v 3 v 4 v 8 v 10 v 9 v 11 v 7 v 1 v 2 v 5 v 6

Þ Ñ Ø ØÙ ÓÑ ÒÝ Ð Ô Å Áº Ú Ú ÐÐ ÑÓ Ñ ÖÒ ¹ ÐÐ Ø Þ Ñ Ö Ð Ø ¾¼¼ º Þ Ð ÓÞ Þ ÐÐ ØÓØØ Ð Ò Ö Ì Ñ v 3 v 4 v 8 v 10 v 9 v 11 v 7 v 1 v 0 v 2 v 5 v 6 ÍØÓÐ Ö Ø ¾¼½½º ÒÓÚ Ñ Ö ¾º

Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ Ú Þ Ø ½ ÃÓÑ Ò ØÓÖ ½º½ Ð Ñ Ð Þ ÑÐ Ð Ó ½º¾ Þ Ø ¹ ÓÖÑÙÐ ØÙÐÝ ¹ ÐÚ ¾ Ö Ó ½¾ ¾º½ Ð ÔØÙÐ ÓÒ ½ ¾º¾ ÝÐ Ý Ø Ø Ð ¾º ÃÖÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÙ ¾º ÙÐ Ö À Ñ ÐØÓÒ Ö Ó ¾º Ä Ö Ú ÙØ ¾¼ ¾º º½ ýðø Ð ÒÓ Ø ÚÓÐ Ú ÒÝ Ö Ó ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ¾º À Ð Þ Ø ÓÐÝ ÑÓ Ð ÐÑ Þ ¾º Å Ò Ö Ø Ø Ð Ö Ó Ø Þ Ö Þ ¾º È ÖÓ Ö Ó Ô ÖÓ Ø Ó Ö Ô Ö Ñ Ø Ö ¾º Ö Ó Þ Ò Þ ¾º º½ Ö Ó Ð Þ Ò Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½¼Ë Ö Ó ¾º½½Ë Ö Ó Ù Ð Ø ¾º½¾Ë Ö Ó Þ Ò Þ ¾º½ Å ÐÝ Ö Ð Ù Ö Ó ¾º½ È ÊÌ¹Ñ Þ Ö Ð Ó Þ ÙØ Ð Ù Ö Ó Ò ËÞ Ñ ÐÑ Ð Ø º½Ç ÞØ Ø ÔÖ Ñ Þ Ó ÞØ º¾ÃÓÒ ÖÙ Ò º Ê Ù ÐØ Ñ Ö Ö Ò Þ Ö ÙÐ Ö¹ ÖÑ Ø Ø Ø Ð º Ä Ò Ö ÓÒ ÖÙ Ò ¾ ½ ½ ½ ¾ ¾ ¾ ¼ ½

Ì ÊÌ ÄÇÅ à ýðø Ð ÒÓ Ð Ö ½ º½ Ð Ö ØÖÙ Ø Ö ÓÔÓÖØÓ ½ º½º½ Ð ÓÔÓÖØÓ ÓÔÓÖØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º¾ Ð Ù ÓÔÓÖØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º½º Ö ÓÔÓÖØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º È ÖÑÙØ ÓÔÓÖØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º Ú Ø ÖÒ ÓÔÓÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º ÓÔÓÖØ ÐÑ Ð Ø Ð Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ö Ø Þ Ú Ð ÓÔÓÖØÓ Ð ÔØ Ø Ð º ÝòÖò Ø Ø ÓÒÝÓÐÙÐØ ÐÑ Ð Ø º½Ã Ö Ö Ò Þ º½º½ Ä Ò Ö Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º¾ Ò Ö Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º Å Ò ÑÙÑ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º½º Ê Ò Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º¾ Ö Ó Ø ÖÓÐ º Ð ÓÖ ØÑÙ Ó ÓÒÝÓÐÙÐØ º Æ ÒÝ Ý Þ Öò Ð Ö ÓÒÝÓÐÙÐØ º È ÆÈ ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÞØ ÐÝÓ º ÆÈ¹Ø Ð º º½ Æ Þ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÓÐ Ý ÓÖÐ Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÈÖ ÑØ ÞØ Ð º ÆÝ ÐÚ ÒÓ ÙÐ Ø Ø Ó Ö Ó º ÞÓÒÝ Ø Ò ÓÖÑ ÞÐ Ò Ð Ð ¾ ¾ ½

Ú Þ Ø Þ ÝÞ Ø Å Ú ÐÐ ÑÓ Ñ ÖÒ ¹ ÐÐ Ø Þ Ñ Ö ¾¼¼»¾¼¼ ¹ Ø Ò Ú Ð Ð Ú Ò Ð ÓØØ ÎÁË ½¼ Ò Úò Þ Ñ Ø ØÙ ÓÑ ÒÝ Ð Ô º Ð ÓÞ Ø ÖØÓÞ º ÝÞ Ø Ð Ð Ð Ú Þ Ö Ú Ð Ð Þ Ð º Æ Ñ Ô ØÓÐ Ö Ò Ð Þ Ö ÐÐ ÒÝÚ ÓÖÑ ØÙÑ ÝÞ Ø Ø Ñ ÐÐÝ Ð Þ ÑÓ Ø ÒØ Ø Ò Ý Þ º Ð ÒÝ Ñ Ø Ð Ò ÒÒÝ Ó Ý ÞÓÖÓ Ò Ô ÓÐ Þ Ö Ò Ð ÓØØ ÒÝ ÓÞ Ý ÓÒ ÒØÖ ÐØ Ò Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ú Þ Ò Þ ÑÓÒ ÖØ Ø٠غ ÝÞ Ø Ú Ð Ñ ÒÒÝ Ö Ø Ð ÑÙØ Ø ÞÓÒ Ò Þ Ð ÓÒ Ð Ò ÞÓØØ ÓÒ Ý ÓÐÝ Ò Ö Þ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ñ ÐÝ Ñ Ö Ø Ø Ò Ñ Ú Ø Ð Ñ Ú Þ Òº À Ø Ø Ú Ð Þ Ò Ú Ð ØÐ Ò Ð ÓÑÓÐÝ Ò Ö Ð Ý¹ Ý Ø Ñ Ö Ö ÒØ ÞÓ Þ Ñ Ö Ó Ý ÞØ ØØ Ñ Ò ÒÝ ÐØ Ð Ñ Ö Ò Ø ÐØ Ñ ÝÞ Øº Þ Ð ÝÞ Ø Ò ½ Ðк ÔÖ Øò Þ Ð ÓÐÚ Ø º Æ Ð Ø Ð ÞÓÒ Ò Ó Ý Þ ÙÔ Ò Ø Ò ÒÝ ÓØ Þ Ø Ñ ÝÞ ¹ ÓÞ Ó Ý Ý ÓØØ ÒÝ Ö Þ Ò Ú Ð Ø ÒÝÐ Ò ÐÑ ÐÝ Ð Ò Ú Ð Þ ÖÓ ÐÑ Ø µ Ö Ñ Ø ÒÙÐÑ ÒÝÓÞÒ º ÀÓ Ý Ò Ð Þ Öò ÝÞ Ø Ø ÞÒ ÐÒ Ý ÐØ Ð Ò Ó Ý Ò ÓÐÝ Ú Þ ÝÞ Ø Ø Ý ÞØ Ñ Ý Þ ÐÐ Ø Ò Ó Ý Ò Ñ Ò Ò Þ Ö Ô Ð Ò Ñ Ø Ú Þ Ò Ö Þ ¹ Ø Ò º Î Ð Þ ÒòÐ Þ Ò Ñ Ö ÐØ Ø Ð Ø Ò Þ Ò Ñ ÚÓÐغ ÝÞ Ø Ð Ô Ø Ò ¹ Ø Ø Ð¹ ÞÓÒÝ Ø Þ ÒØ ÖÓÑ ÓÒ Ð Ô Þ Ò ÐØ Ó ÐÑ Ø ÐØ Øò Þ Ð Ð ÞØ Ñ Ø Ø Ð ÐÐ Ø Ñ Ý Ð Ð ÑÑ µ Ð ØØ Ð Ú Ö Ò ÓÑ Ñ Ñ Ö Ð Ú Ò Þ ÞÓÒÝ Ø Ó Ú Ø Ô ÓÐÝ Ò Ó ÐÞ Ñ ÒØ Ñ ÐÝ Ò Ôк ÓÖ Ú Ò Ðк Þ Ð ÚÓÐØ Ó Ý Ò Ð Ý Ò Ø Ð Þ Ö Þ Þ ÒÝ º ÝÞ Ø Þ ÖØ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø Ò ÒÝ ÓØ Þ Ø Ðк ÓÞ Ô ÓÐ Ö Ò Ø ÐØ Ò ÓÖÑ ÑÓÖÞ Ø º Þ Ý Þ ÐØ Ñ Ö Ø Ø Ú Þ Ò Ø Ø Ò Ñ Ú Ø Ð Ñ Þ Þ ÐØ Ð ÒÓ Ö ÒÝ ÐÚ Ó Ý Þ ÔÖ ØòÚ Ð Þ ØØ Ö Þ Ø Ñ Ð Ó Þ¹ Ø ÐÝÞ Ø ÖØ Ñ Ø Ð Þ Ñ ÖÒ º Ì Ð Ò Ò Ñ Ø Ð Ó Þ ØÓ ÞØ Ð ÒØ Ò Ó Ý ÒÓÖÑ Ð Þ ò Ö Þ Ø Ñ Ö Ø Ð Ò Ð Ó ÞØ ÐÝÞ Ø ÓÞº Ô ØÖÙÑ Ñ Ú Ò Ø Ð Ø Ö Ñ Ö Ð ÒÝ Ò Ø Ð Ø Ò Ð ÓÞ º Ð Ø Ð ÒØ Ôк Ý Ð Ø Þ Ö ÞÒ Ó Ý Ú Þ Þ Ò Ñ ØÙ ÔÓÒØÓ Ò ¹ ÑÓÒ Ò Ú Ð Ñ ÐÝ Ð ÒÝ Ò Ø Ø Ø ÐØ Ú Ý ÐÐ Ø Øº Ö Ñ ÒÝ Ñ Þ Ö Þ Ò Ø Ø Ø Ð Ø Þ Þ Ö ÒØ Ñ ÓÐ ÐÐ Ø Ú Þ Ò ÞÓÒÝ Ø Ó Ý Ò Ñ ÖØ Ñ Ö Ð ¹ Þ Ðº Å Þ Ú Ð Ð Ð Ð Ó ÞØ ÐÝÞ ØÒ ÐØ Ø Ð Ø ÖÞ ÒÝ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ó ÐÑ ÐÐ Ø Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ö Ø Ú Ý Þ Ó Ý ÐÐ Ø Þ Ø ØÙ ÑÓÒ Ò Ô Ð Ý Ò ÞÓ Ø Ð ÐÑ ÞÒ ÞÓ Ö Þ Ø Ò Ô Ð Ø ÑÙØ ØÒ º Þ Ð Ó ÞØ ÐÝÞ ØÒ Ò Ñ ÐØ Ø Ð Ó Ý Ñ Ò Ò Ñ Ö¹ Ø Ø ØØ ÞÓÒÝ Ø Ø Ø Ð Ø Ò Ñ Ö Ò Ú Þ Þ º Ë Ø Ö Ý Ø Ñ ÐÐ ØÙ Ò º ÞÓÒ Ò ÒÒ Ð Ô Ò ÔÖ Ð Ð Ú Þ ÞÒ Þ ÞØ Þ Ò Þ Ø Ú Þ ÞØ Ø Ò Ó Ý Ò ÝÓÒ Ò Ñ Ö Ð Ø Þ ÒÝ º Å ÒØ Ý ÓÖÐ Ú Þ ÞØ Ø ÐÑÓÒ ØÓÑ Ó Ý Þ Ò Ñ ÖÖ ÞØ Ò Þ Ó Ý Ð ÔÓ Ò Ý Þ Ñ Ò Ø Ø Ð ÐÐ Þ ÒØò Ñ Ö Ø Ö Ð Ñ ÖØ ÞØ ÓÒ ÓÐÓÑ Ó Ý Þ ÑÓ ÓÐÝ Ò ÐÐ Ø Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø Ò ÒÝ Ñ Ø Ý Ð ÒÒÝ Ñ ÖØ Ò Ñ Ö ÞÓÒÝ Ø Ø Ú Ý Ð Ð ÒÒ Ú ÞÐ Ø Øº ýðø Ð ÒÓ Ò ÐÑÓÒ Ø Ó Ý Ó Ð ÓÒØÓ ÖØ Ð Ò Ø ØÐ Òµ Ó Ý Ý ØÐ Ò Ø Ñ Ö¹ Ò Ð Ò Þ Ú Ö ÓÞÒ Ú Þ Þ Ø Ñ ÒØ Ý¹ Ý ÞÓÒÝ Ø Ö ÞÐ Ø Ñ Ö Ø º Ò ÒÓ Ò Ñ ÙØ Ö Ø Ø Ó ÙÖÙ Ò Ø Ñ Ø ÒÙÐÒ ØÓ Ö ØÙ Å Ò Ö Ø Ø ÐØ Þ ÔÔ Ý Ñ Ù Ñ ÒØ Þ ÑÑ Ø Ñ ØÙ ÔÖ Ñ Þ Ñ Ò Ò Ú Ð ÞØ Ð º Ú Þ Ð ÓÒÝÓÐ Ø Ý Ø ÖØ Ò Ó Ý Ñ Ò Ò Ú Þ Ö Ð ÒØ Þ ÐÐ Ø Ò ÓÖ ÓÐÙÒ Ý Ø Ø ÐØ Þ ØØ Ñ Ø Ð Ð Ø Ø Ø Ð ÓÖ Ðº ÞØ Ú Ø Ò Ð Ð Ô Ö Ð Þ Ð Ð ØØ ÐÐ Ø ÓÐ ÓÞ Ø Ø Ø Ð Ø Ð Þ Öò Ò Ú ÞÐ ØÓØ Öº Þ ÑÓÒ Ö Ð ÐÐ Ó Ý ÓÐ ÓÞÓØØ Ú ÞÐ Ø Ð Ô Ò ÐÐ ØÙ Ò ÑÓÒ Ò Ú Þ Ø Ø Ð Ò Þ Ö ÔÐ Ò Ø Ø Ø Ð Ø ÐÐ ØÚ Ö ÔÖÓ Ù ÐÒ ÐÐ ØÙ Ò ÞÓÒÝ Ø Ó Øº À Ò Ñ Ñ Ý Ñ Ø Ð Ú Þ ÞØ Ø Øº ËÞ Ñ Ø Ò ÐÐ ÖÖ Ó Ý Ñ Ø Ø ÐÐ Ð Ô ÓÐ ØÓ Ó ÐÑ Ö ÐÐ Ø Ó Ö Ö Ö Þ Ú Þ ÞØ Ø º Ú Þ ÞØ Ø Þ Ñ ÐÝ ÐÝ Þ Ò Ò Ð ½ Å ÒØ Ôк Þ Øغ

Ð Þ Ø Ø Ò Ú Ð Ñ ÐÝ Ð Ú Ý Ý ÓÖÐ ØÚ Þ Ø Ð ØØ ÐÐ Þ ÑÓØ Ò ØÙ Ö Ðº ÀÓ Ý Ò ØØ Ð ØÖ Ð Ò Ð Ø ÝÞ Ø Ö ¾¼¼ Ø Ú Þ Ò Þ ØØ Þ Ø Þ Þ ÒÝ º Å Ò Ò Ð Ú Ú Ò Ð Ð µ Þ Ð ÓÒ Ð Ò ÞÓØØ Ò Ñ Ð Ð Ò Þ ØÓ Ø ÖØ ÐÑÓÒ Ý Þ Ñ ÓÐÝ Ñ ØÓ Ò ÝÓÑÐ ÐÒ Ð ÒØ Þ Ñ Ò Ð Ù Ò Ø º ÎÓÐØ Ú Ò Ð Þ Ð Ð Ú Òºµ Ò Ö Ò Ñ Ð Ø ØÐ Ò Ö Ñ Ø Þ Ö ÞØ ÞÓ ÐÐ Ø ÓÐÐ µ Ð ÞØ Ð Ö Ø Ú Ý Ø Ø Ð ÐØ º ÅÙÒ Ù Ø Þ ØÓÒ Þ Ò Ñº Ê Ñ Ð Ñ Ó Ý ÒÒ ÒÝÓÑ Ò ÝÞ Ø ÞÒ Ð Ø Ð ÒØ Ò ÚÙÐØ Þ ÑÓ ÐÐ Ø Ð Þ Ð Ø ÒÒÝ Ø Ñ º Ì ÖÑ Þ Ø Ò Ñ Ò Þ Ò ÓÞÞ Ø Þ Ñ Ñ Ñ Ø Ñ Ò Ò Ø ÓÐ ÓÞ ÓÖ Ð Ö Ó Ø Ø Ú Ø ÐÐ ÞØ Þ ÒÝ Þ Ý Ò ÐÝ Ñ ÖÞ Ö Òº Å Ò Ò Ö Þ Ø ÐÐ Ò Ö Ú Ð Þ ÒòÐ Þ ÑÓ Ñ Ö Ø ÑÓ Ø ÞÖ ÓØØ ÝÞ Ø Ò º Ì ÖÑ ¹ Þ Ø Ò Ñ Ò Ò ÐÝ Ò ÒÝÓ ÖØ Ý Ð Þ ÒÝ Ñ Ð Ð º ÝÞ ØØ Ð Þ Ò Ø Ð Ð Ø Ö ÐÝ Ö ÒÝ ÐÚ ÐÝ Ö Ñ Þ ÖØ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø Ð Ô ÓÐ ØÓ Ñ ÝÞ Ø ÓÒ ØÖÙ Ø Ú ÓÞÞ Þ Ð Ó Ø Þ Ò ØØ Ð Ó ÓÑ Ð Ò Ö º Ñ º Ù Ñ Òº ÒÒ Ô ÐÝ Ò Ö Ñ Ó Ý Þ Ö Ñ Ö Ø Ý Ð Ñ Ú Ø Ð Ú Ð Ý Þ Ñ ØÓÚ Ú Ø Ò Þ ÒÝ Óغ ÝÞ Ø Ö Ñ ÒÝ Ñ Þ Ö ÒØ Ö ÒØ ÖØÓØØ Ú ÐØÓÞ Ø ÛÛÛº º Ñ º Ù» Ð Ò Ö» ÝÞ Ø Û Ð ÔÖ Ð Ø ÐØ Ø Ð º È Ö Þ Ú Ð Þ ÖÞ Ó Ó Ö Ðº Ð Ò ÑÙÒ Ð ÒØ Ö Þ Þ ÐÐ Ñ Ø ÖÑ Ò Ñ Þ ÖÞ º Þ ÖÞ Ó Ó Ø ÒØ Ø Ò Þ ÖÞ Ð ÔÞ Ð Þ Ð º ÑÙÒ Ð ÒÐ ÓÖÑ Ò Þ ÓÒ Ñ ÓÐ Ø Ø Ö ÞØ Ø Þ Ö Ð Þ ÖÞ ÓÖÖ ÔÓÒØÓ Ñ Ð Ð Ú Ð Ò Ý Ò Òº Í Ý Ò Þ Ñ Ø Ö Ð Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò Þ ÖÞ Ó Ø ÐÝ Ð ÓÐÓ Ö Ñ Ð Ò ÑÙÒ ÒØ Ø ÔÙ Ð ÞÒ Ð ÓÖ Ò Þ ÖÑ Þ º ÒØ Ñ Ø ØØ Ð ÐØ Ö Ð ÞÒ Ð Ôк Þ ÒÝ Þ Ö ÞØ Ø ÓÐ ÓÞ ÖÙ Ø µ Þ Ö Ð Ð Ò ÑÙÒ Þ ÖÞ Ò Ö Ð Ò ÐÝ Ú Ð Ð Ø º Å Ò Ò ÓÐÚ Ò Ö Ð Þ Ð Ø Ö Ñ ÒÝ Ú Þ Þ Ø Ú ÒÓ º Ù Ô Ø ¾¼¼ º Ñ Ö º Ð Ò Ö Ì Ñ Â ÝÞ Ø ÚÓÐ ¹ ÐÓ ¾¼¼ º ½¾º ¼ º ½ º ¼  ÝÞ Ø ½º¼ Ö Ó Ø ÖÓÐ Ñ ÒÝÞ ØعÓØØ Ñ Ø Ð Ò Ð ÞÒ Þ Ø º ¾¼¼ º ½¾º  ÝÞ Ø ½º½ Ö ÐØ Ú Þ Ø Ø Ð ÓÖ Ô Ö Ð Ö Ñ ÞòÒØ Ö Ó Ø ÖÓÐ Ö Ðغ Æ Ñ ÖØ Ò Ò ÑÑ Ú Þ ÐÞ ¾¼¼ º ¼ º ¾¾º ½ º½¼  ÝÞ Ø ½º¾ Î Ò Ú Þ ÐÞ ÅÓÐÒ Ö Ö ÐÝ ËÞ Ð ÒØ Î Ò Ð Þ È ÒØ Ö ÇÐ Ú Ö Ø ØØ º ¾¼½½º ½½º ¼¾º ¼ º ¼  ÝÞ Ø ½º Á Ñ Ø Ò ÒÝ Ð Ö Ð Ú º

