86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek mérhetők és négyzetesen integrálhatók [,]-n, azaz f dm <. Mint azt már korábban láttuk, a skaláris szorzat definíciója ezen a téren f,g f g dm. A továbbiakban ebben a fejezetben a ebesgue-integrálokat is egyszerűen ftgt dt-vel jelöljük. Tekintsük a [,] intervallumon definiált t e ikt komplex értékű függvények rendszerét: S def { e ikt : k, ±1, ±,... Megmutatjuk, hogy S ortogonális rendszer [,], C-ben. 5.1. Állítás. Az 5.1 képlettel definiált S függvényrendszer ortogonális rendszer az [,], C Hilbert-térben. Bizonyítás: egyen k l, és tekintsük következő skaláris szorzatokat: } 5.1 e ikt,e ilt 1 ik l e ikt e ilt dt [e ik lt] t t e ikt e ilt dt e ik lt dt 1 [ ] e ik l 1 ik l. Tehát S egy ortogonális rendszert alkot [,], C-ben. Számítsuk ki S elemeinek normáit: e ikt e ikt,e ikt ha k Z. Ezért definiáljuk az e ikt e ikt dt 1/ S C def e ikt e ikt dt 1/ { } 1 e ikt : k, ±1, ±,... dt 1/, 5. 5.3 függvényrendszert. Ez már ortonormált rendszer lesz [,], C-ben, sőt belátható, hogy maximális is: 5.. Tétel. Az 5.3 képlettel definiált S C halmazrendszer maximális ortonormált rendszer az [,], C Hilbert-térben. Alkalmazható tehát az S C függvényrendszerre a 4.9. Tétel, azaz például az [,], C tér elemeit az S C rendszerre vonatkozó Fourier-sorba fejthetjük, és a Fourier-sor konvergál az normában az adott függvényhez. A 4.9. Tétel jelölését használva: f k Z f, 1 e ikt 1 e ikt.
5. Fourier-elmélet 87 Ennek megfelelően az f [,], C komplex trigonometrikus Fourier-során az ft k végtelen sort értjük, ahol a c k Fourier-együtthatók képlete c k 1 1 f, e ikt 1 c k e ikt 5.4 Azt mondjuk, hogy a t [,] pontban az f Fourier-sora konvergens, ha az s n t n k n c k e ikt, n 1,,..., fte ikt dt. 5.5 szimmetrikus részletösszegek sorozata konvergens, n esetén. Azt mondjuk, hogy az f függvény Fourier-sora normában vagy négyzetintegrálban konvergál az f függvényhez, ha f s n ft s n t dt, ha n. Világos az eddigiek alapján, hogy a négyzetintegrálban való konvergenciából nem következik a pontonkénti konvergencia. A definícióból, a skaláris szorzat linearitásából és a konvergens sorok tulajdonságaiból rögtön következik, hogy a Fourier-sor számítása lineáris művelet az alábbi értelemben: 5.3. Állítás. egyen f 1,f [,], C, α C. Ekkor 1. az f 1 + f függvény Fourier-sora az f 1 és f függvények Fourier-sorainak összege,. az αf 1 függvény Fourier-sora az f 1 függvény Fourier-sorának α-szorosa. Az S C halmazrendszer maximalitásából és a 4.9. Tételből rögtön következik az alábbi eredmény. 5.4. Tétel. egyen S C az 5.3 képlettel definiált halmazrendszer. Ekkor a következő állítások teljesülnek. 1. Ha valamely f [,], C függvényre c k 1 fte ikt dt, k, ±1, ±,... azaz az f függvény Fourier-együtthatói nullák, más szóval az f merőleges az S C halmazra f S C, akkor ft, m.m. t [,]-re.. Az f függvény Fourier-sora négyzetesen konvergál az f függvényhez, azaz n ft c k e ikt dt, ha n. 3. Teljesül a Parseval-azonosság, azaz k n 1 f 1 ft dt k c k lim n n k n c k.
