EURÓPAI UNIÓ STRUKTURÁLIS ALAPOK V A S B E T O N S Z E R K E Z E T E K I. STNB1 egédlet a PTE Pollák Mihály Műzaki Kar hallgatóinak Az építéz- é az építőmérnök képzé zerkezeti é tartalmi ejleztée HEFOP/004/3.3.1/0001.01
Özeállította: Ki Rita M. Műzaki rajzoló: Szabó Imre Gábor ISBN zám: 978-963-798-13-4 Kézirat lezárva: 007. november 30. A tananyagot e-könyvként, ingyen boátjuk a hallgatók rendelkezéére.
3 Tartalomjegyzék é ütemterv Hét Előadá anyaga Gyakorlat Oldal 1. Bevezeté Gerendák leterhelée 3.. Repedémente é berepedt Repedémente é berepedt 0. kereztmetzetek méretezée kereztmetzet méretezée 3. Egyzereen vaalt hajlított Egyzereen vaalt hajlított 3. kereztmetzet ellenőrzée kereztmetzet ellenőrzée 4. Húzott é nyomott vaalát Húzott é nyomott vaalát 40. tartalmazó hajlított kereztmetzet tartalmazó hajlított ellenőrzée kereztmetzet ellenőrzée 5. Hajlított kereztmetzet tervezée Hajlított kereztmetzet 43. tervezée 6. Nyomott-hajlított kereztmetzet Terveladat özeállítáa 48. 7. Szünet Szünet 67. 8. I. zárthelyi dolgozat Nyomott-hajlított kereztmetzet 68. ellenőrzée 9. Nyírá Nyírá 69. 10. Gerendák vizgálata Nyírá 85. 11. Haználhatóági határállapot Gerendák vizgálata 93. 1. Cavará Haználhatóági határállapot 101. 13. II. zárthelyi dolgozat Konzultáió 107. 14. Fezített tartók Terveladat bevétele 108. Függelék 135. Vabeton kereztmetzet 136. ellenőrzée Vabeton kereztmetzet kötött 137. tervezée
4 Bevezeté Az oktatái egédlet a Péi Tudományegyetem Pollák Mihály Műzaki Kar Építőmérnöki alapképzéében oktatott Vabetonzerkezetek I. tantárgyhoz kézült. Az oktatái egédlet előorban gyor áttekintét ad a élévi tananyagról. A jelen jegyzetben a kék anyaggal megadott rézek zózerinti átvételek Hegedű Itván: Vabetonzerkezetek I. Oktatái egédlet. BME Hidak é Szerkezetek Tanzéke elektroniku anyagból. A gyakorlati oglalkozáokon bemutatott példákat, a zárthelyi é vizgadolgozatra elkézülét egítő példákat, továbbá a tervezéi egédletet Friedman N. Huzár Z. Ki R.M. Klinka K. Ková T. Völgyi I.: Példatár a Vabetonzerkezetek tantárgyhoz. BME Hidak é Szerkezetek Tanzéke jegyzet tartalmazza.
5 1. hét 1. előadá: Bevezeté Vabetonzerkezetek alkalmazáának zempontjai M Gregor [Ma Gregor: Reinored Conrete. Mehani and Deign, Prentie Hall] é Kollár Lázló [Kollár: Vabetonzerkezetek I. Vabetonzilárdágtan az EUROCODE zerint, Műegyetem Kiadó] özeoglalta a vabetonzerkezetek alkalmazáának legontoabb előnyeit é hátrányait: Előnyök: Költég: Vabetonzerkezetek az anyag költége é enntartái költége (káro környezeti hatáokkal zemben védeni kell) alaony. Az építé ideje a beton 8 napo zilárdulái ideje miatt hozú, amely egye eetekben jelentő hátrányt jelenthet. Az építéi idő előregyártott zerkezetek alkalmazáával lényegeen ökkenthető. Tűzállóág: A mérnöki zerkezeteknek különöen a magaépítéi zerkezeteknek a tűz eetén legalább a kiüríté idejére állékonynak kell maradniuk. Vabetonzerkezetek eetén a azerkezetek é aélzerkezetekkel ellentétben külön védelem nélkül ez megoldható. Merevég: A vabetonzerkezetek lényegeen merevebbek, mint a azerkezetek vagy az aélzerkezetek. Egyzerű zállítá: A beton alkotói (adalékanyag ement), a kéz beton ok helyen hozzáérhető, könnyen zállítható. Szabad ormaválaztá: Monolit vabetonzerkezetek tetzőlege alakban kézíthetők. Hátrányok: Beton alaony húzózilárdága: A beton húzózilárdága a nyomózilárdágához képet lényegeen (körülbelül tizede) alaonyabb, emiatt a vabetonzerkezetek megrepednek. A repedéeken bezivárgó víz a betonaél korrózióját okozza, ez megelelő tervezéel (repedémente tervezé, repedétágaág korlátozáa, megelelő betonedé alkalmazáa) megelőzhető. Zaluzá: Monolit zerkezetek eetén a helyzínen a betonozá előtt el kell kézíteni a zerkezet zaluzatát, amit alá kell állványozni. A zalu é az állványzat a beton megelelő zilárdágának elérée után bontható ak el. A zalu kézítée, bontáa anyag-, idő-, é költégigénye. Egyre jobban elterjedő többzör elhaználható zalukkal ez a költég ökkenthető. Előregyártott zerkezetek eetén a zaluzá, betonozá a gyártó üzemben történik, többzör elhaználható zaluk alkalmazáával. Alaony ajlago zilárdág: A hagyományo beton zilárdága az aél tizede, huzada, térogatúlya vizont harmada. A magaépületek (toronyházak), nagy eztávolágú hidak eetén az aél alkalmazáa gazdaágoabb. Nagyzilárdágú betonok alkalmazáával ez a hátrány ökkenthető. Laú alakváltozá: A beton tartó teher hatáára a rövid idejű alakváltozáok lejátzódáa után i deormálódik, amely hónapokig, évekig i eltarthat. A kialakuló lehajlá értékek a rövid idejű lehajlá két-háromzoroa i lehet. A terheletlen beton zugorodik, amelynek döntő réze a betonozá utáni hetekben játzódik le. Nehéz átalakítani: A vabetonzerkezeteket utólag átalakítani körülménye é költége.
