ELŽADÁS. 1. Halmazok, elemi logika, valós számok. I. Halmazok.

Hasonló dokumentumok
GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert)

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

Analízis elo adások. Vajda István október 3. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

Analízis elo adások. Vajda István szeptember 24. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria

Halmazok és függvények

Lineáris algebra gyakorlat

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak tanév 2. félév

A döntő feladatai. valós számok!

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták, lineáris függetlenség

2004. december 1. Irodalom

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

Az el adás anyagának törzsrésze

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

GAZDASÁGI MATEMATIKA Gyakorlat

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2011/2012-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból

1.1. Gyökök és hatványozás Hatványozás Gyökök Azonosságok Egyenlőtlenségek... 3

Analízis előadások. Vajda István február 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem

Analízis deníciók és tételek gy jteménye

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA

Széchenyi István Egyetem, 2005

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő. x 3x 2 <

MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET OSZTÁLY

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

Lineáris Algebra gyakorlatok

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam

2011. március 9. Dr. Vincze Szilvia

(Gyakorló feladatok)

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 2. félév

Nemzeti versenyek évfolyam

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre

Matematikai programozás gyakorlatok

Lineáris algebra jegyzet

Koordináta - geometria I.

Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Rel aci ok Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Matematika. Specializáció évfolyam

Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, május 29.) Maróti Miklós

Kidolgozott. Dudás Katalin Mária

Analízis. Ha f(x) monoton nő [a;b]-n, és difható egy (a;b)-beli c helyen, akkor f'(c) 0

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged

Egyetemi matematika az iskolában

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. ***************

Valószín ségelmélet házi feladatok

Jelek tanulmányozása

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Határozatlan integrál

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE

Diszkrét matematika I. gyakorlat

MBLK12: Relációk és műveletek (levelező) (előadásvázlat) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, Bevezetés

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

Feladatok megoldásokkal a negyedik gyakorlathoz (Függvényvizsgálat) f(x) = 2x 2 x 4. 2x 2 x 4 = 0, x 2 (2 x 2 ) = 0.

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

e s gyakorlati alkalmaza sai

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria IV.

TARTALOM. Ismétlő tesztek ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!

matematikai statisztika október 24.

Azonosító jel: Matematika emelt szint

Az analízis néhány alkalmazása

5.10. Exponenciális egyenletek A logaritmus függvény Logaritmusos egyenletek A szinusz függvény

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

2. előadás: További gömbi fogalmak

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma

Matematika emelt szint a évfolyam számára

Operációkutatás. 2. konzultáció: Lineáris programozás (2. rész) Feladattípusok

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest javított kiadás

A skatulya-elv alkalmazásai

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ SZÓBELI (2012. NOVEMBER 24.) 3. osztály

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.

Számhalmazok. n n. a valós számok halmaza, ahol : nem írható fel két egész szám hányadosaként az irracionális számok halmaza.

Mátrixaritmetika. Tartalom:

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.C ÉS 13.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA

3. Matematikai logika (megoldások)

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét!

Elektromágneses hullámok - Hullámoptika

Matematika POKLICNA MATURA

Átírás:

ELŽADÁS Megjegyzés: a jegyzetben található bekeretezett részek kiemelten kezelend fogalmak és összefüggések, ezekre vonatkoznak a vizsga beugrókérdései, melyek témáit a tárgyhonlapon felsoroltam. I. Halmazok.. Halmazok, elemi logika, valós számok. "Halmaz" és "eleme": alapfogalmak. Halmaz kritériuma: egyértelm en eldönthet, mik az elemei. 2. Halmaz megadása: (i) Elemekkel, pl. A := {3, 5, 2}. (ii) Más halmazokból. M veletekkel: pl. A B, A B, A \ B. Tulajdonsággal: pl. R + := {x R : x > 0} II. Elemi logika.. Matematikai állítás: amir l eldönthet, igaz-e. Pl.: A. "A 2 egész szám." B. "A 2 valós szám." C. "Mo. f városa Róma." D. "Budapest szép város." Itt A,B,C matematikai állítás, bár C hamis. D nem matematikai állítás. Megj.: A B; 2. Fontos szabályok. C = "Mo. f városa nem Róma." (i) (A B) = ( B A). Vigyázat! (A B) ( A B). (ii) Tagadás. (a) de Morgan: (A vagy B) = ( A és B), (A és B) = ( A vagy B) Pl.: (írok vagy olvasok) = (nem írok és nem olvasok) (b) Kvantorok: legyen T egy tulajdonság (pl. T (x)= "x pozitív"). ( x T (x)) = ( x T (x)) (szabály ellentéte: kivétel); ( x T (x)) = ( x T (x)) Pl. (minden rovar bogár) = (van olyan rovar, amely nem bogár) (c) Következtetés tagadása: el bb átfogalmazni "minden"-nel. Pl.: (Ha valaki magyar, akkor pesti) = (Minden magyar pesti) = (Van olyan magyar, aki nem pesti)

III. Valós számok.. Szemléletes számfogalmak. Kialakulásuk sorrendjében: Pozitív egészek: N + = {, 2, 3,...} Természetes számok: N = {0,, 2,...}. Egész számok: Z = {..., 2,, 0,, 2...} Racionális számok: egész számok hányadosai, jele Q. Püthagorasz iskolájának észrevétele: a négyzet átlóját nem lehet így kifejezni, azaz 2 / Q irracionális számok. Valós számok: a racionális és irracionális számok együtt, jele R. Szemléletesen: számegyenes. Formálisan: a (véges vagy végtelen) tizedestörtek. S r ségi tulajdonság: bármely két szám közt van racionális és irracionális szám. 2. Fontos szimbólumok: (szumma), (produktum). Jelentésük: példákon: ált. n k=m n k= := + +... +, k 2 n a k := a m + a m+ +... + a n. 3. Fontos számhalmazok. 6 k 2 := 4 2 + 5 2 + 6 2, k=4 Hasonlóan, n a k := a m a m+... a n. k=m (i) Intervallumok deníciója. Legyenek a < b valós számok: Korlátos intervallumok: [a, b], (a, b), [a, b), (a, b]. Félegyenesek: pl. [a, + ), (, b). (ii) Korlátos számhalmazok. R is nem korlátos intervallum. Deníció: H R felülr l korlátos, ha M R: x R x M. alulról korlátos, ha... x M. korlátos, ha alulról és felülr l is korlátos. Pl. [a, b] korlátos, N felülr l nem. 2

