Pintérné Rajnai Renáta Rezonáns égi mechanikai rendszerek vizsgálata Doktori Értekezés Tézisei ELTE, Fizika Doktori Iskola Vezető: Dr. Palla László Részecskefizika és csillagászat program Vezető: Dr. Palla László Témavezető: Dr. Érdi Bálint DSc, Egyetemi Tanár (Professzor) ELTE TTK, Csillagászati Tanszék Konzulens: Dr. Nagy Imre NKE, Természettudományi Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Fizika Doktori Iskola 2014
1. Bevezetés A rezonanciák igen fontos szerepet játszanak Naprendszerünk dinamikájában. A kisebb-nagyobb égitestek pályájának fejlődése hosszú távon a szekuláris és a középmozgás rezonanciáktól, valamint ezek együttes hatásától függ. Középmozgás rezonanciáról beszélünk két égitest között, ha keringési periódusuk összemérhető, arányuk megadható kis egész számok hányadosaként. A rezonáns pályán mozgó égitestek száma a Naprendszerben nagyobb, mint ami véletlen eloszlás alapján indokolt lenne, jelenlétük hosszú dinamikai fejlődés eredménye. Voltak próbálkozások a Naprendszer rezonáns struktúrájának azonosítására [1], azonban az eltérések a pontos arányoktól túl nagyok ahhoz, hogy a jelenség befolyásolja a bolygópályákat [2]. Pontos középmozgás rezonanciából csupán néhány ismert bolygók, törpebolygók és holdak között a Naprendszerben, sokkal nagyobb számban érintettek kisbolygók, planetáris gyűrűk, Kiuper-övbeli objektumok. A kis égitestek fontos dinamikai összetevői Naprendszerünknek. Egyénileg nincs befolyásuk a bolygók mozgásának alakítására, azonban bolygórendszerünk fejlődésének korai szakaszában fontos szerepet játszottak a pályák alakításában. A Naprendszer két, aszteroidákban gazdag területe a Mars és a Jupiter pályája közti kisbolygóöv, valamint a Neptunusz pályáján túli Kuiper-öv. A rezonáns jelenségek hatása az ott elhelyezkedő égitestek eloszlásán követhető leginkább nyomon. Az értekezésben e két terület középmozgás rezonanciáit tanulmányozom. A trójai égitestek a fő kisbolygóöv egy népes csoportját alkotják. A Jupiterrel ko-orbitális pályán, azzal 1:1-es középmozgás rezonanciában keringenek el a Nap-Jupiter rendszer L 4 és L 5 Lagrange pontjainak környezetében. A- mellett, hogy dinamikai szempontból igen érdekes konfigurációt valósítanak meg, mozgásuk tanulmányozása, stabilitásuk vizsgálata nagy számuk és közelségük miatt is fontos feladat. Stabilitásvizsgálatuk már régóta foglalkoztatja a kutatókat [3, 4, 7]. Megmutatták, hogy bizonyos tömegparaméterrel (µ) és excentricitással (e) rendelkező rendszerek mozgása hosszú távon stabil, míg másoké instabil. Feltérképezték a stabil és instabil µ, e tartományok szerkezetét [4, 8, 9], vizsgálták a stabil tartományban az L 4 pont körüli librációs mozgás frekvenciáit, rezonanciáit [5, 6] A kisbolygóövek rezonáns struktúrája fontos szerepet játszik a bennük található égitestek mozgásának alakításában. Elsősorban az alacsony rendű rezonanciák bírnak nagy jelentőséggel, habár magasabb rendű középmozgás rezonanciák hatása is fontos (gondoljunk csak a kutatókat évtizedek óta fog- 1
lalkoztató Kirkwood zónákra), főleg nagy excentricitások mellett. Kutatások kimutattak kapcsolatot magasabb rendű rezonanciák helyzete és kisbolygócsaládok tagjainak számossága, eloszlása között [10]. Ma már tudjuk, hogy Neptunuszon túli objektumok is összekapcsolhatók magasabb rendű középmozgás rezonanciákkal [11]. 