Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január 8. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULS EMELT SZINT. Egy atlétika csapat alapozást tart. Robbanékonyságukat és állóképességüket 0 méteres síkfutással fejlesztik. Összesen fiatal sportoló idejét méri meg az edző, melyek közül az alábbi négy ismert számunkra: ; 6; 8 valamint, másodperc. a) Mennyi lehet az ötödik futó ideje, ha tudjuk, hogy az összes mért idő szórása, másodperc és azt is, hogy nem ő volt a leggyorsabb? (6 pont) b) futókat növekvő sorrendbe állítjuk az idők alapján. következő egy hónapos edzésterv célja, hogy mindegyik futó annyi százalékot tudjon javítani saját idején, ahányadik helyet tölti be ebben a felállított sorrendben. Hogyan változik az átlag és a szórás akkor, ha sikerrel jár az edzésterv? ( pont) c) Ábrázolja oszlopdiagramon az eredetileg mért részidőket! ( pont) a) szórás képletét alkalmazva felírható az alábbi egyenlet, melyben az ismeretlen időt -szel jelöljük:,,, 6, 8,,, ( pont) Ezen egyenlet rendezését és egy négyzetre emelést követően egy másodfokú egyenletet kapunk ismeretlennel: 9 0 0 9 6 8,, melynek megoldása az alábbi számpár: ( pont), valamint 9 6 7,7 8 Tehát az ötödik futó ideje 7,7másodperc, mivel tudjuk, hogy nem ő volt a leggyorsabb. b) z idők sorrendben: ;,; 6; 7,7; 8. Ebből fakadóan az új elérendő idők a következőképpen alakulnak: 0,99,9, 0,98,9 60,97,8 7,70,96 7,0 80,9 7,60 módosult átlag tehát: módosult szórás pedig:,9,9,8 7, 7,6 6,.,9 6,,9 6,,8 6, 7, 6, 7, 6 6,,07 - -
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január 8. c) z idők az alábbi módon ábrázolandóak: 9 8 7 8 7,7 6 6, 0 Első futó Második futó Harmadik futó Negyedik futó Ötödik futó ( pont) Összesen: pont - -
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január 8.. dott három sorozat. n számtani sorozatról ismert, hogy a tizenkilencedik és tizenegyedik elemének különbsége, a tizenharmadik eleme pedig 9-cel egyenlő. Bn számtani sorozatról tudjuk, hogy különbsége, első tizenkét elemének összege pedig 88. n sorozat elemeit úgy kapjuk meg, hogy a prímszámokból rendre kivonunk egyet. a) dja meg az első két sorozat eplicit képletét, majd határozza meg mindhárom sorozat 0. elemét! (6 pont) b) Mely sorozat első 0 elemének összege a legnagyobb? ( pont) c) Mely elemeket képzi az alábbi halmazműveletek sora, ha az egyes halmazok rendre a sorozatok az a) feladatrész szerint értelmezett elemeit tartalmazzák és egyben az alaphalmazt is jelölik: a) sorozat: n a a 9 n a 9 a a 8d a d 9 a n 0 9 60 B n sorozat: d bb d b 88 Bn \ B \ 0d? ( pont) 8d d n B0 9 78 n sorozat: z első 0 prímszám: ; ; ; 7; ; ; 7; 9; ; 9; ; 7; ; ; 7; ; 9; 6; 67; 7. Így a sorozat 0. eleme a 70. b) sorozatok első 0 elemének összegeit össze kell hasonlítanunk S 0 S 0 S 0 9 ( ) 0 6 9 ( B) 0 00 ( ) 60 6 8 8 9 Tehát a sorozat első 0 elemének összege a legnagyobb. c) halmazműveleti jelölés az alábbi területet jelöli egy Venn-diagramon ábrázolva: ( pont) Tehát azokra az elemekre voltunk kíváncsiak, amelyeket csak és kizárólag a sorozat tartalmaz: B n n \ B\ ;;6;8;0; ( pont) Összesen: pont B - -
