2. témakör: Számhalmazok Olvassa el figyelmesen az elméleti áttekintést, és értelmezze megoldási lépéseket, a definíciókat, tételeket. Próbálja meg a minta feladatokat megoldani! Feldolgozáshoz szükségesidö: 3 perc Természetes számok (N): A pozitív egész számok kiegészítve a 0-val. Pl.: 0, 1, 2, 3,,, A természetes számok között értelmeztük az összeadást, szorzást, hiszen ha a természetes számokkal összeadást vagy szorzást végzünk, akkor az eredményünk is természetes szám. A természetes számok körében kivonást is végezhetünk. Pl.: 9-=2. Azonban ha azt akarjuk, hogy bármely kivonás értelmes számot adjon eredményül, bővítenünk kell a számfogalmat. Ugyanis amíg csak a természetes számokat ismerjük, addig ennek a műveletnek nincs értelme: 6-9. Ezért vezették be az egész számok halmazát. Egész számok (Z): -,, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,, Az egész számok között értelmeztük az összeadást, szorzást, és a kivonást. Az osztás azonban nem minden esetben hajtható végre, mivel a megoldás nem lesz egész szám. Ezért vezették be a racionális számokat. Racionális számok (Q): Azok a számok, amelyek a b alakban felírhatók, ahol a és b ( 0) Z. A racionális számok között értelmeztük az összeadást, szorzást, kivonást és az osztást. A racionális számok felírhatók tizedes tört alakban is (beletartozik a periodikus tizedes tört is). Azonban nem minden tört véges vagy periodikus, ezért vezették be az irracionális számok halmazát. Irracionális számok (Q*): a nem periodikus végtelen tizedes törtek. Ha végtelen tizedes törtekről beszélünk, akkor azok vagy periodikusak vagy nem, azaz racionális vagy nem racionális számok. Ez azt indokolja, hogy a végtelen tizedes törteknek önálló nevet adjunk: valós számoknak nevezzük ezeket. Valós számok (R): A racionális és irracionális számokat együttesen valós számoknak nevezzük. Q Z N Q* R Nagyon sok dolgot lehet említeni a számokkal kapcsolatban: szorzótábla, bennfoglaló tábla, előjel szabály, balról-jobbra szabály, műveletei sorrend, zárójel felbontása stb. ezeket kell itt egy kicsit feleleveníteni. Itt lehet egy kicsit gyakorolni. Ha további segítségre van szüksége, vegye fel a honlapon szereplő tutorokkal a kapcsolatot 1
Oszthatósági szabályok 2-vel: Egy tízes számrendszerben felírt szám akkor és csak akkor osztható 2-vel, ha az utolsó számjegye osztató 2-vel (azaz, ha a szám páros). 3-mal: Egy tízes számrendszerbeli szám akkor és csak akkor osztható 3-mal, ha a számjegyek összege osztható 3-mal. -gyel: Egy tízes számrendszerben felírt szám akkor és csak akkor osztható -gyel, ha az utolsó két számjegyből képzett kétjegyű szám osztható -gyel. -tel: Egy tízes számrendszerben felírt szám akkor és csak akkor osztható -tel, ha az utolsó számjegye vagy 0. 