88 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 Bizonyítás nélkül tekintsük az alábbi fontos eredményt. 5.5. Tétel Riesz Fisher-tétel. Tetszőleges olyan γ k C, k, ±1, ±,..., konstansokhoz, amelyekre γ k < k teljesül, létezik olyan f [,], C függvény, hogy γ k 1 fte ikt dt c k azaz γ,γ ±1,γ ±,... az f függvény Fourier-együtthatói, és négyzetintegrálban konvergál f-hez. k γ k e ikt A Riesz Fisher-tételt alkalmazva kapjuk, hogy ha egy f [,], C függvényhez hozzárendeljük a Fourier-együtthatóinak c k k Z két irányban végtelen sorozatát, akkor egy lineáris izomorfiát kapunk a [,], C és a négyzetesen összegezhető két irányban végtelen sorozatok Banach-tere között. Ha ebben a térben egy c k k Z sorozat normáját a c k k c k 1/ képlettel értelmezzük, akkor a fenti lineáris izomorfia izometria is lesz a Parseval-formula miatt. 5.6. Megjegyzés. Ha f és g két szerint periodikus függvény, akkor ftgt dt ftgt dt, ezért az S C függvényrendszer az [,π], C Hilbert-téren is maximális ortonormált, továbbá az S C -re vonatkozó Fourier-sor az [,π], C Hilbert-téren is 5.4 alakú lesz, ahol a c k Fourier-együtthatókat a c k 1 fte ikt dt képlettel számoljuk ki. 5.7. Megjegyzés. Az előbbi meggondolást általánosíthatjuk. Ha f és g két szerint periodikus függvény, akkor az ft f t b a és gt g t b a összetett függvények b a szerint periodikus függvények lesznek, és b a ft gt dt b a f t t g dt b a b a b a b b a a b a fxgx dx b a fxgx dx, speciálisan, f [a,b],c b a f [,],C.
5. Fourier-elmélet 89 Ezért az S C halmaz elemeit a b a együtthatóval megszorozva és új változót bevezetve tekintsük az [a,b] intervallomon értelmezett t 1 ik b a e b a t függvényekből álló { } def 1 ik S [a,b] e b a t : k, ±1, ±,... b a függvényrendszert. Ez maximális ortonormált rendszer lesz az [a,b], C Hilbert-téren. Egy f [a,b], C függvény Fourier-során ezért az ik f c k e b a t k végtelen sort értjük, ahol a c k Fourier-együtthatók képlete c k 1 b a b a ik fte b a t dt, k, ±1, ±,.... Az 5.4. Tétel értelemszerűen kiterjeszthető [a,b], C-re. 5.. Valós trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,π], R Hilbert-teret. egyen S def {1,cos x,sin x,cos x,sin x,cos 3x,sin 3x,...,cos kx,sin kx,...} a [,π]-n értelmezett függvények halmaza. Megmutatjuk, hogy az S halmaz ortogonális rendszer [,π], R-ben. 5.8. Állítás. Az S függvényhalmaz ortogonális rendszer az [,π], R Hilbert-térben. Bizonyítás: Az állítás direkt módon is könnyen belátható, de most mi az S ortogonalitását az előző szakaszban bevezetett S függvényhalmaz ortogonalitását felhasználva indokoljuk. egyen k N. A cos kx eikx + e ikx és sin kx eikx e ikx i Euler-képletek értelmében sinkx és cos kx lineáris kombinációja az e ikx és e ikx függvényeknek. Ez persze fordítva is teljesül, az e ikx és e ikx függvények is felírhatók sinkx és cos kx lineáris kombinációjaként. Ezért a 4.81. Állítás szerint, ha egy függvény ortogonális az e ikx és e ikx függvényekre, akkor ortogonális a sin kx és cos kx függvényekre is. Ezért az 5.6. Megjegyzést alkalmazva kapjuk, sinkx és cos kx is ortogonális bármely e ilx függvényre, ahol l k. De ekkor a fentiekből következik, hogy sinkx és cos kx ortogonális bármely sin lx és cos lx függvényre, valamint a konstans 1 függvényre is. Most már csak azt kell belátni, hogy sinkx és cos kx egymásra is ortogonális. Az 5.1. Állítás és 5. alapján kapjuk e ikx + e ikx cos kx,sin kx, eikx e ikx i 1 e ikx,e ikx e ikx,e ikx + e ikx,e ikx e ikx,e ikx 4ī 1 + 4ī Ezzel a bizonyítás teljes..
