X HOMOGÉN LINEÁRIS EGYENLET- RENDSZEREK 1 Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere Homogén lineáris egyenletrendszer definíciója már szerepelt Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk homogénnek, amelyben az egyenletrendszer egyenleteiben a jobboldali konstansok mindegyike (a szokásos jelöléssel b 1 = b 2 = = b m = ) Természetesen az előző IX fejezet teljes mértékben alkalmazható homogén lineáris egyenletrendszerekre is Többek közt az ott leírt megoldási eljárás is Megállapítható viszont, hogy a Kronecker- Capelli-tétel homogén lineáris egyenletrendszerekre semmit sem nyújt Homogén esetben ez az egyenletrendszer bővített mátrixa egyetlen zérusoszloppal bővebb az egyenletrendszer mátrixánál, így rangjuk egyenlő A homogén lineáris egyenletrendszerek viszont mindig megoldhatók, a triviális megoldás, amelynél minden ismeretlen -val egyenlő, mindig létezik A Kronecker-Capelli-tétel tehát nem érdekes homogén lineáris egyenletrendszerek esetén A homogén lineáris egyenletrendszerekre az az érdekes kérdés, hogy mikor van az egyenletrendszernek 1
nemtriviális megoldása Erre a kérdésre is választ lehet adni a IX fejezet alapján Az egyenletrendszer megoldását megadó IX fejezet (16) képletét homogén lineáris egyenletrendszerekre alkalmazva (ahol a homogén esetre annyi a változás, hogy a kötött ismeretleneket megadó egyenlőségek jobboldalán önálló konstans, azaz d 1, d 2,,d r nem szerepel) látható, hogy a nemtriviális megoldás létezésének feltétele, hogy létezzen szabad ismeretlen, aminek pedig az a feltétele, hogy az egyenletrendszer ismeretleneinek számánál kisebb legyen a mátrix rangja Az utóbbi gondolatmenet által bizonyított állítást indokolt tételként is kimondani 11 Tétel Homogén lineáris egyenletrendszernek akkor és csakis akkor létezik nemtriviális megoldása, ha mátrixának rangja kisebb, mint az egyenletrendszer ismeretleinek száma Igen érdekes, és nagyon lényeges tény, hogy bármely homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai, (amelyek természetesen vektornak is tekinthetők) az egyenletrendszer ismeretleinek számával azonos komponensszámú T feletti vektorok terének alterét képezik Az utóbbi állítást az bizonyítja, hogy adott homogén lineáris egyenletrendszer két megoldásának 2
összege, különbsége és skalárszorosa is megoldása az egyenletrendszernek Inhomogén esetben már az sem igaz, hogy két megoldásvektor összege is megoldása lenne az egyenletrendszernek Tegyük fel, hogy az i-edik egyenlet olyan, amelynek jobboldalán álló konstans nem (legyen ez b i ) Ha az egyenletrendszer két megoldása adott, akkor előbb az egyiket, majd a másikat is behelyettesítve az i-edik egyenletbe mind a két esetben b i -t kapunk, és összeadva a két egyenlőséget a baloldal megfelel annak az esetnek, amikor a két megoldás összegét helyettesítenénk be az i-edik egyenletbe, a jobboldalon 2b i -t kapunk, ami nem egyenlő b i -vel A homogén egyenletrendszerek megoldásterére vonatkozó már megindokolt állítást célszerű tételben is kimondani 12 Tétel Az n ismeretlenes homogén lineáris egyenletrendszer összes megoldásvektora az n komponensű T feletti vektorok terének alterét alkotja Ezt az egyenletrendszer megoldásterének nevezzük Egy vektortérrel kapcsolatban a legfontosabb kérdés a dimenziója, és az is, hogy van-e viszonylag könnyen megadható bázisa Ezekre választ ad a következő tétel és a tétel bizonyítása 3
