A MATEMATIKA NÉHÁNY KIHÍVÁSA NAPJAINKBAN Simon L. Péter ELTE, Matematikai Intézet Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tsz. 1 / 20
MATEMATIKA AZ ÉLET KÜLÖNBÖZŐ TERÜLETEIN Kaotikus sorozatok és differenciálegyenletek, avagy miért nehéz előrejelezni az időjárást. 2 / 20
MATEMATIKA AZ ÉLET KÜLÖNBÖZŐ TERÜLETEIN Kaotikus sorozatok és differenciálegyenletek, avagy miért nehéz előrejelezni az időjárást. Nagy gráfok felépítése, hogyan lehet az interneten egy reklámot hatékonyan terjeszteni, vagy egy fertőző betegség (H1N1) terjedését megállítani. 2 / 20
MATEMATIKA AZ ÉLET KÜLÖNBÖZŐ TERÜLETEIN Kaotikus sorozatok és differenciálegyenletek, avagy miért nehéz előrejelezni az időjárást. Nagy gráfok felépítése, hogyan lehet az interneten egy reklámot hatékonyan terjeszteni, vagy egy fertőző betegség (H1N1) terjedését megállítani. Lineáris egyenlőtlenségek megoldása, hogyan tervezzük meg optimálisan egy ügyfélszolgálat működését. 2 / 20
MATEMATIKA AZ ÉLET KÜLÖNBÖZŐ TERÜLETEIN Kaotikus sorozatok és differenciálegyenletek, avagy miért nehéz előrejelezni az időjárást. Nagy gráfok felépítése, hogyan lehet az interneten egy reklámot hatékonyan terjeszteni, vagy egy fertőző betegség (H1N1) terjedését megállítani. Lineáris egyenlőtlenségek megoldása, hogyan tervezzük meg optimálisan egy ügyfélszolgálat működését. Nagy számok prímfelbontása, avagy hogyan biztosítható az internetes vásárlás biztonsága az RSA algoritmus segítségével. 2 / 20
SOROZATOK Számtani sorozat: a n+1 = a n + d 3 / 20
SOROZATOK Számtani sorozat: a n+1 = a n + d Például: a n+1 = a n + 2, a 0 = 0 a n a páros számokból álló sorozat. 3 / 20
SOROZATOK Számtani sorozat: a n+1 = a n + d Mértani sorozat: a n+1 = qa n 3 / 20
SOROZATOK Számtani sorozat: a n+1 = a n + d Mértani sorozat: a n+1 = qa n Például: a n+1 = 2a n, a 0 = 1 a n a 2 hatványaiból álló sorozat. 3 / 20
SOROZATOK Számtani sorozat: a n+1 = a n + d Mértani sorozat: a n+1 = qa n a n+1 = an 2 + 1 a n 3 / 20
SOROZATOK Számtani sorozat: a n+1 = a n + d Mértani sorozat: a n+1 = qa n a n+1 = an 2 + 1 a n a 0 = 3.0000, a 1 = 1.8333, a 2 = 1.4621, a 3 = 1.4150, a 4 = 1.4142 3 / 20
SOROZATOK Számtani sorozat: a n+1 = a n + d Mértani sorozat: a n+1 = qa n a n+1 = an 2 + 1 a n Bármely a 0 > 0 esetén az a n a 2 közelítését adja. 3 / 20
SOROZATOK Számtani sorozat: a n+1 = a n + d Mértani sorozat: a n+1 = qa n a n+1 = an 2 + 1 a n Bármely a 0 > 0 esetén az a n a 2 közelítését adja. x n+1 = ax n (1 x n ), a [0, 4] adott szám. 3 / 20
SOROZATOK Számtani sorozat: a n+1 = a n + d Mértani sorozat: a n+1 = qa n a n+1 = an 2 + 1 a n Bármely a 0 > 0 esetén az a n a 2 közelítését adja. x n+1 = ax n (1 x n ), a [0, 4] adott szám. Ha a = 4, akkor x n kaotikus sorozat. 3 / 20
SOROZATOK Számtani sorozat: a n+1 = a n + d Mértani sorozat: a n+1 = qa n a n+1 = an 2 + 1 a n Bármely a 0 > 0 esetén az a n a 2 közelítését adja. x n+1 = ax n (1 x n ), a [0, 4] adott szám. Ha a = 4, akkor x n kaotikus sorozat. Logisztikus leképezés: f (x) = ax(1 x). 3 / 20