9 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 Számítsuk ki S elemeinek normáját. egyen k. Ekkor e ikx + e ikx cos kx, eikx + e ikx 1/ 1 e ikx,e ikx + e ikx,e ikx + e ikx,e ikx + e ikx,e ikx 1 1/ + + + Hasolóan kapjuk, hogy π. e ikx e ikx sin kx, eikx e ikx 1/ π, i i valamint a konstans 1 függvény normája Kaptuk tehát a következő eredményt: 1/ 1 1dx. 1/ 5.9. Állítás. Az S R def { 1, cos x, sin x, cosx } sin x cos kx sin kx,,...,,... π π π π π π 5.6 függvényrendszer ortonormált rendszer az [,π], R Hilbert-térben. A 4.9. Tétel szerint az [,π], R tér elemeit az S R rendszerre vonatkozó Fourier-sorba fejthetjük, és a Fourier-sor konvergál az normában az adott függvényhez. A 4.9. Tétel jelölését használva: fx 1 1 fx, + cos kx cos kx fx, + π π sin kx sin kx fx,. π π Ennek megfelelően az f [,π], R valós trigonometrikus Fourier-során az fx a + a k cos kx + b k sinkx 5.7 végtelen sort értjük, ahol az a,a 1,...,b 1,b,... Fourier-együtthatók képlete a k 1 π b k 1 π fxcos kxdx k,1,...,n,... 5.8 fxsin kxdx k 1,,...,n... 5.9 A 4.9. Tételből rögtön következik az 5.4. Tétel valós Fourier-sorokra vonatkozó alakja. 5.1. Tétel. egyen S R az 5.6 képlettel definiált halmazrendszer. Ekkor
5. Fourier-elmélet 91 1. Ha valamely f [,π], R függvényre és a k 1 π b k 1 π ftcos kxdx, k,1,... ftsin kxdx, k 1,,..., azaz az f függvény összes Fourier-együtthatója nulla, más szóval az f merőleges az S R halmazra, akkor fx, m.m. x [,π]-re.. Az f függvény Fourier-sora négyzetintegrálban konvergál az f függvényhez, azaz fx a n a k cos kx + b k sinkx dx, n. 3. Parseval-azonosság: a + a k + b k 1 π f xdx. A Riesz Fisher-tétel valós Fourier-sorokra vonatkozó alakja: 5.11. Tétel Riesz-Fischer tétel. Tetszőlegesen előírt a,a k,b k k 1 valós számokhoz, amelyekre a + a k + b k <, van olyan f [,π], R függvény, hogy a,a 1,...,a k,...,b 1,...,b k,... az f függvénynek az S R rendszerre vonatkozó Fourier-együtthatói. Az 5.7. Megjegyzésnek megfelelően egy tetszőleges [,] halmazon értelmezett valós függvénynek értelmezhetjük a Fourier-sorát. 5.1. Megjegyzés. Tekintsük a [,] intervallumon értelmezett { πx πx x x def 1 cos S R, sin, cos, sin,,,..., cos kπx, } kπx sin,... függvényrendszert. Ez maximális ortonormált rendszer lesz az [,], R Hilbert-térben. Egy f [,], R függvény Fourier-során az fx a + a k cos kπx + b k sin kπx végtelen sort értjük, ahol az a k,b k Fourier-együtthatók képlete a k 1 b k 1 f xcos kπx f xsin kπx dx, k,1,..., dx, k 1,,.... 5.1 Most megmutatjuk, hogy valós függvényekre a komplex trigonometrikus Fourier-sor egybeesik a valós trigonometrikus Fourier-sorral.
9 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5.13. Állítás. egyen f [,π], R. Ekkor f-nek az S C és az S R rendszerekre vonatkozó Fourier-sora megegyezik. Bizonyítás: egyen f [,π], R valós függvény, és legyenek a c k,a k és b k konstansok az 5.5, 5.8 és 5.9 képletekkel definiálva. Ekkor az f komplex Fourier-sora fx k c k e ikx c + c k e ikx + Másrészt az Euler-azonosság alapján és így c k 1 fue iku du 1 1 k c k e ikx c + c k e ikx + c k e ikx. fucos kudu i 1 fusin kudu c k 1 fue iku du 1 fucos kudu + i 1 fusin kudu c k, Ezt felhasználva fx k c k e ikx c k e ikx c k e ikx, k 1,,.... c k e ikx c + c k e ikx + c k e ikx c + Re c k e ikx. Ugyanakkor [ Re c k e ikx 1 π Re 1 π fucos kudu π a k cos kx + b k sin kx, fucos kudu i 1 1 cos kx + π fusin kudu fusin kudu ] cos kx + isin kx sinkx továbbá Ezért fx k c a 1 fxdx. c k e ikx a + a k cos kx + b k sin kx. Azt mondjuk, hogy az f függvény Fourier-sora tiszta szinuszos sor, ha csak szinuszos tagokat tartalmaz, azaz a k minden k,1,,...-re. Ha pedig f Fourier-sora csak koszinuszos tagokat tartalmaz, azaz b k minden k 1,,...-re, akkor azt mondjuk, hogy a Fourier-sor tiszta koszinuszos sor. 5.14. Állítás. egyen f [,], R. 1. Ha f páratlan függvény, akkor a Fourier-sora tiszta szinuszos sor.. Ha f páros függvény, akkor a Fourier-sora tiszta koszinuszos sor.
