Gyakorló feladatok a kétváltozós regresszióhoz 2. Nemlineáris regresszió

Gyakorló feladatok a kétváltozós regresszióhoz 2. Nemlineáris regresszió 1. A fizetés (Y, órabér dollárban) és iskolázottság (X, elvégzett iskolai év) közti kapcsolatot vizsgáljuk az Y t α + β X 2 t + ε t, t 1,..., 29 kvadratikus modell segítségével. A számítási részeredmények az alábbiak: X 13, 72 X 2 194 Y 21, 73 (X 2 t X 2 ) 2 154 370 X 2 t Y t 138 505 (Y t Y ) 2 6599 a.) Számítsa ki a regressziós együtthatók becsült értékeit a számítási részeredmények alapján, és értelmezze a β együttható becsült értékét! (Segítség: két tetszőlegesen választott X t érték esetén - pl. X 1 12 és X 2 18 - számítsa ki a marginális hatást, és értelmezze a kapott értékeket!) b.) Határozza meg a determinációs együttható értékét, és értelmezze a kapott eredményt! c.) Adjunk becslést egy 12 éves iskolai végzettséggel rendelkező dolgozó átlagos órabérére! d.) Határozza meg az órabér iskolázottságra vonatkozó rugalmasságát az átlagos szinten! Értelmezze is a kapott eredményt! 2. Lakások árának (Y, mft) alakulását vizsgáltuk a lakásban lakó családok éves összjövedelmének (X, mft) függvényében. Az adatok jellegéből arra a következtetésre jutottunk, hogy a fenti kapcsolatot legjobban a Y t α + β log X t + ε t, t 1,..., 29 modell írja le, ahol log a természetes alapú logaritmust jelöli. A számítási részeredmények az alábbiak: X t 238, 74 log X t 51, 22 Y t 2193, 5 (log X t log X)(Y t Y ) 1363 (log X t ) 2 111, 39 Y 2 t 269 857, 25 a.) Számítsa ki a regressziós együtthatók becsült értékeit a számítási részeredmények alapján, és értelmezze a β együttható becsült értékét! b.) Határozza meg a determinációs együttható értékét, és értelmezze a kapott eredményt! c.) Adjunk becslést egy 10 mft éves összjövedelemmel rendelkező család lakásának modell szerinti átlagárára! 1

d.) Határozza meg a lakásárak jövedelemre vonatkozó rugalmasságát az átlagos szinten! Értelmezze is a kapott eredményt! 3. Egy bizonyos vörösbor életkora (X, év) és az eladási ára (Y, dollár) közti kapcsolatot vizsgáljuk. Az adatok jellegéből arra a következtetésre jutottunk, hogy a fenti kapcsolatot legjobban a log Y t α + β X t + ε t, t 1,..., 10 modell írja le, ahol log a természetes alapú logaritmust jelöli. A számítási részeredmények az alábbiak: X 10, 9 log Y 4, 43 10 (X t X) 2 424, 9 10 (log Y t log Y ) 2 30, 04 10 (X t X)(log Y t log Y ) 109, 85. a.) Számítsa ki a regressziós együtthatók becsült értékeit a számítási részeredmények alapján, és értelmezze a β együttható becsült értékét! b.) Határozza meg a determinációs együttható értékét! c.) Adjunk becslést egy 11 éves vörösbor árának modell szerinti átlagértékére! d.) Határozza meg a bor árának életkorra vonatkozó rugalmasságát az átlagos szinten! Értelmezze is a kapott eredményt! 4. 