WGS-84 EOV koordináta transzformáció neurális hálózattal. Zaletnyik Piroska

Átírás

1 udapesti Műszaki és Gazdaságtudománi Egetem Építőmérnöki Kar 003/004. tanévi Tudomános Diákköri Konferencia WGS-84 EOV koordináta transzformáció neurális hálózattal Készítette: Zaletnik Piroska doktorandusz hallgató Konzulensek: Dr. Völgesi Lajos Dr. Paláncz éla egetemi docens egetemi docens Általános és Felsőgeodézia Tanszék Fotogrammetria és Térinformatika Tanszék udapest 003.november

2 TRTLOMJEGYZÉK 1 ÁRJEGYZÉK... 3 EVEZETÉS EOV WGS-84 KOORDINÁT-TRNSZFORMÁCIÓ POLINOMOS TRNSZFORMÁCIÓ Polinomos transzformáció segédvetületi rendszer (SVR) közbeiktatásával Átszámítás WGS-84-ből EOV-ba (transzformációs polinom egütthatóinak a meghatározása) EOV-ból WGS-84-be történő átszámítás (transzformációs polinom egütthatóinak a meghatározása) Polinomos transzformáció segédvetületi rendszer nélkül TRNSZFORMÁCIÓ NEURÁLIS HÁLÓZTOKKL evezetés neurális hálózatok felépítése hálózatok működése, tervezése Túltanulás Transzformációra alkalmazott hálózatok TRNSZFORMÁCIÓ 43 ZONOS PONT LPJÁN közelítés minősítésének kérdése Polinomos transzformációk Transzformáció neurális hálózatokkal TRNSZFORMÁCIÓ 1153 ZONOS PONT LPJÁN z adatok minőségének vizsgálata Polinomos transzformációk Transzformáció neurális hálózatokkal ÖSSZEFOGLLÁS... 9 IRODLOM... 30

3 1 ÁRJEGYZÉK 1. ábra Ellipszoidi földrajzi koordináta rendszer (Krauter, 1995) ábra Egséges Országos Vetület (EOV) (Krauter, 1995) ábra, Neuron felépítése ábra, Szigmoid aktivációs függvén ábra RF aktivációs függvén ábra Neurális hálózat szerkezete ábra Túltanulás ábra Hibás pont ábra Tanító pontok elhelezkedése ábra Tesztpontok elhelezkedése ábra Maradék ellentmondások eloszlása polinomos transzformáció esetén ábra Maradék ellentmondások eloszlása neurális hálózattal történő transzformáció esetén ábra Polinomos transzformáció eltéréseinek szintvonalas térképe ábra Neurális hálózatokkal történő transzformáció eltéréseinek szintvonalas térképe

4 Error! Stle not defined. evezetés Magarországon ma egszerre több koordináta rendszert is használnak. két leggakrabban alkalmazott rendszer a GPS mérések koordináta rendszere, a WGS- 84 és az EOV (Egséges Országos Vetületi) rendszer. Éppen ezért e két koordináta rendszer közötti átszámításokra gakran van szükség. Ennek a lehetőségeit vizsgáltam meg ebben a dolgozatban polinomos transzformációval és neurális hálózatokkal, foltatva eg korábban megkezdett kutatási témámat. Korábban már tanulmánoztam a mesterséges intelligencia témakörébe tartozó neurális hálózatok néhán alkalmazási területét a geodéziában. Íg vizsgáltam felhasználásukat a magarországi geoidfelület közelítésénél és az EOV WGS-84 koordináta transzformációnál is. Ez utóbbinál sajnos nem sikerült kielégítő eredmént elérni, ami valószínűleg a kevés rendelkezésre álló adattal magarázható. koordináta transzformáció megoldásához azonos pontokat (meleknek ismert a koordinátája mindkét koordináta rendszerben) lehet felhasználni. korábbiakban 43 azonos pont állt rendelkezésemre, melek úg tűnik, hog nem elegendőek eg jól működő neurális hálózat kialakításához. Ebben az esetben jobban működnek a hagomános módszerek, pl. a polinomos koordináta transzformáció. Létezik azonban eg másik, sokkal nagobb adatbázis is, amel 1153 azonos pont koordinátáit tartalmazza. Ebben a dolgozatban megvizsgálom, hog vajon enni azonos pont elég-e eg neurális hálózattal való koordináta transzformáció megoldásához, illetve, hog jobb eredméneket lehet-e elérni íg, mint a polinomos transzformációval. Ezeket az eredméneket összevetem a 43 pont alapján készült megoldással is, hog lássam melik esetben milen módszert célszerű használni. polinomos transzformációhoz felhasználtam a ME Általános és Felsőgeodézia Tanszékén készült VETULET elnevezésű programcsomagot (Völgesi, Tóth, Varga 001) ill. a Mathematica szoftvert. neurális hálózatokkal történő transzformációt a Mathematica szoftver neurális hálózatok kiegészítő moduljával készítettem. dolgozatomban először ismertetem a koordináta transzformáció problémáját, a polinomos transzformáció általam alkalmazott módszereit, majd rövid áttekintést adok eg alkalmazható új eszköz, a neurális hálózat működéséről. Ezután ismertetem a 43 azonos pont alapján végzett vizsgálatok eredméneit, majd a nagobb, 1153 pont alapján készült transzformáció eredméneit. 4

5 Error! Stle not defined. 3 EOV WGS-84 koordináta-transzformáció geodéziában igen fontos feladat a koordináta-transzformáció, melnek sokféle módszere alakult ki az idők folamán. Szabatos vetületi átszámítás (zárt matematikai összefüggések felhasználásával) két vetületi rendszer között csak akkor végezhető, ha a két vetület alapfelülete közös és uganannak a háromszögelési hálózatnak a pontjai vannak ábrázolva a két vetületen. Ha uganis eltérő háromszögelési hálózathoz tartozó pontokat szeretnénk átszámítani, akkor ezek a pontok nem fognak illeszkedni a másik vetületi síkon ábrázolt háromszögelési hálózat pontjai közé. Ennek oka a két háromszögelési hálózat különböző elhelezésében, tájékozásában, külön alapvonal rendszerükben, az egmástól független szögmérésekből adódó különbségekben és a különböző kiegenlítésekben keresendő. Ebben az esetben, ha a két vetületen nem uganannak az alaphálózatnak a pontjai vannak ábrázolva ill., ha eltérőek az alapfelületek, akkor az átszámítás azonos pontok segítségével történhet, meleknek mindkét rendszerben ismertek a koordinátái. z ilen koordináta-transzformációknak több típusa van. Lehetnek kétdimenziós síkbeli vag háromdimenziós térbeli transzformációk. Típus szerint lehet hasonlósági vag Helmert transzformáció, ezenkívül affin és kétdimenziós polinomos transzformáció is. szerint is szokták csoportosítani őket, hog hán meghatározandó paraméter szerepel bennük, íg a térbeli Helmert transzformációt hétparaméteres transzformációnak is nevezik. Ma Magarországon a két leggakrabban használt koordináta rendszer a GPS mérések koordináta rendszere, a WGS-84 ellipszoidi koordináta rendszer, és az Egséges Országos Vetületi rendszer (EOV), melnek alapfelülete az IUGG/1967 ellipszoidhoz simuló új magarországi Gauss-gömb. Ezen két rendszer közötti koordináta transzformációs egenletek meghatározásának lehetőségét vizsgáltam általános sorokkal (polinomokkal) és neurális hálózatokkal a rendelkezésemre álló azonos pontok alapján, mivel a fenti okok miatt a két rendszer között nem végezhető szabatos vetületi átszámítás. WGS-84 (World Geodetic Sstem 1984) eg nemzetközileg használt globális vonatkozási rendszer. rendszert meghatározza az alapfelületként választott a és b féltengel-hosszúságú ellipszoid. koordináta rendszer z tengele az ellipszoid kistengele, egbeesik a Föld közepes forgástengelével, és tengel pedig az egenlítő síkjában helezkedik el, a greenwichi kezdő meridián síkjában, pedig merőleges rá. 5