2. Célkitűzések Jelen értekezés első részében az 1:1-es középmozgás rezonanciát megvalósító trójai égitestek L 4 pont körüli librációs mozgását tanulmányozom. Ilyen égitestek legnagyobb számú naprendszerbeli képviselői a Jupiterrel közel azonos pályán keringő trójai égitestek. Számuk jelenleg több, mint 6000. A trójai égitestek mozgását az elliptikus korlátozott háromtest-problémában (EKHTP) a Floquet-elmélet [3], [4] alkalmazásával tanulmányozom. Megvizsgálom az L 4 pontból kicsit kitérített égitest stabilitását a tömegparaméterexcentricitás síkon, meghatározom a rendszer karakterisztikus gyökeit és kitevőit. A karakterisztikus kitevők segítségével kiszámítom az L 4 Lagrange pont körüli mozgás frekvenciáit és rezonanciáit a teljes µ, e paramétersíkon, a stabil és instabil tartományon egyaránt. Az értekezés második részében magasabb rendű (harmad- és negyedrendű) középmozgás rezonanciákat vizsgálok meg a Jupiter pályáján belül, illetve a Neptunusz pályáján túl. Meghatározom a 8:5, 7:4, 9:5, 7:3, 5:2, 4:1 és 5:1 középmozgás rezonanciák rezonancia változójának lehetséges librációs tartományait a félnagytengely-excentricitás síkon a rezonáns félnagytengely környezetében, a kör korlátozott háromtest-probléma (KHTP) modellje alapján. A rezonanciák dinamikai struktúráját az RLI káoszindikátor segítségével vizsgálom meg. Ezzel a fő kisbolygóöv és a külső aszteroida öv egy-egy szeletének struktúráját tanulmányozom. 3. Alkalmazott módszerek Kutatásaim során a trójai égitestek mozgásának modellezésére az EKHTPt, a magasabb rendű rezonanciák vizsgálatára a KHTP-t alkalmaztam. A pályák meghatározását negyedrendű Runge-Kutta módszerrel végeztem, a KHTP mozgásegyenleteinek és az EKHTP első variációs egyenleteinek numerikus integrálásával. 2
Az EKHTP első variációs egyenleteinek karakterisztikus gyökeit és kitevőit a Floquet-elmélet alapján határoztam meg. A gyököket és kitevőket egy nyílt forrású szoftver a GNU Octave beépített függvényei segítségével számítottam ki. A frekvenciák alternatív meghatározásához a gyors Fourier transzformációt (FFT), a GNU Scientific Library beépített függvényei segítségével alkalmaztam. A rezonanciák dinamikai struktúrájának feltérképezésére az RLI (relatív Ljapunov indikátor, [12] ) káoszindikátort használtam. 4. Eredmények 1. Numerikus úton meghatároztam az EKHTP lineáris variációs egyenleteinek karakterisztikus gyökeit és karakterisztikus kitevőit egy a teljes (µ, e) paramétersíkot lefedő rácson. Az eredmények összhangban vannak a paramétersík korábban meghatározott stabil és instabil tartományaival, de a korábbi eredményeknél általánosabbak. [i] 2. A karakterisztikus kitevők képzetes részeiből meghatároztam az L 4 pont körüli mozgás frekvenciáit a stabil és instabil tartományban egyaránt. Kimutattam, hogy az egyes tartományokban a frekvenciák egyenletesen, a határokat követő kontúrok mentén változnak és a librációs frekvenciák nem csak a stabil, hanem az egyik instabil tartományban is megjelennek. Összehasonlítás céljából meghatároztam a mozgás frekvenciáit a stabil tartományon gyors Fourier transzformáció segítségével is, ezek jó egyezést mutattak a Floquet-elmélet alapján meghatározottakkal. Kimutattam, hogy a frekvenciák az FFT alkalmazásával csak a stabil tartományban számíthatók ki. [i] 3. Illesztések segítségével meghatároztam az EKHTP négy librációs frekvenciájára egy-egy kétváltozós függvényt a stabil tartományban, amelyek a frekvenciák tömegparaméter és excentricitás függését adják meg. Ezek a függvények a stabil tartomány belsejében jól visszaadják a numerikus úton meghatározott frekvenciákat, ám a tartomány határainak közelében ez az egyezés romlik a frekvenciák gyors változása miatt. [i] 4. Feltérképeztem az L 4 pont körüli mozgás frekvenciái közti rezonanciákat. Kimutattam, hogy a stabil és instabil tartományokat elválasztó határok különböző típusú 1:1 rezonanciáknak felelnek meg. Ezek nem 3
