Segédlet: Kihajlás Készítette: Dr. Kossa ttila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2012. május 15. Jelen segédlet célja tömören összefoglalni a hosszú nyomott rudak kihajlásra történő ellenőrzését. segédlet nem tér ki a részletes levezetésekre, ehelyett a végképletek gyakorlati alkalmazását mutatja be. kihajláshoz tartozó részletes levezetések szakkönyvekben megtalálhatóak 1. következőkben bemutatott összefüggések középpontosan terhelt nyomott rudakra vonatkoznak. Elsőként a rúd karcsúságát (karcsúsági tényező) definiáljuk. Ez egy olyan dimenzótlan skalár szám aminek segítségével el tudjuk dönteni, hogy a vizsgált nyomott rúd esetén melyik elméletet kell alkalmaznunk a törőerő számításához. karcsúságot rendszerint λ-val jelöljük és az alábbiak szerint számítjuk:, (1) ahol l 0 [m] a kihajló hosszúság, [m] pedig a keresztmetszet minimális inerciasugara. 1. ábra. kihajló hosszúság változása a megfogási módoktól függően z l 0 értéke a rúd hosszától és a rúdvégek megfogásától függ, számítása: l 0 = c l, (2) ahol l a vizsgált rúd tényleges hossza, c pedig a rúdvégek megtámasztásától függő konstans, melynek értékét különböző esetekre a 1. ábra foglalja össze. 1.a esetén alul befogás van, felül pedig szabad vég. 1.b-nél alul és felül is csuklós megfogás szerepel, vagyis a keresztmetszet a végeknél elfordulhat. 1.c annyiban különbözik a b) esettől, hogy alul befogás kényszer van, vagyis a végkeresztmetszet elfordulása zérus kell legyen. Legvégül, a d) esetén alul befogás, míg 1 Például: Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981., Sz. D. Ponomarjov: Szilárdsági számítások a gépészetben, 7. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1966., Pattantyús Á. G.: Gépész- és villamosmérnökök kézikönyve, 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961. 1
felül egy olyan jellegű megvezetést alkalmazunk, hogy a keresztmetszet ne tudjon elfordulni a rúdvégnél. keresztmetszet minimális inerciasugarának számítása: =, (3) ahol I 2 a keresztmetszet 2-es főtengelyére számított másodrendű nyomaték, vagyis a fő másodrendű nyomatékokból a kisebb. zért ezzel kell számolni mert a rúd a kisebb ellenállás "irányába" fog kihajlani, ez pedig a legkisebb másodrendű nyomatékkal rendelkező tengely. (3)-ban jelenti a keresztmetszet területét. Mindezek után a karcsúság (λ) és a rúd anyagának ismeretében eldönthető, hogy melyik elméletet kell alkalmaznunk a törőerő számításához. Ehhez a 2.ábrát kell megvizsgálnunk. z ábrán bemutatott 3 különböző esetet az 1. táblázat foglalja össze. 2. ábra. különböző elméletek érvényességi tartománya 1. táblázat. különböző elméletek érvényességi tartománya lkalmazandó elmélet λ < λ F Folyáshatár λ F < λ < λ 0 Tetmajer-egyenes λ 0 < λ Euler-hiperbola λ F és λ 0 karcsúságok a rúd anyagától függő értékek, néhány anyag esetére a 2. táblázat ad iránymutatást 2. 2 táblázat adatai a Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981. könyv 305-306. oldaláról származnak. 2