SOROZATOK Számtani sorozat: a n+1 = a n + d Mértani sorozat: a n+1 = qa n a n+1 = an 2 + 1 a n Bármely a 0 > 0 esetén az a n a 2 közelítését adja. x n+1 = ax n (1 x n ), a [0, 4] adott szám. Ha a = 4, akkor x n kaotikus sorozat. Logisztikus leképezés: f (x) = ax(1 x). Egyszerű módszer a sorozat viselkedésének tanulmányozására 3 / 20
LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS Ha 0 < a < 1, akkor x n 0. 4 / 20
LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS Ha 0 < a < 1, akkor x n 0. Ha 1 < a < 3, akkor x n 1 1 a. 4 / 20
LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS Ha 0 < a < 1, akkor x n 0. Ha 1 < a < 3, akkor x n 1 1 a. Ha a 1 = 3 < a < 1 + 6 = a 2, akkor x n 2-ciklushoz tart. 4 / 20
LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS Ha 0 < a < 1, akkor x n 0. Ha 1 < a < 3, akkor x n 1 1 a. Ha a 1 = 3 < a < 1 + 6 = a 2, akkor x n 2-ciklushoz tart. Ha a 2 < a < a 3, akkor x n 4-ciklushoz tart. 4 / 20
LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS Ha 0 < a < 1, akkor x n 0. Ha 1 < a < 3, akkor x n 1 1 a. Ha a 1 = 3 < a < 1 + 6 = a 2, akkor x n 2-ciklushoz tart. Ha a 2 < a < a 3, akkor x n 4-ciklushoz tart. 4 / 20
LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS 5 / 20
LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS Ha a k < a < a k+1, akkor x n 2 k -ciklushoz tart. 5 / 20
LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS Ha a k < a < a k+1, akkor x n 2 k -ciklushoz tart. Feigenbaum szám δ = 4, 669201609102990... a k a k 1 a k+1 a k δ. 5 / 20
LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS Ha a k < a < a k+1, akkor x n 2 k -ciklushoz tart. Feigenbaum szám δ = 4, 669201609102990... a k a k 1 a k+1 a k δ. Ha a = 4, akkor az x n sorozat kaotikus, 5 / 20
LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS Ha a k < a < a k+1, akkor x n 2 k -ciklushoz tart. Feigenbaum szám δ = 4, 669201609102990... a k a k 1 a k+1 a k δ. Ha a = 4, akkor az x n sorozat kaotikus, a sorozat tagjai különlegesen függenek az első tagtól. 5 / 20
LORENZ-EGYENLET Valóságos folyamatoknál is előfordul kaotikus viselkedés. 6 / 20
LORENZ-EGYENLET Valóságos folyamatoknál is előfordul kaotikus viselkedés. Rayleigh-Bénard konvekció 6 / 20
LORENZ-EGYENLET Valóságos folyamatoknál is előfordul kaotikus viselkedés. Rayleigh-Bénard konvekció A folyadékot alulról melegítjük, felülről hűtjük. Ennek hatására áramlás indul meg. 6 / 20
LORENZ-EGYENLET A Rayleigh-Bénard konvekció egyszerűsített matematikai modellje a Lorenz-egyenlet. 7 / 20
LORENZ-EGYENLET A Rayleigh-Bénard konvekció egyszerűsített matematikai modellje a Lorenz-egyenlet. ẋ = σ(y x) ẏ = ρx xz y ż = xy βz 7 / 20