6 Error! Stle not defined. 1. ábra Ellipszoidi földrajzi koordináta rendszer (Krauter, 1995) Ellipszoidi koordináta rendszerben (íg a WGS-84 ellipszoidi rendszerben is) eg pont helmeghatározó adatai a következők (a vetülettanban szokásos jelölésekkel): Φ P ellipszoidi földrajzi (geodéziai) szélesség, Λ P ellipszoidi földrajzi (geodéziai) hosszúság és h P ellipszoid feletti magasság. Jelen feladatnál csak a vízszintes helmeghatározó adatokkal számoltam, íg a két felhasznált helmeghatározó adat Φ és Λ volt ben vezették be Magarországon az Egséges Országos Vetületi Rendszert (EOV), mel az új magarországi Gauss-gömb ferdetengelű süllesztett (redukált) hengervetülete. redukált vetítésre azért volt szükség, hog az ország egész területe ábrázolható legen egetlen vetületi síkon, anélkül, hog a hossztorzulás túllépne eg megengedett értéket. vetítés két lépésben történik, először az ellipszoidról vetítenek gömbre, majd gömbről síkra. síkkoordináta rendszer tengele a Gellérthegi kezdőmeridián képe, tengele pedig a segédegenlítő képe. koordináta rendszer északkeleti tájolású. zért, hog kiküszöböljék a negatív koordinátákat és meg tudják különböztetni ránézésre az és koordinátákat, eltolták a koordinátarendszer kezdőpontját mindkét iránban. Íg az koordináták mindig kisebbek 400 km-nél, az koordináták pedig nagobbak 400 km-nél. z új koordinátaértékek a következőképp számíthatóak: X EOV = m, Y EOV = m. 6

7 Error! Stle not defined. 7. ábra Egséges Országos Vetület (EOV) (Krauter, 1995) két átszámítandó rendszerben eltérő adatokat használunk, az Egséges Országos Vetületi Rendszerben, síkkoordinátákkal dolgozunk, a WGS-84 rendszerben pedig ellipszoidi koordinátákkal. Ezek között kell koordinátatranszformációs kapcsolatot felállítani. dottak mindkét rendszerben az összetartozó pontpárok koordinátái: (,) és (Φ,Λ). Feladatunk meghatározni az F és F -1 függvéneket, ahol: = = Λ Φ ), ( ), 1( ), ( F F F illetve Λ Φ Λ Φ = = ), ( 1 ), ( 1 ), ( 1 I F I F F λ ϕ Ezt a feladatot többféleképpen lehet megoldani én a következőkben a polinomos (vag általános hatvánsorokkal történő) transzformációt és a neurális hálózatokkal történő transzformációt ismertetem.

8 Error! Stle not defined. 8 4 Polinomos transzformáció Koordináta transzformációt leggakrabban a korábban már említett Helmert transzformációval végeznek, ez azonban nem alkalmazható az ország egész területére egségesen, mivel az illesztés hibája túl nag lenne. Ennek megoldására általában lokális transzformációkat alkalmaznak. Ha az ország egész területére szeretnénk egséges transzformációs képleteket meghatározni, akkor a Helmert transzformációnál jobb eredmént lehet elérni polinomos transzformációval. Ezt a fajta transzformációt nevezik még általános sorokkal történő transzformációnak is. Vetületi Szabálzat szerint ezek a sorok legfeljebb ötödfokúak lehetnek. z alkalmazott kétváltozós 5. fokú polinom a következő: ' = ' = ahol, az egik rendszerbeli koordinátákat jelöli és, pedig a másik rendszerbeli koordinátákat, és értékek pedig a transzformáció egütthatói. Ilen ötödfokú polinomokat használ az EOV-WGS-84 transzformációhoz a ME Általános és Felsőgeodézia Tanszékén készült VETULET elnevezésű programcsomag is (Völgesi, Tóth, Varga 001). Ebben a programcsomagban az Egséges Országos Vetületi Rendszer és a WGS-84 ellipszoidi koordináta rendszer közötti átszámítás több lépésben történik. WGS-84 ellipszoidi Φ,Λ koordinátákat először az új Gauss-gömbre számítják át, majd az új Gauss-gömbről eg segédvetületi síkra vetítik (SVR). Végül ezeket a segédvetületi síkkoordinátákat transzformálják át ötödfokú hatvánpolinomokkal EOV koordinátákká. EOV-ból WGS-84-be a transzformáció fordított sorrendben történik. z oda és vissza transzformációhoz összesen 4 polinom szükséges. segédvetületi rendszer bevezetése viszonlag bonolult számításokat igénel. Ha EOV rendszerből végezzük az átszámítást WGS-84 - be, akkor például ezt a számítást csak iterációval végezhetjük el. Polinomos transzformáció alkalmazható a segédvetületi rendszerre történő átszámítás nélkül is. Én ezt a lehetőséget is megvizsgáltam, és összehasonlítottam az eltéréseket a kétféle polinomos transzformáció között.