keskeny görbék mentén valósulnak meg, mint azt korábban gondolták, hanem kiterjedt tartományokon, amelyek együttesen lefedik az egész instabil tartományt. Kimutattam, hogy a rezonanciák szoros kapcsolatban vannak a rendszer élettartamával. [i] 5. Megvizsgáltam a Jupiter (µ = 0.001) belső harmad- és negyedrendű rezonanciáinak jelenlétét az (a, e) paramétersíkon a rezonáns félnagytengely környezetében. Megmutattam, hogy két librációs tartomány jelenik meg 8:5 és 7:4 középmozgás rezonanciáknál, egy kicsi, egy pedig nagyobb excentricitások mellett, hogy a 13:9, 11:7 és 5:1 esetekben az összefüggő librációs tartomány hiánya feltűnő, továbbá, hogy az 5:2 és 4:1 rezonanciák esete igen szabályos, egy kiterjedt librációs tartománnyal, minden excentricitás értékre. Megvizsgáltam a rezonanciák dinamikai struktúráját is az RLI káoszindikátor segítségével. Kimutattam, hogy a librációs tartományok jó egyezést mutatnak az RLI térképeken megjelenő reguláris tartoányokkal, hogy a kaotikus tartományok a perturbált és perturbáló égitestek megközelítéseinek megfelelő paraméterek esetén jelennek meg és, hogy a kaotikus tartomány mérete a perturbáló égitesttől távolodva csökken. [ii] 6. Megvizsgáltam a Neptunusz (µ = 0.00005) külső harmad- és negyedrendű rezonanciáinak jelenlétét az (a, e) paramétersíkon a rezonáns félnagytengely környezetében. Kimutattam, hogy két librációs tartomány jelenik meg a 8:5, 7:4, 7:3, 5:2 és 5:1 esetben, egy librációs terület tartozik a 4:1 rezonanciához és három a 9:5 rezonanciához. Megmutattam, hogy az 5:2 rezonancia ebben az estben is igen szabályos, szimmetrikus jelleget mutat, továbbá, hogy a rezonancia változó librációs amplitúdói szignifikánsan nagyobbak, mint a belső rezonanciák esetében. [ii] 4
5. Publikációs lista 5.1. A tézisek alapjául szolgáló közlemények i Rajnai R., Nagy I., Érdi B., 2014, Frequencies and resonances around L 4 in the elliptic restricted three-body problem, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, elfogadva, megjelenés alatt DOI: 10.1093/mnras/stu1212 ii Érdi B., Rajnai R., Sándor Zs., Forgács-Dajka E., 2012, Stability of higher order resonances in the restricted three-body problem, Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, Volume 113, pp.95-112 5.2. Egyéb közlemények a dolgozat témájában Érdi B., Forgács-Dajka E., Rajnai R., 2014, A numerical study of capture into the 7:4 mean-motion resonance in the trans-neptunian region, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, beküldve, elbírálás alatt Rajnai R, Nagy I, Érdi B. Frequncies of librational motions around the Lagrange point L4, Publications of the Astronomy Department of the Eötvös University - PADEU, 20: p. 67. (2011) Rajnai R., Nagy I., Érdi B., 2010 Features of librational motions around L 4, Journal of Physics: Conference Series, Volume 218, Issue 1, id. 012018 (2010). Érdi B., Forgács-Dajka E., Nagy I., Rajnai R., 2009 A parametric study of stability and resonances around L 4 in the elliptic restricted three-body problem, Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, Volume 104, Issue 1-2, pp. 145-158 Hivatkozások [1] Molchanov A. M. 1968, Icarus, Volume 8, Issue 1-3, p. 203-215. [2] Dermott S. F. 1969, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Vol. 142, p.143 5
[3] Danby J.M.A., 1964, Astronomical Journal, Vol. 69, p. 165 [4] Bennett A.,1965, Icarus, Volume 4, Issue 2, p. 177-187 [5] Érdi B., Nagy I., Sándor Zs., Süli Á., Frölich G., 2007, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Volume 381, Issue 1, pp. 33-40 [6] Érdi B., Forgács-Dajka E., Nagy I., Rajnai R., 2009, Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, Volume 104, pp. 145-158 [7] Meire R., 1981, Celestial Mechanics, vol. 23, Jan. 1981, p. 89-95 [8] Lohinger E., Dvorak R., 1993, Astronomy and Astrophysics (ISSN 0004-6361), vol. 280, no. 2, p. 683-687 [9] Markellos V.V., Papadakis K.E., Perdios E.A., 1995, in Roy A.E., Steves B., eds, From Newton to Chaos., Plenum Press, New York, p. 371 [10] Morbidelli A., Zappalà V., Moons M., Cellino A., Gonczi R., 1995, Icarus, Volume 118, Issue 1, p. 132-154 [11] Chiang E. I., Lovering J. R., Millis R. L., Buie M. W., Wassermann L. H., Meech K. J., 2003, Earth, Moon, and Planets, v. 92, Issue 1, p. 49-62 [12] Sándor Zs., Érdi B., Széll A., Funk B., 2004, Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, v. 90, Issue 1, p. 127-138 6