Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2009/2010 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 1 / 180
Félévközi kötelező házi feladatok beadási határideje: 1. házi feladat beadása a március 15 19 héten lévő gyakorlaton 2. házi feladat beadása a május 3 7 héten lévő gyakorlaton Ezek teljesítése, két sikeresen megírt dolgozat, valamint a gyakorlatra járás (legfeljebb 3 hiányzás) szükséges a gyakorlati aláíráshoz! Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 2 / 180
Ajánlott irodalom: KNUT SYDSÆTER és PETER HAMMOND Matematika közgazdászoknak Aula, 1998. DENKINGER GÉZA Analízis: gyakorlatok Nemzeti Tankönyvkiadó, 1999. DENKINGER GÉZA Valószínűségszámítás Tankönyvkiadó, 1982. DENKINGER GÉZA Valószínűségszámítás példatár Tankönyvkiadó, 1971. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 3 / 180
Ajánlott irodalom: KOVÁCS ZOLTÁN Feladatgyűjtemény lineáris algebra gyakorlatokhoz Kossuth Egyetemi Kiadó, 2005. GÁSPÁR LÁSZLÓ Lineáris algebra példatár Tankönyvkiadó, 1971. KOZMA LÁSZLÓ Matematikai alapok Studium Kiadó, 1999. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 4 / 180
Ajánlott irodalom: LOSONCZI LÁSZLÓ Előadáskövető anyagok és feladatok http://www.math.klte.hu/ losi/huindex.htm PAP GYULA Előadáskövető anyagok és feladatok http://www.inf.unideb.hu/valseg/dolgozok/papgy/ LAJKÓ KÁROLY Gazdasági matematika I. http://www.math.klte.hu/ lajko/ Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 5 / 180
9. AZ R k VEKTORTÉR 9.1 Az R k vektortér fogalma Az R k vektortér R k := {(x 1, x 2,..., x k ) : x i R minden i = 1, 2,..., k esetén}. Az x = (x 1, x 2,..., x k ) R k sorozatok a tér pontjai. Az x 1, x 2,..., x k számok az x = (x 1, x 2,..., x k ) pont koordinátái. pontjait vektorokként is felfoghatjuk (koordinátarendszer felvétele után az egyes pontoknak a kezdőpontból hozzájuk vezető irányított szakaszt feleltetjük meg). R k Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 6 / 180
9. AZ R k VEKTORTÉR 9.1 Az R k vektortér fogalma Összeadás R k -ban Az x = (x 1, x 2,..., x k ) R k és y = (y 1, y 2,..., y k ) R k vektorok összege x + y := (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x k + y k ). Skalárral való szorzás R k -ban Az x = (x 1, x 2,..., x k ) R k vektor λ R skalárral való szorzata λx := (λx 1, λx 2,..., λx k ). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 7 / 180
9. AZ R k VEKTORTÉR 9.1 Az R k vektortér fogalma Az összeadás és a skalárral való szorzás tulajdonságai Bármely x, y, z R k esetén a 0 = (0, 0,..., 0) zérusvektorral és x := ( 1)x ellentett vektorral x + (y + z) = (x + y) + z, x + y = y + x, x + 0 = x, x + ( x) = 0. Bármely x, y R k és bármely λ, µ, 1 R esetén λ(x + y) = λx + λy, (λ + µ)x = λx + µx, (λµ)x = λ(µx), 1x = x. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 8 / 180
9. AZ R k VEKTORTÉR 9.2 Vektorok lineáris függetlensége, bázis Lineáris kombináció Az a 1, a 2,..., a n R k vektorok λ 1, λ 2,..., λ n R együtthatókkal képezett lineáris kombinációján a vektort értjük. λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + + λ n a n Lineáris függetlenség, függőség Az a 1,..., a n R k nevezzük, ha vektorrendszert lineárisan függetlennek λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + + λ n a n = 0 csak λ 1 = λ 2 = = λ n = 0 esetén áll fenn. Egy vektorrendszert lineárisan függőnek nevezünk, ha nem lineárisan független. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 9 / 180
9. AZ R k VEKTORTÉR 9.2 Vektorok lineáris függetlensége, bázis Ha a 1,..., a n lineárisan függő, akkor léteznek olyan λ 1, λ 2,..., λ n R együtthatók, melyek nem mind zérusok, és λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + + λ n a n = 0. Ezért van olyan l {1, 2,..., n} index, hogy λ l 0, így osztva λ l -lel a l = λ 1 a 1 λ l 1 a l 1 λ l+1 a l+1 λ n a n, λ l λ l λ l λ l azaz az a l vektor kifejezhető a többi vektor lineáris kombinációjaként. Lineáris függetlenség Az a 1,..., a n R k független, ha vektorrendszer akkor és csakis akkor lineárisan b = λ 1 a 1 + + λ n a n, b = λ 1 a 1 + + λ na n csak λ 1 = λ 1,..., λ n = λ n esetén teljesül. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 10 / 180
9. AZ R k VEKTORTÉR 9.2 Vektorok lineáris függetlensége, bázis Az R k vektortér k dimenziós abban az értelemben, hogy van R k -ban k darab lineárisan független vektor, de bárhogyan is választunk k + 1 darab vektort R k -ból, azok lineárisan függők. Bázis Az R k vektortér bármely k számú lineárisan független b 1,..., b k vektorát a tér bázisának nevezzük. Koordináták Ha b 1,..., b k az R k vektortér egy bázisa, akkor a tér minden v vektora egyértelműen írható v = β 1 b 1 + β 2 b 2 + + β k b k alakban. Az itt szereplő β 1, β 2,..., β k skalárokat a v vektor b 1,..., b k bázisára vonatkozó koordinátáinak nevezzük. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 11 / 180
9. AZ R k VEKTORTÉR 9.2 Vektorok lineáris függetlensége, bázis Példa. Az e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0),..., e k = (0, 0,..., 1) R k vektorok az R k tér egy bázisát alkotják, melyet természetes bázisnak nevezünk. Ha v = (v 1, v 2,..., v k ) R k, akkor v = (v 1, v 2,..., v k ) = v 1 e 1 + v 2 e 2 + + v k e k, így v koordinátái azonosak v-nek a természetes bázisra vonatkozó koordinátáival. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 12 / 180
9. AZ R k VEKTORTÉR 9.3 Altér és rang Altér Az R k vektortér alterén R k olyan L részhalmazát értjük, mely nem üres és zárt az összeadásra és a skalárral való szorzásra nézve, azaz a, b L és λ R esetén a + b L és λa L teljesül. Vektorrendszer által generált altér Egy a 1, a 2,..., a n vektorrendszert tartalmazó legszűkebb alteret a vektorrendszer által generált/kifeszített altérnek nevezzük. Jelölés: L(a 1, a 2,..., a n ). L(a 1, a 2,..., a n ) = {α 1 a 1 + + α n a n : α 1,..., α n R}, azaz egy vektorrendszer által generált altér azonos a vektorrendszer vektoraiból képezhető összes lineáris kombinációk halmazával. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 13 / 180