Î Þ Ø Ñ Ø Î Þ Ø Ñ Ø Þ Ñ Ø ØÙ ÓÑ ÒÝ Ð Ô Ø Ö Ý Ð Ú ÐÐ ÑÓ Ñ ÖÒ Þ Ó ÐÐ Ø Ö Þ Ö ¾¼¼»¾¼¼ ¹ Ø Ò Ú Áº Ð Ú ½º Ä Þ ÑÐ Ð Ð Ô Ó ÐÑ Ô ÖÑÙØ Ú Ö ÓÑ Ò Ñ ØÐ Ò Ð Ð Ú Ý Ñ ØÐ ¹ е ÒÓÑ Ð Ø Ø Ð Þ Ø ÓÖÑÙÐ º ¾º Ö ÐÑ Ð Ø Ð Ô Ó ÐÑ Ý Þ Öò ØÙÐ ÓÒ ÃÖÙ Ð Ø Ø Ð Ñ Ò Ñ Ð ÐØ ò Þ ¹ Ø Ö µ ÝÐ Ý Ø Ø Ð Þ Ñ µ ÈÖ Ö º º ÙÐ Ö¹ Ø ¹ Ö Ø ÙÐ Ö¹ Ø ¹ Öµ Ó ÐÑ Þ Ð ÐØ Ø Ð Ð Ø Þ Ö À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö ¹ Ø Þ ÐÐ ØÚ Ð ÐØ Ø Ð À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö Ð Ø Þ Ö º º Ä Ö Ú ÙØ Ø Ö Ð ÓÖ ØÑÙ Ó Ë ØÖ ÓÖ ÐÓÝ µº º È ÖÓ Ø Ó Ã Ò ¹À ÐÐ Ø Ø Ð ÖÓ Ò Ù Ø Ø Ðº º Ã Ò ÐÐ Ø Ø Ð ÌÙØØ ¹Ø Ø Ð Þº Ò Ð Ðµº º À Ð Þ Ø ÓÐÝ ÑÓ ÓÖ ¹ ÙÐ Ö ÓÒ Ø Ø Ð ÑÓÒ ¹Ã ÖÔ Ø Ø Ð Þº Ò Ð Ðµº º Å Ò Ö Ø Ø Ð Ö Ó Þ Þ Ñ Ö ¹Ø Ø Ð Þº Ò Ð Ðµº º ÈÓÒع Ð Þ Ò Þ ÓÖÐ ØÓ ÖÓÑ Ø Ù Þ ÑÖ ÅÝÞ Ð Ý¹ ÓÒ ØÖÙ ÖÓÓ ¹Ø Ø Ð Þº Ò Ð¹ е ½¼º Ë Ö ÞÓÐ Ø ÙÐ Ö¹ Ð ÔÓÐ ÖØ Ø Ð ÃÙÖ ØÓÛ Ø Ø Ð ÒÒÝò Ö ÒÝ Ò Þºµ Öݹ Ï Ò Ö Ø Ø Ð Þº Ò Ð Ðµº ½½º Ù Ð Ø Ý Ò ÞÓÑÓÖ Ï ØÒ Ý Ø Ø Ð Þº Ò Ð Ðµ Ö Ó Þ Ò Þ Ø Þ ÒØ Ø Ðº ½¾º Å ÐÝ Ö Ð ÐÑ Þ Ôк Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ð Ø Þ Ò Ð ÒØ µ È ÊÌ¹Ñ Þ Ö Ö Ø Ù Ø Ú ÒÝ ½ º Ã Ö Þ Ö Ö Ò Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ó Þ Ö Ó Ù ÓÖ Þ Ð Ð µ Ð ÓÖ¹ Ð ØÓ Ð Ô Þ ÑÓ Ö Ö Ó Ø ÖÓÐ ½ º ÈÖÓ Ð Ñ ÓÒÝÓÐÙÐØ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Ú Þ Ú Þ Ø È ÆÈ Ó¹ÆÈ ÓÒÝÓÐÙÐØ Ó ÞØ ÐÝÓ Ó¹ ÐÑ ÐØ Ø Ð Þ ØØ Ú ÞÓÒÝÙ ÆÈ¹Ø Ð Ò Ú Þ Ø ÆÈ¹Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ º ½ º Ç ÞØ Ø Ð Ò ÝÓ Þ Ó ÞØ Ð Þ Ø Þ Ö ÔÖ Ñ Ð ÓÒØ Ø Ð ÒÓ Þ Ñ¹ ÐÑ Ð Ø Ð ÔØ Ø Ð Ó ÞØ Þ Ñ Ù Ð Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ò Ú Þ Ø Ø Ø Ð ÔÖ Ñ Þ ÑÓ Ö Ðº ½ º ÃÓÒ ÖÙ Ò Ó ÐÑ Ø Ð Ö Ù ÐØ Ñ Ö Ö Ò Þ Ö ϕ¹ Ú ÒÝ ÙÐ Ö¹ ÖÑ Ø Ø Ø Ð ¹ ÖÑ Ø Ø Ø Ð Ð Ò Ö ÓÒ ÖÙ Ò Ñ ÓÐ Ï Ð ÓÒ¹Ø Ø Ð ½ º Ð ÓÔÓÖØÓ ÓÔÓÖØÓ Ô Ð ÓÔÓÖØ Ö Ò Ð Ñ Ö Ò Þ ÑÑ ØÖ Ù ÓÑÓ Ý Ú ØÖ Ò Þ ÓÖÑ Ò ÓÔÓÖØ Ð Ù ÓÔÓÖØ Þ S n Þ ÑÑ ØÖ Ù ÓÔÓÖغ ½ º Ê Þ ÓÔÓÖØ Ñ ÐÐ Ó ÞØ ÐÝ Ä Ö Ò Ø Ø Ð Ð Ñ ÓÔÓÖØ Ö Ò Ò Ô ÓÐ Ø Ö Ø Þ Ú Ð¹ ÓÔÓÖØÓ Ð ÔØ Ø Ð ÝòÖò ÒÙÐÐÓ ÞØ ÒØ Ö Ø Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ô Ð Ø Ø Ô Ð º ½ º ËÞ Ñ ÐÑ Ð Ø Ð ÓÖ ØÑÙ Ó ÔÖ ÑØ ÞØ Ð ÒÝ ÐÚ ÒÓ ÙÐ Ø Ø Ó Ø ÞÓÒÝ Ø Ò ÓÖÑ ÞÐ Ò Ð Ðº

½º Þ Ø ÃÓÑ Ò ØÓÖ ½º½ Ð Ñ Ð Þ ÑÐ Ð Ó º Ä Ý Ò k, n N 0 k nº Þ n Ð Ñ k¹ Ó ÞØ ÐÝ Ñ ØÐ Ò Ð Ð µ Ú Ö Ò n Ö Þ Ø ØØ ÝÑ Ø Ð Ñ Ð Ò ÞØ Ø Ø Ð Ñ Ð Ú Ð ÞØÓØØ k Ð Ò Þ Ð Ñ Ý ÓÖÖ Ò Ø ÖØ º Þ Þ Ú Ð ÞØÙÒ Ý Ð Ð Ñ Ø Þ n Þ Ð Ý Ø Ð Ð Ò Þ Ñ Ó Ø Ø Ú Ð Þ Ø Ð Ð Ò Þ k¹ غ V (n, k) Ð Ð n Ð Ñ k¹ Ó ÞØ ÐÝ Ú Ö Ò Þ Ñ Øº È Ð ÒØ Ú Ö Ó ÐÓÑÖ Ý Ð Ø Ô Ð ÞØ Ö ÞÞ Ó Ý Ý n Ú Ö ÒÝÞ Ö ÞÚ Ø Ð Ú Ð Ñ Ö Ò Þ ØØ Ö Ô ÖÚ Ö ÒÝ Ò Þ Ð k ÙØ ÓÖÖ Ò ÒÝ Ð Ð Øº Ö ÖØ Ð Ñ Þ Öò Ò V (n, k) ÖØ º Î Ð Ó Ó Ý V (n, 0) = 1, V (n, 1) = nº Þ Ð Ø Þ Ó Ý V (n, k) = V (n, k 1) (n k+1) Þ Ò Ñ Ò Ò Þ Ú ÓÖÖ Ò Ø Ñ Ø ÖÓÞ ØÙÒ Ý Ó Ý Ð Þ Ö k 1 Ð Ñ Ø Ö ÙÒ ÓÖ Ñ k¹ Ð Ñ Ø Ø Ø Þ Ð Ò Ú Ð ÞØ Ù Þ Ò Ñ Ú Ð ÞØÓØØ n k + 1 Ð Ñ Þ Ðº ÁÒÒ Ò V (n, k) = n (n 1). {.. (n k + 1) º 1 n = 0 º Þ n Ø ÖÑ Þ Ø Þ Ñ ØÓÖ Ð n! := 1 2... n n > 0. ÒØ Ð Ð Ð V (n, k) = n! (n k)! º º Ä Ý Ò k, n Nº ÓÖ n Ð Ñ k¹ Ó ÞØ ÐÝ Ñ ØÐ Ú Ö Ð ØØ Ý ÓÐÝ Ò k Ó Þ ÓÖÓÞ ØÓØ ÖØ Ò Ñ Ò Ø n ÝÑ Ø Ð Ñ Ð Ò ÞØ Ø Ø Ð Ñ Þ Ð Ö ÐÒ Ý Ó Ý Þ n Ð Ñ ÖÑ ÐÝ Ø Ø Ø Þ Ð Ò Ó ÞÓÖ Ð ÞÒ Ð Ø Ù ÓÖÓÞ Ø Òº Þ ÑÐ Ø ØØ Ñ ØÐ Ú Ö Þ Ñ Ø V ism (n, k) Ð Ð º È Ð Þ Ñ ØÐ Ú Ö Ô Ò ÌÓÙÖ Ö Ò Ö Ô ÖÓ Ú Ø Ð Ý Ú Ö ÒÝÒ Ô Ö ÓÒ ÓÐ ØÙÒ Ñ Ö Þ Ø Ó Ý Þ ÓØØ Ò ÔÓÒ n Ú Ö ÒÝÞ Ò ÙÐØ k Ø Ô Þ Þ Ö Þ¹ Ø Úµ ÚÓÐØ Þ Ñ Ò Ý Ò Ð Þ Ð Ò ÒÝ ÙØ ÔÓÒØÓ Ø Þ Ö Þµ ÓÖ ÒÝ Ð Ð Ø Þ ÞÒ Ô Ø Ô Ý ÞØ ÓÖÖ Ò º À ÓÒÐ Ò ÒØ ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø Þ ØØ V ism (n, 0) = 1, V ism (n, 1) = n Ðк k 1 Ø Ò V ism (n, k) = V ism (n, k 1) n ÓÒÒ Ò V ism (n, k) = n k º º Ä Ý Ò n Nº ÓÖ n Ð Ñ Ý Ô ÖÑÙØ Þ n ÝÑ Ø Ð Ñ Ð Ò ÞØ Ø Ø Ð Ñ Ý ÓÖ Ö Ò Þ Ø Ð ÒØ º ÓÖÑ Ð Ò Þ {1, 2,..., n} Ð Ñ Ý Ô ÖÑÙØ Ò Ý σ : {1, 2,..., n} {1, 2,..., n} Ø Þ Þ Ð Ò Ò Ý ÖØ ÐÑò Ñ Ð ÐØ Ø Ø ÖØ Ò º Å ÝÞ Ý Ô ÖÑÙØ Ø Ø Ø Ñ ØÙÒ Ý Ñ ÒØ σ Ð Ô Þ Ø Ø Ø 5 Ð ÑÒ Ý ÓÒ Ö Ø Ô ÖÑÙ¹ Ø Þ σ Ñ Ö σ(1) = 3, σ(2) = 4, σ3 = 5, σ(4) = 2, σ(5) = 1 σ(6) = 6º Í Ý Ò ÞØ Ô ÖÑÙØ Ø Ñ Ø Ù 1 2 3 4 5 6 Ý Ø Ð Þ ØØ Ð Ñ Ò Ó ÞÐÓÔÓÒ ÒØ Ø ÒØ Ø Ð Ó Ý Ñ ÐÝ Ð Ñ Ø ÓÚ Ú Þ Ú ÒÝ σ Ñ ¹ 3 4 5 2 1 6 Ø Ý Ó Ý Ñ Ö ÐÙ Ø Þ Þ Ñ Ú Þ Ð Ù Ó Ý Ý Ð Ñ Ø ÓÚ Ú Ø Ð Þ Ø Ö ÐØ Ð Ô Þ Þ Ý ÔÓØØ ÐÙ Ó Ø Þ Ö Ð Þ Ø Ú Ö Ù Ð Þ Ý Ó Þ ÐÙ Ó Ø Þ Þ Ü ÔÓÒØÓØ Øµ Ò Ñ ÞÓ ÖÒ µ σ = (1, 3, 5)(2, 4)(6) = (1, 3,5)(2, 4)º à ÞÒÓ Ð Þ Ý Ô ÖÑÙØ Ö Ø Ð ÔÔ ØÙ ÙÒ ÓÒ ÓÐÒ º È Ð Ì Ý Ð Ó Ý n ÐÐ Ò ÖÞ Ò ÐÐ Ø ÙØÒÙÒ Ñ Ò Ý Ò Ý¹ Ý Ð Þ ÑÓÒ Ú Ð ÖÓ Þ Ð Þ Ú Ð ÔÖ Ð ÓÞÙÒ ÞÓÒÒ Ð Ú Þ Ø Ò º À Ñ Ö Þ n Ð Þ Ø Ò Ñ ØÙ Ù Ó Ý ÞÓ Ñ ÐÝ ÐÐ Ò ÖÞ ÔÓÒØÓ ÓÞ Ø ÖØÓÞÒ ÓÖ Ð ØÙÒ Þ Ó Ý ÐØ Ð Ð Ù Ð Þ Ú ÞÓÒ Ô ÖÑÙØ Ø Ñ Þ Ö ÒØ ÞÓ Ø ÑÓÒ Ú Ø ÙØÙÒ Þ ÐÐ Ò ÖÞ Òº Ò Ð ÞÓÒÒ Ð Ó Ý n Ð Ñ Ô ÖÑÙØ ÞÓÒÓ Þ n Ð Ñ n¹ Ó ÞØ ÐÝ Ú Ö ¹ Ú Ð Ý ÒØ Þ Ö ÒØ Þ ÑÙ n! 0! = n! º º Ä Ý Ò k 1, k 2,..., k l N Ö Þ Ø ØØ Þ ÑÓ n := k 1 + k 2 +... + k l º ÓÖ n Ð Ñ Ñ ØÐ Ô ÖÑÙØ Ð ØØ l Ð Ð Ñ Ý ÓÐÝ Ò n Ó Þ ÓÖÖ Ò Ø ÖØ Ò Ñ Ò Þ i¹ Ð Ñ ÔÓÒØÓ Ò k i ¹ Þ Ö Ð Ò Ñ Ñ Ò Ò 1 i l Ø Òº

