1. előadás Algebrai struktúrák: csoport, gyűrű, test

1. előadás Algebrai struktúrák: csoport, gyűrű, test Dr. Kallós Gábor 2012 2013 1 Tartalom Műveletek Félcsoport, monoid Csoport Részcsoportok Elem rendje Ciklikus csoportok Kis elemszámú csoportok megadása Gyűrű Részgyűrű Nullosztó, integritási tartomány Test Véges testek Testbővítések Algebrai és transzcendens elemek Feladatok 2

Műveletek Műveletek és tulajdonságaik Definíció: Legyen H tetszőleges halmaz, és jelölje H n a H halmaz elemeiből képzett n hosszú sorozatokat. Az f : H n H mindenütt értelmezett függvényt n-változós műveletnek nevezzük. Kétváltozós műveletek: egész számok összeadása, kivonása, szorzása f (a, b) = a + b, f (a, b) = a b, f (a, b) = a b (vagy: a b) Tipikusan infix jelölés, pl. +(a, b) helyett inkább a két elem közé írjuk a műveleti jelet Ha a művelet a, akkor azt gyakran nem írjuk ki (a b helyett ab) Háromváltozós művelet: vektorok vegyesszorzata Nem művelet: pozitív számok kivonása, f (a, b) = a b, hiszen ha a b, akkor nincs értelmezve Definíció: Egy H halmazon értelmezett kétváltozós műveletet (jelölés: ) kommutatívnak nevezünk, ha tetszőleges a, b H esetén a b = b a; asszociatívnak nevezünk, ha tetszőleges a, b, c H esetén (a b) c = a (b c) Ha az asszociativitás érvényes, akkor zárójeleket bárhova lehet tenni, vagy bárhol el lehet hagyni. (Ez az állítás teljes indukcióval n-tagú kifejezésekre is igazolható.) Az egész számok összeadása/szorzása kommutatív és asszociatív Az egész számok kivonása nem kommutatív Feladat: kommutatív-e a mátrixszorzás? 3 Félcsoport, monoid Definíció: Az S halmazt a rajta értelmezett művelettel félcsoportnak nevezzük, ha asszociatív. Ha kommutatív is, akkor kommutatív (vagy Abel-féle) félcsoportról beszélünk. A pozitív számok az összeadásra/szorzásra nézve (kommutatív) félcsoportot alkotnak Az nxn-es mátrixok a szorzással (nem kommutatív) félcsoportot alkotnak Definíció: Ha az S félcsoportban van olyan e egységelem, amelyikre igaz, hogy e a= a e = a, akkor e-t neutrális elemnek, vagy egységelemnek hívjuk, S-et pedig egységelemes félcsoportnak (monoid) nevezzük Az egységelem jelölése: gyakran 1, összeadás esetén 0 Megkülönböztethető bal- és jobboldali egységelem (R, +) a 0 neutrális elemmel monoid (R +, ) az 1 egységelemmel monoid Az nxn-es mátrixok a szorzás művelettel és az egységmátrixszal monoidot alkotnak (R +, +) nem monoid Feladat (Hf.): Keressünk olyan (nemtriviális) struktúrákat, amelyek egy adott struktúrarendszer feltételeit teljesítik, de egy szigorúbbat már nem! (Pl. félcsoport, de nem monoid.) 4