6 A Vabetonzerkezetek tantárgy A Vabetonzerkezetek. tantárgy a vabeton anyagú rúdzerkezetek erőtani vizgálatának alapvető megontoláait, alapözeüggéeit é módzereit tárgyalja. Haonló tantárgyra minden reáli anyagú zerkezettípual kapolatban zükég van, (pl. aélzerkezetek, alazott zerkezetek, azerkezetek tb.,) mert a reáli zerkezetek vielkedée mindig több-keveebb eltérét mutat attól az idealizált vielkedétől, amelyet a Mehanika é a Tartók tatikája tantárgyakban az egyzerűbb megérté érdekében eltételezünk. A "reáli zerkezeti vielkedéhez közelebb álló eltételezéek" emmiképpen nem jelentik azt, hogy a vabetonzerkezetek zilárdágtanában "minden máképp van", mint ahogy azt a Mehanika tárgy elemi é általáno zilárdágtani ejezetei tárgyalják, őt ennek inkább az ellenkezője igaz: minden korábban zerzett imeret onto alkalmazára kerül a vabetonzerkezetek zilárdágtanában. Cak amíg a mehanikában é a tartók tatikájában a eladatok tatikai é geometriai alapadatait többnyire adottnak tekintettük, a vabetonzerkezetek, aélzerkezetek tb. méretezéével oglalkozó tárgyakban nem kerülhetjük meg azt, hogy ezeknek az alapadatoknak a elvételével i rézleteen oglalkozzunk; azoknál a tárgyaknál megelégedtünk azzal, hogy az anyagok é zerkezetek legegyzerűbben vizgálható, idealizált vielkedéét tételeztük el, emezeknél azt a kérdét i el kell vetnünk, hogy milyen határok közt lehet elogadható közelítének tekinteni az ideáli vielkedét, őt, azt i, hogy ezeken a határokon kívül milyen módoítáal vehetünk el "reáliabb" eredményt adó idealizált özeüggéeket. Ezeknek a többleteladatoknak az elvégzée olyan ok újzerű megontolát igényel, hogy a tantárggyal imerkedő hallgató könnyen zem elől veztheti, hogy ugyanolyan egzakt tatikai özeüggéeken alapuló vizgálatokról van zó, mint amilyenekkel korábbi tanulmányai orán megimerkedett. Nézzünk példát az említett többleteladatokra! A A B - A A - B B B A enti ábrán két vabeton zerkezetet láthatunk, mindkét zerkezetnek az erőtani zámítában megjelenő mehanikai modellje a legelül ábrázolt tengelyvázlatú uklógörgőaru kéttámazú gerenda. A ölő vabeton zerkezethez tartozó A-A metzet mutatja, hogy itt voltaképpen egy ún. alulbordá ödém bordájáról van zó, ahol a vizgálat élja a borda méreteinek é
7 vaaláának meghatározáa. A vizgálatot egy kéttámazú gerenda vizgálataként végezzük el, ennek orán a gerenda kereztmetzetéhez tartozónak tekintjük a borda kereztmetzetén kívül a "bordával együttdolgozó lemez" bizonyo zéleégű ávját. Azt, hogy mekkora legyen a gerenda támazköze, ill. hogy milyen zéle legyen a bordával együttdolgozó lemezáv, milyen nagyágú állandó é eetlege teher terheli a gerendát, a ödém további adatainak a mérlegeléével kell eldönteni. (Ezek elvételéhez a magaépítéi zerkezetekre vonatkozó tervezéi előíráok adnak egítéget.) A B-B metzet zerint az aló vabeton gerenda egy előregyártott gerenda. Ennek a kereztmetzetét az eredeti méretek zerint vezük igyelembe az építé közbenő állapotaiban, de - zakzerűen elvégzett é ellenőrzött építé eetén - a véglege állapotban lehetőégünk van arra, hogy a gerenda é a bélétetek közti, utólagoan kibetonozott térréz kereztmetzeti területét i hozzázámítuk a gerenda kereztmetzetéhez. A vabeton gerenda támazközét mindkét eetben nagyobbra vezük el az alátámaztó alak belő elületei közti távolágnál (az ún. zabad nyílánál). Hogy mennyivel nagyobbra, azt az alátámaztá körülményeinek a mérlegeléével kell eldönteni. Ezek az egyzerű példák i mutatják, hogy a konkrét eladatot úgy vezetjük viza az imert mehanikai modellek é módzerek alkalmazáára, hogy az abban igyelembe veendő mennyiégek ölvételénél igyekzünk minél pontoabban zámítába venni a konkrét zerkezet kialakítáának é haználatának ajátágait. Szerenére az említett mérlegeléek olyanok, amelyek majd mindegyikét ok megelőző tervezéi eladat orán el kellett végezni, ezért nekünk nem kell minden alkalommal a "nulláról indulni", hanem támazkodhatunk (a aját korábbi tapaztalatainkon túl) - a gyakorlatban kialakult tervezéi konveniókra, - a tervezé egyégeítée érdekében kidolgozott tervezéi előíráokra é javalatokra. A kéőbbiek orán gyakran ogunk hivatkozni a terhek, az anyagjellemzők é a zerkezeti jellemzők tervezéi zabványokban előorban az EUROCODE zabványorozat magyar nyelvű változatában az MSZ-ENV 1991-ben é az MSZ-ENV 199-ben rögzített értékeire. A tárgyalában alkalmazott betűjelek i követik az említett zabványorozat angol megnevezéeken alapuló jelölérendzerét. A leggyakrabban haznált betűjelek é indexek a következők: betű betűjelként indexként a húzott oldali betonedé A kereztmetzet terület B betonaél zilárdági jele b zéleég beton-aél kapolat (bond) beton (onrete) C teherbírái középpont; beton zilárdági jele d gerenda hazno magaága tervezéi érték (deign value) d nyomott oldali betonedé E rugalmaági modulu zilárdág űrűégüggvény F erő
8 g megozló önúlyteher megozló önúlyteher h kereztmetzet telje magaága I kereztmetzeti inerianyomaték id helyetteítő/ideáli kereztmetzet M kereztmetzeti nyomaték N kereztmetzeti normálerő p ezíté (pretre) R ellenállá (reitane) aélbetétek /kengyelek távolága aélbetét (teel) S mértékadó (ervie) t húzá (tenion) u határérték (ultimate) V kereztmetzeti nyíróerő x a nyomott betonzóna magaága y olyáhatár (yield) Y igénybevétel (általánoágban) α rugalmaági moduluok aránya ε ajlago hozváltozá κ görbületváltozá µ ajlago kereztmetzeti vaalá kereztmetzeti normálezültég ξ nyomott betonzóna relatív magaága; valózínűégi változó φ nyomott betonrudak emelkedéi zöge ø, Φ vaátmérő (mm-ben) Néhány zó a vabetonzerkezetek kézítééről A vabetonzerkezetek kézítéének eredeti tehnológiája a monolit építéi tehnológia. Ennek alapvető ezköze a zerkezet tervezett helyén kézített zaluzat, amelyet megelelően méretezett állványzat merevít, ill. támazt alá. A zaluzat általában ából kézül, é az a zerepe, hogy a képlékeny állapotú ri betont annak megzilárdulááig a kívánt ormában tarta. Az állvány é a zaluzat elkézítée után a vaalát megelelő távolágtartáal - belehelyezik a zaluzatba, majd beleöntik é bedolgozzák a ri betont. Ahhoz, hogy eközben a tehervieléhez zükége vaalá a tervezett helyén maradjon, a vaaknak olyan vázat kell alkotniuk, amely a bedolgozá orán i megtartja az alakját. Ritkán valóítható meg az, hogy a telje vabeton zerkezetet egyetlen munkaáziban be leheen dolgozni, ezért az egy-egy munkaáziban bedolgozott zerkezeti egyégek között ún. munkahézag keletkezik. Ennek a zakzerű kialakítáa onto ahhoz, hogy az elkézült zerkezet valóban monolitiku egyéget alkoon. Termézeteen a vaalá nem zakadhat meg a munkahézagoknál. A olytonoágot a munkahézag elületéből kiálló aélbetétek (az ún. kitükézé,) ill. a követő építéi áziban ezek olytatáát adó aélbetétek biztoítják. A beton a bedolgozá után utókezelét igényel, ami előorban a kötéhez zükége víz utánpótláából é a zerkezet állandó hőmérékleten tartáából áll.
9 A vabetonzerkezetek előregyártáa abban különbözik a vázolt tehnológiától, hogy az elemeire bontott zerkezet elemeit előregyártó telepeken, üzemekben kézítik, az elemeket a helyzínre zállítva különböző zerkezeti megoldáokkal kapolják egymához. Maguk az előregyártott vabeton elemek - a zállítá é beemelé igényeinek megelelően általában karúbbak é könnyebbek, mint az azono tatikai zerepű helyzíni betonozáú elemek. A vabeton rudak vaaláa A rúdzerű vabetonzerkezetek körében a zerepük zerint élzerű megkülönböztetni a vabeton gerendákat é a vabeton ozlopokat. A többnyire vízzinteen utó gerendák jellemző igénybevétele a hajlítá é a nyírá, az ozlopokat jellemző igénybevétele a nyomá, de ezzel egyidejűleg valamilyen nagyágú nyomatékot é nyíróerőt i igyelembe kell vennünk. A vabetonzerkezetekben elenyézően kevé kivétellel kör kereztmetzetű aélbetéteket alkalmazunk. A beton é az aél együttdolgozáához elengedhetetlenül onto az aélbetétek beágyazódáa a betonba. A beágyazódá így az együttdolgozá - zempontjából a kör kereztmetzet voltaképpen a legkedvezőtlenebb alak, mert az azono területű íkidomok közül a kör kerülete a legkiebb, ezért a kör kereztmetzetű betétnek a legkiebb a palátja, amelyen a betonhoz kapolódhat. Az együttdolgozá lehetőégének javítáa érdekében általában nem ima palátú, hanem bordázott proilú aélbetéteket haználnak. Nyílbordázott proilú betonaél Az együttdolgozá javítható azzal i, ha az aélbetétek végét vizagörbítve ún. kampózát alkalmazunk, de ezzel a munkaigénye lehetőéggel ak ima palátú aélbetétek eetén zoktunk élni. A betonaélok monolit zerkezetekben haznált átmérői milliméterben: 6, 8, 10, 1, 14, 16, 18, 0,, 5, 8, 3, 6, 40. Előregyártott, ill. ezített zerkezetekben a enti (járato) értékektől eltérő átmérőket i haználnak. A vabeton rudak é a rúdzerkezetként vizgálható zerkezeti elemek vaaláának az elkézíthetőég zempontjából legkézenekvőbb elrendezée a hozvaakból é ezeket körbeogó ún. kengyelekből özetevődő koárzerű vaalá, amely körbeogja a betont, de amelynek a "koáron kívüli" betonréteg edée kellő korrózióvédelmet ad. A zükége betonedé mérete a külő környezet korrozivitáától üggően 15~35 mm, kétége eetekben inkább a nagyobb betonedét alkalmazzuk.
