STATISZTIKA Mért tauljuk statstkát? Mre hasálhatjuk? Sakrodalom értő és krtkus olvasásáho Mt állít egyáltalá a ckk? Korrektek-e a megállaítások? Vsgálatok (kísérletek és felmérések) terveéséhe, kértékeléséhe Mekkora mtával dolgouk? Felfedetük valamt, vagy csak a véletle eredméye at, amt látuk? Meyre megbíható a eredméy? A eredméyek köléséhe, semléltetéséhe Mt tegyük a ckkbe? A egés tábláatot, ábrákat, vagy csak éháy statstka mutatót? A statstka rése Leíró statstka (descrtve statstcs): Mde egyedet megvsgáluk, a egés sokaság adatat össegeük, többé-kevésbé résletese A megfgyelt adatokat tömörítjük a össegés sorá, eel formácót vestük. duktív statstka (statstcal ferece): (dukcó ~ általáosítás) Egy, a sokaságból válastott mta alajá a megfgyelt adatokból követketetük a egés oulácóra jellemő adatokra. Példa: mtabel selejtaráy a sokaságba a selejt valósíűsége Alafogalmak (statstka) oulácó ~ alasokaság (oulato) A vsgáladó egyedekek vagy objektumokak a a (teljes) köre, amelyre a vsgálat ráyul, aa amelyre követketetéseket voatkotat sereték mta (samle) A vsgáladó egyedekek vagy objektumokak a a köre, amelyet téylegese megvsgáluk, aa amelyek adata követketetések alaulak váltoó (varable) adat, jellemő, smérv, tulajdoság, amelyet a mtabel egyedeke megfgyelük, megmérük, feljegyük (életkor, testtömeg, kaott keelés tíusa, dőtartama, stb.). A mtá megfgyelt adatokat a adatmátrx tartalmaa; sokásos elredeésébe mde sor egy mtavétel egységek és mde oslo egy váltoóak felel meg. megfgyelés egység (observatoal vagy exermetal ut) A oulácó, lletve a mta egy eleme, egy egyed vagy objektum, amelyek adatat feljegyeük (lehet egy ember vagy állat, egy élőhely, egy vérmta, egyedek egy csoortja, l. egy család, stb.) mtavétel egység (samlg ut) Ugyaa, mt a megfgyelés egység, ha gyakorság adatokat sámoluk. Egy egység a, amelybe sámoljuk a egyedeket. Ebbe a esetbe a megsámolt egyedekek semm köük a statstka oulácóho! Megfgyelés 47.6 g 3 3 Váltoó testtömeg tojások sáma tuláok sáma Megfgyelés egység egy boyos területről --- --- sármaó sék lle Mtavétel egység --- egy fések a adott területről egy vrágoskert a adott faluba Mta a területe befogott és megmért llék a vsgált féskek a megvsgált vrágoskertek a adott faluba Statstka oulácó a területe fellelhető össes a össes fések a adott a össes vrágoskert a lle területe adott faluba
Megfgyelés Orchdeák sáma Tücskök sáma a hálóba Méhek látogatás sáma egy adott vrágo Gálómadarak sáma a tegerarto Bogarak sáma egy csadába Ektoaraták sáma Mtavétel egység Meghatároott terület (kvadrát) A véggsöört vegetácó térfogata Meghatároott dőtervallum A artvoal adott hossúságú darabja Adott méretű csada Egy gadaállat Mtavételeés A vsgálatba a mta rereetálja a oulácót. A mta rereetatív, ha bármely tulajdoság előfordulás aráya megegyek a mtába és a oulácóba. A mta aoba gyakra torított, amt sámításba kell ve a eredméyek terretálásáál. Mtavétel módserek: Egyserű, véletle mtavétel (radom samlg): A alasokaság mde egyede egyforma eséllyel kerül a mtába. A mta egyedet egymástól függetleül válastjuk, éldául véletlesám geerálással. Rétegeett mtavétel (stratfed samlg): A alasokaság valamlye külső semot sert dsjukt résekre botható. Egyes rétegekbe külö-külö véletle mtavétel. (A rétegek aráyosa sereeljeek a mtába?) Sabályos, sstematkus mtavétel: Ha lehetetle a véletle mtavétel kvteleése. Csak a első egyedet válastjuk véletleserűe, a többt a meghatároott mtavétel tervallumok