LORENZ-EGYENLET A Rayleigh-Bénard konvekció egyszerűsített matematikai modellje a Lorenz-egyenlet. ẋ = σ(y x) ẏ = ρx xz y ż = xy βz x: a konvekció erőssége, y: a felfelé és lefelé áramlás hőmérsékletének különbsége, z: a függőleges hőmérsékletváltozás eltérése a lineáristól. 7 / 20
LORENZ-EGYENLET A Rayleigh-Bénard konvekció egyszerűsített matematikai modellje a Lorenz-egyenlet. ẋ = σ(y x) ẏ = ρx xz y ż = xy βz x: a konvekció erőssége, y: a felfelé és lefelé áramlás hőmérsékletének különbsége, z: a függőleges hőmérsékletváltozás eltérése a lineáristól. A megoldás érzékenyen függ a kezdeti feltételtől. 7 / 20
LORENZ-EGYENLET, PILLANGÓ HATÁS Az x(t) értéke két különböző kezdeti feltételből indulva. Kék: x(0) = y(0) = z(0) = 1 Piros: x(0) = y(0) = 1, z(0) = 1.001 8 / 20
LORENZ-EGYENLET, PILLANGÓ HATÁS Az x(t) értéke két különböző kezdeti feltételből indulva. Kék: x(0) = y(0) = z(0) = 1 Piros: x(0) = y(0) = 1, z(0) = 1.001 σ = 10, β = 8/3, ρ = 25 8 / 20
VALÓDI IDŐJÁRÁS MODELLEK Parciális differenciálegyenletek a szél sebességére, a hőmérsékletre, a nyomásra. 9 / 20
VALÓDI IDŐJÁRÁS MODELLEK Parciális differenciálegyenletek a szél sebességére, a hőmérsékletre, a nyomásra. t u(t, x, y, z) = D u(t, x, y, z)+a x u(t, x, y, z)+b y u(t, x, y, z)+f (t, x, y, z) 9 / 20
VALÓDI IDŐJÁRÁS MODELLEK Parciális differenciálegyenletek a szél sebességére, a hőmérsékletre, a nyomásra. t u(t, x, y, z) = D u(t, x, y, z)+a x u(t, x, y, z)+b y u(t, x, y, z)+f (t, x, y, z) Numerikus nehézség: több millió egyszerű egyenlet megoldása párhuzamosan. 9 / 20
VALÓDI IDŐJÁRÁS MODELLEK Parciális differenciálegyenletek a szél sebességére, a hőmérsékletre, a nyomásra. t u(t, x, y, z) = D u(t, x, y, z)+a x u(t, x, y, z)+b y u(t, x, y, z)+f (t, x, y, z) Numerikus nehézség: több millió egyszerű egyenlet megoldása párhuzamosan. Mérési nehézség: a légkör állapotát egy adott időpontban, sok helyen, nagy pontossággal kell ismerni az előrejelzéshez. 9 / 20
VALÓDI IDŐJÁRÁS MODELLEK Parciális differenciálegyenletek a szél sebességére, a hőmérsékletre, a nyomásra. t u(t, x, y, z) = D u(t, x, y, z)+a x u(t, x, y, z)+b y u(t, x, y, z)+f (t, x, y, z) Numerikus nehézség: több millió egyszerű egyenlet megoldása párhuzamosan. Mérési nehézség: a légkör állapotát egy adott időpontban, sok helyen, nagy pontossággal kell ismerni az előrejelzéshez. A Lorenz-egyenletnél megfigyelt kaotikus hatások miatt: Minél hosszabb időre akarunk előrejelezni, annál pontosabban kell ismerni a kezdeti feltételeket pillangóhatás. 9 / 20
SIS JÁRVÁNYTERJEDÉS Adott egy N csúcsú gráf A csúcsok kétféle állapotban lehetnek: egészséges S, fertőző I 10 / 20
SIS JÁRVÁNYTERJEDÉS Adott egy N csúcsú gráf A csúcsok kétféle állapotban lehetnek: egészséges S, fertőző I Átmenetek: S I, ráta: kτ, k a szomszédos I csúcsok száma. I S, ráta: γ 10 / 20
SIS JÁRVÁNYTERJEDÉS Adott egy N csúcsú gráf A csúcsok kétféle állapotban lehetnek: egészséges S, fertőző I Állapottér 10 / 20
