1 A szögsebességvektorról A szögsebesség nevű mennyiséggel gyakran találkozunk mechanikai számításainkban. Beszélünk skaláris és vektoriális szögsebességről is. Ha már régen túlvagyunk bevezető tanulmányainkon, akkor meglehet, hogy ezen fogalmakkal mint ismerősökkel dolgozunk, nem nagyon firtatva eredetüket, fellépésük körülményeit. Ebben a dolgozatban most egy kicsit visszamegyünk a kezdetekhez, és átvesszük, hogyan kerültek elő ezek a fogalmak, valamint a nekik megfelelő fizikai és matematikai mennyiségek. A szögsebesség először az anyagi pont kinematikájában kerülhetett elő, ott is az egyik legegyszerűbb mozgásfajta, az egyenletes körmozgás kapcsán. 1. Anyagi pont egyenletes körmozgása [ 1 ] Ha a P anyagi pont az R sugarú körpályán állandó v nagyságú pálya menti sebességgel mozog, akkor ezt a mozgást egyenletes körmozgásnak nevezzük. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! 1. ábra forrása: [ 1 ] Az anyagi pont r helyvektora: Az e r forgó egységvektor kifejezése a nyugvó i és j egységvektorokkal: ( 1 ) ( 2 ) Itt a pálya menti sebesség állandó nagyságú, azaz
2 ( 3 ) innen integrálással: Innen a φ szögkoordináta: ( 4 ) ( 5 ) Ennek idő szerinti deriváltja: ( 6 ) ahol bevezettük a ω skaláris szögsebesség, másként: a szögsebesség koordinátája fogalmát és jelölését. Visszatérve a helyvektor kifejezésére: ( 1 ), ( 2 ), ( 5 ) és ( 6 ) szerint: ( 7 ) Most a sebesség meghatározása szerint: ( 8 ) majd ( 1 ) és ( 8 ) - cal: ( 9 ) Az e r egységvektor deriválása az idő szerint, ( 2 ) szerint:. ( 10 ) Most számítsuk ki a vektort! ( 2 ) - vel is: ( 11 ) figyelembe véve, hogy ( 12 ) ( 11 ) és ( 12 ) - vel: ( 13 )
3 Most ( 10 ) és ( 13 ) szerint: ( 14 ) Majd ( 6 ) és ( 14 ) - gyel: azaz: ( 15 ) Itt bevezettük az ω szögsebességvektort, az ( 16 ) definiáló összefüggéssel. Ha ω hatásvonalát a z tengelyhez kötjük, akkor a sebesség kifejezése ( 1 ), ( 8 ), ( 9 ) és ( 15 ) szerint: tehát: ( 17 ) 2. Anyagi pont nem egyenletes körmozgása Az általánosabb esetben ( 16 ) szerint már a szögsebességvektor sem állandó vektor: ( 18 ) ( 19 ) hiszen a szögsebesség nagysága és / vagy iránya ( a z tengely pozitív vagy negatív irányába mutatva ) is változhat. 3. Merev test rögzített tengely körüli forgása Az előzőekben már nagymértékben előkészítettük az idevágó ismeretek tárgyalását.