khagyásával (l. mde harmadk egyedet válastjuk be). Ekkor a valósíűségsámítást em alkalmahatjuk statstka követketetések levoására. Nomáls (omal) Mérés skálák (measuremet scales) Csak kategórák vaak, cs kötük redeés, matematka műveletek em értelmehetőek (hajsí, semsí, var, faj) Ordáls (ordal) A kategórák köött va redeés, de matematka műveletek em értelmehetőek ( jó köees ross, -5 skála a skola ostályoásba) Itervallum (terval) A matematka külöbségkéés már értelmes, a aráy em ( C vagy F) Aráy vagy absolút (rate, absolute) A aráykéés s értelmes, va absolút 0, va fka jeletéstartalma aak, hogy egy meység többsöröse a máskak (testtömeg, K)
Koveró tervallum vagy absolút skáláról ordálsra: Időkét a tervallum skálá mért adatok em alkalmasak boyos módserekkel való feldolgoásra: koveró. Pl. túl kevés adat, smeretle eloslás stb.. Csoortosítás Életkor helyett korcsoort, testtömeg helyett kcs-köees-agy, stb. Ragsorolás A adatokat sorba redeük és ragsámot (rak) aduk ekk. Előfordulhatak aoos megfgyelések, ekkor aal a átlagos ragsámmal (kacsolt ragsám (ted rak)) aoosítjuk, amelyet akkor kaáak, ha em leéek aoos megfgyelések. l. Hoss:.0.4.4 3. 3.5 5.0 5.0 5.0 7. 8 rag.5.5 4 5 7 7 7 9 0 Adatok ábráolása Gyakorság tábláat (frequecy table): megfgyelt umerkus adatok tábláatos ábráolása gyakorság eloslás (frequecy dstrbuto), taastalat eloslás (emrcal dstrbuto) Ostályok, ostálytervallumok kalakítása: Dskrét: ha cs túl sok érték, egy érték egy ostály, egyébkét mt a folytoos esetbe. Folytoos: 0-0 ostály, lehetőleg mde ostályba legalább 6 érték esse. Hasáljuk termésetes ostályhatárokat! Kovecó: ostályokba a alsó határ beletartok, a felső em. Absolút vagy relatív (sáalékos), esetleg kumulált gyakorságok meghatároása Ostály -0 0-30 30-40 40-00 00- Öss. Gyakorság 38 5 6 36 00 Kumulált gyak. 38 90 5 88 00 Relatív gyakorság 0.9 0.6 0.3 0.8 0.06 Kumulált rel. gyak. 0.9 0.45 0.76 0.94 A relatív gyakorságok köelítk a eloslás sűrűségfüggvéyét, a kumulált relatív gyakorságok edg a eloslásfüggvéyét. Hstogram (hstogram) A hstogram em más, mt a taastalat sűrűségfüggvéy. Vístes tegelyé: ostálytervallumok, fölötte olya téglalaok, melyek területe megegyek a megfelelő relatív, vagy sáalékos gyakorsággal, így a hstogram teljes területe, vagy 00% les. Dskrét váltoó eseté a váltoó értéke a tervallumok köeé helyekedek el. A hstogram ha a mta elemsámát öveljük köelít a valósíűség váltoó elmélet sűrűségfüggvéyét. Eek megfelelőe a kumulatív hstogram em más, mt a taastalat eloslásfüggvéy
Haraggörbe alakú eloslások Haraggörbe alakú eloslások? 60 Hstogram 300 Hstogram 50 40 00 Ayakocák saoraságáak hstogramja Teheek éves tejtermeléséek hstogramja Frequecy 30 0 0 0 5.00 50.00 49.00 48.00 47.00 46.00 45.00 44.00 43.00 4.00 4.00 40.00 39.00 38.00 37.00 36.00 35.00 testtömeg (g) Std. Dev =.44 Mea = 4.30 N = 505.00 Frequecy 00 0 30.0 80.0 40.0 00.0 60.0 0.0 80.0 40.0 0.0 VESEZSIR 505 lle testtömege Őek vese körül sír meysége: 360.0 400.0 440.0 Std. Dev = 7.86 Mea = 5.9 N = 547.00 Köéértékek Adatok gyakorság eloslásáak grafkus ábráolása helyett össesítő meységek, (ala)statstkák (statstc). Átlag (average, mea) x: Mta eleme: x x,..., x, x x x... x x= = =. A átlag a a érték, amely a "legköelebb" va a mta elemehe. A mtabel értékek és a mtaátlag köt eltérések össege mdg 0: = ( x x) = x x= x x = 0 = = = Gyakorság tábláat eseté súlyoott átlag: N f j x j x=, j= N ahol = f. j j= ahol a ostályokat x j -vel, a egyes ostályokba levő adatok sámát f j -vel, és a ostályok sámát N-el jelöljük. Vgyáat! Ha va egy 80 és egy 0 fős csoortuk, akkor ha megkérdeük a TO-t, hogy mey a átlagos csoortlétsám, vagy edg megkérdeük a hallgatókat, hogy mlye létsámú csoortba járak, és et átlagoljuk, a em ugyaa. Nem jellem jól a mtát, ha a eloslás em smmetrkus, vagy kugró értékek vaak! Példa. Egy éjsaka 7 csadába esett hagyák sáma egy lombhullató erdőbe: 7 5 4 9 5 8 0 x = x / 7= 75/ 7= 39. 3 =
