Megoldások 1. Számítsd ki a következő emeletes törtek pontos értékét! 4 1 3 + 2 4 1 2 2 4 3 1+ 3 2 Az emeletes törteket belülről kifelé haladva bontjuk ki: egy számot egy törttel úgy osztunk, hogy a számot szorozzuk a tört reciprokával. Ezek alapján a megoldások: a) 4 4 4 1 3 + 2 1 4 1 3 + 2 1 9 3 + 4 9 2 2 1 4 31 9 1 36 31 31 31 b) 2 4 3 1 + 3 2 2 4 3 1 + 10 3 2 4 3 13 3 2 4 2 4 3 1 24 13 13 2 2 24 4 24 1 6 2. Határozd meg, hogy a következő algebrai kifejezések közül, melyek egy tagúak; többtagúak; algebrai törtek; algebrai egészek; egyneműek egymással? Határozd meg a kifejezések együtthatóit! a+b c c x 7x + 8y 7 ab 11 3 10xy 7 9 2a 8b 11 a 2 y A fogalmak alapján a megoldások a következők: Algebrai egészek: 7x + 8y 7 ab 11 3 10xy 7 9 2a 8b 11 Algebrai törtek: a+b c c x a 2 y Egytagú kifejezések: a+b c c x ab 11 3 10xy 7 9 2a 8b 11 Többtagú kifejezések: 7x + 8y 7 a 2 y Egynemű kifejezések: ab 11 3 2a 8b 11 Együtthatók: 1 1 7 és 8 1 3 10 9 16 1 és 2 1
3. Határozd meg a következő polinomok fokszámát! 6a 9 b 7 2x + 3xy 4xyz 10xy 7 + 20y 2 z 2 + 30xy 2 z 3 A fogalmak alapján a megoldások a következők: 6a 9 b 10 7 0 2x + 3xy 4xyz 3 (a tagok fokszáma: 1; 2; 3) 10xy 7 + 20y 2 z 2 + 30xy 2 z 3 8 (a tagok fokszáma: 8; 4; 6) 4. Határozd meg az alábbi kifejezések helyettesítési értékét a megadott helyeken! a) 10xy 3z, ha x 0, 2; y 2 ; z 7 b) x + y z z 3x+1, ha x 2; y 3; z 4 2 y Helyettesítsük az adott kifejezésbe a változók értékeit: a) 10 (0,2) 2 3 (7) 1 + 21 20 b) 2+3 4 4 2 3 (2)+1 3 1 4 4 2 3 3 12 24 12 + 20 12 1 12. Végezz összevonást a következő kifejezésekben! a 2 + 2ab + 3a 2 ab a + a 2 b + 4ab 2 b + 11a 2 b ab 2 + 3b 3 Vonjuk össze az egynemű tagokat: a 2 + 2ab + 3a 2 ab 4a 2 3ab a + a 2 b + 4ab 2 b + 11a 2 b ab 2 + 3b 3 3b 3 + 3ab 2 + 12a 2 b + a b 2
6. Hozd a legegyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) (2a + 3b) + (a b + 3) b) ( 1 2 x + 2 3 y 1 z) ( 2 3 x 1 2 y + 1 4 z) c) 4a 2 2ab b 2 (a 2 + b 2 2ab) + (3a 2 ab + b 2 ) d) ( 2 3 x3 3x 2 y + 1 4 xy2 2y 3 1) (3x 3 2 3 + 1 2 y3 1 3 x2 y 2xy 2 ) e) 9a 2 + [7a 2 2a (a 2 3a)] f) 3a {2c [6a (c b) + c + (a + 8b 6c]} Először bontsuk fel a zárójeleket: ha a zárójel előtt negatív szerepel, akkor (1) gyel szorozzuk a zárójelben levő tagokat. Ezt követően vonjuk össze az egynemű kifejezéseket. a) (2a + 3b) + (a b + 3) 2a 3b + a b + 3 a 4b + 8 b) ( 1 2 x + 2 3 y 1 z) ( 2 3 x 1 2 y + 1 4 z) 1 2 x + 2 3 y 1 z + 2 3 x + 1 2 y 1 4 z 7 6 x + 7 6 y 9 20 z c) 4a 2 2ab b 2 (a 2 + b 2 2ab) + (3a 2 ab + b 2 ) 4a 2 2ab b 2 + a 2 b 2 + 2ab + 3a 2 ab + b 2 8a 2 b 2 ab d) ( 2 3 x3 3x 2 y + 1 4 xy2 2y 3 1) (3x 3 2 3 + 1 2 y3 1 3 x2 y 2xy 2 ) 2 3 x3 3x 2 y + 1 4 xy2 2y 3 1 3x 3 + 2 3 1 2 y3 + 1 3 x2 y + 2xy 2 7 3 x3 2 y3 8 3 x2 y + 9 4 xy2 1 3 e) 9a 2 + [7a 2 2a (a 2 3a)] 9a 2 + (7a 2 2a a 2 + 3a) 9a 2 + (6a 2 + a) 9a 2 + 6a 2 + a 1a 2 + a 3
f) 3a {2c [6a (c b) + c + (a + 8b 6c]} 3a [2c (6a c + b + c + a + 8b 6c)] 3a [2c (7a + 9b 6c] 3a (2c 7a 9b + 6c) 3a (7a 9b + 8c) 3a + 7a + 9b 8c 10a + 9b 8c 7. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 7 3 ( 3 2 ) (2) 4 3 2 8 1 ( 2 9 )2 0, 1 4 1, 63 0 Alkalmazzuk a hatványozás definícióját pozitív, illetve negatív egész kitevőjű hatványokra. 7 3 7 7 7 343 ( 3 2 ) 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 243 32 (2) 4 (2) (2) (2) (2) 16 3 2 (1) 3 3 9 8 1 1 8 ( 2 9 )2 ( 9 2 )2 9 2 9 2 81 4 0,1 4 ( 1 10 )4 ( 10 1 )4 10 10 10 10 10000 1,63 0 1 8. Döntsd el, hogy az alábbi állítás igaz vagy hamis! A: A negatív egész számok hatványai lehetnek pozitív és negatív értékek is. B: Az egész számok minden egész kitevőjű hatványa egész. C: Összeszorozva 1000 től 1000 ig az egész számokat az eredmény negatív lesz. A megoldások a következők: I; H; H. 4
9. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! 2 2 2 4 (3 2 ) 3 2 7 2 4 (22 3) 4 ( 2 )3 3 3 3 (3 2 ) 1 Alkalmazzuk a hatványozás azonosságait. 2 2 2 4 2 +1+4 2 10 1024 (3 3 ) 3 3 3 3 3 9 19683 2 7 2 4 274 2 3 8 (2 2 3) 4 (2 2 ) 4 3 4 2 2 4 3 4 2 8 3 4 20736 ( 2 )3 23 3 8 12 3 3 3 31+3 34 (3 2 ) 1 32 (1) 3 2 34(2) 3 6 729 10. Döntsd el számológép használata nélkül, hogy melyik kifejezés értéke nagyobb? 2 2 vagy ( 1 2 )3 3 4 + 3 vagy 3 9 6 12 vagy 12 8 ( 6 + 6 ) 6 vagy (2 10 ) 2 2 4 4 + 318 319 3 20 vagy 1 3 17 7 10 12 310 vagy 1 311 7 11 Alkalmazzuk a hatványozás azonosságait. 2 2 ( 1 2 )2 1 4 ( 1 2 )3 1 8 2 2 > ( 1 2 )3 3 4 + 3 3 4 (1 + 3) 4 3 4 3 9 3 3 4 3 4 + 3 < 3 9 6 12 (2 3) 12 2 12 3 12 2 12 3 8 3 4 12 8 (2 2 3) 8 2 16 3 8 2 12 3 8 2 4 6 12 > 12 8 ( 6 + 6 ) 6 (2 6 ) 6 2 6 ( 6 ) 6 2 6 36 (2 10 ) 2 2 20 ( 2 ) 20 40 4 36 ( 6 + 6 ) 6 < (2 3 ) 2