19 ország viszonylatában vizsgáltuk az egy főre jutó GDP (X, dollár) és az 1000 lakosra jutó személygépkocsik száma (Y ) közti kapcsolatot. Az adatok ábrázolása után arra a következtetésre jutottunk, hogy a fenti kapcsolatot legjobban a log Y t α + β log X t + ε t, t 1,..., 19 modell írja le, ahol log a természetes alapú logaritmust jelöli. A számítási részeredmények az alábbiak: 19 log X t 168, 238 19 log Y t 120, 4 19 (log X t ) 2 1491, 65 19 (log Y t ) 2 766, 95 19 (log X t log Y t ) 1068, 78. a.) Számítsa ki a regressziós együtthatók becsült értékeit a számítási részeredmények alapján, és értelmezze a β együttható becsült értékét! b.) Határozza meg a determinációs együttható értékét! c.) Adjunk becslést egy olyan ország személygépkocsijainak számára, melyben az egy lakosra jutó GDP mutató 7200 dollár! d.) Határozza meg a személygépkocsik számának GDP-re vonatkozó rugalmasságát az átlagos szinten! Értelmezze is a kapott eredményt! 2

5. Kalifornia megye Stockton városában vizsgáltuk a családi házak eladási árainak alakulását a házak alapterületének függvényében. A vizsgált változók: price (Y ): a ház eladási ára dollárban sqft (X): a ház alapterülete négyzetlábban megadva Az alábbiakban 4 különböző modellt építettünk az adatokra. Mind a négy modellt a Gretl programmal készített OLS becslés futási eredményein keresztül elemezzük. a.) Lineáris modellt illesztve az adatokra az alábbi eredményeket kaptuk: Model 1: OLS, using observations 1 880 Dependent variable: price const 18385.7 3256.42 5.646 0.0000 sqft 81.3890 1.91849 42.42 0.0000 Sum squared resid 8.04e+11 S.E. of regression 30259.20 R 2 0.672113 Adjusted R 2 0.671740 F (1, 878) 1799.752 P-value(F ) 8.3e 215 Írja fel a modell becsült alakját, és értelmezze a β meredekségi paraméter értékét! Értelmezze az R 2 mutató értékét, és határozza meg az ár alapterületre vonatkozó rugalmasságát az X 1600 sqft érték mellett! b.) Kvadratikus modellt illesztve az adatokra az alábbi eredményeket kaptuk: Model 2: OLS, using observations 1 880 Dependent variable: price const 51390.7 1627.27 31.58 0.0000 sq_sqft 0.0213180 0.000457200 46.63 0.0000 Sum squared resid 7.05e+11 S.E. of regression 28342.79 R 2 0.712330 Adjusted R 2 0.712002 F (1, 878) 2174.109 P-value(F ) 9.1e 240 Írja fel a modell becsült alakját, és értelmezze a β meredekségi paraméter értékét! Értelmezze az R 2 mutató értékét, és határozza meg az ár alapterületre vonatkozó rugalmasságát az X 1600 sqft érték mellett! c.) Log-lineáris modellt illesztve az adatokra az alábbi eredményeket kaptuk: Model 3: OLS, using observations 1 880 Dependent variable: l_price const 10.5938 0.0218500 484.8 0.0000 sqft 0.000595963 1.28727e 05 46.30 0.0000 Sum squared resid 36.19345 S.E. of regression 0.203034 R 2 0.709404 Adjusted R 2 0.709073 F (1, 878) 2143.379 P-value(F ) 7.7e 238 3

Írja fel a modell becsült alakját, és értelmezze a β meredekségi paraméter értékét! Határozza meg az ár alapterületre vonatkozó rugalmasságát az X 1600 sqft érték mellett! d.) Log-log modellt illesztve az adatokra az alábbi eredményeket kaptuk: Model 4: OLS, using observations 1 880 Dependent variable: l_price const 4.17068 0.165508 25.20 0.0000 l_sqft 1.00658 0.0225423 44.65 0.0000 Sum squared resid 38.07749 S.E. of regression 0.208251 R 2 0.694277 Adjusted R 2 0.693929 F (1, 878) 1993.884 P-value(F ) 3.7e 228 Írja fel a modell becsült alakját, és értelmezze a β meredekségi paraméter értékét! Határozza meg az ár alapterületre vonatkozó rugalmasságát az X 1600 sqft érték mellett! További kérdések a négy modellel kapcsolatban: Összehasonlíthatóak-e a négy modell esetén meghatározott R 2 mutatók? Válaszát indokolja! Adjon predikciót egy 2700 négyzetláb alapterületű ház eladási