13 Tétel A T test feletti homogén lineáris egyenletrendszer ismeretleinek száma legyen n, mátrixának rangja r úgy, hogy r < n Ekkor a homogén lineáris egyenletrendszer megoldásterének dimenziója n r Bizonyítás Legyen adott a következő T feletti homogén lineáris egyenletrendszer: (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = Az állítás bizonyítása úgy történik, hogy konkrétan megadjuk a megoldástér egy bázisát Abból indulunk ki, hogy a IX fejezet megoldási eljárása itt is érvényes, az egyenletrendszer általános megoldását megadó IX fejezetbeli (16) képletet felhasználva (a homogén egyenletrendszer estében d 1 = d 2 = = d r = ) azt állítjuk, hogy a következő n r számú vektor az (1) egyenletrendszer megoldásterének bá- 4
zisa (2) g r+1 = d 1r+1 d 2r+1 d r r+1 1 g r+2 = d 1r+2 d 2r+2 d r r+2 1 g n = d 1n d 2n d rn 1 a) A g r+1, g r+2 g n vektorok nyilvánvalóan megoldásvektorok, hiszen mindegyiket úgy kaptuk, hogy a szabad ismeretleneknek értéket adtunk és a kötött ismeretleneket pedig az egyenletrendszer általános megoldásából határoztuk meg Részletesen: g r+1 megadásánál x r+1 = 1, x r+2 = = x n =, g r+2 -nél x r+1 =, x r+2 = 1, x r+3 = =, g n -nél pedig x r+1 = x r+2 = = x n 1 =, x n = 1 b) A g r+1, g r+2,,g n vektorok lineárisan függetlenek Vizsgáljuk meg, hogy lineáris kombinációjuk milyen módon állítja elő a zérusvektort Írjuk 5
fel a (3) λ 1 g r+1 + λ 2 g r+2 + + λ n r g n = egyenletet Kérdés, hogy mely λ 1, λ 2,,λ n r T esetén teljesülhet a (3) egyenlőség A (3) egyenlőségben a g r+1, g r+2,,g n vektorokat a komponenseiket is mutató ((2)-ben látható) alakjukban felírva, az egyes komponensekre vonatkozó egyenlőségeket tekintve az r + 1-edik komponensre vonatkozó egyenlőségből λ 1 =, az r+2-edik komponenséből λ 2 =,, az n-edik komponenséből λ n r = következik c) A g r+1, g r+2,,g n vektorrendszer a megoldástér generátorrendszere Valóban, legyen g olyan megoldása az (1) homogén lineáris egyenletrendszernek, melyet az általános megoldásában az x r+1 = h r+1, x r+2 = h r+2,,x n = h n választással kapunk g = d 1r+1 h r+1 d 1r+2 h r+2 d 1n h n d 2r+1 h r+1 d 2r+2 h r+2 d 2n h n d rr+1 h r+1 d rr+2 h r+2 d rn h n h r+1 h r+2 6 h n
Könnyen ellenőrízhető, hogy g = h r+1 g r+1 + h r+2 g r+2 + + h n g n A g megoldásvektor ha h r+1, h r+2,,h n -et alkalmasan választjuk meg a megoldástér bármelyik vektora lehet 14 Megjegyzés Ha az (1) homogén lineáris egyenletrendszer olyan, hogy mátrixának rangja egyenlő az ismeretlenek számával, akkor a megoldástér kizárólag a zérusvektorból áll 15 Tétel Tegyük fel, hogy az (1) homogén lineáris egyenletrendszer mátrixának rangja r és r kisebb mint az ismeretleneinek a száma: n Ekkor a megoldástér bármely n r számú lineárisan független vektora a megoldástér bázisát adja Bizonyítás A bizonyítás következik az előző 13 Tételből, valamint a IV fejezet 32 Tételének a) pontjából 16 Megjegyzés Az 15 Tétel nagy segítséget jelent a megoldástér bázisára vonatkozó feladatok megoldásában Amennyiben azt a kérdést tartalmazza a feladat, hogy előre megadott vektorok egy 7
adott homogén lineáris egyenletrendszer megoldásterének bázisát képezik-e, akkor a következőket kell ellenőrízni a megadott vektorokat illetően: a) a homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai-e, b) a számuk n r vagy nem (n az ismeretlenek száma, r a mátrix rangja), c) lineárisan független rendszert képeznek-e 17 Megjegyzés A homogén egyenletrendszer megoldásterének bázisára szokásos elnevezések a következők is: a homogén lineáris egyenletrendszer fundamentális rendszere, a homogén lineáris egyenletrendszer alaprendszere 18 Definíció A T feletti a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a m1 x 1 + + a mn x n = b m inhomogén lineáris egyenletrendszer redukált egyenletrendszerének nevezzük az a 11 x 1 + + a 1n x n = a m1 x 1 + + a mn x n = 8
homogén lineáris egyenletrendszert 19 Tétel Adott inhomogén lineáris egyenletrendszer összes megoldása megkapható oly módon, hogy egyetlen megoldásához hozzáadjuk redukált egyenletrendszerének valamennyi megoldását A tétel bizonyítása könnyű önálló feladatnak tekinthető, itt nem szerepel 9