½º Â Ì ÃÇÅ ÁÆ ÌÇÊÁÃ È Ð À ØÙ Ù Ó Ý Ý Ø Ò Ñ Ò Ò Ò Ô Ø Ö Ò Ú Ò Þ ÐØ Ð ÒÓ ÓÐ Ò Ñ Ö Þ Ý Ø Ö Ý Ø Ö Þ Ñ Ø Ð Ý Ò Þ k 1, k 2,...,k l Ñ Ö Ø ÖÑ Þ Ø Ò k 1 + k 2 +... + k l = 25 Ø Ð Ðµ ÓÖ Ð Ø Ö Ö Ò Þ Ñ ÔÔ Ò 25 Ö Ñ ØÐ Ô ÖÑÙØ Ò Þ Ñ º Ô Ð Ô Ò ÙÖ Ø ÒØ Ñ ÖØ Ò Ñ Ú Ð Þ Òò ÓÐÝ Ò Ò Ô Ó Ý Ø ØÒ Ú Ð ¹ Ò ¹Ö Þ¹Ø Ò ¹Ó ÞØ ÐÝ Ò Ð Ý Ò Ó ÞØ ºµ Å ÝÞ ½º Þ n Ð Ñ Ñ ØÐ Ô ÖÑÙØ ÐÒ Ú Þ Ò Ñ Ø Ð Ò ÔÓÒØÓ º Í Ý Ò Ñ ÓÖ ÖÖ Ð Þ Ð Ò ÓÖ ÞØ Ñ Ò Ý ÖØ Ó Ý Þ l k i ¹ ÖØ Ö Þ Ø ØØ º ¾º À Ñ Ò Ò k i ÖØ 1 ÓÖ Þ Ñ ØÐ Ò Ð Ð Ô ÖÑÙØ Ó ÐÑ ÓÞ ÙØÙÒ Ú Þ º Þ Ñ ØÐ Ò Ð Ð Ô ÖÑÙØ Ò Ø Ø Ø Ð Ø ÐØ Ð ÒÓ Ø Ø Ð ØØÙ Þ Ñ ØÐ Ò Ð Ð Ú Ö Ø Ðк Þ Ñ ØÐ Ô ÖÑÙØ Øº Þ Ñ ØÐ Ô ÖÑÙØ Þ Ñ Ò Þ Ñ Ø ÓÞ Þ {1, 2,..., n} ÐÑ Þ Ñ Ò Ò Ð Ñ Þ Ö Ò¹ Ð ÓÖ Ö Ò Þ Ò l¹ Ð Ð Ñ Ú Ð Ñ ÐÝ Ø Ý Ó Ý Þ i¹ Ø Ð Ñ Ø ÔÓÒØÓ Ò k i Þ Ñ ÓÞ Ö Ò Ð º Î Ð Ó Ó Ý ÒØ ÓÞÞ Ö Ò Ð Ð Þ {1, 2,..., n} ÐÑ Þ Ð Ñ Ò Ñ Ò Ò Ý Ô Ö¹ ÑÙØ Ñ Ø ÖÓÞ Ý Ñ ØÐ Ô ÖÑÙØ Øº Å Ð Ð Ñ Ò Ò Ý Ñ ØÐ Ô ÖÑÙØ Þ {1, 2,..., n} Ð Ñ Ò ÔÓÒØÓ Ò Ù Ý Ò ÒÒÝ Ô ÖÑÙØ Ð Ô Ø Ñ Ù Ý Ò Ý Ö Þ Ø ØØ Ñ ØÐ Ô ÖÑÙØ Ø Þ Ö ØÒ Ñ ÔÒ ÓÖ Ñ Ò Ò Ý k i Ñ Ö Øò ÐÑ Þ Ð Ñ Ø Þ Ñ ØÐ Ô ÖÑÙØ ÐØ Ð Ñ Ø ÖÓÞÓØØ ÔÓÞ Ö ÐÐ Ø Ø Þ Ð Ò Þ ØÓ ÞØ Ò º ÞØ ÓÔÓÖØÓÒ ÒØ k i!¹ Ð ÔÔ Ø Ø Ñ ÓÔÓÖØÓÒ ÓÒ ÝÑ Ø Ð ØÐ Ò Ð Ø Ø Ñ Ò Ò Ý Ñ ØÐ Ô ÖÑÙØ Ø ÔÔ Ò k 1! k 2!... k l! Ô ÖÑÙØ Ø ÖÓÞ Ñ º Å Ú Ð Þ {1, 2,..., n} Ñ ØÐ Ò Ð Ð Ô ÖÑÙØ Ò Þ Ñ n! Þ ÖØ Þ Ñ ØÐ Ô ÖÑÙØ Þ Ñ Ö n! k 1! k 2!... k l! Å ÝÞ ½º (k 1+k 2 +...+k l )! k 1! k 2!... k l! ÓÖÑÙÐ º Þ Ö Ð Ö Ò Þ Ö Ò Ñ Ú Ð Ó Ó Ý Þ Þ Ñº Ä ØØÙ ÞÓÒ Ò Ó Ý Þ Ñ Ø¹ Ð Ô ÖÑÙØ Þ Ñ Ø Ö Ð Þ ÖØ ÞÓÒÝÓ Ò Þº ÞÞ Ð Ø Ø Ý Ð Ö Ø ÒÝØ ÓÑ Ò ØÓÖ Ù ØÓÒ ÞÓÐØÙÒ º ¾º Ý Ð Ñ Ó Ý Þ Ñ ØÐ ÐÞ Ú Ö Ðк Ô ÖÑÙØ Ø Ò Ð Ò Þ ÓÐ ÓØ Ð ÒØ Ú Ö Ø Ò Ø Ø Þ Ð Þ Ñ Ñ ØÐ Ñ Ò ØØ Ô ÖÑÙØ Ò Ð Ñ Ò Ò Ð ÑÖ Ð ÓØØ Ó Ý ÒÝ ÞÓÖ Ñ ØÐ º º Ä Ý Ò k, n N k nº ÓÖ n Ð Ñ k¹ Ó ÞØ ÐÝ ÓÑ Ò Ò Ý Ö Þ Ø Øص n Ð Ñ Ð ÐÐ ÐÑ Þ Ý k¹ Ð Ñò Ö Þ ÐÑ Þ Ø ÖØ º Þ n Ð Ñ k¹ Ó ÞØ ÐÝ ÓÑ Ò Ò Þ Ñ Ø Þ Þ Þ n¹ Ð Ñò ÐÑ Þ k¹ Ð Ñò Ö Þ ÐÑ Þ Ò Þ Ñ Øµ C(n, k) Ð Ð º È Ð Ã Þ Ò Ú Ô Ð ÐÓØØ Þ Ó Ð Ø Ñ Ò Ø Ð Ò Þ Ñ 90 Ð Ø Þ Ñ Ð Þ 5 ÒÝ Ö Þ ÑÓØ C(90, 5)¹ Ð ÔÔ Ð Ø Ú Ð ÞØ Ò Þ Þ ÓÖÖ Ò Ò Ñ Þ Ñ Øº Î Ý ÞÖ Ó Ý n Ð Ñ Ñ Ò Ò k¹ Ó ÞØ ÐÝ Ú Ö Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ Ø ÖÓÞ Ý k¹ Ó ÞØ ÐÝ ÓÑ Ò Ø Ý Þ Öò Ò Ð ÐÐ Ð ÞÒ Ú Ð ÞØÓØØ k Ð Ñ ÓÖÖ Ò Ö Ðº Þ ÞÓÒÒ Ð Ð Ø¹ Þ Ó Ý Ñ Ò Ò Ý k¹ Ó ÞØ ÐÝ ÓÑ Ò ÒÒÝ k¹ Ó ÞØ ÐÝ Ú Ö Ð Þ ÖÑ ÞØ Ø Ø Òݹ Ð ÔÔ Ò Ú Ð ÞØÓØØ k Ð Ñ Ø ÓÖ Ð Ø Ö Ò Þ Þ k! ¹ к Þ ÖØ C(n, k) = V (n,k) n! k! = (n k)! k! º Å ÝÞ Þ ÒØ ÓÑ Ò Ó ÐÓÑ Ñ Ø Ô Ð Ø Þ Ñ ØÐ Ô ÖÑÙØ Ò n Ð Ñ Ð ÖÓ k¹ø Ú Ð ÞØ Ò ÓÖ ÐØ Ø Ñ Ó Ý Þ n Ð ÑÒ Ú Ò Ý Ö Þ Ø ØØ ÓÖÖ Ò º Ò ÓÖÖ Ò Ò Ñ Ò Ò Ð ÑÖ Ð Ñ ÐÐ ÑÓÒ ÒÓÑ Ú Ð ÞØÓØØ Ñ¹ Ú Ý Ñ Ö ÙÐ ÞØ Ý Ó Ý ÔÓÒØÓ Ò k¹ø Ú Ð Þ º Î Ý Ý ÓÐÝ Ò n Ó Þ ÓÖÖ Ò Ö Ð Ú Ò Þ Ñ Ò Ú Ð ÞØÚ k¹ ÞÓÖ Ò Ñ Ú Ð ÞØÓØØ Ô (n k)¹ ÞÓÖ Ð Ò Ñ º Þ Ô Þ n Ð Ñ Ý ÓÐÝ Ò Ñ ØÐ Ô ÖÑÙØ Ñ Ö k 1 = k k 2 = n k º ) := n! º  РР( n k (n k)! k! Þ n Ð ØØ k Ú Ý n Ð ØØ k µ Ñ ÓÒ ÓÐÚ ÓØØ ºÒº ÒÓÑ Ð Ý ØØ Ø Øº ÒØ Ð Ð Ð C(n, k) = ( ( n k) º À k > n ÓÖ Þ n k) ÒÓÑ Ð Ý ØØ Ø Ø 0¹Ò Ò Ð Ù º Å ÝÞ ½º Ê Ò Þ Ö ØØ Ñ Ú Ð Ó Ó Ý `n k Þ Þ Ñ ÓÑ Ò ØÓÖ Ù ØÓÒ Þ ÞÓÒÒ Ð Þ Ý ÐÑ Þ Ñ Ö Ø Ø Ñ º È Ö Þ ÞØ Ñ Ö Ð ØØÙ Þ Ñ ØÐ Ô ÖÑÙØ Ò Ðºµ ¾º `n ` k = n n k Ð Ö ØÓÒ Ú Ð Ó Ð Ð Ø Þ Ó Ý n Ð Ñ Þ Ð k Ð Ñ Ú Ð ÞØ Ù Ý Ò Þ Ñ ÒØ n k Ð Ñ ÓØØ Ý Ú Ý Ñ Ñ Ö n k Ð Ñ Ú Ð ÞØ º º À k 1 ÓÖ `n k = `n 1 k + `n 1 k 1 º Ê Þ Ø Ò Ù Ý Ò Ý x Ð Ñ Ø Þ n Ð Ñ Þ Ðº À ÑÓ Ø n Ð Ñ Þ Ð k¹ø Ú Ð ÞØÙÒ ÓÖ Ò k Ð Ñ Ò Ú Ý Ò Ò ÒÒ Þ x ÓÖ Ø Ô n 1 Ð Ñ Ð Ú Ð ÞØÓØØÙÒ k¹ø `n 1 ¹ Ð ÔÔµ k Ú Ý ÒÒ Ú Ò Þ x ÓÖ Þ x¹ø Ð Ð Ò Þ n 1 Ð Ñ Þ Ð ÐÐ ØØ (k 1)¹Ø Ú Ð ÞØ Ò Ñ Ø `n 1 k 1 ¹ Ð ÔÔ Ø Ø Ò Ñ º Þ ÞÓÒÓ Ô Ö Þ Ð Ö ØÓÒ ÞÓÐ Ø Þ Þ Ø ÙÒ ÐÑ Ö ÞØ º `r ` s = `r+s Þ Þ r + s Ð Ñ Ø Ý r Ý s Ñ Ö Øò Ö ÞÖ º Þ Ð Þ Ñ Ý Ð ÐØ Ð ÒÓ Ø Ó Ý P k=0 k n k Ó ÞØ Ù ÓÖ n¹ø Ð Ý Ú Ð ÞØÙÒ Ó Ý Ú Ð Ñ ÐÝ Ò k¹ö Þ s¹ Ð Ú Ð ÞØÙÒ k¹ø Þ r¹ Ð Ô (n k)¹øº º Ä Ý Ò k, n Nº ÓÖ n Ð Ñ k¹ Ó ÞØ ÐÝ Ñ ØÐ ÓÑ Ò n¹ Ð Ð ÑØ ÔÙ Ð k Ú Ð ÞØ Ø Ð ÒØ ÓÐ ÖÑ ÐÝ Ø ÔÙ Ð Ø Ø Þ Ð Ò Ó Ø Ú Ð ÞØ ØÙÒ º Ì Ø Þ Ñ ØÐ ÓÑ Ò Ñ Ð ÐØ Ø Ø Þ a 1 + a 2 +...a n = k Þ Ò ÓÐ a i N Ö Ð Ó Ý Þ i¹ Ø ÔÙ Ð ÒÝ Ø Ú Ð ÞØÓØØÙÒ º Þ n Ð Ñ k¹ Ó ÞØ ÐÝ Ñ ØÐ ÓÑ Ò Ò Þ Ñ C ism (n, k)º È Ð À Ý Ù Ö Þ Ò n¹ Ð Ø Ñ ÒÝØ ÖÙÐÒ Ñ Ò Ý Ø Ð ÓÖÐ ØÐ Ò Þ Ñ ÐÐ Ö Ò Ð Þ Ö ÓÖ k Ø Ñ ÒÝØ ÔÔ Ò C ism (n, k)¹ Ð ÔÔ Ò Ú ÖÓÐ ØÙÒ º Þ n Ð Ñ Ø Ø Þ Ð k¹ Ó ÞØ ÐÝ Ñ ØÐ ÓÑ Ò Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ Ð ÐØ Ø Ø Ý (n + k 1) Ó Þ 0/1¹ ÓÖÓÞ ØÒ Ð Þ Ö Ð ÖÙÒ a 1 1¹Ø Ñ Ý 0¹Ø ÙØ Ò a 2 1¹Ø Ý 0¹Ø a 3 1¹Ø 0¹Ø Ø º Ì Ôº Ý a 1 + a 2 +... + a n = k Ñ ØÐ Ô ÖÑÙØ Ø Ý Ð ØÙÒ Ø Ó Ý Ñ Ò Ò a i ¹Ø a i 1¹ Ð Ñ Ò Ò +¹Ø Ý 0¹Ú Ð ÓÐÙÒ Þ = k Ú Þ Ø Ô Ð Ý Ù º ÈÐ 0 + 0 + 3 + 2 + 0 + 5 + 0 = 10 Þ Ò Ñ Ð Ð Ñ ØÐ Ô ÖÑÙØ Ø 0011101100111110 ÓÖÓÞ Ø n

½º¾º Ë ÁÌ ¹ ÇÊÅÍÄ Ë Ëà ÌÍÄ ¹ ÄÎ ÓÐ ºµ Þ Ò Ø Ø k 1¹Ø (n 1) 0¹Ø ÖÙÒ Ð º Ê ÙÐ Ñ Ò Ò n + k 1 Ó Þ k 1¹ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ 0/1 ÓÖÓÞ Ø Ð Ý ÖØ ÐÑò Ò Ý Ñ ØÐ ÓÑ Ò º Þ ÖØ Þ Ñ ØÐ ÓÑ Ò Þ Ñ ÞÓÒÓ Ð Ø 0/1¹ ÓÖÓÞ ØÓ Þ Ñ Ú Ðº Ý ÐÝ Ò ÓÖÓÞ ØÓØ Ô Ý ÔÙÒ Ó Ý Ð Ø n + k 1 ÐÝ Ð Ú Ð ÞØ Ù ÞØ k ÐÝ Ø ÓÚ 1¹Ø ÖÙÒ Ñ Ö ÐÝ Ò ÖØ Ð Ñ Þ Öò Ò 0¹ ÐÐÒ º Þ Ö ÒØ n Ð Ñ k¹ Ó ÞØ ÐÝ Ñ ØÐ ÓÑ Ò Ò Þ Ñ ( ) n+k 1 º ÒÓÑ Ð Ý ØØ Ø Ð Ô ÓÐ ØÓ ÒÓÑ Ð Ø Ø Ðº ÒÓÑ Ð Ø Ø Ð À 1 n Z ÓÖ (a + b) n = n ( n i) a i b n i +... + ( n n) a n. i=0 ( n i ) a i b n i = ( ) n 0 b n + ( n 1) ab n 1 +... + Þº Ñ ÓÖ Þ Ö Ð Ø Ð ÓÒØ Ù ÓÖ Ð Ø Þ Ø Ø Ó Ý Ò Ó Ý Þ n Ø ÒÝ Þ Ñ Ò Ý Ð Ú Ð ÞØ Ù Þ a Ðк b Ú Ð Ñ ÐÝ Ø Þ Ø Þ ÞÓÖÓÞÞÙ º Ì Ø Ñ Ò Ò Ø Ø a i b n i Ð Ð Þ Ú Ð Ñ ÐÝ 0 i n ÞÖ º ÃÓÒ Ö Ø Ò a i b n i ÒÒÝ ÞÓÖ Ó Ò ÒÝ Ð ÔÔ Ò Ð Ø Ú Ð ÞØ Ò i a¹ø Ð Ø n¹ Ð Þ Þ ( n i) ¹ Þ Öº à ں ½º ( ( n 0) + n ( 1) + n ( 2) +... + n n ( n) = n i=0 i) = (1 + 1) n = 2 n º ¾º ( ( n 0) n ( 1) + n ( 2)... ± n ) n n = i=0 ( 1)i( n i) = (1 1) n = 0 n = 0 º È Ð ÖÓÑ Þ º ÒÓÑ Ð Ý ØØ Ø Ø ÐÖ Ò Þ Ø Ô Ö Ñ Ð Þ Ø Ò Ý Ó Ý Ô Ö Ñ Ò ÐÐ Þ `0 0 = 1 Ý ØØ Ø Ð ØØ Þ `1 1 0 = 1 Ðк `1 1 = 1 Ý ØØ Ø ÖÑ ÓÖ Ò Ø Ð Ð Ø 1 1 `2 `2 `2,, 0 1 2 Ý ØØ Ø º ýðø Ð Ò Þ (i+1)¹ ÓÖ Ò Þ `i `i,, 0 1..., `i i Ý ØØ Ø 1 ÐÐÒ º 2 1 Ð ÙØ Ú Ø ÞÑ ÒÝ ÑÙØ Ø Ó Ý È Ð ÖÓÑ Þ i¹ ÓÖ Ò Ø Ð Ð Ø 1 Ð Ñ 3 Þ 3 1 2 i 1 º Þ ÞÓÒ Ò Ð Ø Ø Ð Ø ÒÝ Ð Ó Ý Ñ Ò Ò ÓÖ Þ Ø Þ Ö 1 4 Þ Ð Þ Ò 6 4 Ù Ý Ò 1 Ô Ð ÖÓÑ Þ Ý Ð Ñ Ø Ý Ô Ù Ó Ý Þ Ù Ð ØØ 1 5ÐÐ Ø 10 Ð Ñ Øº 10 Þ 5 1 ÓÖ Ò Ð ØÓØØ `n k = `n 1 k 1 + `n 1 k Þ Ð ºµ È Ð... ÖÓÑ Þ Ò...... ØÓÚ... Ö ØÙÐ ÓÒ Ú ÒÒ º È Ð ÖÓÑ Þ ½º¾ Þ Ø ¹ ÓÖÑÙÐ ØÙÐÝ ¹ ÐÚ k Ð Ñ Ð Þ ÑÐ Ð Ð ØÓ Ò Ó ÞÓÖ Ò ÝÓÒ ÞÒÓ Þ Ø ¹ ÓÖÑÙÐ º Þ Ø ¹ ÓÖÑÙÐ À A 1, A 2,...,A n Ú ÐÑ ÞÓ ÓÖ A i = ( 1) I +1 A i i {1,2,...,n} =I {1,2,...n} i I ½º½µ ËÞ Ú Ò Þ ÙÒ Ð Ñ Þ Ñ Ø Ý Ô Ù Ó Ý A i ÐÑ ÞÓ Ð Ñ Þ Ñ Ò Þ Ð Ð ÚÓÒ Ù Ô ÖÓÒ ÒØ Ñ Ø Þ Ø Ð Ñ Þ Ñ Ø Þ ÓÞÞ Ù ÖÑ Ñ Ø Þ Ø Ð Ñ Þ Ñ Ø Ð ÚÓÒ Ù 4¹ Ñ Ø Þ Ø Ñ Ö Ø Ø Øº ÞØ Ò Ö Ô Ð Ó Ý 1 1000 Þ ØØ ÒÝ ÓÐÝ Ò Þ Ñ Ú Ò Ñ 30¹ ÓÞ Ò Ñ Ö Ð Ø Ú ÔÖ Ñº Å Ú Ð Ý Þ Ñ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ò Ñ Ö Ð Ø Ú ÔÖ Ñ 30¹ ÓÞ 2, 3 Ú Ý 5 ÔÖ Ñ Ú Ð Ñ ÐÝ Ú Ð Ó ÞØ Ø Þ ÖØ Þ 1 1000 Þ ØØ Þ ÑÓ Þ Ð 2¹Ú Ð 3¹Ñ Ð Ðк 5¹Ø Ð Ó ÞØ Ø Þ ÑÓ ÐÑ Þ Ò ÙÒ Ò Ð Ñ Þ Ñ Ø ÐÐ Ñ Ø ÖÓÞÒÙÒ º À Ú Þ Þ 500 Ô ÖÓ 333 3¹ Ñ Ð Ó ÞØ Ø 200 5¹Ø Ð Ó ÞØ Ø Þ ÑÓØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò Þ ÑÓØ Ø Þ Ö Þ ÑÓÐØÙÒ Ñ Ñ Ø ÔÖ ÑÑ Ð Ó ÞØ Ø 2, 3, 5 Þ Ðº À Ø Ø Ð ÚÓÒ Ù 166 6¹Ø Ð 100 10¹Þ Ð Ðк 66 15¹Ø Ð Ó ÞØ Ø Þ ÑÓØ ÓÖ Ý Ð 33 30¹ Ð Ó ÞØ Ø Þ ÑÑ Ð Ú Ò Ñ Ø 3¹ ÞÓÖ Þ ÑÓÐØÙÒ Ñ 3¹ ÞÓÖ ÚÓÒØÙÒ Ð Ø Ø Þ Ø Ñ ÓÞÞ ÐÐ Ò Ú Ö Ñ ÒÝ Þ Ñ ÐÝ Ò ÓÖÑ Ò (500 + 333 + 200 166 100 66 + 33)¹Ò º À ÞÓÒ Ò Ñ ÖØ Ö Ò Ò Ñ Ö Ð Ú Ò Þ ÓÖ Þ Ø ¹ ÓÖÑÙÐ ÞÓÒÝ Ø Ö ÞØÖ Ø Ú Ð Ö Ú º Þ Ø ¹ ÓÖÑÙÐ ÞÓÒÝ Ø Ì ÒØ Þ A 1 A 2... A n ÐÑ ÞØ Ð Ý Ò x ÒÒ Ý Ø Ø Þ Ð Ð Ñ º Þ Ø ¹ ÓÖÑÙÐ ÞÓÐ ÓÞ Ñ Ò Þ ÞØ ÐÐ Ñ ÑÙØ ØÒÙÒ Ó Ý x ÓÞÞ ÖÙÐ Ù Ý Ò ÒÒÝ Þ ½º½ ÓÖÑÙÐ ÐÓй Ð ÓÞ Ñ ÒØ Ó ÓÐ Ð ÓÞº ÐÓÐ Ð Ý Þ Öò x¹ Ø ÔÓÒØÓ Ò Ý Þ Ö Þ ÑÓÐØÙ Ñ º ÞØ ÐÐ Ø Ø ÞÓÐÒÙÒ Ó Ý x¹ Ø Ó ÓÐ ÐÓÒ Þ Ò Ý Þ Ö Ú Þ Ý Ð Ñ º Ì Ý Ð Ø Ø Ó Ý x ÔÔ Ò k A i ÐÑ ÞÒ Ð Ñ º Î Ð Ó Ó Ý ÔÔ Ò ( k t) ¹ Ð ÔÔ Ð Ø Þ Ai ¹ Þ Ð t Ð Ò Þ x¹ø Ø ÖØ ÐÑ Þ ÐÑ ÞØ Ú Ð ÞØ Ò º Þ ÖØ x ÓÞÞ ÖÙÐ Ó ÓÐ Ð ÓÞ ÔÔ Ò k ( ) k k ( ) k k ( ) k ( 1) i+1 = 1 + ( 1) i+1 = 1 ( 1) i = 1 (1 1) k = 1 0 = 1, i i i i=1 i=0 Ñ ÒØ ÞØ ÐÐ ØÓØØÙ º ÖÑ Ý ÒÐ ÒÓÑ Ð Ø Ø Ð Ñ ØØ Þºµ È Ð Þ Ø ¹ ÓÖÑÙÐ Ú Ð Ñ Ø ÖÓÞ Ø Ù ÞÓÒ Ô ÖÑÙØ Þ Ñ Ø Ñ ÓÐÝ Ò ÓÖÖ Ò Ò ¹ Ð ÐÒ Ñ ÓÐ Ý Ð Ñ Ñ ÓØØ ÐÐ ÓÐ Þ Ö Ø ÓÖÖ Ò Ò ÐÐغ Ä Ý Ò Ù Ý Ò Ô ÖÑÙØ Ð Ò i=0