2. táblázat. Kihajlással kapcsolatos anyagjellemzők néhány anyag esetén Szakítószilárdság Folyáshatár Tetmajer-képlet nyag σ sz [MPa] σ F [MPa] [MPa] λ F λ 0 370 240 308 1, 14λ 60 105 Szénacél 480 310 467 2, 62λ 60 100 520 360 589 3, 82λ 60 100 Ötvözött acél 650 420 470 2, 3λ 22 86 Dúralumínium 420 380 2, 2λ 00 50 Öntöttvas 0,053λ 2 12λ+776 5 80 Fenyőfa 30 0, 2λ 0 100 Tölgyfa 37, 5 0, 25λ 0 100 λ < λ F Ebben az esetben a rúd karcsúsága olyan kicsi (zömök rúd), hogy a kihajlás jelensége nem számottevő, emiatt a törőfeszültség értéke az anyag folyáshatárával egyenlő, vagyis σ t = σ F. (4) λ F < λ < λ 0 Létezik egy átmeneti tartomány a karcsú (λ 0 < λ) és zömök (λ < λ F ) rudak között, ahol a törőfeszültséget a Tetmajer-féle képlettel számítjuk, ami egy egyenesnek az egyenlete: σ t = a bλ. (5) fenti egyenletben szereplő a és b paraméterek az anyagtól függő konstansok. Néhány anyag esetére a 2. táblázat közli a Tetmajer-egyenes egyenletét 3. λ 0 < λ Ebbe a tartományba tartoznak a karcsú rudak. Ebben az esetben a törőfeszültséget az Euler-féle képlettel számítjuk: ( π ) 2E, σ t = (6) λ ahol E az anyag rugalmassági modulusa. törőfeszültség ismeretében a törőerő azf t = σ t összefüggéssel számítható. z Euler-féle számítás esetén a törőerő számítható közvetlenül a ( ) 2 π F t = I 2 E (7) l 0 összefüggéssel is. z ellenőrzés utolsó lépése, hogy a kiszámított törőerőt összehasonlítjuk a rúd tényleges terhelésével (F). Ha F F t, akkor a rúd kihajlás szempontjából nem felel meg. 3 Öntöttvas esetén a Tetmajer-képlet egy parabolát definiál, nem egyenest. 3
z ellenőrzés algoritmusának rövid összefoglalása: 1. keresztmetszet geometria adatainak meghatározása: I 2,,. 2. rúdvégek megfogásának jellegének vizsgálata, ennek ismeretében a kihajló hosszúság számítása: l 0. 3. karcsúság számítása: λ. 4. Karcsúság ismeretében a megfelelő számítási képlet kiválasztása: Folyáshatár vagy Tetmajer-képlet vagy Euler-képlet. 5. Törőerő számítása. 6. Törőerő összehasonlítása a tényleges nyomóterheléssel. Kihajlás szempontjából megfelel vagy nem felel meg? Példa Két rúd a B csuklón keresztül csatlakozik. z egyik rúd másik végén (C) befogást alkalmazunk, míg a másik rúdnál görgős támaszt (). z elrendezést és a kiindulási adatokat a 3. ábra mutatja. BC rúd keresztmetszete a b méretű téglalap. 3. ábra. kihajló hosszúság változása a megfogási módoktól függően Feladatok: a) Határozzuk meg a BC-rúd kihajlással szembeni biztonsági tényezőjét! b) Hogyan változik a biztonsági tényező értéke ha h értékét 20 %-kal csökkentjük? c) Hogyan változik a biztonsági tényező értéke ha b értékét a háromszorosára vesszük? d) Hogyan változik a biztonsági tényező hahértéket a duplájára növeljük és az helyen csuklós támaszt alkalmazunk a görgős helyett? e) Legyen a BC-rúd keresztmetszete kör. Mekkora legyen a d átmérő, ha a kihajlással szemben 3x-os biztonságot szeretnénk elérni? 4