Csoport Definíció: Egy G halmazt a művelettel csoportnak nevezünk, ha (a b) c = a (b c), minden a, b, c G esetén (a művelet asszociatív) olyan e G, amelyre a e (= e a) = a, a G-re (van egységelem) a G-re a' G úgy, hogy a a' = a' a = e (van inverz) Ha a művelet kommutatív is, akkor kommutatív (vagy Abel-féle) csoportról beszélünk A csoport elemszámát G -vel jelöljük, és G rendjének nevezzük Megjegyzések Az a' elemet gyakran a 1 -nel jelöljük Az egységelem és az inverz csoportokban egyértelmű (nincs külön bal- és jobboldali) (R, +), (Q, +), (Z, +) a 0 neutrális elemmel Abel-csoport, (N, +) viszont nem (R +, ), (Q +, ) az 1 egységelemmel Abel-csoport Az nxn-es invertálható mátrixok a szorzás művelettel (nem kommutatív) csoportot alkotnak n elem permutációi (önmagára való bijektív leképezés) csoportot alkotnak a kompozícióra. A csoportot n-ed fokú szimmetrikus csoportnak (S n ) nevezzük, rendje n!. A szabályos n-szög egybevágóságai csoportot alkotnak, ahol a művelet az egymás után való elvégzés. A csoport egységeleme a helybenhagyás, a csoport rendje 2n, ugyanis van n darab tengelyes tükrözés és a helybenhagyással együtt n darab forgatás. Jelölés: D n (diédercsoport). Feladat: Igazoljuk, hogy csoport esetén az egységelem és az inverz egyértelmű! 5 Csoport Csoportizomorfizmus, részcsoportok Definíció: A G 1 és G 2 csoportokat izomorfaknak nevezzük, ha van köztük egy kölcsönösen egyértelmű, művelettartó leképezés, azaz olyan φ : G 1 G 2, amely bijektív, és tetszőleges g, h G 1 esetén φ(g)φ(h) = φ(gh) teljesül Jelölés: G 1 x G 2 (vagy G 1 x φ G 2 ) (R +, ) x (R, +), ahol a φ izomorfizmus minden valós számhoz hozzárendeli annak a logaritmusát, azaz φ(a) = log(a). A bijektivitás a logaritmus függvény monotonitásából adódik, a művelettartás pedig a log(ab) = log(a) + log(b) összefüggésből. D 3 x S 3, azaz a szabályos háromszög egybevágóságainak csoportja izomorf a harmadfokú szimmetrikus csoporttal. A transzformációk: tükrözések a tengelyekre {t 1, t 2, t 3 } és forgatások {r, r 2, r 3 = e}; mindkét csoportnak 6 eleme van. Definíció: Legyen G csoport. A H G részhalmazt részcsoportnak nevezzük, ha H is csoport ugyanarra a műveletre nézve. Jelölés: H G. Minden csoportnak részcsoportja maga a csoport, és az egységelemet tartalmazó egyelemű halmaz. Ezek a triviális részcsoportok. 6

Csoport Részcsoportok Részcsoport példák (valódi részcsoportok) (R, +), (Q, +), (Z, +) D 3 -nak részcsoportját alkotják a forgatások {r, r 2, r 3 = e} (r rotatio) Az nxn-es invertálható mátrixok csoportjának részcsoportja az 1 determinánsú mátrixok Az n-ed fokú szimmetrikus csoportnak (S n, permutációk) részcsoportját alkotják a páros permutációk (azaz: az inverziók száma bennük páros részletesen nem tárgyaljuk!) A nem 0 komplex számok a szorzásra nézve csoportot alkotnak. Ennek részcsoportját alkotják az 1 abszolút értékű komplex számok, annak pedig részcsoportját az n-edik egységgyökök. Feladat: Mi a gond itt a 0 elemmel? A részcsoport tulajdonság ellenőrzéséhez elég megnézni, hogy a, b H esetén a bés a 1 is H-beli Az asszociativitás ugyanis biztosan teljesül (öröklődik a csoportból), az egységelem pedig az inverzből megvan 7 Csoport Részcsoportok, elem rendje Állítás: Részcsoportok metszete is részcsoport Definíció: Legyen G csoport, és K G (K nem feltétlenül csoport). K által generált részcsoportnak nevezzük és K -val jelöljük a legkisebb K-t tartalmazó részcsoportot. (Ez nem más, mint a K-t tartalmazó részcsoportok metszete.) Egy elem által generált részcsoportok Ha a G, akkor a nyilván tartalmazza a a-t, a a a-t stb. Így értelmezhető a n, és érvényes a n + k = a n a k, ill. (a n ) k = a nk. Emellett a tartalmazza a 1 -et is, és ennek egész kitevős hatványait. Így a = {a n n Z} Két lehetséges eset: a összes hatványa különböző; Vannak olyan k, l egész számok, hogy a k = a l. Ekkor a k l = 1 (= e, azaz van a-nak olyan hatványa, ami egységelem). Elem rendje: a legkisebb olyan n szám, amelyre teljesül, hogy a n = 1. (Ha nincs ilyen szám: az elem végtelen rendű.) Jelölés: o(a), ordó a 8