½¼ ½º Â Ì ÃÇÅ ÁÆ ÌÇÊÁÃ Ð Ñ n Þ Ñ Ö Þ Ø ØØ Ð ÒØ A i ÞÓÒ Ô ÖÑÙØ Ø Þ n Ð ÑÒ Ñ Þ i¹ Ð Ñ Ø ÐÝ Ò Ý º Î Ð Ó Ó Ý A i = (n 1)! Þ Þ i¹ Ø Ð Ð Ò Þ n 1 Ð Ñ Ý Ô ÖÑÙØ Ö Ð Ú Ò Þ º Ë Ø k Ð Ò Þ A i ÐÑ Þ Ñ Ø Þ Ø Ø Ø ÒØ ÓÖ Þ ÔÔ Ò ÞÓ Ø Ô ÖÑÙØ Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ ÓÐ k ÓØØ Ð Ñ ÐÝ Ò Ú Ò Þ Þ n k Ð Ñ Ø Ô ÖÑÙØ Ð ØÙÒ Ø Ø Þ Ð Ò Ý k¹ Ñ Ø Þ Ø Ñ Ö Ø ÔÓÒØÓ Ò (n k)!¹ò º Þ ÙØ Ò Ý Ø ÖÓÞÞÙ Ñ Ö ØØ Ô ÖÑÙØ Þ Ñ Ø Ó Ý Ð Þ ÑÐ Ð Ù ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÐÑ ÞØ Þ Þ Ñ Ò ÞÓÒ Ô ÖÑÙØ Ø Ñ Ð Ð Ý Ð Ñ Ø ÐÝ Ò ÝÒ Ñ Þ Ú Ð Ñ ¹ Ø ÖÓÞÞÙ Þ n i=1 A i ÐÑ Þ Ñ Ö Ø Øº Ö ØØ Ñ ÒÒÝ Ø Ø n n n! A i = n! ( 1) I +1 A i = n! ( 1) k+1 A i = i=1 = n! + n ( n ( 1) k k k=1 I {1,2,...,n} ) (n k)! = n! i I ( n 1 k=1 ) ( ) n (n 1)! + (n 2)! 2 ) n! 1 e ( 1 = n! 0! 1 1! + 1 2! 1 3! +... =I {1,2,...,n}, I =k ( n 3 i I ) (n 3)! +... = Ñ Ø ÔØÙÒ ÞØ ÞÓ Ø Ò Ý Ó ÐÑ ÞÒ Ó Ý Þ Ò Þ ÖÙ Ø Ö Ò Ñ Ò Ò Ú Ð ØÐ Ò Þ Öò Ò Ô Ú Þ Ý ØÓØ ÓÖ 1 e Ú Ð Þ Òò ÒÒ Ó Ý Ò Ñ Ø ÖÙ Ø Ô º Å Þ Ú Ð Ñ Ò Ò Ú ÐÐ ÑÓ Ñ ÖÒ ÐÐ Ø Ñ ÙÐ Ð ØØ ÞÞ Ý Ñ ÐÐ Ø Ò Ú Ø Ð Ô Ð ÓÖ Ø Ñ ÒØ 60% Ú Ð Þ Òò Ð Ð Ð ÝÚ Ð Ø Ñ Ø Ð Ô Ñ º Î Ð Ñ ÖØ ØÙÐÝ ÐÚ Ø Ñ Ö Ø ÖØÓÞ Ð Ù Ø ÞØ º ØÙÐÝ ¹ ÐÚ Ø ÐØ Ð Ò Ö Ð ÖÒ ÞÓ Ø Ú Ð Ó Ý Ý Ó Ý n Ó ÓÞ Ø Ñ ÒØ n Ø Ö Ý Ø ÐÝ Þ Ò ÓÖ Ð Þ ÓÐÝ Ò Ó ÓÞ Ñ Ò 1¹Ò Ð Ø Ø Ö Ý Ú Òº Þ ÖÞ Ò ÒÓ ÔÔ Ñ Ö ÓÖ Ò ÑÐ Ø ØØ Ò ¹ Ø Ø Ð¹ ÞÓÒÝ Ø Ú Þ Ô Ö Ô Ý Ó Ý Ú Ø ÞÞ Ò Þ Ý Þ Ñ Ö Ñ Ö ÞØ ÓÖÑ Ð ÞÑÙ º Ë ØÙÐÝ ¹ ÐÚ À f : H K Ú ÐÑ ÞÓ Þ ØØ Ý Ð Ô Þ K < H ÓÖ Ð Ø Þ H¹Ò Ø ÝÑ Ø Ð Ð Ò Þ h h Ð Ñ Ý Ó Ý f(h) = f(h ) Ø Ð Ðº Þº ÁÒ Ö Ø f H ÖÑ ÐÝ Ø Ð Ñ Þ Ð Ò Þ K¹ Ð Ð Ñ Ø Ö Ò Ð ÓÖ K¹Ò Ð Ð ÒÒÝ Ð Ñ Ú Ò Ñ ÒØ H¹Ò ÐÐ ÒØÑÓÒ º È Ð ½µ À Ñ Ò Ò Ú ÐÐ ÑÓ Ñ ÖÒ ÐÐ Ø Ý¹ Ý 3¹ Ýò Þ ÑÞ ÖÖ Ð Þ ÖÒ Ð Ø ÓÖ ÞÓÒÝÓ Ò Ð ÒÒ ÞØ Ø ÓÐÝ Ò ÝÑ Ø ÞÒ Ð ØÒ Ø Ù Ðº ÞÓÒÝ Ø Ø Ñ ÒØ 1000 ÐÐ Ø Ñ Ò Ý Þ 1000 Ð Ø Þ ÑÞ Ö Ú Ð Ñ ÐÝ Ø ÖØÓÞ ºµ ¾µ À a 1, a 2,..., a 100 Þ Þ ÑÓ ÓÖ Ú Ð ÞØ Ø Þ Ð Ò ÒÝ Ý Ó Ý Þ 100¹Þ Ð Ó ÞØ Ø Ð Ý Òº ÞÓÒÝ Ø Ì ÒØ b i := a 1 + a 2 +... + a i Þ ÑÓ Øº À Ú Ð Ñ ÐÝ b i 100 Ø Þ Ö Þ Ú ÝÙÒ º À Ò Ñ ÓÖ b 1, b 2,..., b 100 Þ ÑÓ Þ Ð ØÙÐÝ ¹ ÐÚ Ñ ØØ Ð Þ Ø ÓÐÝ Ò Ñ Ù Ý Ò ÖÖ Ø ÝÖ Ú Þ ÑÓÒ Ù b i b j ÓÐ i < jº ýñ ÓÖ b j b i = a i+1 + a i+2 +... + a j Þ Ñ 100¹Þ Ð Ó ÞØ Ø ºµ ØÙÐÝ ¹ ÐÚ Ð ÐÑ Þ Ú Ð Þ Ò ÓÑÓÐÝ Ø Ø Ð Ø ÞÓÒÝ Ø ØÙÒ º ÁØØ Ú Ò Ñ Ò ÖØ Ý Ô Ð º Ö ¹ËÞ Ö Ø Ø Ð ÖÑ ÐÝ k, n N Ø Ò Ø Ø Þ Ð nk + 1 Ó Þ Þ Ñ ÓÖÓÞ Ø Ò Ø Ð Ð Ø n¹ò Ð Ó Þ Ò Ú Ú Ú Ý k¹ò Ð Ó Þ Ò Ö Þ ÓÖÓÞ Øº Þº ÁÒ Ö Ø ÞÓÒÝ ØÙÒ Ø Ý Ð Ó Ý Ú Ð Ñ ÐÝ n k Ø Ò Ú Ò ÓÐÝ Ò nk + 1 Ø ÓÖÓÞ Ø Ñ Ò n+1 Ø Ò Ú Ú k+1 Ø Ò Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ò º ÓÖÓÞ Ø x Ð Ñ Þ Ö Ò Ð Ò ÓÞÞ ÞØ Þ (n(x), c(x)) Þ ÑÔ ÖØ ÓÐ n(x) Ð Ó Þ x¹ Þ Ð Þ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ó Þ Ø Ñ c(x) Ð Ó Þ x¹ Þ Ð Þ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ó Þ Ø Ð ÒØ º Î Ð Ó Ó Ý x y ÓÖÓÞ ØÙÒ Ð Ò Þ Ð Ñ ÑÓÒ Ù y Þ x¹ø Ú Ø µ ÓÖ x y Ø Ò n(x) > n(y) Ñ x y ÓÖ c(x) > c(y) Ø Ð Ðº Þ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý ÓÖÓÞ Ø Ð Ò Þ Ð Ñ Þ Ð Ò Þ Þ ÑÔ ÖÓ Ø Ö Ò Ð Ò º Å Ú Ð n(x) {1, 2,..., n} c(x) {1, 2,..., k} Þ ÖØ ÓÖÓÞ Ø Ð Ñ Þ Ö Ò ÐØ Þ ÑÔ ÖÓ nk¹ Ð Ð ØÒ º Å Ú Ð nk + 1 Ø ÓÞ Ö Ò ÐØ Ò Þ ÑÔ ÖØ Þ ÖØ Ø Ð Ò Þ Ø ÓÞ Ù Ý Ò ÞØ Ô ÖØ ÐÐ ØØ Ö Ò ÐÒ Ò Ñ Ð Ø ØÐ Òº Þ ÐÐ ÒØÑÓÒ ÑÙØ Ø Þ Ò Ö Ø ÐØ Ú ÐÝØ Ð Ò ÚÓÐØ Ø ÞÞ Ð Ô ÞÓÐØÙ Ø Ø Ðغ Þ Ö ¹ËÞ Ö Ø Ø ÐÖ ÑÙØ ØÙÒ Ý Ñ Ò Ð Ò ØÙÐÝ ¹ ÐÚ Ø Ò Ñ ÞÒ Ð ÞÓÒÝ Ø Ø º ¾º ÞÓÒÝ Ø Ä Ý Ò S 0 Þ (a 1, a 2,..., a nk+1 ) ÓÖÓÞ Øº ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý Ý S ÓÖÓÞ Ø x Ð Ñ Ö Þ S ÓÖÓÞ Ø x ÙØ Ò Ð Ñ Þ Ð Ý Ñ x¹ò к Î Ý ÞÖ Ó Ý Ý ÓÖÓÞ Ø Ö Ð Ñ ÓÖÓÞ Ø ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ø Ð ÓØ º Þ S 0 ÓÖÓÞ Ø Ð Ò ÙÐÚ Ò Ð Ù Þ S 1, S 2,... Ö Þ ÓÖÓÞ ØÓ Ø Ý Ó Ý S i+1 Þ ÓÖÓÞ Ø Ñ Ø Ý ÔÙÒ S i ¹ Ð Ó Ý Ð Ý Ù S i Ö Ð Ñ Øº À Ú Ð Ñ ÐÝ S i ¹Ò Ø Ñ ÒØ n Ö Ð Ñ Ú Ò ÓÖ Þ Þ Ð Ñ Ý Ð Ð n + 1 Ó Þ Ò Ú Ú Ö Þ ÓÖÓÞ ØÓØ Ð ÓØÒ Þ Ö Ø S 0 ÓÖÓÞ Ø Ò Þ Ø Ø Ð ÐÐ Ø Ø Ð Ðº À Þ Ò Ñ Ø ÖØ Ò Ñ ÓÖ Ú ÞÓÒØ Ñ Ò Ð Ð n Ð Ñ Ø ÝÙÒ Ð Ý Þ S k ÓÖÓÞ Ø Ñ Ö º Ä Ý Ò Ø Ø x 1 Þ S k Ý Ð Ñ º Å Ú Ð x 1 Ò Ñ Ö S k 1 ¹ Ò Þ ÖØ Ú Ò S k 1 ¹ Ò x 1 ÙØ Ò Ý

½º¾º Ë ÁÌ ¹ ÇÊÅÍÄ Ë Ëà ÌÍÄ ¹ ÄÎ ½½ Ò Ð x 2 РѺ ýñ x 2 Ñ Ö S k 2 ¹ Ò ÑÙ Þ Ø Ø S k 2 ¹ Ò x 2 ¹Ø Ý Ò Ð x 3 Ð ÑÒ Ú ØÒ º Þ x 3 ¹ Ð Ô Ù Þ x 4, x 5,... Ð Ñ Ø Þ ÙØÓÐ Ð Ñ x k+1 Ð Þ S 0 ¹ к Å Ú Ð x 0, x 1, x 2,..., x k+1 Þ S 0 Ý ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ø Ø ÐØ ÞÓÐØÙ º

¾º Þ Ø Ö Ó ÓÑ Ò ØÓÖ Ò Þ Ý Ð Ø Þ Ö ÞÒ ÐØ Ó ÐÓÑ Ö Ó º Ð Ú Ö ØÐ Ò Þ ØÙ Ò ÞÓÒÝÙÐ Ò ÝÓÒ Ð ÞÒ Ð Ø Ò Þ ÑÓ Ý ÓÖÐ Ø Ð ÐÑ Þ Ò ÑÓ ÐÐ Ð ÔÚ Ø Þ Ø Ú º º G = (V, E) Ô Ö Ý Ý Þ Öò Ö ½µ V ¾µ E ( V 2) := {{u, v} : u, v V, u v} Þ Þ E Ð Ñ V ÞÓÒÝÓ Ø Ð Ñò Ö Þ ÐÑ Þ º À G Ý Ö ÓÖ V (G) Ð Ð G Ò Ò ÔÓÒØ Ò µ E(G) Ô G Ð Ò ÐÑ Þ Ø Þ Þ V (G) Þ V ÐÑ Þ E(G) Þ Þ E ÐÑ Þ Ñ Ö G = (V, E)º G Ý Þ Öò Ö Ú V Ú ÐÑ Þº º G Ö Ý Ö Ñ G Ý ÓÐÝ Ò Ð Ö ÞÓÐ Ñ Ò Ó Ò Ð µ ÔÓÒØÓ Ð ÐÒ Ñ Ð Ò Ô ÓÐÝ Ò Ö ½ Ñ Þ ÓØØ Ð Ø Ú ÔÓÒØ Ø Ø Þ ÒÑ Ù Ø Ò Ñ Ñ Ø Þ Ñ Ú ÔÓÒØÓ Ø Ð Ö ÐÒ º Þ e = {u, v} ÐØ Ö Ú Ò e = uv¹ú Ð Ð Ð u¹ø v¹ø Þ e Ð Ú ÔÓÒØ Ò ÑÓÒ Ù º Þ u v Ó ÞÓÑ Þ Ó uv Eº Þ e f Ð Ø Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ò Ò Ú ÞÞ Ú ÔÓÒØ ÞÓÒÓ ¾ º ÀÙÖÓ Ð Þ ÓÐÝ Ò Ð Ñ Ò Ø Ú ÔÓÒØ Ñ Ý Þ º G = (V, E) Ô Ö Ö V E Ð ÐÑ Þ V ¹Ò Ô Ö ÙÞ ÑÓ ÙÖÓ Ð Ñ Ò Øغ 0 2 1 0 2 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 2 a a c G = ({a, b, c, d}, {ab, ab, ac, bc, cd, dd}) Ö ÞÓÑ Þ Ó Ñ ØÖ Ü Ø Ð Ø Ö Ñ º º G Ö ÞÓÑ Þ Ó Ñ ØÖ Ü Þ V (G) V (G) Ñ Ö Øò Ñ ØÖ Ü Ñ Ò (u, v) ÔÓÞ Ò Þ u v ÞØ Ð Þ Ñ ÐÐ u = v Ø Ò ÙÖÓ Ð Þ Ñ Ò Ø Þ Ö µº G Ö Ú V (G) E(G) Ú ÐÑ ÞÓ º º G Ö v Ò d(v) Ó v Ú ÔÓÒØ Ð Þ Ñ ÙÖÓ Ð Ø Þ Ö Þ Ñ Øµ ÓÖÑ Ð Ò d(v) := {e E : v Ú ÔÓÒØ e¹ò } + {e E : e ÙÖÓ Ð v¹ò} º G Ö Ñ Ü Ñ Ð Ðк Ñ Ò Ñ Ð Ó Þ Ñ Ø (G) := max{d(v) : v V (G)} Ðк δ(g) := min{d(v) : v V (G)} Ð Ð º G Ö ÓØ r¹µö ÙÐ Ö Ò ÑÓÒ Ù Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ò Ù Ý Ò ÒÒÝ rµ Ó (G) = δ(g)(= r)º Ì Ø Ð À G Ú Ò Ñ ÐØ ØÐ Ò Ð Ý Þ Öòµ Ö ÓÖ v V (G) d(v) = 2 E(G) Þ Þ Ý Ú Ö Ó Þ Ñ Ò Þ ÔÔ Ò Þ Ð Þ Ñ Ø Þ Ö º Þº À G¹Ò Ò Ò Ð ÓÖ Ó Þ Ñ Þ Þ Ð Þ Ñ Ø Þ Ö µ 0º Ô Ø Ð G¹Ø Ý Ó Ý Ý Ò ÒØ ÞÞÙ Þ Ð Øº Å Ò Ò Ý Ð Þ Ý Ð Ò Ú Ð Þ Ð Þ ÑÓØ ØØ Ú Ð Ó Þ Ñ Þ Ø Þ Ø ÔÓÒØÓÒ Ò Ú Þ Ý Ø Ó Þ Ñ Ú Ý ÙÖÓ Ð Ø Ò Ý Ò Ð 2¹Ú еº Þ Ö ÒØ Ñ ÓÖ G¹Ø Ð Ô Ø ØØ ÓÖ Þ Ð Þ Þ ØÙÐ ÓÒ ÔÔ Ó Ý Ø Ø Ð ÐÐ Ø º º K n Þ n ÔÓÒØ Ø Ð Ö V (G) = n ÖÑ ÐÝ Ø ÔÓÒØ Þ Ú Ò ØÚ Ý Þ Öµº Î Ð Ó Ó Ý K n Ö (n 1)¹Ö ÙÐ Ö E(K n ) = ( n 2) º P n Þ n ÔÓÒØ Ø C n Þ n ÔÓÒØ Ö V (P n ) = V (C n ) = {v 1,...,v n } E(P n ) = {v i v i+1 : 1 i < n} E(C n ) = E(P n ) {v 1 v n }º Ð º Þ Ö Øµ Å Ý Ð K 2 = P 2, K 3 = C 3 º D = (V, A) Ö ÒÝ ØÓØØ Ö ½µ V ¾µ A V 2 º Å Ò Ò ÐÒ Ú Ò Ý Ö ÒÝ Ø º ½ Ö ÐÝ ØØ Þ Ö Ò Ø Ö ØØÚÓÒ ÐÖ Ð Þ ÐÒ º Ý Ö Þ Ò Ú Ö ØÐ Ò Ñ ÓÒ ØÙ Ú Ð Ò º À Ý Ù º ¾ Þ ÖØ ÐÑ Þ Þ Ú Ý E(G)¹Ø ÑÙÐØ ÐÑ ÞÒ Ø ÒØ Ý Ð Ø Þ Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ð Ð Ø Ð Ñ µ Ú Ý E Þ Ð Ò Ú Ò ÐÑ Þ Ó ÓÒ ÓÐÙÒ Ý E `V 2 Ð Ô Þ Ø Ñ Ñ ÑÙØ Ø Þ Ð Ú ÔÓÒØ Øº Æ Ñ ÒÐ ÙÒ Ó ÐÓÑ ÔÖ Þ Ò Ú Ð Ñ Ð Þ Ò ÞÞ Ð Ó Ý Ð Ø ÓÖÑ Ð Þ ÐÒ ÞØ Ñ Ø Þ ÑÐ Ð Ø Ò Ð ÖÙÒ º Þ Ñ Ó Ø Ò Ò Þ Ð Ò Ø ØØ Ñ Þ ÞØÖ Ø ÓÖÑ Ð ÞÑ٠к Pn Cn b c b K 6 d d ½¾

¾º½º ýã Ä ÈÌÍÄ Â ÇÆËý Á ½ Ö ÑÓÒ ÒÝ Ð Ð ÞÓ Ð ÐÒ º È Ö ÙÞ ÑÓ ÙÖÓ Ð ØØ ÖØ ÐÑ Þ Ø Ö Ñ Ò Ø Ö ÒÝ Ð Ð Ø ÞÚ Ø ÔÓÒØ Þ Øغ Þ Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò Ó ÐÑ Ö Þ ÖØ Ð Ñ Þ Öò Ò Ø Ö ºµ º G 1 G 2 Ö Ó ÞÓÑÓÖ G 1 = G2 µ Ð Ø Þ Ý¹ Ý ϕ V : V (G 1 ) V (G 2 ) ϕ E : E(G 1 ) E(G 2 ) Ý Ó Ý uv E(G) ϕ V (u)ϕ V (v) = ϕ E (uv)º Ì Ôº Ð º Ý Öغ Ñ Ð Ð ÔÓÒØÓ Þ ØØ Ý Ó Ý Ø Ø Þº u, v V (G 1 ) Ø Ò u¹ Ð ÔÓÒØÓ Ò ÒÒÝ Ð Ú Þ Ø v¹ G 1 ¹ Ò Ñ ÒØ ϕ(u)¹ Ð ϕ(v)¹ G 2 ¹ Òºµ º G Ý Þ Öò Ö ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö G := (V (G), ( V 2) \ E(G)) Ö º È Ð P 4 C 5 Ðк Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ø ÓÑÔÐ Ñ Ø Ö Ú Ð ÞÓÑÓÖ µ Ö º Ì Ø Ð Ö Ó ÞÓÑÓÖ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ø Þ Ð G 1, G 2, G 3 Ö Ó Ö ½µ G 1 = G1 ¾µ G 1 = G2 G 2 = G1 µ G 1 = G2 = G3 G 1 = G3 º º G Ö Ð ÓÖÓÞ Ø Ý ÓÐÝ Ò (v 1, e 1, v 2, e 2,..., v k ) ÓÖÓÞ Ø Ñ Ö e i E(G) e i = v i v i+1 1 i < kµº Ø ÓÐÝ Ò Ð ÓÖÓÖÞ Ø Ñ Ò Ñ Ò Ò Ð Ð Ò Þ º Ö Ø ÓÐÝ Ò Ø Ñ Ò Ò ÙÐ Ú ÔÓÒØ ÞÓÒÓ v 1 = v k º Þ Ø Ðк Öµ ÓÐÝ Ò Öµ Ø Ñ Ò Ú ÔÓÒØÓ ÞÓÒÓ Ø Ð ÐØ ÒØÚ µ Ð Ò Þ º Ý Þ Öò Ö Ø Ò Þ Ø Öµ ÞÓÒÓ Ø Ø ÓÞÞ Ø ÖØÓÞ ÔÓÒØ ÓÖÓÞ ØØ Ð Ú Ý Ð ÓÖÓÞ ØØ Ðº º G Ö Þ µ ÖÑ ÐÝ Ø ÔÓÒØ Þ ØØ Ú Þ Ø Ø º ýðð Ø G Ö Ò ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ð Ø Þ u v Þ ØØ Ø Ð Ø Þ u v Þ ØØ Øº º u, v V (G)¹Ö u v Ð Ø Þ u v Þ ØØ Ø º ýðð Ø ÁÖ ÒÝ Ø ØÐ Ò Ö ÓÒ Ö Ð Ú Ú Ð Ò Ö Ð ½µ u u ¾µ u v v u µ u v w u w Ø Ø Þ Ð u, v, w V (G)¹Ö º º G Ö ÓÑÔÓÒ Ò Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ú Ú Ð Ò Ó ÞØ ÐÝ º ÓÑÔÓÒ Ò Ó ÐÑ ÒØ ÞØÖ Ø Ò ÐÝ ØØ Þ Ð Ñ ÓÒ Ò Ð Ø º Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝ K V (G) G Ö ÓÑÔÓÒ Ò ÖÑ ÐÝ u, v K Þ ØØ Ð Ø Þ G¹ Ø Ò Ñ Ð Ø Þ u v Ø u K v V (G) \ Kº Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝ Å Ò Ò Ö Ý ÖØ ÐÑò Ò ÓÒØ Ø ÓÑÔÓÒ Ò Ö º º Ä Ý Ò G = (V, E) Ö e E E E v V V V º ÓÖ G e := (V, E \ {e}) Þ e Ð Ø ÖÐ Ú Ð Ð Ø Þ Ö G E := (V, E \ E ) Ô Þ E ¹ Ð Ð Ø ÖÐ Ú Ð Ð Ø Þ Ö º Ä Ý Ò E v := {e E : v Ú ÔÓÒØ e¹ò }º G v := (V \ {v}, E \ E v ) v ÔÓÒØ Ø ÖÐ Ú Ð Ð Ø Þ Ö º E V := {e E : e¹ò Ú Ò V ¹ Ð Ú ÔÓÒØ }º G V := (V \ V, E \ E V ) V ¹ Ð ÔÓÒØÓ Ø ÖÐ Ú Ð Ð Ø Þ Ö º Ì Ø Ð Ðк Ð µ Ø ÖÐ ÓÖ Þ Ð ÐÑ Þ Ú ÐØÓÞ ÔÓÒØÓØ Ðк ÔÓÒØÓ Øµ Ø ÖÐ Ò ÓÖ Ø Ö ÐØ ÔÓÒØ Ó µö ÐÐ Þ Ð Ø Ø Ö ÐÒ Ò Ðк º Ä Ý Ò G Ý Ö V V (G) Ðк V := V \ V º G G Ö V ÐØ Ð Þ Ø ØØ Ö Þ Ö G = G V b º Þ Ø ØØ Ö Þ Ö ÓØ Ø Ø Ý e Ô Ù Ó Ý Ò ÒÝ ÓØ Ø ÖÐ Ò Ö Ðº a Ê Þ Ö ÓØ Ý ÔÙÒ Ó Ý Ó Ñ ÐÐ ØØ Ð Ø ÖÐ Ñ Ò Øغ d º H Ö G Ö Þ Ö H = (G V ) E Ð ÐÑ V c V (G) E E(G)¹Ö º Ó ÓÐ Ð Ö Ò Ð Ø Ø Ö Ú Ø ØÓØØ Ð Ð Ý ØØ Ý Ö Þ Ö ÓØ Ð ÓØÒ º Þ Ò Ñ Þ Ø ØØ Ö Þ Ö Ù Ý Ò Þ ÙÖÓ ÐØ Þ ab Ð Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ô Ð ÒÝ Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÒ ÐÐ Ò º À ÝÓÑ ÒÝÓ Ò Ý ÞÓ Ò ÐÒ ÒØ Ó ÐÑ Ø Ó Ý H = (V, E ) Ö G = (V, E) Ö Þ Ö V V E Eº H Ö Þ Ö ÓØ Ô ÓÖ Ò Ú Þ Þ Ø ØØÒ E Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò E¹ Ð ÐØ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ñ Ò Ú ÔÓÒØ V ¹ Ò Ú ÒÒ º à ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý Þ ÐØ ÐÙÒ ÞÒ ÐØ Ò Ú Ú Ð Ò ÝÓÑ ÒÝÓ Ð º ¾º½ Ð ÔØÙÐ ÓÒ º G Ö Ö ÖÑ ÒØ Þ Þ Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Öغ G Ö Ö Þ Þ ÖÑ ÒØ Þ º Ì Ø Ð Ì Ý Ð Ó Ý G n¹ôóòø ÖÑ ÒØ Ö º G ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Þ n 1 Ð Ú Òº Þº Ô Ø Ð F ¹Ø Þ n¹ôóòø Ö Ö Ð Ð Þ Ú Ðº ÖÑ ÒØ Ñ ØØ Ñ Ò Ø ¹ Ð Ò Þ ÓÑÔÓÒ Ò ÞØ ÐÐ ÐØ ÞÒ Þ Ò Ý ÓÑÔÓÒ Ò Ø ÔÓÒØ Þ ÐØ ÞÚ ÖØ ÔÒ Ò º ÞÓÒ Ò Ø Ð Ò Þ ÓÑÔÓÒ Ò Þ ÞÓØØ Ð ÔÓÒØÓ Ò 1¹ Ý Ð ÒØ Ö ÓÑÔÓÒ Ò Ò Þ Ñ Øº À Ú Ð G ÓÖ n¹ö Ð 1¹Ö Ò ÓÑÔÓÒ Ò Þ Ñ Ø Ø n 1 ÐØ ÞØÙÒ º Å Ð Ð G (n 1)¹ Ðò ÓÖ ÓÑÔÓÒ Ò Ò Þ Ñ n (n 1) = 1 Ø Ø G º Ì Ø Ð Ä Ý Ò G n¹ôóòø (n 1)¹ Ðò Þ Ý Þ Öò Ö º ÓÖ G ÖÑ ÒØ º Þº ÁÒ Ö Øº À G¹ Ò Ú Ò Ý k¹ôóòø Ö ÓÖ Ö k Ð Ò Þ ÙØ Ò n k ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØÓØ Ý ÖØ Þ Þ n k + 1 ÓÑÔÓÒ Ò Ø ÔÙÒ º Þ ÞØ Ò ÞÓØØ ØÓÚ n 1 k Ð Ñ Ò Ò Ý