árára mind a négy modell segítségével! Az előzőek alapján melyik modellt gondolná a legjobbnak? Válaszát indokolja! Hogyan változnának meg a modellek becsült együtthatói akkor, ha a ház alapterületét négyzetláb helyett négyzetméterben mérnénk? (Segítségül 1 négyzetláb0,09 m 2.) Számításait mind a négy modellre végezze el! 6. Étkezési csirke iránti keresletet szeretnénk modellezni az ár függvényében. Éves adatok állnak rendelkezésünkre 1950 és 2001 között. A vizsgált változók: q: egy főre jutó fogyasztás mennyisége (font) p: árindex Az alábbiakban három különböző modellt építettünk az adatokra. Mind a három modellt a Gretl programmal készített OLS becslés futási eredményein keresztül elemezzük. a.) Lineáris modellt illesztve az adatokra az alábbi eredményeket kaptuk: Model 1: OLS, using observations 1950 2001 (T 52) Dependent variable: q const 57.9556 2.57522 22.51 0.0000 p 18.4028 1.66115 11.08 0.0000 Sum squared resid 2120.814 S.E. of regression 6.512777 R 2 0.710531 Adjusted R 2 0.704742 F (1, 50) 122.7300 P-value(F ) 4.58e 15 4

Írja fel a modell becsült alakját, és értelmezze a β meredekségi paraméter értékét! Értelmezze az R 2 mutató értékét, és határozza meg a mennyiség árindexre vonatkozó rugalmasságát a p 1, 45 érték mellett! b.) Lineáris-logaritmikus modellt illesztve az adatokra az alábbi eredményeket kaptuk: Model 2: OLS, using observations 1950 2001 (T 52) Dependent variable: q const 41.2111 0.989812 41.64 0.0000 l_p 31.9078 2.15836 14.78 0.0000 Sum squared resid 1364.111 S.E. of regression 5.223239 R 2 0.813813 Adjusted R 2 0.810089 F (1, 50) 218.5471 P-value(F ) 6.95e 20 Írja fel a modell becsült alakját, és értelmezze a β meredekségi paraméter értékét! Értelmezze az R 2 mutató értékét, és határozza meg a mennyiség árindexre vonatkozó rugalmasságát a p 1, 45 érték mellett! c.) Log-log modellt illesztve az adatokra az alábbi eredményeket kaptuk (ez a modell szerepelt előadáson is, így ennek a feladatrésznek a megoldása megtalálható a fóliákon): Model 3: OLS, using observations 1950 2001 (T 52) Dependent variable: l_q const 3.71694 0.0223594 166.2 0.0000 l_p 1.12136 0.0487564 23.00 0.0000 Sum squared resid 0.696089 S.E. of regression 0.117991 R 2 0.913639 Adjusted R 2 0.911911 F (1, 50) 528.9623 P-value(F ) 3.00e 28 Írja fel a modell becsült alakját, és értelmezze a β meredekségi paraméter értékét! Határozza meg a mennyiség árindexre vonatkozó rugalmasságát a p 1, 45 érték mellett! További kérdések a fenti három modellel kapcsolatban: Összehasonlíthatóak-e a modellek R 2 mutatói? Válaszát indokolja! Adjon predikciót az eladási mennyiség átlagos értékére p 1, 25 esetén mindhárom modell segítségével! Az előzőek alapján melyik modellt gondolná a legjobbnak? Válaszát indokolja! 5

7. Londoni háztartások költségvetési adatait vizsgálva az alábbi változók egymáshoz való viszonyát szeretnénk modellezni: WFOOD (Y ): élelmiszerkiadás költségvetési részedesése (%) TOTEXP (X): a háztartás teljes kiadása (font) Az alábbiakban négy különböző modellt építettünk az adatokra. Mind a négy modellt a Gretl programmal készített OLS becslés futási eredményein keresztül elemezzük. a.) Lineáris modellt illesztve az adatokra az alábbi eredményeket kaptuk: Model 1: OLS, using observations 1 594 Dependent