6-tal: Ha 2-vel és 3-mal is osztható. Vagyis azok a páros számok, amelyek oszthatók 3-mal. -tel: Egy természetes szám pontosan akkor osztható -tel, ha a szám helyiértékes felbontásában a 10 hatványait a 3 hatványaira cserélve a kapott összeg osztható -tel. pl: 219 = 210 3 +110 2 +10 1 +910 0 23 3 +13 2 +3 1 +93 0 = +9+12+9 = 8, és a 8 osztható -tel, ezért a 219 = 30 is osztható -tel. 8-cal: Ha a szám végén lévő négyjegyű szám osztható 8-cal. 9-cel: Egy tízes számrendszerbeli szám akkor és csak akkor osztható 9-cel, ha a számjegyek összege osztható 9-cel. 11-gyel: Egy tízes számrendszerben felírt szám akkor és csak akkor osztható 11-gyel, ha a szám számjegyeit hátulról előrefelé haladva váltakozó előjellel összeadjuk, és az így kapott szám osztható 11-gyel. Legnagyobb közös osztó és legkisebb közös többszörös Legnagyobb közös osztó (lnko): két nem nulla egész szám közös osztói közül a lehetséges legnagyobb nem nulla pozitív egész, amely mindkét egész számot maradék nélkül osztja. Jele: ( ; ) Előállítása: A legnagyobb közös osztó megkereséséhez meg kell határozni az adott két szám prímtényezőit, azaz a számokat fel kell bontani prímszámok szorzatára, és azok a prímtényezők szerepelnek benne, amelyek kisebb kitevővel szerepelnek. Legkisebb közös többszörös (lkkt): azt a legkisebb pozitív egész számot értjük, amely az adott számok mindegyikével osztható. Jele: [ ; ] Előállítása: A legkisebb közös többszörös megkereséséhez meg kell határozni az adott két szám prímtényezőit, azaz a számokat fel kell bontani prímszámok szorzatára, és azok a prímtényezők szerepelnek benne, amelyek nagyobb kitevővel szerepelnek. Itt lehet egy kicsit gyakorolni. Műveletek törtekkel 1. Törtek összeadása (lépések) Egyszerűsítés, ha lehet [ugyanannak a törtnek a számlálóját és a nevezőjét ugyanazzal a számmal elosztjuk (nevező és a számláló lnko-ja)]. Közös nevező megkeresése [a nevezők lkkt-je]. Bővítjük a törteket [ugyanannak a törtnek a számlálóját és a nevezőjét ugyanazzal a számmal szorozzuk]. Leírjuk a közös nevezőt, majd a számlálókat összeadjuk: 2 2 1 1 1 9 36 3 3 21 21 21 21 Ha további segítségre van szüksége, vegye fel a honlapon szereplő tutorokkal a kapcsolatot 2
2. Törtek kivonása (lépések) Egyszerűsítés, ha lehet [ugyanannak a törtnek a számlálóját és a nevezőjét ugyanazzal a számmal elosztjuk (nevező és a számláló lnko-ja)]. Közös nevező megkeresése [a nevezők lkkt-je]. Bővítjük a törteket [ugyanannak a törtnek a számlálóját és a nevezőjét ugyanazzal a számmal szorozzuk]. Leírjuk a közös nevezőt, majd a számlálókat kivonjuk egymásból: 9 3 6 8 3 21 1 20 1 21 20 1 3. Törtek szorzása Törtet törttel úgy szorzok, hogy először egyszerűsítünk, ha lehetséges, majd a számlálót a számlálóval, a nevezőt a nevezővel szorzozzuk össze [ennél a műveletnél lehet keresztbe egyszerűsíteni, ha lehet]. 2 6 60 32 12 12. Törtek osztása Törtet törttel úgy osztunk, hogy először egyszerűsítünk, ha lehetséges, majd az osztandót szorzzuk az osztó reciprokával. [Egy tört reciprokán azt értem, hogy a számláló és a nevező egymással helyet cserél, {egyébként 1-et kell elosztani a tört számmal}]. 3 1 1 63 1 1 6 1 1 1 : : 60 12 6 12 2 1. Tört szorzása egész számmal Törtet egész számmal úgy szorzunk, hogy először egyszerűsítünk, ha lehetséges, majd a tört számlálóját szorozzuk az egész számmal, vagy a nevezőjét osztjuk az egész számmal. 3 3 60 21 6. Tört osztása egész számmal Törtet egész számmal úgy osztunk, hogy először egyszerűsítünk, ha lehetséges, majd a tört nevezőjét szorzzuk az egész számmal, vagy a számlálóját osztjuk az egész számmal. 9 9 9 :8 :8 3 8 6. Egész szám szorzása tört számmal Egész számot törttel úgy szorzunk, hogy először egyszerűsítünk, ha lehetséges, majd a számot megszorzzuk a számlálóval, majd osztjuk a nevezővel. 63 36 3 Ha további segítségre van szüksége, vegye fel a honlapon szereplő tutorokkal a kapcsolatot 3