4 A merev test fontos jellemzője, hogy tetszőleges két pontjának távolsága állandó, bármely időpontban. A merev test anyagi pontjai egymáshoz viszonyított elhelyezkedésének meg - adásával a merev testet geometriailag leírtuk. Erre a célra egy a testhez rögzített ( lokális ) K 1 ( O 1 x 1 y 1 z 1 ) koordináta - rendszert ( k. r. - t ) használunk. A test itt forgó mozgását egy a térben rögzített ( globális ) K( Oxyz ) k. r. - ben írjuk le. Ehhez tekintsük a 2. ábrát is! 2. ábra Itt azt láthatjuk, hogy a merev test egy tetszőlegesen kiválasztott P pontját K 1 - ben meg - adtuk, annak x 1P, y 1P, z 1P derékszögű koordinátáival. A merev test a fix Oz = O 1 z 1 tengely körül ω szögsebességgel forog. Határozzuk meg a P pont pillanatnyi v P sebességét! Először is megállapíthatjuk, hogy v P = v P *. Ehhez felírjuk, hogy tehát valóban fennáll, hogy ( 20 )
5 Ez azt jelenti, hogy elegendő a z = z 1 = 0 síkbeli viszonyokkal foglakoznunk. A ( 20 ) egyenletet úgy is értelmezhetjük, hogy az anyagi pont körmozgása és a merev test rögzített tengely körüli forgása teljesen megfelelnek egymásnak, hiszen a merev test min - den P anyagi pontja egy adott, rögzített tengely körüli forgást végez, ugyanazzal az ω szögsebességel. Ezek után mit vizsgáljunk még? Azt gondoljuk, hogy a későbbiek előké - szítéséhez segítséget adhatnak az alábbi számítások, valamint tanulságos és használható skaláris egyenletekhez juthatunk. Ehhez tekintsük a 2. ábra jobb oldali részét is! Az r P = r P *vektort felírjuk a K és a K 1 k. r. - ben is: ( 21 ) ( 22 ) Majd ( 21 ) és ( 22 ) egyenlővé tételével: Ezután szorozzuk végig skalárisan ( 23 ) - at i - vel és j - vel! Ekkor: Az egységvektorok skalár szorzatai, a 2. ábrára is figyelve: Most ( 24 ) és ( 26 ) - tal: ( 23 ) ( 24 ) ( 25 ) ( 26 ) ( 27 ) ( 28 ) majd ( 25 ) és ( 27 ) - tel: ( 29 ) A ( 28 ) és ( 29 ) egyenletek a forgatási transzformáció egyenletei. Ezek idő szerinti differenciálásával: tehát: ( 30 ) tehát: ( 31 )
6 A sebességvektor kifejezése ( K ) - ban: majd ( 30 ), ( 31 ) és ( 32 ) - vel: vagy: A ( 34 ) eredményt a szemlélet is igazolja. Utóbbi szerint: innen: Minthogy az ábra szerint közvetlenül felírhatjuk, hogy így ( 35 ) és ( 36 ) - tal A fenti képletekben a szögelfordulás időfüggvénye: ( 32 ) ( 33 ) ( 34 ) ( 35 ) ( 36 ) ( 37 ) ( 38 ) Most megnézzük, milyen skaláris egyenletekre jutunk ( 17 ) - tel; ( 22 ) - vel is: majd figyelembe véve, hogy a 2. ábra szerint is: a ( 39 ) és ( 40 ) képletekkel: ( 39 ) ( 40 ) ( 41 ) Végigszorozva ( 41 ) - et skalárisan i és j - vel, majd ( 26 ), ( 27 ), ( 28 ) és ( 29 ) - cel is: ( 30 ) ( 31 )
7 egyezésben a korábbiakkal. A későbbiek miatt még egy más módon is levezetjük ( 17 ) - et [ 2 ]. Már szinte minden lépést korábban értelmeztünk, illetve megmagyaráztunk. A R P vektor felírása ( K 1 ) - ben: differenciálva az idő szerint: ( a ) ( b ) hiszen ( K 1 ) - ben a P pont koordinátái állandó skalárok, és k 1 = konst. vektor. Az egységvektorok deriváltjaira: ( c ) majd ( b ) és ( c ) - vel: Továbbá: ( d ) ( e ) így ( d ) és ( e ) szerint: tehát: ( f ) Megjegyzendő, hogy ezt az összefüggést Euler - formulának nevezik. A 18. században Euler ezen vektoregyenlet helyett három skaláris egyenletet írt fel [ 2 ]. A P pont sebességének az álló K k. r. x tengelyére vett vetülete: mint korábban is. tehát: ( 30 )
8 Megjegyzés: A ( c ) képletek magyarázatához tekintsük a 3. ábrát! 3. ábra forrása: [ 3 ] Egy egységvektor idő szerinti deriváltja merőleges az egységvektorra, hiszen ennek idő szerinti deriváltjára pedig: ( g ) ( h ) A derivált egységvektor nagysága: ( i ) iránya pedig ( h ) szerint e - re merőleges. Így ha e = i 1, és akkor ( j ) egyezésben ( c / 1 ) - gyel. Hasonlóan látható be ( c / 2 ) is. 4. Merev test rögzített pont körüli forgása [ 2 ] Ez a téma lényegesen előkészíti a következőket, vagyis a merev test, illetve tömegpont - rendszer általános mozgásának geometriai leírását. Most tekintsük a 4. ábrát is! Itt azt láthatjuk, hogy a térben rögzített O pontban felvettünk két k. r. - t: a K ( Oxyz ) - t és a K 1 ( O 1 x 1 y 1 z 1 ) - et, ahol O = O 1. A merev testet az O ponthoz rögzítettük, úgy, hogy a rögzítési pontja helyben marad és ekörül tetszőleges, O - n átmenő tengely körül elfordul - hat.