½ ¾º Â Ì Êý Çà РР1¹ Ý Ð ÒØ ÓÑÔÓÒ Ò Þ Ñ Ø Ú Ð Ø Ø Ð Ð n k + 1 (n 1 k) = 2 ÓÑÔÓÒ Ò Ñ Þ Ú Ð G Ò Ñ Ð Þ º ÐÐ ÒØÑÓÒ º à ں F G ÖÑ ÒØ E(G) = V (G) 1 G ÖÑ ÒØ E(G) = V (G) 1 G G Ñ Ò Ñ Ð ÖÑ ÐÝ ÐØ Ð ÝÚ G Þ Ø µ G Ñ Ü Ñ Ð ÖÑ ÒØ Ø Ø Þº ÐØ ÞÚ Ö Ð Ø Þ ºµ à ں Å Ò Ò Ú G Ö Ò Ð Ø Þ Þ Ø Þ Þ ÓÐÝ Ò F Ö Þ Ö Ñ Ö F V (G) = V (F) º Â Ý ÞÞ Ñ Ó Ý Þ Ø ÐØ Ð Ò Ò Ñ Þ Ø ØØ Ö Þ Ö ºµ Þº À Ý ÙÒ Ð Ð Ø Ñ Ö Ñ Ö º Î Ð Ý Ñ Ò Ñ Ð Ö ÓØ Þ Þ Ø ÔÙÒ º Þ Þ Ø Ð Þ Þ Ò Ñ ÝØÙÒ Ð ÔÓÒØÓغ º Ý F v Ð Ú Ð d(v) = 1º Ì Ø Ð Å Ò Ò Ð Ð 2¹ÔÓÒØ F Ò Ú Ò Ð Ð Ø Ð Ú Ð º Þº Ì ÒØ Ò F Ý Ð Ó Þ Ø Ø ÑÓÒ Ù P ¹Ø P Ø Ý Ú ÔÓÒØ Ð Ñ Ò ÙÐ Ø ØÓÚ Ð Þ Ù Ý Ò Ý P ¹Ò Ú Ð ÔÓÒØ ÙØÒ ÓÖ P Ò Ñ Ð ÒÒ Ð Ó Þ Ô P Ý ÔÓÒØ ÓÖ Ö Ò Ñ Ð ÒÒ ÖÑ ÒØ º ¾º¾ ÝÐ Ý Ø Ø Ð Ð ÔÔÖÓ Ð Ñ À ÒÝ n¹ôóòø Ú Ò ÁÞÓÑÓÖ Ö n = 1¹Ö 1 n = 2¹Ö 1 n = 3¹Ö 1 n = 4¹Ö 2 K 1,3 P 4 µ n = 5¹Ö 3 2¹Ð Ú Ðò 3¹Ð Ú Ðò 4¹Ð Ú Ðòµ n = 6¹Ö 6 2¹Ð Ú Ðò 2 3¹Ð Ú Ðò 2 4¹Ð Ú Ðò 5¹Ð Ú Ðòµ ººº Æ Þº ËÞ ÑÓÞÓØØ Ó ÓÒ ÞÓÑÓÖ Ø Ø Þ Ö Ñ Þ ÑÓÐÚ µ n = 1¹Ö 1 n = 2¹Ö 1 n = 3¹Ö 3 n = 4¹Ö 16 4 K 1,3 12 P 4 µ n = 5¹Ö 125 60 2¹Ð Ú Ðò 60 3¹Ð Ú Ðò 5 4¹Ð Ú Ðòµ n = 6¹Ö Ó º ÝÐ Ý Ø Ø Ð Þ {1, 2,..., n} ÔÓÒØ ÐÑ ÞÓÒ n n 2 Ð Ò Þ Ø Ñ º Þº ÈÖ Ö¹ Ø Ú Ðµ Ê Þ Ý F = F 1 > F 2 >... > F n 1 ÓÖÓÞ Ø Ø ÓÒ ØÖÙ Ð Ù Þ Ð Þ Ö Òغ Ä Ý Ò i {1, 2,..., n 1}¹Ö w i Þ F i Ð ÓÖ Þ Ñ Ð Ú Ð v i Ô w i F i ¹ Ð ÞÓÑ Þ º Ä Ý Ò ØÓÚ F i+1 := F i w i º Þ ØÙ Ð F i Ò Ð w i Ð Ú Ð Ø Ý Ù Ð Ñ v i ¹ Þ ØÐ ÓÞ ºµ Å Ý Ð V (F n ) = {n} Þ Þ v n 1 = n º Þº Þ n ÓØ Ó Ñ ÝØÙ Ð Þ Ñ Ò Ð Ðº ¾ Ð Ú Ð ÚÓÐغ 3, w 5, w 2 9, v 4 8 6, v 4 v v 6, w 7 1 2 v 7, w 8 7, v 2, w v3 5 8, w 6 4, w 1, w 3 1 Ä Ú ÐØ ÖÐ ÓÖÖ Ò 1,3, 4, 5,7, 8, 6,2 ÈÖ Ö (2, 7, 2, 6,9, 6, 2) ÒØ F ÈÖ Ö¹ P(F) = (v 1, v 2,...,v n 2 )º Ò Ð Ó Ý Þ F i ÈÖ Ö¹ P(F i ) = (v i, v i+1,..., v n 2 ) º Þ Ú Ð Ó Ó Ý Ñ Ò Ò ÓÞ Ý ÖØ ÐÑò Ò Ø ÖØÓÞ ÈÖ Ö¹ º ÞØ ÐÐ ÞÓÐÒ Ó Ý Ñ Ò Ò (n 2)¹ Ó Þ ÓÖÓÞ Ø ÔÓÒØÓ Ò Ý ÈÖ Ö¹ Þ ÓÖ Ð Ø n n 2 ¹ Ð ÈÖ Ö¹ Ð º Ý Öغ Ñ Ð Ð Ú Þ ÐØ Ò º Å Ý Ð Þ F ÈÖ Ö¹ Ò F ÖÑ ÐÝ v (d(v) 1)¹ Þ Ö Þ Ö Ô Ðº Þº Ä ØØÙ Ó Ý V (F n 1 ) = {n} Þ ÖØ v = n ÔÓÒØ ÔÔ Ò ÒÒÝ ÞÓÖ Þ Ö Ô Ð v 1, v 2,..., v n 1 ÔÓÒØÓ Þ ØØ ÒÝ ÞÓÖ Ý¹ Ý ÞÓÑ Þ Ø ÖÐ Ö Ö ÐØ Þ Þ d(n)¹ Þ Öº Å Ú Ð v n 1 = n Þ ÖØ ÈÖ Ö¹ Ò d(n) 1¹ Þ Ö Þ Ö Ô Ð Þ nº Ä Ý Ò ÑÓ Ø k < nº k ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Þ Ö Ô Ð ÈÖ Ö¹ Ò Ø Ö Ð Ý ÞÓÑ Þ Ø Þ Þ Ó Þ Ñ Ý Ð Òغ Ñ ÓÖ k Ó Þ Ñ 1¹Ö Ò ÓÖ Þ ÙØÓÐ k¹ Ð Ò ÙÐ Ð Ñ Ö k¹ò Ò Ñ ÞÓÑ Þ Ò µ Ø ÖÐ Ñ ØØ Ð Þ Ø Ö ÐÚ Ø Ø ÓÖ Ñ Ö Ò Ñ k Ö Ð ÈÖ Ö¹ º Þ Þ Ð Ý ÒØ k¹ Ð Þ n Ð Ú Þ Ø Ø Ð Ð Þ Ö Þ n¹ö Þ Ù ÓÖÓ Ò ºµ Ì Ø k d(k) 1¹ Þ Ö Ù Ò Ð ÈÖ Ö¹ Òº à ں Þ F Ð Ú Ð ÔÓÒØÓ Ò F ¹Ò ÈÖ Ö¹ Ò Ò Ñ Þ Ö ÔÐ º Þº Ð Ú Ð Þ 1¹ Ó Ó Ú Ý ÔÓÒØÓ Ò ÞÓ Þ 1 n ÞØ Þ ÑÓ Ñ 0¹ ÞÓÖ Þ Ö ¹ Ô ÐÒ ÈÖ Ö¹ Òº à ں w 1 Ð ÓÐÝ Ò Ø ÖÑ Þ Ø Þ Ñ Ñ Ò Ñ Þ Ö Ô Ð v 1, v 2,...,v n 1 ÓÖÓÞ Ø Òº Ä ØØÙ Ó Ý Þ F ÈÖ Ö¹ Ò k¹ ÝØ Ð Ò ÙÐ Ú Þ Ð Ø Þ F k ÈÖ Ö¹ º Þ ÖØ w k Þ F k Ð Ò Üò Ð Ú Ð µ Ð ÓÐÝ Ò Þ Ñ {1, 2,..., n} \ {w 1, w 2,...,w k 1 } Þ ØØ Ñ Ò Ñ Þ Ö Ô Ð F k ÈÖ Ö¹ Ò Þ Þ v k, v k+1,..., v n 2 Þ Øغ Å Þ Ú Ð Ð ÓÐÝ Ò Þ Ñ Ñ Ò Ñ Þ Ö Ô Ð w 1, w 2,...,w k 1, v k, v k+1,..., v n 1 ÓÖÓÞ Ø Òº Þ k = n 1¹Ö Þºµ À Ø Ø ÈÖ Ö¹ Ù Ý Ò Ý F ÓÞ Ø ÖØÓÞ ÓÖ F Ý ÖØ ÐÑò Ò Ö ÓÒ ØÖÙ Ð Ø ÐÐ ÞÒ v n 1 w n 1, v n 2 w n 2,...,v 1 w 1 Ð Ø Þ {1, 2,..., n} ÔÓÒØ ÐÑ ÞÓÒº Þ Ð Ø Ò ÓÖÖ Ò Ò Ö Ñ ÞÒ Ñ ÖØ Ý Ñ Ò Ý Ø Ú Ø Ò Ñ Ø Ñ ØØ ÒÒÝò Ð Ö ÞØ Þ Ò Ð Ð Ð Ö ÞÓÐÒ ºµ ÞØ ÐÐ Ñ ÞÓÐÒ Ó Ý Ý Ø Ø Þ Ð (v 1, v 2,..., v n 2 ) ÓÖÓÞ Ø Ð ÒØ Ñ Þ Ö Þ Ö ÒØ ÓÒ Ø¹ ÖÙ ÐØ F Ö ÓÐÝ Ò Ñ Ò ÈÖ Ö¹ ÔÔ Ò (v 1, v 2,..., v n 2 )º