10 betonedé kengyelek hozvaak Erőtani é építétehnológiai előnyei miatt a gyakorlatban i leginkább ez a rendzer vált be. A hagyományo vabetonépítében ezeket a "koarakat" a vazerelő zakmunkáok egyedi zálakból az építé helyzínén zerelték ún. kötőződrót hurkok alkalmazáával öze, a vazálak végeire pedig a beton é az aélbetétek jobb együttdolgoztatáa érdekében kampókat hajtottak. A enti vázlat egy hagyományo vazereléi tehnológiával kézítendő vabeton gerenda egy rézletének oldalnézetét mutatja. (Oldalnézetben lehet leginkább áttekinteni a vaalá rendzerét, ezért a gerendák é ozlopok vaalái tervein mindig zerepel a vaalá oldalnézete.) Az egyedi zálakból lezabott, hajtogatott é özezerelt vaalá kézítéében nem lényege különbég, hogy egyorma, vagy különböző üggőlege kengyelzárú kengyeleket hajtogatnak, nem okoz komoly nehézéget a erdén meghajlított aélbetétek bezerelée em. Ezért a tartó magaágával é a vaak irányával követni lehet az igénybevételek alakuláát: a legnagyobb nyomatékok helyén a tartó magaága megnövelhető, a legnagyobb nyíróerők helyén az aélbetétek a nyíróerő elvétele zempontjából a leghatékonyabb, 45 0 -o irányba hajlíthatók. Az építéi költégek analízie azt mutatja, hogy azt a gazdaági előnyt, amit az igénybevételeket pontoan követő tartóalak é vavezeté az anyagelhaználában eredményez, általában elemézti a bonyolultabb kialakítáú zaluzat é a vazerelé nagyobb élőmunka igénye, ezért az optimum valahol a nagyvonalúbb tartóalak-elvétel é vavezeté, ill. az egyzerűbb aélbetét alakok alkalmazáánál adódik. A lehorgonyzó kampók kialakítáa a vazerelé leginkább munkaigénye réze, ezért ezt ak a leginkább indokolt eetekben alkalmazzák. Erre lehetőéget ad az, hogy a régebben alkalmazott ima palátelületű aélbetétek helyett általánoá vált az ún. periodiku proilú aélbetétek alkalmazáa, amelyek palátján megelelően méretezett bordázat egíti a beton é az aélbetét közti együttdolgozát. A vabetonzerkezetek tervein a különböző alakú aélbetéteket általában zámjegyekből álló azonoító jellel látják el, é minden aélbetétet külön i megrajzolnak. A rajzon öltüntetik a rézhozakat é az aélbetét telje hozát, az egyorma aélbetétek darabzámát, derékzögtől eltérő meghajlítá eetén a hajlítá zögét vagy a erde
11 betétzakaz vízzinte é üggőlege vetületének a hozát, a nagyobb átmérőjű (14 mm-nél vatagabb) aélbetétek eetén a görbítéi ugarakat. Ennek az a élja, hogy a vazerelő zámára teljeen egyértelmű legyen az elkézítendő betét alakja, de a rajz egíti a tervezőt i hogy ellenőrizni tudja a tervezett alak kivitelezhetőégét. Hozú zerkezetek vaalái tervében igyelembe kell vennünk azt i, hogy mekkora az alkalmazott átmérőjű aélbetét zokáo gyártái hoza. Ezt a hozat általában az aélbetétek vaúti zállítáára alkalmazott ún. pőrekoik rakelületének kb. 1 m-e hoza határozza meg. Amennyiben vaalái terven ennél hozabb aélbetétre van zükég, ezt az aélbetét ún. telje átogáo toldáával oldjuk meg. Az aélbetétek toldáára má lehetőég i van, (pl. ajtolt őhüvelye toldá, tompa leolvaztó hegeztée toldá tb.) de ezeket a lehetőégeket ak peiáli eladatoknál zokták igénybe venni. A jelenlegi gyakorlatban a helyzíni zereléű vaalá helyett egyre inkább túlnyomóvá válik az előrezerelt hálókból hajtogatott térváz-vaaláok alkalmazáa, amelyekben a hagyományo vaalá özeállítáánál alkalmazott kötöződrót hurkok é a lehorgonyzó kampók zerepét a kerezteződő betétek ponthegezté kapolata vezi át. Szálanként zerelt vaalát inkább ak az így elkézített hálók é térvázak kiegézítő vaaláaként alkalmaznak azokon a helyeken, ahol a térvázak özeilleztée má módzerrel nehezen oldható meg, ill. ahol a vaalá lokáli erőítée zükége. Haonló vaalát zoktunk alkalmazni ozlopokban é a bordá lemezek bordáiban i. Ozlopok é állandó kereztmetzetű gerendák eetén a vaalának térváz-jelleget adhat az ún. pirál-kengyelezé alkalmazáa. Ez abban áll, hogy a kengyel zerepű vaalát nem darabonként hajtogatott é elhelyezett kengyelek, hanem a kívánt kengyeltávolágnak megelelő menetemelkedéű pirálvonalban hajtogatott vabetét adja. Tagoltabb kereztmetzetű (pl. T, I tb. kereztmetzetű) gerendák é ozlopok eetén gyakori, hogy a zerkezet telje vaaláát két vagy több térváz egymába toláával alakítják ki. Előre boátva, hogy nem tezünk ölölegeen vaalát a zerkezeteinkbe, a vaalát két oportba orolhatjuk: - erőtani zámítáal méretezett kereztmetzetű vaalára, ill. - erőtani zámítáal nem méretezett vaalára. Szokták az erőtani zámítáal méretezett kereztmetzetű vaalát ővaalának, a nem így elvett vaalát pedig kiegézítő vaalának, zerelő vaalának tb. i nevezni. E zerint az elnevezé zerint a ővaalá mennyiégét é elrendezéét tehát ún. méretezéi zámítáal határozzuk meg, a kiegézítő vaalát pedig zerkeztéi zabályok igyelembevételével vezük el. A vabeton gerendák (ill. gerendazerűen működő bordák) ővaaláára vonatkozó méretezéi zámítáok a rúdzerkezetek elemi zilárdágtanában megimert logika zerint - nyomatéki méretezéből, - nyírái méretezéből é - helyi igénybevételekre történő méretezéből tevődnek öze. A nyomatéki méretezéel vezük el a "koárzerű" vaalá erőtani zámítáal méretezendő kereztmetzetű hozvaait, a nyírái méretezéel a kengyelezét ott, ahol az erőtani méretezé a zerkeztéi zabályok által megkövetelt űrűégű, ill. erőégű vaalánál nagyobb űrűéget, ill. nagyobb kengyel-kereztmetzetet igényel. A vabeton ozlopok vaaláa ok zempontból a vabeton gerendákéhoz haonló. Néhány eltéré adódik azonban abból, hogy ezek általában üggőlege tengelyű zerkezetek, ill. abból, hogy ezek nyomott zerkezetek.