9. AZ R k VEKTORTÉR 9.3 Altér és rang Altér dimenziója Egy L altér dimenziója r, ha van L-ben r darab lineárisan független vektor, de akárhogyan választunk r + 1 darab vektort L-ből, azok lineárisan függőek. Vektorrendszer rangja Egy a 1, a 2,..., a n vektorrendszer rangjának az általa generált L(a 1, a 2,..., a n ) altér dimenzióját nevezzük. Vektorrendszer rangja Az a 1, a 2,..., a n vektorrendszer rangja megegyezik e rendszerből kiválasztható maximális számú, lineárisan független vektorok számával. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 14 / 180
9. AZ R k VEKTORTÉR 9.3 Altér és rang Vektorrendszer által generált altér Az a 1, a 2,..., a n vektorrendszer által generált altér nem változik meg (és így a vektorrendszer rangja sem változik), ha megváltoztatjuk a vektorok sorrendjét, vagy valamelyik vektort egy λ 0 skalárral megszorozzuk, vagy valamelyik vektorához egy másik vektorát hozzáadjuk. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 15 / 180
10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal k n típusú (valós) mátrix Ha k n darab (valós) számot, az {a i,j : i = 1, 2,..., k; j = 1, 2,..., n} számokat, k sorban és n oszlopban helyezünk el az alábbi módon: a 1,1 a 1,2 a 1,n a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A =...... vagy A = a 2,1 a 2,2 a 2,n......, a k,1 a k,2 a k,n a k,1 a k,2 a k,n akkor egy k n típusú (valós) A = (a i,j ) i=1,2,...,k; j=1,2,...,n mátrixot definiáltunk. Az összes k n típusú mátrixok halmazát R k n vagy M k n jelöli. A típus megadásánál mindig a sorok száma az első adat! Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 16 / 180
10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Az A = (a i,j ) i=1,2,...,k; j=1,2,...,n mátrix i-edik sorvektora/sormátrixa és j-edik oszlopvektora/oszlopmátrixa a 1,j s i = [ ] a 2,j a i,1 a i,2 a i,n, oj =. Speciális mátrixok Az A mátrix négyzetes vagy kvadratikus, ha n sora és n oszlopa van, azaz A R n n. Diagonálisa (főátlója) : {a 1,1, a 2,2,..., a n,n }. n-edrendű egységmátrix: az az n-edrendű E = E n R n n kvadratikus mátrix, melynek főátlójában csupa 1 áll, azon kívül pedig csupa 0 áll. k n típusú zérusmátrix: az a k n típusú O = O k n R k n mátrix, melynek minden eleme 0. a k,j Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 17 / 180
10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Mátrix transzponáltja Az A = (a i,j ) i=1,2,...,k; j=1,2,...,n R k n mátrix transzponáltján az A := (a j,i ) j=1,2,...,n; i=1,2,...,k R n k mátrixot értjük (a mátrix sorait és oszlopait megcserélve kapjuk a mátrix transzponáltját). Azonos típusú mátrixok összeadása és számmal való szorzása Legyenek A = (a i,j ) i=1,2,...,k; j=1,2,...,n, B = (b i,j ) i=1,2,...,k; j=1,2,...,n R k n azonos típusú mátrixok és legyen λ R. Ekkor az A + B R k n és λa R k n mátrixok definíciója: A + B := (a i,j + b i,j ) i=1,2,...,k; j=1,2,...,n, λa := (λa i,j ) i=1,2,...,k; j=1,2,...,n. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 18 / 180
10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Az összeadás, számmal való szorzás és transzponálás tulajdonságai Az összes k n típusú valós mátrixok R k n halmazában az összeadás és a számmal való szorzás ugyanolyan tulajdonságokkal rendelkezik, mint az R l vektortérben. Továbbá bármely A, B R k n, λ R esetén (A + B) = A + B, (λa) = λa. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 19 / 180
10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Két mátrix szorzata csak akkor értelmezett, ha az első mátrixnak annyi oszlopa van, mint ahány sora van a második mátrixnak. Mátrixok szorzata A = (a i,j ) i=1,2,...,k; j=1,2,...,n R k n és B = (b j,l ) j=1,2,...,n; l=1,2,...,m R n m mátrixok C = AB szorzatán azt a C = (c i,l ) i=1,2,...,k; l=1,2,...,m R k m mátrixot értjük, melyre n c i,l := a i,j b j,l = a i,1 b 1,l + a i,2 b 2,l + + a i,n b n,l j=1 ha i = 1, 2,..., k ; l = 1, 2,..., m. Ezt a szorzást röviden sor-oszlop kombinációnak mondjuk, mert a szorzatmátrix c i,l eleme éppen az A mátrix i-edik sorvektorának és a B mátrix j-edik oszlopvektorának a belső szorzata R n -ben. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 20 / 180
10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Mátrixok szorzásának tulajdonságai A(BC) = (AB)C, (A + B)C = AC + BC, A(B + C) = AB + AC, (AB) = B A, AO = OA = O, ahol A, B, C, O olyan mátrixok, melyekre a felírt műveleteknek van értelme. Kvadratikus A mátrixokra AE = EA = A. A mátrixszorzás nem kommutatív, azaz általában AB BA. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 21 / 180
10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Kvadratikus mátrix inverze Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak nevezünk, ha van olyan B (kvadratikus) mátrix, melyre AB = BA = E teljesül. Ezt a B mátrixot A inverzének nevezzük és A 1 -gyel jelöljük. Ha A invertálható, akkor csak egy inverze van. Ugyanis, ha B inverze volna, akkor AB = B A = E miatt is A B = BE = B(AB ) = (BA)B = EB = B azaz B = B. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 22 / 180
10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.2 Mátrix determinánsa Részmátrix Legyen A = (a i,j ) i=1,2,...,k; j=1,2,...,n R k n egy k n típusú mátrix. Az i-edik sor és j-edik oszlop elhagyásával visszamaradó (k 1) (n 1) típusú részmátrix jelölése A i,j. Mátrix determinánsa Az A = (a i,j ) i=1,2,...,n; j=1,2,...,n R n n determinánsa n = 1 esetén det(a) = A := a 1,1, n-edrendű kvadratikus mátrix n 2 esetén pedig (rekurzívan definiálva) n det(a) = A := ( 1) 1+l a 1,l det(a 1,l ). l=1 Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 23 / 180
10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.2 Mátrix determinánsa Másod és harmadrendű determinánsok kiszámítása a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2 = a 1,1a 2,2 a 2,1 a 1,2, a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3 = a 1,1a 2,2 a 3,3 + a 1,2 a 2,3 a 3,1 + a 1,3 a 2,1 a 3,2 a 1,3 a 2,2 a 3,1 a 1,1 a 2,3 a 3,2 a 1,2 a 2,1 a 3,3. Kifejtési tétel Minden A = (a i,j ) i=1,2,...,n; j=1,2,...,n R n n n-edrendű kvadratikus mátrix és minden i, j {1,..., n} esetén n n det(a) = ( 1) i+l a i,l det(a i,l ) = ( 1) k+j a k,j det(a k,j ). l=1 k=1 Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 24 / 180