¾º¾º Ä Ì Ì Ä ½ Ä Ý Ò F k w n 1v n 1, w n 2 v n 2,..., w k v k Ð Þ Ø ØØ Ö º ÞØ ÑÙØ Ø Ù Ñ k Þ Ö ÒØ Ò Ù Ú Ð Ó Ý F k ÓÐÝ Ò Ñ Ò ÈÖ Ö¹ (v k, v k+1,... v n 2 )º Þ k = 1 Ø Ò ÔÔ ÞØ Ñ Ø Þ Ö ØÒ Ò ºµ Þ Ò Ù ÐÐ Ø k = n 1¹Ö Ú Ð Ó Þ F n 1 ÝÔÓÒØ ÈÖ Ö¹ Ö º Å Ý Ð ½µ w 1, w 2,..., w n 1, n Ð Ò Þ º À Þ w j Ú Ð ÞØ ÓÖ w i Ø ÐØÓØØ i < jºµ ¾µ v k {w 1, w 2,..., w k } w i Ú Ð ÞØ ÓÖ i k¹ö w i v k µ Ý v k {w k+1, w k+2,..., w n 1, n}º Ì Ý Ð Ó Ý F k+1 Ó Ý ÈÖ Ö¹ Ù Ý Ò (v k+1,... v n 2 )º ½µ ¾µ Ñ ØØ V (F k+1 ) = {n, w n 1, v n 2, w n 2,..., v k+1, w k+1 } = {n, w n 2, w n 3,..., w k+1 } Þ ÖØ ½µ Ñ ØØ F k Ù Ý Ò Ñ Ò w k Ð ¹ Ú Ð º ÞØ ÙÔ Ò ÞÓÒÝ Ø Ò Ó Ý w k Þ F k Ð Ð Ú Ð º F k+1 ÈÖ Ö¹ Ð ÒØ Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ð Ô Ò Þ Ð Ø Þ Ó Ý F k+1 Ð Ú Ð Ò ÐÑ Þ L(F k+1 ) = {w k+1,..., w n 1, n} \ {v k+1,..., v n 1 } = {1, 2,..., n} \ ({w 1, w 2,..., w k } {v k+1,..., v n 1 }). Î Ð Ó Ó Ý L(F k ) = (L(F k+1 ) \ {v k}) {w k } = {1, 2,..., n} \ ({w 1, w 2,..., w k 1 } {v k, v k+1,..., v n 1 }) Þ F k ÈÖ Ö¹ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ñ Ý Ð Þ Ö ÒØ w k ¹Ø ÔÔ Ò ÐÑ Þ Ð Ð Ñ º Ð ÐÑ Þ Î Ð ØÐ Ò Ò Ö Ð n ÔÓÒØÓÒ Ý n¹óð Ð Ó Ó Ø (n 2)¹ Þ Ö Ð Ó Ú Ð Ø Þ ÓÖÓÞ Ø Ý Ý ÒÐ Ø ÐÓ ÞÐ Þ Ö ÒØ ÓÖ ÓÐØ Ú Ð ØÐ Ò ÈÖ Ö¹ º ÝÐ Ý Ø Ø ÐÖ Ñ ÙÒ Ý Ò Ñ ÞØ Ò Ö ÐØ ÖÒ Ø Ú ÞÓÒÝ Ø Ø º Ð ÒÝ Ó Ý Ú Ð Ñ Ú Ð ÞÚ ØÐ Ò Ð Ð Ø Þ Ð Ò Ò Ý ÖØ ÐÑò Ñ Ð ÐØ Ø Þ ÞÓ Ø Ð Ö Ñ ØÐ Ú Ö Þ ØØ ØÓÚ Ó Ý Ö ÓÒ ØÖÙ Ð Ô Ò Ú Ð Ñ Ú Ð Ý Þ Öò º 3 9 6 5 Ä Ý Ò Ø Ø F Ý v 1, v 2,..., v n ÔÓÒØÓ ÓÒº Þ F Ò Ý ÖØ ÐÑò Òµ Ð Ø Þ Ý P 2 Ö ÒÝ ØÓØØ Ø v 1 ¹ Ð v 2 ¹ º P 2 Ø Ú Ð Ñ ÐÝ ÔÓÒØ Ð Ð Ø Þ Ý 2 Ý ÖØ ÐÑò Ö ÒÝ ØÓØØ P 3 Ø v 3 ¹ Ý Ó Ý P 2 ¹Ò P 3 ¹Ò Ò Ò Þ Ð º À ÔÐ v 3 7 8 Ö Ø Ú Ò P 2 ¹Ò ÓÖ P 3 ¹Ò Ý ØÐ Ò ÔÓÒØ 0 Ð Ú Òºµ ýðø Ð Ò Ñ Ö Ñ Ö 1 4 P 2, P 3,..., P i ÙØ Ø ÓÖ P i+1 Þ Þ Ý ÖØ ÐÑò Ò Ð Ø Þ µ v i+1 ¹ Ú Þ Ø Ø Ð Þ P 1 = {1} P 2 = {1,2} P 3 = {2,9,7, 3} Ñ Ò Ò ÙÐ ÔÓÒØ Ö Ø Ú Ò P 2, P 3,..., P i ÙØ ÐØ Ð Ð ÓØÓØØ Ö Þ Ò ØØ Ð P 4 = {2, 4} P 5 = {2,6,5} P 6 = {6} ÐØ ÒØÚ Þ ÙÒ Ø Ø Ð º Î Ð Ó Ó Ý ÒØ Ð Ö Þ F Ø P 2, P 3,..., P n ÙØ P 7 = {7} P 8 = {6,8} P 9 = {9} ÙÒ Ö ÓÒØ Ð Þ Ò ÙØ Ð Ô ÖÓÒ ÒØ Ð Ò Þ º Ê ÖÔ (1, 2, 9,7, 2, 2,6, 6) À P i = (v a(1), v a(2),..., v a(k), v i ) Ý Ð ÓÒØ Ð Ø ÓÖ Ð Ý Ò P i a(1), a(2),..., a(k)º À Ø Ø P i = (v i ) Ø ÝÔÓÒØ ÓÖ Ö ºµ Ä Ý Ò Þ F Ê ÖÔ¹ Þ F Ð ÓÒØ Ò Þ Ö ÔÐ P 2, P 3,..., P n Ö ÒÝ ØÓØØ ÙØ Ò ÝÑ ÙØ Ò º Î Ð Ó Ó Ý F Ý v 1, v 2,..., v n ÔÓÒØÓ ÓÒ ÓÖ Ý ÖØ ÐÑò Ò Ð Ø Þ Ê ÖÔ¹ º Ê ÖÔ¹ Ö ÙÐ n 1 Þ Ñ Ð ÐÐ Þ Ò Ñ Ò Ò P i Ø Ñ Ý Þ P i Ð Ò Þ Ñ Ú Ð Ø Ø Þ F Ê ÖÔ¹ ÔÔ ÓÐÝ Ò Ó Þ Ñ ÒØ ÒÝ Ð Ú Ò F ¹Ò º Î Ð Ó Ó Ý Ê ÖÔ¹ Ð Ý 1 Þ P 2 v 1 Ð Ò ÙÐÚ ÙØ v 1 v 2 µ ØÓÚ n 2 Ý Ò Ñ Ò Ý Þ 1 n ÞØ Þ Þ Ð Ö Ð º Ý Þ Ñ ØÐ Ú Ö Ö Ð Ø ÒÙÐØ Ð Ô Ò Ð Ð n n 2 ¹ Ð Ê ÖÔ¹ ÓÐ Ø n¹ôóòø غ ÞØ ÐÐ ÙÔ Ò ÞÓÐÒ Ó Ý 1 = r(1), r(2), r(3),..., r(n 1) Ý ÓÐÝ Ò Þ Ñ ÓÖÓÞ Ø Ñ Ò Ñ Ò Ò r(i) Ý 1 n ÞØ Þ ÓÖ Ý ÖØ ÐÑò Ò Ð Ø Þ Ý ÓÐÝ Ò F Ñ Ò Ê ÖÔ¹ r(1), r(2), r(3),..., r(n 1)º Ð Ø Ø Ò Ñ Ñ Ñ ÒØ Þ r(1), r(2),..., r(n 1) Þ Ñ ÓÖÓÞ ØÓØ Ð ÓÒØ Ò n 1 ÓÖÓÞ Ø ÝÑ ÙØ Ò Ö Þ Ò Ñ ÐÝ Ö Ð Þµ Ý Ó Ý ÓÖÓÞ ØÓ Ö Ò Ö P 2, P 3,..., P n ÙØ Ð Ý Ò º Þ Ð Ö Ø Ø Ó Ý Þ r(1), r(2),..., r(n 1) Þ Ñ ÓÖÓÞ Ø Ò Ñ ÐÝ r(i) Ð Þ P 2 Ø Ò ÙØÓÐ Ý Þ Þ Ñ ÐÝ r(i+1) Ð Þ P 3 Ò Ð Ý Ñ Þ Ú Ð P 3 Ø Ò ÙÐ ÔÓÒØ Ò Ò Ü º P 3 Ø Ø Ð Ð Ø Ò ÙÐ ÔÓÒØ Ú Ý v 2 Ú Ý P 2 ØÒ Ý v 2 ¹Ø Ð Ð Ò Þ ÔÓÒØ Ñ Ò Ò Ü Ø Ø Þ Ö Ô Ð P 2 Òº Þ ÖØ P 3 Ø Ò Þ Ø Ú Ý Þ ÓÑ Ò ÞÙ r(i + 1)µ Þ Ð ÓÐÝ Ò Ý Ð Þ F Ê ÖÔ¹ Ò Ñ Ö r(i + 1) = 2 Ú Ý Ñ Ö r(i + 1) Ñ Ö ÓÖ Ò Ð ÓÖ ÙÐØ F Ê ÖÔ¹ Òº ÒØ Ñ Þ Ö ÐØ Ð ÒÓ Ò Ñò º Ì Ý Ð Ó Ý Þ r(1),..., r(n 1) ÓÖÓÞ Ø Ð Ñ Ö Ñ Ø ÖÓÞØÙ P 2, P 3,..., P i ÙØ Øº Ð P i+1 Ø Ò Ñ Ø ÖÓÞ º Ä Ý Ò P i Ò ÙØÓÐ Ý Þ F Ê ÖÔ¹ Ò k¹ Ý Ú Ý r(k)º Î Ð Ó Ó Ý Ñ Ö Ú Ð Ñ ÐÝ ÓÖ P j Ø ÞÒ ÐØ v i+1 ÓØ ÓÖ i + 1 Ñ Ö ÓÖ Ò Þ Ö Ô ÐØ P j Ò Þ Þ r(l) = i + 1 Ú Ð Ñ ÐÝ l k Ø Òº ÓÖ P i+1 Ö Ö Ø Ö Ø Ò P i+2 ¹Ö º ÐÐ Ò Þ Ø Ò Ú Ý i + 1 Ò Ñ Þ Ö Ô ÐØ Ê ÖÔ¹ r(k)¹ Ø ÖØ Ö Þ Ò ÓÖ v i+1 Ò Ñ ÔÓÒØ P 2, P 3,..., P i ÙØ Ý Ò Ñ Ø Ø P i+1 Ð Ð ØÔÓÒØ ÙÔ Ò ÞØ ÐÐ Ñ ÐÐ Ô Ø Ò Ó Ý P i+1 r(k+1)¹ Ý Ð Þ µ ÓÐ Ö Ú Ø Þ Þ Ñ ÐÝ r(s + 1)¹ Ý Ð Þ P i+1 ¹Ø Ú Ø Ð Ð Ð ØÔÓÒØ P m Ø º P m Ø Ø Ð Ð Ø Ú Ý v 2, v 3,..., v i+1 Ó Ú Ð Ñ ÐÝ Ò ÙÐ ÔÓÒØ Ú Ý Ý ÓÐÝ Ò ÔÓÒØ Ñ Ò Ò Ü P 2, P 3,... P i+1 Ø Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Ò Ñ Ö Þ Ö Ô ÐØ ÓÖ Òº Þ ÖØ s + 1 ÓÐÝ Ò Þ Ñ Ñ Ö s > k r(s + 1) {2, 3,..., i + 1} {r(1), r(2),..., r(s)} ¾º½µ Ø Ð Ðº Î Ð Ó Ó Ý s+1¹ö ¾º½ Ö Ð ÒÒ ÐÐ ÓÖ r(s+1) Ò Ñ Ð Ø ÒÒ P i+1 Ò Ø Ø s+1 Ð ÓÐÝ Ò Þ Ñ Ñ Ø Ð Ø ¾º½ ÐØ Ø Ðغ ÞÞ Ð Ô Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ Ø ÖÓÞØÙ P i+1 Ø r(k + 1), r(k + 2),..., r(s)º À Ô Ñ Ö P 2, P 3,..., P n ÙØ Ø ÓÖ Ñ Ò Þ Ò ÙØ Ö ÓÒ ØÖÙ Ð Ø Ø Ø ÙÒ Ù Þ F Ö º à ÐÐ Ó Ý F º Î Ð Ó Ó Ý Ñ Ò Ò P i Ò ÙÐ ÔÓÒØ Ý Ð Þ P j ØÒ ÔÓÒØ Ø Ø F Þ º Å Ò Ò P i ¹Ò ÒÒÝ Ð Ú Ò Ñ ÒØ Ò Ó Þ Ø Ø F ¹Ò n 1 Ð Ú Ò ØÓÚ F Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ñ Ò Ò P i Ø Ú ÔÓÒØ Ø Ø Ø v 2, v 3,..., v n ÔÓÒØÓ Ø Ú Ð Ñ ÒØ P 2 Þ ÔÓÒØ Ø v 1 ¹Øº Ì Ø F Ý n¹ôóòø (n 1)¹ Ðò Þ Ö Þ Þ F Ù Ý Ò º Þ F ÓÒ ØÖÙ Ð Ô ÞÓÒÒ Ð Ó Ý P i Ý ÓÐÝ Ò Ö ÒÝ ØÓØØ Ø Ñ Ò Ò ÙÐ ÔÓÒØ Ý ÓÖ P j ÔÓÒØ Ú Ð Ñ ÐÝ Ú ÔÓÒØ v i Ø Ø F Ê ÖÔ Ù Ý Ò r(1), r(2), r(3),..., r(n 1)º Å ÝÞ Ê ÖÔ¹ Ð Ö ÓÒ ØÖÙ Ú Ð Ò Ñ Ý Þ Öò º Ä Ý Ò r(1), r(2),..., r(n 1) Ý Ê ÖÔ¹ º Ö ÓÒ ØÖÙ n 1 Ð Ô Ò Ø ÖØ Ò Þ i¹ Ð Ô Ò v r(i) ¹ Ð Ò ØÙÒ Ý e i Ðغ Þ e i Ð Ñ Ú ÔÓÒØ v r(i+1) Ð Þ i + 1 n 1 v r(i+1) Ò Ñ Þ Ö Ô Ð Ñ Ö Ð Ô Ø ØØ Òº Ý ÒØ Þ v j Ð Þ Þ e i Ñ Ú ÔÓÒØ Ñ Ö j Ð ÓÐÝ Ò ÔÓÞ Ø Ú Ò Ü Ñ Ò Ñ Þ Ö Ô Ð Ñ Ö Ð Ô Ø ØØ Òº Ð ÐÑ Þ À ÒÝ ÓÐÝ Ò F Ú Ò n Ñ Þ ØØ ÔÓÒØÓÒ Ñ Ò Þ 1 2 Ñ ò ÔÓÒØÓ Þ ØØ ÙØ Ø F ¹Ò ÔÓÒØÓ Ò k Ð Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Î Ð Ó Ó Ý Ê ÖÔ¹ Ð k + 1 Ý Ø Ò Ñ Ú Ð ÞØ Ø Ù Ø Ð Ò Þ ÓÒ Ý (n 1) (n 2)... (n k) (k + 1) n n k 3 º Þ Ð Ø Þ Ó Ý Ò ÐÐ ÐÝ Ò ØÙÐ ÓÒ Ú Ð ØÐ Ò Ø Ò Ö ÐÒ ºµ ËÞÓÖ ÐÑ Þ Ð Ø Å Þ ÈÖ Ö¹ Ò Ê ÖÔ¹ ÓÞ ÐÝ Ñ Ø Þ ÖÞ Ð Ñ Ö ºµ P 3 ÝÔÓÒØ ÓÖ ØØ P 3 ÐÝ ØØ Þ Ð Ò Ñ ÝÔÓÒØ P i ØÖ Ð Ú Ò Þ Þ Ò ÒÒ Þ r(i+1)¹ Ý Ðº

½ ¾º Â Ì Êý Çà ¾º ÃÖÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÙ Ð ÔÔÖÓ Ð Ñ Ý Ú ÞÑò Ð ÐÐ Ú Ú ÞÞ Ð ÐÐ ØÒ n Ú ÖÓ Øº Ý ÐÐ ÞÓÒ Ò Ñ Ô Ø Ò Ú ¹ Þ Ø Ð Þ ØÓØ Ó Ý Ú ÖÓ Ó ÓÒ Ð Ð Ð Ø Ú Þ Ø Ø Ð ÞØ ØÒ Ø ÖÑ Þ Ø Ò Ô Ø ÐØ Ò Ñ Ò Ñ Ð Þ Ð Ðº ÓÖÑ Ð Ò ÓØØ G = (V, E) Ð Ø ÙØ Ö k : E R + ÐØ Úº Ý F E Ð ÐÑ Þ ÐØ k(f) := f F k(f)º Ð Ø Ö Ò Ý ÓÐÝ Ò F E Ð Ñ ÞØ Ñ Ö (V, F) Þ Ò Ð Ð k(f) Ñ Ò Ñ Ð º Þ ÐÝ Ò (V, F) Ø Ñ Ò Ñ Ð ÐØ ò Þ Ø Ò Ò Ú ÞÞ º Þ Ð Ò ÑÙØ ØÙÒ Ý Ð ØÓØ Ñ ÓÐ Ð ÓÖ ØÑ٠غ Ö Ò Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Þ ÒÔÙØ ÓÙØÔÙØ Ñò ÔÓÒØÓ Ð Ö Ú Ð Ù Ñ º ÃÖÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÙ ÁÒÔÙØ G = (V, E) Ö k : E R + ÐØ Úº ÇÙØÔÙØ G Ö Ý F = F m Ñ Òº Ø ¹ò Þ Ø º Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ñò Ä Ý Ò E = {e 1, e 2,..., e m } Ò Ú Ú ÐØ Þ Ö ÒØ ÓÖ Ö Ò ÞÚ Þ Þ k(e 1 ) k(e 2 )... k(e m )µ Ð Ý Ò F 0 := º ËÓÖ Ò Ñ Ò Ò e i ¹Ö Ð Ð ÒØ Ó Ý Ú Þ ¹ Þ F i Ð ÐÑ Þ F i 1 Þ e i Ð ÓÞÞ Ú Ø Ð Ú Ð ÖÑ ÒØ Ñ Ö ÓÖ F i := F i 1 {e i } Ð Ò Ò F i 1 ¹ e i ¹Ø ÞÚ Ö Ð Ø Þ ÓÖ F i := F i 1 º ÃÖÙ Ð ÒØ Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ú Ò ÑÓ Ð ÓÖ ØÑÙ Ò Ñ ÖØ Þ Ø Ø ÑÓ Ñ ÓÒ Ô Ø ÞÞ Ð Ø Ö Ò Ó Ý Ñ Ò Ð ÓÐ Ø Ú Ð ÞÙ Ñ Ö Ô Ö Þ Ñ ÒÒÝ Ò Þ Ú Ð ÞØ Ò Ñ ÖØ ÐÑ ØÐ Òº ØÓÚ Ò ÞÓÐ Ù ÃÖÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÙ ÐÝ Ø Ú Ý ÞØ Ó Ý Þ Ö Ú Ð Ø ÓÞÞ ÐÐ Ð Ð Ò Þ Ø Òµ Ð Ø Ð Ó Ö Ñ ÒÝÖ Ú Þ Øº º ÓØØ G = (V, E) Ö ÐÐ k : E R ÐØ Ú ÒÝ Ø Ò Ý F E Ð ÐÑ ÞØ ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò Ú Þ Ò Ð Ø Þ G¹Ò ÓÐÝ Ò Ñ Ò Ñ Ð ÐØ ò (V, F) Þ Ø Ñ Ö F F º Ä ÑÑ Ä Ý Ò G = (V, E), k : E R + º Ì Ý Ð F E ÓÔØ Ñ Ð ØÓÚ Ó Ý X V ÓÐÝ Ò Ó Ý Ò Ñ Ú Þ Ø X V \ X Þ ØØ F ¹ Рк Ä Ý Ò Þ X V \ X Þ ØØ Ú Þ Ø Ð Þ ØØ f Ý Ñ Ò Ñ Ð ÐØ òº ÓÖ F {f} ÓÔØ Ñ Ð º Þº F ÓÔØ Ñ Ð Ø Ñ ØØ Ð Ø Þ Ý (V, F) Ñ Ò Ñ Ð ÐØ ò G Þ Ø Ñ Ö F F º À f F ÓÖ (V, F) Þ F {f} ÓÔØ ¹ Ñ Ð Ø Ø ÞÓÒÝ Ø º À f F ÓÖ (V, F) Ò Ð Ø Þ Ý Ø f 1 f Ø Ú ÔÓÒØ Þ Øغ Þ Þ Ø X¹ Ð Ò ÙÐ V \ X¹ Ò Ö Ú Ø Ø Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ð Ð Ý f ÐØ Ñ X V X Þ ØØ Ú Þ Øº Þ f Ð Ú Ð ÞØ Ñ ØØ k(f) k(f ) Ðк À (V, F) Ð Ð Ý Ù f ¹ f Ø ÓÖ Ø ÓÑÔÓÒ Ò Ö Ö ÙÐ f Ú ÔÓÒØ Ð Ò Þ ÓÑÔÓÒ Ò Ò Ð ÞÒ º F F \ F Þ ÖØ f Þ Ú Ð (V, F \ {f } {f}) Þ ÒØ Ò Ð Þ ÐØ Ñ Ð Ø Ø Ñ ÒØ (V, F) ÐØ ÚÓÐغ Ì Ø Ý Þ F {f} Ð ÐÑ ÞØ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ñ Ò Ñ Ð ÐØ ò Þ Ø Ø ÔØÙÒ º Ì Ø Ð ÃÖÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÙ ÓÒ ØÖÙ ÐØ (V, F) G Ö Ý Ñ Ò Ñ Ð ÐØ ò Þ Ø º Þº Þ F Ð Ô Ø ÓÖ Ó Ñ ÓÞØÙÒ Ð ØÖ ÖØ Þ ÖØ F ÖÑ ÒØ º (V, F) Ö ÖÑ ÐÝ e j E \F ¹ Ð ÐØ ÞÚ ÖØ ÔÙÒ Þ Ò e j ¹Ø Ñ Ö Þ F j 1 ¹ ÞÚ Ö Ð Ø Þ Øغ Þ Ö ÒØ Ø Ø Þ Ð e j Ð Ú ÔÓÒØ (V, F)¹Ò Ù Ý Ò Ò ÓÑÔÓÒ Ò Ò Ú ÒÒ º Å Ú Ð G Þ ÖØ (V, F) Ø Ø ÃÖÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÙ Ù Ý Ò Þ Ø Ø ÓÒ ØÖ٠к Ì Ð Ò Ù Ú Ð ÞÓÐ Ù i Þ Ö Òص Ó Ý F i ÓÔØ Ñ Ð º Þ Ð Ò Þ ÓÖ F m ÓÔØ Ñ Ð Þ ÞØ ÞÓÒÝ Ø Ñ Ò Ñ Ð ÐØ ò Þ Ø Ñ (V, F m ) Рغ Þ ÐÐ Ø F 0 = Ø Ò ØÖ Ú Ð º Ì Ý Ð Ó Ý F i 1 ÓÔØ Ñ Ð º À F i = F i 1 ÓÖ F i ÒÝ ÐÚ Ò¹ Ú Ð Ò ÓÔØ Ñ Ð º Ý ÒØ F i = F i 1 {e i }º Ý Ð Ñ Ó Ý Þ e i (V, F i 1 ) Ö Ø ÓÑÔÓÒ Ò ÑÓÒ Ù X Y µ Þ ØØ ÙØ Ý ÒØ ÖØ ÓÞÒ Ð ØÖ µº Þ Ú Ð Ó Ó Ý e i Ð ØØ Ý ØÐ Ò X V \ X Þ ØØ ÙØ e j Ð Ñ Ö ÐØ ÓÖÖ Þ ÓÖ e j ¹Ø ÐÐ ØØ ÚÓÐÒ Ú ÒÒ ÓÑÔÓÒ Ò X¹Ò Ð Ú ÚÓÐÒ º Ì Ø e i Þ X V \ X Þ ØØ ÙØ Ð Þ Ð Þ Ý Ð ÓÐ º ÓÖ Þ Ð Þ Ð ÑÑ Þ Ö ÒØ F i = F i 1 {e i } ÓÔØ Ñ Ð º F i 1 Ð ÐÑ Þ G = (V, E) Ú Ö V 1, V 2,..., V k V º Ä Ø Þ ¹ G¹Ò ÓÐÝ Ò Þ Ø Ñ Ñ Ò Ò Ý V i ¹Ò Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ý Þ Ø Ø Ä Ý Ò k(e) ÞÓÒ V i ¹ Þ Ñ Ñ e Ñ Ò Ø Ú ÔÓÒØ Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Þ Þ k(e) = k 1 (e) + k 2 (e) +... + k s(e) ÓÐ k i (e) = 1 e Ú ÔÓÒØ V i ¹ Ò Ú ÒÒ Ý ÒØ k i (e) = 0º À F G¹ Ò ÓÖ k(f) = X k(f) = X sx sx X sx k j (f) = k j (f) V j 1 =: c, f F f F j=1 j=1 f F j=1 ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ ÐÐ Ý ÒÐ F Ý ÓÐÝ Ò Þ Ø G¹Ò Ñ Ñ Ò Ò H i ¹Ø Ð ÐÖ Ð Þ Øº G Y e i f 2 f 3 X X e j