1. gyakorlat: Gerendák leterhelée 1
13 1. gyakorlat: Leterhelé I. Határozza meg az alábbi konzolo kéttámazú tartó K1 é K kereztmetzeteiben a hajlítónyomaték zélõértékeit a g = 5 kn/m állandó megozló é a Q = 18 kn konentrált hazno terhek hatáára! γ Gin = 0.9 γ Gup = 1.1 γ Q = 1.5 "1.jpg" Megoldá: Feltételezzük, hogy az önúly zakazonként változhat. ".jpg" 1. Terheléi eet A konzolra minimáli a támazközre maximáli teher hat. M K1 = 6.15 g γ Gup.5 g γ Gin = 6.15 5 1.1.5 5 0.9 = 3.563 knm (+ max) M K =.5 g γ Gin =.5 5 0.9 = 10.15 knm (- min). Terheléi eet A konzolra maximáli, a támazközre minimáli teher hat. M K1 = 6.15 g γ Gin M K = 4.5 g γ Gup 3Q γ Q =.5 g γ Gup 1.5 Q γ Q = 4.5 5 1.1 318 1.5 = 105.75 6.15 5 0.9.5 5 1.1 1.5 18 1.5 = 5.31 knm (- max) knm (- max) 1
14 II. Határozza meg az alábbi keret maximáli nyomatékait a B,C é E kereztmetzetekben! Rajzolja meg a nyomatéki burkoló ábrát! Önúly: g = 4 kn m γ Gin = 0.8 γ Gup = 1. "3.jpg" Hazno teher: q = 5 kn m γ Q = 1.4 Szélteher: jobbelé é balelé i hathat! S = 1 kn vagy S = 7 kn γ S = 1. A hazno teher é a zélteher egyidejûégi tényezõje: ψ = 0.8 Megoldá: "4.jpg" 1. Terheléi eet: Maximáli negatív nyomaték a B, C é E kereztmetzetekben akkor keletkezik, ha zélteher negatív é maximáli, a üggõlege teher pedig minimáli: M B = 5 8.4 = 4 knm S max = 1. ( 7 kn) = 8.4 kn M C =.5 8.4 + 4.5 3. = 6.6 knm "5.jpg" q min = 0.8 4 = 3. kn m M E = 1 kn m
15. Terheléi eet: Maximáli nyomaték a B, C é E kereztmetzetekben akkor keletkezik, ha a zélteher pozitív é maximáli, a üggõlege teher pedig zintén maximáli: "6.jpg" a.) kiemelt teher a zélteher S max = 1. 1 = 14.4 kn M B = 5 14.4 = 7 knm q max = 1. 4 + 0.8 1.4 5 = 10.4 knm M C =.5 14.4 + 4.5 10.4= 8.8 knm M E = 36 knm b.) kiemelt teher a hazno teher S max = 0.8 1. 1= 11.5 kn M B = 5 11.5 = 57.6 knm q max = 1. 4 + 1.4 5 = 11.8 kn m M C =.5 11.5 + 4.5 11.8= 81.9 knm M E = 8.8 knm A nyomatéki burkolóábra: "7.jpg" 3
16 III. Határozza meg az alábbi keret maximáli nyomatékait a C,D é E kereztmetzetekben az önúly, a hazno é a zélteher együtte hatáára. Önúlyteher: g = 6.4 kn m γ Gin = 1 γ Gup = 1.375 Hazno teher: q = 6 kn m γ Q = 1.4 Szélteher: 1 = 4 kn m = kn m γ S = 1. Az egyidejûégi tényezõ a zélteherre é a hazno teherre: ψ = 0.8 "8.jpg" Megoldá: Két teheroportoítát kell vizgálnunk, hiz a kiemelt teher lehet a hazno teher é a zélteher i. A enti keret tatikailag határozatlan. Igénybevételei kézikönyv alapján (ha a gerenda é az ozlop inerianyomatéka azono): "9.jpg" H A = ph 8 11 h + 18 l h + 3 l =.9p H G = 5 h + 6 ph l = 1.08p 8 h + 3 l 4
17 Nyomaték p üggõlege teherbõl: "10.jpg" Nyomaték a bal ill. jobb oldalon ható megozló teherbõl: "11.jpg" Nyomaték az 1 = 4 kn/m é = kn/m zélteherbõl: "1.jpg" 1) Maximáli pozitív nyomaték a C kereztmetzetben Az a é b ábrák zerint a üggõlege tehernek minimálinak, a zéltehernek maximálinak é az ábrán jelölt irányúnak kell lennie: "13.jpg" Ekkor egyidejûégi tényezõ nem kell, hiz a hazno teher zorzója nulla. 5
18 Nyomatékábra a enti teherbõl: M C = 6.4.08 + 1. 3.3= 14.6 knm M D = 6.4.4 1. 0.65 = 14.6 knm M E = 6.4.08 1. 4.6 = 4.8 knm "14.jpg" ) Maximáli negatív nyomaték a C kereztmetzetben A üggõlege teherbõl negatív nyomaték keletkezik, így ennek maximáli intenzitáúnak kell lennie. A zélteherbõl akkor keletkezik negatív nyomaték, ha a zél nem balról, hanem jobbról új. Kétajta teheroportoítá lehet attól üggõen, hogy a kiemelt teher a zél-e vagy a hazno teher. Ekkor a nyomaték a C kereztmetzetben: M C = 1.375 6.4.08 1. 4.6 0.8 1.4 6.08 = 61.8 knm vagy M C = 1.375 6.4.08 1.4 6.08 0.8 1. 4.6 = 59.4 knm Vagyi a kiemelt teher a zélteher: A nyomatékábra: "15.1.jpg" "15..jpg" M C = 61.8 knm M D =.4 ( 1.375 6.4 + 0.8 1.4 6) 0.65 1. = 36.5 knm M E =.08 ( 1.375 6.4 + 0.8 1.4 6) + 3.3 1.= 4.3 knm 6
19 3) Maximáli pozitív nyomaték a D kereztmetzetben Ekkor a zélteher nem mûködik, a üggõlege teher pedig maximáli. "16.jpg" "17.jpg" Nyomatékábra M C = M E = 17..08 = 35.8 knm M D = 17..4 = 41.3 knm 4) Szükég lehet még arra a teherre, amely a D kereztmetzetben maximáli negatív nyomatékot ébrezt Ehhez az 1) pontban haznált teherelrendezé zükége, de ez nem okoz negatív nyomatékot, mivel a zélteherbõl keletkezõ negatív nyomaték kii az önúlyból keletkezõ pozitív nyomatékhoz képet. A jobboldalt nem zükége vizgálnunk, mivel a zerkezet zimmetriku. A nyomatéki burkolóábra: "18.jpg" A mértékadó igénybevételi ábrák meghatározáát a vabeton zerkezet vaaláának meghatározáa, illetve adott vaalá eetén a teherbírá é az alakváltozáok ellenõrzée követi. Ezt ogjuk vizgálni a kéõbbi ejezetekben. 7
0. hét. előadá: Repedémente é berepedt kereztmetzetek méretezée A vabetonkereztmetzeti teherbírá kimerüléének alternatív kritériumai A kereztmetzeti teherbírára - elvben - a következő deiníiók adhatók: I. A kereztmetzeti teherbírá határát a beton húzózilárdágának elérée (a beton megrepedée) jelenti; II. III. a kereztmetzeti teherbírá határát a beton nyomó- vagy az aél húzózilárdágának elérée jelenti; a kereztmetzeti teherbírá határát a kereztmetzet alakváltozó képeégének kimerülée jelenti. Az I. kritérium a berepedetlen kereztmetzetre értelmezett. A berepedéig mind a beton, mind az aél rugalma vielkedéét eltételezzük. Az I. kritérium ellenőrzée eetén haznált ezültégelozlát I. ezültégi állapotnak i nevezik. (A gyakorlat az I. kereztmetzeti teherbírá-kritériumot ak ezített zerkezeteknél alkalmazza.) A II. kritérium a berepedt kereztmetzetre értelmezett. A II. kritérium ellenőrzééhez haznált ezültégelozlát II. ezültégi állapotnak nevezzük. A II. ezültégi állapotban a beton é az aél vielkedéét rugalmanak tekintjük, de a betonban ak nyomóezültéget vezünk igyelembe. Ez azt eltételezi, hogy a beton berepedée után nem vez el húzóezültéget, az öze húzóezültéget a betonaél vezi el. Ennek az a magyarázata, hogy a repedé hatáára megzűnik az anyagi olytonoág a húzott betonzóna túlnyomó rézén, a emlege tengely közelében eltételezhető "maradék" kereztmetzeti húzá hatáa pedig (a beton húzó- é nyomózilárdága közti nagyágrendi különbég miatt) olyan kiiny, hogy nem változtat a zámítá pontoágán, ha teljeen igyelmen kívül hagyjuk. (A II. kereztmetzeti teherbírá-kritériumot a jelenlegi gyakorlatban nem haználják a teherbírá ellenőrzéére, [korábbi zabványok igen!], de az ún. haználati állapotok vizgálatánál találkozhatunk a II. ezültégi állapot zerinti modellel.) A legtöbb modern zabályzat a III. kritérium alapján vizgálja a kereztmetzeti teherbírát. A kereztmetzet alakváltozó képeégének kimerüléét vagy az jelzi, hogy a betonban elértük a töréi özenyomódá értékét, vagy pedig az, hogy az aélbetétben a nyúlá a zakadónyúlá értékéig nőtt. Mindkét érték lényegeen meghaladja a betonban, ill. az aélbetétben az arányoági határ értékét, (azaz annak a ajlago alakváltozának az értékét, ameddig az anyag rugalma vielkedée eltételezhető,) ezért a III. ezültégi állapotban a kereztmetzeti teherbírá-vizgálat módzerét képlékeny alakváltozáok igyelembevételével végezzük. A I-II-III növekvő orzámozát azzal i indokolhatjuk, hogy nulláról elnövekvő teherintenzitá eetén a kereztmetzetek előbb I. ezültégi állapotban vannak, az elő repedé megjelenée után egyre zéleedő zóna kerül II. ezültégi állapotba, majd a mehanikai vielkedé nemlineáriá váláa orán az erően kihaznált kereztmetzetek ezültég-elozláa egyre közelebb kerül a III. ezültégi állapot zerinti elozlához.