10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.2 Mátrix determinánsa Permutációk Az {1, 2,..., n} számok egy π = (π 1, π 2,..., π n ) elrendezését ezen elemek egy permutációjának nevezzük. Az {1, 2,..., n} számok összes permutációinak halmazát S n jelöli. Egy π = (π 1, π 2,..., π i,..., π j,..., π n ) S n permutációban a (π i, π j ) pár inverzióban áll, ha i < j és π i > π j. Egy π permutáció inverzióinak számát (az inverzióban álló párok számát) I(π) jelöli. Az {1, 2,..., n} számok összes permutációinak száma n!. Minden A = (a i,j ) i=1,2,...,n; j=1,2,...,n R n n n-edrendű kvadratikus mátrix esetén det(a) = ( 1) I(π) a 1,π1 a 2,π2... a n,πn. π S n Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 25 / 180
10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.2 Mátrix determinánsa A determináns alaptulajdonságai 1 Bármely A kvadratikus mátrixra teljesül det(a ) = det(a). 2 Ha egy sor minden elemét c-vel szorozzuk, akkor a determináns értéke c-szeresére változik. 3 Ha két sort felcserélünk, akkor a determináns előjelet vált. 4 Ha két sor megegyezik, akkor a determináns értéke nulla. 5 A determináns értéke nem változik, ha egy sorának elemeihez egy másik sor megfelelő elemeinek c-szeresét hozzáadjuk. 6 Ha egy sor minden eleme két tag összegére bomlik, akkor a determináns felirható két olyan determináns összegeként, melyek megfelelő soraiban éppen az egyes összeadandók állnak. 7 Ha egy sorban csupa 0 áll, akkor a determináns értéke nulla. 8 Az egységmátrixok determinánsa 1. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 26 / 180
10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.1 Mátrix determinánsa Determinánsok szorzástétele Ha A, B R n n Inverz mátrix előállítása azonos rendű kvadratikus mátrixok, akkor det(ab) = det(a) det(b). Egy (kvadratikus) mátrix akkor és csakis akkor invertálható, ha determinánsa nem nulla. Egy A = (a i,j ) i=1,2,...,n; j=1,2,...,n n-edrendű invertálható kvadratikus mátrix A 1 = (b i,j ) i=1,2,...,n; j=1,2,...,n inverzének elemei b i,j = ( 1)i+j det(a j,i ). det(a) Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 27 / 180
10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.3 Mátrix rangja Mátrix rangja Egy A mátrix rang(a) rangján az A oszlopvektoraiból álló vektorrendszer rangját értjük (ami a maximális lineárisan független oszlopvektorok száma). A zérusmátrixok rangja nulla. Aldetermináns Legyen A R k n egy k n típusú mátrix, és 1 l min{k, n}. Az A egy l-edrendű aldeterminánsát úgy kapjuk, hogy kiválasztjuk a mátrix l darab sorát és l darab oszlopát, és képezzük az ezek metszetében lévő elemekből alkotott l-edrendű determinánst. Rangszámtétel Bármely (nemzérus) mátrix rangja megegyezik a maximális rendű nullától különböző aldeterminánsainak rendjével. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 28 / 180
10. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK 10.3 Mátrix rangja Egy mátrix sorvektorainak rangja egyenlő az oszlopvektorainak rangjával. Egy (kvadratikus) mátrix akkor és csakis akkor invertálható, ha a mátrix oszlopvektorai (vagy sorvektorai) lineárisan függetlenek. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 29 / 180
11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.1 Lineáris egyenletrendszer fogalma, Gauss-elimináció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 + + a 1,n x n = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x 2 + + a 2,n x n = b 2 a k,1 x 1 + a k,2 x 2 + + a k,n x n = b k egyenletrendszert, ahol {a i,j, b i : i = 1,..., k; j = 1,..., n} adott valós számok, {x i : i = 1,..., n} ismeretlen valós számok. Az a i,j számokat a rendszer együtthatóinak nevezzük, b i az i-edik egyenlet szabad tagja. Az egyenletrendszert homogénnek nevezzük, ha b 1 = = b k = 0, ellenkező esetben inhomogénnek mondjuk. Az egyenletrendszert szabályosnak nevezzük, ha k = n, azaz ha az egyenletek és ismeretlenek száma egyenlő.. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 30 / 180
11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.1 Lineáris egyenletrendszer fogalma, Gauss-elimináció Tömören: ahol Ax = b, a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A :=...... Rk n, a k,1 a k,2 a k,n x 1 b 1 x 2 x :=. b 2 Rn 1, b :=. Rk 1. x n b k Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 31 / 180
11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.1 Lineáris egyenletrendszer fogalma, Gauss-elimináció Alapvető kérdések: Van-e az egyenletrendszernek megoldása, és ha igen, akkor egyértelmű-e? Hogyan határozhatjuk meg az összes megoldást? Egy (lineáris) egyenletrendszer megoldható, ha van megoldása; ellentmondásos, ha nincs megoldása; határozott, ha pontosan egy megoldás létezik; határozatlan, ha több megoldás van. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 32 / 180
11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.1 Lineáris egyenletrendszer fogalma, Gauss-elimináció Ekvivalens átalakítások Két egyenletrendszert ekvivalensnek nevezünk, ha megoldásaik halmaza egyenlő. Ekvivalens átalakítások Lineáris egyenletrendszerek esetén az alábbi átalakítások ekvivalens rendszereket eredményeznek: az egyenletek sorrendjének megváltoztatása; az egyenletekben szereplő tagok sorrendjének megváltoztatása; a rendszer bármelyik egyenletének szorzása (minden tag szorzása) egy nemzérus számmal; a rendszer bármelyik egyenletének hozzáadása egy másik egyenletéhez. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 33 / 180
11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.1 Lineáris egyenletrendszer fogalma, Gauss-elimináció Trapéz alakú lineáris egyenletrendszer Az egyenletrendszert akkor nevezzük trapéz alakúnak, ha van olyan r {1,..., n} szám, hogy a 1,1 0, a 2,2 0,..., a r,r 0, a i,j = 0, ha i = 1, 2,..., r és j < i, a i,j = 0, ha i > r és j = 1, 2,..., n. Ha r = n, akkor a rendszert háromszögalakúnak nevezzük. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 34 / 180