¾º º ÍÄ Ê Ë À ÅÁÄÌÇÆ ÂýÊýËÇà ½ Ã Ö Ò Ø Ø Ý Ñ Ü Ñ Ð k¹ ÐØ ò F Þ Ø Ø G¹ Òº À ÒÒ ÐØ c ÓÖ F ÐÝ Ø Ö Ø Ò º À ÐØ c¹ò Ð ÓÖ Ò Ñ Ð Ø Þ Ñ Ð Ð º ¾º ÙÐ Ö À Ñ ÐØÓÒ Ö Ó º G = (V, E) Ö ÙÐ Ö¹ Ø ÙÐ Ö¹ Ö Ø µ G Ö Ý ÓÐÝ Ò Öµ Ø Ñ ÐÝ G Ñ Ò Ò Ð Ø ÔÓÒØÓ Ò Ý Þ Öµ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ º ÎÓÐØ ÔÔ Ò G Ö Ð Ò ÓÐÝ Ò Ö Ö Ð Ú Ò Þ Ñ ÐÝ Ò Ñ Ò Ò ÐØ ÔÓÒØÓ Ò Ý Þ Ö Ö ÒØ Ò º Þ Ö Ø¹ Ú ÒÝ Ó Ò ÞÓ Ó Ö ÞÓÐ Ù Ð Ý ÚÓÒ ÐÐ Ð ÖÙÞ Ð Ñ Ð Ò Ð Ð Ø ÔÙ Ø Ö ÞØÖ Ø Ú ÐØÓÞ Ø Ð Ö ÞÓÐ Ò Ö Ø Ý Ö ÞÓÐص Ö Ö Ñ Ò Ø ÒØ Ñ ÐÝÒ Þ Ö ÓÑ ÔÓÒØ Ð Ô ÓÑ ÔÓÒØÓ Þ ØØ ÙØ Ú ÓÖ ÔÓÒØÓ Ò Ò Þ Ø Ò ÓÐ Ø Ñ Ð Ú ÒÝ Ð Ø Þ Þ ÑÐ Ø ØØ Ö Ò ÙÐ Ö¹ Ø º Ö ÐÑ Ð Ø Þ Ð Ø Ø Ã Ò Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ñ ÓÐ ÓÞ ÞÓ ØÒ º Ì ÖØ ÒØ Ù Ý Ò Ó Ý ½ ¹ Ò Ä ÓÒ Ö ÙÐ Ö Ñ Ú Ð ÞÓÐØ Ú ÖÓ ÔÓÖÓ Þ Ã Ò Ö ÔÓÐ Ö Ø Þ ÐÓÑ Ò Ø ÖØ Ö Ø Ñ Þ Ö ÒØ Ñ ÖØ Ò Ñ Ö Ð Þ Ö Þ Ð Ð ÓÐÝ Ò Ø Ø Ø ÒÒ Ñ ÐÝ Ò ÈÖ ÓÐ ÓÐÝ Ø Ò Ñ Ò Ý Ò ÔÓÒØÓ Ò Ý Þ Ö Ð Ò Ø Ñ Ò Þ Ò Ú Þ ÖÑòÚ Ø Ò Ñ Ú ÞÒ ÒÝ º ¾º½º Ö º Ã Ò Ö ÎÁÁÁº Þ Þ Ò Ã Ð ÒÝ Ò Ö Áº¹ Òº ÙÐ Ö Ñ Ý ÐØ Ó Ý Þ Ý Þ Ö Þ Ð Ø Ó Ò Ø Ô Þ ØØ ÙØ Ð Ò Ø ÒØÚ ÔÔ Ò Ý Ñ Ò Ò ÐØ ÔÓÒØÓ Ò Ý Þ Ö Ø ÖØ ÐÑ Þ Ð ÓÖÓÞ Ø Ð Ø Þ Ö º ÓÒ Ö Ø Ø Ò Ô Ò Ñ Ø Ð Ð Þ Ð Ú Ø Þ Þ ÐØ Ø Ðº ýðð Ø À Ú G Ö Ò Ð Ø Þ ÙÐ Ö¹ Ö Ø ÓÖ G Ñ Ò Ò Ò Ô ÖÓ Ó Þ Ñ º À G¹ Ò Ð Ø Þ ÙÐ Ö¹ Ø ÓÖ G¹Ò 0 Ú Ý 2 Ô Ö ØÐ Ò Ó Ú Òº Þº Ø Ð Ø Þ ÞÓ ÓÒ Ú Ð Ø Ð Þ Ö ÒØ Ö ÒÝ ØÚ Ñ Ò Ò v Ó Þ Þ v¹ ÙØ Ð Þ Ñ µ ÞÓÒÓ Ð Þ v Ó Ú Ð Þ Þ v¹ Ð Ò ÙÐ Ð Þ Ñ Ú Ðµ Ú Ú ØÐ Þ Ð ÙØÓÐ Óغ v Ó Þ Ñ Ô Ó Ó Þ Ø Ø Þ Ý ÒÐ ÓÖ d(v) ÐØ ØÐ Ò Ð Ô ÖÓ º Þ Ñ ÒØ Þ ÐØ Ø ÐÒ Þ ÖØ ÐÑ Ñ ÓÖ Ø Þº Ì Ø Ð À G = (V, E) Ö Ú Þ ÓÖ Â Ý ÞÞ Ñ Ó Ý Ã Ò Ö Ñ Ò Ú Ã Ð ÒÝ Ò Ö Ã Ð ÒÝ Ò Ö ÇÖÓ Þ Ü Ð Ú Þ ÐÝ º Þ Ü Ð Ú ÒÒÝ Ø Ø Þ Ñ ÒØ ÇÖÓ ÞÓÖ Þ ÓÐÝ Ò Þ ÓÑÔÓÒ Ò Ñ Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ ÅÓ Þ Ú Øº ËÞÓÑ Þ Ä ØÚ Ò Ä Ò Ý ÐÓÖ Þ Ý ¾¼¼ Ø Þ Í Ú Þ Ö Ð ÇÖÓ ÞÓÖ Þ Ý Ö Þ Øº à РÒÝ Ò Ö ØÖ Ø Ð ÒØ Ð Ó Ý Þ Þ ÇÖÓ Þ Ö Ý ØÐ Ò ÝÑ ÒØ ÐØ Ø Ò Ö Ø ÞÓÚ Ø ÐØ ÓØØ ÓÖ ÐÐÓÑ ÐÝ º Ã Ò Ö Ø Ø Ö ÐÑ Ð Ø Ð Ò Ø ÒØ Ø º Ñ Ø Ñ Ø Þ ÑÔÓÒØ Ð ÞÓÒ Ò Ò Ñ Ñ ØØ ÓÒØÓ Þ Ò Þ Ð ØØ ÚÓÐØ Þ Ñ ÐÑ Ð Þ Ö Ø Ò ÓÐ Ò Ø Ö Ø Ö Ò µ ÓÑ Ø Ö Ú À Ð ÖØ Þ Ñ ÐÑ Ð ØØ Ð ÓÙÖ Ö¹ Ò Ð Þ Þ ÑÓ Ø Ö Ð Ø Ø ÑòÚ Ð ÊÙ ÓÐ Ä Ô ØÞ Ñ Ó Ò Ñ Ó º Ú ÖÓ ÓÖ Ð Þ ÐÐ Ñ Ð ØÒ Þ ÒØ Ò Þ Ý ÞÔÓÒØ ÚÓÐØ ÒÒ Ò Þ ÖÑ Þ Ô Ð ÙÐ ÐÓÞ Ù ÁÑÑ ÒÙ Ð Ã ÒØ Þ Ù Ù Ø Ú Ã Ö Ó ÙØ Ö Ð Þ ÒØ Ò Þ Ð Þ Ò Ñ Ó Ö º ÙÐ ÖÖ Ð Ý Ö Ø ÒÝ Ñ Ó Ý Ñ ÓÑ Ò ØÓÖ Ú Ð Ó Ð Ð ÓÞ Ñ Ø Ñ Ø Ù Ó Ò Ð Ñ Ú Þ Ð Ù ÚÓÐØ Ó ØÓÖ Ø Ñ Ú Þ Ø Ò Ó ØÓÖ Ø Ñ Ú Þ Ø Ò ººº Ø ÓÖ Þ Ø Ð ÒØ Ö Þ Ò Ä ÓÒ Ö ÙÐ Ö ÙØÙÒ Ð Ò ÝÞ Ø Þ ÖÞ Þ ÙÒÓ º Ö Ú Þ Ø ÖÚ ÑÐ Ø Ø Ö Ñ Ð Ñ Ó Ý Ð ÒÐ Þ Ð Ñ Ö ØØ ÑÐ ÞØ Ø ÓÖ Ð Ö º Ý Ø Ò Ñ Ø ½ ¹ Ò Ô Ø ØØ Ñ ØØ Ø Ö Ø Ö ÓÑ ÞÓØØ Ð Ø ÖØ Ò ÐÑ Ú ÖÓ ÞÔÓÒØ Ñ ÑÑ Ø ÓÖ ½ Ù Ù ÞØÙ Òº à ÞÓÚ Ø Ò ØÓÚ Ø Ø Ú ÐØÓØØ Ðº Ä º Þ Ö Øµ Þ Ý Ð Ö ÐÑ Ð ØØ Ð Ó Ð Ð ÓÞ ÒÝÚ Ò Ø Ø Ð Ð Ö Þ Ý Þ Ö Ô Ð Ý Ú G Ö Ò ÓÖ ÓÖ Ú Ò ÙÐ Ö¹ Ö Ø G Þ Ô ÖÓ º Ì ÒÙÐ Ó Ñ ÓÒ ÓÐÒ Ñ ÖØ Ò Ñ Þ Þ Þ ÐÐ Ø º

½ ¾º Â Ì Êý Çà ½º G¹Ò ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ú Ò ÙÐ Ö¹ Ö Ø G Ñ Ò Ò Ô ÖÓ Ó Ðк ¾º G¹Ò ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ú Ò ÙÐ Ö¹ Ø G¹Ò 0 Ú Ý 2 Ô Ö ØÐ Ò Ó Ú Òº Þº ½º Þ ÒØ Ñ Ý Ð Ð Ú Ø Þ º Þ Ð Ø G Ð Þ Ñ Þ Ö ÒØ Ò Ù Ú Ð ÞÓÒÝ Ø Ù º 0¹ Ðò Ö Ó Ö Ø Ø Ð ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ò Þº Ì Ý Ð Ó Ý m¹ò Ð Ú Ðò Ö Ó Ö Ø Ø ÐØ Ñ Ö ÞÓÒÝ ØÓØØÙ Ð Ý Ò G¹Ò m Ð º G¹ Ò Ð Ø Þ Ý C Ö Ñ ÖØ Ñ Ò Ò Ó Þ Ñ Ð Ð ØØ Ð Ò ÙÐÙÒ G Ý Ø Ø Þ Ð Ð Ñ Ò ØÐ ÓÞ Ð Ò Ð Ô Ò ØÓÚ ÓÖ Ý Þ Ö Ý ÓÖ Ò Ö ÒØ ØØ v ÐÐ ÙØÒÙÒ Þ Ð Ó ÔÓÒØ Ò Ó Ñ ØÙÒ Ðº v Ø Ö ÒØ Þ ØØ Ô ÔÔ Ò Ý ÖØ ÖØÙÒ º Ì ÒØ G = G C Ö ÓØ Ñ ÐÝ C Ð Ò Ø ÖÐ Ú Ð Ð Ø¹ Þ G¹ к G Ñ Ò Ò Ý ÓÑÔÓÒ Ò Ú m¹ò Ð Ú ÐØ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ñ Ò Ò Ó Þ Ñ Ô ÖÓ Þ ÖØ Þ Ò Ù ÐØ ¹ Ú Ñ ØØ Ñ Ò Ò ÓÑÔÓÒ Ò Ò Ú Ò ÙÐ Ö¹ Ö Ø º G Ö C ÙÐ Ö¹ Ö Ø Ø Ý Ô Ù Ó Ý C Ö v Ð Ò ÙÐÚ C Ð Ò Ð ÙÒ Ú ÞÓÒ Ò Ñ ÓÖ Ý Ò ÑØÖ Ú Ð ÓÑÔÓÒ Ò Ö Þ Ò ÓÖ Þ ÓØØ ÓÑÔÓÒ Ò ÙÐ Ö¹ Ö Ø Þ Ö ÒØ Ð ÙÒ ØÓÚ Ñ Ñ ÙØ Ò ÞÞ Ð Ú ÞØ Ò ÓÐÝØ Ø Ù C Ö Ö Øº ÁØØ Ð ÞÒ ÐØÙ Ó Ý Ý ÓÑÔÓÒ Ò Ò Ú Ò ÙÐ Ö¹ Ö Ø ÓÖ Ú Ò ÓÐÝ Ò ÙÐ Ö¹ Ö Ø Ñ Ò Þ ¹ Ý Ú ÔÓÒØ µ ÓÑÔÓÒ Ò Ý ÓØØ ºµ ÔÓØØ Ð ÓÖÓÞ Ø ÒÝ ÐÚ Ò G ÙÐ Ö¹ Ö Ø Ð Þº v v C C Å ÙÒ Ø Ø Ð Ð Ö Þ Ò Þ Ð Ö Ý Ñ Ð Ø ÞÓ¹ ÒÝ Ø Øº Þ G Ò Þ Ñ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ø Ð Ò Ù Ú Ð Ø ÖØ Ò º À G¹Ò Ý ØÐ Ò Ú Ò ÓÖ G¹Ò ÙÖÓ Ð Ð ØÒ Þ Ô Ø Ø Þ Ð ÓÖÖ Ò Ò Ð ÓÖÓÐÚ Ý ÙÐ Ö¹ Ö Ø Ø Ð ÓØÒ º Ì Ý Ð Ø Ø Ó Ý Þ n 1 K 1 Ö Ó Ö Ñ Ö ØÙ Ù Þ ÐÐ Ø Ø Ð Ý Ò G¹Ò n Þ Ý Ð ¹ G Ý Ò vº Ä Ý Ò K 1, K 2,... K s G v Ö ÓÑÔÓÒ Ò º ýðð Ø Ù Ó Ý v¹ Ð Ð Ð Ø Ð Ú Þ Ø Ñ Ò Ý K i ¹ º Å Ú Ð G Þ ÖØ v K i ÞØ Ú Ò Ðº À K 2 Ø ÒØ v K i ÐØ Ð Þ Ø ØØ G[K i + v] Ö Þ Ö ÓØ ÓÖ Þ Ñ Ò Ò K i ¹ Ð Ú ÔÓÒØØ Ð Ö Ò Ð Þ ÐØ Ø ÖØ ÐÑ Þ Þ ÖØ G[K i + v] Ñ Ò Ò K i ¹ Ð ÔÓÒØ Ò Ó Þ Ñ Ô ÖÓ º G[K i + v] Ö Ó Þ Ñ Þ ÞÓÒ Ò Ý Ð Ø Ô ÖÓ v v Ó Ô ÖÓ Ñ Þ Ö ÒØ Ð Ð 2º ÞØ ÔØÙ Ø Ø Ó Ý v¹ Ð G v Ñ Ò Ò ÓÑÔÓÒ Ò Ð Ð Ø Ð Ú Þ Øº ÅÓ Ø Ú ÞÞ Ð Ú Ø Þ Ø Ð Ø Ó Øº À Ý Ù Ð v¹ö ÐÐ Þ ÙÖÓ Ð Øº Ê Ò ÞÞ Ô ÖÓ v¹ Ð Ò ÙÐ Ò Ñ ÙÖÓ µ Ð Ø vu, vw Ý ÐÝ Ò ÐÔ Ö ÓÖ ÐÝ ØØ Ø Ò ÞÓ Ø Ý uw ÐРк ÖÖ ÐÐ ÞÓÒ Ò Ý Ð¹ Ò Ò Ó Ý Þ Ð Ô ÖÓ Ø Ø Ý Ú ÞÞ Ð Ó Ý Ñ Ò Ò K i ¹Ö Ð Ý Ò ÓÐÝ Ò vu, vw ÐÔ Ö Ó Ý u K i w Ô K i+1 ÔÓÒØ ÓÐ K s+1 = K 1 µº À Ý Ù Ð ÞÙØ Ò v Óغ Ð Ø Þ G(v) Ö Ð Þ Þ K i ÓÑÔÓÒ Ò Ò Ö¹ Ð Ø Ñ ÒÒ º Ê ÙÐ G(v)¹Ò n 1 Ú Ò G(v)¹ Ò Ñ Ò Ò Ó Ñ Ý Þ Þ ÓØØ G¹ Ð Ó Ú Ð Ø Ø Ô ÖÓ º Þ Ò Ù ÐØ Ú Þ Ö ÒØ Ø Ø Ð Ø Þ G(v)¹Ò ÙÐ Ö Ö Ø º Ð Ý Ô Ù Ñ G Ý Ù¹ Ð Ö Ö Ø Ø Ó Ý Ñ Ò Ò Ð ÐÓÑÑ Ð Ñ ÓÖ G(v) Ý ÓÒÒ Ò Ú Þ Ø ØØ Ð Ò Ð ÙÒ Ú ÓÐÝ Ò ÓÖ ÐÝ ØØ Ñ Ð Ð Ø ÐØ Ö Ù Ø Ð ÙÒ v¹ò Ñ Ö Ø Ú Ö Ý ÞØ v¹ Ð ÙÖÓ Ð Ö Øº Þ Ô ÞØ Ð ÒØ Ó Ý G¹Ò Ð Ø Þ ÙÐ Ö Ö Ø Þ Þ ÞÓÐØÙ Þ Ò Ù Ð Ô Øº K 4 K 3 G(v) ¾º À G Ñ Ò Ò Ò Ó Ô ÓÖ ½º Ñ ØØ Ð Ø Þ ÙÐ Ö¹ Ö Ø Ñ Ý ØØ Ð ÙÐ Ö¹ Ø º Ý ÒØ ÞÞÙÒ G ÔØÒ Ó Þ ØØ Ý e Ðغ ½º Ñ ØØ Ð Ø Þ G Ö Ò Ð Ø Þ ÙÐ Ö¹ Ö Ø ÐØ Ø Ó Ý e Ö ÙØÓÐ Ð º Þ e Ð ÙÐ Ö¹ Ö Ø Ð Ú Ð Ø ÖÐ ÓÖ ÔÔ Ò G Ý ÙÐ Ö¹ Ø Ø Ô Ù º ÒØ Ø Ø Ð Ö Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò Ö Ó Ö Ð Þ ÐØ Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ó Ö ÓÒÐ Ö Ñ ÒÝ ÑÓÒ Ø º Þ ÙÐ Ö¹ Ø Ðк Ö Ø Ö ÒÝ ØÓØØ Ú ÐØÓÞ Ø Ò ÖØ Ð Ñ Þ Öò Ñ Ó Ø Ú Ð Ô Ø Ñ Ô ÖÓ Ó Þ ÑÓ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ ÐÐ Ø Ö ÒÝ ØÓØØ Þ Ð Þ Ö ÒØ Ñ Ó Ùк ýðð Ø À Ú Ö ÒÝ ØÓØØ G Ö Ò Ð Ø Þ ÙÐ Ö¹ Ö Ø ÓÖ G Ñ Ò Ò Ò Ù Ý Ò ÒÒÝ Ó Ñ ÒØ Ó Þ Þ Ø Ø Þ Ð v Ö Þ Ó Ý v¹ ÙØ Ð Þ Ñ Ñ Ý Þ v¹ Ð Ò ÙÐ Ð Þ Ñ Ú Ðº À ÙÐ Ö¹ Ø Ú Ò G¹Ò ÓÖ Ð Ø Ø Ú Ø Ð Þ Ý Ò Ó Ý Ð Ø Ó Ò Ð Ñ Ò Ð Ó Ò ÝÓ Ó Ò Ð Ý Ðº ÞÓÒÝ Ø Þ Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò ÞÓÒÝ Ø ÖØ Ð Ñ Þ Öò Ñ Ó Ø º ÒØ ÐÐ Ø Ð Ñ ÓÖ Ø Ø Ð Ðº Ì Ø Ð À G = (V, E) Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ú Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò ÖØ Ð Ñ Ò Þ ÓÖ ½º G¹Ò ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ú Ò ÙÐ Ö¹ Ö Ø G Ñ Ò Ò Ù Ý Ò ÒÒÝ Ð ÙØ Ñ ÒØ ÒÝ ÓÒÒ Ò Ð Ô Ðк ¾º G¹Ò ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ú Ò ÙÐ Ö¹ Ø G¹ Þ Ø Ð Ð Ý Ö ÒÝ ØÓØØ Ð Ý Ó Ý ÔÓØØ Ö Ö Ò Ð ÞÞ Ò Þ ½º ÔÓÒØ Ò Ñ Ó ÐÑ ÞÓØØ ØÙÐ ÓÒ Ðº Â Ñ Ú Ò ÓÖ G¹Ò ÔÓÒØÓ Ò Ý Ô Ö ØÐ Ò Ó ÔÓÒØ Ú Ò Þ Ð Ò Ø ÒÙÐØ Ö Ó Ø Ø Ð Ø...