2. Algebrai alapismeretek. I. Nevezetes kifejezések, azonosságok. (i) Egyváltozós polinom. Egy határozatlan (ált. x-szel jelölt ) elem olyan kifejezése, melyben x egyes hatványainak számszorosait adjuk össze: p(x) := a 0 + a x + a 2 x 2 +... + a n x n = a,..., a n R (együtthatók) adott számok. n i=0 a i x i, ahol n N (a polinom foka) és Pl. 3x 4 5x + π (ii) Racionális törtfüggvény v. algebrai tört: polinomok hányadosa, p(x) q(x). Racionális törtfüggvények összeadása, szorzása: ahogy a törteket kell, azaz p(x) r(x) = p(x)r(x), q(x) s(x) q(x)s(x) p(x) + r(x) = p(x)s(x)+r(x)q(x) q(x) s(x) q(x)s(x) (iii) Többváltozós polinomok és algebrai törtek. Pl. a 2 b 2ab 3 + b 4 polinomja a, b-nek, ab a 2 +b 2 Pl. 2x 3 x 2 +5x. Ezek is rac. törtfüggvények. algebrai tört. (iv) Nevezetes azonosságok több határozatlannal. Pl.: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2, a 2 b 2 = (a b)(a + b). II. Hatványozás, logaritmus. (i) Hatvány értelmezése a > 0 pozitív alap esetén. Egész kitev : a n := a a... a, a n :=, a 0 :=. Rac. kitev : a m a n n := n a m. Irracionális kitev, pl. t: a t az az egyetlen szám, amely mindig a r és a r 2 közé esik, ha t az r és r 2 rac. számok közé esik. (Itt a t létezése a fontos, de csak közelít leg számíthatjuk ki az ilyen a r -ekb l.) (ii) Exponenciális függvény: rögzített a > 0 esetén x a x. Ez pozitív érték ; szigorúan növ, ha a > és szig. csökken, ha a <. (Ha a =, akkor konstans.) (iii) A hatványozás azonosságai: legyenek a, b > 0, x, y R. Ekkor: Különböz kitev k: a x+y = a x a y, a x y = ax a y, (a x ) y = a xy. (Vigyázat: általában a x a y a xy, (a x ) y a (xy )!) Különböz alapok: (ab) x = a x b x, ( a b )x = ax b x. Megj.: az a 0 = def. az azonosságokból is szükségszer. 2. (i) Logaritmus értelmezése (a > 0, a pozitív alap esetén): Legyen b > 0. Ekkor log a b az a szám, amelyre a-t emelni kell, hogy b-t kapjunk. Azaz: x := log a b az egyetlen valós szám, melyre a x = b. Röviden: a log a b = b. 3

Pl.: 2 3 = 8, így log 2 8 = 3; 2 = 2, így log 2 2 = ; 4 2 = 2, így log 4 2 = 2 ; ha a > 0, a tetsz., akkor a 0 =, így log a = 0. Megj.: log a b csak akkor értelmes, ha a és b is pozitív, de maga log a b negatív is lehet. Nevezetes alapok: lg b := log 0 b; ln b := log e b (ún. természetes alapú logaritmus), ahol e 2.7 (def. kés bb). (ii) A logaritmus azonosságai: legyenek a, x, y > 0. Ekkor log a xy = log a x + log a y, log a x y = log a x log a y, log a (y c ) = c log a y. (2. és 3. spec.: log a y = log a y.) Vigyázat! log a (x + y) =... képlet nincs! log a x = log b x. Pl. log log b a 2 x = lg x, azaz egymás konstansszoro- lg 2 Áttérés más alapra: sai. 3. Számok normálalakja. Ha x R +, akkor egyértelm en felírható x = r 0 k alakban, ahol r < 0 és k Z. Pl. 240 000=.24 0 6 III. Egyenletek. Itt most algebrai egyenletekr l lesz, azaz számot keresünk. (Vannak függvényegyenletek is, l. kés bb.). Egyenlet fogalma: keresünk egy mennyiséget, amelyre fennáll valamilyen összefüggés. A megoldást gyakran az egyenlet gyökének hívjuk. (Ez nem a!) Lehet egy vagy több megoldás is, vagy hogy nincs megoldás. Fontos példa: 2. Másodfokú egyenletek megoldása. Rendezve: ax 2 + bx + c = 0 (ahol a, b, c R adott, a 0, x =?) Megoldóképlet levezetése: (: a) és teljes négyzetté alakítjuk. 0 = x 2 + b a x + c a = (x + b 2a )2 + c a b2 4a 2 = (x + b 2a )2 b2 4ac (2a) 2 x,2 = b± b 2 4ac 2a A valós megoldások száma (2, v. 0) a D := b 2 4ac diszkrimináns el jelét l függ. 3. Egyéb egyenletek: ld. gyak. (Törtekkel; hatvány, logaritmus; trigonometrikus stb.) 4

4. Kétismeretlenes lineáris egyenletrendszerek megoldása Legyenek a, b, c, d R, ill. u, v R adott számok. Keresend x, y R: ax + by = u cx + dy = v. (Megj.: szokásos feltevés: a vagy b 0, c vagy d 0.) A megoldás elve: beszorzás azonos együtthatóra. Pl. y-t eliminálhatjuk, ha az. sort d-vel, a 2. sort b-vel szorozzuk: adx + bdy = ud bcx + bdy = bv Innen: kivonva: (ad bc)x = ud bv. eset - ha ad bc 0: átosztva megkapjuk x-et ezt valamelyik egyenletbe helyettesítve kifejezzük y-t. 2. eset - ha ad bc = 0: ekkor a fent kapott egyenlet 0 = ud bv. (i) aleset: ha a megadott adatokra 0 ud bv, akkor nem lehet megoldás. (ii) aleset: ha a megadott adatokra 0 = ud bv, akkor ud = bv, és az ad bc = 0 eset miatt ad = bc. Tehát a beszorzott alakban a két egyenlet azonos! Vagyis az eredeti kett is beszorzással egymásba vihet (nem függetlenek). Azaz valójában csak egy egyenletünk van, pl. ax + by = u. Ennek végtelen sok megoldása van (a síkon ez egy egyenes egyenlete). Megjegyzés (a megoldások számának diszkussziója) Ha ad bc 0: a megoldás egyértelm, azaz egyetlen megfelel (x, y) számpárt kapunk. Ha ad bc = 0: vagy nincs megoldás, vagy sok megoldás van (amikor a két egyenlet egymás számszorosa). Összefoglalva: az egyértelm megoldás feltétele, hogy ad bc 0. (Az ad bc számot néha a rendszer determinánsának hívjuk.) 5