variable: wfood const 0.462290 0.00873296 52.94 0.0000 totexp 0.00125653 8.28281e 05 15.17 0.0000 Sum squared resid 5.115088 S.E. of regression 0.092953 R 2 0.279926 Adjusted R 2 0.278710 F (1, 592) 230.1381 P-value(F ) 3.75e 44 Írja fel a modell becsült alakját, és értelmezze a β meredekségi paraméter értékét! Értelmezze az R 2 mutató értékét, és határozza meg a teljes kiadás élelmiszerre fordított részarányára vonatkozó rrugalmasságát a T OT EXP 95 font érték mellett! b.) Lin-log modellt illesztve az adatokra az alábbi eredményeket kaptuk: Model 2: OLS, using observations 1 594 Dependent variable: wfood const 1.00993 0.0400986 25.19 0.0000 l_totexp 0.149502 0.00895170 16.70 0.0000 Sum squared resid 4.828562 S.E. of regression 0.090313 R 2 0.320262 Adjusted R 2 0.319114 F (1, 592) 278.9237 P-value(F ) 1.36e 51 Írja fel a modell becsült alakját, és értelmezze a β meredekségi paraméter értékét! Értelmezze az R 2 mutató értékét, és határozza meg a teljes kiadás élelmiszerre fordított részarányára vonatkozó rrugalmasságát a T OT EXP 95 font érték mellett! c.) Log-lin modellt illesztve az adatokra az alábbi eredményeket kaptuk: Model 3: OLS, using observations 1 594 Dependent variable: l_wfood const 0.706642 0.0267050 26.46 0.0000 totexp 0.00441688 0.000253285 17.44 0.0000 Sum squared resid 47.83163 S.E. of regression 0.284248 R 2 0.339358 Adjusted R 2 0.338242 F (1, 592) 304.0979 P-value(F ) 2.88e 55 6

Írja fel a modell becsült alakját, és értelmezze a β meredekségi paraméter értékét! Határozza meg a teljes kiadás élelmiszerre fordított részarányára vonatkozó rrugalmasságát a T OT EXP 95 font érték mellett! d.) Log-log modellt illesztve az adatokra az alábbi eredményeket kaptuk: Model 4: OLS, using observations 1 594 Dependent variable: l_wfood const 1.06548 0.126216 8.442 0.0000 l_totexp 0.491237 0.0281767 17.43 0.0000 Sum squared resid 47.83952 S.E. of regression 0.284271 R 2 0.339249 Adjusted R 2 0.338133 F (1, 592) 303.9502 P-value(F ) 3.02e 55 Írja fel a modell becsült alakját, és értelmezze a β meredekségi paraméter értékét! Határozza meg a teljes kiadás élelmiszerre fordított részarányára vonatkozó rrugalmasságát a T OT EXP 95 font érték mellett! További kérdések a fenti négy modellel kapcsolatban: Összehasonlíthatóak-e a modellek R 2 mutatói? Válaszát indokolja! Adjon predikciót az élelmiszerre fordított kiadás részarányára T OT EXP 100 font esetén mind a négy modell segítségével! Az előzőek alapján melyik modellt gondolná a legjobbnak? Válaszát indokolja! Hogyan változnának meg a modellek becsült együtthatói akkor, ha a háztartás teljes kiadását font helyett 100 fontban mérnénk? Számításait mind a négy modellre végezze el! 7

1. Fizetések vs. iskolázottság. Megoldások és végeredmények a.) Számítsa ki a regressziós együtthatók becsült értékeit a számítási részeredmények alapján, és értelmezze a β együttható becsült értékét! (Segítség: két tetszőlegesen választott X t érték esetén - pl. X 1 12 és X 2 18 - számítsa ki a marginális hatást, és értelmezze a kapott értékeket!) ˆβ S xy S xx 138 505 29 194 21, 73 154 370 16 252, 02 154 370 0, 105. A kvadratikus modellben a marginális hatás 2 βx, ami X 1 12 esetén 2,52, azaz 12 elvégzett iskola év esetén +1 év iskola az órabért átlagosan 2,52 