9 Error! Stle not defined. 4.1 Polinomos transzformáció segédvetületi rendszer (SVR) közbeiktatásával következőkben leírt képletek szerint történik a transzformációs polinomok egütthatóinak a meghatározása az általam használt VETULET programcsomagban Átszámítás WGS-84-ből EOV-ba (transzformációs polinom egütthatóinak a meghatározása) Ha a WGS-84-es Φ, Λ értékek fok-perc-masodpercben adottak, akkor először tizedfokba kell ezeket átszámítani, majd radiánba. Ezután lehet az ellipszoidi Φ,Λ koordinátákból Gauss-gömbi φ,λ koordinátákat számítani a következő képletekkel: ϕ = arctg k tg ( ) λ = n Λ Λ 0, ahol: Λ 0 = e= k= n= π 4 n Φ 1 e sin Φ 1 e sin Φ 4 ne π Gauss-gömbi koordinátákból a segédvetületi rendszer síkkordinátáira való vetítés felírása gömbi segédkoordináták segítségével történhet. gömbi koordinátákból gömbi segédkoordináták számítása: ϕ = arcsin ( cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ cos λ) ' 0 0 cosϕ sinϕ λ ' = arcsin, cosϕ' ahol φ 0 = gömbi segédkoordinátákból a segédvetületi síkkoordináták ( t, t ) számítása: t = R m π ϕ' ln tg 4 0 t = R m λ' ,

10 Error! Stle not defined. ahol R= ,001 m 0 =0,99993 program ezek után kiszámítja a segédvetületi síkkordináták és az EOV rendszer koordinátái közötti 5. fokú polinom transzformációs egütthatóit EOV-ból WGS-84-be történő átszámítás (transzformációs polinom egütthatóinak a meghatározása) Ez az előző számítással ellentétesen történik. Először EOV koordinátákat transzformálják át polinomok segítségével segédvetületi síkkoordinátákká, ehhez meghatározzák az inverz polinom egütthatóit. és SVR koordináták átszámítása gömbi segédkoordinátákká: = ; = π 0 ϕ' Rm = arctg e λ ' =, R m0 majd ezek segítségével a gömbi koordináták számítása: ϕ = arcsin( sinϕ' cosϕ0 sinϕ 0cosϕ' cosλ' ) cosϕ' sin λ' λ = arcsin, cosϕ z utolsó feladat az új Gauss-gömbről áttérni a WGS-84 ellipszoidi Φ,Λ koordinátákra. z ellipszoidi hosszúság, Λ meghatározása egszerű: λ Λ = Λ 0 n z ellipszoidi hosszúság, Φ meghatározása viszont csak iterációval történhet. z első iterációs lépés meghatározása: Φ 1 π ϕ tg 4 = arctg k majd ennek segítségével: 1 n π 10

11 Error! Stle not defined. Φ i 1 π Φ i tg 4 = arctg 1 e sin Φ i k 1 sin e Φ i ne 1 n π z iterációt addig kell foltatni, amíg a Φ i és Φ i1 közötti különbség a kívánt pontosságú lesz. z íg kapott Φ,Λ értékeket át kell váltani radiánból fok-perc-másodperc értékre. 4. Polinomos transzformáció segédvetületi rendszer nélkül z előző számítás meglehetősen nehézkes. Először a segédvetületi rendszerre kell átszámolni a koordinátákat bonolult képletekkel, és csak utána határozzák meg a transzformációs polinom egütthatóit. z EOV rendszerből WGS- 84 rendszerbe történő átszámítást még körülménesebbé teszi, hog itt iterációs lépéseket is kell alkalmazni. Kíváncsi voltam milen eredméneket lehet elérni, ha kihagjuk a segédvetületi rendszert a számításból, és közvetlenül a WGS-84 ellipszoidi koordinátái és az EOV síkkoordinátái között határozzuk meg a transzformációs polinom egütthatóit. meghatározandó egenletek a következők: Φ = F(, ), = F 1 ( ϕ, λ) Λ megoldás során kétféleképpen is eljárhatunk. Először kiegenlítéssel meghatározunk közelítő polinomot az egik iránú transzformációra, és utána meghatározzuk az inverz függvén értékét, ezt eg nemlineáris egenletrendszer numerikus megoldásával kapjuk. Vag a másik iránú transzformációra is előállítunk közelítő polinomot, függetlenül az elsőtől. Én ez utóbbi megoldást választottam. polinom illesztésének nehézségei vannak, az egenletek rosszul kondicionáltsága miatt. z illesztést Mathematica programmal végeztem el. Először eg hagomános illesztési módszerrel próbálkoztam, a beépített Fit függvénnel, amel általános lineáris regresszióra használható. zt az eredmént kaptam, hog másodfokú polinommal való közelítés után hirtelen nag mértékben növekedtek a maradék elentmondások. Kéntelen voltam eg másik módszert a Regress függvént alkalmazni. Ez jobb numerikus stabilitású, különösen magasabb fokszám esetén. 11

12 Error! Stle not defined. 5 Transzformáció neurális hálózatokkal z előzőekben a polinomos transzformáció két lehetséges esetét mutattam be koordináta transzformációra. Most eg viszonlag új eszköznek, a neurális hálózatoknak az alkalmazását szeretném bemutatni uganerre a feladatra. Előbb azonban nézzük át röviden, hog mik is azok a neurális hálózatok és hogan működnek. 5.1 evezetés mesterséges neurális hálózatok a mesterséges intelligencia témakörébe tartoznak. Megalkotásukhoz a biológiai ismeretek bővülése, illetve az idegsejtek működésének a pontosabb megismerése vezetett. nagon egszerű felépítésű idegsejtet tanulmánozva igen érdekesnek tűnik, hog uganazok ill. hasonló sejtek milen sokféle feladatot képesek megoldani különböző hálózatokban. Ennek a számítástechnikai megoldása a neurális hálózat, amel, akárcsak az ember, tanulás útján képes megoldást találni különböző problémákra. Ezek a rendszerek képesek olan feladatokat megoldani, amelek nem algoritmizálhatóak bonolultságuk miatt, ill. bizonos feladatokra sokkal gorsabban, hatékonabban képesek megoldást találni. Megoldhatóak velük pl. olan feladatok is, ameleknél nem ismerjük a kapcsolatot a bemenő és a kimenő adatok között csak sejtjük, hog van valami összefüggés. Jellegzetes felhasználási területei pl. a szöveg-, beszéd- és hangfelismerés és optimalizálási feladatok. Már több geodéziai célú alkalmazás is készült, pl. térbeli derékszögű koordináta-transzformáció meghatározására (arsi 1999), osztálozási feladatra (arsi, 1997), magasságok meghatározására (Veres 00), és készült vizsgálat a neurális hálózatok térinformatikai (GIS) függvénként történő alkalmazására is (Sárköz, 1998). Igen fontos jellegzetessége ezeknek a hálózatoknak az approimációs vag leképzést közelítő tulajdonság. Ennek segítségével bármilen foltonos függvént közelíthetünk velük ill. meghatározhatunk összetartozó be és kimeneti értékek (tanuló adatok) alapján ismeretlen leképzési függvéneket pl. a legkisebb négzetek módszerét alkalmazva. Ezt a tulajdonságát lehet felhasználni a koordinátatranszformációk meghatározása során is. feladat megoldásához a Mathematica szoftvert ill. az ehhez tartozó neurális hálózatok kiegészítő modult használtam. Jelenleg több szoftver felhasználásával is lehet ilen rendszereket készíteni. Mathematica előne, hog nem csak numerikus, hanem szimbolikus számításra is képes. legtöbb rendszer úg működik, hog meg kell adni a bemenő számadatokat, és a rendszer kiadja az eredmént szám formában, anélkül, hog tudnánk közben pontosan mi is történt a hálózatban (mint eg fekete dobozban). Ezzel szemben a Mathematica-ban a bemenő adatok lehetnek változók is (pl.,) és ilenkor eredménként a leképzés függvénét kapjuk meg (f(,)), amit később máshol is közvetlenül felhasználhatunk. 1