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január 8. ) Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) a, ha tudjuk, hogy a = + + +0 +6 (8 pont) 8 7 0 7 8 0 b) a) z egyenlet bal oldalának kitevőjét egyszerűbb alakra hozzuk: 8 6 0 6 0 6 0 6 0 6 ( pont) Kikötés: 0 6 8 0 és 8 Ebből könnyedén látható, hogy a kitevő értéke az 0 6 8 kifejezés előjeles értékétől függően -et, vagy --et fog fölvenni, amely alapján a baloldal -szel vagy -szel lesz egyenlő. jobboldalon szereplő abszolútértékes kifejezés helyen vált előjelet. Ezek alapján külön intervallumokat tudunk vizsgálni, melyek határai az egyes abszolútértékes kifejezések előjelváltási helyeinél lesznek: I. intervallum: 8 megoldás. II. intervallum: 8 0 8, az és az helyen., amely nem esik bele az intervallum értelmezési tartományába, így nem, amely egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán. III. intervallum: IV. intervallum:, így az egyenletnek ezen az intervallumon értelmezve sincs valós megoldása. b) z egyenlet szerint három nemnegatív szám összege nullával egyenlő, amely csak abban az esetben valósulhat meg, ha mindhárom kifejezés nullával egyenlő. vagy. 0 7 8 0 7 0 0 7 8 0 9 9 vagy vagy 6. Jól látható, hogy az helyen mindhárom gyök alatti kifejezés nullával lesz egyenlő, így ez lesz az egyetlen megoldása az egyenletnek. Összesen: pont - -
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január 8. ) Oldja meg az alábbi trigonometrikus egyenletet a valós számok halmazán! sin tg siny cosy cos Bár az egyenlet két ismeretlenes, értékkészlet vizsgálatok segítségével megoldható. Először is mindkét oldalt egyszerűbb alakra hozzuk: Baloldal: sin + tg - = tg + ctg cos alábbi összefüggés: Jobboldal: tg + ctg, amely egy szám és reciprokának összege, így fennáll rá az. ( pont) siny cos y = siny cos y = siny cos y = sin y sin y, melynek értékkészlete:. ( pont) Így az egyenlet két oldala csak akkor lehet egyenlő, ha mind a két oldal -t vagy mínusz -t vesz fel értékül. ( pont) Baloldal: Jobboldal: vagy Baloldal: Jobboldal: π tg + ctg = tg = ctg = k π, ahol k π sin y sin y y l y lπ π tg + ctg = tg = ctg = k π, ahol., ahol k π sin y sin y y l y lπ l.., ahol l. Összesen: pont Maimális elérhető pontszám: pont - -
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január 8. ) dott egy cm magas, 0 cm átmérőjű egyenes, zárt henger, amelybe vizet töltöttünk. a) hengert az oldalára fektetjük, így a vízszint a föld szintjétől mérve 7 cm lesz. Hány liter víz van a hengerben? (8 pont) b) Állítsuk vissza az alapjára a hengert és távolítsuk el a fedelét. Mekkora átmérőjű vasgolyót kellene beleejtenünk, hogy a víz szintje %-kal emelkedjen? (8 pont) a) z oldalára fektetett hengerben a vízoszlop hossza cm lesz, az alapja pedig a következő, szürkére festett síkidommal egyezik meg: hhoz, hogy meg tudjuk állapítani a fekvő vízoszlop térfogatát, ki kell S G számolnunk az alap síkidom területét, amely OSG háromszög és O 7 OGP körcikk területösszegének kétszerese lesz. OSG háromszöget területét P könnyedén megkaphatjuk, ha SG szakasz hosszát ismerjük. Ezt a háromszögre felírt Pitagorasz tétel segítségével számítjuk ki: SG Tehát OSG háromszög területe: T OSG. OGP körcikk területének kiszámításához szükségünk van az POG szögre, amely SOG szög kiegészítő szöge lesz, így OGP körcikk területe így már számolható: z alapot képző síkidom területe: =80 - SOG =80 -cos,8 alap T -,8 60 körcikk r,78 T T T,78 8,7 OSG körcikk. Így megkaphatjuk