Csoport Részcsoportok, ciklikus csoportok Állítás: Egy elem rendje megegyezik az általa generált részcsoport rendjével Definíció: Az egy elem által generált csoportokat ciklikus csoportnak nevezzük, és C n -nel jelöljük Következmény: Minden n > 0 egészre van n elemű csoport Az {1, a, a 2,, a n 1 } halmaz a fenti szorzással ilyen (n elemű ciklikus) n elemű ciklikus csoportra n-edik komplex egységgyökök a szorzásra Szabályos n-szög forgatásai Számok összeadása modulo n Állítás: Azonos rendű ciklikus csoportok izomorfak Állítás: Ciklikus csoport részcsoportja is ciklikus Lagrange tétele: Legyen G véges csoport és H G. Ekkor H rendje osztja G rendjét. Következmény: Egy elem rendje osztja a csoport rendjét Legyen G = p, ahol p prím. Ekkor az egységelemtől különböző csoportelem által generált csoport rendje csak p lehet, azaz: Minden prímrendű csoport ciklikus. (Tétel (véges Abel-csoportok alaptétele): Legyen A véges Abel-csoport. Ekkor A előáll prímhatvány rendű ciklikus csoportok direkt szorzataként. Az előállításban szereplő prímhatványok egyértelműek. Példa: n = 100-ra a felbontások 4 25 = 2 2 25 = 4 5 5 = 2 2 5 5, így izomorfia erejéig 4 darab 100 elemű csoport létezik.) 9 Csoport Csoportok megadása (kis elemszámokra) Művelettáblázat: Cayley-féle táblázat Definíció: Legyen G = {g 1, g 2,, g n } csoport. Ekkor azt az nxn-es táblázatot, amely i-edik sorának j- edik oszlopában g i g j áll, a csoport Cayley-táblázatának nevezzük. 1 elemű: csak egy darab van, az egységelemből álló 2 elemű: ha p prím, akkor a p-edrendű csoport ciklikus, ezért 2, 3, 5 és 7 elemű csoport csak egy darab van 4 elemű: izomorfizmus erejéig kettő ilyen van, az egyik C 4, a másik az ún. Klein-féle csoport (jelölés: V) Utóbbi izomorf C 2 C 2 -vel C 4 a négyzet forgási szimmetriáinak a csoportja, felírható {e, f, f 2, f 3 } alakban 6 elemű: izomorfizmus erejéig kettő ilyen van, az egyik C 6 x C 2 C 3, a másik a D 3 x S 3 Az első kommutatív, a második nem 8 elemű: izomorfizmus erejéig öt darab ilyen van A kommutatívak: C 2 C 2 C 2, C 2 C 4 és C 8 A nemkommutatívak: D 4, a másik pedig a kvaterniócsoport Q = {1, 1, i, j, k, i, j, k}, ahol i 2 = j 2 = k 2 = 1, ij = k, jk = i, ki = j (de: ji = k) 9 elemű: izomorfizmus erejéig kettő ilyen van C 9 és C 3 C 3 Feladat Jelöljük D 4 -ben a tükrözéseket rendre h-val (horizontális), v-vel (vertikális), d-vel (dexter, jobb) és s-sel (sinister, bal), a forgatások pedig legyenek {r, r 2, r 3, r 4 = e}. Ekkor D 4 -ben részcsoportok: {r, r 2, r 3, e}, {r 2, h, v, e} és { r 2, d, s, e}. Utóbbiak izomorfak egymással és a Klein-csoporttal. 10