13 Error! Stle not defined. 5. neurális hálózatok felépítése Ezeket a hálózatokat úg lehet elképzelni, mint eg több rétegből álló rendszert, ahol a rétegekben csomópontok, vagis neuronok helezkednek el. Ezek a neurális hálózatok alapelemei. Eg neuron több bemenettel és eg kimenettel rendelkezik. neuron meghatározza a bementi komponensek súlozott összegét és ezen végrehajt valamilen nem lineáris leképzést. Ez utóbbit nevezik aktivációs, transzfer vag aktiváló függvénnek. végeredmén a neuron kimeneti jele. 1 w 1 w s f(s) w n n 3. ábra, Neuron felépítése fenti ábrán a neuron bemeneteit i jelöli, a kimeneti jel pedig. Először a bemeneti jelek súlozott összegei kerülnek meghatározásra: jele: N s = wi i i=0 = w T Majd a nem lineáris leképzés következik, és ezzel előáll a neuron kimeneti = f ( s) = f ( w T ) ahol f(s) az aktivációs függvén. legegszerűbb neuronok lineáris összegzést valósítanak meg, ilenkor nem történik nemlineáris leképzés. Ebben az esetben a neuron kimeneti jele: = s = w T leglénegesebb eltérés a különböző neurális hálózatok között az alkalmazott aktivációs függvén típusa. Erre a célra többféle függvéntípus használata is elterjedt. két legelterjedtebb a szigmoid függvén és a radiál bázisú függvén (RF) használata. 4. ábra, Szigmoid aktivációs függvén 13

14 Error! Stle not defined. 5. ábra RF aktivációs függvén z ún. RF (Radial asis Function =radiál bázisú függvén) hálózatokban elmarad a bemeneti komponensek lineáris összegzése, az összes bemenet közvetlenül az aktivációs függvénbe kerül, mel több bemenet esetén többváltozós függvén lesz. z itt alkalmazott függvéntípus Gauss-féle haranggörbe alakú. kimenet ebben az esetben két paraméter függvéne. z egik a c vektor (vag középpont) és a bemeneti vektor távolsága (u) ill. a másik paraméter a görbe lapultságára/szélességére jellemző σ. neuronok a következő rétegekben helezkednek el: bemeneti réteg, eg vag több rejtett réteg és eg kimeneti réteg. következő ábra eg általános, eg rejtett réteget tartalmazó hálózatot ábrázol. 1 n emeneti réteg Rejtett réteg 1 Kimeneti réteg 6. ábra Neurális hálózat szerkezete 14

15 Error! Stle not defined. bemeneti réteg eltér a többitől, mivel ez nem eg aktív réteg, itt a neuronokban nem történik átalakítás. z ábrán az első aktív réteg a rejtett réteg. Itt megtörténik az előzőekben ismertetett jelátalakítás a neuron típusától függően. kimeneti réteg szintén eg aktív réteg, itt általában csak lineáris összegzés történik, de itt is lehet nemlineáris kimenetet használni. Rejtett rétegből több is lehet, sőt akár el is maradhat. mi mindenképpen része a hálózatnak, az a bemeneti és a kimeneti réteg. z RF hálózat szerkezete kötöttebb ennél, itt uganis csak eg rejtett réteget lehet használni. bemeneti rétegen szoktak még eg konstans bemenetet (eltolást) biztosító plusz neuront is alkalmazni ( 0 ), ezt nevezzük bias -nak. 5.3 hálózatok működése, tervezése neurális hálózatok felépítése után térjünk rá a működésükre. működés két szakaszra bontható, az első a tanulás, a második a megtanult információ előhívása, alkalmazása. z első szakasz eg lassú folamat, amel többnire sok iterációs lépésen keresztül történik, esetleg többszöri inicializálással az optimum elérése érdekében. második szakasz sokkal gorsabb, ennek köszönhető a hálózatok jó alkalmazhatósága. tanulás eg konvergens iteratív eljárás alapján történik, amikor a rendszer meghatározza a legkedvezőbb súlokat, paramétereket a tanító adatok alapján úg, hog a hálózat kimeneti értékei minél jobban közelítsék meg a ténleges kimeneti értékeket. Itt tulajdonképpen eg optimum vag szélsőérték (minimum) meghatározásról van szó, többnire a legkisebb négzetek módszere alapján, mivel a tanító adatok száma általában jóval meghaladja az ismeretlen paraméterek számát (regresszió). hálózat tanulása nagmértékben függ a súlok kezdeti értékétől. tanítás iterációs lépései során az aktuális súlokat valamilen korrekcióval módosítják, a megfigelt hálózati hibák alapján. Ez a folamat addig tart, amíg a hálózat elér eg hiba minimumot. Ekkor befejeződik a tanítás. Mivel itt eg minimum kereséséről van szó, ezért érdemes a többszöri inicializálás és újra tanítás, mert lehetséges, hog eg másik kezdeti súlfelvétel után jobb eredmént ér el a hálózat. leggakrabban alkalmazott tanítási algoritmus az ún. backpropagation (hibavisszaterjesztéses) algoritmus és ennek különböző változatai. z alkalmazott aktivációs függvén itt leggakrabban a szigmoid függvén, de lehet használni a tangens hiperbolikusz függvént is. Eg másik tanulási algoritmust használnak az RF (radiál bázisú) hálózatokban. Ennek az előne, hog kevesebb iterációra van szükség a tanulás során, íg lénegesen gorsabb a folamat. neurális hálózatok tervezése több lépésben történik. 1) Hálózat szerkezetének megtervezése (rétegszám, neuronok száma, aktivációs függvén típusának megválasztása) ) Tanító és tesztpontok kiválasztása 3) Hálózat tanítása 4) Tesztelés 15