9 4. ábra Mivel az O - n átmenő forgástengely iránya folyton változhat, ezt a mozgást pörgettyű - mozgásnak is nevezik. A következő vizsgálat tárgya: a leírt mozgást végző test sebesség - eloszlásának vagyis bármely pontja sebességének meghatározása. Ehhez írjuk fel a test egy kiszemelt P pontjának helyvektorát a K 1 k. r. - ben! ( 42 ) A P pont sebessége: ( 44 ) hiszen a merev test P anyagi pontjainak koordinátái K 1 - ben állandók. Most képezzük a P pont sebességének az x 1, x 2, x 3 tengelyekre vett vetületeit! Ekkor ( 44 ) - gyel is: ( 45 ) ( 46 ) ( 47 ) Most tekintsük az alábbi mennyiségeket! ( 48 / 1 )
10 Hasonlóképpen: ( 48 / 2 ) ( 48 / 3 ) Továbbá: ( 49 / 1 ) ( 49 / 2 ) ( 49 / 3 ) Most ( 45 ), ( 46 ), ( 47 ) végét újra leírva: Utóbbiakat átírva a ( 48 ) képletek szerint: Utóbbiakat átírva a ( 49 ) képletek szerint: Rendezve: Új jelöléseket vezetünk be: ( 45 / 1 ) ( 46 / 1 ) ( 47 / 1 ) ( 50 / 1 ) ( 51 / 1 ) ( 52 / 1 ) ( 50 / 2 ) ( 51 / 2 ) ( 52 / 2 ) ( 50 / 3 ) ( 51 / 3 ) ( 52 / 3 ) ( 53 )
11 Most ( 50 / 3 ), ( 51 / 3 ), ( 52 / 3 ) és ( 53 ) szerint: A tényezők felcserélésével: Ez utóbbi 3 egyenlet azonban nem más, mint a ( 50 / 4 ) ( 51 / 4 ) ( 52 / 4 ) ( 50 ) ( 51 ) ( 52 ) ( 53 ) vektoregyenlet skaláris komponens - egyenletei, ahol a P indexet már nem írtuk ki, amint az az ( 42 ) és az ( 54 ) egyenletek ( 53 ) - ba való behelyettesítése és a kijelölt műveletek elvégzése után az ( 50 ), ( 51 ), ( 52 ) előállításával belátható. Egy másik út lehet az alábbi [ 2 ]. Minthogy a rögzített O pont körül forgó merev test esetében az OP távolság állandó, így miatt írhatjuk, hogy. ( 55 ) Az vektoregyenlet egy megoldása ( 53 ), hiszen vagyis ( 55 ) egy megoldása valóban ( 53 ). Itt közben felhasználtuk az a, b, c vektorokra vonatkozó vegyes - szorzat képzésének szabályát, miszerint: ( 56 ) valamint ( 57 )
12 ekkor ugyanis ( 56 ) és ( 57 ) szerint: ahogy állítottuk. Sok könyvben az itt leírtakat a hosszadalmas analitikai eljárás megjelöléssel illetik, és ezért kerülik. Egyszer azonban érdemes végigvinni a számítást, követni gondolatmenetét, mert az általánosabb esetekben ez már ismerősként jelenik meg. 5. Szabad merev test általános mozgása [ 2 ], [ 4 ] A következő vizsgálat tárgya: a szabad tehát kényszerekkel nem befolyásolt mozgást végző merev test sebességeloszlásának meghatározása. Ehhez tekintsük az 5. ábrát is! 5. ábra forrása: [ 4 ] Itt három koordináta - rendszert láthatunk: ~ K( Oxyz ): a térben nyugvó k. r.; ~ K 1 ( O ξηζ ): a térben haladó mozgást végző k. r., K - val párhuzamos tengelyekkel; ~ K 2 ( O x y z ): a térben haladó O körül forgó mozgást végző k. r., K és K 1 - hez képest elforgatott koordináta - tengelyekkel. Látjuk, hogy a szabad merev test legáltalánosabb térbeli mozgása egy transzlációból ( haladó mozgásból ) és egy rotációból ( forgó mozgásból ) összetettnek képzelhető el. A merev testet K 2 - ben megadtuk / leírtuk / ismerjük, így e k. r. - ben a pontok koordi - nátái állandó skalárok. Az 5. ábra alapján írhatjuk, hogy ( 58 )