Medá (meda) Sorba redeük a adatokat: x x... x x, med = x, k ha = k, A köéértékek a hstogramból s becsülhetők, bár a becslés agyo függ a ostályokba sorolástól: A módus a a érték, amely fölött a legmagasabb téglala va. A medától balra és jobbra a hstogram területéek fele helyekedk el. xk x xmed = Nem érékey a extrém értékekre. k, ha = k. Ordáls adatok eseté s hasálható statstka, hse ksámításáho elegedő a megfgyelések sorredjéek smerete (kvéve ha két köéső va). Módus (mode) A a ot a átlagérték, amelyél a hstogram súlyotja va. Smmetrkus és egy csúcsú hstogram eseté a három köéérték egybeesk (a smmetra tegelyre). Ferde eloslás eseté a átlag mdg a eloslás "farka" (tal) felé csúsk el. Bológa eloslásokba ste mdg jobbra (otíva) ferde a eloslás, így a átlag agyobb mt a medá és a módus. A leggyakrabba előforduló érték. Nomáls skálá mért adatokra csak e a köéérték alkalmaható. Jobbra ferde Smmetrkus Balra ferde eloslás Össehasolítás A sóródás mérősáma átlag leggyakorbb mdg létek mde adatot felhasál extremáls értékekre érékey általáosa hasált A köéértékek em jellemk elég jól a eloslást. medá rtkább módus még rtkább mdg létek extremáls értékek eseté jól jöhet omáls skálára s jó köéot köéot 0 50 00 0 50 00 sórás sórás Kívácsak vagyuk arra s, hogy a adatok hogya helyekedek el a átlagérték körül. Terjedelem (rage) A mta legagyobb és legksebb értéke köött külöbség. R= x max x m
Iterkvartls terjedelem (terquartle rage: IQR) A harmadk ( Q 3) és a első kvartls ( Q ) külöbsége. (köéső 50% terjedelme): IQR= Q 3 Q Kugró értékek (outler) A mta olya értéke, amelyek a többhe kéest túl kcsk, vagy túl agyok: x < Q. 5IQR x > Q. 5IQR 3 Grafkusa boxlot-tal ábráolhatók: terjedelem (egyees), medá, alsó és felső kvartls (dobo), kugró értékek. Normáls eloslás eseté kugró értékekek tekthetjük aokat, amelyek a sórás háromsorosáál jobba eltérek a átlagtól. 50 40 30 N = 505 58 53 363 54 34 testtömeg (g) Taastalat sórás és sóráségyet vagy varaca (varace) A sórás a varaca égyetgyöke (a alább s a sórás, égyete s edg a varaca). s = = ( x x). (e a sórás lug- becslése!) A sórás at mutatja meg, hogy a adatak átlagosa mlye távol helyekedek el a sámta köétől. Gyakorlatba a ú. korrgált taastalat sórást (Stadard Devato: SD) hasáljuk. ( x x) = s=. A eveőbe - áll, ahol a mta elemsáma. - a sabadság fok (degrees of freedom), am a téyleges formácó-tartalommal kacsolatos. A sabadság fok értéke attól függ, hogy egy, a adathalmaból sámított meységhe még háy értéket válasthatuk meg sabado úgy, hogy a már becsült értékek em váltoak. A átlag eseté a sabadság fok. A sórás eseté egy becsült aramétert, a átlagot fel kell hasáluk. A sórásak ugyaa a mértékegysége, mt a eredet adataké (eért hasáljuk sívesebbe, mt a varacát). Gyakorság tábláat eseté: s= N f j j= ( x x), ahol = N f j j= Eltérés égyetösseg: SS (sum of squares of devatos). SS ( x x) = = x = = Varácós koeffces (coeffcet of varato) x = Külöböő átlagú mták sórásáak össehasolítása eseté. s CV % = 00% x..