16 Error! Stle not defined. hálózat szerkezetének jó kialakítása fontos feladat, mert később a tanulás során a rendszer ezt nem változtatja, csak a neuronokhoz tartozó súlokat, paramétereket módosítja. Tehát tulajdonképpen eg általunk meghatározott modellt próbál meg minél jobban illeszteni eg adott feladathoz. Ám arra, hog mekkora (hán rétegből és rétegenként hán neuronból álló) hálózatot válasszunk, hogan vegük fel a kezdeti súlokat és válasszuk ki a tanító és tesztpontokat jelenleg nincs egértelmű szabál. Ezekre leginkább csak tapasztalati válasz adható. z adott feladat igéneit legjobban kielégítő hálózati szerkezetet kétféle módon határozhatjuk meg. Ki lehet indulni eg nagobb hálózatból, amiről bizonos tapasztalatok alapján tudjuk hog elegendő lesz, és ezután csökkentjük a neuronszámot amennire lehet. Vag megpróbálhatjuk kisebb hálózattal megoldani a feladatot, és ha ez nem meg, akkor növelni a neuronszámot. Szerintem először érdemes kisebb neuronszámmal próbálkozni, mert túl sok neuron esetében nagon nag lesz a memória igén és a számítások is lassúak lesznek, sőt fennáll a hálózatok túltanulásának a veszéle. Ha a felvett hálózat nem képes megfelelő pontossággal megtanulni az adott problémát, akkor érdemes próbálkozni a neuronok számának a növelésével. Törekedni kell a lehető legnagobb pontosságra, a lehető legegszerűbb hálózatszerkezet mellett. 5.4 Túltanulás Eg neurális hálózattól azt várjuk el, hog ne csak a tanítópontokban, hanem a tanítópontok között is jó közelítést adjon. tanítópontok mellett ezért szükség van tesztpontokra is, hog minősíteni tudjuk a hálózatokat. tesztpontok olan pontok, meleket nem használtunk fel a tanítás során, de ismertek az összetartozó be és kimeneti értékeik. Megfelelően sok neuron felvétele esetén a neurális hálózatok alkalmasak interpolációra, vagis tökéletesen meg tudják tanulni a tanítópontok adatait. Ha nincsenek tesztpontjaink az ellenőrzéshez, akkor viszont können túltaníthatjuk a hálózatot. túltanítás azt jelenti, hog míg a tanítópontok hibája egre csökken, addig a tesztpontok hibája egre nagobb lesz, a hálózat túlzottan illeszkedik a tanítópontokra. Ezt úg lehet elképzelni, mint polinomos regressziónál, ha kevés pontra illesztünk nag fokszámú polinomot. Kimenet Túlzott illeszkedés Tanítópontok emenet 7. ábra Túltanulás 16

17 Error! Stle not defined. 5.5 Transzformációra alkalmazott hálózatok transzformáció során két-két koordináta között kell kapcsolatot teremteni. z egik rendszerbeli, koordinátákat kell áttranszformálni a másik rendszerbeli Φ,Λ értékekké. z oda vissza transzformáció megoldható olan hálózattal, ahol két bemenet és két kimenet van, illetve készíthetünk 4 hálózatot külön-külön mind a 4 koordinátára (,,Φ,Λ) két bemenettel és eg kimenettel. Én ez utóbbit alkalmaztam. Eg kimenettel sokkal egszerűbb a hálózatok felépítése, kevesebb neuron szükséges uganakkora pontossághoz. Két bemenetet két kimenettel, akkor célszerű alkalmazni, amikor keresztkapcsolatok is vannak az adatok között, pl. ha függne -től, de jelen esetben ez nem áll fenn. z alkalmazott hálózatok eg bemeneti rétegből, eg rejtett rétegből és eg kimeneti rétegből álltak. Fontos kérdés az alkalmazott aktivációs függvén típusa és a neuronszám. z alkalmazott neuronok számát itt is szisztematikus próbálgatással lehet meghatározni. Kétféle hálózatot is kipróbáltam a transzformációra. z első eg RF hálózat volt, a másik eg backpropagation hálózat szigmoid aktivációs függvénnel. Mindkét hálózatnál a kimeneti rétegben lineáris összegzést megvalósító neuront alkalmaztam. meghatározandó paraméterek száma (p) a rejtett rétegbeli neuronok számától függ. RF hálózatnál ez a következőképpen alakul n neuronszám esetén: p=4n3. zaz neurononként 4 paraméter plusz 3 (eg az eltolásérték vag bias, kettő pedig a kimenetben alkalmazott lineáris tagból /ab/). backpropagation hálózatnál uganez: p=4n1. Itt uganis nincs lineáris kimeneti tag, csak a neurononkénti 4 paraméter plusz a bias értéke. Nézzük most meg a különböző transzformációk eredméneit. Először ismertetem a korábban meghatározott transzformációk eredméneit a 43 azonos pont alapján, majd az új vizsgálatok eredméneit az 1153 azonos pont alapján elkészített transzformációkra. 17

18 Error! Stle not defined. 6 Transzformáció 43 azonos pont alapján 6.1 közelítés minősítésének kérdése különböző módszerek összehasonlításánál felmerül a minősítés kérdése, az hog hogan tudjuk eldönteni, hog eg módszer jónak tekinthető e. zt szeretnénk elérni, hog az előállított függvén ne csak a felhasznált azonos pontokban adjon jó közelítést, hanem az adott területen belül minden pontban. Ezt valahogan ellenőrizni kell. Ennek egik lehetséges módszere az, hog a rendelkezésre álló adatok eg részét használjuk fel a függvének előállítására és a további adatokat pedig ellenőrzésre. hhoz, hog elegendő tanító és tesztpontot válasszunk ki, megfelelő menniségű adat szükséges. 43 azonos pont Magarország egész területén ehhez nem elegendő (enni ponrból álló adatbázis állt rendelkezésemre, amikor elkezdetem a vizsgálataimat). Ha jó közelítést akarunk elérni, akkor mindet bele kell vonnunk a kiegenlítésbe. transzformációs függvének megfelelőségének eldöntésére két módszer áll rendelkezésünkre. z egik természetesen az, hog a függvén a felhasznált azonos pontok koordinátáit milen pontossággal állítja elő az egik rendszerből a másikba történő transzformáció során. Ez persze arra még nem jelent biztosítékot, hog a transzformáció az azonos pontok között is jól működik. Tesztpontok híján eg lehetőségünk van ennek a vizsgálatára. Ha mind a két iránban jól működik a transzformáció, akkor az oda-vissza transzformációnak is jól kell közelítenie a kiindulási adatokat. Ezt úg próbálhatjuk ki, hog tetszőlegesen felveszünk pontokat az egik koordináta rendszerben (az azonos pontok közötti területen), a transzformációs egenletekkel átszámítjuk a másik koordináta rendszerbe, majd elvégezzük ezekkel a pontokkal a visszafelé transzformációt is. Ezek után összehasonlítjuk a kiindulási adatokkal, ameleket megfelelő pontossággal kell közelíteniük. Ez persze csak a transzformáció megfelelőségének a szükséges, de nem elégséges feltétele, hiszen lehet hog mindkét iránban hibás a transzformáció, de oda-vissza esetben a hibák kiejtik egmást. Ha viszont az odavissza transzformáció nagon nag hibákat eredménezett, akkor biztos, hog nem működik megfelelően egik iránban sem az átszámítás. Én ezen két ellenőrzési lehetőséget fogom a következőkben elvégezni minden módszer vizsgálatánál. 6. Polinomos transzformációk polinomos transzformációt kétféle módszerrel végeztem. z egik a VETULET szoftver segítségével készült (a 3.1. fejezetben leírtaknak megfelelően), segédvetületi rendszer (SVR) közbeiktatásával, a másikat én határoztam meg a 18