dollárral emeli, míg X 2 18 esetén ugyanez 3,78 dollár. ˆα Y ˆβ X 2 1, 36. b.) Határozza meg a determinációs együttható értékét, és értelmezze a kapott eredményt! T SS 6599, RSS S2 xy S xx 1701, 93, R 2 RSS 1701, 93 0, 258, T SS 6599 azaz a kvadratikus modell alapján az iskolázottság 25, 8%-ban magyarázza az órabér mintabeli szóródását. c.) Adjunk becslést egy 12 éves iskolai végzettséggel rendelkező dolgozó átlagos órabérére! X 1 12 esetén Ŷ 1, 36 + 0, 105 122 16, 48, azaz 12 év iskolázottság esetén az átlagos órabér 16,48 dollár. d.) Határozza meg a fizetés iskolázottságra vonatkozó rugalmasságát az átlagos szinten! Értelmezze is a kapott eredményt! A kvadratikus modellben Y El(Ŷ X) X X Y 2 β X2. Y Mivel X 13, 72 esetén Ŷ 21, 125, így El(Ŷ X) 1, 87, azaz az iskolázottság 1%-os növekedése az átlagos szinten az órabér 1, 87%-os átlagos növekedését vonja maga után. 2. Jövedelem vs. Lakásárak. a.) Számítsa ki a regressziós együtthatók becsült értékeit a számítási részeredmények alapján, és értelmezze a β együttható becsült értékét! ˆβ S xy S xx 1363 1363 65, 14. 111, 39 29 51,222 20, 925 29 2 Lin-log modellben a marginális hatást úgy értelmezzük, hogy a jövedelem 1%-os növekedése a lakásár β/100 0, 6514 egységnyi (azaz 651 400 forintos) növekedését eredményezi átlagosan. ˆα Y ˆβ log X 39, 413. 8

b.) Határozza meg a determinációs együttható értékét, és értelmezze a kapott eredményt! T SS 269 857, 25 29 2193, 52 29 2 103 945, 45, RSS S2 xy S xx 88 789, 37, R 2 RSS 0, 854, T SS azaz a lin-log modell alapján a jövedelem 85, 4%-ban magyarázza a lakásárak mintabeli szóródását. c.) Adjunk becslést egy 10 mft éves összjövedelemmel rendelkező család lakásának modell szerinti árára! X 10 esetén Ŷ 39, 413 + 65, 14 log 10 110, 58, azaz egy 10 mft összjövedelemmel rendelkező család lakásának átlagos ára 110, 58 mft. d.) Határozza meg a lakásár jövedelemre vonatkozó rugalmasságát az átlagos szinten! Értelmezze is a kapott eredményt! A lin-log modellben El(Ŷ X) Y X X Y β Y. Mivel Y 75, 64 így El(Ŷ X) 0, 86, azaz a jövedelem 1%-os növekedése az átlagos szinten a lakásár 0, 86%-os átlagos növekedését vonja maga után. 3. Bor életkora vs. eladási ára. a.) Számítsa ki a regressziós együtthatók becsült értékeit a számítási részeredmények alapján, és értelmezze a kapott értékeket! ˆβ n (X t X)(log Y t log Y ) n (X t X) 2 109, 85 424, 9 0, 259. Mivel log-lin modellünk van, így a meredekségi paraméter 0,259 értéke azt jelenti, hogy egy évvel növelve az életkort a bor ára átlagosan 25, 9%-kal növekszik. b.) Határozza meg a determinációs együttható értékét! ˆα log Y ˆβ X 4, 43 0, 259 10, 9 1, 612. T SS 30, 04, RSS S2 xy S xx 109, 852 424, 9 28, 4, R 2 RSS T SS 28, 4 30, 04 0, 945. 9

c.) Adjunk becslést egy 11 éves vörösbor modell szerinti átlagértékére! A modell alapján log Y t 1, 612 + 0, 259 X t, azaz Ŷ t e 1,612+0,259 Xt. Tehát ha X t 11, akkor Ŷt e 1,612+0,259 11 86, 175. Ezt még korrigálnunk kell a regresszió sztenderd hibájával (s). Mivel ESS T SS RSS 30, 04 28, 4 1, 64, így s 2 ESS/(n 2) 1, 64/8 0, 205. Tehát Yˆ t,c Ŷt e 1,612+0,259 11+0,205/2 95, 92, azaz egy 11 éves bor modell szerinti (korrigált) átlagos ára 95,92 dollár. d.) Határozza meg a bor árának életkorra vonatkozó rugalmasságát az átlagos szinten! Értelmezze