8. Adatsokaságok jellemz i, a valószí ség számítás elemei Vázlat: 1. Mit jelet a statisztika szó? Mi a statisztikus feladata?. Statisztikai sokaság, mita a) Adatsokaságok jellemz i: a statisztikai adat, relatív gyakoriság, b) Táblázatok. Osztályba sorolás c) gyakoriság diagramok (vagy hisztogramok) kördiagram sávdiagram oszlopdiagram voaldiagram d) Statisztikai mutatók: középértékek(átlag, adatsokaság mértai közepe, H G A N mediá, módusz, a szórások (Terjedelem, átlagos abszolút eltérés, szórás) 3. A valószí ség: Eseméy, eseméytér, relatív gyakoriság, eseméy valószí sége, a valószí ség tulajdoságai, valószí ségi változó, 4. Bizoyítható tételek: Számtai mértai közép közti egyel tleség, Valószí ség re voatkozó tételek közül valamelyik 5. Alkalmazások Mit jelet a statisztika szó? Sz kebb értelembe iformációk redezett összessége, tágabb értelembe a véletle tömegjeleségek vizsgálatára voatkozó módszerek összessége Mi a statisztikus feladata? Kap egy feladatot, megtervezi az adatgy jtést, mitavételt, adatokat gy jt illetve másokkal gy jtet, kiértékelés módját megtervezi ( A Közpoti Statisztikai Hivatalt hazákba 1867-be hozták létre, azóta végezek épszámlálást, adatgy jtést, személyes adatokra voatkozó adatgy jtést csak törvéybe lehet elredeliadatszolgáltatás ökétes. A statisztikai muka sorá egy agy elemszámú halmaz elemeiek tulajdoságairól kíváuk tájékozódi. Statisztikai sokaság, vagy populáció azokak a dolgokak, egyedekek csoportja amelyekr l adatokat gy jtük. A sokaság elemei az egyedek. Nem midig va arra lehet ség, hogy egy vizsgáladó területe mide egyedr l felvegyük az adatokat. Ilyekor a vizsgáladó egyedek közül egy mitát, vagyis az eredeti statisztikai sokaság egy részhalmazát választjuk ki, s ezt vizsgáljuk, mit statisztikai sokaságot. Olya mitavétel az ideális, ahol a vizsgált tulajdoság el fordulása közelít leg olya aráyba fordul el a mitába, mit az eredeti statisztikai sokaságba. Az ilye mitát evezik: reprezetatív mitáak (például: közvéleméykutatásokál haszálják). A mitavételi eljárások közül a legkézefekv bb módszer: a véletleszer mitavétel. Ilyekor a statisztikai sokaság mide eleme a kiválasztás sorá ugyaakkora eséllyel kerülhet be a kiválasztott mitába (ilye például a lottó).mita: A statisztikai sokaságból kiválasztott olya rész amelyekt l adatokat kapuk. Reprezetatív a mita, a h e tükrözi a sokaság összetételét. Ismérv: A z egyedek vizsgált tulajdosága. Az ismérv lehet kvalitatív( 1. oldal
Emelt szit érettségi matematikából 007 Szóbeli tételek mi sítéses) pl. hajszí, vagy lehet kvatitatív (méréses),pl. testmagasság osztályzat, életkor Az ismérv kokrét értéke az adat Pl, vörös,sz ke,. Adatsokaságok jellemz i: A statisztikai elemzések sorá egyedek (például: emberek, állatok, termékek stb ) összegy jtött adatait vizsgálják. Ezekek az egyedekek halmaza: a statisztikai sokaság. A vizsgált tulajdoságok: az ismérvek/ változók. A sokaság egyes egyedeiek az ismérv szeriti tulajdosága a statisztikai adat. Például: a statisztikai sokaság lehet egy tácmulatságo résztvev k halmaza. Az egyedek az egyes résztvev k. Az ismérv a résztvev k életkora(ez méréses ismérv). Az adatok ebbe az esetbe az egyes életkorok. Az egyes adatfajták el fordulási száma az adat gyakorisága. A gyakoriságot az összes megfigyelés számával osztva kapjuk a relatív gyakoriságot. A statisztikus feladata a kiválasztott mitából kapott adatok alapjá megbecsülje a statisztikai sokaságból kapható hasoló választ. Az adatok összegy jthet k táblázatba: A leíró statisztika fotos eszközei a táblázatok. A táblázatokba az egyes értékek