1 Vabeton kereztmetzet hajlítái vizgálat A hajlítái vizgálatok elvégzééhez a következő közelítéeket kell alkalmazni: Mindhárom ezültégállapotban érvényenek tekintjük a Bernoulli-Navier hipotézit. Ez alapján a rúd tengelyére merőlege kereztmetzetek a deormáiók létrejötte után i íkok maradnak é merőlegeek a rúd tengelyére. Az azt jelenti, hogy a repedéek végtelen űrűn helyezkednek el. A berepedt beton eladata az, hogy a betonaélt a helyén tarta. Valóágban, ha a húzott beton bereped, akkor a repedéek egymától vége távolágban alakulnak ki, amit zámítáainknál elhanyagolunk. Feltételezzük, hogy a beton é a betonaél tökéleteen együttdolgozik, azaz a betonaél nem úzik ki. Ez azt jelenti, hogy a gerenda tengelyével párhuzamo alakváltozáok a betonaél elületén é a betonaéllal érintkező betonban azono. A hajlítái vizgálatok elvégzééhez onto tiztázni a vabeton kereztmetzetet alkotó anyagok ε diagramját. A beton é a betonaél tipiku ε diagramja. [N/mm =MPa] [MPa] k k yk nyomá húzá εu ε [ ] εy εu ε [ ] Ezt igyelembe véve zámítáaink bonyolultak lennének. A különböző zabványok egyzerűített ε diagramot haználnak. A beton egyzerűített ε diagramja a beton húzózilárdágát é a beton képlékenyedéét i igyelembe vezi. nyomá [MPa] k εt t εy εu ε [ ]
Ez az ábra jól haználható a I. kritérium berepedetlen (repedémente) kereztmetzet - zámítáánál. II. kritérium berepedt kereztmetzet zámítáánál a eltételezének megelelően a berepedt beton kereztmetzet nem vez el húzóezültéget a beton ε diagramját módoítani kell. [MPa] k d εt εu ε [ ] Az aél idealizált ε diagramja lehet lineárian rugalma-elkeményedő, vagy rugalma-képlékeny. Lágyva eetében zámítáainknál az utóbbi ε diagramot haználjuk. [MPa] [MPa] k yk yk yd εy εu ε [ ] εy εu ε [ ] Hajlítái vizgálat I. ezültégállapotban Feladatunk meghatározni a berepedetlen, vabeton kereztmetzetre ható nyomaték hatáára a beton zélő zálaiban é a betonaélban keletkező ezültégeket. A eladat megadáához előzör meg kell adni a kereztmetzet geometriai jellemzőit, amely a beton kereztmetzet alakja é zükége geometriai méretei (téglalap eetén magaága é zéleége); a betonaél mennyiége, é elhelyezkedée (a úlypont helye a nyomott zélő záltól).
3 A' A' Meg kell adni az inhomogén kereztmetzetet alkotó anyagok (beton é betonaél) ε diagramját. Ez a beton húzózilárdágát é a beton képlékenyedéét i igyelembe vevő egyzerűített ε diagramja, é a betonaél rugalma- képlékeny ε diagramja. [MPa] [MPa] k d yk yd εt εu ε [ ] εy εu ε [ ] A eladat megoldáánál, a zilárdágtannál megzokott módon adott nullától különböző) görbület értékből meghatározzuk a kereztmetzet deormáióit (kompatibilitái egyenletek). Azt a vonalat, amelyben a deormáiók létrejötte után a tengelyirányú alakváltozá zéru, emlege vonalnak nevezzük. A Bernoulli-Navier eltételezé miatt a kereztmetzetek íkok maradnak, ezért a emlege vonal egyene. A kereztmetzet ez az egyene körül ordul el, emlege tengelynek hívjuk, jele x, helyét a nyomott zélő záltól A' ε1=κ x ε'=κ (x-d') κ E κ x E κ (x-d A' ε=κ (h x) ε ε=κ (d-x) E κ (h-x) E κ (d-x)
4 adjuk meg. A kereztmetzetek deormáióiból az anyagtörvények egítégével a ezültégeket zámíthatjuk. A vizgálatunkat az I. ezültégállapotban végezzük, azaz a húzott é nyomott beton, valamint a húzott é nyomott betonaél i rugalma, azaz a Hooke-törvény mindkét anyag eetén érvénye. A ezültégek integráláával a belő erők meghatározhatók. Az egyenúlyi egyenletek alapján a külő erőknek egyenúlyban kell lenni a belő erők eredőjével. Két egyenletünk van a z irányú vetületi egyenlet é az y-z íkú nyomatéki egyenlet. A vetületi egyenlet elíráánál a nyomá tekintük pozitívnak: 1 1 0 = bxeκx + [ A Eκ( x d ) A Eκ( x d )] b( h x) Eκ( h x) [ A Eκ( d x) A Eκ( d x) ], ahol b a kereztmetzet zéleége, h a kereztmetzet magaága, A a húzott betonaél kereztmetzeti mérete, d a húzott betonaél hazno magaága (a húzott betonaél úlypontjának a távolága a nyomott zélő záltól, A a nyomott betonaél kereztmetzeti mérete, d a nyomott betonaél hazno magaága (a nyomott betonaél úlypontjának a távolága a nyomott zélő záltól, E a beton rugalmaági modulua, E a betonaél rugalmaági modulua, x a emlege tengely helye a nyomott zélő záltól, κ a kereztmetzet görbülete. Az egyenlet elíráánál igyelembe vettük, hogy ahol betonaél van, ott nin beton. A kereztmetzet görbülete κ 0 é bevezetve a α =E /E özeüggét 1 1 0 = bx + A ( α E 1)( x d ) b( h x) A ( α E 1)( d x), innen 1 bh + A x = bh + A ( α 1) d + A ( α 1) ( α 1) + A ( α 1) Ez a kereztmetzet úlypontjának egyenlete, ahol a betonaélt (α E -1) úllyal vettük zámítába. Az egyenletből látzik, hogy a emlege tengely helye nem ügg a terhelé nagyágától. d
5 M Nyomatéki egyenlet 1 [ A E κ( x d ) A E κ( x d ) ] b( h x) E κ( h x) ( h x) A E κ( d x) A E ( d x) [ ] 1 = bxeκx x + κ 3 3 Az egyenlet elíráakor a betonaél aját úlyponti tengelyére írt nyomatékát elhanyagoltuk. α=e /E özeüggét igyelembe véve 1 M = Eκ bx 3 3 1 + b 3 3 ( h x) + A ( α 1)( x d ) + A ( α 1)( d x) A enti kiejezé négyzöge zárójelében lévő tag az inhomogén kereztmetzet inerianyomatéka, továbbra i a betonaélt (α E -1) úllyal vettük zámítába. A nyomatékgörbület özeüggé lineári. A eladat megoldáának lépéei: A vetületi egyenletből az x emlege tengely zámítáa; Az adott nyomatékhoz a nyomatéki egyenletből a κ meghatározáa; Az x é a κ imeretében a kérdée alakváltozáok (E ábra) é ezültégek meghatározhatók. A vabeton kereztmetzet hajlítái vizgálata I. ezültégi állapotban ak annyiban má, mint az elemi gerendaelméletben, hogy a kereztmetzet egye helyein eltérő az azono nagyágú ε nyúláokhoz tartozó ezültég: mintha az aélkereztmetzetek helyén az E /E aránynak megelelően "erőebben dolgozna" a kereztmetzet. Ezt egyzerűen igyelembe vehetjük egy olyan ideáli kereztmetzet bevezetéével, amelyben az aélbetétek helyén ennek a "többletteljeítménynek" megelelő "többletbetont" vezünk igyelembe, E A + A id = A, E majd a továbbiakban ennek az ideáli kereztmetzetnek a kereztmetzeti jellemzőivel - úlypont, inerianyomaték, kereztmetzeti moduluok - zámolunk tovább. Az egéz olyan egyzerű, hogy alig érdemel további képleteket. Cupán azt kell még ézben tartanunk, hogy az aélbetétek vonalában a ezültég má a betonban, mint az aélban. Példaként írjuk el az alábbi vabeton kereztmetzet repeztő nyomatékának meghatározáára zolgáló képleteket az I. ezültégi állapot zerinti vizgálat zerint.