19 Error! Stle not defined. Mathematica szoftver segítségével (3. fejezet szerint), segédvetületi rendszer közbeiktatása nélkül. Először nézzük meg a transzformációk után kapott maradék eltérések mértékét mindkét közelítési módszernél, a legnagobb, legkisebb értéket és a középhibát vag szórást, az EOV koordinátáknál m-ben, a WGS-84-nél pedig másodpercben. Polinomos transzformáció segéd vetületi rendszer alkalmazásával σ (szórás) Pozitív hiba maimum Negatív hiba maimum m 0,058 m m m 0,076 m m Φ , Λ 0,0017 0,0040-0,0031 Polinomos transzformáció segéd vetületi rendszer nélkül σ (szórás) Pozitív hiba maimum Negatív hiba maimum m 0,058 m m m 0,074 m m Φ , Λ 0,0018 0,0044-0,009 Ezek az eltérések alacsonak (3-4 cm a középhiba), a közelítés elég jó. Ha a két módszer eredméneit összehasonlítjuk, akkor látszik, hog uganolan mértékű eltérések adódtak, a kettő közötti különbség minimális. Ha egenként vizsgáljuk meg a 43 azonos pontra az eltéréseket, akkor a két módszer eredménei között maimum 1- mm eltérést találunk. másik ellenőrzési lehetőség az adott területen belül tetszőlegesen kiválasztott pontok oda-vissza transzformációja közötti eltérések vizsgálata. Ehhez felvettem véletlenszerűen több mint 1000 EOV pontot és ezt transzformáltam át WGS-84-be, majd vissza a korábban meghatározott transzformációs képletekkel. Ennek az eltérései a következők lettek: Oda-vissza transzformáció eltérései SVR-rel σ (szórás) Pozitív hiba maimum Negatív hiba maimum 0,007 m 0,01 m m 0,009 m 0,01 m -0,019 m 19

20 Error! Stle not defined. Oda-vissza transzformáció eltérései SVR nélkül σ (szórás) Pozitív hiba maimum Negatív hiba maimum 0,003 m 0,01 m m 0,00 m 0,01 m -0,007 m z oda-vissza transzformáció eltérései nagon kicsik lettek, tehát valószínűleg ez a közelítés elfogadható, nem csak az azonos pontokban, hanem a pontok között is. Ha összehasonlítjuk a segédvetületi rendszer alkalmazásával készült transzformációt a másikkal, akkor azt tapasztaljuk, hog második esetben az eltérések még kisebbek lettek. z koordináta esetében a középhiba lecsökkent 7 mm-ről 3-ra, esetében pedig 9 mm-ről -re. Ez azt a feltételezést látszik alátámasztani, hog a segédvetületi rendszer nugodtan elhagható, és íg jelentős mértékben egszerűsíteni lehet a számításokat. 6.3 Transzformáció neurális hálózatokkal Vizsgáljuk most meg a koordináta transzformációt neurális hálózatokkal. korábbi vizsgálataim során két különböző típusú hálózatot is kipróbáltam a feladat megoldására. z egik eg backpropagation(pn) hálózat volt, szigmoid aktivációs függvénnel, a másik eg RF (radiál bázisú) hálózat. Mindkét esetben eltérő neuronszámú hálózatokat is kipróbáltam, fokozatosan növelve a neuronok számát. 43 adat esetében viszonlag hamar (10 neuron után), a felhasznált szoftver figelmeztetett, hog a hálózatban több a meghatározandó paraméter, mint a rendelkezésre álló adat. Ennek ellenére tovább lehet növelni a neuronszámot, de a megoldás bizontalan lesz, és felmerülhet a túltanulás problémája. tanulás akkor a legeredménesebb, ha a be és kimenő adatokat skálázzuk, vag normalizáljuk. Erre is többféle módszer létezik, és én is többet kipróbáltam, a leghatékonabb az a lineáris skálázási eljárás volt, amikor a skálázandó értékből kivontam az eredeti adatok középértékét, és ezt elosztottam az adatok szórásával. X X =, σ ahol X az eredeti érték, a skálázott érték, X az eredeti adatok átlagértéke, σ pedig a szórása. Ezeket az eljárásokat és hálózatokat most nem kívánom hosszasan részletezni, akit érdekel elolvashatja a diplomamunkámban (Zaletnik 003). Itt most csak azt a hálózatot mutatnám be, amelik legjobban megtanulta az azonos pontok adatait. Ez a hálózat a backpropagation(pn) hálózat volt, szigmoid aktivációs függvénnel. 0

21 Error! Stle not defined. Ez a hálózat neuron alkalmazása esetén már tökéletesen képes volt megtanulni a 43 azonos pont adatait, erre a 43 pontra tökéletesen működött a transzformáció, a maimális eltérések jóval mm alattiak voltak. zonban igen érdekes eredmént kaptam, ha a másik ellenőrzési lehetőséget, az oda-vissza transzformáció eltéréseit vizsgáltam az 1000 pontra. Oda-vissza transzformáció PN hálóval neuronnal σ (szórás) Pozitív hiba maimum Negatív hiba maimum 431,955 m 1997,18 m -5607,8 m 1036,85 m 398,01 m -4880,83 m z oda-vissza transzformáció több ezer méteres eltérései eléggé riasztóak. Ez csak egféleképpen magarázható, a korábban már ismertetett túltanulással. Ez az a jelenség, amikor már túlzottan illeszkedik a felület a tanuló adatokra, viszont a tanító pontok közötti tesztpontokban már túl nag mértékűek a hibák. Erre nagon oda kell figelni, ezért szükséges mindig tesztpontokkal ellenőrizni a hálózatot. Sajnos nekünk a túl kevés adat miatt csak az oda-vissza transzformáció maradt ellenőrzési lehetőségként, a tetszőlegesen felvett pontokban. fentiek alapján egértelmű, hog nem szabad addig elmenni a neuron szám növelésében, amikor már több a meghatározandó paraméterek száma, mint a rendelkezésre álló adatmenniség. Nézzük még meg azokat az eredméneket, amikor még nem léptük túl a meghatározandó paraméterek számával a tanuló adatok számát. Ezt a határt 10 neuron esetében érjük el. transzformációk után kapott maradék eltérések a tanulópontokban 10 neuron esetében: Transzformáció PN hálóval 10 neuronnal σ (szórás) Pozitív hiba Negatív hiba maimum maimum m 0,010 m m m 0,007 m m Φ , Λ 0,0003 0,0009-0,0008 Ezek nagon jó eredmének, EOV koordináták esetében a középhiba 3 mm, WGS-84 esetében pedig 0,0003. Nézzük meg, hog e hálózat általánosító képessége uganilen jó-e, mint a tanulópontokra kapott eredmének. Vizsgáljuk meg, hogan működik a hálózat a tesztpontokban oda-vissza transzformáláskor. 1