áttekithet e láthatóak. Osztályba sorolás: Sokszor el fordul, hogy agy meyiség adat eseté az adatokat em soroljuk fel egyekét, haem osztályokba soroljuk ket, így jobba áttekithet k. Egy adat két osztályba em jelehet meg, de midegyik megjeleik valamelyikbe. Egy osztályköz hossza az osztály fels és alsó határáak külöbsége. Osztályközépek evezzük az osztály alsó és fels határáak számtai közepét. Úgy tekitjük, mitha mide az osztályba tartozó adat értéke az osztályközép lee.az egyes osztályokba tartozó adatok száma az osztály kumulált gyakorisága. (például: a foglalkoztatottak száma eseté például az olya vállalatokat, amelyek 100 ezerél kevesebb embert foglalkoztatak egy osztályba soroljuk. Azokat a vállaltokat, ahol a foglalkoztatottak száma 100 ezerél több és 00 ezerél kevesebb, egy másik osztályba soroljuk stb.) A táblázat adatai ábrázolhatók, szemléletessé tehet k külöböz diagramoko. Nagyobb méret táblázatak általába csak kisebb részeit ábrázolják diagramo. A diagramok az adatok gyors áttekitését és az egyes értékek ráézésre törté összehasolítását teszik lehet vé. A gyakoriság diagramok (vagy hisztogramok) a táblázatokál redszerit áttekithet bbe mutatják a gyakoriság eloszlását 1. Kördiagram: alkalmas a %-ba megadott adatok ábrázolására. A teljes kör jeleti a 100%-ot. Akkor haszáljuk legikább, ha az adatokak az egészhez viszoyított aráyát akarjuk szemlélteti. Nem érdemes kördiagramot alkalmazi, ha túl sok adat va, mert ebbe az esetbe a középpoti szögek agyo kicsik lehetek, így em köy ket összehasolítai. Rajz!!!!. Sávdiagram Rajz!!! 3. Oszlopdiagram: em érdemes oszlopdiagramot haszáli, ha az adatok között va egy olya kiugróa agy, amely em fére rá a grafikora, vagy egy olya kicsi, amely összehasolíthatatlaul eltörpüle a többi adathoz képest. Rajz!!! 4. Szemléletesebb képet ad a változásról a: töröttvoal-grafiko (vagy voaldiagram). Ez legikább akkor haszos, ha az adatok id beli változását vagy egymáshoz való. oldal
Emelt szit érettségi matematikából 007 Szóbeli tételek viszoyát szereték ábrázoli. valamilye meyiség id beli változásáak leírására jól haszálható. Rajz!!! Az adatok jellemzésére valók a statisztikai mutatók. A statisztikai számsokaságokat külöböz statisztikai mutatókkal szokás jellemezi.. Statisztikai mutatók a középértékek( helyzetparaméterek) és az ezekt l való eltérések mérésére való a szórások ( szórás, átlagos abszolúteltérés) Középértékek, illetve helyzetparaméterek: 1. Átlag: egy számsokaság számtai közepe (vagy átlaga) úgy kapható meg,,hogy a x1 + x +... + x számsokaság összegét elosztjuk a számsokaság darabszámával xátl Ha az egyes adatok gyakorisága k 1, k, k akkor az adatok átlagát megadhatjuk k1x1 + k x +... + k x súlyozott számtai középkét is. xátl. k1 + k +... + k El ye.: A ála agyobb adatoktól való eltéréseiek összege ugyaayi, mit a ála kisebb adatoktól való eltéréseiek összege Hátráya: Egy egy kiugró adat agyo eltorzíthatja.... Adatsokaság mértai közepe: Két pozitív valós szám mértai közepe a szorzatuk égyzetgyöke.(két szám mértai közepe ugyaayiszorosa az egyik számak amekkora része a másik számak.) Beszélhetük darab pozitív valós szám (adatsokaság) égyzetgyökér l is, ez az adott a 1, a a számok szorzatáak -ik gyöke. Tétel: Két pozitív szám ( a;b) számtai közepe agyobb a két szám mértai közepéél vagy egyel vele. Bizoyítás: a b ezt kell bizoyítai. Ez potosa akkor igaz, ab ( a b) ha a b 0 Ez pedig igaz, mert a b. A kapott kifejezés pedig yilvávalóa em egatív, mivel a tört számlálója teljes égyzet, evez je pedig pozitív szám. A bizoyításból látszik egyel ség potosa akkor va ha ab. A Thálesz-tétel és a derékszög háromszögbe érvéyes magasság-tétel felhaszálásával az egyel tleség geometria úto is bizoyítható. Thálesz-kör átmér je legye a+b sugár agyobb vagy egyel, mit a kör bármely húrjáak fele. (Értelmeztük pozitív valós szám égyzetes közepét és harmoikus közepét is. Defiíció: két pozitív valós szám égyzetes közepe a két szám égyzete számtai közepéek a égyzetgyöke ( darab valós szám égyzetes közepér l is beszélhetük. Ez az adott számok égyzetei, számtai közepéek égyzetgyöke.) 3. oldal