Stadard hba (stadard error, SE) Teljes eve a mtaátlag stadard hbája, aa sórása. SD( X ) SE( x) =, ahol a mtaelemsám. A mtaátlag véletletől függő meység. Ha rögítjük a mtaelemsámot, és ugyaabból a oulácóból többfélekée válastuk ugyaolya elemsámú mtát, akkor termésetese más mtaátlagot kauk. A így kaott értékek sórása aoba ksebb, mt a oulácó sórása, hse a mtába általába vaak a átlagostól ksebb és agyobb értékek s, és eek a külöbségek a átlagsámításkor koltják egymást. Más becslésekek s va SE-je, e mdg a sóba forgó becslés sórását jelet! Ha a mtából késített hstogram elég jól köelít a ormáls görbét, akkor a ormáls eloslás tábláatából kolvasható, hogy a ( x s x s) a ( x s x s) a ( x 3s x 3s), tervallumba va adatak kb. 68%-a (kb /3-a),, tervallumba va kb. 95%-a,, tervallumba edg kb. 99.7%-a esk (majdem md). A sórás eredete: A bológa váltoatosság (sórás). A mérés hba: metodka véletle hba Laultság vagy csúcsosság (Kurtoss) Laultság és ferdeség A eloslás laultságára, csúcsosságára voatkoó statstka. Normáls eloslás eseté értéke 0, laosabb eloslás eseté egatív, csúcsosabb eloslás eseté otív. Ferdeség (skewess) A eloslás ferdeségére voatkoó statstka. Smmetrkus esetbe 0, egatív esetbe a eloslás balra ferde, otív esetbe jobbra ferde. A laultság és a ferdeség stadard hbája a ormaltás lletve smmetra testelésére solgálhat. Ha a statstkák értéke beleesk a ±SE tervallumba, akkor feltételehetjük a ormaltást, lletve a smmetrát.
Adatok trasformálása Sok statstka módser feltétele a ormaltást. Gyakorság adatok eseté agyo gyakra ferde a eloslás (bomáls, Posso, egatív bomáls). Ha agyo ferde a eloslás, a adatokat a araméteres módserek alkalmahatósága érdekébe lehet ormalál (=ormálssá trasformál). A araméteres statstka módserek, amelyek két vagy több átlagot hasolítaak össe általába feltételek, hogy a varaca a mtákba köel ugyaakkora. Posso, bomáls és egatív bomáls eloslás eseté a varaca függ a átlagértéktől. A trasformácós techkák stablálják a varacát, aa megsütetk a átlagtól való függést. Trasformácó: x f( x ) a gyök- vagy a logartmus- Például gyakorság adatok eseté, ha trasformácó segít: s > 0 x, 3 x, K 0 0 0 0 log x 0 x Nem tökéletese ormáls a új eloslás, de ormalált, aa a araméteres módserek hasálhatóak. Ha vaak 0 értékek, akkor értelmeve log x helyett log ( x) hasáladó, ugyas log 0 cs A másk ráyú ferdeség eseté a hatváy- vagy exoecáls trasformácó segíthet: 0 x, x 3, K 0 0 A égyetgyök trasformácó Posso eloslás vagy ha s A arcs trasformácó x e x eseté hasálatos. x Megfgyelt aráyok eseté hasálható. A eloslás mdkét farka le va vágva, hse mde érték 0 és köé esk. x x arcs x 0 0 0 A adatok trasformálása segíthet, ha a vsgál kívát váltoó em ormáls eloslású, de a skerre cs garaca, va olya eset s, amkor a eloslást semmlye trasformácó sem kées ormálssá te, mt éldául a követkeő ábrá: 0 0 0 Trasformácóra sükség lehet más matt s, éldául ha a értékek sóródása a értékek agyságától függ (sóráskegyelítés), vagy ha két váltoó köött a kacsolat em leárs (learálás). Fgyelem! Előfordulhat, hogy a eredet adatok bológalag jól terretálhatók, a trasformált adatokak vsot már em tuduk bológa jeletést tulajdoíta. Ilyekor kább e trasformáljuk.