22 Error! Stle not defined. Oda-vissza transzformáció PN hálóval 10 neuronnal σ (szórás) Pozitív hiba maimum Negatív hiba maimum 0,098 m 0,86 m -0,38 m 0,456 m 5,08 m -,1 m Úg tűnik, hog hiába a jó eredmének a tanulópontoknál és a 10 neuronos határ betartása, a tesztpontokban ez a hálózat is elég megbízhatatlanul, pontatlanul működik, szemben a polinomos transzformációval. Ismét csak szembesülnünk kellett a túltanítás problémájával, a kevés adatnak köszönhetően. Ez nem azt jelenti, hog neurális hálózatokat nem lehet alkalmazni koordináta transzformációra és, hog ne tudnák elérni uganazt a pontosságot, mint a polinomos közelítés esetében, csak azt, hog több tanító adatra van szükségünk. Sőt a korábbi tapasztalataim alapján megfelelő menniségű adat esetén sokkal jobban lehet alkalmazni a neurális hálózatokat approimációra, mint a polinomokat. polinomos közelítés esetében uganis a polinom fokszámát eg ideig lehet növelni az eredmének javítása érdekében, de ez viszonlag hamar elakad, az egenletrendszer egütthatómátriának rosszul kondicionáltsága miatt. Nézzük meg mi történik ha az 1153 azonos pontból álló adatbázist használjuk a koordináta-transzformáció végrehajtásához.

23 Error! Stle not defined. 7 Transzformáció 1153 azonos pont alapján 7.1 z adatok minőségének vizsgálata z eddigiekben eg nagon kevés adatot tartalmazó adatbázist használtam fel a koordináta transzformáció meghatározásához, ahol nem állt rendelkezésre elegendő adat ahhoz, hog az adatok eg részét a neurális hálózatokkal végzett transzformációnál tanításra, eg másik részét pedig tesztelésre használjam fel azonos pontnál azonban már nincs ilen megszorítás. Nincs szükség az oda-vissza transzformáció eltéréseinek a vizsgálatára. z adatok eg részét (a kétharmadát) a neurális hálózatok tanítására használtam fel a maradék egharmadot pedig tesztelésre. z 1153 pontból álló adatbázis bővült még néhán ponttal, ami a másik 43 pontból álló adatbázisban benne volt, de ebből hiánzott (sok azonos pont is volt). polinomos közelítésnél a transzformációs függvének meghatározásához felhasználtam az összes adatot. Itt azonban eg újabb probléma merült fel, méghozzá az adatok minőségével kapcsolatban. transzformáció után úg tűnt, hog az adatok eg jó része durva hibával terhelt. Ez azoknál a pontoknál tűnt egértelműnek, ahol pl. az adott pont közelében a transzformáció jól működött, csak eg-eg pontban volt kiugróan magas az érték. Nézzünk erre eg példát: 8. ábra Hibás pont fenti ábrán például a es pontban a transzformáció utáni maradék ellentmondás 30 cm körül mozog, míg a körnezetében levő pontokban az eltérés csak néhán centiméter. Szinte biztos, hog ez a pont durva hibás. Ez nem egedi eset volt. Ezeket a pontokat igekeztem kihagni a számításból. Ezt sem lehetett azonban mindenütt megtenni. izonos pontokat benne hagtam a számításban, amelek valószínűleg durva hibásak, de ha ezeket is kiveszem, akkor nem maradt volna adat az adott területen. z eredeti adatbázisból 3

24 Error! Stle not defined. végül csak 111 pontot használtam fel a számításhoz. Célszerű lenne ezeket a valószínűleg hibás pontokat megvizsgálni és esetleg újramérni őket. tanuló és tesztpontok elhelezkedése a következő volt: 9. ábra Tanító pontok elhelezkedése 10. ábra Tesztpontok elhelezkedése 4

25 Error! Stle not defined. 7. Polinomos transzformációk Ennél az adatbázisnál is elvégeztem a polinomos transzformációt a korábbi két módszerrel. Segédvetületi rendszer közbeiktatásával a VETULET szoftverrel, ill. a segédvetületi rendszer nélkül. WGS-84 EOV koordináta transzformációk utáni maradék ellentmondások a következők lettek (,, vízszintes = ( ) ). Polinomos transzformáció segéd vetületi rendszer alkalmazásával σ (szórás) Pozitív hiba maimum Negatív hiba maimum m 0,06 m m m 0,151 m m vizszintes m 0,55 m Polinomos transzformáció segéd vetületi rendszer nélkül σ (szórás) Pozitív hiba maimum Negatív hiba maimum m 0,05 m m m 0,15 m m vízszintes m 0,55 m kétféle polinomos transzformáció között az eltérés minimális. Ha pontonként nézzük az eltéréseket, akkor látszik, hog a kétféle számítás között az eges pontokban is csak néhán milliméter a különbség (maimálisan fél centiméter). Miután ennire csekél eltérés mutatkozik a kétféle polinomos transzformáció között, ki lehet jelenteni, hog a segédvetületi rendszer nugodtan elhagható, ez a transzformáció pontosságát nem befolásolja, viszont a számításokat lénegesen leegszerűsíti. vízszintes hibák eloszlása a következő: 5

26 Error! Stle not defined. 11. ábra Maradék ellentmondások eloszlása polinomos transzformáció esetén 7.3 Transzformáció neurális hálózatokkal z 1153 pontból álló adatbázisnál is kétféle neurális hálózatot vizsgáltam meg. kárcsak az előzőekben az egik eg backpropagation(pn) hálózat volt, szigmoid aktivációs függvénnel, a másik pedig eg RF (radiál bázisú) hálózat. Mindkét esetben fokozatosan növeltem a neuronszámot. Itt nem okozott problémát az adatok szűkös volta. Növelhettem volna nagon sokáig a neuronszámot, azonban itt is van eg határ, ahol célszerű megállni. Eg idő után túl bonolult hálózatot kapunk, és a tanulási idő szükséglete a neuronszám növelésével a többszörösére nő, uganakkor a rendszer pontossága eg idő után már nem nő tovább aránosan, és a tanítás túl lassúvá, gazdaságtalanná válik. tanítás eredménessége érdekében most is alkalmaztam a korábban már ismertetett skálázást a be és kimenő adatokra. Nem akarom itt most felsorolni az összes megvizsgált hálózat eredménét. legjobb eredmént a szigmoid aktivációs függvént használó backpropagation hálózattal sikerült elérni, 30 neuron alkalmazásával. Enni adatnál már nem okozott problémát a túltanulás. tesztelés eredméne bizonítja, hog a hálózatnak jó az általánosító képessége, és nem csak a tanítópontokban ad jó eredmént, hanem azok között is. Ha a maradék eltéréseket az összes adatra vizsgáljuk, akkor a következő eredméneket kapjuk: 6