2 + 4 4 2 32 3 18 3 19 320 + 4 3 4 26 3 20 3 20 320 3 20 1 33 27 317 320 2 + 4 4 < 1 3 20 3 18 3 19 3 20 3 17 7 10 7 3 1 3 11 7 10 3 11 7 11 311 7 11 3 11 12 3 10 12 12 3 36 7 11 7 11 310 7 11 311 7 11 3 11 7 10 12 310 1 311 < 7 11 11. Számítsd ki számológép használata nélkül a következő kifejezések értékét! ( 3 ) 8 ( 3 7 ) 4 3 4 29 3 9 (3 6 ) 11 (2 3 ) 4 ( 1 2 ) ( 1 4 )3 8 1 2017 2 2018 10 2019 1000 3 (100 4 ) 10 31 480 144 64 : 360 2 9 3 8 6 8 + 2 8 3 7 2 10 + 2 11 Alkalmazzuk a hatványozás azonosságait. ( 3 ) 8 ( 3 7 ) 4 34 24 4 3 28 3 4 33 3 73 4 29 3 9 (3 6 ) 11 29 3 9 3 66 29 37 62 3 2 9 (2 3 ) 4 ( 1 2 ) 212 2 27 27 ( 1 4 )3 8 1 (2 2 ) 3 (2 3 ) 1 2 6 23 2 9 22 4 2017 2 2018 10 2019 2017 2 2018 ( 2) 2019 2017 2 2018 2019 2 2019 1 2 2 1 1 0 1000 3 (100 4 ) (103 3 ) [(10 2 ) 4 ] 109 10 40 1031 1 10 31 10 31 10 31 10 31 480 144 64 : 360 480 144 64 360 2 3 1 2 4 3 2 2 6 2 3 3 2 1 29 3 3 1 2 9 3 2 1 3 2 9 3 8 6 8 + 2 8 3 7 29 3 8 2 8 3 8 + 2 8 3 7 28 3 7 (2 1 3 1 3 1 + 1) 37 4 2 10 + 2 11 2 10 + 2 11 2 8 (2 2 + 2 3 ) 12 36 729 6
12. Végezd el az alábbi műveleteket! (Az eredményeket pozitív kitevőkkel add meg!) (x 2 y 3 z 4 ) 3 : (x 3 yz 2 ) 3 ( a2 bc 3 3 x 2 y 3) ( a3 b 2 c 2 1 ) x 2 y 3 ( 2p3 q 2 r 3 4 ) x y 1 : ( p1 q 2 r 2 2 ) 4x 2 y 3 Alkalmazzuk a hatványozás azonosságait. (x 2 y 3 z 4 ) 3 : (x 3 yz 2 ) 3 x6 y 9 z 12 x 9 y 3 z 6 x 1 y 12 z 18 z18 x 1 y 12 ( a2 bc 3 x 2 y 3)3 ( a3 b 2 c 2 ) 1 a x 2 y 6 b 3 c 9 x 2 y 3 a6 b 3 c 9 x 6 x2 y 3 b 2 c 2 a3 b c 11 x 8 3 x 6 y 9 a 3 b 2 c 2 y 9 a 3 y 6 ( 2p3 q 2 r 3 x y 1 )4 : ( p1 q 2 r 2 4x 2 y 3 )2 16p 12 q 8 r 12 p10 q 4 r 8 x 16 y 2 p10 q 4 x 16 y 2 r 8 x 20 y 4 : ( 4x2 y 3 p 1 q 2 r 2)2 16p12 q 8 r 12 p2 q 4 r 4 x 20 y 4 16x 4 y 6 13. Hozd a legegyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 3x 2 y (2 + x 4y 3 + xy) b) (d 3 d 2 + d 1) (d + 1) c) 2a 2 a (b 2a) + 4a (3a + 2 1 2 b) d) (a 3) (a + 4) (a 2) (a + ) e) (x 1) (x + 2) (3 4x) Szorozzunk meg minden tagot minden taggal, majd vonjuk össze az egynemű kifejezéseket. a) 3x 2 y (2 + x 4y 3 + xy) 6x 2 y + 3x 3 y 12x 2 y 4 + 3x 3 y 2 b) (d 3 d 2 + d 1) (d + 1) d 4 d 3 + d 3 d + d 3 d 2 + d 1 d 4 1 c) 2a 2 a (b 2a) + 4a (3a + 2 1 2 b) 2a2 ab + 2a 2 12a 2 + 9ab 8a 2 + 4ab 7
d) (a 3) (a + 4) (a 2) (a + ) a 2 + 4a 3a 12 (a 2 + a 2a 10) a 2 + 4a 3a 12 a 2 a + 2a + 10 2a 2 e) (x 1) (x + 2) (3 4x) (x 2 + 2x x 2) (3 4x) (x 2 + x 2) (3 4x) 3x 2 + 3x 14. Hozd a legegyszerűbb alakra a következő kifejezést, majd számold ki a helyettesítési értéket, ha x 3 és y 2! xy 2 {4x 3 [2x 2 y + 3 (2x y) (x 2 + xy y 3 ) (3y 4 6xy 3 )] + x 2 y} Először bontsuk fel a zárójeleket, majd vonjuk össze az egynemű kifejezéseket. Ezt követően a feladatban szereplő értékeket helyettesítsük be a változók helyére. xy 2 {4x 3 [2x 2 y + 3 (2x y) (x 2 + xy y 3 ) (3y 4 6xy 3 )] + x 2 y} xy 2 [4x 3 (2x 2 y + 6x 3 + 6x 2 y 6xy 3 3x 2 y 3xy 2 + 3y 4 3y 4 + 6xy 3 ) + x 2 y] xy 2 [4x 3 (x 2 y + 6x 3 3xy 2 ) + x 2 y] xy 2 (4x 3 x 2 y 6x 3 + 3xy 2 + x 2 y) xy 2 (10x 3 + 3xy 2 ) xy 2 + 10x 3 3xy 2 10x 3 2xy 2 Ezek alapján a megoldás: 10 3 3 2 3 (2) 2 246. 1. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! 3 1 + 3 : 21 2 3 4 32 6 [(3 4 1 6 ) 3 72 ]2 + 63 4 70 42 (1 1 3 3 2 )1 + 2 7 10 A műveleti sorrendnek megfelelően számítsuk ki a kifejezések értékét: törtet törttel úgy osztunk, hogy szorzunk az osztó reciprokával. 3 1 + 3 : 21 9 2 + 3 32 2 18 + 8 3 + 8 13 2 3 4 32 6 6 6 4 21 6 6 7 7 7 8
[( 3 4 1 6 ) 3 72 ]2 + 63 4 70 42 (1 1 3 3 2 )1 + 2 7 10 [( 9 12 2 12 ) 72 3 ]2 + 7 3 (8 6 9 6 )1 + 7 ( 7 12 72 3 )2 + 7 3 ( 1 6 )1 + 7 (6 )2 + 7 3 ( 6) + 7 2 36 + 7 3 + 6 + 7 12 + 420 + 1080 + 22 1877 180 180 180 180 180 16. Számítsd ki számológép használata nélkül a következő kifejezések pontos értékét! 10 000 10 004 10 002 9998 10 000 10 001 10 001 9999 1234321234321 2468642468641 1234321234320 1234321234320 2468642468641 + 1234321234321 Vezessük be az x 10 000 és az y 1234321234320 jelöléseket. 10 000 10 004 10 002 9998 10 000 10 001 10 001 9999 x (x + 4) (x + 2) (x 2) x2 + 4x x 2 + 4 4x + 4 4 (x + 1) 4 x (x + 1) (x + 1) (x 1) x 2 + x x 2 + 1 x + 1 x + 1 1234321234321 2468642468641 1234321234320 1234321234320 2468642468641 + 1234321234321 (y + 1) (2y + 1) y y (2y + 1) + y + 1 2y2 + y + 2y + 1 y 2y 2 + y + y + 1 2y2 + 2y + 1 2y 2 + 2y + 1 1 17. Végezd el a következő műveleteket! (2 + x) 2 (a 3) 2 (x + 4y) 2 (7a 10b) 2 (x + 3y) (x 3y) (2a 6b) (6b + 2a) ( 2 3 x7 + y) (y 2 3 x7 ) (4 a) 3 (6x + ) 3 (2a + b) 3 (4x 3y) 3 Alkalmazzuk a nevezetes azonosságokat. (2 + x) 2 2 2 + 2 2 x + x 2 4 + 4x + x 2 (a 3) 2 (a) 2 2 a 3 + 3 2 2a 2 30a + 9 (x + 4y) 2 x 2 2 x 4y + (4y) 2 x 2 8xy + 16y 2 9
(7a 10b) 2 (7a) 2 2 7a 10b + (10b) 2 49a 2 140ab + 100b 2 (x + 3y) (x 3y) x 2 (3y) 2 x 2 9y 2 (2a 6b) (6b + 2a) (2a 6b) (2a + 6b) (2a) 2 (6b) 2 4a 2 36b 2 ( 2 3 x7 + y) (y 2 3 x7 ) (y + 2 3 x7 ) (y 2 3 x7 ) y 2 ( 2 3 x7 ) 2 y 2 4 9 x14 (4 a) 3 4 3 3 4 2 a + 3 4 a 2 a 3 64 48a + 12a 2 a 3 (6x + ) 3 (6x) 3 + 3 (6x) 2 + 3 6x 2 + 3 216x 3 + 40x 2 + 40x + 12 (2a + b) 3 (2a) 3 3 (2a) 2 b + 3 2a b 2 b 3 8a 3 12a 2 b + 6ab 2 b 3 (4x 3y) 3 (4x) 3 + 3 (4x) 2 3y + 3 4x (3y) 2 + (3y) 3 64x 3 + 144x 2 y + 108xy 2 + 27y 3 18. Add meg a hiányzó tagokat úgy, hogy teljes négyzeteket kapjunk! a 2 + + 9b 2 x 2 10xy + + 28ab + 49b 2 1 36 x2 + 4 49 y2 a 6 b 4 2a 3 b 3 + 16 2 x8 24 3 x6 + Pótoljuk ki a kifejezéseket úgy, hogy nevezetes azonosságokat kapjunk. a 2 + + 9b 2 a 2 + 6ab + 9b 2 (a + 3b) 2 x 2 10xy + x 2 10xy + 2y 2 (x y) 2 + 28ab + 49b 2 4a 2 + 28ab + 49b 2 (2a + 7b) 2 1 36 x2 + 4 49 y2 1 36 x2 2 21 xy + 4 49 y2 ( 1 6 x 2 7 y)2 10