Megoldás BC rudat terhelő nyomóerő értéke az pontra felírt nyomatéki egyenletből kifejezhető: F = pt 2 a) keresztmetszet geometria adatainak számítása: I 2 = ab3 12 = 100 kn. (8) = ab = 1 000 mm 2, (9) 100 000 = = 33 333,333 mm 4, 3 (10) = = b 12 = 5,7735 mm. (11) BC rudat a C keresztmetszetben befogtuk, viszont a B végének oldalirányú mozgása nem gátolt. Emiatt a 1.a ábra szerinti esettel van dolgunk, vagyis a kihajló hosszúság értéke: karcsúsági tényező számítása: l 0 = 2h = 640 mm. (12) = 110,851. (13) Mivel λ > λ 0, emiatt az Euler-féle képletet kell alkalmaznunk. Ennek megfelelően a törőerő számítása: ( ) 2 π F t = I 2 E = 160,638 kn. (14) Tehát a kihajlással szembeni biztonsági tényező: l 0 n = F t F = 1,60638. (15) b) megváltozott kihajló hosszúság számítása: karcsúsági tényező értéke ez esetben: l 0 = 2(0,8h) = 512 mm. (16) = 88,681. (17) Mivel λ 0 < λ < λ 0, emiatt ennél az esetnél már nem az Euler-féle képletet, hanem a Tetmajerféle képletet kell alkalmaznunk. Ennek megfelelően a törőfeszültség számítása: Vagyis a törőerő: σ t = 308 1,14 λ = 206,904 MPa. (18) F t = σ t = 206,904 kn. (19) Tehát a kihajlással szembeni biztonsági tényező ebben az esetben: n = F t F = 2,06904. (20) 5
c) b növelésével változnak a keresztmetszet geometriai adatai. Fontos észrevenni, hogy az előző esetekhez képesti merőleges tengely lesz most a 2-es tengely, vagyis ennek megfelelően kell I 2 -t számolni: karcsúsági tényező értéke: = a(3b) = 3 000 mm 2, (21) I 2 = 3b(a)3 = 625 000 mm 4, (22) 12 = = 14,439 mm. (23) = 44,3405. (24) Mivel λ < λ F, emiatt a törőfeszültség értéke a folyáshatárral egyenlő: törőerő számítása ennek megfelelően: Tehát a kihajlással szembeni biztonsági tényező: σ t = σ F = 240 MPa. (25) F t = σ t = 720 kn. (26) n = F t F = 7,2. (27) d) Ha az helyen csuklós támaszt alkalmazunk, akkor a BC-rúd B vége nem tud vízszintes irányba elmozdulni, vagyis az a 1.c ábra szerinti eset áll elő. kihajló hosszúság - figyelembe véve, hogy a h hosszt pedig a duplájára növeljük - ez esetben: l 0 = 0,7(2h) = 448 mm. (28) keresztmetszet geometria jellemzői nem változtak. karcsúsági tényező értéke: = 448 = 77,596. (29) 5,7735 Mivel λ 0 < λ < λ 0, emiatt ennél az esetnél a Tetmajer-féle képletet kell alkalmaznunk. Ennek megfelelően a törőfeszültség számítása: Vagyis a törőerő: Tehát a kihajlással szembeni biztonság: σ t = 308 1,14 λ = 219,541 MPa. (30) F t = σ t = 219,541 kn. (31) n = F t F = 2,19541. (32) 6
e) Ha 3x-os biztonságot szeretnénk elérni akkor a törőerő értéke F t = nf = 3 100 = 300 kn (33) kell legyen. Méretezés során viszont előre nem tudjuk megmondani, hogy a meghatározni kívánt keresztmetszet esetén melyik elméletet kell alkalmaznunk a törőerő számítására. Emiatt iterációra van szükség. Vagyis feltételezzük például, hogy Euler-féle képletet kell használni, és ennek alapján számítjuk a d-t. Ezután, a keresztmetszet geometriájának ismeretében, már számítható a karcsúság (amit az elején még nem ismertünk). mennyiben λ > λ F értéket kapunk akkor jogos volt a feltételezés. Ha nem, akkor hasonló gondolatmenet alapján