11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.1 Lineáris egyenletrendszer fogalma, Gauss-elimináció Gauss-elimináció Az ismeretlenek szukcesszív (fokozatos) kiküszöbölésével az egyenletrendszert trapéz alakra hozzuk a következő lépésekkel: Tegyük fel, hogy a 1,1 0. Az első egyenlet a i,1 a 1,1 -szeresét az i-edik egyenlethez hozzáadva i = 2, 3,..., k esetén, az x 1 ismeretlen eltűnik a második, harmadik,... k-adik egyenletből. Ha a 1,1 = 0, akkor az első egyenletben keresünk egy ismeretlent, melynek együtthatója 0, és ez veszi át x 1 szerepét. Ezután a második egyenlet alkalmas konstanszorosainak a harmadik... k-adik egyenlethez való hozzádásával kiküszöböljük a harmadik ismeretlent a negyedik,... k-adik egyenletből. Az eljárást hasonlóan folytatjuk, míg van mit kiküszöbölni. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 35 / 180
11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.1 Lineáris egyenletrendszer fogalma, Gauss-elimináció Trapéz alakú lineáris egyenletrendszer megoldhatósága Egy trapéz alakú egyenletrendszernek akkor és csakis akkor van megoldása, ha a trapéz alakban az r + 1-edik egyenlettől kezdve a szabad tagok mind nullák; megoldható esetben akkor és csakis akkor van pontosan egy megoldása, ha r = n, azaz ha a rendszer hároszögalakú; akkor és csakis akkor van több megoldása, ha r < n; ebben az esetben végtelen sok megoldása van, és a megoldások egy n r paraméteres sereget alkotnak. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 36 / 180
11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.2 Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Lineáris egyenletrendszer megoldhatósága Egy lineáris egyenletrendszernek akkor és csakis akkor van megoldása, ha a rang(a) = rang(a b) rangfeltétel teljesül, ahol A a rendszer együtthatómátrixa, (A b) pedig a bővített mátrix, melyet az A mátrixból úgy kapunk, hogy az A mátrixhoz n + 1-edik oszlopként hozzáírjuk a szabad tagok b oszlopvektorát. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 37 / 180
11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.2 Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Homogén rendszer esetén (amikor b 1 = = b k = 0 ), mindig van megoldás: az x 1 = x 2 = = x n = 0 triviális megoldás. Homogén rendszer nemtriviális megoldásának létezése Egy homogén lineáris egyenletrendszernek akkor és csakis akkor van triviálistól különböző megoldása, ha rang(a) < n, azaz ha a rendszer A mátrixának rangja kisebb mint az ismeretlenek száma. Ha ez teljesül, akkor a homogén rendszer összes megoldásai R n -nek egy n rang(a) dimenziós alterét alkotják. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 38 / 180
11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.2 Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Lineáris egyenletrendszer megoldáshalmazának szerkezete Az Ax = b (A R k n, x R n 1, b R k 1 ) inhomogén lineáris egyenletrendszer bármely x megoldása x = x + x h alakba írható, ahol x az inhomogén egyenlet egy rögzített (partikuláris) megoldása, x h pedig a megfelelő Ax = 0 homogén egyenletrendszer egy tetszőleges megoldása. Így a megoldások halmaza a homogén egyenletrendszer megoldásalterének az x vektorral való eltoltja. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 39 / 180
11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.3 Cramer-szabály lineáris egyenletrendszerek megoldására Cramer-szabály Legyen A egy n-edrendű kvadratikus mátrix. Az Ax = b (A R n n, x R n 1, b R n 1 ) (szabályos) lineáris egyenletrendszernek akkor és csakis akkor van pontosan egy megoldása, ha det(a) 0. Ha ez teljesül, akkor a rendszer egyetlen megoldása x i = det(a i b) det(a) (i = 1, 2,..., n), ahol A i b az a mátrix, melyet az A mátrixból úgy kapunk, hogy annak i-edik oszlopát a szabad tagok b (oszlop)vektorára cseréljük ki. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 40 / 180
11. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 11.3 Cramer-szabály lineáris egyenletrendszerek megoldására Szabályos homogén lineáris egyenletrendszer nemtriviális megoldásának létezése Legyen A egy n-edrendű kvadratikus mátrix. Az Ax = 0 (A R n n, x R n 1 ) (szabályos) homogén lineáris egyenletrendszernek akkor és csakis akkor van nemtriviális megoldása, ha det(a) = 0. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 41 / 180
12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.1 Lineáris leképezés és mátrixa Lineáris leképezés/operátor/transzformáció A ϕ : R n R n leképezést lineáris leképezésnek nevezzük, ha bármely x, y R n és bármely λ R esetén ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) ϕ(λx) = λϕ(x) (azaz ϕ additív), (azaz ϕ homogén). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 42 / 180
12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.1 Lineáris leképezés és mátrixa Lineáris leképezés megadása mátrix segítségével Ha ϕ : R n R n lineáris leképezés, b 1,..., b n az R n egy bázisa, és A ϕ = (a i,j ) i,j=1,...,n az a mátrix, melyre n ϕ(b j ) = a i,j b i minden j = 1,..., n esetén, i=1 akkor minden x = n j=1 x jb j R n esetén ϕ(x) = y = n i=1 y ib i, ahol n y i = a i,j x j minden i = 1,..., n esetén. j=1 Bizonyítás: ϕ(x) = n x j ϕ(b j ) = j=1 n j=1 x j n a i,j b i = i=1 n ( n a i,j x j )b i. i=1 j=1 Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 43 / 180
12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.1 Lineáris leképezés és mátrixa azaz mátrixos formában: Lineáris leképezés mátrixa y 1 a 1,1 a 1,2 a 1,n x 1 y 2. = a 2,1 a 2,2 a 2,n x 2......., y n a n,1 a n,2 a n,n x n ϕ(x) = y = A ϕ x. Azt mondjuk, hogy az A ϕ (n-edrendű kvadratikus) mátrix a ϕ lineáris leképezés mátrixa a b 1,..., b n bázisban. Rögzített bázis esetén a ϕ A ϕ hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű a ϕ : R n R n lineáris leképezések és az A ϕ R n n mátrixok között. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 44 / 180
12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.1 Lineáris leképezés és mátrixa Lineáris leképezések összege, számszorosa és kompoziciója (ϕ + ψ)(x) := ϕ(x) + ψ(x) (x R n ), (λϕ)(x) := λϕ(x) (λ R, x R n ), (ϕ ψ)(x) := ϕ(ψ(x)) (x R n ). A ϕ A ϕ hozzárendelés tulajdonságai Rögzített bázis és tetszőleges ϕ, ψ : R n R n lineáris leképezések esetén A ϕ+ψ = A ϕ + A ψ, A λϕ = λa ϕ, A ϕ ψ = A ϕ A ψ. Továbbá ϕ : R n R n akkor és csakis akkor kölcsönösen egyértelmű, ha A ϕ invertálható. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 45 / 180