a 6 b 4 2a 3 b 3 + a 6 b 4 2a 3 b 3 + b 2 (a 3 b 2 b) 2 16 2 x8 24 3 x6 + 16 2 x8 24 3 x6 + 9 49 x4 ( 4 x4 3 7 x2 ) 2 19. Végezd el a következő műveleteket! (a b) 4 (x + y) (3a + b + c) 2 (x 2y z) 2 8a 3 b 3 x 3 + 12y 3 a 6 b 6 x + 32y (a 2n+1 b n3 ) (a 2n+1 + b n3 ) (2 n n k ) 2 (3 + x + y) (3 x y) Alkalmazzuk a nevezetes azonosságokat. (a b) 4 a 4 4a 3 b + 6a 2 b 2 4ab 3 + b 4 (x + y) x + x 4 y + 10x 3 y 2 + 10x 2 y 3 + xy 4 + y (3a + b + c) 2 9a 2 + b 2 + 2c 2 + 6ab + 30ac + 10bc (x 2y z) 2 x 2 + 4y 2 + z 2 4xy 2xz + 4yz 8a 3 b 3 (2a b) (4a 2 + 2ab + b 2 ) x 3 + 12y 3 (x + y) (x 2 xy + 2y 2 ) a 6 b 6 (a b) (a + a 4 b + a 3 b 2 + a 2 b 3 + ab 4 + b ) x + 32y (x + 2y) (x 4 2x 3 y + 4x 2 y 2 8xy 3 + 16y 4 ) (a 2n+1 b n3 ) (a 2n+1 + b n3 ) (a 2n+1 ) 2 (b n3 ) 2 a 4n+2 b 10n6 (2 n n k ) 2 (2 n ) 2 2 2 n n k + (n k ) 2 2 2n 2 n+1 n k + n 2k 11
(3 + x + y) (3 x y) (3 + x + y) [3 (x + y)] 3 2 (x + y) 2 9 x 2 2xy y 2 20. Alakítsd teljes négyzetté a következő kifejezéseket! x 2 + 4x 11 x 2 12x + 43 4x 2 12x + 13 2x 2 + 16x 8 x 2 20x 3 3x 2 30x + 79 A teljes négyzetté alakításhoz az első két tagot kell átalakítanunk nevezetes azonossággá, de mivel az azonosság alapján adódna egy harmadik tag is, ezért azt utólag le kell vonnunk ahhoz, hogy a kifejezés értéke ne változzon. Egy másik megoldás lehet a TEVE (teszek veszek) - szabály alkalmazása: az első két tagot kiegészítjük egy harmadikkal úgy, hogy a három tag egy nevezetes azonosságot alkosson, majd a beillesztett tagot le is vonjuk, hogy a kifejezés értéke ne változzon. Abban az esetben, ha az x 2 együtthatója nem négyzetszám, akkor először azt célszerű kiemelni az első két tagból, majd a megmaradó két tagot kell átalakítanunk az előzőkhöz hasonlóan. Ezek alapján a megoldások: x 2 + 4x 11 (x + 2) 2 4 11 (x + 2) 2 1 x 2 12x + 43 (x 6) 2 36 + 43 (x 6) 2 + 7 4x 2 12x + 13 4x 2 12x + 9 9 + 13 (2x 3) 2 + 4 TEVE - szabály 2x 2 + 16x 8 2 (x 2 + 8x) 8 2 [(x + 4) 2 16] 8 2 (x + 4) 2 32 8 2 (x + 4) 2 40 x 2 20x 3 (x 2 4x) 3 [(x 2) 2 4] 3 (x 2) 2 20 3 (x 2) 2 23 3x 2 30x + 79 3 (x 2 10x) + 79 3 (x 2 10x + 2 2) + 79 3 [(x ) 2 2] + 79 3 (x ) 2 7 + 79 3 (x ) 2 + 4 TEVE - szabály 12
21. Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! x 2 10x + 2 121x 2 169y 2 a 3 + 6a 2 + 12a + 8 12a + 10ab 4a 2 + 2a 8x 2 + 24x + 18 600x 3 4xy 4 12xy 24ay + 72ab 36bx 49 28a + 4a 2 1 16 a2 9 64 b10 12x 3 7x 2 y + 1xy 2 y 3 18a b 6a 3 b 2 + 12a 4 b 3 8a 2 b 3 12a 4 b 2 + 18a 6 b 1 x 8 4ax + 7b 28a bx A kifejezések szorzattá alakításához alkalmazzuk a következőket: nevezetes azonosság, kiemelés, teljes négyzetté alakítás. x 2 10x + 2 (x ) 2 (x ) (x ) 49 28a + 4a 2 (7 2a) 2 (7 2a) (7 2a) 121x 2 169y 2 (11x 13y) (11x + 13y) 1 16 a2 9 64 b10 ( 1 a 3 4 8 b ) ( 1 a + 3 4 8 b ) a 3 + 6a 2 + 12a + 8 (a + 2) 3 (a + 2) (a + 2) (a + 2) 12x 3 7x 2 y + 1xy 2 y 3 (x y) 3 (x y) (x y) (x y) 12a + 10ab 4a 2 + 2a 2a (6 + b 2a + a 4 ) 18a b 6a 3 b 2 + 12a 4 b 3 6a 3 b (3a 2 b + 2ab 2 ) 8x 2 + 24x + 18 2 (4x 2 + 12x + 9) 2 (2x + 3) 2 2 (2x + 3) (2x + 3) 8a 2 b 3 24a 4 b 2 + 18a 6 b 2a 2 b (4b 2 12a 2 b + 9a 4 ) 2a 2 b (2b 3a 2 ) 2 13
600x 3 4xy 4 6x (100x 2 9y 4 ) 6x (10x 3y 2 ) (10x + 3y 2 ) 1 x 8 (1 x 4 ) (1 + x 4 ) (1 x 2 ) (1 + x 2 ) (1 + x 4 ) (1 x) (1 + x) (1 + x 2 ) (1 + x 4 ) 12xy 24ay + 72ab 36bx 12y (x 2a) 36b (x 2a) (x 2a) (12y 36b) 12 (x 2a) (y 3b) 4ax + 7b 28a bx 4ax 28a + 7b bx 4a (x 7) b (x 7) (x 7) (4a b) 22. Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! x 3 8 x 2 + 12x + 11 6x 2 + 13x + 7 a 3 + 6a 2 + 11a + 6 1000a 3 + b 3 a 2 16a + 1 x 4 + 4 x 4 2x 3 2x 2 2x 3 A kifejezések szorzattá alakításához alkalmazzuk a következőket: nevezetes azonosság, kiemelés, teljes négyzetté alakítás. x 3 8 (x 2) (x 2 + 2x + 4) 1000a 3 + b 3 (10a + b) (100a 2 10ab + b 2 ) x 2 + 12x + 11 (x + 6) 2 36 + 11 (x + 6) 2 2 (x + 6 ) (x + 6 + ) (x + 1) (x + 11) a 2 16a + 1 (a 8) 2 64 + 1 (a 8) 2 49 (a 8 7) (a 8 + 7) (a 1) (a 1) 6x 2 + 13x + 7 6x 2 + 6x + 7x + 7 6x (x + 1) + 7 (x + 1) (x + 1) (6x + 7) 14
x 4 + 4 x 4 + 4x 2 + 4 4x 2 (x 2 + 2) 2 4x 2 (x 2 + 2 2x) (x 2 + 2 + 2x) a 3 + 6a 2 + 11a + 6 a 3 + 6a 2 + 9a + 2a + 6 a (a 2 + 6a + 9) + 2 (a + 3) a (a + 3) 2 + 2 (a + 3) (a + 3) [a (a + 3) + 2] (a + 3) (a 2 + 3a + 2) (a + 3) (a 2 + 2a + 1 + a + 1) (a + 3) [(a + 1) 2 + a + 1] (a + 3) [(a + 1) (a + 1 + 1)] (a + 3) (a + 2) (a + 1) x 4 2x 3 2x 2 2x 3 x 4 2x 3 3x 2 + x 2 2x 3 x 2 (x 2 2x 3) + x 2 2x 3 (x 2 2x 3) (x 2 + 1) (x 2 2x + 1 4) (x 2 + 1) [(x 1) 2 4] (x 2 + 1) [(x 1 2)(x 1 + 2)] (x 2 + 1) (x 3) (x + 1) (x 2 + 1) 23. Határozd meg a következő törtek értelmezési tartományát! x 2 7a + 11 2x y x 7 a x 3y ab a + 2b 10 9x 2 30xy + 2y 2 4a 2 81 A törtek nevezőjében szereplő kifejezések értéke nem lehet 0, mert a 0 val való osztást nem értelmezzük. Amennyiben a nevezőben bonyolultabb kifejezés szerepel, akkor célszerű (ha lehet) azt szorzattá alakítani. Mivel egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, ezért ezt követően a szorzat tényezői nem lehetnek egyenlők 0 - val. a 0 a x 3y 0 x 3y 0 a R ab a + 2b 10 a (b ) + 2 (b ) (b ) (a + 2) 0 b 0 b a + 2 0 a 2 1