Becslés (estmato) A mta megfgyelése alajá a oulácóba valamely smeretle meység vagy hatás mérése Potbecslés (ot estmate) A válas egy sám. Mvel a mtából sámítjuk, e a sám a véletletől s függ (a ebből adódó boytalaság mértékét leggyakrabba a becslés stadard hbájával fejeük k) Példák: mta átlag x o. átlag (E(X)) mta varaca (korrgálatla ll. korrgált)( s ) o. varaca (var(x)) mtabel aráy (relatív gyakorság) o. aráy (valósíűség) mta maxmum o. maxmum A otbecslés torítatlasága Általáosa: Egy α araméterre egy ( x, x,..., ) a mta függvéye véletle váltoó. α becslést adhatuk, amely Vaak olya becslések, amelyek a taastalatok alajá em hasálhatóak. Például tedecóusa alábecsülek a követkeők: mta maxmum o. maxmum mta varaca (korrgálatla) o. varaca (var(x)) Defícó: ( x, x,..., ) α torítatla becslése α -ak, ha x x ( α ( x, x )) = α x. E,..., Példa: A mtaátlag torítatla becslése a oulácó átlagak: E ( x) = E( X ), mert x x... x E( X )... E( X ) E = = E( X ). Defícó: α ( x, x,..., x ) asmtotkusa torítatla becslése α -ak, ha -re E( α( x, x,..., x) ) α (mél agyobb a mta, aál ksebb a torítás, sőt a mtaelemsám övelésével tetsőlegese kcsvé tehető). Általába, a statstkába egy tulajdoságra akkor modjuk, hogy asmtotkus, ha agyo agy ( ) mták eseté ga. Defícó: α ( x, x,..., x ) kostes becslése α -ak, ha bármely ε >0-ra P ( α( x, x,..., x) α ε ) 0, ha valósíűsége 0-ho tart, ha.). (aa α -ak α -tól való agy eltéréséek
A oulácóátlag becslése a mtaátlaggal A mtaátlagok em egyelők, és em s egyeek meg a oulácó átlaggal. Mekkora a mtaátlag sórása vagy hbája (stadard error: SE)? A mtaátlag s egy valósíűség váltoó: σ X ~ N µ, σ SE= a mtaátlag sórása, vagy stadard hbája. Ha ő akkor a stadard hba csökke. Matematkalag boyítható (Cetráls határeloslás tétel), hogy függetleül a mtaelemek eloslásától, a mtaátlag eloslása mdg a ormáls eloslásho tart, várható értéke a oulácó várható értékével egyek meg. >30 eseté feltételehetjük a mtaátlag ormaltását. =0 =5 = µσ µσ µ µσ µσ Itervallumbecslés (terval estmate) Kofdeca-tervallum (cofdece terval) eseté a válas egy értéktartomáy, amelybe a smeretle meység 95% (esetleg 90% vagy 99%) valósíűséggel beleesk. A válastott valósíűség a megbíhatóság st (cofdece level). Általába smmetrkus kofdeca-tervallumot keresük (de em mdg). A kofdeca-tervallum kostrukcója agyo egyserű aokba a esetekbe, amkor a sokásos otbecslés legalábbs köelítőleg ormáls eloslást követ (a, a x, a, a x x lyeek), mert ekkor a ormáls eloslásra érvéyes kélettel sámolhatuk: 95%-os tervallum: a otbecslés ±.96 SE Defícó: A eloslás smeretle a araméteréek becslésekor a stű kofdeca (megbíhatóság) tervallum egy olya ( α, α ) tervallum, amely valósíűséggel tartalmaa a-t, aa P ( α < a< α ) =. Kofdeca-tervallum ormáls eloslású váltoó átlagára Tudjuk, hogy a mtaátlag eloslása σ X ~ N µ,, tehát a mtaátlag valósíűséggel bee va a σ σ µ, µ tervallumba. E at jelet, hogy a mtaátlag % valósíűséggel em esk távolabb a oulácóátlagtól, mt. Ha a oulácó-átlagot em smerjük, de egy mtaátlagot ge, σ akkor ebből vssakövetketethetük a oulácó-átlagra, így kajuk a kofdecatervallumot.