12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.1 Lineáris leképezés és mátrixa Lineáris leképezés mátrixa különböző bázisokban Legyen b 1,..., b n és b 1,..., b n az R n tér két bázisa, és n A ϕ = (a i,j ) i,j=1,...,n, ahol ϕ(b j )= a i,j b i, i=1 A ϕ = (a i,j ) i,j=1,...,n, ahol ϕ(b j ) = n i=1 a i,j b i a ϕ : R n R n lineáris leképezés mátrixai. Akkor van olyan S R n n invertálható mátrix, hogy A ϕ = S 1 A ϕ S. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 46 / 180
12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.2 Sajátértékek és sajátvektorok Kvadratikus mátrix sajátértéke, sajátvektora A λ R számot az A R n n mátrix sajátértékének nevezzük, ha van olyan nullától különböző x R n vektor, melyre Ax = λx teljesül. Az x vektort az A mátrix λ sajátértékéhez tartozó sajátvektorának nevezzük. Más alakban: (A λe)x = 0. Ennek a homogén lineáris egyenletrendszernek akkor és csakis akkor van nemtriviális megoldása, ha det(a λe) = 0. Ezt a determinánst kifejtve egy λ-ban n-edfokú polinomot kapunk. Ennek zérushelyei adják A sajátértékeit. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 47 / 180
12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.3 Mátrixok diagonális alakra hozása Diagonális mátrix Egy n n-es D mátrixot diagonálisnak nevezünk, ha a főátlón kívüli elemei mind zérusok. Jelölés: λ 1 0 0 0 λ 2 0 diag(λ 1,..., λ n ) =...... 0 0 λ n Kvadratikus mátrix diagonális alakra hozása Egy n n-es A mátrixot diagonalizálhatónak (diagonális alakra hozhatónak) nevezünk, ha van olyan invertálható n n-es S mátrix és egy D diagonális mátrix, melyekre S 1 A S = D. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 48 / 180
12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.3 Mátrixok diagonális alakra hozása Ha A és S két n n-es mátrix és S invertálható, akkor az A és S 1 A S mátrixok sajátértékei megegyeznek. Bizonyítás: det(s 1 A S λe) = det ( S 1 A S S 1 (λe)s ) = det ( S 1 (A λe)s ) A diagonalizálhatóság kritériuma = det(s 1 ) det(a λe) det(s) = det(a λe). Egy n n-es A mátrix akkor és csakis akkor diagonalizálható, ha van n lineárisan független sajátvektora, x 1,..., x n. Ekkor λ 1 0 0 S 1 0 λ 2 0 A S = diag(λ 1,..., λ n ) =......, 0 0 λ n ahol az S mátrix oszlopvektorai rendre x 1,..., x n, a λ 1,..., λ n számok pedig a hozzájuk tartozó sajátértékek. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 49 / 180
12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.4 Szimmetrikus és ortogonális mátrixok Szimmetrikus és ortogonális mátrixok Egy kvadratikus A mátrixot szimmetrikusnak nevezünk, ha A = A, illetve ortogonálisnak nevezünk, ha A A = E. Ortogonális/merőleges vektorok Az x, y R n vektorok akkor ortogonálisak, ha x, y = 0. Ortogonális mátrixok Egy kvadratikus A mátrix esetén a következő állítások ekvivalensek: A ortogonális; A invertálható, és A 1 = A ; A sorvektorai egységvektorok és páronként ortogonálisak; A oszlopvektorai egységvektorok és páronként ortogonálisak. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 50 / 180
12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.4 Szimmetrikus és ortogonális mátrixok Szimmetrikus mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Ha A egy kvadratikus szimmetrikus mátrix, akkor A sajátértékei mind valós számok; A különböző sajátértékeihez tartozó sajátvektorok ortogonálisak. Szimmetrikus mátrixok spektráltétele Ha A egy n n-es szimmetrikus mátrix, akkor létezik olyan ortogonális U mátrix, amelyre U 1 A U = diag(λ 1,..., λ n ), ahol λ 1,..., λ n az A sajátértékei, az U mátrix i-edik oszlopa pedig a λ i -hez tartozó sajátvektora (i = 1,..., n). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 51 / 180
12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.5 Kvadratikus függvények Bilineáris és kvadratikus függvények/formák Ha A = R n n, akkor az F : R n R n R, F(x, y) := Ax, y, (x, y R n ) függvényt bilineáris függvénynek/formának nevezzük; a Q : R n R, Q(x) := Ax, x, (x R n ) függvényt kvadratikus függvénynek/formának nevezzük. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 52 / 180
12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.5 Kvadratikus függvények Tehát ha x = (x 1,..., x n ) R n, akkor Q(x) = Q(x 1,..., x n ) = Ax, x = n i=1 j=1 n a i,j x i x j, így feltehető, hogy A szimmetrikus mátrix. Ezért létezik olyan U ortogonális mátrix, melyre ahol λ 1,..., λ n ezért y := U x jelöléssel U 1 A U = D = diag(λ 1,... λ n ), az A sajátértékei. Innen A = U D U 1 = U D U, Q(x) = Ax, x = U DU x, x = D U x, U x = Dy, y = Ezt a Q kvadratikus forma kanonikus alakjának nevezzük. n i=1 λ i y 2 i. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 53 / 180
12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.5 Kvadratikus függvények Kvadratikus függvény definitsége A Q : R n R kvadratikus függvény pozitív definit, ha Q(x) > 0 bármely x R n, x 0 esetén; negatív definit, ha Q(x) < 0 bármely x R n, x 0 esetén; indefinit, ha Q(x) felvesz pozitív és negatív értékeket is. Kritérium kvadratikus függvény definitségére Egy szimmetrikus A R n n mátrixszal képezett Q(x) := Ax, x (x R n ) kvadratikus függvény akkor és csakis akkor pozitív definit, ha A összes sajátértéke pozitív, negatív definit, ha A összes sajátértéke negatív, indefinit, ha A-nak van pozitív és negatív sajátértéke is. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 54 / 180
12. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 12.5 Kvadratikus függvények Kritérium kvadratikus függvény definitségére Legyen A = (a i,j ) R n n szimmetrikus mátrix, és legyen k (k = 1,..., n) az A mátrix bal felső k k-s sarokmátrixának determinánsa (sarokfőminora), azaz 1 :=a 1,1, 2 := a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2, a 1,1 a 1,2 a 1,3 3 := a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3,..., n := A, akkor a Q(x) := Ax, x (x R n ) kvadratikus függvény akkor és csakis akkor pozitív definit, ha k > 0 minden k = 1,..., n esetén; negatív definit, ha ( 1) k k > 0 minden k = 1,..., n esetén. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 55 / 180