8. Egész szám osztása tört számmal Egész számot törttel úgy osztunk, hogy először egyszerűsítünk, ha lehetséges, majd a számot megszorzzuk a tört reciprokával. 2 12 8 12 : 12 : 12 3 9. Műveletek vegyes törtekkel Ezeket a műveleteket úgy végezzük el, hogy először átalakítjuk a vegyes törteket tiszta törtekké, majd a műveletet végrehajtjuk. Hatványozás Definíció: Ha a tetszőleges valós szám, és n 1-nél nagyobb pozitív egész szám, akkor a n hatvány azt az n tényezős szorzatot jelenti, amelynek minden tényezője a. 1 Ha n=1, akkor a definíció szerint a = a Azonosságok: 1. a n a m =a n+m (azonos alapú hatványok szorzata: az alap a kitevők összegére emelve) 2. a n :a m =a n-m n>m (azonos alapú hatványok hányadosa: az alap a kitevők különbségére emelve) 3. (a n ) m =a n m (hatvány hatványa: az alap a kitevők szorzatára emelve). a n b n =(a b) n (azonos kitevőjű hatványok szorzata: az alapok szorzata a kitevőre emelve). a n :b n =(a:b) n (azonos kitevőjű hatványok hányadosa: az alapok hányadosa a kitevőre emelve) Összeadásra és kivonásra nincs hatványozási azonosság, mert a hatványozás a magasabb rendű művelet! A hatványozás azonosságainak alkalmazásához a következő ábra segít: A feladatot vizsgáljuk meg, hogy hol van azonos szám: - a karikák helyén => azonos kitevőjű hatványokkal - a négyszögek helyén => azonos alapú hatványokkal van dolgunk, és a csillag helyén lévő műveletet kell még figyelembe venni. pl.: 2 2 2 2 3 3 10 3 3 21 2 16 216 8 3 3 3 3 11 (11) 1 1 12 12 2 2 8 32 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3 3 1 10 28 2 3 3 3 3 3 3 3 3 6 3 6 6 1 2 9 2 23 3 3 3 3 81 3 3 3 3 3 28 3 31 3 1 Ha további segítségre van szüksége, vegye fel a honlapon szereplő tutorokkal a kapcsolatot
Számrendszerek Számrendszerek: Azoknak a jeleknek és elveknek az összessége, amelyek birtokában bármely számot fel lehet írni. A mindennapi életben a tízes számrendszert használjuk. A számrendszer alapszáma (alapja) az egy helyi értéken ábrázolható értékek számával egyenlő. Az alapszám bármely 1-nél nagyobb egész szám lehet. Pl.: A 10-es számrendszer alapja: 10 ábrázolható érték: 0, 1, 2, 3,,, 6,, 8, 9; a 8-as számrendszer alapja: 8 ábrázolható érték: 0, 1, 2, 3,,, 6,. Átírások 10-esre 16-osból: a helyi értékes számokat felírjuk összeg alakban, és kiszámoljuk az értékét. pl.: a tizenhatos számrendszerbeli szám: 1A0F 16 A 16-os számrendszerben 0, 1, 2, 3,,, 6,, 8, 9, A, B, C, D, E, F számjegyeket használjuk (A=10, B=11, C=12, D=13, E=1, F=1 felelnek meg) 16 16 3 16 2 16 1 16 0 1 A 0 F Decimális megfelelője:1*16 +10*16 3 +0*16 2 +1*16 1 +*16 0 =1060 kiszámoltuk a hatványok értékét, majd elvégeztük a szorzás és az összeadás műveletét. 10-esről hetesre: a számmal maradékos osztást hajtunk végre az új számrendszer alapszámával, és a nullától különböző maradékokat visszafelé felírjuk. pl.: 683 10 = 683 : = 669 669 : = 9 9 : = 13 13 : = 1 1 : = 0 0 6 1 683 10 = 160 Ha további segítségre van szüksége, vegye fel a honlapon szereplő tutorokkal a kapcsolatot