a fekvő vízoszlop térfogatát, mivel a magasságról tudjuk, hogy cm. V = T m = 8,7 =68 68 alap cm, 68 dm,7 liter. b) hengert felállítottuk az alapjára, első lépésben a vízoszlop magasságát kell kiszámolnunk, mivel alapja megegyezik a henger alapkörével: V r m 68 = m m 8,7cm. magasságnak 8,7 0,0 = 0,6 0,6 cm-rel kell növekednie. rchimédész törvénye alapján, a vízbe dobott golyó térfogata megegyezik egy 0,6 cm magas vízlemez térfogatával. ( pont) Így R 0,6 0,6,9cm Vvasgolyó r R ( pont) golyó átmérője volt a kérdés, amely a sugár kétszerese lesz: d R,8,8 cm. Összesen: 6 pont - 6 -
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január 8. 6) Egy szabályos kilencszög oldala cm. Hány darab különböző hosszú átlója van? Ezek milyen hosszúak? (6 pont) szabályos kilencszög egy csúcsából pontosan 6 átló húzható. Ezek között, a szabályosság elve miatt, lesz három páronként megegyező hosszúságú átló. Ebből fakadóan három különböző hosszú átlót tudunk húzni egy adott csúcsból, amely kijelentés mindegyik csúcsra fennáll. ( pont) B D átló hosszát B egyenlő szárú háromszögből, e BD egyenlő szárú trapézból és BDE f ötszögből fogjuk tudni kiszámolni. ( pont) g képen jelölt Ω szög 0 -os, mivel 9 egyenlő részre osztja a 60 -ot. E Ebből fakadóan a kilencszög belső szögei Ω 80 0 egyenként: 0, mivel a középpontba húzott sugarak felezik ezeket a szögeket. Így már e átló hossza könnyen számolható a koszinusz-tétel segítségével: z f átló hossza megegyezik az D szakasz hosszával, amely az alábbi BD szimmetrikus B trapéz hosszabbik alapja. φ Hosszúságát úgy kaphatjuk meg, hogy TB háromszög φ szögével szemközti befogójának T kétszeresét hozzáadjuk a -hez: D, ahol 0 90 0. f sin Tehát az f átló hossza: e n cos0 e 7, 7, cm. ( pont) f sin0 0, 0, cm g átló kiszámolásához ismernünk kell PB háromszög γ szögével szemközti befogó g e sin, ahol hosszát: 80 0 0 0 g e e,, cm. ( pont).. P Tehát a három különböző átló hossza 7, cm, 0, cm valamint, cm. Összesen: 6 pont B γ δ e e D E - 7 -
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január 8. 7) dott egy háromszög három csúcspontja egy derékszögű koordinátarendszerben: B ; valamint ;. a) dja meg a háromszög súlypontján és az origón átmenő egyenes egyenletét! ( pont) b) Mekkora és milyen irányú szöggel kellene elforgatnunk a háromszöget az csúcs körül, ha azt szeretnénk, hogy az oldal párhuzamos legyen az ordinátatengellyel? ( pont) c) háromszög területének hanyad része esik az I. síknegyedbe? (8 pont) ;, (;) (-;-) B (;-) a) két ponton átmenő egyenes egyenletét megkaphatjuk a két pont koordinátáiból. z egyik pont az origó, a másik pedig a háromszög súlypontja, amelyet a következőképp kaphatunk meg: B y yb y S ; S ; S ; y y két ponton áthaladó egyenes egyenlete: y Behelyettesítve a megfelelő koordinátákat: 0 0 y y y 0. - 8 -