13 Az idő szerint differenciálva ( 58 ) - at: ( 59 ) A korábbiak szerint ld. pl. ( 15 )! : ( 60 ) eszerint ( 59 ) második része átírható: ( 61 ) majd ( 59 ) és ( 61 ) szerint: ( 62 ) Jelölések: ( 63 ) így ( 62 ) és ( 63 ) szerint egy végképlet: ( 64 ) Most ( 58 ) - ból: ( 65 ) így egy másik lehetséges végképlet ( 64 ) és ( 65 ) - tel: ( 66 ) A ( 64 ), ( 65 ) képletek jelentését szemlélteti a 6. ábra, egy tetszőleges M pontra. A ( 65 ), illetve ( 66 ) képletekből több skaláris egyenletrendszer nyerhető, attól függően, hogy a mozgó vagy az álló koordináta - tengelyekre képezzük a vetületeket. Például a sebesség vetületei a mozdulatlan tengelyekre [ 2 ]: ( 67 ) ( 68 ) ( 69 )
14 6. ábra forrása: [ 4 ] Vagy a sebesség vetületei a testhez rögzített tengelyekre [ 4 ] : ( 70 ) ( 71 ) ( 72 ) Dinamikai feladatoknál a v 0 sebességvektor és az ω szögsebességvektor, illetve valamely tengelyekre vett komponenseik előzetesen meghatározandók. Ebből következik, hogy az itteni vizsgálatok szinte teljesen geometriainak mondhatók. 6. Anyagi pont, illetve pontrendszer általános mozgása Itt a címben szerepelhetne az is, hogy a relatív mozgás kinematikája [ 5 ]. Az itteni vizsgálatban szerepelhetnek merev testek is, anyagi pontok is. Most tekintsük a 7. ábrát! 7. ábra forrása: [ 5 ]
15 Itt azt láthatjuk, hogy a tetszőleges mozgást végző P anyagi pont mozgását két koordinátarendszerben figyeljük meg : ~ a nyugvó K( Oxyz ) k. r. - ben, ~ a mozgó K ( O x y z ) k. r. - ben. A kényelem kedvéért a K - hoz viszonyított mozgást abszolút, a K - höz viszonyítottat relatív mozgásnak nevezik [ 5 ]. Az alapösszefüggés mint korábban is : ( 58 ) Az idő szerint differenciálva ( 58 ) - at: ( 73 ) A korábbiak szerint: ( 63 ) ( 61 ) majd ( 73 ) második zárójeles kifejezése: ( 74 ) ahol a ( 74 ) képlettel adott mennyiség a P pont K - beli relatív sebessége. Most az utóbbi négy képlettel: ( 75 ) Majd megint a fentiekkel: azaz: ( 76 ) alapvető összefüggés adódik, hiszen a P ponton bármely A vektor végpontját érthetjük. Eszerint [ 5 ] : Bármely A vektornak a K rendszerből és az ehhez képest ω szögsebes - séggel forgó K rendszerből tekintett időbeli változása közt a ( 77 ) reláció áll fenn. Ez, mint látható, K transzlációjától független.
16 [ 5 ] - ben megjegyzik, hogy az A vektor kezdőpontja sem lényeges 8. ábra. 8. ábra Ugyanis a Q kezdőpontú A vektor felírható az O kezdőpontú A 1 és A 2 vektorok különb - ségeként: ( 78 ) Most írjuk fel ( 77 ) - et A 1 és A 2 - re: ( 79 ) ( 80 ) Majd képezzük ( 79 ) és ( 80 ) különbségét: ( 81 ) ( 82 ) így B = J miatt fennáll ( 77 ). A nagyon fontos ( 77 ) összefüggést alkalmazva a szögsebességvektorra: A = ω, ekkor:
17 tehát: ( 83 ) vagyis az ω szögsebességvektornak kitüntetett szerepe van: időbeli változása K - ban és K - ben ugyanaz. Az szögsebességvektor még sok érdekes és fontos tulajdonsággal bír; pl.: ~ nem csak a sebességeloszlások, hanem a gyorsuláseloszlások vizsgálatában is fontos szerepet kap; ~ egy másodrendű antiszimmetrikus tenzorként is ábrázolható [ 5 ]; ~ általában, tehát két és három szabadságfok esetén nem fejezhető ki egy másik mennyiség deriváltjaként [ 6 ]. Ehhez tekintsük a 9. ábrát is! 7. Egy alapfeladat a szögsebességvektorra 9. ábra Itt azt láthatjuk, hogy egy merev test az O ponton átmenő tengely körül forog, pilla - natnyi szögsebességgel. Adott a test két pontja: A és B, r A és r B helyvektoraival, valamint e pontokban a forgásból származó v A és v B sebességvektorok. Határozzuk meg - t, számítással!