Gyűrű Meghatározás Definíció: (R, +, ) gyűrű, ha (R, +) Abel-féle csoport, (R, ) félcsoport, és teljesül a jobb- és baloldali disztributivitási törvény Azaz másként a + b = b + a, a, b R esetén (i) (a + b) + c = a + (b + c), a, b, c R esetén (ii) olyan R-beli elem (jelöljük 0-val), amelyre a + 0 = 0 + a = a, a R-re (iii) a R-re a' R úgy, hogy a + a' = 0 (iv) (a b) c = a (b c), a, b, c R esetén (v) (a + b) c = a b + b c, a, b, c R esetén (vi) c (a + b) = c a + c b, a, b, c R esetén (vii) Megjegyzések Ha a szorzás is kommutatív, akkor kommutatív gyűrűről beszélünk Ha van a szorzásra nézve egységelem, akkor egységelemes gyűrűről beszélünk (iii)-ben: nullelem (iv)-ben: ellentett (a + műveletre), a Kivonás művelet: a + ( b) = a b A gyűrű megnevezést önmagában R-re is használjuk A műveletet gyakran itt sem írjuk ki (elég ab) 11 Gyűrű Állítás: Egy gyűrűben teljesülnek azok a műveleti tulajdonságok, amelyeket elvárunk, azaz ha R gyűrű és a, b R, akkor a nullelem és az ellentett egyértelmű, 0a = a0 = 0, ( a)b = ab és ( a)( b) = ab. (Z, +, ) kommutatív, egységelemes gyűrű; hasonlóanq, R, és C is Az m-mel osztható egész számok kommutatív gyűrűt alkotnak a szokásos műveletekre Jelölés: m Z Az nxn-es mátrixok (lehet: komplex, valós, racionális, egész) nemkommutatív gyűrűt alkotnak a mátrixösszeadásra és a szorzásra. Az egységelem az egységmátrix. A komplex (lehet még: valós, racionális, egész) együtthatós polinomok gyűrűt alkotnak a polinomösszeadásra és a szorzásra. Jelölés: C[x] (illetve R[x], Q[x], Z[x]). A valós függvények 2 gyűrűt alkotnak az (f + g)(x) = f(x) + g(x) és (f g)(x) = f(x) g(x) műveletekkel Változat: az [a, b] intervallumon értelmezett, és a folytonos függvényekre is igaz a kijelentés 12