Emelt szit érettségi matematikából 007 Szóbeli tételek Defiíció: két pozitív valós szám harmoikus közepe a reciprokuk számtai közepéek 1 ab reciproka ( ez is értelmezhet darab poz valós számra is). 1 1 a + 1 1 b a + b A közepek összehasolítása bebizoyítható: H G A N akkor és csak akkor ha a vizsgált számok egyel k.. Mediá: Az adatsokaságok mediája a agyság szerit redezett adatok közül a középs, ha az adatok száma páratla, és ha az adatok száma páros, akkor a mediá a két középs szám számtai közepe.(+1 db adat mediája az +1-edik adat, db adat mediája az. és +1. átlaga. El ye: ugyaayi adat kisebb ála, mit ameyi agyobb A mediáak az adatoktól mért távolságaiak összege miimális ( pl. egy vállalatál a fizetések átlagát eltorzíthatja a vezet k magas bére, így a fizetések középértékét a mediá jobba jellemzi. 3. Módusz: A statisztikai sokaságba leggyakrabba el forduló érték a módusz. El ye: köye meghatározható, jó eséllyel lehet tippeli az adatokra. Hátráya : Egy adatot kiemel, többir l em mod semmit. Nem haszálható, ha az adatok el fordulási száma em jellemz A középértékek sokszor félrevezet iformációkat adak egy adathalmazról már csak azért is, mert magából a középértékb l em látszik, hogy az egyes értékek hogya helyezkedek el a középértékek körül, épp err l adak iformációt a szóródási mértékek. Terjedelem, átlagos abszolút eltérés, szórás A szóródást jellemzi valameyire az adathalmaz legagyobb adata, a legkisebb adata és a terjedelme. Egy adathalmaz terjedelme az adathalmaz legagyobb adatáak és legkisebb adatáak külöbsége. Miél kisebb a mita terjedelme, aál jobba jellemzi az adatsokaság középértéke a mitát. El ye: köye meghatározható. Hátráya: széls séges adatok eltorzíthatják-elszokták hagyi gyakra a mita alsó és fels egyedét Egy adathalmaz egyes adataiból egy adathalmaz valamely középértékét kivova kapjuk az adatokak a középértékt l való eltérését. Ezek abszolút értéke az abszolút eltérés. Az így kapott értékek számtai közepe az átlagos abszolút eltérés. Egy adathalmaz elemei legyeek x 1 ;x ;.x, az adathalmaz valamely középértéke pedig x1 k + x k +... + x k :k - ekkor az adathalmaz átlagos abszolút eltérése : S S miimális, ha k a mediá. Egy adathalmaz egyes adatai és az adathalmaz átlaga külöbségei égyzeteiek a ( x1 x átl ) + ( x xátl ) +... + ( x xátl ) számtai közepe a szóráségyzet. D A szórás (D) a szóráségyzet égyzetgyöke: (képlet) ( Mita szóráségyzete az adatsokaság átlagától való eltérések égyzetéek átlaga.) A valószí ség: Tapasztalataik mutatják, hogy a véletle jeleségek körébe is érvéyesülek bizoyos törvéyszer ségek. Ezeket akkor észleljük, ha ugyaazt a jeleséget agyo sokszor 4. oldal