6 Tekintük tehát adottnak a kereztmetzeten ábrázolt geometriai adatokat, legyen továbbá imert E a beton rugalmaági modulua, E az aél rugalmaági modulua, t a beton húzózilárdága Vezeük be a rugalmaági moduluok arányára az E α = E jelölét. Ezt alkalmazva, az ideáli kereztmetzeti terület: aló ölő A id = A + α A = d b + ( α 1)( A + A ). Az ideáli kereztmetzet tatikai nyomatéka a téglalap középpontján átmenő tengelyre: aló aló ölő ölő S id = d A ( α 1) d A ( α 1). A tatikai nyomatékból kizámíthatjuk az ideáli kereztmetzet úlypontjának a téglalap középpontjától mért távolágát: aló aló ölő ölő Sid [ A d A d ]( α 1) y id = =. aló ölő Aid bd + ( A + A )( α 1) Tizta hajlítá eetén a emlege tengely tehát y id távolágban ekzik a téglalap középpontjától. A következő zámítái lépében Steiner tételével az ideáli kereztmetzet inerianyomatékát zámítjuk a úlypontjára: 3 bd aló aló ölő ölő I id = + bd yid + ( α 1) [ A ( d yíd ) + A ( d + yid ) ]. 1 A zélő zálakban ellépő ezültég kizámítáához meg zoktuk határozni a kereztmetzeti moduluokat: aló I id ölő I id Wid =, W aló id =, ölő d yid d + yid ezek elhaználáával az M nagyágú nyomaték által keltett zélőzál-ezültégek: aló M ölő M =, aló =. ölő Wid Wid é betonaél ezültégek aló M aló ölő M ölő = d α, = d α. I id I id A enti képleteket az előzőekben é a Példatárban alkalmazott jelöléekkel elírva: A' A'
7 I 1 3 1 ( α 1) d + A ( α 1) S bh + A d i, I x = = I, A bh + A i, I ( α 1) + A ( α 1) 1 ( h x ) 3 + A ( α 1)( x d ) + A ( )( d x ) I, 3 I aló i, I I ölő i, I Wi, I =, Wi. I =, d xi xi M ( d ölő M xi )α, = ( x d )α. I I 3 i, I = bxi + b I I α 1 aló = i, I Ha a kereztmetzeti teherbírá-kritérium az, hogy a legnagyobb húzóezültég ne lépje túl a beton t húzózilárdágát, az ennek a kritériumnak megelelő M R pozitív nyomatékot a aló = t egyenlőégből zámíthatjuk viza: + aló M R = W t. A kereztmetzetre hárítható legnagyobb negatív nyomaték értéke: ölő M = W. R Az I. ezültégi állapot eltételezéei zerint végzett hajlítávizgálat kereztmetzeti teherbírá-kritériumát termézeteen ki lehet egézíteni azzal, hogy a nyomott zélő zálban ellépő ezültég abzolút értéke e lépje túl beton d nyomózilárdágát, az aélbetétekben ébredő ezültégek abzolút értéke e haladja meg az aél yd olyáhatárát. Ennek azonban "tiztán" hajlított vabeton kereztmetzet eetén inkább ak elvi jelentőége van. Ennek egyik oka az, hogy a beton nyomózilárdága nagyágrenddel meghaladja a húzózilárdágát, ezért "tiztán" hajlított vabeton kereztmetzet eetén olyan kereztmetzeti ezültégelozlá, amelyben a nyomott zélő zál ezültége előbb éri el - d értékét mint a húzott zélő zál ezültége t -t, a gyakorlatban nemigen ordul elő. A máik ok az, hogy az yd / d hányado gyakorlatilag minden beton-aél pároítá eetén nagyobb érték az E /E hányadonál, így az aélbetét vonalában ekvő betonzál zilárdágának kihaználtága előbb válik teljeé az aél zilárdágánál. Ha a kereztmetzetre a hajlítónyomatékon kívül nyomóerő i hat, a zilárdágvizgálat entiek zerinti kiterjeztée már több egyzerű ormalitánál. Az I. ezültégi állapotban elvégzett hajlítái vizgálatot azonban nagyon egyzerűen kiegézíthetjük a nyomatékkal é normálerővel egyidejűleg terhelt kereztmetzet zélőzál-ezültégeinek képleteivel. Ha eltezük, hogy az M nyomaték mellett egy N nagyágú normálerő i hat az ideáli kereztmetzet úlypontjában, ez a normálerő upán egy kontan normálezültéggel módoítja a nyomatékból zámolt ezültégeket. A zéőzál-ezültégek tehát aló M N = aló +, ölő M N = ölő +. W Aid W Aid A Példatár jelöléével id aló M N = +, W A aló i, I i, I t i, I ölő M N = +. W A Az aélbetétekben működő ezültégeket úgy kapjuk, hogy kizámítjuk a vizgált aélbetét magaágában működő betonezültéget, majd azt α-val megzorozzuk. id ölő i, I i, I
8 Van azonban a enti képleteknek egy "zépéghibájuk": az M S é N S mértékadó igénybevétel-pár zámítáa orán általában azt tételezzük el, hogy M S a vabeton kereztmetzet geometriai középpontjára - az előző példánál a téglalap kereztmetzet két átlójának a metzépontjára - vonatkozó nyomaték. Ahhoz, hogy a enti képletek helye eredményt adjanak, az M S é N S mértékadó igénybevétel-párt előbb az ideáli kereztmetzet úlypontjára kell redukálni. Az I. ezültégi állapotban végzett zámítáok tükrében az átlago vaaláú kereztmetzetek aélbetétei vizonylag ekély mértékben beolyáolják az ideáli kereztmetzeti jellemzőket. Ezzel ügg öze, hogy nem dolgoztak ki olyan módzereket, amelyek a kereztmetzeti vaalá zükége mennyiégének megállapítáára irányultak. Hajlítái vizgálat II. ezültégi állapotban A máodik ezültégi állapot zerinti vizgálat "upán" abban különbözik az I. ezültégállapottól, hogy az ideáli kereztmetzet úlypontján átmenő emlege tengely egyben a "dolgozó", azaz nyomott betonkereztmetzet határa; a betonkereztmetzetnek a emlege tengelyen túli rézét a nyomatéki vizgálatban igyelmen kívül kell hagynunk. Ez a különbég azonban lényegeen módoítja az ideáli kereztmetzeti jellemzők kizámítáának lépéeit. Mot ugyani nem indulhatunk ki abból, hogy imerjük az ideáli kereztmetzet területét, hizen azt a emlege tengely helyzete beolyáolja. Azt em eltételezhetjük, hogy ugyanazokkal az ideáli kereztmetzeti jellemzőkkel zámolhatunk pozitív é negatív nyomatékok eetén, hizen a "dolgozó", ill. a "kieő" betonkereztmetzetek arányát beolyáolja az átrepedt betonzónán átutó kereztmetzeti vaalá nagyága. Elöljáróban