5. Fourier-elmélet 93 Bizonyítás: 1. Tegyük fel, hogy f páratlan. Ekkor az fxcos kπx a k 1. Ha f páros, akkor az fxsin kπx b k 1 fxcos kπx dx, k,1,,.... függvény lesz páratlan, ezért függvény is páratlan, ezért fxsin kπx dx, k 1,,.... 5.15. Példa. Tekintsük a szerint periodikus f : R R függvényt, amelyre f x x, ha π x < π. Fejtsük f-et Fourier-sorba! Vegyük észre, hogy f páratlan függvény, így csak a szinuszos tagok együtthatóit kell kiszámolni: Parciális integrálással kapjuk xsin kxdx [ x [ x b k 1 π ] cos kx π k cos kx k xsin kxdx. + 1 cos kxdx k [ ] sin kx π ] π + 1 k k cos kπ + cos kπ + 1 k k k sin kπ 1 k sin kπ k cos kπ. Tehát és így b k k cos kπ k 1k, k 1,,..., sin x sin 3x sin 4x fx sin x + +. 3 4 5.16. Példa. Tekintsük most a szerint periodikus f : R R függvényt, amelyre f x x, ha x <. Az előző példához hasonló módon végigszámítható, hogy b k 1 xsin kπx dx kπ 1k, k 1,,..., így fx π sin πx x sin + sin 3πx 3 sin 4πx 4 +.
94 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 Ezt az eredményt megkaphatjuk úgy is, hogy definiáljuk a gt f π t, t R függvényt. Ekkor g szerint periodikus és gt πt, ha t [,π, így az előző példából is megkapható a sorfejtés. 5.17. Példa. egyen f : R R olyan α szerint periodikus függvény, amelyre fx sin x, α < x < α, ahol α olyan valós szám, amelyre α > és α kπ, k 1,,.... Mivel f páratlan függvény, a Fourier-sora csak szinuszos tagokat tartalmaz, amelyek együtthatói b k b k α és b k α 1 α 1 α α α α α sinxsin kπx α dx kπ kπ cos α 1 x cos α + 1 xdx [ 1 sin kπ α 1 x α kπ α 1 sin kπ α + 1 x kπ α + 1 1 sinkπ α sin kπ + α α kπ α 1 kπ α + 1 1 α 1 α sinkπ cos α cos kπ sinα kπ α 1 1 k sin α 1 kπ α 1k sin α α 1k sin α kπ α + 1 kπ α + 1 1 + kπ α 1 kπ α kπ α + 1 kπ 1 k sin α α kπ. Tehát az f függvény Fourier-sora: fx sin α ] xα x α 1 k k α sin kx. kπ sin kπ cos α + cos kπ sin α kπ α + 1 Vizsgáljuk azt az esetet, amikor α π. Ekkor k 1-re a Hospital-szabályt alkalmazva kapjuk egyébként pedig lim b sin α cos α 1α lim α π α π α π lim 1, α π α lim b kα, k,3,.... α π Tehát a Fourier-sor együtthatói tartanak a periodikus sin x függvény Fourier-sorának együtthatóihoz.
5. Fourier-elmélet 95 5.3. Valós Fourier-sorok pontonkénti konvergenciája 5.18. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f : R R valós függvény szakaszonként folytonosan differenciálható, ha bármely korlátos [a, b] intervallumon véges sok szakadási pontja van, bármely x szakadási pontjában léteznek az fx + lim x x + fx, fx lim x x fx egyoldali függvényhatárértékek és az f fx fx + x + lim, f fx fx x lim x x + x x x x x x egyoldali deriváltak, továbbá bármely két szakadási pontja közötti nyílt intervallumon folytonosan differenciálható. Bizonyítás nélkül tekintsük a következő eredményt, amely a Fourier-sorok pontonkénti konvergenciájára vonatkozik. 5.19. Tétel. egyen f : R R szakaszonként folytonosan differenciálható szerint periodikus függvény. Ekkor bármely x R pontban az f függvény S R, rendszerre vonatkozó 5.1 Fouriersora konvergál az fx+ + fx határértékhez. Speciálisan, ha f folytonos az x pontban, akkor a Fourier-sora x-ben konvergál az fx függvényértékhez. Ha egy f [,π], R függvény Fourier-sorának pontonkénti konvergenciáját vizsgáljuk, akkor először periodikusan kiterjesztjük f-et R-re, és a kiterjesztett függvényre alkalmazzuk a tételt. Megjegyezzük, hogy a periodikus kiterjesztés csak akkor lehetséges, ha f fπ. Egyébként vagy az f vagy az fπ függvényértéket használjuk a periodikus kiterjesztéshez, azaz a kiterjeszett függvény egy pontben nem egyezik meg az eredeti függvénnyel. Viszont a két függvény Fourier-együtthatói, és így a Fourier-sora is megegyezik. 5.. Példa. Tekintsük újra az 5.15. Példában kiszámított Fourier-sort. Az előbbi tételt alkalmazva kapjuk, hogy a Fourier-sor pontonként konvergens, és sin x sinx { sin 3x sin 4x x, < x < π, + + 3 4, x és x π. A Fourier-sor n-edik részletösszegét jelölje f n x def sin x sin 3x sin 4x sin x + + 1 3 4 nsin nx n A következő ábrán az f,f 4 és f 6 közelítő összegek grafikonja látható. Ebből is érzékelhető a Fourier-sor konvergenciája..