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január 8. b) Mivel B oldal párhuzamos az -tengellyel, ezért az csúcsból erre az oldalra bocsátott magasságvonal T szakasz párhuzamos lesz y-tengellyel. Ebből következik, hogy oldal σ szöggel tér el az T szakasz egyenesétől. Így a háromszöget csúcs körül σ szöggel kell elforgatnunk ahhoz, hogy az oldal párhuzamos legyen az y-tengellyel. 6 7 8 7 7 7 cos cos cos 0,6 6 7 8 c) területek tekintetében úgy járunk el, hogy a teljes háromszög területéből kivonjuk a II., III. és IV. síknegyedbe eső területeket, ezek ugyanis egy derékszögű háromszögeket és két derékszögű trapézt formálnak meg. T T T T T I. II. III. IV. 67 7 T 79, kiszámításához szükségünk van oldal - és y- tengellyel vett metszéspontjaira, amelyet egyenletének segítségével kapunk meg. T II. : y 6 7 7 6y metszéspontok így: valamint Így T III. T IV. T II. 70 6y 0; 7 6 0 ; 0 7. területe, amely egy derékszögű háromszög, számolható: TII. 7 6 7 7 8.. kiszámításához szükség van B oldal -tengellyel vett metszéspontjára, melyet B egyenletének segítségével kaphatunk meg: T IV. 7 y 7 ; 0 B : 7 6. 7 8 6 6 TI. T TII. TIII. TIV.,,6. 7 7 keresett terület tehát: megoldást jelentő arányszám tehát TI.,6 = 0,8. T, σ B B Összesen: 6 pont - 9 -
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január 8. 8) Fehér és barna kockacukrokat kevertünk össze két különböző edényben. z elsőben fehér és barna, a másodikban pedig fehér és 6 barna kockacukor található. Bekötött szemmel, véletlenszerűen kiveszünk egy kockát az első tárolóból, majd áttesszük azt a másodikba. Ezt a mozdulatsort visszafelé is elvégezzük. a) Mekkora eséllyel húzunk a áttételt követően barna kockacukrot az első edényből? (0 pont) b) Mennyivel változik az esély akkor, ha a legelső húzásnál csaltunk egy picit és láttuk, hogy fehér kockacukrot húztunk? (6 pont) a) F-fel jelöljük azt, ha az adott húzásnál fehér kockacukrot, és B-vel, ha barnát húzunk. Négy különböző eseti valószínűséget kell figyelembe venni, melyek uniója lesz a megfejtés. FFB eset valószínűsége: FBB eset valószínűsége: BFB eset valószínűsége: BBB eset valószínsége: valószínűségek uniója pedig: 8 9 0 9 8 6 9 0 9 8 9 0 9 90 7 6 9 0 9 0. ( pont) 7 8 6 7 0,7 8 7 90 0. ( pont). ( pont). ( pont). ( pont) b) z előző négy vizsgált esetből az első kettőt kell vizsgálnunk úgy, hogy biztos eseménynek vesszük azt, hogy az első kockacukor fehér volt. ( pont) megváltozott valószínűség tehát: Így a valószínűség 7 0,0 6 0, 0 9 0 9. ( pont), tehát 0,0-dal nőtt. ( pont) Összesen: 6 pont - 0 -
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január 8. 9) dott az f 6- = + függvény. Milyen arányú területrészekre osztja az a függvénygörbe és az -tengely által közbezárt területet? feladatmegoldást első lépéseként egyszerűbb alakra hozzuk a függvényt: 6 6 f y = egyenes (6 pont) ( pont) Így a függvény egyértelműen egy konkáv parabola, amely 0-nál és -nél metszi az -tengelyt. területrészletek arányainak megadásához először integrálnunk kell a függvény a zárt 0; intervallumon. d d 0 0 0 ( pont) 0 0 0. ( pont) konstans egyenes két részre bontja a parabola függvénye alatti területet, a két függvény metszéspontjait kell első körben meghatároznunk. y y és 0 0, tehát a metszéspontok. ( pont) területrészek arányának meghatározásához elegendő az egyik rész területét kiszámolnunk. Vegyük észre, hogy ha a parabolát két egységgel balra és három egységgel lefelé eltolnánk, akkor az y egyenes pont egybeesne az -tengellyel. Így ezen területrész területe integrálszámítással számolható: d. Így a két területrész T, valamint területek aránya tehát: 8 T : 7 8 8 7 ( pont). ( pont). Összesen: 6 pont Maimális elérhető pontszám: 6 pont próbaérettségi során szerezhető maimális pontszám: pont - -