idő alatt áthaladó folyadéktömeget, illetve folyadéktérfogatot fekejezi ki. Az ábra jelölései szerint S 1 és S 2 az áramlási cső harántirányú keresztmetszetei, v 1 és v 2 az áramlási sebességek, valamint p 1 és p 2 az áramlást kiváltó nyomások az áramlási cső adott S 1 és S 2 keresztmetszeti helyein. 7. ábra. Stacionárius áramlás jellemző mennyiségei II.2. Hidrodinamika törvényei II.2.1. Az áramlás folytonosságának (kontinuitásának) törvénye Ez a törvény a folyadék összenyomhatatlanságát feltételezi. A stacionárius folyadékáramlás folytonosságának törvénye kimondja, hogy az áramlási csőben a térfogatáram állandó: Q v = S1 v1 = S2 v2 = állandó azaz, a térfogati hozam időben változatlan. Ez azt jelenti, hogy a lamináris áramlásban levő folyadék áramlási vonalai követik az áramlási cső keresztmetszetét. A nagyobb keresztmetszethez kisebb sűrűségű folytonos eloszlás, illetve a kisebb keresztmetszethez nagyobb eloszlássűrűségű áramlásvonal ábra tartozik. Az elmozduló folyadékrészecskék követik az áramlásvonalakat, így a keresztmetszet változása meghatározza az átáramló folyadék sebességeloszlását. II.2.2. A folyadékáramlás alaptörvénye: Bernoulli-egyenlet Az áramlásban levő folyadék alapegyenlete a Bernoulli-egyenlet, amely az energiamegmaradás törvényének sajátos alkalmazása a súrlódásmentesen áramló folyadék esetében. Vizsgáljuk meg a nyomáskülönbségből származó erő munkájának hatására elmozduló folyadék helyzeti gravitációs és mozgási energiájának változását.
A munkatétel értelmében az elemi mechanikai munka, amelyet a nyomáskülönbségből származó eredő erő a folyadékoszlopon végez kifejezhető δ L = F dr, illetve a véges elmozdulás során végzett munka kifejezésére felírható: L = S1 p1 v1 t S2 p2 v2 t p1 V1 p2 V2 A mozgási és helyzeti energia változása: 1 2 1 2 Δ W = m v2 m v1 + m g h2 m g h1 2 2 Az energiamérleg egyenletét alkalmazva felírhatjuk, hogy: L = ΔW 1 2 1 2 p1 V1 p2 V2 m v2 m v1 + m g h2 m g h1 2 2 Az egyenletet átosztva az állandó térfogat V 1 =V 2 =V értékével és tekintetbe véve, hogy a folyadék sűrűsége állandó, ρ = állandó, kapjuk az egységnyi térfogatra vonatkozó Bernoulli-egyenletet: 1 ρ v 2 + ρ g h + p = állandó 2 1 2 A fenti kifejezésben szereplő ρ v tagot dinamikai vagy torlónyomásnak 2 nevezzük, a ρ g h tagot hidrosztatikai nyomásnak, illetve a p tag jelentése sztatikai nyomás, amely valójában hidrodinamikai nyomás. Az egyenlet azt fejezi ki, hogy az áramlásban levő folyadék teljes nyomása az áramlási cső bármely keresztmetszetén állandó értékű és egyenlő a sztatikai és dinamikai nyomások összegével. Fontos gyakorlati vonatkozása van a Bernoulli-törvénynek, mivel a keresztmetszet szűkületében a folyadék sebessége és dinamikai nyomása nagy, a sztatikai nyomás viszont lecsökken. Ez a nyomásesés olyan mértékű lehet, hogy szívóhatást érvényesít a környezetére. A nagyobb átmérőjű részeken viszont a sztatikus nyomás értéke megnő a dinamikus nyomás csökkenésének kompenzálása végett. II.2. 3. Viszkózus folyadékok áramlása A lamináris vagy réteges áramlásban levő folyadékok egymáson elcsúszó rétegei között a molekuláris hatás következtében belső súrlódási erők hatnak (8. ábra). A folyadékrétegek egymáshoz képest Δv sebességgel mozognak, ha a szomszédos rétegek sebessége v illetve v + Δv. Az F s belső súrlódási erő értéke függ az elmozduló folyadékrétegeknek dv áramlás irányára merőlegesen vett sebességesésétől (sebesség-gradiens), az dz érintkezésben levő folyadékrétegek ds felületének nagyságától, illetve a folyadék η viszkozitásától. Ezt a Newton-féle súrlódási törvény fejezi ki, amely lamináris áramlás esetén a következő alakban adható meg: dv F s =η ds dz