3. Lineáris algebra/. Mátrixok, determináns. Mátrixok és oszlopvektorok fogalma. Motiváció: tekintsük a következ lineáris egyenletrendszert (LAER): Mátrixnak hívjuk az együtthatók táblázatát: ( a b c d ) =: A R 2 2. { ax + by = u cx + dy = v. Az ismeretlenek és 'jobboldal' ( x ) ( u ) oszlopvektorok:, R2. y v ( ) ( ) ( ) a b x u Szeretnénk a LAER-t = alakba írni: c d y v ( ) ( ) ( ) a b x ax + by mátrix-vektor szorzás: :=. c d y cx + dy A szorzat i-edik eleme: a mátrix i-edik sorának és a vektornak a skalárszorzata. Példa más méretre: A R 3 4 (3 4)-es mátrix, ill. ennek szorzata x R 4 vektorral, Ax R 3. Általában: A R n k, x R k esetén Ax := { k a ij x j } n i= Rn. 2. Négyzetes mátrix determinánsának értelmezése. Jelölés: det(a) vagy A. (i) 2 2 eset: det(a) := ad bc. Példa: (ii) 3 3 eset. (Szemléletesen: Sarrus-szabály) Def.: Példa: (iii) n n eset. a a 2 a 3 b b 2 b 3 c c 2 c 3 0 3 2 j= 2 3 4 = 4 2 3. := a b 2 c 3 + a 2 b 3 c + a 3 b c 2 a b 3 c 2 a 2 b c 3 a 3 b 2 c. = ( ) +... Egy determinánsban valamely elem aldetermináns ának nevezzük az adott elem sorának és oszlopának elhagyásával keletkez kisebb determinánst. A determináns kiszámolása rekurzív módon aldeterminánsokkal: tetsz legesen választott sorban vagy oszlopban minden elemet megszorzunk a hozzá tartozó aldeterminánssal, majd a kapott szorzatokat a,,sakktáblaszabály szerinti el jellel ellátva összeadjuk. + +... +... + +......... 6

Példa: a 3x3 eset, els sor szerint kifejtve (ez ugyanazt adja, mint a Sarrus-szabály): a a 2 a 3 b b 2 b 3 c c 2 c 3 = a (b 2 c 3 b 3 c 2 ) a 2 (b c 3 b 3 c ) + a 3 (b c 2 b 2 c ). 3. M veletek vektorokkal és mátrixokkal. (i) Vektorok és mátrixok összeadása és számmal való szorzása: elemenként. (ii) Mátrixok sor-oszlop-szorzása: a szorzat minden elemét úgy kapjuk meg, hogy az els mátrix megfelel sorát skalárisan szorozzuk a második mátrix megfelel oszlopával. ("Megfelel " = annyiadik, mint a vizsgált elemnek.) ( ) ( ) ( ) a b e f ae + bg af + bh A 2 2 esetben: =. c d g h ce + dg cf + dh Példák: ( 2 3 4 ) ( ) 5 6 = 7 8 ( 9 22 43 50 Megj.: Általában AB BA, mint fent. ), ( 5 6 7 8 ) ( ) 2 = 3 4 Azért ilyen bonyolult, mert így lesz (AB)x = A(Bx) x vektorra. ( 23 34 3 46 A nem négyzetes esetben megfelel méretek: m n, n k m k. (iii) Fogalmak négyzetes mátrixra. Egységmátrix: I :=... 0. Az I-vel való szorzás helybenhagy: IA = A = AI. 0 Inverz : A inverze az az A -gyel jelölt mátrix, melyre A A = AA = I. ( ) ( ) 4 Példa: és egymás inverzei. 3 3 4 Nem minden mátrixnak van inverze. Tétel: A det(a) 0. (iv) Az A R n n mátrix által meghatározott R n R n lineáris leképezés: v Av. ( ) 0 Pl.: A = a síkon a vízszintes tengelyre való tükrözés. 0 ). 7

4. Lineáris algebra/2. Függvények I. Mátrixok sajátértékeinek, sajátvektorainak értelmezése és kiszámítása. (i) Def.: Az A R n n mátrixnak λ R sajátértéke és v R n \ {0} egy hozzá tartozó sajátvektor, ha Av = λv. Szemléletes jelentés: az A-val való szorzás a v sajátvektornak csak a hosszát befolyásolja, az irányát nem. (ii) Hogyan találhatók meg a sajátértékek? Észrevétel: λ sajátérték (A λi)v = 0, ahol v 0. Ekkor (A λi)-nak nincs inverze, kül. v = (A λi) 0 = 0 lenne. Állítás: λ pontosan akkor sajátértéke az A mátrixnak, ha det (A λi) = 0. ( ) ( ) ( ) 2 Példa: sajátértékei 4 és, egy-egy sajátvektor és. 2 3 2 Látható: a sajátvektorok számszorosai is sajátvektorok, azaz sajátirányokról van szó. II. Függvények alapfogalmai. Függvény=hozzárendelés, megadása: értelmezési tartomány és hozzárendelési szabály. Jelölés: f : A B, x f(x). Itt D f := A jelöli az értelmezési tartományt, az értékek B-ben vannak és megadtuk a szabályt. Példa: f : R R, f(x) := x 2. Értékkészlet: amiket felvesz, R f B. Nem mindig ismerjük el re. Pl. f : R R, f(x) := sin(x + 2 x )/(x 2 + ), R f R nem látszik. Hasonlóan: lehet, hogy egy hozzárendelési szabályhoz a legb vebb D f -et sem ismerjük el re. Ekkor célszer jelölés f : A B, jelentése D f A. Pl. f : R R, f(x) := (x + )/(x 3 + 3x 4), D f R ahol a nevez 0. 2. További példák. (a) Véges halmazon, ahol pl. több elemhez is rendelheti ugyanazt. (b) x ± x viszont nem függvény R + -on. 3. Függvény fogalma másképp: "m függvénye n-nek", ha n értéke meghatározza m-et. Azaz, ha van olyan f függvény, melyre m = f(n). Fizikai példa a szabadesés: s = (g/2)t 2 4.9 t 2, azaz az út az id függvénye. 8