13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.1 Metrika és topológia R k -ban Skaláris/belső szorzás R k -ban Az x = (x 1, x 2,..., x k ) R k és y = (y 1, y 2,..., y k ) R k vektorok skaláris vagy belső szorzata x, y := x 1 y 1 + x 2 y 2 + + x k y k. k-dimenziós Euklideszi tér R k ellátva a skaláris/belső szorzással A skaláris/belső szorzás tulajdonságai Bármely x, y, z R k x + y, z = x, z + y, z, λx, y = λ x, y, x, y = y, x, és bármely λ R esetén x, x 0, és x, x = 0 akkor és csakis akkor, ha x = 0. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 56 / 180
13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.1 Metrika és topológia R k -ban Cauchy-Schwarz-egyenlőtlenség Bármely két x, y R k vektor esetén x, y x, x y, y. Vektor hossza/normája Az x = (x 1, x 2,..., x k ) R k vektor hossza/normája x := x, x. A hossz/norma tulajdonságai Bármely x, y R k és bármely λ R esetén x 0, és x = 0 akkor és csakis akkor, ha x = 0, λx = λ x, x + y x + y. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 57 / 180
13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.1 Metrika és topológia R k -ban Pontok távolsága Az x, y R k pontok távolsága d(x, y) := x y. Pont (nyílt) környezete Egy a R k halmazt értjük. pont ε > 0 sugarú (nyílt) környezetén a K (a, ε) := {x R k : d(x, a) = x a < ε} k = 1 esetén K (a, ε) az a pontra nézve szimmetrikus 2ε hosszúságú ]a ε, a + ε[ nyílt intervallum. k = 2 esetén K (a, ε) az a = (a 1, a 2 ) pont körüli ε sugarú nyílt körlap. k = 3 esetén K (a, ε) az a = (a 1, a 2, a 3 ) pont körüli ε sugarú nyílt gömb. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 58 / 180
13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.1 Metrika és topológia R k -ban Az a R k pontot az A R k halmaz belső pontjának nevezzük, ha a-nak van olyan környezete, mely A-ban van (azaz van olyan ε > 0, hogy K (a, ε) A ). Az a R k pontot az A R k halmaz izolált pontjának nevezzük, ha a A, és a-nak van olyan környezete, melyben a-n kívül nincs A-beli pont (azaz a A, és van olyan ε > 0, hogy (K (a, ε) \ {a}) A = ). Az a R k pontot az A R k halmaz torlódási pontjának nevezzük, ha a bármely környezetében van tőle különböző A-beli pont (azaz bármely ε > 0 esetén (K (a, ε) \ {a}) A ). Az a R k pontot az A R k halmaz határpontjának nevezzük, ha a bármely környezetében van A-beli és nem A-beli pont is (azaz bármely ε > 0 esetén K (a, ε) A és K (a, ε) A, ahol A := R k \ A az A halmaz komplementere). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 59 / 180
13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.1 Metrika és topológia R k -ban Az A R k halmazt nyíltnak nevezzük, ha minden pontja belső pontja A-nak. Az A R k halmazt zártnak nevezzük, ha komplementere nyílt. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 60 / 180
13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.1 Metrika és topológia R k -ban Sorozat R k -ban Egy a : N R k függvényt R k -beli sorozatnak nevezünk. Jelölés: (a n ) n N, ahol a n := a(n), és a n = (a n,1, a n,2,..., a n,k ), ha n N. Konvergens sorozat R k -ban Az R k -beli (a n ) n N sorozatot konvergensnek nevezzük, ha van olyan b R k, hogy bármely ε > 0-hoz létezik olyan N(ε) R szám, hogy a n b < ε amennyiben n > N(ε). A b pontot a sorozat határértékének (limeszének) nevezzük. Jelölés: a n b ha n, vagy lim n a n = b. Egy R k -beli sorozatot divergensnek nevezünk, ha nem konvergens. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 61 / 180
13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.1 Metrika és topológia R k -ban R k -beli konvergencia = koordinátánkénti konvergencia a n = (a n,1, a n,2,..., a n,k ) b = (b 1, b 2,..., b k ) ha n akkor és csakis akkor, ha a n,i b i ha n minden i = 1, 2,..., k esetén. Ez azt jelenti, hogy egy vektorsorozat akkor és csakis akkor konvergens, ha a sorozat minden koordinátája konvergens, és határértéke a határvektor megfelelő koordinátája. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 62 / 180
13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.2 Többváltozós függvény határértéke és folytonossága Egy D R k halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel jelöljük. Többváltozós függvény határértéke Legyen f : D R k R és legyen x 0 D. Azt mondjuk, hogy f -nek van (véges) határértéke az x 0 pontban, ha van olyan a R szám, hogy minden ε > 0-hoz van olyan δ(ε) > 0, hogy f (x) a < ε ha 0 < x x 0 < δ(ε) és x D. Az a R számot az f függvény x 0 nevezzük. Jelölés: pontbeli határértékének f (x) a ha x x 0, vagy lim x x0 f (x) = a. A határérték, ha létezik, akkor egyértelmű. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 63 / 180
13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.2 Többváltozós függvény határértéke és folytonossága Átviteli elv Legyen f : D R k R és legyen x 0 D. Ekkor azzal egyenértékű, hogy lim f (x) = a x x0 lim f (x n ) = a teljesül bármely olyan n D \ {x 0 }-beli (x n ) n N sorozatra, melyre lim n x n = x 0. A műveletek, egyenlőtlenségek és határérték kapcsolata most is érvényes. A határérték fogalma a = + -re és a = -re hasonlóan kiterjeszthető, mint egy változónál. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 64 / 180
13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.2 Többváltozós függvény határértéke és folytonossága Többváltozós függvény folytonossága Az f : D R k R függvényt értelmezési tartományának x 0 D pontjában folytonosnak nevezzük, ha bármely ε > 0-hoz van olyan δ(ε) > 0, hogy f (x) f (x 0 ) < ε ha x x 0 < δ(ε) és x D. Átviteli elv többváltozós függvény folytonosságára Az f : D R k R függvény az x 0 D pontban akkor és csakis akkor folytonos, ha lim f (x n ) = f (x 0 ) teljesül bármely olyan D-beli n (x n ) n N sorozatra, melyre lim x n = x 0. n Folytonos függvények tulajdonságai ugyanazok, mint az egyváltozós esetben. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 65 / 180
13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.3 Többváltozós függvények differenciálhatósága (Totális) differenciálhatóság Az f : D R k R függvényt az x 0 D belső pontban (totálisan) differenciálhatónak nevezzük, ha van olyan A R k vektor, hogy f (x) f (x 0 ) A, x x 0 lim = 0. x x 0 x x 0 Az f (x 0 ) := A vektort az f függvény x 0 nevezzük. pontbeli deriváltjának GEOMETRIAI JELENTÉS: a függvény f (x) f (x 0 ) növekményét az f (x 0 ), x x 0 lineáris függvény jól közelíti x 0 közelében; a függvény által meghatározott felületnek x 0 -ban van érintősíkja, mégpedig az hipersík az R k+1 x k+1 = f (x 0 ) + f (x 0 ), x x 0 térben. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 66 / 180