9x 2 30xy + 2y 2 (3x ) 2 (3x ) (3x ) 0 3x 0 x 3 4a 2 81 (2a 9) (2a + 9) 0 2a 9 0 a 9 2 2a + 9 0 a 9 2 24. Egyszerűsítsd a következő törteket a változók lehetséges értékeinél! 143r 4 s 8 t 66r s 2 t 3 a a + 1b ik 3 i 2 k ik 2 y + 1 6y + 18 b a a b in jn 1jm 1im 2x + 4 x 2 4 3a 2 3 7a + 7 c 2 6c + 9 9 3c 9x 2 + 18xy + 9y 2 12x 2 12y 2 4x 3 y + 4xy 3 x 4 y 4 ax + bx ay by 7x 7y Először (ha lehet) alakítsuk szorzattá a számlálóban és nevezőben levő kifejezést is. Ezt követően a számlálóban és nevezőben megjelenő közös tényezőkkel egyszerűsíthetjük a törtet. Ezek alapján a megoldások: 143r 4 s 8 t 13s6 t 2 13r1 s 6 t 2 66r s 2 t 3 6r 6 a a a a + 1b (a + 3b) a + 3b ik 3 ik3 k2 i 2 k ik 2 ik (i k) i k 16
y + 1 6y + 18 (y + 3) 6 (y + 3) 6 b a a b (a b) a b 1 in jn 1jm 1im n (i j) n (j i) n 1m (j i) 1m (j i) 3m 2x + 4 x 2 4 2 (x + 2) (x 2) (x + 2) 2 x 2 3a 2 3 3 (a2 1) 3 (a 1) (a + 1) 3 (a 1) 7a + 7 7 (a + 1) 7 (a + 1) 7 c 2 6c + 9 9 3c (c 3)2 3 (3 c) (c 3) (c 3) 3 (c 3) c 3 c 3 3 c 3 3 3 9x 2 + 18xy + 9y 2 9 (x2 + 2xy + y 2 ) 12x 2 12y 2 12 (x 2 y 2 ) 9 (x + y) 2 12 (x y) (x + y) 3 (x + y) 4 (x y) 4x 3 y + 4xy 3 x 4 y 4 4xy (x2 + y 2 ) (x 2 y 2 ) (x 2 + y 2 ) 4xy x 2 y 2 ax + bx ay by 7x 7y x (a + b) y (a + b) 7 (x y) (a + b) (x y) 7 (x y) a + b 7 Az értelmezési tartomány vizsgálatát mindig az egyszerűsítés előtt kell végrehajtanunk, mert az egyszerűsítés után bővülhet az alaphalmaz. 2x + 4 x 2 4 Egyszerűsítés előtt: x 2 4 0 x 2 és x 2 Egyszerűsítés után: x 2 17
2. Egyszerűsítsd a következő törteket a változók lehetséges értékeinél! a 3 a 2 a + 1 a 4 2a 2 + 1 x 1 2 x 2 1 3x 1 2 + 1 x x 2 + 3x + 2 x 2 + 4x + 3 (x 2 y 2 z 2 2yz) (x+yz) (x+y+z) (x 2 +z 2 2xzy 2 ) 3a + 6 a 3 + 8 (a+1) (a 8 +a 4 +1) (a 4 a 2 +1) (a 2 +a+1) Először (ha lehet) alakítsuk szorzattá a számlálóban és nevezőben levő kifejezést is. Ezt követően a számlálóban és nevezőben megjelenő közös tényezőkkel egyszerűsíthetjük a törtet. a 3 a 2 a + 1 a 4 2a 2 + 1 a2 (a 1) (a 1) (a 2 1) 2 (a 1) (a2 1) (a 2 1) (a 2 1) (a 1) (a 2 1) (a 1) (a + 1) (a 2 1) 1 a + 1 x 2 + 3x + 2 x2 + 2x + x + 2 x (x + 2) + (x + 2) x 2 + 4x + 3 (x + 2) 2 4 + 3 (x + 2) 2 1 (x + 2) (x + 1) (x + 2 1) (x + 2 + 1) (x + 2) (x + 1) (x + 1) (x + 3) x + 2 x + 3 3a + 6 3 (a + 2) 3 a 3 + 8 (a + 2) (a 2 2a + 4) a 2 2a + 4 x 1 2 x 2 1 2 + 3x 1 1 x x 2 1 x 2 x 2 1 2 2x + 3x 1 1 x 1 x 2 1 1 + x 1 x 1 1 x 1 (x1) 1 (x1) (x+1) 1 + x (x1) (x+1) x + 1 (x+1) 2 (x 2 y 2 z 2 2yz) (x+yz) [x2 (y 2 +2yz+z 2 )] (x+yz) [x2 (y+z) 2 ] (x+yz) (x+y+z) (x 2 +z 2 2xzy 2 ) (x+y+z) [x 2 2xz+z 2 y 2 ] (x+y+z) [(xz) 2 y 2 ] [x(y+z)] [x+(y+z)] (x+yz) (x+y+z) (xzy) (xz+y) (xyz) (x+y+z) (x+yz) (x+y+z) (xzy) (xz+y) 1 (a+1) (a 8 +a 4 +1) (a+1) (a8 +2a 4 +1a 4 ) (a+1) [(a4 2 +1) a 4 ] (a 4 a 2 +1) (a 2 +a+1) (a 4 a 2 +1) (a 2 +a+1) (a 4 a 2 +1) (a 2 +a+1) (a+1) (a4 +1a 2 ) (a 4 +1+a 2 ) (a 4 a 2 +1) (a 2 +a+1) (a+1) (a4 +2a 2 +1a 2 ) a 2 +a+1 (a+1) [(a2 +1) 2 a 2 ] a 2 +a+1 (a+1) (a2 +1a) (a 2 +1+a) a 2 +a+1 (a + 1) (a 2 a + 1) a 3 + 1 18
26. (K) Egyszerűsítsd a következő törteket a változók lehetséges értékeinél! (4a+b) (4ab) (3a+2b) 2 + b 2 7a12b (3a1) (2a+1) 2 3a (2a+3) 2 + 1 28a (2x+1) 2 (3x1) (3x+1)+x 2 2x+1 A zárójelek felbontása és a lehetséges összevonások után végezzük el az egyszerűsítéseket. (4a+b) (4ab) (3a+2b) 2 + b 2 7a12b 16a2 b 2 (9a 2 +12ab+4b 2 )+b 2 7a12b 16a2 b 2 9a 2 12ab4b 2 +b 2 7a12b 7a2 12ab 7a12b a (7a12b) a 7a12b (3a1) (2a+1) 2 3a (2a+3) 2 + 1 28a (3a1) (4a2 +4a+1) 3a (4a 2 +12a+9) + 1 28a 12a3 +12a 2 +3a4a 2 4a112a 3 36a 2 27a+1 28a 28a2 28a 28a 28a (a+1) 28a a + 1 (2x+1) 2 (3x1) (3x+1) + x 2 2x+1 4x2 +4x+1(9x 2 1)+x 2 2x+1 4x2 +4x+19x 2 +1+x 2 2x+1 4x+2 2 (2x+1) 2 2x+1 2x+1 27. (E) Egyszerűsítsd a következő törteket a változók lehetséges értékeinél! (ab) 3 3ab (a+b) + b 3 a 6b (ab) (a 2 +ab+b 2 ) + b 3 a 2 a 1 A zárójelek felbontása és a lehetséges összevonások után végezzük el az egyszerűsítéseket. (ab) 3 3ab (a+b) + b 3 a6b a3 3a 2 b+3ab 2 b 3 3a 2 b3ab 2 +b 3 a6b a3 6a 2 b a6b a2 (a6b) a6b a 2 (ab) (a 2 +ab+b 2 ) + b 3 a 2 a1 a3 b 3 +b 3 a 2 a1 a3 a 2 a1 a (a1) a a1 19