vizsgáljuk a Tetmajer-képlet érvényességét és a folyáshatárra való ellenőrzést. fenti gondolatmenetet követve feltételezzük elsőként, hogy az Euler-képletet kell használnunk. (7) képletből a szükséges I 2 kifejezhető: I 2 = F t E ( ) 2 l0 = π Ebből számítható a keresett átmérő: 300 000 N 200 000 MPa d = 4 64 π z átmérő ismeretében már számítható a rúd karcsúsága: = d2 π 4 = 884,468 mm2, = ( ) 2 640 mm = 62 251,735 mm 4. (34) π = 33,558 mm. (35) = 8,3895 mm, = 2h = 76,285. (36) Mivel a λ > λ F feltétel nem teljesül, emiatt nem az Euler-képletet kell alkalmazni! Vizsgáljuk meg, hogy a Tetmajer-féle képlet alkalmazása esetén milyen eredményre jutunk. megadott biztonság esetén a törőfeszültség értéke: σ t = n F = 3100 000 = 300 000 = 1 200 000 d 2 π z anyagra megadott Tetmajer-képletből is felírhatjuk a törőfeszültség értékét: ahol a karcsúsági tényező: = 381 971,863 d 2. (37) σ t = 308 1,14λ, (38) = l 0 = 4l 0 d = 2560 d. (39) fenti egyenletbe d-t mm-ben kell behelyettesíteni. Visszaírva λ-t (38)-ba kapjuk, hogy σ t = 308 2918,4. (40) d Egyenlővé téve a (37) és (40) egyenleteket, d-re vonatkozólag egy másodfokú egyenletet kapunk: 381 971,863 = 308 2918,4, (41) d 2 d 308d 2 2918,4d 381 971,863 = 0, (42) 7
melynek megoldásai: d 1 = 40,2709, d 1 = 30,7956. (43) Tehát a keresett átmérő értéke d = 40, 2709 mm. karcsúság értéke számítható (39) segítségével: λ = 63,57. Mivel a karcsúság a λ F < λ < λ 0 tartományba esik emiatt a Tetmajer-képletet kell alkalmazni, vagyis a d-re kapott érték a keresett megoldás. Megjegyzés: fenti, e) pontbeli méretezési feladat paraméteresen is elvégezhető. Vezessük le általános esetre a méretezést. Legyen a rúd terhelése F, az elérni kívánt biztonsági tényező n, a Tetmajer-képlet alakja σ t = a bλ, a rúd hossza l, a megfogás módját jellemző konstans c. Határozzuk meg a szükséges d átmérőt mind az Euler-féle képlet, mind a Tetmajer-féle képlet alkalmazásával! Vizsgáljuk elsőként az Euler-féle képletet. szükséges törőerő értéke a biztonsági tényező figyelembe vételével: F t = nf. (44) törőerő felírása az Euler-féle képlet segítségével: ( ) 2 π F t = I 2 E. (45) l 0 Egyenlővé téve a fenti két egyenletet, és beírva I 2 képletét kapjuk, hogy ( ) 2 π nf = I 2 E, (46) nf = l 0 ( π cl ) 2 d 4 π 4nF (cl) 2 64 E d = 2 4 π 3 E Tetmajer-képlet alkalmazása esetén a törőerő értéke: ahol a karcsúság számítása:. (47) F t = (a bλ), (48) = cl = 4cl d. (49) Egyenlővé téve (44) és (48) egyenleteket, d-re vonatkozólag egy másodfokú egyenletet kapunk: nf = (a bλ), (50) 4nF d 2 π = a 4bcl d, (51) ad 2 4bcld 4nF π = 0, (52) melynek a pozitív megoldása d = 2bcl a + (2bcl a ) 2 + 4nF aπ. (53) két megoldás a hozzájuk kapcsolódó elméletek érvényességi tartományán belül alkalmazható. Vagyis a (47) szerinti megoldás akkor adja a tényleges megoldást ha a vele számolt karcsúságra teljesül, hogy λ > λ F. (53) megoldás pedig akkor szolgáltatja a tényleges megoldást, ha a vele számított karcsúságra teljesül, hogy λ F < λ < λ 0. 8