Emelt szit érettségi matematikából 007 Szóbeli tételek léyegébe ugyaolya körülméyek között figyeljük meg. A valószí ségszámítás e véletle tömegjeleségek vizsgálatával foglalkozik. Eseméy, eseméytér: Egy valószí ségi kísérlet lehetséges kimeetelei: az elemi eseméyek. Az elemi eseméyek halmaza az eseméytér. A kísérlet eseméyei az eseméytér részhalmazai. Például: ha két pézérmét feldobuk, és azt ézzük, hogy fejre (F), vagy írásra(i) esik akkor 4 elemi eseméy va: FF, FI, IF, II., kockadobásál 6 db elemi eseméy, Eseméyek evezzük az eseméytér részhalmazait, pl kockadobásál: eseméy: páros számot dobuk. Egy eseméy bekövetkezik, ha a kísérlet kimeetele az eseméyek megfelel részhalmazba tartozó elemi eseméy. Lehetetle eseméy az az eseméy amely sohasem következik be. Biztos eseméy egy kísérletél az az eseméy amely mideképpe bekövetkezik, Pl, A legfeljebb 6-ost dobuk jele :I Egy A eseméy komplemeter eseméye az A(komplemeter) eseméy, amely potosa akkor következik be, amikor az A eseméy em következik be. Tetsz leges A és B eseméyek eseté a két eseméy összege az A+B eseméy, amely potosa akkor következik be, ha az A és B eseméy közül legalább az egyik bekövetkezik. Külöbsége az A-B eseméy, amely potosa akkor következik be, ha az A bekövetkezik de a B em. Szorzata az AB, amely potosa akkor következik be, ha az A és B eseméy is bekövetkezik. Ha AB0, a két eseméyt egymást kizáró eseméyekek evezzük Egy kísérletet -szer elvégezve az A eseméy k-szor következik be, akkor defiiálható az A esméy bekövetkezéséek gyakorisága és relatív gyakorisága. Gyakoriság: k Relatív gyakoriság k Tulajdoságok: 0 k, > 0 0 k 1 a biztos eseméy relatív gyakorisága 1. Egy adott A eseméy valószí ségéek azt a számot evezzük, ami körül a relatív gyakoriság igadozik. Jele: P(A). A valószí ség tulajdoságai: 1. Tetsz leges A eseméy eseté: 0 P ( A) 1., P(I) 1 3. Ha az A és B két tetsz leges egymást kizáró eseméy (AB0),akkor P(A+B) P(A) +P(B). Bebizoyíthatók a feti 3 tulajdoság alapjá a következ k: P(0)0 Bizoyítás: A biztos eseméy és lehetetle eseméy szorzata a lehetetle eseméy. Összegük a biztos eseméy, erre alkalmazva a 3. tulajdoságot adódik az állítás Ha az A és B két tetsz leges eseméy, akkor P(A+B) P(A)+P(B)- P(AB). P(A)+P(A komplemeter)1 vagyis P(A komplemeter)1 P(A)Biz: A és A komplemeter szorzata a lehetetle eseméy. A és A komplemeter összegéek valószí sége a 3. tulajdoság alapjá.. Felhaszálva, hogy A és komplemeteréek összege a biztos eseméy,adódik az állítás) 5. oldal
Emelt szit érettségi matematikából 007 Szóbeli tételek Egy kísérlet sorá mide elemi eseméyhez hozzáredelhetük egy valós számot, ily módo az elemi eseméyek halmazá értelmeztük egy függvéyt. Ezt a függvéyt evezzük valószí ségi változóak. Ha véges eseméyredszert képez le a valós számok halmazába: diszkrét valószí ségi változóak evezzük. A kimeetelekhez redelt számokat a valószí ségi változó értékeiek evezzük. Ha megadjuk a valószí ségi változó egyes értékei mellé azok bekövetkezéseiek valószí ségeit, akkor a valószí ségi változó eloszlásait adtuk meg. Taultuk egyeletes, biomiáli, hipergeometrikus eloszlású valószí ségi változóról A valószí ségi változóak értelmeztük a várható értékét, szórását A statisztika és a valószí ségelmélet egyes fogalmai között szoros kapcsolat va-. Relatív gyakoriság- valószí ség, átlag- várható érték. Alkalmazások: A mértai közepet haszáljuk például a magasság-tételbe. Derékszög háromszögbe az átfogóhoz tartozó magasság mértai közepe az átfogó két szeletéek. Illetve a befogótételbe. Külöböz gyakorlati problémák eseté haszáljuk még például 10m kerítéssel legfeljebb mekkora terület téglalap alakú telket lehet körülkerítei. A harmoikus közép alkalmazása: átlagsebesség kiszámítása. Valószí ségszámítás alkalmazása: biológiába örökl désél va szerepe, geetikai számításokál. Mi ség-elle rzés területé: termelésbe megszabják, h meyi lehet a hibás áru. +szerecsejátékosok haszálják a kasziókba. Kidolgozója: Kataics Kiga 1.D 6. oldal