13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.3 Többváltozós függvények differenciálhatósága Irány menti differenciálhatóság Legyen e R k egy egységvektor, azaz e = 1. Az f : D R k R függvényt az x 0 D belső pontban az e irány mentén differenciálhatónak nevezzük, ha létezik a D e f (x 0 ) := lim t 0 f (x 0 + te) f (x 0 ) t (véges) határérték, melyet az f függvény e iránymenti deriváltjának nevezünk az x 0 pontban. D e f (x 0 ) jelentése: az f függvény változási sebessége az e irányában. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 67 / 180
13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.3 Többváltozós függvények differenciálhatósága Parciális derivált Legyen i {1, 2,..., k}, és legyen u i R k az i-edik tengely irányába mutató egységvektor (az u i vektor i-edik koordinátája 1, a többi 0). Az f : D R k R függvénynek az x 0 D belső pontban létezik az i-edik változója szerinti parciális deriváltja, ha differenciálható az u i irányban. Jelölése: i f (x 0 ) := D ui f (x 0 ). Egyéb jelölések: f x i (x 0 ) és f xi (x 0 ) Parciális differenciálhatóság Az f : D R k R függvényt az x 0 D belső pontban parciálisan differenciálhatónak nevezzük, ha i f (x 0 ) minden i = 1, 2,..., k esetén létezik. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 68 / 180
13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.3 Többváltozós függvények differenciálhatósága Parciális derivált kiszámítása Mivel x i = x 0,i + t helyettesítéssel i f (x 0 ) = lim t 0 f (x 0,1,..., x 0,i + t,..., x 0,k ) f (x 0,1,..., x 0,i,..., x 0,k ) t f (x 0,1,..., x i,..., x 0,k ) f (x 0,1,..., x 0,i,..., x 0,k ) = lim, x i x 0,i x i x 0,i így az i-edik változó szerinti parciális deriváltat úgy számítjuk ki, hogy az i-edik változó szerint deriválunk, miközben a többi változót konstansnak tekintjük. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 69 / 180
13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.3 Többváltozós függvények differenciálhatósága Irány menti derivált kiszámítása Ha f :D R n R az x 0 D belső pontban (totálisan) differenciálható, akkor bármely e R k egységvektor iránya mentén is differenciálható x 0 -ban, és D e f (x 0 ) = f (x 0 ), e. Ha e = u i az i-edik tengely irányába mutató egységvektor, akkor i f (x 0 ) = D ui f (x 0 ) = f (x 0 ), u i, így e = (e 1, e 2,..., e k ) = e 1 u 1 + e 2 u 2 + + e k u k alapján D e f (x 0 ) = 1 f (x 0 )e 1 + 2 f (x 0 )e 2 + + k f (x 0 )e k. Ezért (totális) differenciálhatóság = parciális differenciálhatóság. Az is következik, hogy f (x 0 ) = ( 1 f (x 0 ),..., k f (x 0 )), így az f (x 0 ) (totális) derivált (vektor) koordinátái a parciális deriváltak. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 70 / 180
13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.3 Többváltozós függvények differenciálhatósága (Totális) differenciálhatóság = folytonosság Ha f : D R k R az x 0 D belső pontban (totálisan) differenciálható, akkor f folytonos x 0 -ban. parciális differenciálhatóság folytonosság parciális derivált folytonossága = (totális) differenciálhatóság Ha az f : D R k R függvénynek az x 0 D belső pont egy környezetében folytonos parciális deriváltjai vannak (ekkor azt mondjuk, hogy a függvény folytonosan parciálisan differenciálható e környezetben), akkor f az x 0 pontban (totálisan) differenciálható (így folytonos is). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 71 / 180
13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.3 Többváltozós függvények differenciálhatósága Láncszabály: összetett függvény differenciálhatósága Ha mindegyik j = 1, 2,..., l esetén a g j : D R k R függvények differenciálhatók az x 0 D belső pontban, és f : E R l R differenciálható az y 0 := g(x 0 ) E belső pontban, ahol a g : D R l függvény értelmezése x D esetén g(x) := (g 1 (x), g 2 (x),..., g l (x)), akkor létezik olyan ε > 0, hogy g(k (x 0, ε)) E, így a h : K (x 0, ε) R, h(x) := f (g(x)) ha x K (x 0, ε) összetett függvény differenciálható az x 0 pontban, és l i h(x 0 ) = j f (g(x 0 )) i g j (x 0 ) ha i = 1, 2,..., k. j=1 Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 72 / 180
13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.4 Magasabbrendű parciális deriváltak Magasabbrendű parciális deriváltak Tegyük fel, hogy az f : D R k R függvénynek az x 0 D belső pont egy környezetében létezik az i-edik változó szerinti i f parciális deriváltja. Ha ez parciálisan differenciálható a j-edik változó szerint, úgy a deriválást elvégezve kapjuk a j i f (x 0 ) := j ( i f (x 0 )) második parciális deriváltját f -nek az x 0 pontban az i-edik és j-edik változók szerint (ebben a sorrendben!). Hasonlóan, ha a j i f (x) derivált létezik x 0 egy környezetében és ez parciálisan differenciálható az l-edik változó szerint, úgy a deriválást elvégezve kapjuk a l i j f (x 0 ) := l ( i j f (x 0 )) harmadik parciális deriváltat. Hasonlóan értelmezhetjük a negyed- és magasabbrendű parciális deriváltakat is. Egyéb jelölések a magasabbrendű parciális deriváltakra: 2 f x j x i (x 0 ), illetve f xi,x j (x 0 ). Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 73 / 180
13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.4 Magasabbrendű parciális deriváltak Példa. Számítsuk ki az f : R 2 R, f (x, y) := x 2 + y 2 e xy függvény összes első- és másodrendű parciális deriváltját, és hasonlítsuk össze a 1 2 f (x, y) és 2 1 f (x, y) vegyes deriváltakat. Young tétel: a vegyes parciális deriváltak függetlensége a deriválás sorrendjétől Ha az f : D R k R függvénynek az x 0 D belső pont egy környezetében valamely m 2 esetén az összes m-edik parciális deriváltja létezik és az x 0 pontban azok folytonosak, akkor az f függvény m-edik parciális deriváltjai az x 0 pontban a differenciálás sorrendjétől függetlenek. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 74 / 180