ezért el kell döntenünk, hogy a kereztmetzeti ezültégelozlát pozitív vagy negatív nyomaték eltételezéével vizgáljuk. Tételezzük el, hogy a kereztmetzeti nyomaték pozitív, azaz a húzott zóna a kereztmetzet aló elében helyezkedik el. A vizgálatnak termézeteen ak akkor van értelme, ha ebben a zónában aélbetét ekzik. A továbbiakban a Példatárban haznált jelölét haználjuk. Elő lépében tehát eltezük, hogy a betonkereztmetzetet a emlege tengely egy ölő, egyelőre imeretlen x magaágú "dolgozó" é egy aló, (h-x) magaágú "kieő" rézre bontja. A i,ii -nek a emlege tengely ölötti réze az I. ezültégi állapothoz haonlóan a nyomára"dolgozó" beton kereztmetzet é a nyomott zónában ekvő aélkereztmetzet α-zoroa lez, vizont A i,ii - nek a emlege tengely alatti rézét upán a húzott zónában ekvő aélkereztmetzet α- zoroa alkotja. A nyomott zóna x magaágát az ideáli kereztmetzet úlyvonalának egyik deiníiója alapján határozhatjuk meg. Ezerint: a úlyvonal által kettéoztott kereztmetzet két rézterületének a úlyvonalra vett tatikai nyomatéka egymá ellentettje. A deiniió alapján elírt egyenlet imeretlenként ak x értékét tartalmazza, így az egyenlet megoldáával a II. ezültégi állapotban igyelembe veendő ideáli kereztmetzet öze geometriai adata imertté válik. A hajlítái vizgálatot ezután az ideáli kereztmetzet jellemzőinek meghatározáával az I. ezültégi állapotnál megimert módon olytathatjuk. Vezeük végig példaként az előbbi téglalap kereztmetzet II. ezültégi állapot zerinti vizgálatát pozitív nyomaték eltételezéével. A zámítái képletek egyzerűbb elíráához néhány új jelölét alkalmazunk. Ezek értelmezée az ábrán látható.
9 A emlege tengely x magaágának meghatározáára zolgáló egyenlet: 1 ( α 1) A ( x d ) = A ( d x) bx + α, amelyet b x + [ α A + ( 1) A ] x [ A d + ( 1) A d α α α ] = 0 alakra rendezve x-re megoldunk. Továbbiakban x II vel jelölünk, utalva a II. ezültégállapotra. (A máodokú egyenlet két gyöke közül ak a pozitív előjelűnek van való geometriai jelentée.) A zámítában nem jut közvetlen zerephez az ideáli kereztmetzet i, II bx II + α A + α ( ) A A = 1 területe, vizont a kereztmetzeti moduluokhoz el kell írnunk az ideáli kereztmetzet inerianyomatékát. Ezt az ideáli kereztmetzetet alkotó rézterületeknek a emlege tengelyre vonatkozó máodrendű nyomatékai özegzéével kapjuk meg: 3 bxii I = + α A d x + α A x d. ( ) ( ) ( ), 1 i II II II 3 A beton húzott zélő zálában a repedé miatt zéru a ezültég, így erre a zálra vonatkozó kereztmetzeti modulut nem kell zámítanunk. Célzerű vizont kereztmetzeti modulut értelmeznünk a húzott aélbetétek vonalára. Az ideáli inerianyomaték alapján ezért az alábbi két kereztmetzeti modulut képezzük: I i, II I i, II W, II =, W, II =. xii d xii M nagyágú pozitív nyomaték működtekor a nyomott betonzóna zélő zálában, ill. a húzott oldali aélbetétekben az alábbi ezültégek ébrednek: M M =, = α. W W A II. ezültégi állapotban a kereztmetzet hajlítái teherbírá-kritériuma úgy ogalmazható meg, hogy a beton nyomott zélő zálában a nyomóezültég abzolut értéke nem haladhatja meg a nyomózilárdág d igyelembe vehető értékét, az aélbetétben pedig
30 nem haladhatja meg a húzóezültég nagyága az olyáhatár yd igyelembe vehető értékét 1. (A két zilárdág jelében a d index a "deigned" zóra utal, azaz arra, hogy nem kíérleti értékekről, hanem a vizgálat orán igyelembe vehető értékekről van zó.) A kettő teherbírá-kritérium alapján a kereztmetzetre hárítható legnagyobb hajlítónyomaték az alábbi két nyomaték közül a kiebb: 1 M R1 = W d, M R = W yd. α Egyzere vaaláú kereztmetzet eetén (azaz ha eetünkben A =0,) a képletek egyzerűbbé válnak: az x II meghatározáára vonatkozó egyenlet: b xii + α A xii αa d = 0, amelyből x meghatározáa után a "belő erők karjának" nevezett z = d 3 hozúágot képezve, a zélőzál-ezültégekre a M M =, = bxii z A z képletek vezethetők le. A levezetett képletek azt mutatják, hogy a kereztmetzeti vaalá II. ezültégállapotban jelentő mértékben beolyáolja az ideáli kereztmetzeti jellemzőket. Ezzel ügg öze, hogy korábban elterjedten haználtak olyan a II. ezültégi állapot alapján álló zámítái módzereket, amelyek adott betonméretek mellett adott nagyágú nyomaték elvételéhez zükége kereztmetzeti vaalá mennyiégének megállapítáára irányultak. Ezeket módzereket a kereztmetzeti teherbírá-vizgálat kontextuában "méretezének" nevezik, zemben az "ellenőrzének" nevezett vizgálattal, amely a telje egézében imert kereztmetzet M R nyomatékának megállapítáára zolgál. A jelenlegi gyakorlat zerint a enti értelemben vett "méretezét" mindig a III. eültégállapot zerint végzik el. A normálerővel i terhelt kereztmetzet vizgálata körülményeebb annál, hogy a nyomatéki vizgálattal "egy üt alatt" az i elvégezhető legyen. Ennek az az oka, hogy II. ezültégi állapotban a nyomatékkal egyidejű normálerő közvetlenül beolyáolja a "dolgozó" betonkereztmetzet nagyágát, ezt az ideáli kereztmetzet elvételénél igyelembe kell vennünk. A kereztmetzeti ezültégelozlá képleteit legegyzerűbben úgy vezethetjük le, ha eltezük, hogy a nyomaték é a normálerő egymáal arányoan változik, mert ilyen változá eetén az ideáli kereztmetzet állandó marad. x II 1 A nyomott zónában ekvő aélbetétek zilárdági ellenőrzéétől - az I. ezültégi állapot zerinti vizgálat orán a nyomózilárdágok é a rugalmaági moduluok arányára vonatkozóan tett megjegyzé értelmében - mot i eltekinthetünk.