¾º º ÍÄ Ê Ë À ÅÁÄÌÇÆ ÂýÊýËÇà ½ ÖÑ ÐÝ ÒØ Þ ÐØ ÞÓÒÝ Ø ÖØ Ð Ñ Þ Öò Ñ Ó Ø ÞÓÐ ÒØ Ø Ø Ðغ Þ Þ Ö ÒÝ ØÓØØ Ú ÐØÓÞ Ø Å Ò Ö Ø Ø ÐÒ Ð Ð Þ ÞÒÙÒ Ö º Â Ý ÞÞ Ñ ÞØ Ó Ý Ñ Þ Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò Ñ Ô Þ Ö ÒÝ ØÓØØ Ú ÐØÓÞ ØÒ Ð Ò Ñ ÐÐ ØØ ÐØ ÒÒ Þ Ò ÓÖ Ö Ý Þ Öò Ø Þ ÐÑÓÒ ÓØØ ÞÓÒÝ Ø Ó Ñò Ò Ô Ö ÙÞ ÑÓ ÙÖÓ Ð Ñ Ð Ø Ø Ò º Ñ Ó ÞÓÒÝ Ø Ð ÒÝ Ò Ø Ñ Þ Ó ÓØØ ÖÖ ºµ À Ð ÐÝ ØØ Ó Ö Ð Þ Ð Ò ÓÖ Ý Ñ ÓÒØÓ Ó ÐÓÑ ÓÞ ÙØÙÒ º º G Ö À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö À Ñ ÐØÓÒ¹ Ø µ G ÓÐÝ Ò Ö Ø µ Ñ ÐÝ G Ñ Ò Ò Ø Ø Ö¹ Ø ÐÑ ÞÞ º Å ÝÞ Å Ú Ð Ý Ö Ò Ø Òµ Þ Ö ÔÐ Ñ Ò Ò Ð Ò Þ Þ ÖØ À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö À Ñ ÐØÓÒ¹ ص G Ö ÓÐÝ Ò Ö Ñ ÐÝ G Ñ Ò Ò Ø ÔÓÒØÓ Ò Ý Þ Ö Ö ÒØ º ýðð Ø À Ú G Ö Ò Ð Ø Þ À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö Ðк À Ñ ÐØÓÒ¹ ص ÓÖ G¹Ò k Ø Ø Þ Ð ÔÓÒØ Ø Ø Ö ÐÚ Ð Ø Þ Ö Ò Ð Ð k Ðк k + 1µ ÓÑÔÓÒ Ò Ú Òº Þº À G Ö Ñ Ý À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö À Ñ ÐØÓÒ¹ ص ÓÖ Þ ÐÐ Ø Ú Ð Ó º À G¹Ò ØÓÚ Ð Ú ÒÒ ÓÖ ÔÓÒØÓ Ø ÖÐ ÙØ Ò Ð Ø Þ ÓÑÔÓÒ Ò Þ Ñ Ò Øº Å ÝÞ ÒØ ÐÐ Ø Ý Þ Ñ Ò Ñ Ð ÐØ Ø Ðº È Ø Ö Ò¹ Ö Ò Ò Ò À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö ÒÓ Ø Ð Ø ÐØ Ø Ðغ À ÚÓÐÒ À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö ÓÖ 3 Þ ÒÒ Ð Þ Ò Þ¹ ØÒ Ò Þ Ð Ø Ý Ó Ý Þ ÞÓÒÓ Þ Òò Ð Ô ÖÓÒ ÒØ Þ ÙÒ Ø Ð Ý Ò º À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö 10 Ð Ö ÐÐ 2 Þ Ò Ñ Ö Ð Ô Þ ÙÒ Ø Ñ Ú Ð È Ø Ö Ò¹ Ö 3¹Ö ÙÐ Ö ºµ Å ÖÔ Ð Ø Þ ÓÞÞ ØÐ ÓÞ Ð 3¹ Þ Ò Þ Þ ÑÑ ØÖ Ñ Øص Ð ÒÝ ¹ Ò Ý ÖØ ÐÑò Þ Ò Ñ Ø Ö ÞØ Ø ÐÓ Ð 3¹ Þ Ò Þ º À È Ø Ö Ò¹ Ö Ð Ö Ð a Ð Ö Ð Ô b ÓØ ÝÙÒ Ð ÓÖ Ð Ðк Ð Ö Ò Ð Ø Þ ÓÑÔÓÒ Ò Þ Ñ Ð Ð a Ðк b Ú Ý Ö Ò Ò Ñ Ð Ø Þ Ø Þ Ò a + b¹ò Ð Ø ÓÑÔÓÒ Ò º È Ø Ö Ò¹ Ö Î ÒÒ ÞÓÒ Ò Ð ÞÒ Ð Ø Ð ÐØ Ø Ð À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö Ð Ø Þ Ö º Ö Ø Ø Ð À Þ n¹ôóòø n 3µ Ý Þ Öò G Ö Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ò Ó Ð Ð n 2 ÓÖ G¹Ò Ú Ò À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö º ÇÖ Ø Ø Ð À Þ n¹ôóòø n 3µ Ý Þ Öò G Ö ÓÐÝ Ò Ó Ý uv E(G) Ø Ò d(u) + d(v) n Þ Þ Þ Ø ØÐ Ò Ó Ó Þ Ñ Þ Ð Ð nµ ÓÖ G¹Ò Ð Ø Þ À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö º Å ÝÞ À Ý Ö Ö Ø Ð Ð Ö ÐØ Ø Ð ÓÖ Ø Ð Ð Ö Þ ÇÖ º Þ ÖØ Ö Ø Ø Ð Ú Ø Þ Þ ÇÖ Ø Ø Ð Ðº È Ø Ø Ð À Þ n¹ôóòø n 3µ Ý Þ Öò G Ö Ó Þ Ñ d 1 d 2... d n Ñ Ò Ò k < n 2 Ø Ò d k k + 1 ÓÖ G¹Ò Ð Ø Þ À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö º ýðð Ø À Ý Ö Ö Ø Ð Ð Þ ÇÖ ÐØ Ø Ð ÓÖ Ø Ð Ð Ö È º Þ ÖØ Þ ÇÖ Ø Ø Ð Ú Ø Þ È Ø Ø Ð Ðº Þº ÁÒ Ö Øº Ä Ý Ò d k k Ú Ð Ñ ÐÝ 1 k < n ¹Ö Ð Ý Ò U k Ð Ó ÔÓÒØ ÐÑ Þ º ÖÑ ÐÝ U¹ Ð 2 ÔÓÒØ Ó Þ Ñ Ð Ð k Ý ÖÑ ÐÝ Ø U¹ Ð ÔÓÒØ Ó Þ Ñ Þ Ñ ÒØ n Þ ÖØ Þ ÇÖ ÐØ Ø Ð Ñ ØØ U Ø Ð Ö ÓØ Þ Øº Å Ò Ò U¹ Ð ÔÓÒØ Ð Ø Ø k 1 Ð Ò ÙÐ U¹ Ð ÔÓÒØ ÓÞ Þ ÖØ Ð Ð 1 Ð Ò ÙÐ Ø U¹Ò Ú ÐÖ º k < n 2 Ñ ØØ Ð Ø Þ Ø Ø V (G) \ U¹Ò ÓÐÝ Ò v ÔÓÒØ Ñ ÐÝ U Ý ØÐ Ò ÔÓÒØ Ú Ð Ò Þ ØÚ º ÓÖ Ø Ø Þ Ð u U Ö u v Ó Þ Ñ Þ Ð Ð k + (n k 1) = n 1 Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ Þ ÇÖ ÐØ Ø ÐÒ º Ú Ø Ð Ø Ø Ð Ä Ý Ò G n¹ôóòø n 3µ Ý Þ Öò Ö Ñ ÐÝÒ Ó Þ Ñ d 1 d 2... d nº Ì Ý Ð Ó Ý Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò k < n 2 ¹Ö Ñ ÐÝÖ d k k Ø Ð Ð ÒÒ ÐÐ d n k n k Ý ÒÐ ØÐ Ò º ÓÖ G¹Ò Ð Ø Þ À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö º Å Ö ÞØ Ý d 1 d 2... d n ÓÖÓÞ ØÖ Ò Ñ Ø Ð Ð Þ Ð Þ ÐØ Ø Ð ÓÖ Ú Ò ÓÐÝ Ò G Ö Ñ Ò Ò Ò À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö Ó Þ Ñ Ò d 1 d 2... d n ÓÖÓÞ Ø Ö d i d i i = 1,2,..., n ÐÐ ÒÒº Å ÝÞ À Ý Ö Ö Ø Ð Ð È ÐØ Ø Ð ÓÖ Ø Ð Ð Ö Ú Ø Ð º Þ ÖØ È Ø Ø Ð Ú Ø Þ Þ Ú Ø Ð Ø Ø Ð Ðº Þ ÇÖ Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø Ä Ý Ò G Ý ÐÐ ÒÔ Ð Ø Ø ÐÖ º Å ¹ Ú Ð Ð Þ Ò Ñ ÖÓÒØ Ð Þ ÇÖ ¹ØÙÐ ÓÒ ÓØ ÐØ Ø Ó Ý G¹ Ò ÖÑ ÐÝ Ð Þ Ð ØÖ ÓÞ Ý À Ñ ÐØÓÒ¹ ÖØ Þ Þ G Ö¹ Ñ ÐÝ Ø Þ Ø ØÐ Ò ÔÓÒØ Þ ØØ Ú Þ Ø À Ñ ÐØÓÒ¹ غ À Ø Ø u v Ò Ñ ÞÓÑ Þ Ó ÓÖ Ð Ø Þ Ý P À Ñ ÐØÓÒ¹ Ø u¹ Ð v¹ ÐØ Ø¹ Ó Ý Þ Þ Ø Þ u = v 1, v 2, v 3,...,v n = v ÓÖÖ Ò Ò Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ G غ À ÑÓ Ø v 1 v k G Ö Ð ÓÖ v k 1 v n Ò Ñ Ð Ø G Ð Ñ ÖØ v 1, v 2,..., v k 1, v n, v n 1, v n 2,...,v k, v 1 Ý À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö Ð ÒÒ ÐÐ ÒØ Ø¹ Ò G Ú Ð ÞØ Ú Ðº v 2 v 1 = u v k 1 v k v n = v À Ø Ø v 1 ÞÓÑ Þ v i1, v i2,..., v im Ó ÓÖ v n ¹Ò Ò Ñ Ð Ø ÞÓÑ Þ v i1 1, v i2 1,...,v im 1 Ó Ý Ñ Þ Þ v n ÞÓÑ Þ Ò Þ Ñ Ð Ð n 1 m Ð Þ Ú Ý d(v 1 ) + d(v n ) m + n 1 m = n 1 < n ÐÐ ÒØÑÓÒ º Ú Ø Ð Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø ÐØ Ø Ó Ý G Þ 1, 2,... n ÔÓÒØÓ d(1) d(2)... d(n)º ÁÒ Ö Ø ÞÓÒÝ ØÙÒ Ð Ý Ò G Ý ÐÐ ÒÔ Ð Ø Ø ÐÖ º Å Ú Ð Ð Þ Ò Ñ ÖÓÒØ Ð Ú Ø Ð¹ØÙÐ ÓÒ ÓØ ÐØ Ø Ó Ý G¹ Ò ÖÑ ÐÝ Ð Þ Ð ØÖ ÓÞ Ý À Ñ ÐØÓÒ¹ ÖØ Þ Þ G ÖÑ ÐÝ Ø Þ Ø ØÐ Ò ÔÓÒØ Þ ØØ Ú Þ Ø À Ñ ÐØÓÒ¹ غ À Ø Ø k l Ò Ñ ÞÓÑ Þ Ó ÓÖ Þ P kl À Ñ ÐØÓÒ¹ ØÓÒ k ÞÓÑ Þ Ø Ñ Ð Þ ÔÓÒØÓ V kl ÐÑ Þ Ð Ò Ñ ÙØ Ø Ð l¹ Ñ ÖØ ÓÖ Ð ÒÒ G¹ Ò À Ñ ÐØÓÒ¹ Öº Þ ÖØ Ý Ð Ñ Ú Ú Ó Ý k V kl µ d(k) + d(l) d(k) + (n 1) d(k) = n 1 Ø Ð Ðº Þ Ø Ô Þ ÇÖ Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø ºµ Î Ð ÞÙ ÑÓ Ø Ò Ñ ÞÓÑ Þ Ó k, l ÔÓÒØÓ Ø Ý Ó Ý d(k)+d(l) Ñ Ü Ñ Ð Ð Ý Òº ÐØ Ø Ó Ý k < lº Î Ð Ó Ó Ý d(k) 1 n 1 (d(k) + d(l)) < n 2 2 2 ºµ Å Ú Ð Ò Ñ V kl ÔÓÒØ Ø Ú Ð ÞØÓØØÙ k ÐÝ ØØ Þ ÖØ d(i) d(k) ÐÐ Ñ Ò Ò i V kl ¹Ö º Þ Ö ÒØ d(d(k)) d(k) Ý Ú Ø Ð ÐØ Ø Ð Ñ ØØ d(n d(k)) n d(k) ÐÐ Ú Ý G¹Ò Ð Ð d(k) + 1 ÓÐÝ Ò ÔÓÒØ Ú Ò Ñ ÐÝ Ð Ð n d(k)¹ Ó º d(k) < n 2 Ñ ØØ Ú Ò Ø Ø ÔÓÒØÓ Þ ØØ Ý l Ñ ÐÝ Ò Ñ ÞÓÑ Þ k¹ò ÓÖ d(k) + d(l ) d(k) + n d(k) = n > d(k) + d(l) ÐÐ ÒØÑÓÒ Ò l Ú Ð ÞØ Ú Ðº

¾¼ ¾º Â Ì Êý Çà ŠÝÞ À Ó Þ Ñ ÓÖÓÞ Ø Ð Ô Ò ÐÐ Ñ ÑÓÒ Ò Ú Ò¹ ÞØÓ Ò À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö Ö Ò ÓÖ Ò Ñ ÐÐ Ø ØÙÒ Ö Ø Ú Ø Ð Ø Ø ÐÒ Ðº Ì Ø Þ Ð n N¹Ö Ø Ø Þ Ð k < n ¹Ö Ð Ø Þ Ù Ý Ò ÓÐÝ Ò n¹ôóòø 2 Ý Þ Öò Ö Ñ ÐÝÒ Ò Ò À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö k k¹ Ó (n 2k) (n k 1)¹ Ó k (n 1)¹ Ó ÔÓÒØ Ú Òº Þ ÒÒ Ò Ó Þ Ñ ÓÖÓÞ Ø k¹ö ÖØ Ñ Ú Ø Ð ÐØ Ø Ðغ ÖÑ ÐÝ Ó Þ Ñ Ñ Ò Ú Ð Ú Ð Ô Ø Ð Ð Ú Ø Ð ÐØ Ø Ðºµ Ä Ý Ò Ù Ý Ò Þ A, B, C ÔÓÒØ ÐÑ ÞÓ Ö Ò Ö k, k Ðк n 2k ÔÓÒØ ÞÞÙ C¹Ò Ð Ð Þ Þ ÐØ ØÓÚ Þ B Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ø Þ Þ Ø ÔÓÒØØ Ðº Ó Þ ÑÓ ÒØ Ð ÞÒ B Ð Ý Ú Ð k + 1 ÓÑÔÓÒ Ò Ð Ø Þ Ò Ñ Ø Ð Ð Ø Ø Ø Ö Ò À Ñ ÐØÓÒ¹ Öº ¾º Ä Ö Ú ÙØ ÖØ ÐÑ Þ Ø Ý Ö Þ ØØ Ø ÚÓÐ Ó ÐÑ º º À u v G Ö ÓÖ Þ u v G¹ Ð Ø ÚÓÐ Ð Ö Ú u¹ Ð v¹ Ú Þ Ø G¹ Ð Ø Ð Þ Ñ º ÒØ Ò Ò Ò Ñ Ø ÖÓÞØÙ Ñ Ó Ý G Ö ÒÝ ØÓØØ Ú Ý Ö ÒÝ Ø ØÐ Òº ÍØ Ø Ò Ñ ÓÖ Ô Ö Þ Ö ÒÝ ØÓØØ ÙØ Ø ÐÐ Ò Ò ÖØ Ò Þ ÙÖ Ð ÓÖ ÙÐ Ø Ó Ý Þ u v Ø ÚÓÐ Ò Ñ Ý Þ Ñ v u Ø ÚÓÐ Ú Ð Ñ Þ Ñ ÞØÓ Ó Ý Ñ Ò ØØ Ð Ø Þ º ÒÒ ÐÐ Ò Ö Ó Ý Ø ÚÓÐ Ú ÒÝ Ò Ñ Þ ÑÑ ØÖ Ù Þ Ö Þ Ð ØÙÐ ÓÒ º Å Ý Ð À G Ö Ò P Ý Ð Ö Ú uv Ø P P Ý Ö Þ Ø ÑÓÒ Ù x¹ Ð y¹ µ ÓÖ P G Ý Ð Ö Ú xy¹ Ø º Þº ÁÒ Ö Ø ÞÓÒÝ ØÙÒ º À Ð ÒÒ G¹ Ò Ý P ¹Ò Ð Ú ÐØ ÞÒ Ð P Ø x¹ Ð y¹ ÓÖ P ¹ Ò P ¹Ø P ¹Ú Ð ÐÝ ØØ ØÚ G Ý P ¹Ò Ð Ú Ð Ð ÐÐ uv Ø Ø ÔÒ Ò º Å ÖÔ Ð Ö Ú G¹ Ð uv Ø ÒÒ Ð Ø Ò Ð Ò Ñ ÞÒ Ð ØÒ Ø ÐØ ÐÐ Ø P Ø Ø ÞÒ Ðº Þ ÐÐ ÒØÑÓÒ Ñ Ý Ð Ø ÞÓÒÝ Ø º Ý Ö Ò ÐÑ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ý ÓØØ Ö Ò Ø ÖÓÞÞÙ Ñ Ø ÓØØ Ø ÚÓРغ Ý ÖÖ ÐÖ ÞÒ Ð Ø Ø ÓÒÝ Ð Ö Þ Ð Ö Ñ ÖØ Ø ÐÙÒ º ËÞ Ð Þ Þ ºÒº Ñ ÐÝ Ö Ö Ð Þ ÖØ Ö Ñ Ò ÒÝ Þ Ø Þ ÐÒ ÐØ Ð Ò Ö Ö Ó Ö Ðº Ö Ö Ó º Ý G Ö Ý Ö Ò G Ò Ú Ð Ñ ÐÝ Ò ÓÖÖ Ò Ò Ø ÖØ Ò Ú Ð ØÓ Ø Ø ÖØ º Þ ÐØ Ð ÒÓ Þ ÐÝ Ó Ý Ñ Ò Ò v ÓØ Ð Ø Ð Ý Ð ØÓ ÙÒ Ñ Ð Þ Ö Ó Ý Ý ÓÖ Ò Ñ Ö Ñ Ð ØÓ ØÓØØ u Ð Ö ÞÞ Ò Ý uv Ð Ñ ÒØ Òº Þ Þ Ò Ñ Þ ØÙÒ Ð Ð Ô Ð ÓØ Ñ Ò Ñ ÓÖ Ò Ð ÖØ Ð ØÙ ÙÒ Ö ØÐ Ò Ð ÔÒ ºµ Ð ÖØ Ð Ñ Þ Öò Òµ Ö Þ Ò Ú Ð ØÓ Ø º ÒØ Ð Ô Ò Ñ Ò Ò Ö ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ý Ð Ö ÓÖÖ Ò Þ Þ G Ò Ý ÓÖÖ Ò Þ Ö ÒØ Ó Ý Ñ ÓÖ Ð ØØÙ Ð Þ Ö Þ ÓØØ Óغ Ö ÓÖ Ò Ý ÓØ Ú Ý Ý Ñ Ö ÓÖ Ò ÖØ Ð Ó Ú Þ Ø Ð Ñ ÒØ Ò ÖØ Ò Ð Ú Ý Ý Ð Ô Ð ÞØÙ Ð Ñ ÒØ Ó Ý Ò Ôк ÞØ Ð Ð Ò ÖØ Ð Ø ØØ º Þ Ð Ø ÔÙ Ó Ñ Ò Ý Þ Ý ÖØ ÐÑò Ò Ø ÖØÓÞ Ý Ö ÒÝ ØÓØص Ó Ú Þ Ø Ð Ñ Ñ ÒØ Ò Ð Þ Ö ÙØÓØØÙÒ Ð Þ ÓØØ º Þ Þ Ð Ý Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò ÖØ Ð Ñ Òµ ÖÑ ÒØ Ö ÓØ Ð ÓØÒ Þ Ò Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ð Ð Ý ÐÝ Ò Ð ÙØ Ý Ð Ñ Ò ÓÖ Ò Ð ÖØ Ð Ú Þ Ø Ý Ð ÖØ º Þ Ò Ð Ø Ø Ý Ö Ø Ð ÓØÒ º ÞØ Þ Ö Ø ÐÝØ Ð Ò Ðµ Ö Ò Ò Ú ÞÞ º Ö ÓÑÔÓÒ Ò Ø Ø ÓÐÝ Ò Ö ÒÝ ØÓØØ Ñ ÐÝ Ð Ý ÖØ Ð Ð Ú ÒÒ Ö ÒÝ ØÚ º Ö Ñ Ö Ø Ò G Ø Ø Þ Ð uv Ð Þ Ð 4 Ø ÔÙ Ú Ð Ñ ÐÝ Þ Ø ÖØÓÞ º Þ uv ÐØ ÐÒ ÑÓÒ Ù uv Ö Ð º À Ö Ò u¹ Ð v¹ Ö ÒÝ ØÓØØ Ø Ú Þ Ø Þ Þ u v µ ÓÖ uv Ð Ö Ðº À v¹ Ð u¹ Ú Þ Ø Ø Ö Ò Þ Þ u v Ð Þ ÖÑ ÞÓØØ µ ÓÖ uv Ú Þ Ðº Î Ð Ô u v Þ ØØ Ò Ò Ö ÒÝ ØÓØØ Ø Ò Þ Þ u¹ò v¹ò Þ Ú Ò Ú Ý u v Ö Ð Ò Þ ÓÑÔÓÒ Ò Ò µ ÓÖ uv Ö ÞØ Ðº ÒØ ÐÑÓÒ ÓØØ ÖÚ ÒÝ Ö ÒÝ ØÓØØ Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò Ö Ó Ö ÙØ Ò Þ Ð Ö Ð Ú Þ Ð Ù Ý Ò ÞØ Ð ÒØ º ØÓÚ Ò Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ó Ð Ó Ð Ð ÓÞÙÒ Ù Ý Ò Þ Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò Ö Ó Ö ÑÓÒ Ø ÐÐ Ø Ó ÒÒ Ò Ý Þ Öò Ò Ñ Ô Ø Ý Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò Ö Ñ Ò Ò Ð Ø Ý Ó ¹Ú Þ ÑÙØ Ø ÐÔ ÖÖ Ð ÐÝ ØØ Ø º Ã Ø Ð ÔÚ Ø Ò ÓÒØÓ Ö ØÖ Ø Ø Ó ÙÒ Þ Ð Ö Ð Ñ Ú Þ ÐÒ º Ñ ÐÝ Ö Ò Ð Ñ Ò Ð ÖØ Ð Þ Ö ØÒ Ò ØÓÚ Ð ÔÒ Þ Ð Ö Ò Ô Ð Ø Ð ÓÖ Ò Ð ÖØ Ð ÔÖ Ð Ù Ñ Ø ÒÒ Ù Ý Ò Þغ ËÞ Ð Ö º Þ Ð Ö Ò ÓÐÙÐ Ö Ø Ö Ø Ö Ö Ú Ò Ëµ Ú Ø Þ ØÖ Ø Þ Ö ÒØ Ø ÖØ Ò º Ã Ò ÙÐÙÒ Ý v 0 Ý Ö Ð Ö Ù v 0 Ö ØÐ Ò ¹µ ÞÓÑ Þ Ø Þ Þ v 0 ¹ Ð Ö ÒÝ ØÓØØ