28. Végezd el a törtek osztását, illetve szorzását a változók lehetséges értékeinél! (2x) 2 y (x 4 3 ) 6 x x 7 (x 2 y 6 ) 9 6a 3 10ab8 b2 3a : 4b11 x 2 6x + 9 x2 + 6x + 9 a 6 x 2 9 x 2 + 3x x 2 2 : x2 + x x 2 2x x 4 4x 2 x 2 20y 2 x 10y : 3x + 6y 9x 2ab a 2 6b + 3a 4b 2 a2 a A műveletek elvégzéséhez először az osztást át kell írnunk szorzássá. Ezt követően a nevezőben és a számlálóban levő kifejezést is (ha lehet) alakítsuk szorzattá. Végül a szorzások elvégzése előtt, egyszerűsítsünk a megfelelő tényezőkkel. Ezek alapján a megoldások: (2x) 2 y (x 4 3 ) 4x2 y 6 x x 7 (x 2 y 6 ) 9 6x 12 x 12 x 18 y 4 4x10 y 2x4 y 2y 6x 6 y 4 3 3x 4 6a 3 10ab8 b2 3a : 4b11 a 6 6a3 10ab8 a 6 60a10 b 8 a b2 3a 4b 11 60a b 9 b x 2 6x + 9 x 2 9 x2 + 6x + 9 x 2 + 3x (x 3)2 (x 3) (x + 3) (x + 3)2 x 3 x (x + 3) x x 2 2 : x2 + x x2 2 x4 4x 2 (x ) (x + ) x2 (x 2 4) (x) (x+) x2 (x2) (x+2) x 2 2x x 4 4x 2 x 2 2x x 2 + x x (x 2) x (x + ) x (x 2) x (x + ) (x ) (x + 2) 1 x 2 3x 10 x 2 20y 2 x 10y : 3x + 6y 9x (x2 4y 2 ) 3x + 6y 9x x 10y (x 2y) (x + 2y) 3 (x + 2y) 9x (x 2y) 3x 2ab a 2 6b + 3a 4b 2 a2 a a (2b a) (2b a) (2b + a) 3 (2b + a) a 3 20
29. Végezd el a törtek osztását, illetve szorzását a változók lehetséges értékeinél! 3a 2 6ab a 2 + 4b 2 a 4 16b 4 1 (a 2b) 2 x 2 x 2 x 2 + 2x + 1 2x + 2 x 2 a 2 10a + 2 a 2 3a 10 : a 4a + 8 x 3 + 27 8x + 6 12x + 9 x 2 + 6x + 9 3a 3 + 18a 2 + 27a a + 1 : a3 9a 10a 30 a 2 a + 6 a 2 + 7a + 12 a 2 + 3a a 2 4a 4 A műveletek elvégzéséhez először az osztást át kell írnunk szorzássá. Ezt követően a nevezőben és a számlálóban levő kifejezést is (ha lehet) alakítsuk szorzattá. Végül a szorzások elvégzése előtt, egyszerűsítsünk a megfelelő tényezőkkel. Ezek alapján a megoldások: 3a 2 6ab a 4 16b 4 3a (a 2b) a 2 + 4b 2 1 (a 2b) 2 (a2 4b 2 ) (a 2 + 4b 2 ) a 2 + 4b 2 1 (a 2b) 2 3a (a 2b) (a 2b) (a + 2b) (a2 + 4b 2 ) a (a + 2b) a2 + 2ab a 2 + 4b 2 1 (a 2b) 2 x 2 x 2 2x + 2 x2 1 x 1 2 (x + 1) (x1) (x+1)(x+1) 2 (x+1) (x+1) (x2) 2 (x+1) 2 x 2 + 2x + 1 x 2 (x + 1) 2 x 2 (x+1) 2 x2 (x+1) 2 x2 a 2 10a+2 a 2 3a10 : a 4a+8 (a)2 4 (a+2) a 2 4 3a6 a (a) 2 4 (a+2) (a)2 4 (a+2) 4 (a2) (a+2)3 (a+2) a (a+2) (a) a x 3 + 27 12x + 9 (x + 3) (x2 3x + 9) 3 (4x + 3) 3 (x2 3x + 9) 3x2 9x + 27 8x + 6 x 2 + 6x + 9 2 (4x + 3) (x + 3) 2 2 (x + 3) 2x + 6 3a 3 + 18a 2 + 27a a + 1 : a3 9a 3a (a2 + 6a + 9) 10a 30 (a + 3) 10 (a 3) a (a 3) (a + 3) 3a (a + 3)2 (a + 3) 10 (a 3) a (a 3) (a + 3) 6 a 2 a + 6 a 2 + 7a + 12 a 2 + 3a a2 2a 3a + 6 a 2 4a 4 a 2 + 3a + 4a + 12 a (a + 3) a (a 2) 3 (a 2) a (a + 3) (a 2) 2 a (a + 3) + 4 (a + 3) (a 2) 2 (a 3) (a 2) (a + 4) (a + 3) a (a + 3) a (a 3) (a 2) 2 (a + 4) (a 2) 21 a2 3a a 2 2a 8
30. Végezd el a törtek összeadását, illetve kivonását a változók lehetséges értékeinél! 2a + 4 2a 3 a + 11c 7b 6b 2 c 18a 2 b 12ac 2 2a a + 3 a 1 a b + a a 2a 3b a 2 b a + b a b 4a b ab 2 a + 2b b a A műveletek elvégzéséhez először közös nevezőre kell hoznunk a törteket, amihez a nevezők legkisebb közös többszörösét célszerű választanunk. A közös nevező meghatározásához célszerű (ha lehet) szorzattá alakítanunk a nevezőket. A közös nevező megállapítása után a törteket bővítsük úgy, hogy a nevezőjük a közös nevező legyen: amennyivel szorozzuk a nevezőt, annyival szorozzuk a számlálót is. Végül vonjuk össze a törteket, s a kapott törtet hozzuk a legegyszerűbb alakra. Összevonáskor figyelni kell arra, hogy a törtvonás zárójelet helyettesít, vagyis ha valamelyik tört előtt negatív jel szerepel, akkor a számlálóban levő kifejezést zárójelbe kell tennünk. Abban az esetben, ha két tag különbségére lenne szükségünk a közös nevezőhöz, de a két tört nevezőjében fordított sorrendben állnak a tagok, akkor ki kell emelnünk az egyik nevezőből (1) et. Ezt követően, ha a (1) szeres szorzót el szeretnénk hagyni a nevezőből, akkor a tört előjelét kell megváltoztatnunk. Ezek alapkán a megoldások: 2a + 4 2a 3 (2a + ) 20 4 (2a 3) 20 10a + 2 (8a 12) 20 10a + 2 8a + 12 20 2a + 37 20 2a a b 10a ab 10a (a b) 10a a + b 9a + b 2a 3b a 2 b 4a b ab 2 b (2a 3b) a 2 b 2 a (4a b) a 2 b 2 2ab 3b2 4a 2 + ab a 2 b 2 4a2 3b 2 + 7ab a 2 b 2 a 6b 2 c + 11c 18a 2 b 7b 12ac 2 30a3 c 36a 2 b 2 c 2 + 22bc3 36a 2 b 2 c 2 21ab3 30a3 c + 22bc 3 21ab 3 36a 2 b 2 c 2 36a 2 b 2 c 2 a + 3 + a a 1 a a (a + 3) a (a 1) + ( a) (a 1) a (a 1) a2 + 3a + a a 2 + a a (a 1) 9a a (a1) a + b a b a + 2b b a a + b a + 2b a + b a + 2b + a b (a b) a b a b a + b + a + 2b 2a + 3b a b a b 22
31. Végezd el a törtek összeadását, illetve kivonását a változók lehetséges értékeinél! x + 1 x 2 x x + 2 2x 2 2 4 + 6 x 1 + 2 + 2x 1 x 2 2a + 1 a + 1 a 2 + 3a2 1 a 1 a 2 1 3x + 1 x + 2x 3 x + 1 x 2 x 1 1 3 p p 3 2p + 6 2p 2 12p + 18 4x 3 3 2x 4 + x 3 + x 10x2 3 + 2x 4x 2 9 x + 3 1 + x 2x 1 x 3 + 1 x x 2 1 4a 2 3a + a 3 1 1 2a + a 2 + a + 1 6 1 a 7 + 1 1 8a 2 18b 2 2a 2 + 3ab 4ab 6b 2 A közös nevező meghatározásához célszerű (ha lehet) szorzattá alakítanunk a nevezőket. x + 1 x + 2 x + 1 x + 2 2 (x + 1) (x + 1) x (x + 2) x 2 x 2x 2 2 x (x 1) 2 (x 1) (x + 1) 2x (x 1) (x + 1) 2x (x 1) (x + 1) 2 (x2 + 2x + 1) (x 2 + 2x) 2x (x 1) (x + 1) 2x2 + 4x + 2 x 2 2x 2x (x 1) (x + 1) x2 + 2x + 2 2x (x 2 1) 4 + 6 x 1 + 2 + 2x 1 x 2 4 + 6 (1 x) + 2 + 2x (1 x) (1 + x) 4 (1x) (1+x) (1x) (1+x) 6 (1+x) + 2+2x (1x) (1+x) (1x) (1+x) 4 4x2 (6 + 6x) + 2 + 2x (1 x) (1 + x) 4x2 4x 4x (x + 1) 4x 4x (1 x) (1 + x) (1 x) (1 + x) 1 x (x 1) 4x x 1 2a + 1 + a 2 3a2 1 (2a + 1) (a 1) (a 2) (a + 1) + 3a 2 1 a + 1 a 1 a 2 1 (a + 1) (a 1) (a 1) (a + 1) (a 1) (a + 1) 2a2 2a + a 1 + a 2 + a 2a 2 (3a 2 1) (a 1) (a + 1) 2a 2 (2) (a + 1) (a 1) (a + 1) (a 1) (a + 1) 2 a 1 2 2 (1 a) 1 a 3x + 1 x + 2x 3 x 2 x + 1 x 1 (3x + 1) (x + 1) (x 1) (2x 3) (x 1) x (x 2) (x + 1) x + x (x + 1) (x 1) x (x + 1) (x 1) x (x + 1) (x 1) 3x3 3x + x 2 1 + 2x 3 2x 2 3x 2 + 3x (x 3 + x 2 2x 2 2x) x (x + 1) (x 1) 7x2 + 2x 1 x (x + 1) (x 1) 23