27 Error! Stle not defined. ackpropagation hálózat szigmoid aktivációs függvénnel, 30 neuron alkalmazásával σ (szórás) Pozitív hiba maimum Negatív hiba maimum m 0,130 m m m 0,16 m m vizszintes 0.03 m 0,165 m Ezek az eredmének lénegesen jobbak a polinomos transzformációval kapott eredméneknél. szórás több mint eg cm-rel javult, a vízszintes maimális hibák pedig 9 cm-rel javultak (5,5 cm-ről 16,5 cm-re csökkentek). z eredmének igazolják azt a feltételezést, hog a neurális hálózatok bizonos adatmenniség után már jobban használhatóak approimációkra, mint a polinomok. vízszintes hibák eloszlása a következő: 1. ábra Maradék ellentmondások eloszlása neurális hálózattal történő transzformáció esetén fenti ábrát összevetve az előzővel, látszik, hog ez sokkal laposabb, kevésbé heges-völges az eltérések eloszlása. javulás mértékét azonban jobban látjuk, ha összevetjük a kétféle transzformáció utáni maradék ellentmondások szintvonalas térképeit. 7

28 Error! Stle not defined. 13. ábra Polinomos transzformáció eltéréseinek szintvonalas térképe 14. ábra Neurális hálózatokkal történő transzformáció eltéréseinek szintvonalas térképe Ezeken a szintvonalas térképeken sárgával jelöltem az 5 cm alatti vízszintes eltéréseket, zölddel az 5-10 cm közöttieket, és barnával a 10 cm felettieket. Látszik, hog a neurális hálózatoknál már alig található eg-két barna színű terület, míg a polinomos transzformáció esetében ezek még igen jelentősek. z is leolvasható a térképekről, hog a legnagobb eltérések a hegvidéken, pontosabban az Északi-középhegségben találhatóak. 8

29 Error! Stle not defined. 8 Összefoglalás dolgozatomban igekeztem megvizsgálni eg új informatikai eszköznek, a neurális hálózatoknak az alkalmazhatóságát a WGS-84 EOV koordináta transzformációra, és összehasonlítottam ezeket a hagomános polinomos transzformációval. vizsgálataim során használt eltérő méretű adatbázisok rávilágítottak a neurális hálózatoknak eg igen veszéles hibaforrására, a túltanulásra. Sokan úg emlegetik a neurális hálózatokat, mint eg univerzális eszközt, amivel szinte minden feladat megoldható. Ez sok esetben ténleg íg van, viszont a kapott eredméneim azt mutatják, hog nem szabad gondolkodás nélkül, minden esetben a neurális hálózatokat elővenni, hanem sokszor jobban lehet használni a hagomános módszereket. közelítési feladat megoldása során meg kell határozni a kívánt pontosságot, és vizsgálni kell a rendelkezésre álló adatok menniségét, és ezek alapján lehet kiválasztani a legjobb megoldási módszert. Kevesebb adat esetében célravezetőbb lehet a polinomos közelítést alkalmazni, míg több adat esetében jobban működhetnek a neurális hálózatok. Itt említeném még meg, hog a közelítést tovább lehetne valószínűleg pontosítani neurális hálózat sorozattal, ami eg korábbi feladatnál, a magarországi geoidfelület közelítésénél már bevált (Paláncz, Völgesi 00, Zaletnik 00). Jelen dolgozat kereteibe ez a vizsgálat sajnos már nem fért bele. neurális hálózatok legfőbb előne tehát abban rejlik, hog igen nagszámú adat esetén jól használhatóak függvén approimációra, amikor a polinomokkal való közelítés már nem működik a rosszul kondicionáltság miatt. Ezért úg gondolom, hog ezt az eszközt a közeljövőben egre több feladatnál fogják alkalmazni a geodéziában, térinformatikában. Érdemes foglalkozni vele. 9

30 Irodalom 1. arsi Árpád (1999): Koordináta-transzformáció megoldása neurális hálózatokkal, Geodézia és Kartográfia, udapest, LI, No arsi Árpád (1997): Landsat-felvétel tematikus osztálozása neurális hálózattal. Geodézia és Kartográfia, 1997/4, pp író Péter (1996): Felsőgeodézia, Műegetemi Kiadó, udapest 4. Detrekői Ákos (1991): Kiegenlítő számítások, Tankönvkiadó, udapest 5. Horváth Gábor (1995): Neurális hálózatok és műszaki alkalmazásaik, Műegetemi Kiadó, udapest 6. Krauter ndrás (1995): Geodézia, Műegetemi Kiadó, udapest 7. Paláncz,.-Völgesi, L (00): High accurac data representation via sequence of neural networks, megjelenés alatt 8. Paláncz éla (003): Neurális hálózatok a Mathematica felhasználásával, 9. Sárköz Ferenc(1998): Mesterséges neurális hálózatok mint GIS függvének Scarselli, Franco-h Chung Tsoi (1998): Universal pproimation Using Feedforward Neural Networks: Surve of Some Eisting Methods, and some New Results, Neural Networks, Vol. 11, No. 1, pp , Elsevier Science Ltd., Great ritain 11. Varga József (1997): Vetülettan, Műegetemi Kiadó, udapest 1. Veres Gábor (00): RF neurális hálózat alkalmazása magasság meghatározására, Geodézia és Kartográfia, udapest LIV. No Vetületi szabálzat az egséges országos vetületi rendszer alkalmazására (1975), udapest, MÉM Országos Földügi és Térképészeti Hivatal 14. Völgesi Lajos-Tóth Gula-Varga József (001): Magarországi vetületi rendszerek közötti átszámítások, a VETULET program leírása, leírás elektronikus verziója megtalálható a internet címen 15. Wickham-Jones, Tom (1994): Mathematica Graphics, Springer-Verlag, New York 16. Zaletnik Piroska (00): Magarországi geoidfelület közelítése neurális hálózatokkal, ME Építőmérnöki Kar, Tudomános Diákköri Konferencia Zaletnik Piroska (003): Neurális hálózatok alkalmazása a geodéziában, ME Építőmérnöki Kar, Általános és Felsőgeodézia Tanszék, Diplomamunka 30