III. További fontos fogalmak.. Injekció, szuperjekció (vagy szürjekció), bijekció. (Rajzok) Def.: egy f : A B függvény (i) injekció, ha különböz khöz különböz ket rendel, (ii) szuperjekció, ha R f = B, (iii) bijekció, ha injekció és szuperjekció (azaz kölcsönösen egyértelm A és B közt). Megjegyzések. Jelz ként: injektív függvény stb. Az injekció és szuperjekció nem egymás ellentétei (egyszerre is lehetséges, lásd épp (iii)). 2. Kompozíció, inverz, lesz kítés, kiterjesztés. (Rajzok) Def.: (i) Kompozíció: egymás utáni elvégzés. Ha g : A B, f : B C, akkor f g : A C, D f g := {x D g : g(x) D f }, x f(g(x)). (ii) Inverz: visszairányú hozzárendelés. Ha f : A B injekció, akkor f : B A, D f = R f, y f (y) pedig az f(x) = y egyenl ség egyetlen x megoldása. (iii) Lesz kítés: ugyanaz a függvény sz kebb halmazon. Ha f : A B és K A, akkor f K : K B, x f(x). (iv) Kiterjesztés: az adott függvény értelmezése b vebb halmazon. Ha f : A B és N A, akkor f : N B kiterjesztése f-nek, ha A-n megegyezik f-fel (több is lehet). Példák: f(x) := x 2 nem injektív; viszont lesz kítése R-r l R + -ra injektív, ennek inverze a gyök. Az n a n függvényt korábban kiterjesztettük N-r l R-re. 9

I. Ábrázolás grakonnal. 5. Egyváltozós valós függvények. Példák: napi h mérsékletgörbe, ill. f(x) := x 2. II. Monotonitás, inverz. Monoton, szigorúan monoton függvény fogalma. (Rajz is.) Szigorúan monoton függvény injektív. Inverz grakonja: tükrözés a 45 -os tengelyre. Ui. f : x y f : y x, így a két tengely szerepet cserél. Pl. f(x) = x 2 R + -on: inverzének (a gyökfüggvénynek) ábrázolása. III. Elemi függvények és grakonjaik. (a) Hatványfüggvények: f(x) := x α (α R adott kitev ). Most csak x > 0 változóval (ill. x 0, ha α 0) rajzoljuk fel általánosan. Rajzok: α >, α =, 0 < α <, α = 0, α < 0 esetek. Szigorúan monotonak (kivéve, ha α = 0). Megj.: x α értelmes x < 0 esetén is α = p, ahol q {, 3,...} páratlan. q Ilyenkor a grakon az x > 0 eset tükörképe az origóra (ha p páratlan) vagy az y tengelyre (ha p páros). Rajzok: pl. x 3, x 4. (b) Exponenciális függvények: f(x) := a x (a > 0 adott alap). Rajzok: 0 < a <, a =, a > esetek (lásd ea.) Szigorúan monotonak (kivéve a = ). Inverzeik: a logaritmusfüggvények, azaz az a alapú exp. függvény inverze az a alapú log. függvény (x log a x). Rajzok (tükrözéssel): 0 < a <, a > esetek (lásd ea.) Szigorúan monotonak. (c) Trigonometrikus függvények. Rajzok: sin, cos, tg, ctg (lásd ea.) Inverzek. Pl. arc sin értelmezése: Hasonló: arc cos, arc tg. sin [ π inverze; grakonja. 2, π ] 2 (d) Hiperbolikus függvények: sh x := 2 (ex e x ), ch x := 2 (ex + e x ), thx := sh x Fontos azonosság: ch x, ch x cthx := sh x. ch 2 x sh 2 x = x R. (A def.-ból következik.) Inverzeik. Nevük: "area" el taggal, pl. arshx. Kifejezhet k logaritmussal. 0

IV. Exponenciálisból származó nevezetes függvények (rajzokkal) (a) e x (e 2.7) e x (tükrözéssel vagy közvetlenül) e x2 e x2 /2 e (x σ)2 /2 (ahol σ > 0): eltolással. Általános elv: f(x c) és f(x + c) grakonja az f(x)-éb l jobbra/balra való eltolással. (b) Logaritmikus skála: lgf(x) vagy ln f(x) ábrázolása. Pl. f(x) = 0 x -et nehéz pontosan ábrázolni (gyorsan n ), de lgf(x) = x-et már lehet. Példák: i. A 0-es alapú logaritmikus skálán bármely alapú exponenciális fügvényb l lineáris lesz (azaz, bármely a > 0 esetén lg(a x ) = cx valamely c állandó mellett). ii. Exponenciális csökkenés (pl. C-izotóp): f(x) := N 0 e kx (ahol k > 0 állandó). Ekkor ln f(x) = ln N 0 kx lineáris, csökken.

6. Geometria, trigonometria, vektorm veletek I. Pithagorasz-tétel, pontok távolsága síkban ill. térben. Pith.-tétel (síkban, derékszög háromszögre): a 2 + b 2 = c 2 Következmények:. Pontok távolsága. Síkban d(a, B) = Térben a 2 + b 2 + c 2 = d 2 (rajz). (rajz). (a b ) 2 + (a 2 b 2 ) 2, térben ugyanez 3 taggal. 2. Kör egyenlete (a, a 2 ) középponttal: a P = (x, y) pontokra d(p, A) = r, azaz (négyzetre emelve): (x a ) 2 + (y a 2 ) 2 = r 2. II. Trigonometria.. Szögfüggvények értelmezése. (a) cos α, sin α: az x tengellyel α szöget bezáró egységvektor koordinátái. (b) Derékszög háromszögben: cos α = b c, sin α = a c, tg α = a b. (c) tg α := sin α, ctg α := = cos α, ha a nevez nem 0. cos α tg α sin α (d) Ha α nem 0 és 360 közé (azaz radiánban nem 0 és 2π közé) esik: periodikus kiterjesztés. 2. Polárkoordináták: bármely (x, y) (0, 0)-hoz! r > 0 és φ [0, 2π) : x = r cos φ, y = r sin φ. 3. Nevezetes azonosságok (bármely α, β R esetén). sin 2 α + cos 2 α = (Pithagoraszból), Addíciós tételek: cos α = sin( π 2 α). pl. sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β, cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β, köv.: sin 2α = 2 sin α cosα, cos 2α = cos 2 α sin 2 α. 4. Sin- és cos-tétel: ld. gyakorlat. 2