Ha em smerjük a oulácó sórását, σ-t, akkor megbecsülhetjük at s ugyaabból a mtából, mt a x -t, de ekkor a ormáls eloslás krtkus értéke helyett a t- eloslásét kell hasáluk, így a kofdeca-tervallum: A t-eloslás sabadság foka: -. s s x t ; x t. >50 eseté a t-eloslás és a ormáls eloslás már em tér el agyo, eért köelítéskét a ormáls eloslás krtkus értéke s hasálhatók. Bár általába at modjuk, hogy a oulácóátlag 95% valósíűséggel bee va a kofdeca-tervallumba, a sóhasálat helytele. A oulácóátlag ugyas egy otosa adott, bár általuk em smert sám. Ha a kofdeca-tervallumot meghatárotuk, a vagy tartalmaa et a értéket, vagy em, de a már em véletleserű. A helyes sóhasálat a lee, hogy a adott mtaelemsám mellett 95% valósíűséggel tuduk válasta olya mtát, amelyből sámított kofdecatervallum téylegese tartalmaa a oulácóátlagot. Kofdeca-tervallum két ormáls eloslású váltoó átlaga köött külöbségre (függetle mtáko) Ismert sórások eseté: σ σ ( x x ), σ σ ( x x ), ahol x és x a mtaátlagok, σ és σ a smert sórások, és a mtaelemsámok, edg a ormáls eloslás megfelelő értéke. Ismeretle sórások eseté: Ha va okuk feltétele, hogy a sórások egyelők: ( ) ( ) s ( ) s x x t, ( ) ( ) s s x t, ( x ) ahol x és x a mtaátlagok, s és s a mtákból sokásos módo becsült sórások, és a mtaelemsámok, t edg a sabadság fokú t-eloslás megfelelő értéke. Ha a sórások egyelőségét máshoa em tudjuk, F-róbával sokás elleőr. Ha a sórások egyelősége em feltételehető (em tudjuk előre, és a F-róba alajá s el kell vet), agy mtára (, 30) köelítő érvéyel a smert sórások esetére megadott kélet s hasálható, egyserűe a σ-k helyére a becsült sórásokat írva. Ks mtára a Welch-féle korrekcó alkalmaható, amt most em smertetük. A statstkusok egy rése úgy vél, hogy a fetekek cs értelme. Általáos esetbe em feltételehető a sórások egyeősége, a F-róba alkalmaásával edg felesleges boytalaság kerül a redserbe, eért mdg úgy kell tekte, hogy a sórások külöböőek. A vta a ma ag cs eldötve, eért ebbe a esetbe úgy kell sámol, ahogy a adott tudomáyterülete (adott folyóratba) sokás.