1 3 p 1 3 p p 3 2p + 6 2p 2 12p + 18 p 3 2 (p + 3) 2 (p 3) 2 2 (p + 3) (p 3) 3 (p 3) 2 p (p + 3) 2 (p + 3) (p 3) 2 2 (p + 3) (p 3) 2 2 (p + 3) (p 3) 2 2p2 18 (3p 2 18p + 27) (p 2 + 3p) 2 (p + 3) (p 3) 2 2p2 + 1p 4 2 (p + 3) (p 3) 2 4x 3 4 + x 3 + x 10x2 (4x 3) (3 + 2x) 3 2x 3 + 2x 4x 2 9 (3 2x) (3 + 2x) (4 + x) (3 2x) 3 + x 10x2 (3 + 2x) (3 2x) (94x 2 ) 12x + 8x2 9 6x (12 8x + 1x 10x 2 ) + 3 + x 10x 2 (3 + 2x) (3 2x) 8x 2 18 (3 + 2x) (3 2x) 2 (2x + 3) (2x 3) (2x + 3) (2x 3) 2 x+3 + 2x1 x3 x+3 + 2x1 1+x 1x x 2 1 x+1 (x1) x3 (x+1) (x1) (x+3) (x1) (2x1) (x+1) (x+1) (x1) (x+1) (x1) x3 (x+1) (x1) x2 x + 3x 3 (2x 2 + 2x x 1) (x 3) (x + 1) (x 1) x2 + 1 (x + 1) (x 1) (x2 1) (x + 1) (x 1) (x + 1) (x 1) (x + 1) (x 1) 1 4a 2 3a + a 3 1 1 2a + 6 4a 2 3a + (1 2a) (a 1) 6 (a2 + a + 1) a 2 + a + 1 1 a (a 1) (a 2 + a + 1) (a 1) (a 2 + a + 1) (a 1) (a 2 + a + 1) 4a2 3a + (a 1 2a 2 + 2a) (6a 2 + 6a + 6) (a 1) (a 2 + a + 1) 12a 12a (a 1) (a 2 + a + 1) a 3 1 12a (1 a 3 ) 12a 1 a 3 24
7 + 1 1 7 + 1 1 8a 2 18b 2 2a 2 + 3ab 4ab 6b 2 2 (2a + 3b) (2a 3b) a (2a + 3b) 2b (2a 3b) 7ab + 4ab 6b2 (2a 2 + 3ab) 2ab (2a + 3b) (2a 3b) 8ab 6b 2 2a 2 2ab (2a + 3b) (2a 3b) 2 (4ab 3b2 a 2 ) 2ab (2a + 3b) (2a 3b) 4ab 3b2 a 2 ab (4a 2 9b 2 ) 32. Végezd el a következő műveleteket a változók lehetséges értékeinél! x 2 4 x + 3 : x 2 x + 3 2 b + b 2 16 (1 9 b + ) a 2 9 a + 2 : (1 a + 2 ) 4x (3 2x + 1 + 2) : x 2x + 1 ( a 3a2 + 1) : (1 a + 1 1 a 2) x 1 1 x (2 + ) ( + 1) 3x 1 7x 3 Vonjuk össze a zárójelben szereplő törteket, majd végezzük el a szorzásokat, illetve osztásokat. x 2 4 : x 2 x + 3 x + 3 (x 2) (x + 2) 2 x + 3 2 x + 2 2 x x + 3 x 2 b + (1 9 ) b + b 2 16 b + (b 4) (b + 4) (b + 9 ) b + b 4 1 b + b + (b 4) (b + 4) b + b + 4 a 2 9 a + 2 : (1 a + 2 ) (a3) (a+3) a+2 : ( a+2 a+2 a+2 ) (a3) (a+3) a+2 : a3 (a3) (a+3) a+2 a + 3 a+2 a+2 a3 ( 3 4x 2x + 1 + 2) : x 2x + 1 4x (3 + 4x + 2 ) 2x + 1 2x + 1 2x + 1 2x + 1 x 2x + 1 x x ( a a + 1 3a2 2a + 1 + 1) : (1 1 a2) : 1 4a2 2a + 1 (1 a) (1 + a) 1 a a + 1 1 a 2 a + 1 (1 2a) (1 + 2a) 1 2a (2 + x 1 ) ( 1 x 6x 2 + x 1 1 x + 7x 3 + 1) 7x 3 6x 2 7x 3 2 (3x 1) 2 3x 1 7x 3 3x 1 7x 3 3x 1 7x 3 3x 1 7x 3 2
33. Végezd el a következő műveleteket a változók lehetséges értékeinél! 2 1 + 2x 4 + 2x x 3x 6 + 3 x2 4 x 2 6 + 13x 24 12x ( a + 1 + 6 2a 2 2a 2 2 a + 3 ) 4a2 4 2a + 2 3 ( 1 a 1 + 1 ) : ( 1 a + 1 a 1 1 a + 1 ) ( a a + x + x + 10ax a x a 2 x 2) ( a a + x + x a x 2ax a 2 x 2) ( x + 2x 10 x 2x + 10 0 2 x 2) x x (a + b + a2 + 2ab + b 2 ) : a2 + 2ab + b 2 a b a 2 b 2 2a + 2 ( + a 2 + 2a a 2a + 4 ) 2a + 2 a + 2 1 a (x 2 1) ( 1 1 + 1) x 1 x + 1 ( 1 + 2x 1 + x 1 x 2) (1 1) x (a2 3ab a + b + b) : ( a a + b b b a 2ab a 2 b 2) c (16c) c [ + 3+2c 23c ] : c 2 4 2c c+2 c1 c 3 +4c 2 +4c [( 1 x 2 + 1 y 2) 1 x 2 +2xy+y 2 + 2 (x+y) 3 (1 + 1 xy )] : x y x 3 y 3 Vonjuk össze a zárójelben szereplő törteket, majd végezzük el a szorzásokat, illetve osztásokat. 2 1 + 2x 4 + 2x x 3x 6 + 3 x2 4 x 2 6 + 13x 24 12x 2 1+2x 2 (2+x) x 3 (x2) + 3 x2 6+13x 12 (2x) (2x) (2+x) 3 (1+2x) (2x)+2x (2+x)+4x2 6 (2x) (2+x) 12 (2x) 6+13x 63x+12x6x2 +4x+2x 2 +4x 2 6 (2x) (2+x) 12 (2x) 6+13x 13x+6 6 (2x) (2+x) 12 (2x) 6+13x 2 2+x ( a + 1 + 6 a + 3 ) 4a2 4 (a + 1) (a + 1) + 6 (a + 3) (a 1) 4 (a 1) (a + 1) 2a 2 2a 2 2 2a + 2 3 2 (a 1) (a + 1) 3 a2 + 2a + 1 + 6 (a 2 a + 3a 3) 4 (a 1) (a + 1) 2 (a 1) (a + 1) 3 10 2 (a1) (a+1) 4 (a1) (a+1) 3 20 3 ( 1 + 1 ) : ( 1 1 a + 1 + a 1 ) : a + 1 a + 1 a 1 a + 1 a 1 a + 1 (a 1) (a + 1) (a 1) (a + 1) 2a (a 1) (a + 1) (a 1) (a +1) 2 a 26
( a a+x + x + 10ax ax a 2 x 2) ( a a+x + x ax 2ax a 2 x 2) a (ax)+x (a+x)+10ax (a x) (a + x) a (ax)+x (a+x)2ax (a x) (a + x) a2 ax + ax + x 2 + 10ax (a x) (a + x) a2 ax + ax + x 2 2ax (a x) (a + x) (a + x)2 (a x) 2 (a x) (a + x) (a x) (a + x) ( x + x 0 x 2x 10 2x + 10 2 x2) ( x + x + 0 ) x x 2x 10 2x + 10 x 2 2 x x2 + 10x + 2 (x 2 10x + 2) + 100 2 (x ) (x + ) x x 20x + 100 2 (x ) (x + ) x x 20 (x + ) x 2 2 (x ) (x + ) x x (a + b + a2 + 2ab + b 2 ) : a2 + 2ab + b 2 a2 ab + ab b 2 + a 2 + 2ab + b 2 (a b) (a + b) a b a 2 b 2 a b (a + b) 2 2a (a + b) a b (a b) (a + b) (a + b) 2 2a ( 2a + 2 a 2 + 2a + a ) 2a + 2 1 4a + 4 + a2 2 (a + 1) 1 (a + 2)2 2 (a + 1) 1 2a + 4 a + 2 a 2a (a + 2) a + 2 a 2a (a + 2) a + 2 a a + 1 a 1 a a a 1 (x 2 1) ( 1 1 + 1) (x 1) (x + 1) x + 1 (x 1) + x2 1 x 2 + 1 x 1 x + 1 (x 1) (x + 1) ( 1 + 2x 1 + x 1 x 2) (1 1 x + 2x 1) 1 x 1 + x 1 x 1 x (1 x) (1 + x) x (1 x) (1 + x) x x 27