III. Egyenes és sík egyenlete meredekséggel.. Egyenes: y = mx + b. Ekkor m az egyenes meredekségét fejezi ki, azaz hogy mennyit változik y, miközben x egységnyit változik. 2. Sík: z = m x + m 2 y + b. Ekkor m és m 2 a sík x ill. y koordináták irányú meredekségeit fejezi ki, azaz, hogy mennyit változik z, miközben: x egységnyit változik és y rögzített (ez m ), vagy y egységnyit változik és x rögzített (ez m 2 ). IV. Vektorm veletek Az n-dimenziós R n tér: a = (a, a 2,..., a n ) szám-n-esek (vektorok). Gyakorlatban n = 2, 3 (sík, ill. tér). Nagyobb n: pl. állapottér, pl. egy térben mozgó részecske helye és sebessége együtt egy 6-dimenziós állapotvektorral írható le, az összes lehet ség alkotja R 6 -ot. A továbbiakban legyenek a = (a, a 2,..., a n ) és b = (b, b 2,..., b n ) R n -beli vektorok.. Összeadás és számmal való szorzás: a + b := (a + b, a 2 + b 2,..., a n + b n ), c a := (ca, ca 2,..., ca n ). Geometriai jelentése 2 és 3 dimenzióban (rajzon: illesztés ill. nyújtás). 2. Vektorok szorzása egymással. Két különböz értelemben deniáljuk: skalárszorzat: 2 és 3 dimenzióban is (ill. formailag akármennyiben) értelmezzük, értéke valós szám; vektoriális szorzat: csak 3 dimenzióban értelmezzük, értéke is 3-dimenziós vektor. (i) Skalárszorzat. Motiváló példa: er munkája, komponens számít. W = F s cos γ, azaz csak a párhuzamos A skalárszorzat értelmezése: a, b R n esetén a b := a b cos γ. Hasonló tulajdonságok, mint a számok szorzásánál: (a + b) c = a c + b c, ta b = a tb (t R), a b = b a, a a = a 2. Viszont: általában (a b) c a (b c); a b = 0 a b. A skalárszorzat koordináták segítségével való kiszámítása: Pl. síkon (azaz ha a, b R 2 ): a b = a b + a 2 b 2, térben (azaz ha a, b R 3 ): a b = a b + a 2 b 2 + a 3 b 3. a b = n a i b i. i= Biz. síkon: γ = α β miatt cos γ = cos α cos β + sin α sin β = a a b + a 2 a b. Cauchy-Schwarz-egyenl tlenség: a b a b. Biz.: cos γ miatt a b = a b cos γ a b. 3 b b 2

(ii) Vektoriális szorzat. Értelmezése: ha a, b R 3, akkor a b R 3 az a vektor, melyre. a b mer leges a-ra és b-re is, 2. a, b és a b jobbrendszert alkot, 3. a b = a b sin γ. Tulajdonságok. Mint a számok szorzásánál: (a + b) c = a c + b c, ta b = a tb (t R). Viszont: a b = b a, a a = 0 (és általában a b = 0 a b). Itt tehát a mer leges komponens számít. Fizikai példa: mágneses térben mozgó egységnyi töltés. A rá ható (Lorentzféle) er a sebesség és a mágneses indukció vektorszorzata. A vektoriális szorzat koordináták segítségével való kiszámítása: egy i, j, k jobbrendszer derékszög koordináta-rendszerben a b = i j k a a 2 a 3 b b 2 b 3, azaz a b = a 2 b 3 a 3 b 2 (a b 3 a 3 b ) a b 2 a 2 b. Egy geometriai alkalmazás: a b az a és b által kifeszített paralelogramma területe. (Utóbbi ui. a m, és itt m = b sin γ.) 4

7. Végtelen számsorozatok és sorok I. Sorozatok.. Sorozat és határérték fogalma. Sorozat: N + R leképezés. Jelölés: tagjait a, a 2, a 3... indexekkel, a sorozat (a n ). Példa: az sorozat, azaz,,,.... Közelít a 0-hoz, de 0 nem tagja, hanem mije? n 2 3 Deníció (sorozat határértéke). lim a n = A R, ha ε > 0 N = N(ε) N + : n > N esetén a n A < ε. Szemléletesen: A " N = N(ε) N + : n > N esetén" kitétel helyett lazábban "elég nagy n-re" mondható. Az " a n A < ε" tulajdonság: a n (A ε, A + ε). Gyakori jelölés: a n A. Ha van ilyen A, akkor (a n ) konvergens. Példa: az a n := n sorozat, azaz, 2, 3,.... Ekkor lim a n = 0, másképpen a n 0. Egy sorozatnak csak egy határértéke lehet. 2. Szabályok. Tétel (határérték és m veletek). Ha lim a n = A és lim b n = B, akkor: lim(a n + b n ) = A + B, lim(a n b n ) = A B, lim(a n b n ) = A B, ha B 0: lim an b n = A B, ha a n 0 és α R: lim a α n = A α. (Biz.helyett pl. összegre: ha elég nagy n-re a n A és b n B, akkor a n +b n A+B.) Tétel (rend relv). Ha lim a n = lim b n = D és a n c n b n n N +, akkor lim c n = D. 3. mint határérték. Példa: az n 2 sorozat, azaz, 4, 9, 6,... "hova tart"? Def. (i) lim a n = +, ha K > 0 N = N(K) N + : n > N esetén a n > K. (Azaz "elég nagy n-re" a n > K.) (ii) lim a n =, ha K < 0... "-... a n < K. Szabályok végtelen limeszre: M veletek: az el bbi tétel értelemszer en kiterjeszthet limeszre, lásd gyakorlat. 4. A konvergencia elégséges feltétele. Tétel. Ha (a n ) monoton és korlátos, akkor konvergens. Nevezetes példa: a n := ( + n) n monoton növ és felülr l korlátos (biz. nincs, számt.-mért. középpel lehet) konvergens. Def.: e := lim ( + n) n ( 2.7, irracionális). 5

II. Sorok.. Téma: hogyan lehet sok szám összegét értelmezni? Példa (rajzon, számegyenesen): + 2 + 4 +... + 2 n +... = 2. Def. Legyen (a n ) adott sorozat, n N + esetén s n := n a k = a + a 2 +... + a n. Azt mondjuk, hogy a a n végtelen sor konvergens, ha az (s n ) sorozat konvergens, azaz lim s n = S R. A sor összege a fenti S szám. További elnevezések: a végtelen sor n. tagja a n, n. szelete vagy részletösszege s n. Megj.: a sor indexelése nemcsak -t l, hanem más egészt l is indulhat. 2. Fontos példa: mértani sor, q n, ahol q <. Ekkor s n := n így q n konvergens és összege k= k=0 q k = qn+ q q, q n =. (A fenti példa: q = /2 eset.) q Klasszikus példa: Akhillesz és a tekn sbéka paradoxona. Megoldása: bár végtelen sok id szakaszt veszünk gyelembe, ezek egy konvergens sort alkotnak, így nem "soha", hanem csak a tekintett id intervallumban nem éri utol Akhillesz a tekn sbékát. 3. A konvergencia szükséges feltétele. Állítás: ha a n konvergens, akkor lim a n = 0. Biz.: a n = s n s n S S = 0. Elégséges-e? Pl: n divergens, ui. + 2 +( 3 + 4 )+( 5 + 6 + 7 + 8 )+... + 2 + 2 +... Tehát a lim a n = 0 feltétel csak szükséges, de nem elégséges. A konvergencia azon múlik, milyen gyorsan tart a n 0-hoz. 4. További fontos példa:, ahol α > 0 rögzített szám. n n= α Áll. (biz. nélkül): α > esetén konvergens, α esetén divergens. 5. Konvergenciakritériumok. (a) Öszehasonlító kritériumok (ha egy másik alkalmas sorról már tudjuk, hogy konv.) Tétel. (i) Ha a n konvergens, akkor a n is konvergens. Általánosabban: (ii) Ha a n b n n N + és b n konvergens, akkor a n konvergens. (b) Kiszámítható elégséges feltételek a konv-ra. Tétel. () (Gyökkritérium). Ha lim a n n =: q, akkor q < esetén a n konvergens, q > esetén a n divergens. (2) (Hányadoskritérium). Ha lim a n+ a n =: q, akkor q < esetén a n konvergens, q > esetén a n divergens. Megj.: Mindkét kritérium lényege: elég nagy n-re a n c q n, így a sor kb. mint a qn mértani sor viselkedik. (Az utóbbiról tudjuk, hogy q < esetén konvergens, ill. ha q >, akkor q n 0, így a mértani sor divergens.) Ha q =, egyik sem ad információt. Általában a hányadoskritériumot könnyebb kiszámolni. 6

8. Függvények folytonossága és határértéke. Bevezet példák. (a) Folytonosság: szokásos szemléltetése a "fel nem emelt tollal rajzolt grakon", azaz "ha x kicsit változik, akkor f(x) is kicsit változik". Példák az utóbbira: (i) π 2? Mivel π 3.45926, így π 2 3.45926 2 9.869604. Jó közelítésnek érezzük, mert szemléletünk szerint x x 2 folytonos fügvény (rajz). (ii) Egy ktív postai díjszabás-függvény: ha egy csomag 2 kg-nél kevesebb, akkor { 000, ha x < 2, 000 Ft, ha legalább 2 kg, akkor 5000 Ft. Azaz: f(x) := 5000, ha x 2. Csomagunk.998 kg, amire azt mondják:.998 2 kg, tehát 5000 Ft. Ez nem tetszik, miért? Miben más ez az (i) példánál? (Folytonos nem folytonos.) (b) Határérték (limesz). Probléma: ábrázoljuk az m(x) := x2 x függvényt! Ennak grakonja az (, 2) pontban kilyukasztott egyenes. Az -ben milyen értéke m-nek a 2? (Ez lesz a határérték.) 2. E fogalmak pontos tárgyalásához szükséges Def.: Legyen H R halmaz. Egy a R pont H-nak torlódási pontja (jel.: a H ), ha (x n ) H \ {a} sorozat, melyre x n a. Példák (rajzzal): (i) H = [2, 3) esetén 2, 2.5 és 3 (ii) H = R \ {} esetén H. H -beli. 3. A f deníciók. Többféle ekvivalens deníció létezik, mi itt sorozatokat használunk. Def.: (a) Legyen a D f. f folytonos a-ban, ha x n a D f -beli sorozatra f(x n ) f(a). (b) Legyen a D f, b R. lim a f = b, ha x n a, x n a D f -beli sorozatra f(x n ) b. 4. (a) A két fogalom kapcsolata. Legyen most I intervallum, f : I R, a I. Áll. f folytonos a-ban lim a f = f(a). Biz.: a def-ból következik. Köv.: folytonosság lim a f; visszafelé: csak ha ez épp f(a). (b) Tipikus helyzetek. Tekintsük a fenti f(x) := x2 függvényt, melyre lim f = 2. x Az x = pontban f nincs értelmezve. Ha ott is szeretnénk értelmezni, kétféleképp tehetjük, mindkétszer érvényes marad lim f = 2. Lehet vagy f() := b, ahol b 2 (pl. b = 3) f nem folytonos -ben; vagy f() := 2 f folytonos -ben. (Rajzok.) 5. Folytonosság halmazon. Def.: f : H R folytonos, ha a H pontban f folytonos. Tétel (elemi függvények, biz. nélkül): az f(x) := x α, a x, log a x, sin x, cos x függvények folytonosak teljes D f -jükön. 7

6. M veletek. (a) Értelmezésük: pontonként, azaz pl. (f + g)(x) := f(x) + g(x), (f g)(x) := f(x) + g(x) stb.; valamint f g H-ban, ha f(x) g(x) x H. (b) Tulajdonságok: részben a sorozatoknál látottak megfelel i. Határértékre: Tétel. Legyen lim a f = b, lim a g = c. Ekkor lim a (f ± g) = b ± c; lim a (f g) = b c; ha c 0: lim a Folytonosságra: f = b; ha b > 0: lim f α = b α. g c a Tétel. Legyen f és g folytonos a-ban/egy H halmazon. Ekkor f ± g, f g, (ha értelmes:) f és f α is folytonos a-ban/a H halmazon. g Kompozíció és inverz esetén is megmarad a folytonosság: Tétel. Ha f, g : R R folytonosak, akkor f g is folytonos. Tétel. Legyen I R intervallum, f : I R szigorúan monoton. Ha f folytonos, akkor f is folytonos. 7. További határérték-fogalmak. (a) Limesz és végtelen. Def.: (i) lim a f = +, ha x n a, x n a D f -beli sorozatra f(x n ) +. ( -re hasonlóan.) (ii) lim + f = b, ha x n + D f -beli sorozatra f(x n ) b. (Itt b lehet véges vagy végtelen is.) Pl.: f(x) :=, ekkor lim f = + és lim f = 0 x 2 0 + (rajz is). (Ilyen lehet pl. egy térer sség x > 0 esetén.) (b) Egyoldali limesz. Def.: lim a + f = b, ha x n > a, x n a D f -beli sorozatra f(x n ) b. (lim a f = b, ha x n < a,...) Itt b lehet véges vagy végtelen is. Példák: lim sgnx =, lim sgnx = ; lim x 0 + x 0 Áll.: lim f lim a f, lim a + a x 0 + x = +, lim =. x 0 x f és ezek egyenl k. (Pl.: lim sgnx.) x 0 8