Nullosztó, integritási tartomány Definíció: Legyen R gyűrű. Az a ( 0) R elemet baloldali (jobboldali) nullosztónak nevezzük, ha van hozzá olyan b ( 0) R, hogy ab = 0 (ba = 0). Egy gyűrűben pontosan akkor van baloldali nullosztó, ha van jobboldali is Az R gyűrűt nullosztómentesnek nevezzük, ha nincs benne nullosztó. A kommutatív nullosztómentes gyűrű neve integritási tartomány. Azaz: a b = 0 a = 0 vagy b = 0, a, b R esetén Ekvivalens definíció: Az integritási tartomány egy olyan kommutatív gyűrű, amelyben teljesül az egyszerűsítési szabály, azaz a b = a c és a 0 b= c és a, b, c R esetén Z és 2 Z integritási tartomány Z 6 -ban 2 3 = 0, ezért a 2, ill. a 3 nullosztók. Általánosan is igaz, hogy ha m nem prím, akkor Z m -ben található nullosztó. A Gauss-egészek, valamintz ( 5) integritási tartomány Egy nxn-es A mátrix baloldali nullosztó, ha az A B = 0 mátrixegyenletnek van 0-tól különböző megoldása, azaz ha A nem invertálható (az A x = 0 lineáris egyenletrendszernek van nemtriviális megoldása). Ugyanezzel ekvivalens az, hogy A jobboldali nullosztó. Feladatok Adjuk meg az összes nullosztót Z 8 -ban és Z 10 -ben! Adjunk meg olyan m-et, hogy Z m -ben csak pontosan egy nullosztó legyen! 13 Részgyűrű Definíció: Legyen R gyűrű. Az R' R részhalmazt az R részgyűrűjének nevezzük, ha R' is gyűrű ugyanazokra a műveletekre nézve. Jelölés: R' R. R és {0} mindig részgyűrűk, ezeket triviális, az ettől eltérő részgyűrűket pedig valódi részgyűrűknek nevezzük Állítás: Legyen R gyűrű. Az R' R részhalmaz az R részgyűrűje, ha zárt a műveletekre, és minden elemmel együtt benne van annak ellentettje is. Az egész számok részgyűrűjét alkotják az m-mel osztható egész számok (m Z) Q részgyűrűjer-nek, R pedig részgyűrűjec-nek Az nxn-es mátrixoknak (lehet: komplex, valós, racionális, egész) részgyűrűjét alkotják azok a mátrixok, amelyeknek az utolsó sora és az utolsó oszlopa 0 Állítás: Z minden részgyűrűje megkapható m Z alakban Bizonyítás: Legyen R Zés R {0}. Ekkor R-ben van pozitív elem, legyen a legkisebb ilyen m. Megmutatjuk, hogy R az m többszöröseiből áll. Válasszunk egy tetszőleges s R elemet. Találhatók olyan q és r számok, hogy s = qm + r. Mivel m volt a legkisebb pozitív elem, ezért csak r = 0 lehet. 14

Test Definíció: Egy R egységelemes gyűrűt ferdetestnek nevezünk, ha a szorzásra nézve is van inverz, azaz 0 a R-hez a' R úgy, hogy aa' = 1 Egy ferdetestet testnek nevezünk, ha a szorzás is kommutatív Gyakran a ferdetestet hívják testnek, a testet pedig kommutatív testnek Állítás: A ferdetest nullosztómentes Feladat: Igazoljuk az állítást! Q, R és C testet alkotnak a szokásos műveletekre Z 2 test. Igazolás: Az elemek {n 0, n 1 } = {0, 1}, elég ellenőrizni, hogy 1-nek van inverze; ez pedig 1 1 = 1 miatt önmaga. Z 5 test. Igazolás: Az elemek {n 0, n 1, n 2, n 3, n 4 } = {0, 1, 2, 3, 4}, elég ellenőrizni, hogy az 1, 2, 3 és 4 elemeknek van inverze. Itt 1 1 = 1, 2 3 = 6 = 1, 4 4 = 16 = 1, azaz az 1 és 4 inverze önmaga, a 2 és 3 pedig egymás inverzei. Azok a speciális 2x2-es mátrixok, ahol A 1, 1 = a, A 1, 2 = b, A 2, 1 = b, A 2, 2 = a, testet alkotnak a mátrixműveletekre A valós számtest feletti racionális törtfüggvények halmaza testet alkot a szokásos műveletekre Q ( d ) test, ahol d négyzetmentes szám. (Igazolni kell, hogy a struktúra gyűrű, és van multiplikatív inverz, ) 15 Test (folyt.): A kvaterniók ferdetestet alkotnak Elemek: a + bi + cj + dk alakú számok, ahol a, b, c, d R Az összeadás az elemenkénti összeadás, az i, j, k elemek pedig úgy szorzódnak, mint a kvaterniócsoportban Ferdetest tulajdonság: például ij ji (Nem igaz az sem, hogy itt egy n-edfokú polinomnak legfeljebb n gyöke lehet; példa: x 2 + 1 polinom, ennek gyöke minden bi + cj + dk alakú szám, ahol b 2 + c 2 + d 2 = 1, tehát végtelen sok gyöke van) Tétel (Frobenius): Legyen K a valós számokat tartalmazó ferdetest. Ekkor K izomorf a komplex számok vagy a kvaterniók valamelyikével. Azaz a fentieken túl nem lehet más, valós számokat tartalmazó (ferde)testet szerkeszteni Állítás: Minden véges integritási tartomány test Bizonyítás (ötlet): Meg kell mutatni az egységelem és a rá vonatkozó inverz létét Következmény: Z m pontosan akkor test, ha m prím Bizonyítás: Z m akkor nullosztómentes, ha a, b Z m esetén ab = 0-ból a = 0 vagy b = 0 következik, azaz m ab esetén m a vagy m b. Ez pont a prímtulajdonság. A Z p gyűrűt, ha testként gondolunk rá, F p -vel is jelöljük 16