96 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 3 1 f f 4 f 6 8 6 4 1 4 6 8 3 Az f x, f 4 x és f 6 x részletösszegek grafikonja. A Fourier-sorok egyik legfontosabb alkalmazási területe a parciális differenciálegyenletek elméletében található, ahol bizonyos feladatokat a megoldások Fourier-sorba fejtésével oldunk meg. Az egyik kulcs kérdés a módszer alkalmazásánál, mikor lehet differenciálni a Fouriersort, ill. a végtelen összeg deriváltját tagonkénti differenciálással kiszámolni. Erre ad választ a következő tétel, amit szintén bizonyítás nélkül közlünk. 5.1. Tétel. egyen f : [, π] R folytonos, szakaszonként folytonosan differenciálható, továbbá f fπ. Ekkor az f függvény Fourier-sora abszolút és egyenletesen konvergál a [,π] intervallumon az f függvényhez, azaz fx a + a k cos kx + b k sin kx, ahol a k,b k az 5.8 és 5.9 képletekkel definiált Fourier-együtthatók. Továbbá, f Fourier-sorát f Fourier-sorának tagonkénti differenciálásával megkaphatjuk, azaz f x ka k sin kx + kb k cos kx. Minden olyan x pontban, ahol f x létezik, az előző reláció egyenlőséggel helyettesíthető. Az 5.19. és 5.1. Tételeket nyilvánvaló módon terjeszthetjük ki arra az esetre, amikor az f függvény a [,] szimmetrikus intervallumon definiált. 5.4. Tiszta koszinuszos és szinuszos Fourier-sorok Ebben a szakaszban azzal a kérdéssel foglalkozunk, hogyan lehet Fourier-sorba fejteni egy [,] alakú intervallumon definiált függvényt. Egy természetes ötlet erre az, hogy kiterjesztjük a függvényt a [, ] intervallumra, és a kiterjesztett függvénynek számítjuk ki a Fourier-sorát. Ekkor az 5.19. Tételben megadott feltételek teljesülése esetében a Fourier-sor konvergál a kiterjeszett függvényhez, ill. [, ]-re leszűkítve a Fourier-sor értelmezési tartományát, az eredeti függvényhez. Két speciális esetet vizsgálunk: páros ill. páratlan függvényként terjesztjük ki a függvényt. Tekintsük először a páros kiterjesztés esetét. egyen f : [, ] R adott, és legyen { f x, x [, fx fx, x [,].
5. Fourier-elmélet 97 Ekkor f Fourier-sora az 5.14. Állítás szerint tiszta koszinuszos sor, így a Fourier-sorában minden b k. Az a k Fourier-együtthatókat az a k 1 fxcos kπx dx 1 fxcos kπx dx + fxcos kπx dx kπx képlettel számíthatjuk ki. Mivel fxcos két páros függvény szorzata, ezért maga is páros függvény, így a fenti két integrál megegyezik, tehát a k fxcos kπx dx, k,1,,.... 5.11 Most tekintsük azt az esetet, hogy páratlan módon terjesztjük ki f-et a [, ] intervallumra, azaz legyen { f x, x [,], fx, x, fx, x [,]. Ekkor f páratlan periodikus függvény, ezért a Fourier-sora tiszta szinuszos sor lesz, azaz minden a k. A b k együtthatókat az előző esethez hasonló levezetéssel kapjuk: b k 1 1 fxsin kπx dx fxsin kπx dx + fxsin kπx fxsin kπx dx dx, k 1,,.... 5.1 Az előző levezetésből rögtön következik az alábbi eredmény. Ha a kiterjeszett függvény páros, akkor annak Fourier-sora tiszta koszinuszos sor lesz, 5.. Állítás. Az és az S cos def {1, cos x, cos x, cos 3x,...} S sin def {sin x, sinx, sin 3x,...} rendszerek egyaránt teljes ortogonális rendszert alkotnak a [, π] intervallumon. 5.3. Példa. Számítsuk ki a [,π] intervallumra megszorított sin x függvény tiszta koszinuszos sorát, azaz az S cos függvényrendszerre vonatkozó Fourier-sorát! Az 5.11 képletet és trigonometrikus azonosságokat alkalmazva kapjuk k 1-re, hogy a k π 1 π 1 π 1 π [ sin xcos kxdx sin1 + kx + sin1 kxdx cos1 + kx 1 + k 11+k 1 1 + k 1k + 1 π 1k + 1 π cos1 kx 1 k ] π 11 k 1 1 k 1 1 + k + 1 1 k 1 k.