is a kapott eredményt! Tudjuk, hogy a log-lin modellben El(Ŷ X) Y X X Y β X, azaz ha X X 10, 9, akkor El(Ŷ X) 0, 259 10, 9 2, 82. Ez azt jelenti, hogy a bor életkorának 1%-os növelése az átlagos szinten az ár 2, 82%-os átlagos növekedését vonja maga után. 4. GDP vs. személygépkocsik száma, log-log modell. a.) Számítsa ki a regressziós együtthatók becsült értékeit a számítási részeredmények alapján, és értelmezze a kapott értékeket! ˆβ n (log X t log Y t ) n log X log Y n (log X t) 2 n log X 2 168,238 1068, 78 19 120,4 19 19 1491, 65 19 168,2382 19 2 2, 682 1, 965 1, 365. Mivel log-log modellünk van, így a meredekségi paraméter 1,365 értéke azt jelenti, hogy a GDP 1%-os növekedése esetén az 1000 lakosra jutó személygépkocsik száma átlagosan 1, 365%-kal növekszik. ˆα log Y ˆβ log X 120, 4 19 1, 365 168, 238 19 5, 75 b.) Határozza meg a determinációs együttható értékét! T SS n (log Y t ) 2 19 log Y 2 766, 95 19 120, 42 19 2 3, 994, RSS S2 xy S xx R 2 RSS T SS 2, 6822 1, 965 3, 66 3, 994 3, 66, 0, 916. 10

c.) Adjunk becslést egy olyan ország személygépkocsijainak számára, melyben az egy lakosra jutó GDP mutató 7200 dollár! A modell alapján azaz log Y t 5, 75 + 1, 365 log X t, Ŷ t e 5,75+1,365 log Xt e 5,75 X 1,365 t 0, 0032 X 1,365 t. Tehát ha X t 7200, akkor Ŷt 0, 0032 7200 1,365 589, 4, Ezt még korrigálnunk kell a regresszió sztenderd hibájával (s). Mivel ESS T SS RSS 3, 994 3, 66 0, 334, így s 2 ESS/(n 2) 0, 334/17 0, 0196. Tehát ˆ Y t,c Ŷt e 5,75+1,365 log Xt+0,0196/2 592, azaz ha az egy főre jutó GDP 7200 dollár, akkor az 1000 lakosra jutó személygépkocsik száma átlagosan 592 darab. d.) Határozza meg a személygépkocsik számának GDP-re vonatkozó rugalmasságát az átlagos szinten! Értelmezze is a kapott eredményt! Tudjuk, hogy a log-log modell konstans elaszticitású, és a rugalmasság értéke a magyarázó változó minden szintjén megegyezik a meredekségi együtthatóval, azaz modellünk rugalmassága 1,365. Ez azt jelenti, hogy a magyarázó változó bármely szintje esetén a GDP 1%-os növekedése az 1000 lakosra jutó személygépkocsik számában átlagosan 1, 365%-os növekedést okoz. 5. Stockton - lakásárak vs. alapterület. a.) A modell becsült alakja: price t 18385, 7+81, 389 sqft t. β 81, 389 azt jelenti, hogy az alapterület egységnyi növekedése átlagosan ennyivel növeli az árat. R 2 0, 672, azaz az alapterület 67, 2%-ban magyarázza az ár mintabeli szóródását. El(price sqft) β sqft/price 81, 389 1600/( 18385, 7 + 81, 389 1600) 1, 164, azaz az 1600 sqft alapterületű lakások esetén az alapterület 1%-os növekedése az árat átlagosan 1, 164%-kal növeli. b.) A modell becsült alakja: price t 51390, 7 + 0, 0213 sqft 2 t. β 0, 0213 értéke a marginális hatás segítségével értelmezhető: a marginális hatás ebben a modellben 2βsqft, azaz pl, sqft 1 1000 esetén 2βsqft 42, 6, míg sqft 2 2000 esetén 2βsqft 85, 2. Ez azt jelenti, hogy az alapterület egységnyi változása egy 1000 négyzetláb alapterületű lakás esetén átlagosan 42,6 dollárral emeli az árat, míg ugyanez egy 2000 alapterületű lakásnál már 85,2 dollár. R 2 0, 712, azaz a kvadratikus modell alalpján az alapterület 71, 2%-ban magyarázza az ár mintabeli szóródását. El(price sqft) 2β sqft 2 /price 109056/105918, 7 1, 03, azaz az 1600 sqft alapterületű lakások esetén