( a2 3ab a + b (ab)2 a+b a + b) : ( a + b b b a (ab) (a+b) a b (ab) 2 2ab a 2 b 2) a2 3ab+ab+b 2 a + b a (ab) + b (a+b) 2ab : (ab) (a+b) c (16c) c [ + 3+2c 23c ] : c 2 4 2c c+2 c1 c 16cc2 (3+2c) (c+2)(23c) (c2) c 3 +4c 2 +4c (c2) (c+2) c (c2 +4c+4) c1 c c2 (c2) (c+2) c (c+2)2 c1 c c (c+2) c1 c2 c c 2 2c c1 3c 1 c [( 1 + 1 x 2 y 2) 1 + 2 x 2 +2xy+y 2 (x+y) 3 (1 + 1 xy )] : + x 2 x y x 3 y 3 [y2 1 + 2 y + x x 2 y 2 (x + y) 2 (x + y) 3 xy ] x3 y 3 x y [ y 2 + x 2 + x 2 y 2 (x + y) 2 2 x3y3 ] xy (x + y) 2 x y 2 (x + y) x3y3 x 2 y 2 (x + y) 2 x y xy x y 34. Az a és a b számokra teljesülnek a következő feltételek: a 0; b 0; a b és (a ab ) : ( ab a2 b) (2 b 3a 2b ) 6. Számítsd ki a kifejezés értékét! a b a b 2b 2 a a + b Alakítsuk át a kifejezést a következőképpen: (a ab ) : ( ab a2 b) a b a b (2 b ) a2 ab ab 2b 2 a a b ab ab + b2 : a b a2 2a b 2b2 a a2 2ab a b a b b 2 a2 2a b a2 2ab 2a2 ab 2a2 4ab 2a 2 + ab 3ab 3a 2b2 a b 2 2b 2 2b 2 2b 2 2b Ekkor a feladat feltételét behelyettesítve a következőt kapjuk: 3a 2b 6. Ebből fejezzük ki valamelyik ismeretlent: a 4b. Ezek alapján a megoldás: 3a 2b a + b 3 4b 2b 10b 2. 4b + b b 28
3. Bizonyítsd be, hogy a páratlan szám! 80a 4a 10 : (2a + 2a 2a ) kifejezés értke minden egész a esetén 2a + Írjuk fel a törtek értelmezési tartományát: a 2 és a 2. Alakítsuk át a kifejezést a következőképpen: 80a : 4a 10 (2a + 2a ) 2a 2a + 80a 2 (2a ) + ) (2a + ) (2a ) (2a ) : [(2a ] (2a ) (2a + ) (2a + ) (2a ) 80a : 4a2 + 20a + 2 (4a 2 20a + 2) 80a (2a ) (2a + ) 2a + 2 (2a ) (2a ) (2a + ) 2 (2a ) 40a Mivel az értelmezési tartománynak minden egész megfelel, illetve a kapott kifejezésben egy páros számhoz adunk hozzá öt, így teljesül az állítás. 36. Tudjuk, hogy a + b és ab 3. Számítsd ki az a 2 + b 2 értékét! Alakítsuk át a kifejezést a következőképpen: a 2 + b 2 a 2 + 2ab + b 2 2ab (a + b) 2 2ab. Ezek alapján a megoldás: a 2 + b 2 2 2 (3) 31. 37. Tudjuk, hogy a b 2 és ab 7. Számítsd ki az a 3 b 3 értékét! Alakítsuk át a kifejezést a következőképpen: a 3 b 3 (a b) (a 2 + ab + b 2 ) (a b) [a 2 2ab + b 2 + 3ab] (a b) [(a b) 2 + 3ab] Ezek alapján a megoldás: a 3 b 3 2 (2 2 + 3 7) 0. 29
38. Számítsd ki a következő kifejezés értékét, ha a + b 1! Alakítsuk át a kifejezést a következőképpen: a 3 + b 3 + 3 (a 3 b + ab 3 ) + 6 (a 3 b 2 + a 2 b 3 ) a 3 + b 3 + 3 (a 3 b + ab 3 ) + 6 (a 3 b 2 + a 2 b 3 ) (a + b) (a 2 ab + b 2 ) + 3ab (a 2 + b 2 ) + 6a 2 b 2 (a + b) (a + b) (a 2 ab + b 2 ) + 3ab (a 2 + 2ab + b 2 2ab) + 6a 2 b 2 (a + b) (a + b) (a 2 ab + b 2 ) + 3ab [(a + b) 2 2ab] + 6a 2 b 2 (a + b) Ekkor a feladat feltételét behelyettesítve a következőt kapjuk: 1 (a 2 ab + b 2 ) + 3ab [1 2 2ab] + 6a 2 b 2 1 a 2 ab + b 2 + 3ab 6a 2 b 2 + 6a 2 b 2 a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 2 Ezek alapján a megoldás: a 3 + b 3 + 3 (a 3 b + ab 3 ) + 6 (a 3 b 2 + a 2 b 3 ) 1 2 1. 39. Bizonyítsd be, hogy ha x + y + z 0, akkor x 3 + x 2 z xyz + y 2 z + y 3 0! A feltételből a következőket kapjuk: x + y z; y + z x; x + z y. Alakítsuk át a kifejezést a következőképpen: x 3 + x 2 z xyz + y 2 z + y 3 x 2 (x + z) xyz + y 2 (z + y) Ekkor a feladat feltételét behelyettesítve adódik a bizonyítandó állítás: x 2 (x + z) xyz + y 2 (z + y) x 2 (y) xyz + y 2 (x) x 2 y xy 2 xyz xy (x + y) xyz xy (z) xyz xyz xyz 0 30
40. Mennyi lehet az x + 1 x értéke, ha x 1 x 1? Alakítsuk át a kifejezést a következőképpen: (x 1 x )2 x 2 2 + 1 x 2 x2 + 2 + 1 x 2 2 2 (x + 1 x )2 4 Ekkor a feladat feltételét behelyettesítve a következőt kapjuk: (x + 1 x )2 1 2 + 4. Ezek alapján a megoldás: x + 1 x, vagy x + 1 x. 41. Írd fel két polinom hányadosaként a következő kifejezést! a b b c + c a d (a; b; c 0) Írjuk fel a kifejezést egyetlen tört segítségével: a b + c d a2 c ab2 + bc2 abcd a2 c ab 2 + bc 2 abcd b c a abc abc abc abc abc 42. A parciális törtekre bontás segítségével határozd meg a kifejezésben az A és B értékét! Alakítsuk át a kifejezést a következőképpen: 13x 8 A + B (x 2) (7x + 4) x 2 7x + 4 13x 8 A + B (x 2) (7x + 4) x 2 7x + 4 A (7x + 4) B (x 2) + (x 2) (7x + 4) (7x + 4) (x 2) 7Ax + 4A + Bx 2B (x 2) (7x + 4) (7A + B) x + 4A 2B (x 2) (7x + 4) Ebből a következők adódnak: 7A + B 13 és 4A 2B 8. Ezek alapján a megoldás: A 1 és B 6. 31
43. Határozd meg a és b értékét, ha tudjuk, hogy minden x 1 ; x 3 esetén teljesül az 2 a + b összefüggés! 2x 2 + x 3 2x 1 x + 3 Alakítsuk át a kifejezést a következőképpen: a + b 2x 2 + x 3 2x 1 x + 3 a (x + 3) b (2x 1) + (2x 1) (x + 3) (x + 3) (2x 1) ax + 3a + b 2x b 2x 2 x + 6x 3 x (a + 2b) + 3a b 2x 2 + x 3 Ebből a következők adódnak: a + 2b 0 és 3a b. Az első egyenletből fejezzük ki az egyik ismeretlent: a 2b. Ezt helyettesítsük a második egyenletbe, s rendezés után a következőt kapjuk: b 7. Ezek alapján a megoldás: a 10 7 és b 7. 44. Számítsd ki a 7x 6 + 3x x 4 + x 2 + 2x 1 polinom x 2 helyettesítési értékét a Horner elrendezés segítségével! Készítsünk egy 3 soros táblázatot a következők szerint: az első sorba az együtthatókat, a másodikba az x be helyettesített érték és a harmadik sor balra eső elemének szorzatát, a harmadik sorba pedig az első két sor elemeinek az összegét írjuk be. 7 3 1 0 2 1 14 22 42 84 178 32 7 11 21 42 89 176 31 Alakítsuk át a kifejezést a következőképpen: 7x 6 + 3x x 4 + x 2 + 2x 1 ((((7x + 3)x 1)x 2 + ) x + 2) x 1 Ezek alapján a megoldás: 31. 32