98 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 k 1-re kapjuk a 1 π sin xcos xdx 1 π sin xdx 1 π [ cos x Az 5.19. Tétel szerint a Fourier-sor minden pontban konvergál a függvényhez, tehát kapjuk, hogy sin x 1 + cos x + cos 4x + cos 6x +, x [,π]. π 1 1 4 1 6 Megjegyezzük, hogy a sin x függvény tiszta szinuszos Fourier-sora természetesen önmaga azaz b 1 1 és b k minden k > 1-re. ] π. 5.4. Példa. Számítsuk ki az f : [, 5] R, fx 1 függvény tiszta szinuszos Fourier-sorát! Az 5.1 képlet szerint b k [ ] 5 sin kπx 5 5 dx kπx 5 cos 5 1 cos kπ 5 kπ kπ kπ 1 1k, k 1,,..., 5 ezért 1 4 π sin πx 5 + 1 3πx sin 3 5 + 1 5πx sin 5 5 + 1 7πx sin 7 5 +, x,5. x és x 5-re a Fourier-sor összege. Ha x 5/-et helyettesítünk be az előző egyenletbe, akkor kapjuk a π 4 1 1 3 + 1 5 1 7 + 1 9 1 11 + ú.n., Euler-összefüggést. Jelölje f n a Fourier-sor n-edik részletösszegét, azaz f n x n b k sin kπx 5. A bal oldali ábrán az f 5 x, f 17 x és f 41 x részletösszegek grafikonjai, a jobb oldalin pedig az f 81 x részletösszeg grafikonjának kinagyított része látható. 1. f 5 f 17 f 41 1. 1.8.6.4. 1.1 1.9 1 3 4 5.8 1 3 4 5 Az ábra azt igazolja, hogy a részletösszegek n növekedésével egyre jobban közelítik a konstans 1 függvény grafikonját. Viszont ez a határérték nem egyenletes, az intervallum két végpontjához közel a Fourier-sor részletösszegeinek maximuma kb. 1.18 körüli értéket vesz fel. Numerikusan ellenőrizhetjük, hogy ez a maximum n növelésével nem változik, csak azt a részletösszeg függvény egyre közelebb veszi fel az intervallum végpontjához. Hasonló viselkedés figyelhető meg nem folytonos függvények véges Fourier-féle közelítő összegeinél. Ezt a jelenséget Gibbs-jelenségnek hívjuk. Az f függvény tiszta koszinuszos Fourier-sora 1, azaz a, a k b k minden k 1,,...-ra.
5. Fourier-elmélet 99 5.5. Fourier-transzformált és Fourier-integrál egyen f : R C szakaszonként folytonosan differenciálható függvény, amely nem szükségszerűen periodikus. egyen > állandó, g : R C olyan periodikus függvény, amelyre g x fx, < x <. Írjuk fel g komplex Fourier-sorát. A g függvény Fourier-együtthatói és ezért g x n c n 1 g te in π t dt, 1 g te in π t dt e in π x, x R. Mivel g x fx ha < x <, így az 5.19. Tétel szerint egyen fx+ + fx n 1 fte in π t dt e in π x, λ n nπ. def Ekkor λ n λ n+1 λ n π. Ezzel a jelöléssel az előbbi egyenlet az fx+ + fx n alakban írható fel. Ez minden -re teljesül, ezért Definiáljuk az fx+ + fx lim n 1 fte iλnt dt e iλnx λ n, 1 fte iλnt dt F : R C, Fλ 1 x,. x, e iλnx λ n, x R. 5.13 fte iλt dt 5.14 függvényt, amelyet az f függvény Fourier-transzformáltjának vagy komplex Fourier-integráljának nevezünk. Ezzel a jelöléssel kapjuk az 5.13 egyenletből, formálisan először a zárójelen belül elvégezve a határátmenetet, hogy fx+ + fx lim n 1 Fλ n e iλnx λ n, x R. A jobb oldali összeg egy improprius integrál Riemann-féle közelítő összege, ahol a {λ n : n Z} osztópontokat használjuk a számegyenes felosztásához, így kapjuk, hogy fx+ + fx 1 Fλe iλx dλ, x R. 5.15 Az 5.14 és 5.15 képletet együtt a Fourier-féle inverziós formuláknak nevezzük. Hangsúlyozni kell, hogy a fenti levezetés csak formális számolás volt. A képletek precízen is levezethetők a következő feltétel mellett: ft dt <.