Testbővítések Definíció: Legyenek L K testek. L-et K résztestének, K-t L bővítésének nevezzük. A K L párt testbővítésnek nevezzük. K vektortér L felett. A K test L feletti dimenzióját (dim L (K)) a testbővítés fokának hívjuk, és K : L -lel jelöljük. Ha ez véges, akkor véges bővítésről beszélünk. Vektortér meghatározása Tétel (fokszámok szorzástétele): Legyenek K L M. Ekkor M : K = M : L L : K. A C R pár véges testbővítés, foka 2, C = R(i) (Itt: C és R között nincs további test) Q ( d ) Q másodfokú bővítése Q-nak Az R(x) R pár végtelen bővítés. Az x, x 2,, x n, elemek lineárisan függetlenek R felett. Az R Q bővítés is végtelen Kérdés: mit tudunk mondani a Q Z bővítésről? A triviális résztest és a valódi résztest a korábbiakhoz hasonlóan értelmezhető Definíció: Egy testet prímtestnek nevezünk, ha nincs valódi részteste Tétel: Minden test tartalmaz prímtestet. Q és F p prímtestek. Más prímtest nincs. Az igazolás két ágon fut le aszerint, hogy az 1 + 1 + 1 + összeg lehet-e 0 (ha nem: 0 karakterisztikájú a test) 17 Testbővítések Állítás: Legyen K véges test. Ekkor K elemszáma prímhatvány. Jelölés (gyakran): GF(p n ), ahol GF a Galois Field rövidítése Igaz továbbá az is, hogy minden q prímhatványra létezik olyan elemszámú véges test Megj.: A véges testek fontos szerephez jutnak a kódelméletben és kriptográfiában. Ezzel még később foglalkozunk. Feladatok Melyik a legegyszerűbb véges test? Adjuk meg az elemeket, az összeadó és a szorzótáblát! Adjuk megz 5 -ben az elemek összeadási és szorzási tábláját. Ellenőrizzük a táblázat segítségével (is) az inverzek létezését! Adjuk megz 6 -ban az elemek összeadási és szorzási tábláját. A nullosztók bemutatásával szemléltessük így is, hogy a struktúra nem test. Definíció: Legyen L K testbővítés, és a L. Az a elemet algebrai elemnek nevezzük (K felett), ha van olyan f K[x] polinom, amelyre f 0 és f(a) = 0. Ha nincs ilyen polinom, akkor az elemet transzcendens elemnek nevezzük. A L K bővítés algebrai, ha L minden eleme algebrai K felett. Az R Q testbővítésben a 2013 2012 és a 2 + 1 elemek algebraiak, hiszen gyökei az f(x) = x 2013 2012 illetve a g(x) = x 2 2x 1 polinomoknak. Ugyanakkor e és pi transzcendens elemek (ezt nem könnyű igazolni). R Q tehát nem algebrai bővítés. 18