18 Először felírjuk az alapösszefüggéseket: Most képezzük v A és v B vektoriális szorzatát! ( A ) - val is: ( A ) ( B ) Majd felhasználjuk [ 7 ], hogy ezután elvégezzük az, ( C ) ( D ) helyettesítéseket. Ekkor ( C ) és ( D ) szerint: Most ( E ) jobb oldalát átalakítjuk ( A ) - val: ( E ) ( F ) majd ( A ), ( E ) és ( F ) szerint:. ( G ) Még egy más képlet - alakot is felírunk; felhasználva, hogy ezt az összefüggést az idő szerint differenciálva: ( H ) Ezután ( G ) és ( H ) - val a végeredmény: ( I ) ( I ) egyezik a [ 8 ] - ban talált eredménnyel. Ezzel feladatunkat számítással megoldottuk. 10. ábra forrása: http://www.reactionwheel.com/resources/angularmomentum.html BÚGÓCSIGA példa a rögzített pont körüli forgásra
19 Most tekintsük a 11. ábrát! 11. ábra forrása: [ 9 ] Segítségével kijelölhetjük az utat a szerkesztéses megoldáshoz. Itt A és B pont helyett P és Q pontok szerepelnek, ami lényegtelen különbség. A szerkesztés menete az alábbiak szerint alakulhat. 1. A P és Q pontokban előállítjuk a v P és v Q sebességvektorokra merőleges síkokat. 2. Képezzük e síkok ( O ponton átmenő ) metszésvonalát, ami a forgástengely lesz. 3. Meghatározzuk a P, illetve a Q pontnak a forgástengelytől mért ( merőleges ) ρ P, illetve ρ Q távolságát. 4. Megállapítjuk a szögsebesség nagyságát az egyenlet szerint, ahol, illetve 5. A szemlélet alapján megállapítjuk a forgás értelmét, ennek megfelelően irányítását a forgástengely mentén, a jobbcsavar - szabály szerint. 6. Fentiek alapján megrajzoljuk - t, egy alkalmas lépték megválasztása után. ( J ) Megjegyezzük, hogy [ 10 ] - ben megemlítik: A pillanatnyi forgástengely meghatározható abban az esetben is, amikor ismert a test egy olyan pontja, amelynek sebessége az adott időpillanatban nulla. Összekötve ezt a pontot a test mozdulatlan pontjával, kapjuk a test pillanatnyi forgástengelyét. Ezzel feladatunkat szerkesztéssel is megoldottuk elvileg.
20 Irodalom: [ 1 ] Béda Gyula ~ Bezák Antal: Kinematika és dinamika Tankönyvkiadó, Budapest, 1991. [ 2 ] N. A. Kilcsevszkij: Kursz tyeoretyicseszkoj mehanyiki Tom I : Kinyematyika, sztatyika, gyinamika tocski Nauka, Moszkva, 1972. [ 3 ] Werner Hauger ~ Walter Schnell ~ Dietmar Gross: Technische Mechanik Band 3: Kinetik 7. Auflage, Springer Verlag, Berlin ~ Heidelberg ~ New York, 2002. [ 4 ] L. G. Lojcjanszkij ~ A. I. Lurje: Kursz tyeoretyicseszkoj mehanyiki, Tom I: Sztatyika i kinyematyika 8. kiadás, Nauka, Moszkva, 1982. [ 5 ] Budó Ágoston: Mechanika 5. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1972. [ 6 ] HÜTTE A mérnöki tudományok kézikönyve Springer Verlag, Budapest, 1993. [ 7 ] Hoffmann Pál: Kábelipari kézikönyv I. / 1. Prodinform, Budapest, 1983. [ 8 ] Strommer Gyula: Geometria Tankönyvkiadó, Budapest, 1988. [ 9 ] K. Magnus ~ H. H. Müller: Grundlagen der Technischen Mechanik 6. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart, 1990. [10] N. V. Butyenyin ~ Ja. L. Lunc ~ D. R. Merkin: Kursz tyeoretyicseszkoj mehanyiki Tom I: Sztatyika i kinyematyika 3. kiadás, Nauka, Moszkva, 1979.
21 Sződliget, 2015. 06. 18. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár