Vetületi rendszerek és átszámítások

Vetületi rendszerek és átszámítások PhD értekezés Dr. Varga József Budapesti Műszaki és Gazdaságtudománi Egetem Építőmérnöki Kar Általános- és Felsőgeodézia Tanszék Budapest, 007

Nilatkozat Alulírott Varga József kijelentem, hog ezt a doktori értekezést magam készítettem, és abban csak a megadott forrásokat használtam fel. Minden olan részt, amelet szó szerint, vag azonos tartalomban, de átfogalmazva más forrásból átvettem, a forrás megadásával megjelöltem. Budapest, 007. január. Dr. Varga József Megjegzés A dolgozat bírálatai és a védésről készült jegzőkönv a doktori eljárás lezárása után elérhető a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudománi Egetem Építőmérnöki Karának Dékáni Hivatalában. A dolgozat a T043007 számú OTKA program (Magarországi geodéziai vonatkozási rendszerek és vetületi síkkoordináta-rendszerek vizsgálata) támogatásával készült. 1

Tartalomjegzék Bevezetés...5 1. A magarországi vetületi rendszerek áttekintése...7 1.1. Vetületnélküli rendszerek...7 1.. Kettős vetítés...8 1..1. Sztereografikus vetületek...1 1... Ferdetengelű érintő hengervetületi rendszerek...13 1..3. Egséges országos vetület (EOV)...14 1.3. Az ellipszoid egenlítői elhelezésű hengervetületei...16. A vetületi átszámítások szükségessége és módszerei...18 3. Ajánlott megoldások a koordináta-módszerrel végezhető átszámításokra...1 3.1. Átszámítás a ferdetengelű érintő hengervetületi rendszerek között...1 3.. Átszámítás a budapesti sztereografikus rendszer és a ferdetengelű érintő hengervetületi rendszerek között...3 3..1. Átszámítás ferdetengelű érintő hengervetületi rendszerből budapesti sztereografikus vetületi rendszerbe...3 3... Átszámítás budapesti sztereografikus vetületi rendszerből ferdetengelű érintő hengervetületi rendszerbe...4 3.3. Gauss Krüger (UTM) vetületi átszámítások...5 3.3.1. Ellipszoidi koordinátákból Gauss Krüger (UTM) síkkoordináták számítása...6 3.3.. Gauss Krüger (UTM) síkkoordinátákból ellipszoidi koordináták számítása...8 4. Átszámítások azonos pontok alapján kétlépcsős modell alkalmazásával...30 4.1. Átszámítások az EOV és a budapesti sztereografikus vetületi rendszer között...31 4.1.1. Átszámítás EOV-ből a budapesti sztereografikus vetületi rendszerbe térbeli hasonlósági transzformációval...31 4.1.. Átszámítások az EOV és a budapesti sztereografikus vetületi rendszer között az alapfelületi gömbök közvetítésével...35 4.1..1. Átszámítás EOV-ből budapesti sztereografikus vetületi rendszerbe...36 4.1... Átszámítás a budapesti sztereografikus vetületi rendszerből EOV-be...38 4.. GPS mérési eredmének átszámítása EOV-be...39

5. Az eredmének felhasználása...4 5.1. Vetületi rendszereink koordináta-tengeleinek kölcsönös helzete...4 5.1.1. A budapesti sztereografikus és a ferdetengelű hengervetületi rendszerek tájékozási különbsége...4 5.1.. A ferdetengelű hengervetületek koordináta-rendszerei...44 5.. Ellipszoidi számítások simulógömbön...47 5..1. Ortodrómák metszéspontja...48 5... Loxodrómák metszéspontja...49 5.3. Volt-e ivaniči sztereografikus vetületi rendszer?...51 5.4. Programrendszer a hazai vetületi rendszerek és alapfelületeik közötti kölcsönös átszámításokra...56 6. Új tudomános eredmének...60 7. Összefoglalás...61 8. Summar...63 9. rodalomjegzék...65 3

Alkalmazott jelölések a = az ellipszoid fél nagtengele b = az ellipszoid fél kistengele ε = a b a ; az ellipszoid első numerikus excentricitása ε = a b b ; az ellipszoid második numerikus excentricitása a b m = ; az ellipszoid harmadik numerikus excentricitása a b Φ = ellipszoidi földrajzi szélesség Φ n = a normálparalelkör ellipszoidi földrajzi szélessége Λ = ellipszoidi földrajzi hosszúság Λ o = a vetületi kezdőpont ellipszoidi földrajzi hosszúsága R = a Gauss-gömb sugara a N = ; harántgörbületi sugár 1 ε sin Φ φ = gömbi földrajzi szélesség φ = gömbi segéd földrajzi szélesség φ o = a vetületi kezdőpont gömbi földrajzi szélessége φ n = a normál paralelkör gömbi földrajzi szélessége λ o = a vetületi kezdőpont gömbi földrajzi hosszúsága λ = gömbi földrajzi hosszúság λ = gömbi segéd földrajzi hosszúság α = azimut az ellipszoidon vag a gömbön β = 90 o φ; gömbi pólustávolság β = 90 o φ ; gömbi segéd pólustávolság δ = iránszög = második iránredukció vag azimutredukció γ = tájékozási állandó ρ = analitikus szögegség x,, z = térbeli derékszögű koordináták, x = vetületi síkkoordináták 4

Bevezetés A magar geodézia az alapfelületek és vetületi rendszerek sokaságát örökölte. A geodéziai alapok megújításának általában szakmai okai voltak, időnként azonban a politikai ösztönzések sem kizárhatók. Új vetületi rendszer bevezetését indokolhatja: korszerűbb alapfelület bevezetése új háromszögelési hálózat létesítése a háromszögelési hálózat ismételt kiegenlítése nemzetközi kapcsolatok a korábbi vetületi rendszer elavulása. Új alapfelület bevezetése akkor indokolt, ha új háromszögelési hálózatot helezünk el rajta, vag nemzetközi kapcsolatok miatt van rá szükség. A bevezetésnek ilenkor is csak akkor van értelme, ha a háromszögelési hálózatot összekapcsolják a csatlakozó terület hálózatával, majd a közös hálózatot egüttesen kiegenlítve helezik el az új alapfelületen. Nem elég uganis csak az új alapfelület méreteit átvenni, ha annak elhelezése nem egezik meg a csatlakozó területen alkalmazott alapfelületével. Nem indokolt új vetületi rendszert bevezetni akkor, ha az alapfelületet és a háromszögelési hálózatot változatlanul megtartjuk. Szögtartó vetület geodéziai célú bevezetése viszont a korábbi egéb torzulású vetülettel szemben mindig indokolt. Dolgozatomban röviden összefoglalom a magarországi kataszteri és topográfiai felmérésekben alkalmazott vetületi rendszerek legfontosabb jellemzőit. Részletesebb ismertetés honlapomon (Varga 00a) található, ahol a vetületi egenleteket is mellékelem, továbbá jellemzem a gakorlatban alkalmazott korábbi és jelenlegi vetületi átszámítási módszereket. Összefoglalom azokat a megoldásokat, ameleket a korábbi vetületi rendszereink közötti átszámításokra dolgoztam ki a segéd földrajzi koordináták közötti közvetlen átmenettel. Magarországon először végeztem vetületi átszámítást térbeli derékszögű koordináták felhasználásával. Szintén először alkalmaztam kétlépcsős modellt, amikor a koordináta-módszerhez hasonló eljárással kapott koordinátákat eg újabb transzformációval tovább finomítottam. Vizsgáltam a koordináta-tengelek és szelvénhálózatok másik vetületre vetítésekor fellépő látszólagos ellentmondásokat. Ez iránú kutatásaim eredméneit egetemi doktori disszertációmban (Varga 1981a) tettem közzé. Az ellipszoidi számítások megkönnítésére gömbi megoldásokat javasoltam. A számítógépek elterjedésével ezek jelentősége csökkent, egszerűségük miatt azonban ezek közül kettőt (Varga 1989) kívül jelen dolgozatban is ismertetek. Vetülettani kutatásaim közben egre nilvánvalóbbá vált számomra, hog a szakirodalmi felsorolással ellentétben nem létezik ivaniči vetületnélküli rendszer. Kiderítettem a téves megállapítás elterjedésének okait, és számítások- 5

kal is igazoltam, hog az ivaniči rendszer vetületnélküli maradt, vagis nem váltották fel sztereografikus vetülettel. A GPS technika és a földrajzi információs rendszerek elterjedése a térképeket használókkal szemben növekvő követelméneket támaszt. Számításainkban uganis egre gakrabban fordulnak elő földrajzi koordináták, meleknek használata vetületi rendszereink tulajdonságainak nem megfelelő ismerete esetén jelentős hibaforrássá válhat. A nem szakemberek számára furcsának tűnhet, hog uganannak a terepi pontnak a földrajzi koordinátái a különböző vetületi rendszerekhez tartozó alapfelületeken mások és mások. Kutatásaim végső célja eg olan programrendszer elkészítése volt, amellel vetülettani ismeretek nélkül is bármel iránban elvégezhetők a hazai vetületi rendszerek (és alapfelületeik) közötti átszámítások. Az algoritmusaimon alapuló szoftver (,,Vetület ) végül a BME Felsőgeodézia Tanszékén el is készült. Kutatásaim eredméneit beépítettem a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudománi Egetem Általános- és Felsőgeodézia Tanszékén foló nappali és posztgraduális képzés elméleti és gakorlati anagába (Vetülettan, Különleges vetületek, Magarországi vetületi rendszerek c. tárgak). Az egetemi hallgatók számára készített számos segédanagom a világhálón is elérhető (Varga 000b; 00a; 00b; 003b; 004). Az eredmének másik hasznosítási területe a térinformatika műszaki gakorlati alkalmazásaiba történő beépülés (Detrekői et al. 1991). A,,Vetület programrendszert a nag felhasználók (MOL, LR, Magar Honvédség) mellett számos vállalkozás is használja a mindennapi geodéziai gakorlatban. 6

1. A magarországi vetületi rendszerek áttekintése 1.1. Vetületnélküli rendszerek A Habsburg Birodalom XX. század elején meginduló topográfiai és kataszteri felméréseinek megalapozására összefüggő háromszögelési hálózatot fejlesztettek ki. A mérési eredméneket országonként (tartománonként) a terület méreteitől függetlenül eg-eg derékszögű síkkoordináta-rendszerben ábrázolták. Az ellipszoidon levőnek elképzelt, összefüggő háromszögelési hálózat oldalainak hosszát síkhossznak tekintették, a síkháromszögek szögeit pedig az ellipszoidi szögekből az ún. húrredukcióval számították. A síkháromszögek szögzáróhibáját egenletesen osztották szét a háromszögek belső szögei között. A kiegenlítést kísérletező módszerrel (empirikusan) végezték. A szakirodalom szerint a síkra Cassini-féle vetülettel tértek át, bár a vetítésnek az itt alkalmazott módja nem tekinthető vetületnek a Cassini féle elv következetlen alkalmazása miatt. Cassini vetülete uganis az ellipszoidnak olan érintő elhelezésű egenlítői (transzverzális) hengervetülete, amel általános torzulású, de a kezdőpont meridiánján és az arra merőleges geodéziai vonalakon hossztartó. Ezzel ellentétben a háromszögelési pontok síkkoordinátáit úg számították, hog a pontokat a kezdőpontból kiinduló sokszögvonalakba foglalták, azután a síkhosszakból és az azimutokból számították az oldalak meridián iránú és arra merőleges összetevőinek hosszát. Ezeknek az összegzésével nerték az eges pontok M-mel (Meridiane) és P-vel (Perpendickel) jelölt síkkoordinátáit. Mivel a hosszakat minden iránban redukció nélkül vitték át a síkra, az ábrázolásnak ez a módja nem tekinthető Cassini-féle vetületnek, és nem is egértelmű, mert a különböző útvonalakon számított koordináták között igen jelentős ellentmondások adódtak. Az előbbiek miatt célszerűbb a,,vetületnélküli rendszerek elnevezés használata (Strenk, Varga 1986; Timár et al. 006). A történelmi Magarország területét három vetületnélküli rendszer fedte (1.1. ábra): 1. Budai rendszer. Kezdőpontja a Gellért-heg nevű háromszögelési pont.. Nagszebeni rendszer. Kezdőpontja a Vízaknai heg (Vízakna) nevű háromszögelési pont. 3. vaniči rendszer. Kezdőpontja az vanič zárdatoron háromszögelési pont. A budai rendszerben a szorosan vett Magarország, a nagszebeni rendszerben Erdél, az ivaniči rendszerben pedig Horvátország és a Szerémség területét ábrázolták. 7

1.1 ábra. Vetületnélküli rendszerek a történelmi Magarországon A katonai topográfiában az első világháború végéig vetületnélküli rendszerekben készült poliéder szelvénezésű térképeket használtak. Ezeken a térképeken csak a földrajzi fokhálózat vonalai voltak feltüntetve, derékszögű koordináta-hálózatot nem tartalmaztak. A világháborús tapasztalatokból okulva kezdték el a régi térképekre azonos pontok felhasználásával a sztereografikus kilométer-hálózatot felszerkeszteni. Később már sztereografikus vetületben készültek a térképek a poliéder szelvénezés megtartásával. 1.. Kettős vetítés Magarországon a nagméretaránú felméréseknél is alkalmazott szögtartó vetületi rendszerek esetén mindig kettős vetítéssel tértek át az alapfelületi ellipszoidról a vetületi síkra. A Bessel-féle ellipszoidról előbb a Gauss-féle gömbi vetülettel (Gauss-féle igen kis hossztorzulású szögtartó gömbi vetület) annak simulógömbjére (Gauss-gömb, közepes sugarú gömb) vetítettek, majd arról valamilen szögtartó vetülettel közvetlenül a síkra, vag síkba fejthető felületre (1.. ábra bal oldali része). A síkba fejthető felület mindig hengerpalást volt. A kettős vetítést az indokolta, hog a számításokat egszerűbben lehetett elvégezni, mintha az ellipszoidról közvetlenül vetítettek volna a képfelületre. A kettős vetítést geodéziai célból világviszonlatban Magarországon alkalmazták először. A régi magarországi kettős vetítésnél a simulógömb (Gauss-gömb) a Gellértheg nevű háromszögelési pont ellipszoidi megfelelőjén átmenő meridián (Gellért-hegi meridián) és a normálparalelkör metszéspontjában az ellipszoid gömbi vetületének kezdőpontjában simul másodfokúan az ellipszoidhoz. A két felület (az ellipszoid és a gömb) eg nolcashoz hasonló térgörbében metszi egmást. Az erdéli kettős vetítésnél az előbbi normálparalelkör és a Kesztej-heg nevű háromszögelési pont ellipszoidi megfelelőjén átmenő meridián metszéspontjában simul a gömb az ellipszoidhoz. 8

1.. ábra. Magarországi kettős vetítések 1.1. táblázat. Az ellipszoid gömbi vetületeinek állandói 9

A normálparalelkör gömbi földrajzi szélességét vették fel kerek értékben: ϕ n = 46º 30 0,000 00, és ehhez számították az ellipszoidit: Φ n = 46º 3 43,410 41. Valószínűleg azért a gömbi szélességet vették fel kerek értékűnek, hog a későbbiekben gakrabban előforduló gömbi számításoknál eg können megjegezhető adattal dolgozhassanak Ez a földrajzi szélesség nem felel meg sem a történelmi Magarország, sem a Habsburg Birodalom közepes földrajzi szélességének. A kettős vetítés bevezetésének idején az Osztrák Magar Monarchiával még nem számolhattak, és Magarországon kívül abban az időben máshol nem is alkalmazták. A régi gömbi vetület állandóit az 1.1. táblázat bal oldalán foglaltam össze. A háromszögelésben a mért szögeket ellipszoidinak tekintették, és a gömbre történő áttéréskor azimutredukciót nem alkalmaztak. Az ellipszoid gömbi vetületeinél az iránredukciót nevezik azimutredukciónak. Íg a vízszintes szögméréseket gakorlatilag a Gauss-gömbön mérteknek tekintették. Az azimutredukció maximális értéke 50 km-es távolságban is csak 0,008 volt, ami csupán ± mm lineáris ingadozásnak felel meg. A lineármodulus legnagobb eltérése az egségtől az ország akkori területén is csak 1/4 millió volt. Magarország mai területén ezek az értékek lénegesen kisebbek (Haza, 1964; Homoródi, 1953). A hazai vetületi alapok 197.-évi megújításakor a hagománoknak megfelelően ismét kettős vetítést és hengervetületet alkalmaztak. Most a GRS67 (UGG67) ellipszoidról vetítettek előbb eg újabb simulógömbre (új Gaussgömb), majd arról egetlen ferdetengelű redukált hengervetülettel (egséges országos vetület EOV) a síkra (1.. ábra jobb oldali része)(joó 197a; 197b). Természetesen itt is szögtartó vetítést alkalmaztak a vetítés mindkét lépésében. A gömb és az ellipszoid áthatását szemléletesen mutatja (Kratochvilla 003). Az új kettős vetítés állandóit az 1.1. táblázat jobb oldalán foglaltam össze. Az újabb kettős vetítésnél az ellipszoidi normálparalelkör földrajzi szélességét vették fel kerek értékűnek; Φ n = 47º 10 0,000 00, és ehhez számították a gömbi szélességet: ϕ n = 47º 07 0,057 80. Ezeket az adatokat az ország mai közepes földrajzi szélességében vették fel, íg az új gömbi vetület torzulási viszonai a korábbinál is kedvezőbben ala- 10

kulnak. A lineármodulus legnagobb eltérése az egségtől az ország mai területén csupán 1/30 millió. A hagománoknak megfelelően most is a Gellért-heg nevű háromszögelési pont gömbi megfelelőjén átmenő meridiánt választották kezdőmeridiánnak. Ennek vonala az újabb alapfelület miatt természetesen kis mértékben eltér a korábbi simulógömbön levő Gellért-hegi meridiántól. Az EOV kezdőpontja a Gellért-hegi meridián ϕ O = 47º 06 0,000 00 földrajzi szélességgel jellemzett helén van, ami a különböző alapfelületek miatt csak számszerűen egezik meg a hengervetületi középső rendszer (HKR) (1... szakasz) vetületi kezdőpontjának szélességével. Ez a pont 1 0,057 8 -cel van délebbre a normálparalelkörtől. Semmi sem indokolja, hog a vetületi kezdőpontot nem a normálparalelkörnél vették fel. Lehet, hog ez is a hagománokhoz való ragaszkodásnak köszönhető, mivel a vetületi rendszerek kezdőpontjai korábban sem estek egbe az ellipszoid gömbi vetületének kezdőpontjával. A korábbi kettős vetítésnél az egbeesést nem is lehetett volna biztosítani, mert a vetületi rendszerek kezdőpontjai távol voltak a normálparalelkörtől. Mindegik gömbi vetületnél az alábbi összefüggések segítségével számítjuk az ellipszoidi koordinátákból a gömbi földrajzi koordinátákat. ahol nε π Φ 1 ε sinφ arctg tg π ϕ = k n, (1.1) 4 1 ε sinφ λ = n Λ, (1.) Λ = Λ, (1.3) Λ O és Λ O a kezdőmeridián ellipszoidi földrajzi hosszúsága. A megoldáshoz szükséges állandók az 1.1. táblázatban találhatók. A ritkábban előforduló ellentétes iránú számításnál: π ϕ tg 4 π Φ = arctg, (1.4) n nε 1 ε sinφ k 1 ε sinφ 11

Λ = λ és Λ = ΛO Λ. (1.5) n (1.4)-ben az ismeretlen (Φ ) az egenlet mindkét oldalán szerepel, ezért fokozatos közelítéssel határozható meg. Első lépésben a gökjel alatti nevezőt k- val helettesíthetjük, mert ε 0 és n 1. Az íg kapott Φ -t az egenlet jobb oldalába behelettesítve Φ -re eg jobban közelítő értéket kapunk. A fokozatos közelítést akkor hagjuk abba, amikor a kapott Φ érték az előzőtől a megkívánt számítási élességet figelembe véve már nem különbözik. Az ellipszoidi és a gömbi földrajzi szélesség közötti átszámításra átszámító sorok és táblázatok is rendelkezésre állnak. A régi gömbi vetület sorai pl. (Haza 1954)-ben, az átszámító táblázat (Marek Hoffmann táblázat) (Fasching 1909)-ben találhatók meg. Az új gömbi vetülethez táblázatot már nem szerkesztettek, az átszámító sorok (Szabálzat 1975)-ben találhatók. 1..1. Sztereografikus vetületek A XX. század közepi (1857) első kettős vetítéskor a Bessel-ellipszoidról előbb simulógömbre (régi Gauss-gömb), majd onnan előbb a szorosan vett Magarország területén, később Erdélben is eg-eg sztereografikus vetülettel tértek át a gömböt érintő síkra. A budapesti rendszerrel a szorosan vett területet, a marosvásárheli rendszerrel pedig az ún. Királ-hágón túli területeket képezték le. A budapesti rendszerben a Gellért-heg, a marosvásárheli rendszerben a Kesztej-heg nevű háromszögelési ponti gömbi megfelelője a vetületi kezdőpont. A síkkoordináta tengelek a vetületi kezdőpontokon átmenő kezdőmeridánok (x tengelek) és az azokra merőleges geodéziai vonalak ( tengelek) képei. Az x tengelek pozitív ága délre, az tengelek pozitív ága nugatra mutat (DN-i tájékozás). A budapesti sztereografikus vetület kezdőpontja (a Gellért-heg pont gömbi megfelelője) a Gellért-hegi meridián φ O = 47 o 06 1,137 földrajzi szélességű pontja. Az 1930-as években Budapest városmérése céljára új háromszögelési hálózatot fejlesztettek ki. Az önálló hálózat több pontja része az országos háromszögelési hálózatnak is. A régi Gauss-gömbön kifejlesztett városi háromszögelési hálózatot sztereografikus vetítéssel vitték át a síkra. Ezt nevezzük budapesti önálló városi rendszernek (BÖV). A budapesti önálló hálózat azóta is minden gakorlati követelménnek megfelelt (Pl. a metró építésének iránítása). Az alapfelületet, a vetületi kezdőpontot és a koordináta-tengelek tájékozását tekintve a BÖV megegezik a budapesti sztereografikus (országos) vetületi rendszerrel. Az eges rendszerekben a síkkoordináták a háromszögelési hálózatok különbözősége miatt kis mértékben mégis eltérnek egmástól, ezért közöttük az átszámítás csak mindkét rendszerben ismert koordinátájú pontok (azonos pontok) felhasználásával nem szabatos módon végezhető. 1

1935-től tértek át a katonai sztereografikus koordináták alkalmazására. A budapesti rendszerben 500 000 m-ből, a marosvásárheli rendszerben 600 000 m-ből vonták ki a sztereografikus koordinátákat. Az íg kapott katonai sztereografikus koordináta-rendszer tájékozása DN-iból ÉK-ivé vált, és megszűntek a negatív előjelű koordináták. Az ivaniči rendszerben a vetületnélküli koordinátákat vonták ki 400 000 m-ből. Ez a körülmén is hozzájárult ahhoz, hog utána az ivaniči rendszert is a sztereografikus vetületi rendszerek közé sorolták. A téma részletesebb kifejtése dolgozatom 5.3. fejezetében található. 1... Ferdetengelű érintő hengervetületi rendszerek Fasching Antal a ferdetengelű érintő hengervetületi rendszerek (hengervetület északi rendszer: HÉR, hengervetület középső rendszer: HKR, hengervetület déli rendszer: HDR) bevezetésekor a korábbi Gauss-gömböt fogadta el alapfelületnek (1.. ábra). Három vetületi rendszer bevezetésére azért került sor, mert nem engedtek meg kilométrenként 10 cm-nél nagobb hossznövekedést. Ez az 1/10 000 hánadossal jellemzett hossztorzulási viszon, mint a geodézia vetületekkel szemben előírt követelmén később a geodéziai szakirodalomban gakran visszaköszön, annak ellenére, hog csak Faschingnak sikerült teljesítenie. Hasonló követelmének esetén a korabeli Magarországon sztereografikus vetületből is legalább nolcat kellett volna bevezetni. Új EOV vetületünknél célszerűségi okokból az ország eges területein ennek a torzulásnak több mint a kétszeresét is megengedjük. Fasching a Gellért-heg pont ellipszoidi, és ezzel gömbi koordinátáit, valamint a háromszögelési hálózat tájékozását is kis mértékben megváltoztatta, és ezután vetített a hengerpalástokra. A terepi pontok korábbi sztereografikus koordinátáit az addig elkészült kataszteri felmérések miatt nem lehetett megváltoztatni. Ezek után valamel pont hengervetületi és sztereografikus koordinátáiból az alapfelületi koordinátákat kiszámítva más-más értékeket kapunk. A tájékozások különbözősége miatt a korábbi és az újabb Gellért-hegi meridián a Gauss-gömbön a Gellért-heg ponton átmenő két gömbi főkörként (ortodróma vag geodéziai vonal) jelentkezik. Az indokolatlan módosítások a későbbiekben sok zavart okoztak, mivel az állami földméréssel szemben a katonai felmérés csak a Gellért-heg pont alapfelületi koordinátái megváltozásának következméneit vette figelembe, a tájékozási különbséget viszont nem. A hengervetületi rendszerek vetületi kezdőpontjait a budapesti sztereografikus vetületéhez hasonlóan a Gellért-hegi meridiánon vették fel, de a Gellért-heg pont vag az ellipszoid gömbi vetületének kezdőpontja egik hengervetületi rendszernek sem lett a kezdőpontja. A hengervetületi rendszerek vetületi kezdőpontjai a Gellért-hegi meridiánon: HÉR φ O = 48 o 40 0,000 0, HKR φ O = 47 o 06 00,000 0, HDR φ O = 45 o 31 59,000 0. 13

A három hengerpalást a vetületi kezdőpontokban a Gellért-hegi meridiánra merőleges ortodrómákon (segédegenlítőkön) érinti a Gauss-gömböt. Fasching vizsgálatai szerint a normálparalelkör földrajzi szélességét célszerűbb lett volna ϕ n = 46º 53 0,000 00 re változtatni, de mivel az ellipszoidi és a gömbi földrajzi szélességek közötti átszámításra szolgáló Marek Hofmann-féle táblázat helett nem akartak újat készíteni, megtartották a korábbi adatot. A hengervetületek bevezetésekor Fasching a svájci példát követte, ahol 1903- ban vezettek be ferdetengelű süllesztett szögtartó hengervetületet. Svájc földrajzi kiterjedése megengedte egetlen vetületi rendszer alkalmazását. A volt Csehszlovákia saját vetületi rendszerének a két világháború közötti bevezetésekor a magar gakorlatot követve szintén kettős vetítést alkalmaztak. A Bessel-ellipszoidról előbb annak simulógömbjére, majd onnan ferdetengelű süllesztett kúpvetülettel vetítettek (Křovák-féle vetület) a síkra. Ferdetengelű kúpvetület bevezetését Csehszlovákia gömbi segéd paralelkör menti elnúlt alakja indokolta. Az ellipszoidi kezdőmeridiánt és a normálparalelkört a heli viszonoknak megfelelő fokhálózati vonalakon vették fel. 1..3. Egséges országos vetület (EOV) Az EOV-n ábrázolt háromszögelési hálózat mérési anaga lénegében azonos a FAGH (Felületi Asztrogeodéziai Hálózat) mérési anagával. A FAGH a Kraszovszkij-ellipszoidon helezkedett el. A FAGH-tól való elszakadást úg érték el, hog az EOV alapfelületéül az UGG1967 referencia ellipszoidot választották, és ezen önállóan helezték el a háromszögelési hálózatot (Földvárné 1989). Az EOV az UGG1967 ellipszoid ferde elhelezésű redukált (süllesztett) szögtartó hengervetülete. A ferde elhelezésű képfelületi henger a vetületi kezdőponton átmenő, és a Gellért-hegi meridiánra (kezdőmeridián) merőleges segédegenlítőre szimmetrikusan elhelezkedő két segédparalelkörön metszi az alapfelületi gömböt. Vetületi kezdőpont a kezdőmeridiánnak a φ O = 47 o 06 0,000 0 földrajzi szélességgel jellemzett pontja. A képfelület süllesztését az érintő elhelezésre vonatkozó síkkoordináták m O = 0,999 93 vetületi méretarán-ténezővel történő szorzásával érjük el. Két érintő elhelezésű képfelületi hengert kellett volna alkalmazni, ha most sem engedtek volna meg a hossz 1/10 000-ed részénél nagobb hossztorzulást. Valószínűleg azért tettek engedmént, hog a későbbiekben a két rendszer csatlakozá- 14

sa körnékén ne kelljen állandóan vetületi átszámításokat végezni. Az egetlen vetületi sík egik nag előne, hog az ország területét numerikusan egértelműen ki lehet számítani. Hátránként viszont az ország legészakibb és legdélibb körzeteiben el kell viselni a nagobb hossztorzulásokat (6 cm/km, 3 cm/km). A hagománokhoz való ragaszkodásnak köszönhető, hog a kettős vetítés helett nem valamelik közvetlen ellipszoidi vetületet vezették be. Ebben az időben a számítástechnika fejlettsége miatt a kettős vetítés a gakorlatban már nem jelentett könnebbséget. A nagméretaránú felmérésben a Gauss Krüger vetület alkalmazását egértelműen el lehetett vetni a szükséges jelentős számú vetületi sáv miatt. Legalább két darab 3º-os sávra lett volna szükség ahhoz, hog a torzulások ne haladják meg az EOV-ben érvéneseket. Ha pedig ragaszkodtak volna a nemzetközi sávbeosztáshoz, nég sávval lehetett volna uganezt a célt elérni. A csatlakozások körnékén állandóan átszámításokat kellett volna végezni, és a topográfiai felmérésekhez a terület egészén a szélesebb (6º-os) és a keskenebb (3º-os) sávok között is gakran kellene átszámítani. EOV-ben viszont a nagméretaránú és a topográfiai térképek egetlen vetületi síkon (eg koordináta-rendszerben) ábrázolják az ország egész területét. Gauss Krüger vetületen az ország területét csak az eges vetületi sávokon ábrázolt tartománok területének összegzésével lehet kiszámítani. Ehhez sávonként, az országhatáron és a sáv szegélmeridiánja mentén község vag fekvéshatárokon (belterületi, külterületi vag különleges külterületi határ) végighaladó vonalakon kell a területszámítást előírni. A szegélmeridián menti vonalat a későbbiekben sem szabad megváltoztatni, mert akkor az ország nilvántartott területe is megváltozik. Ezen a vonalon a pontok koordinátáit a szomszédos vetületi sávokon is ki kell számítani. Hasonlóképpen el lehetett vetni az ellipszoid általános elhelezésű közvetlen sztereografikus vetületét, a Roussilhe-féle vetületet. len vetületet alkalmaznak például Lengelországban és Romániában. Középponti elhelezésű, érintő változatot választva a legtávolabbi területeken a hossznövekedés elérné a km-enkénti 40 cm-t. Süllesztett változatnál a vetületi kezdőpontban 0 cm-es kilométerenkénti hosszrövidülést kellene megengedni ahhoz, hog a legtávolabbi pontokban ne legen km-enként 0 cm-nél nagobb hossznövekedés. Gakorlatilag az EOV-éhez hasonló torzulási viszonokat lehetett volna elérni az ellipszoid közvetlen síkvetületeivel, a Lambert-féle szögtartó kúpvetülettel, vag a Hotine-féle szögtartó hengervetülettel (RSO Rectified Skew Orthomorphic). A Lambert-féle kúpvetületnél a képfelületi kúppalást tengele átmeg az ellipszoid pólusain, és eg paralelkörön érinti, vag két hossztartó paralelkörön metszi az ellipszoidot. Lambert-féle kúpvetületeket alkalmaznak például Franciaországban és az Amerikai Egesült Államok számos tagállamában. A vetület paralelkör mentén hosszan elnúló területek ábrázolására alkalmas. Ebben a vetületben is egetlen vetületi síkon (egetlen síkkoordináta-rendszerben) lehetett volna ábrázolni Magarország területét az EOV-nek megfelelő torzulási viszonok mellett. 15

A Hotine-féle hengervetület az egenlítő vag általános helzetű ortodrómák mentén hosszan elnúló, kesken területsávok ábrázolására alkalmas. Hotine-féle hengervetületet használnak például Madagaszkár, vag az USAban az Alaszkai-félsziget és az annak foltatásában levő Aleut-szigetek ábrázolására. Ez a vetület csak látszólag közvetlen ferdetengelű hengervetülete az ellipszoidnak. Valójában ennél is kettős vetítéssel, szögtartó módon történik a vetítés, először eg simulógömbre, majd arról a gömböt érintő vag metsző, általános helzetű, kör keresztmetszetű henger palástjára. A számításokban nem lehet úg elkülöníteni az ellipszoidi és a gömbi összefüggéseket, mint a nálunk alkalmazott kettős vetítésnél. A hengernek az ellipszoidhoz viszonított elhelezését meg lehet adni két ellipszoid felületi ponttal, vag eg ponttal (kezdőpont) és az azon átmenő egik irán azimutjával. A két pontot úg veszik fel, hog a rajtuk átmenő ortodróma az ábrázolandó, hosszan elnúló terület középvonalában haladjon. A másik elhelezésnél a kezdőponton átmenő ortodrómát indítják olan azimuttal, hog az az előbbi vonalon haladjon. A vetületi kezdőpontot általában a normálparalelkör és a kezdőmeridián metszéspontjában veszik fel. A Fasching-féle hengervetületek és az EOV a Hotine-féle hengervetületnek olan speciális esetei, amikor az előbbi azimut 90º-kal egenlő, vagis a segédegenlítők derékszöget zárnak be a kezdőmeridiánnal. A külföldi vetülettani szakirodalomban, a Svájcban 1903-ban bevezetett hengervetületet és az EOV-t említik speciális Hotine-féle hengervetületként. Molnár és Timár bebizonították, hog az EOV eg olan Hotine-féle ferdetengelű hengervetülettel helettesíthető, ahol a vetületi rendszer kezdőpontja az ellipszoidi normálparalkörön van (Molnár, Timár 00). Az EOV bevezetése előtt az ország területének teljes nagméretaránú térképezése még egik vetületi rendszerben sem ment végbe. Íg az ország nilvántartott területe is folamatosan változott, amikor eges községek nagméretaránú térképei eg újabb vetületi rendszerben elkészültek. Az EOTR (egséges országos térképrendszer) felmérés lesz az első, amelik ezt a gakorlatot megszünteti. EOTR-nek nevezzük az EOV rendszerű térképek szelvénrendszerét. Jelenleg nem csak a nagméretaránú (kataszteri), hanem a polgári topográfiai térképek is EOTR-ben készülnek. Korábban általában a kataszteri térképekétől eltérő vetületi rendszerekben és más szelvénrendszerben készültek a topográfiai térképek. 1.3. Az ellipszoid egenlítői elhelezésű hengervetületei A Gauss Krüger vetület az ellipszoid egenlítői elhelezésű (transzverzális) érintő hengervetülete. Az 1940-es évek elején a katonai hadvezetés a Gauss Krüger vetület mellett döntött. Ehhez háromszögelési hálózatunkat összhangba hozták a körnező országok háromszögelési hálózataival. Az új hálózatot lénegében újra el kellett helezni a Bessel-ellipszoidon. Ezt a műveletet olan elsőrendű pontok felhasználásával végezték, ameleknek középeurópai és a hazai elhelezésű Bessel-ellipszoidi koordinátái is ismertek vol- 16

tak. A földrajzi hosszúságokat a fiktív Ferro helett a greenwichi meridiánra vonatkoztatták (Homoródi 195). Végeredménül Bessel-ellipszoidra vonatkozó Gauss Krüger koordinátákat számítottak, ezek a tüzér pontjegzékekben található DHG koordináták (Deutsche Heeresgitter). A második világháború előtt Gauss Krüger vetületben csak német kiadású topográfiai térképek készültek, ameleknek az újabb alapfelületekre történő térinformatikai alkalmazásra megfelelő pontosságú illesztését Timár Gábor és társai oldották meg (Timár et al. 004). Az ún. kelet-európai szocialista országok közös vetületi rendszereként a Gauss Krüger vetületet fogadták el Kraszovszkij-ellipszoid alapfelülettel. Az ezen elhelezett Egséges Asztrogeodéziai Hálózat (EAGH) a kelet-európai országok és a Szovjetunió európai részének csatlakoztatott és egségesen kiegenlített elsőrendű háromszögelési hálózatát foglalja magában. Elnevezése: S-4 rendszer (Sstem 194). Az EAGH kiegenlítésére két alkalommal került sor 1958-ban (EAGH-58) és 1983-ban (EAGH-83). Az országos háromszögelési hálózat pontjainak (. V. rendű) koordinátáit a nagméretaránú felmérések céljára is alkalmas 3º szélességű sávokon számították 15º, 18 º, 1º és 4º-os középmeridiánokkal. Később úg döntöttek, hog a vetület csak katonai célokat fog szolgálni, ezért két db. 6º-os sávra számították át a koordinátákat. A nemzetközi sávbeosztásnak megfelelően ezek közül egik a 33. sáv 15º-os, másik a 34. sáv 1º-os középmeridiánnal. A Kraszovszkij-ellipszoid féltengeleinek hossza: a = 6 378 45 m, b = 6 356 863,018 77 m. A NATO-hoz és az Európai Unióhoz való csatlakozás, valamint a GPStechnika alkalmazása új egséges koordináta-rendszert kívánt meg, amit Magarországon a WGS84-ellipszoidhoz mint alapfelülethez tartozó UTM-vetület biztosít. Az UTM-vetület az ellipszoid egenlítői elhelezésű redukált szögtartó hengervetülete. A meridián-ellipszisnél kisebb keresztmetszetű egenes henger a vetületi sáv középmeridiánjára szimmetrikusan elhelezkedő két torzulásmentes vonalon (normálellipszisek) metszi az ellipszoidot. A képfelület süllesztését az érintő elhelezésre vonatkozó síkkoordináták m O = 0,999 6 vetületi méretarán-ténezővel történő szorzásával érjük el. A sávszélesség itt is 6º-os, és a sávok középmeridiánjai is uganazok, mint a Gauss Krüger vetületnél (Varga 000a; 00a). A WGS84 ellipszoid féltengeleinek hossza: a = 6 378 137 m, b = 6 356 75,314 5 m. 17

. A vetületi átszámítások szükségessége és módszerei Amikor eg bizonos területen egidejűleg többfajta vetületi rendszert alkalmazunk, gakran felmerül az átszámítás szükségessége. Hasonló a helzet, amikor valamelik vetületi rendszernek több sávja van (pl. a Gauss Krüger vag az UTM-vetületnek), mert ilenkor a sávok csatlakozása körnékén gakran kell koordinátákat átszámítani. Általánosságban; amikor térképünk vetületi rendszere más, mint a rendelkezésre álló alappontoké, akkor méréseink eredménét transzformálnunk kell a térkép vetületi rendszerébe, hog azon ábrázolni tudjuk. Hasonló helzet áll elő, amikor másik vetületi sávban levő pontokra akarunk tájékozni, vag sávok csatlakozása körnéki területrészt akarunk a másik vetületi sávon ábrázolni. Zárt matematikai összefüggésekkel történő szabatos átszámításra csak az azonos alapfelületekhez tartozó vetületi rendszerek esetében van lehetőség, de csak akkor, ha a két vetületi rendszerben uganazon háromszögelési hálózatnak, uganabból a kiegenlítésből származó pontjait ábrázoljuk. Ha uganis az egik vetületről olan pont koordinátáit számítunk át a másikra, amel más háromszögelési hálózathoz tartozik, akkor az átszámított koordináták nem illeszkednek megfelelően a kérdéses vetületi síkon ábrázolt háromszögelési hálózat pontjai közé, tekintetbe véve a két hálózat különböző elhelezéséből, tájékozásából, külön alapvonal-rendszeréből és egmástól teljesen független szögméréseiből adódó különbségeket. A háromszögelési hálózatnak újabb mérésekkel történő finomítása vag új kiegenlítése következtében uganis megváltoznak az alappontok alapfelületi és íg vetületi síkkoordinátái is (Haza 1964). Hasonló következménekkel jár az alapfelület állandóinak megváltoztatása, még akkor is, ha a háromszögelési hálózatot egébként nem változtatjuk meg. A hálózat tájékozásának megváltoztatása nem akadála a szabatos átszámításnak (Varga 003a). Ezt az eljárást koordináta-módszernek is nevezik, mert az egik vetületi rendszerben adott síkkoordinátákból az első vetület összefüggéseivel a közös alapfelületre vonatkozó földrajzi koordinátákat, majd azokból a másik vetület összefüggéseivel síkkoordinátákat számítunk. Az elektronikus számítógépek megjelenése előtt bonolultsága miatt kerülték az átszámításnak ezt a módját. Helette a redukciós módszert részesítették előnben, mert logaritmussal vag mechanikus számológéppel a szükséges redukciókat gorsan és megfelelő pontossággal tudták számítani. Mivel manapság a koordináta-módszer alkalmazása programozható zsebszámológéppel sem okoz nehézséget, a redukciós módszernek már nincs létjogosultsága. Minden olan esetben, amikor az előbbi feltételek közül bármelik is nem teljesül (más az alapfelület vag a háromszögelési hálózat), az átszámítás csak korlátozott pontossággal, a mindkét rendszerben ismert koordinátájú ún. azo- 18

nos pontok (kapcsolópontok) felhasználásával végezhető. A kiválasztott azonos pontoktól függően kisebb nagobb különbséggel mindig más és más koordinátákat kapunk. lenkor eg heles eljárás az lehetne, hog az. vetületen (amelről az átszámítást végezni akarjuk) a háromszögelési hálózat oldalai által bezárt szögekből a szögredukciók segítségével kiszámítjuk az alapfelületre (pl. a gömbre) vonatkozó szögeket, és ezeket mérési eredméneknek tekintjük. Ezután mindkét vetületi rendszerben ismert koordinátájú alappontokból kiindulva, az átszámítandó pontok. rendszerbeli koordinátáit a mérési eredméneknek tekintett és a. rendszerbeli szögredukciókkal javított szögértékek alapján kiegenlítéssel lehetne meghatározni. Ennél a módszernél feltételezzük, hog az alapfelületi geodéziai vonalak által bezárt szögek különböző alapfelületek esetén is azonosak. Két ilen eltérő háromszögelési hálózatot ábrázoló vetületi rendszer között az átszámítás nem tekinthető egszerű vetületi átszámításnak, mert az eljárás nemcsak a vetületi átszámítást, hanem a háromszögelési hálózatok egmásba illesztését is megoldja, mégpedig annál pontosabban, minél pontosabbak az eges hálózatok (Haza 1964). A valamel alapfelületen levő különböző háromszögelési hálózatok, vag a különböző alapfelületeken elhelezett háromszögelési hálózatok viszonának vizsgálatára a hazai szakirodalomban számos elméleti példát lehet találni (Haza 1955; Hőni 1967). Nehézkességük miatt tudomásom szerint az előbbi módszerekkel nagobb területrészeken nem végeztek átszámításokat. Magarországi körülmének között azért is nem volt szükség ilen módszerű számításra, mert a korábbi és az új háromszögelési hálózatoknak a felsőrendű pontjai csaknem teljes egészében azonos pontok. A megfelelő sűrűségben rendelkezésre álló pontok között a további átszámításokra különböző módszereket dolgoztak ki, illetve ajánlottak: átszámítás torzulási egütthatókkal (Papp-féle eljárás), átszámítás tájékozási állandókkal, átszámítás lineáris affin transzformációval, átszámítás általános hatvánsorral stb. A Fasching-féle ferdetengelű hengervetületek bevezetésekor a felsőrendű pontok budapesti sztereografikus koordinátáiból az azonos alapfelület és háromszögelési hálózat miatt koordináta-módszerrel számíthatták a hengervetületi megfelelőiket. Az alacsonabb rendű pontok átszámításának megkönnítésére a sztereografikus négzetmérföld (4000 x 4000 bécsi öl) sarokpontok és középpontok koordinátáit átszámították a megfelelő hengervetületi rendszerekbe, majd a szomszédos pontokat összekötő egenes szakaszokra kiszámították a Papp-féle módszer torzulási egütthatóit. A koordinátákat koordináta-jegzékekben, az egütthatókat hálózati rajzokon foglalták össze, ahonnan eg adott területre nézve a Papp-féle módszerű számításhoz szükséges kiinduló adatok közvetlenül rendelkezésre álltak (Papp 1950; 1951; Utasítás 1958). Mind a budapesti sztereografikus, mind a marosvásárheli sztereografikus vetület alapfelülete a régi magarországi Gauss-gömb, és az ábrázolt háromszögelési hálózatok is egbefüggnek; a szorosan vett magarországi és az erdéli rész külön kiegenlítése miatt koordináta-módszerrel mégsem lehet 19

közöttük átszámítani. Hasonlóképpen nem lehet ilen módon átszámítani a budapesti sztereografikus és a budapesti városi sztereografikus (BÖV) rendszerek között sem, a mérésekben és kiegenlítésükben is különböző háromszögelési hálózatok miatt. Csak azonos pontok felhasználásával lehet átszámítani kölcsönösen az újabb kori vetületi rendszerek (EOV, Gauss Krüger, UTM) között, valamint az előbbi vetületi rendszerek bármelikéből az összes korábbiba (vetületnélküli, STG, HÉR, HKR, HDR), mivel az alapfelületek és a háromszögelési hálózatok is különbözők. Az általános földmérési gakorlatban még olankor is, amikor a számítást koordináta-módszerrel is el lehetett volna végezni, gépiesen az azonos pontok felhasználásán alapuló módszereket alkalmazták. lenkor be kellett szerezni az azonos pontok koordinátáit, és a kiválasztott pontoktól függően minden felhasználó kis mértékben más és más koordinátákat kapott, szemben az azonos pontokat nem igénlő és egértelmű eredmént szolgáltató koordináta-módszerrel. 0

3. Ajánlott megoldások a koordináta-módszerrel végezhető átszámításokra Kihasználva azt a körülmént, hog a korábbi vetületi rendszereink (STG, HÉR, HKR, HDR) alapfelülete a Bessel-ellipszoid simulógömbje, az átszámításokat a simulógömbök közvetítésével is el lehet elvégezni, szükségtelen az ellipszoid figelembevétele. Észrevettem, hog a számítás tovább egszerűsíthető, ha nem a valódi gömbi, hanem a gömbi segéd földrajzi koordináták között térünk át. A levezetett összefüggéseket előbb szakfolóiratban (Varga 1981a), utóbb egetemi doktori disszertációmban (Varga 1981b) hoztam nilvánosságra, majd beépítettem a Vetülettan c. tantárg anagába is (Varga 198a;1986; 003a). Levezettem az azonos alapfelülethez tartozó sztereografikus vetületi rendszerek közötti összefüggéseket is (Varga 1981a). A szakfolóiratban olan zsebszámológépre (Hewlett Packard 65) írt programot is közöltem, amellel a korábbi vetületi rendszereink közötti átszámítások tetszőleges viszonlatban elvégezhetők. Később megbizonosodtam arról, hog a hazai sztereografikus vetületek között a háromszögelési hálózat nem egben történő kiegenlítése miatt nem lehet koordináta-módszerrel átszámítani. A Bessel-ellipszoid és a korábbi vetületi rendszerek közötti közvetlen átszámítási módszerek levezetései megtalálhatók (Szádeczk-Kardoss 1955)-ben. A számítások izometrikus földrajzi koordináták felhasználásával a simulógömb kihagásával eg lépésben történnek. A budapesti sztereografikus és a ferdetengelű hengervetületek, valamint az alapfelületek közötti átszámítások térinformatikai felhasználásra alkalmas összefüggéseit Timár Gábor és szerzőtársai vezették le (Timár et al. 003b). 3.1. Átszámítás a ferdetengelű érintő hengervetületi rendszerek között Az A P P poláris gömbháromszög felhasználásával két ferdetengelű érintő hengervetületi rendszer (HÉR, HKR, HDR) között közvetlenül a segéd földrajzi koordináták között számíthatunk át. A ϕo a két vetületi kezdőpont földrajzi szélességének különbségét jelenti, ami megegezik a két rendszer segédegenlítőinek síkjai által bezárt szöggel: ϕ ϕ (3.1) ϕ O = O O A 3.1 ábra alapján a vetületi átszámítás a következő lépésekben történik: Az. rendszer (pl. HKR) síkkoordinátáiból segéd földrajzi koordináták számítása: x R ϕ = π arctg e, (3.) 1

λ = ρ O R, (3.3) O ahol ρ az analitikus szögegséget fokban. 3.1 ábra. Átszámítás ferdetengelű hengervetületi rendszerek között Átszámítás a. rendszer (pl. HÉR) segéd földrajzi koordináta-rendszerébe: sinϕ = sinϕ cos ϕ cosϕ sin ϕ cosλ, (3.4) O cosϕ sinλ sinλ =. (3.5) cosϕ Síkkoordináták számítása a. vetületi síkon: λ O = R, (3.6) ρ π ϕ x = R ln tg. (3.7) 4 A ϕo értéke az átszámítás iránától függően: HÉR-ből HKR-be ϕo = -1 o 34 ", HKR-ből HÉR-be ϕo = 1 o 34 ", HKR-ből HDR-be ϕo = -1 o 34 1", HDR-ből HKR-be ϕ = 1 o 34 1". O O

A ferdetengelű érintő hengervetületi rendszerek közötti átszámításra (Csepregi, Soha 1983)-ban -ra és x-re közvetlen átszámító egenleteket találunk. 3.. Átszámítás a budapesti sztereografikus rendszer és a ferdetengelű érintő hengervetületi rendszerek között A budapesti sztereografikus- és a három ferdetengelű érintő hengervetületi rendszerünk alapfelülete és háromszögelési hálózata azonos, tehát a közöttük végezhető vetületi átszámításokra a koordináta-módszer alkalmazható. Ennek ellenére a változatlan háromszögelési hálózatnak a Fasching által végzett újbóli tájékozását figelembe kell venni: γ α sz α = 6,44", (3.8) = h ahol γ a sztereografikus és a hengervetületi koordinátákból számítható azimutok különbségét jelenti a Gellért-heg pontban. 3..1. Átszámítás ferdetengelű érintő hengervetületi rendszerből budapesti sztereografikus vetületi rendszerbe A 3.. ábrán az A pont hengervetületi ϕ, λ segéd földrajzi koordinátái és a Gellért-heg ponton (G) átmenő segédegenlítőre, valamint a P P átmérőre vonatkozó ϕ, λ segéd földrajzi koordinátái között az A P P poláris gömbháromszög felhasználásával számíthatunk át. A ϕo a vetületi rendszer kezdőpontok ϕ O földrajzi szélességeinek különbsége. 3.. ábra. Átszámítás sztereografikus és ferdetengelű érintő hengervetület között 3

Számítsunk először ferdetengelű érintő hengervetületi rendszerből (pl. HKR) budapesti sztereografikus vetületi rendszerbe! A síkkoordinátákból itt is a (3.-3.5) összefüggésekkel számítjuk a hengervetületre vonatkozó segéd földrajzi koordinátákat ( ϕ, λ ), majd azokból a Gellért-heg ponton átmenő segédegenlítőre vonatkozóan előzetes koordinátákat számítunk a transzverzális sztereografikus vetület egenleteivel: cosϕ sinλ ( ) = R, (3.9) 1 cosϕ cosλ sinϕ ( x ) = R. (3.10) 1 cosϕ cosλ A két vetületi rendszer közötti tájékozási különbséget úg vehetjük figelembe, hog a sztereografikus vetületi síkon a vetületi kezdőpontról az átszámítandó pontra menő irán iránszögéhez 6,44 -et hozzáadunk: ( ) ( δ ) = arctg, δ = ( δ ) 6,44". (3.11) ( x ) Az átszámítandó pont és a vetületi kezdőpont távolsága a vetületi síkon: p = x, (3.1) Majd az eredménül kapott sztereografikus koordináták: = sinδ, x = p cosδ. (3.13) p A ϕo értéke valamelik ferdetengelű hengervetületből a budapesti sztereografikus vetületi rendszerbe számításnál: HÉR-ből HKR-ből HDR-ből ϕo = - 1 o 13 40,868", ϕ = 0 1,137", O ϕ = 1 o 54,137". O 3... Átszámítás budapesti sztereografikus vetületi rendszerből ferdetengelű érintő hengervetületi rendszerbe A síkkoordinátákból először számítjuk az átszámítandó pont β segéd pólustávolságát és a vetületi kezdőpontról az átszámítandó pontra menő irán δ iránszögét: x β = arctg (3.14) R 4

= arctg δ. (3.15) x A sztereografikus iránszögből számítható az új tájékozásnak megfelelő azimut: α = δ - 6,44" ± 180 o, (3.16) majd a hengervetületre vonatkozó segéd földrajzi koordináták. sinϕ = cos β sin ϕ sin β cos ϕ cosα, (3.17) O O sin β sinα sinλ =. (3.18) cosϕ A hengervetület vetületi egenleteivel: λ O = R, (3.19) ρ π ϕ x = R ln tg. (3.0) 4 A koordináták előjelét a DN-i tájékozás miatt kell megváltoztatni. Budapesti sztereografikus vetületből valamelik ferdetengelű érintő hengervetületi rendszerbe végezve az átszámítást: HÉR-be HKR-be HDR-be ϕo = 1 o 13 40,868", ϕo = - 0 1,137", ϕ = - 1 o 54,137". O Bácsatai László egszerű összefüggéseket vezetett le a budapesti sztereografikus koordináták és a gömbi földrajzi koordináták közötti közvetlen átszámításra (Bácsatai 1993b; 005). 3.3. Gauss Krüger (UTM) vetületi átszámítások A Gauss Krüger és az UTM vetületi számításokat a személi számítógépek megjelenése előtt csaknem kizárólag táblázatok segítségével végezték. A korábbi egszerűbb összefüggéseket sorbafejtéssel tették táblázatok készítésére alkalmassá. Kezdetben, amikor számítógépi programokat írtak, nem keresték meg az eredeti összefüggéseket, hanem a sorokat kezdték el programozni. Olan kezdetleges programokat is írtak, ahol a számításhoz a táblázatnak valamelik sorát kellett bevinni. A vetületi szabálzatok jelenleg is csak az egenletek sorbafejtett alakját adják meg (Utasítás 1989). A korábbi szakirodalomban találtam meg azokat a 5

kénelmesebben programozható összefüggéseket, amelek a számítógépek megjelenése előtt nem véletlenül mellőzött függvéneket is tartalmaznak (pl. ln x, sh x, ch x) (Krüger 191). Az egenletekbe a megfelelő helekre beírtam az m 0 vetületi méretarán-ténezőt, amelbe Gauss Krüger vetületnél 1-et, UTM vetületnél pedig 0,999 6-ot kell behelettesíteni. A Gauss Krüger és az UTM vetületen kívül az ellipszoid bármelik egenlítői (transzverzális) elhelezésű szögtartó hengervetületére alkalmazhatók az összefüggések. Külön készítettek táblázat-oldalakat a vetületi sávok közötti átszámításokra is (Haza, Tárcz-Hornoch 1951). Manapság ilenkor célszerűbb az egik vetületi sávra vonatkozó síkkoordinátákból előbb alapfelületi koordinátákat, majd azokból eg másik sávra vonatkozó síkkoordinátákat számítani. Valójában az egik középmeridiánhoz rendelt koordináta-rendszerből számítunk át eg másikhoz tartozóba. Sávszélességet nem kell megadni és a középmeridián földrajzi hosszúsága is tetszőleges (nem kerek fokérték is) lehet. Egszerű módszereket dolgoztam ki a Gauss Krüger (UTM) vetületi számításokhoz a meridián ívhosszának és valamel pont középmeridiánon levő (ortodrómával kimetszett) talppontjának meghatározására (Varga 1983a). A meridián ívhosszának meghatározására Szádeczk-Kardoss Gula ad jól felhasználható összefüggéseket (Szádeczk-Kardoss 1956). A Gauss Krüger vetületben készült katonai topográfiai térképek tartalmának az újabb alapfelületekre történő térinformatikai alkalmazásra megfelelő pontosságú illesztését Timár Gábor és társai oldották meg (Timár et. al. 003c). Egséges öszszefüggéseket vezettem le az ellipszoid érintő és metsző elhelezésű Lambert-féle szögtartó kúpvetületének koordináta-számításaira is (Varga 1983b; 1990). Kúpvetületekkel kapcsolatos vizsgálatokról társszerzőkkel is jelent meg folóiratcikkem (Timár et. al. 003a). Mivel Magarországon geodéziai célokra kúpvetületeket nem alkalmaztak, jelen dolgozatomban ezekre nem térek ki. 3.3.1. Ellipszoidi koordinátákból Gauss Krüger (UTM) síkkoordináták számítása A Φ, Λ ellipszoidi földrajzi koordinátákból a Gauss-féle szögtartó gömbi vetület földrajzi elhelezésre értelmezett (k = n = 1) egenleteivel előbb gömbi koordinátákat számítunk (1.1-1.) (Krüger 191): ε π Φ 1 ε sinφ arctg tg π ϕ =, 4 1 ε sinφ (3.1) λ = Λ, (3.) Λ O ahol Λ O a középmeridián földrajzi hosszúsága, ε pedig az ellipszoid első numerikus excentricitása. A továbbiak részletezése nélkül: 6

tgϕ 1 1 cosϕ sinλ ξ = arctg, η = ln, cos λ 1 cosϕ sinλ (3.3) ξ α sinξ ch η α 4 sin4ξ ch 4η x = R m O, α 6 sin6ξ ch 6η α 8 sin8ξ ch8η... (3.4) η α cosξ sh η α 4 cos4ξ sh 4η = R m O, 6 cos6 sh 6 8 cos8 sh8... α ξ η α ξ η (3.5) ahol 4 6 = a m m m R 1 1... (3.6) m 4 64 56 1 5 3 41 4 α = m m m m... (3.7) 3 16 180 13 3 3 557 4 α 4 = m m m... (3.8) 48 5 1440 61 3 103 4 α 6 = m m... (3.9) 40 140 49 561 4 α 8 = m... (3.30) 161 80 a b m =. (3.31) a b valamint a és b az ellipszoid féltengeleinek hosszát jelöli. Az α - α 8 és az R állandókat az alapfelületi ellipszoid függvénében csak egszer kell kiszámítani. Az eredménül kapott x és koordinátákból Gauss Krüger vetület esetén, magarországi alkalmazásra: X = x, Y = 3 500 000 m a 33. sávban (15 o -os középmeridánnal), Y = 4 500 000 m a 34. sávban (1 o -os középmeridánnal). Y iránú eltolást azért alkalmaznak, hog elkerüljék a negatív előjelű koordinátákat. X iránban nincs szükség eltolásra, mert az egenlítőtől É-ra az x koordináta mindig pozitív előjelű. R = 6 367 558,500 m, α = 8,376 117 EE-04, α 4 = 7,606 3 EE-07, α 6 = 1, EE-09, α 8 = 0. 7