1 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 Azon f : R C ebesgue-mérhető függvények lineáris terét, amelyek abszolút értéke az egész számegyenesen végesen ebesgue-integrálható, azaz amelyekre a fenti egyenlőtlenség teljesül, 1 R, C-vel jelöljük. Ezzel a jelöléssel a következőképpen foglalhatjuk össze az eredményünket. 5.5. Tétel. egyen f 1 R, C szakaszonkén folytonosan differenciálható függvény. Ekkor érvényes az ún. Fourier-féle integrálformula: 1 Fλe iλx dλ 1 fte iλt dt e iλx dλ fx + fx+, x R. Vizsgáljuk meg most azt az esetet, amikor az f valós függvény, azaz f : R R. Ekkor a Fourier-féle integrálformulán a következő átalakításokat végezzük: 1 1 1 fte iλt dt e iλx dλ fte iλx t dt fte iλx t dt dλ dλ + 1 fte iλx t dt dλ. Használva az u λ du dλ helyettesítést az első integrálban, kapjuk, hogy 1 1 1 fte iλt dt e iλx dλ fte iux t dt ft du + 1 e iλx t + e iλx t dt Mivel e iλx t + e iλx t cos λx t, f valós függvény, ezért fx+ + fx 1 π fte iλx t dt dλ dλ. ftcos λx tdt dλ. Ez a valós Fourier-féle integrálformula. A jobb oldalon álló integrálban a cos függvényt kifejtve kapjuk a következő állítást. 5.6. Következmény. egyen f 1 R, R szakaszonkén folytonosan differenciálható függvény. Ekkor Aλcos λx + Bλsin λx dλ fx+ + fx, x R, 5.16 ahol Aλ 1 ftcos λt dt és Bλ 1 π π ftsin λt dt. 5.17 Az 5.16 egyenlet bal oldalán álló integrált valós Fourier-integrálnak nevezzük.
5. Fourier-elmélet 11 5.7. Példa. Írjuk fel az függvény Fourier-integrálját! Az 5.17 képletek szerint f : R R, fx Aλ 1 ftcos λt dt π 1 3cos λt dt + π [ 1 ] sin λt [ 3 + 5 π λ { 3, x [,], 5, x,4],, x < vagy x > 4. 4 5cos λt dt sin λt λ 3sin λ + 5sin 4λ. πλ Megjegyezzük, hogy Aλ folytonosan kiterjeszthető λ -ra is, hiszen létezik a 3sin λ 5sin 4λ 6 + lim Aλ lim + 14 λ λ πλ πλ π π határérték. Bλ hasonlóan számítható: Bλ 1 π [ 1 3 π 3sin λt dt + cos λt λ ] 4 [ + 5 ] 4 5sin λt dt cos λt λ 8 3cos λ 5cos 4λ. πλ Megmutatható, hogy lim λ Bλ. Az 5.6. Következmény szerint 3sin λ + 5sin 4λ cos λx + πλ 8 3cos λ 5cos 4λ πλ ] 4 sin λx dλ, x <, 3/, x, 3, x,, 1, x, 5, x,4, 5/, x 4,, x > 4. Az f függvény Fourier-transzformáltjára használjuk az Ffλ Fλ jelölést is. következő tételben összefoglaljuk a Fourier-transzformált néhány fontosabb tulajdonságát. A 5.8. Tétel. egyen f,g 1 R, C és α,β C. Ekkor 1. Fαf + βg αff + βfg.. Ha f differenciálható és f 1 R, C, akkor Ff λ iλffλ. 3. Ff g Ff Fg, ahol f gx az f és g konvolúciója. ftgx tdt
1 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5.6. Alkalmazások Parciális differenciálegyenletek A Fourier-sorok egyik legfontosabb alkalmazási területe bizonyos speciális parciális differenciálegyenletek egyik megoldásánál jelentkezik. Tekintsük az egydimenziós hővezetés egyenletét. Tekintünk egy hosszú rudat, amelyről feltesszük, hogy vékony, azaz a hőmérsékletét azonosnak tekinthetjük egy hosszára merőleges keresztmetszetén. Jelölje x a rúd egyik végpontjától mért távolságot a rúdon. Ekkor x, és az x pozícióban vett keresztmetszet hőmérsékletét a t időpontban ut, x jelöli. Megmutatható, hogy az u kétvéltozós függvény az alábbi másodrendű lineáris, ú.n. parabolikus parciális differenciálegyenletet teljesíti: u t t,x u a xt,x, t, x, 5.18 ahol a > konstans. Ezt az egyenletet egydimenziós hővezetési egyenletnek hívjuk. Ahhoz, hogy egyértelmű megoldást várhassunk, további feltételeket kell megadnunk. Most azt az esetet vizsgáljuk, amikor a rúd két végpontján konstans hőmérsékletet tartunk fenn, azaz az alábbi, ú.n. peremfeltételek teljesülnek a megfigyelés során: ut,, t, 5.19 ut,, t. 5. Feltesszük továbbá azt is, hogy ismerjük a kezdeti hőmérséklet elosztást: Fourier ötlete az volt, hogy keressünk u,t fx, x. 5.1 ut,x ϕtψx alakú megoldásait az 5.18 egyenletnek. Ekkor az egyenletbe behelyettesítve kapjuk amiből Ez csak úgy teljesülhet minden t és x-re, ha ϕ tψx aϕtψ x, ϕ t aϕt ψ x ψx. ϕ t aϕt ψ x ψx µ, ahol µ egy konstans. De ekkor két közönséges differenciálegyenletet kapunk: ϕ t aµϕt, t, ψ x µψx, x. Könnyen végigszámolhatjuk, hogy az első egyenlet általános megoldása A második egyenlet karakterisztikus egyenlete: ϕt ce aµt, t. 5. r µ.