8. ábra. Belső súrlódás értelemzése a Newton-kifejezés levezetéséhez A kifejezésben szereplő η mennyiséget dinamikai viszkozitási együtthatónak nevezzük, amely a folyadék természetére és állapotára jellemző belső súrlódási együttható: F dz N s [ η ] SI = = = Pa s S dv 1 1. 2 SI m A dinamikai súrlódási együttható gyakorlati mértékegysége az egy poise, amely 1 P =1 g cm -1 s -1. Az η értéke víz esetében t= 2 ºC hőmérsékleten η =,1 P = 1 cp, amely a hőmérséklet emelkedésével csökken. A dinamikai viszkozitási együtthatót a sűrűség értékével osztva kapjuk a kinematikai viszkozitási együttható értékét: η ν =. ρ Ennek mértékegysége egy stookes (kiejtése stuksz), 1 St=1 cm 2.s -1. Az előbbi kifejezések értelmezése során feltételeztük, hogy a folyadékrétegek lamináris áramlásban vannak, amely feltétel Reynolds vizsgálatai szerint akkor teljesül, ρ r v ha az ún. Reynolds-szám értéke R e = 232. η Azt a sebességet, amelynél a lamináris áramlás átmegy turbulens áramlásba, kritikus sebességnek nevezzük. A kritikus sebesség értéke függ a folyadék η viszkozitásától és fordítottan arányos a folyadék ρ sűrűségével, illetve az áramlási cső r sugarával: η vkrit = Re. r ρ Ha a Reynolds-szám meghaladja a fenti értéket, akkor az áramlás jellege örvénylő vagy turbulens lesz, amelyet a folyadék belsejében kialakuló összetett forgómozgások jellemeznek (9. ábra). 9. ábra. Turbulens áramlás fényképe
II.2.4. Hagen-Poiseuille-féle törvény A Hagen-Poiseuille-féle törvény a stacionárius áramlásban levő folyadék térfogathozamát kifejező törvény. Tekintsünk egy hengeres alakú, körkeresztmetszetű áramlási csövet. Legyen dp nyomáskülönbség az r sugarú henger alakú folyadékréteg l szakaszán, amelyből származó aktív erő a belső súrlódás okozta energiaveszteséget fedezi és az állandósult folyadékáramlást fenntartja. Az r sugarú hengergyűrű 2π r dr felületelemén ható elemi nyomóerő kifejezésére felírható = 2π r dr dp. A folyadékrétegek df nyomó viszonylagos sebessége folytán az S = 2 π r l felületű belső folyadékréteg gyorsítja az r+dr sugarú külső folyadékréteget (1. ábra). 1. ábra. Hagen - Poiseuille-törvény levezetésének jelölései Stacionárius áramlásnál az r sugarú cső bármely keresztmetszetében az időegység alatt átáramló folyadék mennyisége egyenesen arányos az adott l hosszúságú cső mentén dp fellépő nyomáseséssel, a cső r sugarának negyedik hatványával, illetve fordítottan l arányos a folyadék η viszkozitásával: 4 dv π r dp Q v = = dt 8 η l Az élő szervezetben fontos szerepe van annak a ténynek, hogy az áramlási erősség a sugár negyedik hatványával arányosan változik. A növényi szállítóedényekben a folyadékáramlást az alig néhány mikrométer átmérőjű kapilláris csövekben a hidrosztatikai nyomáskülönbség és a kapilláris erők valósítják meg, ezáltal a növény számára megfelelő térfogathozamot biztosítanak. A Hagen-Poiseuille kifejezésben szereplő nyomáskülönbségre felírható az alábbi 8 η l dv összefüggés: ( p1 p2 ) = = Rellenállás I 4 π r dt Ebben a kifejezésben az R ellenállás áramlási ellenállást jelent, míg a folyadék térfogati dv hozama Q v = I áramlási erősséget jelenti. dt
A fenti kifejezés alakja az elektromosságtanból ismert Ohm-törvényre emlékeztet, amelyben az elektromos áram erőssége a potenciálkülönbség és az elektromos ellenállás U hányadosaként írható fel, I =. R Hagen-Poiseuille kifejezését felhasználva meghatározhatjuk valamely folyadék ismeretlen dinamikai viszkozitási tényezőjét az ún. Ostwald-féle viszkoziméter segítségével. II.2.5. Forgásban levő folyadék dinamikája Végezetül elemezzük röviden a forgómozgást végző folyadékban fellépő erőket és ezeknek a folyadékfelszínre gyakorolt hatásukat! Korábbi vizsgálatainkból kiderült, hogy a nyugvó folyadék szabad felszíne merőleges a külső erők eredőjére, ezért homogén gravitációs erőtérben a vízfelület vízszintes síkot alkot, illetve nagykiterjedésű folyadék esetén követi a Föld geometriai alakját. Ez a tulajdonság annak következménye, hogy a folyadékban nem jöhetnek létre érintőleges nyíróerők, illetve feszültségek. Függőleges forgástengellyel rendelkező folyadék esetében a folyadék felszíne felülről nézve homorú forgásfelületet alkot, amelynek szimmetriatengelye egybeesik a forgástengellyel (11. ábra). Az ω szögsebességgel forgó folyadék felszíne merőleges a nehézségi erő és a forgás következtében fellépő centrifugális tehetetlenségi erő által meghatározott R eredő erő irányára. 11. ábra. A forgó folyadék feszíne egy forgásparaboloid felületével azonos, amely merőleges az R eredő erő irányítására Ez a felület egy forgási paraboloid felszínét mutatja, amelynek függőleges síkkal való metszete egy parabola.