9. Egyváltozós függvények deriválása/.. Bevezet példa: mekkora egy szabadon es test pillanatnyi sebessége a t 0 id pillanatban? (Feltevés: a 0 id pontban elejtjük.) (i) Kiszámítás. A test által megtett út: s(t) := g 2 t2. Itt g 0, így tekintsük az s(t) := 5t 2 út-id függvényt. s Átlagsebesség a [t 0, t] id intervallumban: = s(t) s(t 0) t t t 0 = 5t2 5t 2 0 t t 0 = 5(t + t 0 ). Pillanatnyi sebesség t 0 -ban: amihez ez közelít t t 0 esetén. Azaz: s(t) s(t v(t 0 ) = lim 0 ) t t0 t t 0 = 0t 0. (ii) Értelmezés: 2. A derivált fogalma. v(t 0 ) az s függvény pillanatnyi megváltozása. Ehhez szükséges def.: egy H R halmaznak a H bels pontja (jelölés: a int H), ha az a pont körül valamely nyílt intervallum is része H-nak. (Rajz: H = [, ] esetén 0 int H, int H.) Def. Azt mondjuk, hogy az f : R R függvény az a int D f pontban dierenciálható és a-beli deriváltja f f(x) f(a) (a) := lim x a, ha ez a limesz létezik x a és véges. Megj. Az x f(x) f(a) (ha x a) függvényt a-beli különbségihányados-függvénynek x a hívjuk, jelentése f/ x az a pont körül. A példában ez az átlagsebesség az id függvényében. Ennek limesze az a-beli derivált; ez a példában a pill. sebesség, azaz út-id függvény t 0 -beli deriváltja: v(t 0 ) = s (t 0 ). 3. A derivált szemléletes jelentése. Itt f(x) f(a) az (a és x pontokhoz tartozó) szel meredeksége, így a derivált értéke x a ezek limesze. Ebb l következ en: Az f (a) derivált értéke az a-beli érint meredeksége (rajz). Ennek jelentése az f függvény a-beli "pillanatnyi" változásának mértéke. 4. A derivált jelentése közelítés szempontjából. (i) x = a + h helyettesítéssel kapható a fentivel ekvivalens def.: f (a) := lim f(a+h) f(a) h 0 h, ha ez a limesz és véges. (ii) Inhomogén lineáris függvénynek hívunk egy l(x) := mx + b függvényt, ahol m, b R állandók. A derivált fenti deníciója alapján: ha h 0, akkor f (a) f(a+h) f(a), azaz f(a+h) f(a)+f (a)h =: l(h) inhom. lin. függvény. h Geometriai jelentés (rajzzal): h 0 esetén a két függvény kb. azonos, s t itt m = f (a), így a-beli meredekségük azonos. 9

5. További fogalmak. (i) Egyoldali derivált: az a D f pontban f +(a) f(x) f(a) := lim, ha ez a limesz létezik és véges. x a+ x a (Ugyanígy f (a) :=..., ahol x a.) Áll.: f (a) f +(a), f (a) és ezek egyenl k. Példa: f(x) := x és a = 0. Ekkor f +(0) x 0 := lim x 0+ x 0 f (0) =, így f nem dierenciálható 0-ban. = lim =, ugyanígy x 0+ Rajz: a grakonnak "törése" van (míg dierenciálható esetben "sima"). (ii) Deriváltfüggvény. Ha f : H R dierenciálható a H halmazon (azaz H minden pontjában), akkor az x f (x) függvényt f deriváltfüggvényének hívjuk, jelölése f : H R. (Pl. a fenti s(t) = 5t 2 esetén s (t) = 5t t R, rajz.) 6. Kapcsolat a folytonossággal. Áll.: Ha f dierenciálható a-ban, akkor ott folytonos is. Visszafelé ez nem igaz, vagyis ha f folytonos a-ban f dierenciálható a-ban. Például f(x) := x folytonos a = 0-ban, de ott nem dierenciálható. 7. A derivált kiszámítása: deriválási szabályok. Deriváltfüggvényre írjuk fel, pontonként is érvényes. Tétel. Legyenek f, g : H R dierenciálhatóak a H halmazon. Ekkor (f ± g) = f ± g, (cf) = cf (ha c R állandó), (f g) = f g + fg, Vigyázat! f g ( f g ) = f g fg (ha g 0),... f g 2 g (f g) = (f g) g ( pontonként: (f(g(x)) = f (g(x)) g (x) ). f g Biz.: Def. és számolás. Pl. szorzatra: ha a H, (f g) f(x)g(x) f(a)g(a) (a) := lim x a x a = lim ( f(x) f(a) x a x a g(x) + f(a) g(x) g(a) x a = lim ) = f (a)g(a) + f(a)g (a). (f(x) f(a))g(x)+f(a)(g(x) g(a)) = x a x a Tétel (inverz deriváltja). Legyen f 0 az I intervallumon. Ha x I és y = f(x), akkor (f ) (y) = (Rajzon: a meredekség a másik irányból reciprok.) f (x). 20

0. Egyváltozós függvények deriválása/2.. Elemi függvények deriváltjai (a) Elemi függvények néhány limesze. sin x (i) lim =. Ui. (rajz) sin x < x < sin x, így < x 0 x cos x x 0. ( ) x (ii) lim + x + x = e (mint sorozatokra). (iii) lim x 0 +( + x) ( x = lim + t + t ln(+x) (iv) lim x 0 x x < sin x cos x ) t = e (t = x helyettesítéssel). Ugyanez igaz balról is, így lim ( + x) x = e. x 0 = lim ln ( ) ( + x) x = ln e = az ln folytonossága miatt. x 0 e (v) lim x t = lim = x 0 x t 0 ln(+t) (b) Elemi függvények deriváltjai. A def.-ból, bármely a D f pontban: (a) Ha f c konstans: (b) Ha f(x) := x n : (t = ex helyettesítéssel). f c c (a) = lim = 0. x a x a f x (a) = lim n a n x a x a, ha = lim x a (x n +x n 2 a+...+a n ) = na n. (Pl. f(x) = x f (x) = (rajz is), f(x) = x 2 f (x) = 2x, mint a szabadesés.) Ez a képlet valós kitev re is igaz. (c) Ha f(x) := e x : (d) ln ln x ln a (a) = lim x a x a helyettesítéssel). (e) sin sin x sin a (a) = lim x a x a (t = x a 2 helyettesítéssel). Hasonlóan cos (a) = sin a. f e (a) = lim a+h e a h 0 h = lim x a ln x a x a 2 sin = lim x a = e a lim h 0 e h h = e a. a( x a ) = a lim cos x+a 2 2 x a t 0 ln(+t) t = a (t = x a sin t = cos a lim t 0 t = cos a Tehát: f(x) := x α, e x, ln x, sin x, cos x f (x) := αx α, e x,, cos x, sin x. x Jelölés: f (x) helyett néha ( f(x) ) -t írunk, pl. (e x ) = e x. - További példák, m veletekkel: tg x = ( sin x cos x sin 2 x. sh x = ( e x e x 2 ) = sin x cos x cos x sin x cos 2 x = cos2 x+sin 2 x cos 2 x = cos 2 x, has. ctg x = ) = ex +e x 2 = chx. Has. ch x = shx, th x = ch 2 x, cth x =. sh 2 x Ha a > 0, akkor (a x ) = ( e ln a x) = e ln a x ln a = a x ln a. Ha a > 0, a, akkor (log a x) = ( ln x ln a (Megj.: e azért nevezetes, mert (e x ) = e x.) ) = x ln a. 2