31. gyakorlat: Repedémente é berepedt gerendák zámítáa Friedman N. Huzár Z. Ki R.M. Klinka K. Ková T. Völgyi I.: Példatár a Vabetonzerkezetek tantárgyhoz. BME Hidak é Szerkezetek Tanzéke példatár 1. gyakorlati anyaga. (4-1. oldal)
3 3. hét 3. előadá: Hajlított kereztmetzet ellenőrzée I. Hajlítái vizgálat a III. ezültégi állapotban A II. ezültégi állapotban végzett hajlítái vizgálatot azzal zártuk, hogy minden berepedt vabeton kereztmetzetre meg tudtunk határozni egy nyomatékot, amelyhez a kereztmetzetet alkotó anyagok valamelyike a rugalmaág határáig van kihaználva. A vabeton gerendák hajlítókíérletei azt mutatják, hogy ez a nyomaték általában tetemeen meghaladható, mert az aél i, a beton i rendelkezik a rugalmaági határon túli alakváltozó képeéggel, é ezek "zámlájára" olyan kereztmetzeti ezültégátrendeződé alakulhat ki, amelyhez pozitív nyomaték-növekmény tartozik. A hajlított kereztmetzet teherbíráának ténylege határához akkor érünk, ha kimerült annak a lehetőége, hogy a rugalmaon túli alakváltozáok "zámlájára" pozitív nyomaték-növekmény alakuljon ki. A III. ezültégi állapot zerinti hajlítái vizgálat ennek a határnak a megállapítáára vállalkozik. A vizgálat módzere nem az, hogy lépéről-lépére követjük a ezültég-átrendeződé olyamatát é a nyomaték-növekmények alakuláát, hanem az, hogy megpróbáljuk ölvenni közvetlenül azt a kereztmetzeti ezültég-elozlát, amelyben nin további lehetőég pozitív nyomaték-növekményt adó ezültégátrendeződére. Ennek a kereztmetzeti ezültégelozlának a elvételére alapvetően az ad lehetőéget, hogy a kíérleti megigyeléek é az elméleti megontoláok egyaránt azt mutatják, hogy a ajlago nyúláok kereztmetzeti elozláa a rugalmaági határon túli alakváltozáok tartományában i kielégítő pontoággal követi a Bernoulli-Navier hipotézi zerinti lineári elozlát. A Bernoulli-Navier hipotézi érvényeégéből az következik, hogy a legnagyobb abzolút értékű ajlago alakváltozáok a kereztmetzet zélő zálaiban azaz a nyomott betonzóna zélén, ill. az ettől legtávolabb ekvő aélbetétben lépnek el, é a pozitív nyomatéki növekményt eredményező ezültégátrendeződére (a gyakorlatban igyelmen kívül hagyható "patologiku eetektől" eltekintve) azért ninen lehetőég, mert ezek a ajlago nyúláok nem léphetők túl a zál törée vagy zakadáa nélkül. A III. ezültégi állapot zerinti vizgálat alapeltételezée tehát az, hogy a vizgált kereztmetzet valamelyik "zélő zálában" a ajlago alakváltozá a határáig ért, azaz nem növelhető úgy, hogy a kereztmetzeti ellenállá ne ökkenne. Ezt a határt vagy az jelzi, hogy - a nyomott zóna zélő zálában a legnagyobb kereztmetzeti özenyomódá elérte a beton töréi özenyomódáának a továbbiakban ε u -val jelölt határértékét; (ε u értéke normál betonok eetén az EUROCODE zerint 3.5 ezrelék, az MSz 150 zerint.5 ezrelék) vagy pedig az, hogy - a húzott zóna legnagyobb megnyúláú betétjében a nyúlá elérte az aél zakadó nyúláának értékét, amelyet a továbbiakban ε u -val ogunk jelölni. (ε u értékét a tervezéi zabályzatok az alkalmazott aéltíputól üggően 1.0 é.5 % közötti értékben állapítják meg. Az EUROCODE ak az ún. elkeményedő aélanyag eetén korlátozza az aélban eltételezhető nyúlá nagyágát.)
33 A enti két lehetőég közül majdnem mindig az elő zokott bekövetkezni, ezért a III. ezültégi állapot zerinti hajlítái vizgálatot mindig azzal a eltételezéel indítjuk, hogy a beton nyomott zélő zálában a töréi özenyomódá értéke lép el. A III. ezültégi állapot zerinti nyomatéki vizgálat az elmondottak zerint annak a kereztmetzeti alakváltozái diagramnak a megkereée, amelyben - valamelyik "zélő zál" ajlago alakváltozáa annak határértékével egyenlő, - a kereztmetzet ajlago alakváltozáaihoz tartozó ezültégek eredője egy nyomaték. Ha a enti két eltételnek megelelő kereztmetzeti alakváltozái diagramot megtaláltuk, az ehhez tartozó ezültégek nyomaték eredője a kereztmetzetre hárítható legnagyobb nyomaték. Vegyük zemügyre, hogy hogyan kerehető meg ez a kereztmetzeti ajlago alakváltozái diagram, ill. ez a nyomaték. Az alábbi ábra kék vonalai a Bernoulli-Navier hipotézinek eleget tevő kereztmetzeti alakváltozá-diagramokat mutatnak, amelyek a kereztmetzet alakváltozó képeégének kimerülééhez tartozhatnak. (Célzerű az ábrát nagyítva zemlélni.) Minden diagramhoz valamelyik "zélő zálban" a beton vagy az aél alakváltozó képeégének határát jelentő ε érték lép el. Ezek a vonalak tehát a kereé elő kritériumának megelelő kereztmetzeti alakváltozá-diagramok. Pozitív nyomatékkal terhelt kereztmetzetnél a "zélő zálak" közül majdnem mindig a nyomott zélő beton zál özenyomódó képeége merül előbb ki, ezért a vizgálatot úgy indítjuk, hogy a elő zélő zálban a beton töréi özenyomódáát tételezzük el. A kereztmetzet III. ezültégi állapotára jellemző alakváltozá-diagramot ezért a olytono vonalereggel ábrázolt diagramok közt kereük. -ε u ε u Ennek a kereének az elvi módzere a következő: - Felvezünk egy alakváltozá-diagramot, - ennek minden értékéhez hozzárendeljük a beton, ill. az aélzálak helyén az aél igyelembe veendő -ε diagramjának megelelő ezültéget, majd - meghatározzuk a ezültégek vektor- eredőjét. Ez általában nem zéru, pedig ha a kereztmetzeten ak egy nyomaték működik, a húzó- é a nyomóezültégek vektor-eredőjének zérut kell adnia. - Módoítanunk kell ezért a elvett alakváltozá-diagramot, mindaddig, amíg olyan kereztmetzeti diagramhoz nem találunk, amelyhez a ezültégek vektor-eredője zérura adódik. - Ha megtaláltuk azt a kereztmetzeti ezültég-elozlát, amelyhez zéru vektor-eredő tartozik, képezzük a ezültégek nyomaték-eredőjét, amelynek értéke a kereztmetzetre hárítható legnagyobb pozitív nyomatékot adja.
34 Általáno alakú kereztmetzet eetén valóban ezt a okozato közelítét kell alkalmaznunk, legeljebb arra tudunk általánoan érvénye "reeptet" adni, hogy milyen értelemben módoítuk a eltételezett alakváltozá-diagramot: ha a próbálkozá orán a ezültégek vektor-eredője pozitív, akkor az ábra zerint "meredekebb", ha negatív, akkor "lankáabb" diagrammal kell kíérleteznünk. A módzer gyakorlati alkalmazáa érdekében az alábbi egyzerűítéeket tezük (Ezek ekély mértékben beolyáolják az eredmények valózerűégét, de lényegeen egyzerűbbé tezik a vizgálatot): - a beton -ε diagramját a megnyúláok tartományában egézében zéru ezültéget kijelölő vonallal, az özenyomódáok tartományában a kezdeti rugalma zakaz "beolvaztáával" általában 0.8 kitöltöttégnek megelelő kontan ezültéget kijelölő vonallal helyetteítjük (lád az ábrán), ami a beton tervezéi nyomózilárdága ( d ), amit a beton karakteriztiku k nyomózilárdágából ( k ) a d = képlettel kapunk, a γ =1,5 biztonági γ tényezővel. - az aél -ε diagramját a megnyúláok é az özenyomódáok tartományában egyaránt egy a ± yd értékéig lineárian rugalma vielkedét mutató vonallal ezt követően az ε u értékéig egy-egy kontan ezültéget kijelölő vonallal helyetteítjük (lád az ábrát; a két egyzerűített ábra nem azono léptékben van rajzolva.), ahol a ± yd a betonaél tervezéi zilárdága, amit a betonaél yk karakteriztiku zilárdágából ( yk ) a yd = képlettel kapunk, a γ =1,15 γ biztonági tényezővel.