13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.5 Többváltozós függvények szélsőértéke Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek az x 0 D pontban lokális/helyi maximuma (minimuma) van, ha ε > 0, hogy f (x 0 ) f (x) (f (x 0 ) f (x)) x K (x 0, ε) D esetén. szigorú lokális/helyi maximuma (minimuma) van, ha ε > 0, hogy f (x 0 ) > f (x) (f (x 0 ) < f (x)) x K (x 0, ε) D, x x 0 esetén. globális/abszolút maximuma (minimuma) van, ha f (x 0 ) f (x) (f (x 0 ) f (x)) x D esetén. szigorú globális/abszolút maximuma (minimuma) van, ha f (x 0 ) > f (x) (f (x 0 ) < f (x)) x D, x x 0 esetén. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 75 / 180
13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.5 Többváltozós függvények szélsőértéke A szélsőérték létezésének elegendő feltétele Korlátos, zárt halmazon folytonos függvény felveszi a függvényértékek infimumát és szuprémumát függvényértékként, ami azt jelenti, hogy a függvénynek van minimuma és maximuma (az illető korlátos, zárt halmazon). A szélsőérték létezésének szükséges feltétele Ha az f : D R k R függvénynek az x 0 D belső pontban lokális szélsőértéke van, és léteznek f első parciális deriváltjai x 0 -ban, akkor 1 f (x 0 ) = 2 f (x 0 ) = = k f (x 0 ) = 0. (E feltételnek eleget tevő x 0 pontokat az f függvény stacionárius pontjainak nevezzük.) Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 76 / 180
13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.5 Többváltozós függvények szélsőértéke A szélsőérték létezésének másodrendű elegendő feltétele Tegyük fel, hogy az f : D R k R összes második parciális deriváltja folytonos az x 0 D belső pont egy környezetében, továbbá 1 f (x 0 ) = 2 f (x 0 ) = = k f (x 0 ) = 0. 1 Ha a k k Q : R k R, Q(h) = Q(h 1,..., h k ) := j i f (x 0 )h i h j j=1 i=1 kvadratikus függvény pozitív definit, azaz Q(h) > 0 ha h R k és h 0, akkor f -nek szigorú lokális minimuma van x 0 -ban. 2 Ha Q negatív definit, azaz Q(h) < 0 minden h R k, h 0 esetén, akkor f -nek szigorú lokális maximuma van x 0 -ban. 3 Ha Q indefinit, azaz Q(h) felvesz pozitív és negatív értéket is, akkor f -nek nincs szélsőértéke x 0 -ban. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 77 / 180
13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.5 Többváltozós függvények szélsőértéke A szélsőérték létezésének másodrendű elegendő feltétele determinánsok segítségével Tegyük fel, hogy az f : D R k R összes második parciális deriváltja folytonos az x 0 D belső pont egy környezetében, továbbá 1 f (x 0 ) = 2 f (x 0 ) = = k f (x 0 ) = 0. Legyen l (l = 1,..., k) az A := ( i j f (x 0 )) i=1,...,k; j=1,...,k R k k szimmetrikus mátrix bal felső l l-s sarokmátrixának determinánsa (sarokfőminora), azaz 1 := 1 2 f (x 0), 2 := 2 1 f (x 0) 1 2 f (x 0 ) 1 2 f (x 0 ) 2 2f (x 0),..., k := A. 1 Ha l > 0 minden l = 1,..., k esetén, akkor f -nek szigorú lokális minimuma van x 0 -ban. 2 Ha ( 1) k j > 0 minden j = 1,..., k esetén, akkor f -nek szigorú lokális maxmuma van x 0 -ban. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 78 / 180
13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.5 Többváltozós függvények szélsőértéke A szélsőérték létezésének másodrendű elegendő feltétele determinánsok segítségével kétváltozós függvény esetén Tegyük fel, hogy az f : D R 2 R összes második parciális deriváltja folytonos az x 0 D belső pont egy környezetében, továbbá 1 f (x 0 ) = 2 f (x 0 ) = 0. Legyen 1 és 2 az A := ( i j f (x 0 )) i=1,2; j=1,2 R 2 2 szimmetrikus mátrix bal felső sarokmátrixainak determinánsa (sarokfőminorai), azaz 1 := 1 2 f (x 0), 2 := 2 1 f (x 0) 1 2 f (x 0 ) 1 2 f (x 0 ) 2 2f (x 0). 1 Ha 1 > 0 és 2 > 0, akkor f -nek szigorú lokális minimuma van x 0 -ban. 2 Ha 1 < 0 és 2 > 0, akkor f -nek szigorú lokális maxmuma van x 0 -ban. 3 Ha 2 < 0, akkor f -nek nincs szélsőértéke x 0 -ban. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 79 / 180
13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.5 Többváltozós függvények szélsőértéke Példa. f : R 2 R, f (x, y) := x 3 + y 3 3xy lokális szélsőértékeinek meghatározása. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 80 / 180
13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.5 Többváltozós függvények feltételes szélsőértéke Többváltozós függvények feltételes szélsőértéke Legyenek f : D R k R és g i : D R k R, i = 1,..., l, l < k, adott függvények. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az x 0 D pontban a g 1 (x) = 0, g 2 (x) = 0,..., g l (x) = 0 feltételek mellett lokális/helyi feltételes maximuma (minimuma) van, ha van olyan ε > 0, hogy f (x 0 ) f (x) (f (x 0 ) f (x)) teljesül minden olyan x D K (x 0, ε) esetén, melyre g 1 (x) = = g l (x) = 0. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 81 / 180
13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.5 Többváltozós függvények feltételes szélsőértéke A feltételes szélsőérték létezésének szükséges feltétele Legyenek g i : D R k R, i = 1,..., l, l < k, adott függvények. Tegyük fel, hogy az f : D R függvénynek az x 0 D belső pontban a g 1 (x) = 0, g 2 (x) = 0,..., g l (x) = 0 feltételek mellett lokális feltételes szélsőértéke van, az f és g i, i = 1,..., l első parciális deriváltjai folytonosak x 0 egy környezetében, továbbá a 1 g 1 (x 0 ) k g 1 (x 0 )..... 1 g l (x 0 ) k g l (x 0 ) mátrixnak van nemzérus l-edrendű aldeterminánsa. Akkor van olyan λ 0 = (λ 0,1,..., λ 0,l ) R l pont, hogy az L : D R l R, függvényre L(x, λ) := f (x) + λ 1 g 1 (x) + + λ l g l (x) 1 L(x 0, λ 0 ) = = k L(x 0, λ 0 ) = 0. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 82 / 180
13. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 13.5 Többváltozós függvények feltételes szélsőértéke A λ 1,..., λ m számokat Lagrange-féle multiplikátoroknak nevezzük, az L függvényt pedig a feltételes szélsőérték probléma Lagrange-függvényének nevezzük. A feltételes szélsőérték probléma megoldása úgy történik, hogy a 1 L(x, λ) = 2 L(x, λ) = = k L(x, λ) = g 1 (x) = = g l (x) = 0 k + l egyenletből álló egyenletrendszert megoldjuk az x = (x 1,..., x k ) D, λ = (λ 1,..., λ l ) R l ismeretlenekre; a kapott x 0 = (x 0,1,..., x 0,k ) megoldások adják a feltételes szélsőérték lehetséges helyeit. Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 83 / 180