Testbővítések (folyt.) A C R bővítés algebrai, hiszen z C esetén z gyöke az f(x) = x 2 (z + z')x + z z' valós együtthatós polinomnak (ahol z' a z konjugáltja) Állítás: Minden véges testbővítés algebrai Az állítás az előző példa általánosításaként igazolható. Legyen dim K (L) = n, és a L. Ekkor az 1, a, a 2,, a n elemek lineárisan összefüggőek K felett, így vannak olyan α i K elemek, hogy Ʃ n i α i a i = 0. Ekkor tehát a gyöke az f(x) = Ʃ n i α i a i polinomnak. Állítás: GF(p n ) egy GF(p) felett irreducibilis n-edfokú polinom segítségével konstruálható Állítás: Algebrai bővítés algebrai bővítése is algebrai Következmény: Legyenek α, β algebraiak a K test felett. Ekkor α + β, α β, αβ, α/β is algebrai K felett. A K felett algebrai számok testet alkotnak. Az állítás jelentőségét az adja, hogy noha nem minden esetben könnyű megfelelő polinomot megadni egy-egy ilyen szám esetén mégis nyilvánvaló, hogy algebrai Tétel: Legyen K egy 0 karakterisztikájú test, L K véges testbővítés. Ekkor L előáll egyetlen elem hozzáadásával (adjungálásával) K-ból, azaz minden véges testbővítés egyszerű. 19 Feladatok, gyakorlat Excel (Calc), Maple vagy Matlab programban nézzük meg, hogy az nxn-es mátrixok Összeadása és szorzása elvégezhető (és a struktúra zárt); A szorzás általában nem kommutatív; Létezik egységelem; Létezik inverz (szorzásra: ha a determináns nem 0). (Változat: Papíron nézzük meg 2x2-es mátrixokra.) Tudjuk, hogy az nxn-es mátrixok a szorzással félcsoportot alkotnak, tehát a művelet asszociatív. Következik ebből, hogy egy gépi szorzásnál mindegy, hogy hogyan zárójelezünk? Végezzünk hatékonysági számítást, példa: C-L-R könyv, dinamikus programozásos feladat! Állítsuk elő a komplex n-edik egységgyököket Maple-ben! A Maple hatékony támogatást nyújt a véges testekben való számoláshoz (GF külső könyvtár, lásd a mellékelt munkalapon). Írjunk kis programot, amely előállítja GF(p n )- ben a testelemek összegét és szorzatát! Elemezzük a struktúrát GF(3), GF(5), GF(7), illetve GF(4) és GF(9) esetén! Elemezzük a gépi aritmetika sajátosságait! Mindig kommutatív és asszociatív a gépi számolás? Határozzuk meg a gépi epszilon értékét különböző környezetekben (pl. Excel, Calc)! Jellemezzük Q ( 2, 3) elemeit! Milyen alakba írhatók? Melyik lehet az az egyetlen elem, amelynek adjungálásával előáll a struktúra Q-ból? Mennyi a bővítés foka Q felett? 20

Gyakorlat nxn-es mátrixok vizsgálata 21 Gyakorlat nxn-es mátrixok vizsgálata 22

Gyakorlat nxn-es mátrixok vizsgálata 27 Gyakorlat véges test konstrukció 28

Gyakorlat véges test konstrukció 29 Gyakorlat véges test konstrukció 30

Gyakorlat gépi epszilon 31 Ajánlott irodalom Katona Gyula, Recski András, Szabó Csaba: A számítástudomány alapjai, Typotex Kiadó, Budapest, 2003 Molnárka Győző és társai: Bevezetés a MapleV használatába, Springer, Budapest, 1996 Hujter Mihály: Betekintés a Matlab programrendszerbe, elektronikus segédanyag Cormen, Leiserson, Rivest: Algoritmusok, Műszaki Kiadó, Budapest, 2000- (több kiadás) 32