SIS JÁRVÁNYTERJEDÉS Adott egy N csúcsú gráf A csúcsok kétféle állapotban lehetnek: egészséges S, fertőző I Állapottér Fertőzés: SIS IIS Gyógyulás: SIS SSS 10 / 20
SIS JÁRVÁNYTERJEDÉS Alapegyenletek (master equations) Ẋ SSS = γ(x SSI + X SIS + X ISS ), Ẋ SSI = γ(x SII + X ISI ) (2τ + γ)x SSI, Ẋ SIS = γ(x SII + X IIS ) (2τ + γ)x SIS, Ẋ ISS = γ(x ISI + X IIS ) (2τ + γ)x ISS, Ẋ SII = γx III + τ(x SSI + X SIS ) 2(τ + γ)x SII, Ẋ ISI = γx III + τ(x SSI + X ISS ) 2(τ + γ)x ISI, Ẋ IIS = γx III + τ(x SIS + X ISS ) 2(τ + γ)x IIS, Ẋ III = 3γX III + 2τ(X SII + X ISI + X IIS ), 11 / 20
SIS JÁRVÁNYTERJEDÉS Alapegyenletek (master equations) Ẋ SSS = γ(x SSI + X SIS + X ISS ), Ẋ SSI = γ(x SII + X ISI ) (2τ + γ)x SSI, Ẋ SIS = γ(x SII + X IIS ) (2τ + γ)x SIS, Ẋ ISS = γ(x ISI + X IIS ) (2τ + γ)x ISS, Ẋ SII = γx III + τ(x SSI + X SIS ) 2(τ + γ)x SII, Ẋ ISI = γx III + τ(x SSI + X ISS ) 2(τ + γ)x ISI, Ẋ IIS = γx III + τ(x SIS + X ISS ) 2(τ + γ)x IIS, Ẋ III = 3γX III + 2τ(X SII + X ISI + X IIS ), N csúcsú gráf esetén 2 N differenciálegyenlet 11 / 20
SIS JÁRVÁNYTERJEDÉS Alapegyenletek (master equations) Ẋ SSS = γ(x SSI + X SIS + X ISS ), Ẋ SSI = γ(x SII + X ISI ) (2τ + γ)x SSI, Ẋ SIS = γ(x SII + X IIS ) (2τ + γ)x SIS, Ẋ ISS = γ(x ISI + X IIS ) (2τ + γ)x ISS, Ẋ SII = γx III + τ(x SSI + X SIS ) 2(τ + γ)x SII, Ẋ ISI = γx III + τ(x SSI + X ISS ) 2(τ + γ)x ISI, Ẋ IIS = γx III + τ(x SIS + X ISS ) 2(τ + γ)x IIS, Ẋ III = 3γX III + 2τ(X SII + X ISI + X IIS ), A rendszer mérete a gráf automorfizmuscsoportja ismeretében csökkenthető: Simon, P.L., Taylor, M., Kiss., I.Z., Exact epidemic models on graphs using graph-automorphism driven lumping, J. Math. Biol., 62 (2011). 11 / 20
ÁLTALÁNOS MATEMATIKAI MODELL Adott egy N csúcsú, irányítatlan, hurokélmentes gráf 12 / 20
ÁLTALÁNOS MATEMATIKAI MODELL Adott egy N csúcsú, irányítatlan, hurokélmentes gráf Csúcsok állapotainak halmaza {a 1, a 2,... a m }. 12 / 20
ÁLTALÁNOS MATEMATIKAI MODELL Adott egy N csúcsú, irányítatlan, hurokélmentes gráf Csúcsok állapotainak halmaza {a 1, a 2,... a m }. A gráf összes lehetséges állapotainak halmaza m N elemű 12 / 20
ÁLTALÁNOS MATEMATIKAI MODELL Adott egy N csúcsú, irányítatlan, hurokélmentes gráf Csúcsok állapotainak halmaza {a 1, a 2,... a m }. A gráf összes lehetséges állapotainak halmaza m N elemű Az állapotok változását Poisson-folyamat írja le t idő alatt annak valószínűsége, hogy egy a i állapotban levő csúcs a j állapotba kerül: 1 exp( λ ij t). 12 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA SIS járványterjedés 13 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA SIS járványterjedés A csúcsok állapotainak halmaza: {S, I}. 13 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA SIS járványterjedés A csúcsok állapotainak halmaza: {S, I}. Átmenetek és rátáik S I, λ = kτ, k a szomszédos I csúcsok száma. I S, λ = γ 13 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA SIR járványterjedés 14 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA SIR járványterjedés A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {S, I, R}. 