az alapterület 1%-os növekedése az árat átlagosan 1, 03%-kal növeli. c.) A modell becsült alakja: log price t 10, 5938 + 0, 0006 sqft t. β 0, 0006 értéke a marginális hatás segítségével értelmezhető: a marginális hatás ebben a modellben 100β%, azaz az alapterület egységnyi változása az ár 0, 06%-os átlagos növekedését okozza. El(price sqft) βsqft 0, 96, azaz az 1600 sqf t alapterületű lakások esetén az alapterület 1%-os növekedése az árat átlagosan 0, 96%-kal növeli. d.) A modell becsült alakja: log price t 4, 171 + 1, 007 log sqft t. β 1, 007 értéke a marginális hatás segítségével értelmezhető: a marginális hatás ebben a modellben β%, azaz az alapterület 1%-os változása az ár 1, 007%-os átlagos növekedését okozza. El(price sqft) β 1, 007, azaz az 1600 sqft alapterületű lakások esetén az alapterület 1%-os növekedése az árat átlagosan 1, 007%-kal növeli. 11

További kérdések: A lineáris és a kvadratikus modellek R 2 mutatói összehasonlíthatóak, mert az eredményváltozók megegyeznek, és a magyarázó változók száma sem változott. A log-lin és log-log modellek R 2 mutatói is összehasonlíthatóak, bár jobb lenne az általánosított formát használni (indokok ugyanazok, mint az előbb), de nem hasonlíthatóak a lineáris és kvadratikus modellel, mert különbözik az eredményváltozó. Lineáris: price t 18385, 7 + 81, 389 2700 201364, 6. Kvadratikus: price t 51390, 7 + 0, 0213 2700 2 206668, 7. Log-lin: price t,c e 10,5938+0,0006 2700+0,2032 /2 205747, 4. Log-log: price t,c e 4,171+1,007 log 2700+0,2082 /2 188964, 4 Tetszőleges válasz adható, indoklásként R 2 értéke, és a függvényforma választása adható. A lineáris modellben α változatlan, β β 100. A kvadratikus modellben α változatlan, ) 2. 9 β β (100 9 A log-lin modellben α változatlan, β β 100. A log-log modellben 9 α α+β log 100, míg β változatlan 9 marad. 6. Csirke kereslet vs. ár. a.) A modell becsült alakja: q t 57, 9556 18, 4028 p t. El(q p) β p/q 18, 4028 1, 45/(57, 9556 18, 4028 1, 45) 0, 853. Értelmezéseket ld. 5. feladatnál. b.) A modell becsült alakja: q t 41, 2111 31, 9078 log p t. β 18, 4028 értéke a marginális hatás segítségével értelmezhető: a marginális hatás ebben a modellben β/100, azaz az ár 1%-os növekedése a kereslet 18, 4028/100 egységnyi átlagos csökkenését eredményezi. R 2 0, 813, azaz a linlog modell alapján az ár 81, 3%-ban magyarázza a kereslet mintabeli szóródását. El(q p) β/q 31, 9078/(41, 2111 31, 9078 log 1, 45) 1, 087, azaz az árindex p 1, 45 szintjén történő 1%-os növekedés a keresletet átlagosan 1, 087%-kal csökkenti.. c.) A modell becsült alakja: log q t 3, 71694 1, 12136 log p t. β 1, 12136 értéke a marginális hatás segítségével értelmezhető: a marginális hatás ebben a modellben β%, azaz az ár 1%-os változása a kereslet 1, 12136%-os átlagos csökkenését okozza. El(q p) β 1, 12136, azaz az árindex p 1, 45 szintjén történő 1%-os növekedés a keresletet átlagosan 1, 12136%-kal csökkenti. További kérdések: A lineáris és a lin-log modellek R 2 mutatói összehasonlíthatóak, mert az eredményváltozók megegyeznek, és a magyarázó változók száma sem változott. A log-log modell R 2 mutatója ezekkel nem összehasonlítható, mert különbözik az eredményváltozó. Lineáris: q t 57, 9556 18, 4028 1, 45 31, 27154. Lin-log: q t 41, 2111 31, 9078 log 1, 45 29, 3553. Log-log: q t e 3,71694 1,12136 log 1,45+0,1182 /2 27, 3098 Tetszőleges válasz adható, indoklásként R 2 értéke, és a függvényforma választása adható. 