5. Fourier-elmélet 13 Három esetet különböztetünk meg: 1. µ >. Ekkor a karakterisztikus egyenlet gyökei r 1 µ és r µ, és a lineáris közönséges differenciálegyenletek elméletéből ismert, hogy ekkor az egyenlet általános megoldása ψx c 1 e µx + c e µx. Az 5.19 és 5. peremfeltételekből kapjuk, hogy a ψ függvényre a ψ ψ 5.3 feltételek teljesülnek. Ezeket a feltételeket használva a fenti ψ függvényre, kapjuk, hogy c 1 + c, c 1 e µ + c e µ. Ennek megoldása csak a c 1 c. Mivel mi nem azonosan megoldást keresünk, ebben az esetben ilyen megoldás nem létezik.. µ. Ekkor ψx c 1 + c x alakú. De ekkor az 5.3 feltételeket felhasználva c 1, c 1 + c, amiből szintén csak c 1 c következik, azaz a ψx függvény. 3. µ <. Ekkor ψx c 1 cos µx + c sin µx alakú, ahogy azt a közönséges differenciálegyenletek elméletében kapjuk. Most az 5.3 feltételeket felhasználva c 1, c 1 cos µ + c sin µ, adódik. De ekkor c 1, és ha nem azonosan megoldást keresünk, akkor a második egyenletből sin µ kövezkezik, amiből µ kπ, azaz µ kπ, k 1,,.... Ebben az esetben tehát nem azonosan megoldást is kapunk, amelyre tehát az 5. képletet felhasználva ut,x ce a kπ t sin kπx Könnyen ellenőrizhető, hogy ilyen alakú függvények véges összege, azaz ut,x n b k e a kπ t sin kπx is teljesíti az 5.18 egyenletet és az 5.19-5. peremfeltételeket is. Ekkor u,x azaz akkor teljesül a kezdeti feltétel is, ha fx n n b k sin kπx, b k sin kπx
14 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 alakú. Ez alapján természetes ötlet az, hogy ha f olyan tetszőleges folytonos függvény, amelyre f f teljesül, akkor vegyük f tiszta szinuszos Fourier-sorát: fx b k sin kπx, ahol az 5.19 tétel szerint a Fourier-sor minden x [,]-re konvergál és elő is állítja az fx függvényértéket, és az így kapott b k együtthatókkal definiáljuk az ut,x b k e a kπ t sin kπx végtelen sort. Megmutatható, hogy az u függvény jól definiált, és a végtelen sor differenciálható t és x szerint is, és a deriválás művelete és a végtelen szumma felcserélhető. Ekkor könnyen megmutatható, hogy u is teljesíti az 5.18 egyenletet, és a perem- illetve a kezdeti feltételeket is. Mintavételi tétel Tegyük fel, hogy f : R C függvény Fourier-transzformáltja a [, ] intervallumon kívül azonosan nulla, azaz Fλ, λ >. 5.4 5.9. Tétel Mintavételi tétel. Tegyük fel, hogy f 1 R, C függvény folytonos és szakaszonként folytonosan differenciálható, amelyre 5.4 teljesül. Ekkor f-et meghatározzák a pontokban felvett értékei: fx n nπ f, ± π, ±,... sinx nπ x nπ, x nπ, n Z. Bizonyítás: A Fourier-féle inverziós formulát és az 5.4 feltételt alkalmazva fx 1 Fλe iλx dλ 1 Fλe iλx dλ, x R. 5.5 Az Fλ függvény a, intervallumon felírható Fourier-sora összegeként: Fλ n c n e i nπλ, λ,, ahol c n 1 nπλ i Fλe dλ. Az 5.5 összefüggést alkalmazva kapjuk, hogy nπ c n f.
5. Fourier-elmélet 15 Ezt visszahelyettesítve F Fourier-sorába kapjuk Fλ Ezért az 5.5 formula szerint x nπ -re n n nπ f e i nπλ f nπ nπλ i e. fx 1 1 f n 1 f n n f nπ n nπ f e i nπλ e iλ nπ +x dλ nπ e ix nπ e ix nπ ix nπ nπ sinx nπ. x nπ e iλx dλ