Kofdeca-tervallum két ormáls eloslású váltoó átlaga köött külöbségre (ugyaao egyedeke) Ha mdkét váltoót ugyaaoko a egyedeke mértük, akkor elősör mde egyedre ksámítjuk a két mért érték külöbségét (d), majd eekből a kofdecatervallumot a alább módo: s t d s t d d d,, ahol d a külöbségek átlaga, s d a külöbségek becsült sórása, a mtaelemsám (úgy értve, hogy mdkét mta elemű!), t edg a - sabadság fokú t-eloslás megfelelő értéke. Megjegyések Ugyaígy sámolhatuk akkor s, ha a mérések em ugyaaoko a egyedeke törtétek, de a két mta eleme árosíthatók (l. kerárok adata). Nem sükséges a, hogy mdkét váltoó ormáls eloslású legye, elegedő, ha a külöbségek ormáls eloslást követek. Nagy mták eseté ( 30) köelítőleg érvéyes akkor s, ha a külöbség em ormáls eloslású. Nagy mták eseté ( 50) a t-eloslás krtkus értéke helyett tt s hasálhatjuk a ormáls eloslás krtkus értéket. Kofdeca tervallum oulácóbel aráyra (vagy eseméy valósíűségére) (bomáls eloslás araméterére) Durva köelítés (a bomálst ormálssal köelítve): ( ) ( ), ahol $ - a mtából becsült érték Feltétel: 5 5 Fomabb köelítés: ( ) ( ) 4 4, Feltétel: 5 5
Példa: Egy atgé 00 megvsgált egyed köül 0 vérébe volt kmutatható. Adjuk 95%-os kofdeca-tervallumot a atgéel redelkeők oulácóbel aráyára! = 00 = 0 / 00= 0. 96 5. =. % = = 00 0. = 0 A feltétel feáll. Sámoljuk a durva köelítéssel: ( ) ( ), 0.. 96 = 0. 0. 9, 0.. 96 00 0. 0. 9 = 00 ( 0. 04, 0. 59) A sükséges mtaelemsám meghatároása oulácóbel aráy becsléséhe Sámítsuk k, mekkora mta sükséges ahho, hogy egy tulajdoság oulácóbel előfordulás aráyára adott 95%-os tervallum sélessége a 0%-ot e haladja meg (mt éldául 6% - 36%). A hogy mlye séles kofdeca-tervallummal lehetük elégedettek, a adott vsgálat otosság követelméye sabják meg. A kofdeca-tervallum sélességét több dolog befolyásolja. Aál keskeyebb les a tervallum, mél ksebb megbíhatóság stet követelük meg (90% alá e mejük ) mél jobb, otosabb eljárást alkalmauk a kofdeca-tervallum kostrukcójára, mél agyobb mtával dolgouk, mél távolabb esk a aráy a 50%-tól (bármelyk ráyba) A sámítások követhetősége kedvéért most hasáljuk a kofdeca-tervallum kostrukcójára a legegyserűbb eljárást. Eel a 95%-os tervallum:. 96 ( ) ( ),. 96 ahol a mtabel aráyt, edg a mtaelemsámot jelöl. A tervallum sélessége e a gyök alatt kfejeés sorova 3.9-vel. At sereték, hogy e legfeljebb 0% legye, aa ( ) 3.9 0. A -t megsaccolva, majd a egyelőtleséget -re megoldva kajuk a mtaelemsámot. Például ha =0.3 körül értékre sámítuk, akkor 35 adódk. Mdg legye só akár átlagértékről, akár oulácó aráyól, vagy bárm másról ugyaígy, a sóba forgó kofdeca-tervallum sámítás kéletéből kdulva határohatjuk meg a sükséges mtaelemsámot. Perse mdg les olya araméter, amelyet ehhe meg kell saccol, mert tőle s függ a tervallum sélessége. A sükséges mtaelemsám meghatároása átlag becsléséhe A kofdeca-tervallum fél-hossa: h = σ σ Ebből kfejeve a sükséges elemsámot: = h Ha em smerjük a oulácó sórását, akkor előetes mtából becsüljük a sórást: t s =, a t sabadság foka a előetes mta elemsáma -. h Ha a kaott mtaelemsám em agyobb, mt a előetes, akkor a meglévő mta már elegedő a kívát otosságho.
Kofdeca-tervallum a oulácóbel varacára, ll. sórásra ( ) s A χ = statstka χ eloslású, - sabadság fokú valósíűség váltoó, σ ( ) s eért létek olya χ, χ, hogy P χ χ = χ = σ ( ) ( ) s s A egyelőtleséget átredeve: P σ = χ χ χ - χ - -hö tartoó χ érték, (=95% eseté a 0.05-hö tartoó krtkus érték) -hö tartoó χ érték, (=95% eseté a 0.975-hö tartoó krtkus érték)