7. Londoni háztartások költségvetési adatai. a.) A modell becsült alakja: wfood t 0, 46229 0, 00126 totexp t. β 0, 00126 azt jelenti, hogy a teljes kiadás egységnyi növekedése átlagosan ennyivel csökkenti az élelmiszerkiadás részesedését. R 2 0, 28, azaz a teljes kiadás 28%-ban magyarázza a élelmiszerkiadás részesedésének mintabeli szóródását. 12

El(wfood totexp) β totexp/wfood 0, 00126 95/(0, 46229 0, 00126 75) 0, 67, azaz a teljes kiadás 95 fontos szintje esetén az 1%-os növekedés az élelmiszerköltség részesedését átlagosan 0, 67%-kal csökkenti. b.) A modell becsült alakja: wfood t 1, 0093 0, 149502 log totexp t. β 0, 149502 értéke a marginális hatás segítségével értelmezhető: a marginális hatás ebben a modellben β/100, azaz a teljes kiadás 1%-os növekedése az élelmiszerre fordított részesedés 0, 149502/100 egységnyi (ami most %, hiszen a változó szintje ez) átlagos csökkenését eredményezi. R 2 0, 32, azaz a lin-log modell alapján a teljes kiadás 32%-ban magyarázza az élelmiszerkiadás részesedésének mintabeli szóródását. El(q p) β/wf ood 0, 149502/(1, 00993 0, 149502 log 95) 0, 4543, azaz a teljes kiadás 95 fontos szintje esetén az 1%-os növekedés az élelmiszerre fordított részesedés 0, 4543%-os átlagos csökkenését okozza.. c.) A modell becsült alakja: log wfood t 0, 7066 0, 00442 totexp t. β 0, 00442 értéke a marginális hatás segítségével értelmezhető: a marginális hatás ebben a modellben 100β%, azaz a teljes kiadás egységnyi változása az élelmiszerfogyasztás részesedésének 0, 00442%-os átlagos csökkenését okozza. El(wfood totexp) βtotexp 0, 42, azaz a teljes kiadás 95 fontos szintje esetén az 1%-os növekedés az élelmiszerfogyasztás részesedését átlagosan 0, 42%-kal csökkenti. d.) A modell becsült alakja: log wfood t 1, 066 0, 491 log totexp t. β 0, 491 értéke a marginális hatás segítségével értelmezhető: a marginális hatás ebben a modellben β%, azaz a teljes kiadás 1%-os változása az élelmiszerfogyasztás részesedésének 0, 491%-os átlagos csökkenését okozza. El(wfood totexp) β 0, 491, azaz a teljes kiadás 95 fontos szintje esetén az 1%-os növekedés az élelmiszerfogyasztás részesedését átlagosan 0, 491%-kal csökkenti. További kérdések: A lineáris és lin-log modellek R 2 mutatói összehasonlíthatóak, mert az eredményváltozók megegyeznek, és a magyarázó változók száma sem változott. A log-lin és log-log modellek R 2 mutatói is összehasonlíthatóak, bár jobb lenne az általánosított formát használni (indokok ugyanazok, mint az előbb), de nem hasonlíthatóak a lineáris és lin-log modellel, mert különbözik az eredményváltozó. Lineáris: wfood t 0, 46229 0, 00126 100 0, 33629. Lin-log: wfood t 1, 0093 0, 149502 log 100 0, 3208. Log-lin: log wfood t e 0,7066 0,00442 100+0,2842 /2 0, 33. Log-log: wfood t,c e 1,066 0,491 log 100+0,2842 /2 0, 315 Tetszőleges válasz adható, indoklásként R 2 értéke, és a függvényforma választása adható. A lineáris modellben α változatlan, β β 100. A lin-log modellben α α + β log 100, míg β változatlan marad. A log-lin modellben α változatlan, β β 100. A log-log modellben α α + β log 100, míg β változatlan marad. 13