Inverz deriváltja: y = f(x) esetén (f ) (y) =. f (x) Példa: legyen x [ π, π ], és y = sin x [, ]. Ekkor cos x 0, így 2 2 arc sin y = = cos x sin = 2 x y. 2 Hasonlóan jön ki: arc tg y = +y 2. Deriválttáblázat: lásd pl. https://digitus.itk.ppke.hu/ benedek/analizis/pdf/seged/derivalttablazat.pdf Fejb l tudni kell: f(x) := x α, a x, log a x, sin x, cos x, (tg x, ctg x), sh x, ch x, (th x, cth x) deriváltját. (Az arc és az area függvényekét csak táblázatból.) A zárójelesek könnyen ki is számíthatók az el ttük lev kb l. 2. Magasabbrend derivált. Def. Ha f : I R dierenciálható egy I intervallumban és f dierenciálható a inti-ben, akkor f kétszer dierenciálható a-ban és f (a) := (f ) (a). n-edik derivált: hasonlóan, rekurzióval, f (n) (a) := (f (n ) ) (a). Pl. f(x) := x 3 f (x) := 3x 2 f (x) := 6x x R. f akárhányszor dierenciálható, ha n-re n-szer dierenciálható. 22

. Hatványsorok.. Hatványsorok, Taylor-sor (a) Bevezet példa. Mely x R esetén konvergens a x k sor? k=0 Tudjuk: (x helyett q-val): ha x <, és ekkor összege Itt n-re s n (x) := n x k egy függvény a (, ) intervallumban, amely x-enként k=0 konvergál az f(x) := x (b) Def. és alaptulajdonságok. x. függvényhez, az ún. összegfüggvényhez. Def. Adott (c n ) számsorozat esetén 0 közep hatványsornak hívjuk a sort. Általában, a közep hatványsor: c n (x a) n. c n x n Tétel. Tegyük fel, hogy létezik és véges α := lim n c n vagy α := lim c n+ c n. Legyen R := (ha α = 0, akkor R := + ). A c α n x n hatványsor konvergens, ha x < R, és (véges R esetén) divergens, ha x > R. Biz.: Legyen α > 0. Gyökkritérium a n := c n x n mellett: q := lim a n n = lim n c n x = α x = x. A sor konvergens, ha q <, azaz ha x < R, és R divergens, ha q >, azaz ha x > R. A többi eset hasonlóan jön ki. (c) Hatványsorok deriválása. Egy hatványsor s n (x) szeletei polinomok, tagonként deriválhatók. Ebb l igazolható: Tétel. Legyen f(x) = c n x n = c 0 + c x + c 2 x 2 + c 3 x 3 +... valamely R > 0 esetén x < R mellett. Ekkor az f összegfüggvény dierenciálható, és f (x) = c + 2c 2 x + 3c 3 x 2 +... ( x < R). Köv.: (i) Ez is hatványsor, így a tételt újból alkalmazva, x < R f (x) = 2 c 2 + 3 2 c 3 x +... és ugyanígy, n-re f (n) (x) = n(n )...2 c n + (n + )n...3 2 c n x +... (ii) Fontos észrevétel: x = 0 helyen mindegyik sorban csak az els tag nem 0! Így f (n) (0) = n! c n. Taylor-féle együtthatóképlet: c n = f (n) (0) n! ( n N). 2. Taylor-sorok. Eddig adott hatványsor esetén vizsgáltuk az összegfüggvényt. Megfordítva: adott f függvény el áll-e alkalmas hatványsor összegeként? (Pl. ha a sin függvény el áll, akkor sin x értéke bármely x-re közelít leg kiszámítható mint a hatványsor valamely szelete.) A Taylor-féle együtthatóképletb l következik a keresett c n együtthatók értéke: Tétel. Ha f(x) = c n x n ( x < R valamely R > 0 mellett), akkor f akárhányszor dierenciálható, és c n = f (n) (0) n! ( n N). 23

Def. Az f függvény 0 közep Taylor-sora a f (n) (0) n! x n hatványsor. Példa: f(x) := e x. Ekkor n N esetén f (n) (x) = e x, így f (n) (0) =. Ezért e x Taylor-sora n! xn. Hányadoskritériummal a n+ a n = n! x x = 0 <, így (n+)! n+ x R esetén a sor konvergens. Hasonló számolással kapható sin x és cos x Taylor-sora. Tétel. x R esetén e x = x n, cos x = ( ) n x2n n! Megj.: a közep Taylor-sor: 3. Közelítés Taylor-polinommal. f (n) (a) n! (x a) n. (2n)!, sin x = ( ) n x2n+ (2n+)!. f Legyen f(x) = (n) (a) (x a) n az (a R, a + R) intervallumon. E sornak kiszámítani csak a szeleteit tudjuk, n! ezekre Def. Az f a-beli n-edfokú Taylor-polinomja T n (x) := n f (k) (a) (x a) k = f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) 2 +... + f (n) (a) (x a) n. k! 2 n! k=0 Ezek n növelésével egyre pontosabban közelítik f-et az a pont körül. Szemléltetés (rajzzal). Legyen x = a + h, ekkor T 0 (a + h) = f(a) T (a + h) = f(a) + f (a)h f(a + h) T 2 (a + h) = f(a) + f (a)h + f (a) h 2 2... stb.... egyre jobb közelítés. T 0 -nál: f(a + h) f(a) is érvényes közelítés (bár elég durva), ez épp a folytonosság. T -nél: f(a+h) f(a)+f (a)h lineáris közelítés, amit a deriváltnál láttunk. T 2 -nél: parabolával közelítjük. 24