14 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA SIR járványterjedés A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {S, I, R}. Átmenetek és rátáik S I, λ = kτ, k a szomszédos I csúcsok száma. I R, λ = γ 14 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA SIR járványterjedés A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {S, I, R}. Átmenetek és rátáik S I, λ = kτ, k a szomszédos I csúcsok száma. I R, λ = γ Körmentes gráf esetén egzakt, nemlineáris, O(N) méretű rendszer adható meg. 14 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA Híresztelés terjedése 15 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA Híresztelés terjedése A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {X, Y, Z } (tájékozatlan, terjesztő, akadályozó). 15 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA Híresztelés terjedése A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {X, Y, Z } (tájékozatlan, terjesztő, akadályozó). Átmenetek és rátáik X Y, λ = kτ, k a szomszédos Y csúcsok száma. Y Z, λ = γ + jp, j a szomszédos Y és Z csúcsok együttes száma. 15 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA Aktivitás terjedése neuron hálózatban 16 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA Aktivitás terjedése neuron hálózatban A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {E +, E, I +, I } (gerjeszthető aktív és inaktív, gátló aktív és inaktív). 16 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA Aktivitás terjedése neuron hálózatban A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {E +, E, I +, I } (gerjeszthető aktív és inaktív, gátló aktív és inaktív). Átmenetek és rátáik E + E, λ = α. E E +, λ = th(iw E jw I + h E ), i, j a szomszédos E +, és I + csúcsok száma. I + I, λ = α. I I +, λ = th(iw E jw I + h I ), i, j a szomszédos E +, és I + csúcsok száma. 16 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA Aktivitás terjedése neuron hálózatban A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {E +, E, I +, I } (gerjeszthető aktív és inaktív, gátló aktív és inaktív). Átmenetek és rátáik E + E, λ = α. E E +, λ = th(iw E jw I + h E ), i, j a szomszédos E +, és I + csúcsok száma. I + I, λ = α. I I +, λ = th(iw E jw I + h I ), i, j a szomszédos E +, és I + csúcsok száma. Taylor, T.J., Hartley, C., Simon, P.L., Kiss., I.Z., Berthouze, L., Identification of criticality in neuronal avalanches: I. A theoretical investigation of the non-driven case, J. Math. Neuroscience, 2013 16 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA Cégek csődbemenetele 17 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA Cégek csődbemenetele A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: működő (M), csődbement (C). 17 / 20
PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA Cégek csődbemenetele A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: működő (M), csődbement (C). Átmenetek és rátáik M C, λ = c + kw, k a szomszédos C csúcsok száma, c a spontán csődbemenetel rátája. 17 / 20
GRÁF TÍPUSOK Véletlen gráfok: 18 / 20
GRÁF TÍPUSOK Véletlen gráfok: Erdős-Rényi véletlen gráf 18 / 20
GRÁF TÍPUSOK Véletlen gráfok: Erdős-Rényi véletlen gráf 18 / 20
GRÁF TÍPUSOK Véletlen gráfok: Erdős-Rényi véletlen gráf Watts-Strogatz véletlen gráf, kicsi a világ tulajdonsággal 18 / 20
GRÁF TÍPUSOK Véletlen gráfok: Erdős-Rényi véletlen gráf Watts-Strogatz véletlen gráf, kicsi a világ tulajdonsággal 18 / 20
GRÁF TÍPUSOK Véletlen gráfok: Erdős-Rényi véletlen gráf Watts-Strogatz véletlen gráf, kicsi a világ tulajdonsággal Barabási-Albert véletlen gráf, skálafüggetlen fokszámeloszlás 18 / 20
GRÁF TÍPUSOK Véletlen gráfok: Erdős-Rényi véletlen gráf Watts-Strogatz véletlen gráf, kicsi a világ tulajdonsággal Barabási-Albert véletlen gráf, skálafüggetlen fokszámeloszlás 18 / 20
GRÁF TÍPUSOK Véletlen gráfok: Erdős-Rényi véletlen gráf Watts-Strogatz véletlen gráf, kicsi a világ tulajdonsággal Barabási-Albert véletlen gráf, skálafüggetlen fokszámeloszlás Kutatás célja: Különböző típusú gráfokon, különböző dinamikához megfelelő közelítő (esetleg egzakt) differenciálegyenletek levezetése. 18 / 20
ÖSSZEFOGLALÁS x n+1 = 4x n (1 x n ), a sorozat tagjai erősen függenek az első tagtól. 19 / 20
ÖSSZEFOGLALÁS x n+1 = 4x n (1 x n ), a sorozat tagjai erősen függenek az első tagtól. Miért nem lehet hosszú távra előrejelezni az időjárást: pillangó effektus. Kaotikus rendszer megoldása erősen függ a kiindulási feltételektől. 19 / 20
ÖSSZEFOGLALÁS x n+1 = 4x n (1 x n ), a sorozat tagjai erősen függenek az első tagtól. Miért nem lehet hosszú távra előrejelezni az időjárást: pillangó effektus. Kaotikus rendszer megoldása erősen függ a kiindulási feltételektől. Egy nagy gráfon végbemenő folyamat modellezése kezelhetetlenül sok egyenletre vezet. 19 / 20
ÖSSZEFOGLALÁS x n+1 = 4x n (1 x n ), a sorozat tagjai erősen függenek az első tagtól. Miért nem lehet hosszú távra előrejelezni az időjárást: pillangó effektus. Kaotikus rendszer megoldása erősen függ a kiindulási feltételektől. Egy nagy gráfon végbemenő folyamat modellezése kezelhetetlenül sok egyenletre vezet. A valóságos folyamatok modellezése nehéz matematikát igényel. 19 / 20
ÖSSZEFOGLALÁS x n+1 = 4x n (1 x n ), a sorozat tagjai erősen függenek az első tagtól. Miért nem lehet hosszú távra előrejelezni az időjárást: pillangó effektus. Kaotikus rendszer megoldása erősen függ a kiindulási feltételektől. Egy nagy gráfon végbemenő folyamat modellezése kezelhetetlenül sok egyenletre vezet. A valóságos folyamatok modellezése nehéz matematikát igényel. Az igazi kihívás olyan matematikai kérdés kitűzése és megoldása, ami nem reménytelenül nehéz, de azért mond valamit a világról. 19 / 20
Köszönöm a figyelmet! 20 / 20