4. Mennyi az együtthatók összege az (7x 6 6x + x 4 4x 3 3x 2 2x + 2) 2017 kifejezés polinom alakjában? A polinomban az együtthatók összegét megkapjuk, ha a változó helyére 1 et helyettesítünk. Ezek alapján a megoldás: x 1 esetén (7 6 + 4 3 2 + 2) 2017 (1) 2017 1. 46. Végezd el a következő polinom osztásokat! a) (x 8 + x 4 + 1) (x 2 + x + 1) b) (x 4 + 3x 3 + 3x 2 + x + 6) (x + 2) Az osztásokat a maradékos osztáshoz hasonlóan végezzük el. a) Első esetben megnézzük az x 2 - et mivel kell megszoroznunk, hogy x 8 - t kapjunk, s ez x 6 lesz. Ezt követően x 6 - nal visszaszorozzuk az (x 2 + x + 1) - et, majd a kapott kifejezést az előző alá írjuk. Ezután a két kifejezést kivonjuk egymásból. Az eljárást addig kell folytatnunk, míg a kivonás után kapott kifejezés fokszáma kisebb nem lesz, mint az osztó kifejezés fokszáma. Ekkor az utolsó kivonásnál kapott kifejezés lesz az osztás maradéka. (x 8 + x 4 + 1) (x 2 + x + 1) x 6 x + x 3 x + 1 x 8 + x 7 + x 6 x 7 x 6 + x 4 + 1 x 7 x 6 x x + x 4 + 1 x + x 4 + x 3 x 3 + 1 x 3 x 2 x x 2 + x + 1 x 2 + x + 1 0 Ezek alapján a megoldás: x 8 + x 4 + 1 (x 2 + x + 1) (x 6 x + x 3 x + 1). 33
b) Első esetben megnézzük az x - et mivel kell megszoroznunk, hogy x 4 - t kapjunk, s ez x 3 lesz. Ezt követően x 3 - nal visszaszorozzuk az (x + 2) - t, majd a kapott kifejezést az előző alá írjuk. Ezután a két kifejezést kivonjuk egymásból. Az eljárást addig kell folytatnunk, míg a kivonás után kapott kifejezés fokszáma kisebb nem lesz, mint az osztó kifejezés fokszáma. Ekkor az utolsó kivonásnál kapott kifejezés lesz az osztás maradéka. (x 4 + 3x 3 + 3x 2 + x + 6) (x + 2) x 3 + x 2 + x 1 x 4 + 2x 3 x 3 + 3x 2 + x + 6 x 3 + 2x 2 x 2 + x + 6 x 2 + 2x x + 6 x 2 8 Ezek alapján a megoldás: x 4 + 3x 3 + 3x 2 + x + 6 (x + 2) (x 3 + x 2 + x 1) + 8 47. Egyszerűsítsd a következő törtet a változók lehetséges értékeinél! x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 x 2 y 2 Először alakítsuk szorzattá a nevezőt: x 2 y 2 (x + y) (x y). Végezzünk polinom osztást a számlálóban és a nevezőben szereplő kifejezésekkel. (x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 ) (x + y) x 2 + 2xy + y 2 x 3 + x 2 y 2x 2 y + 3xy 2 + y 3 2x 2 y + 2xy 2 34
xy 2 + y 3 xy 2 + y 3 0 Ebből adódik a következő: x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 (x + y) (x 2 + 2xy + y 2 ) Az (x y) nal történő osztás során a maradék nem 0 lesz, így azt nem alkalmazhatjuk a szorzattá alakításhoz. Ezek alapján a megoldás: x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 (x + y) (x2 + 2xy + y 2 ) x2 + 2xy + y 2 (x + y)2. x 2 y 2 (x + y) (x y) x y x y 48. Döntsd el az alábbi állításokról, hogy igaz vagy hamis! A: Bármely két irracionális szám között van racionális szám. B: Bármely két racionális szám között van irracionális szám. C: Van legkisebb pozitív irracionális szám. D: Van legnagyobb racionális szám. E: Két irracionális szám összege lehet racionális. F: Két irracionális szám szorzata lehet racionális. G: Két irracionális szám különbsége lehet racionális. H: Egy racionális és egy irracionális szám összege racionális. I: Egy racionális (nem 0) és egy irracionális szám szorzata irracionális. J: Egy irracionális és egy (nem 0) racionális szám hányadosa irracionális. K: Lehet egy racionális és egy irracionális szám különbsége racionális. A megoldások a következők: I; I; H; H; I; I; I; H; I; I; I. 3
49. Egy farmer lovat vásárolt 60 dollárért és eladta a szomszédjának 70 ért. Később rájött, hogy jobb üzletet is csinálhatott volna, ezért kölcsönkért a feleségétől 10 dollárt, visszavásárolta a lovat a szomszédtól 80 dollárért, és eladta a másik szomszédjának 90 ért. Mennyit keresett az üzleten? A farmernek eredetileg volt 60 dollárja, s a végén lett 90. Mivel azonban a feleségének visszaadta a kölcsönkért 10 dollárt, így az üzletből 20 dollár haszna maradt. 0. Egy szállodában három barát kibérelt 30 dollárért egy lakosztályt, s fejenként 10 10 dollárt adtak a szolgának. Mikor azonban a szolga átadta az összeget a tulajdonosnak, az rájött, hogy a lakosztály csak 2 dollár, s így visszaküldött darab egydollárost. A szolga felfele menet azon gondolkodott, hogy nem tudja szétosztani az darab érmét a három utazó között, így 2 - t zsebre tett, az embereknek pedig visszaadott fejenként 1 1 dollárt. Így végül mindenki 9 dollárt fizetett, ami 3 9 27 dollár, illetve 2 dollár maradt a zsebben, s ez összesen 3 9 + 2 29 dollár. Hova tűnt a harmincadik dollár? A kérdés megfogalmazása helytelen, mert a 27 dollárból le kell vonni a 2 dollárt, s így marad a lakosztály 2 dolláros ára. 36