A N : {a 1,...,a N } E N : {e 1,...,e N } F N : {f 1,...,f N }

È Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò ÓÖÓÞ ØÓ Ö Ó Ó ØÓÖ È º ºµ ÖØ Þ Å Ö Ä ÞÐ Å Ø Ñ Ø Ó ØÓÖ Á ÓÐ Î Þ Ø Ä Þ ÓÚ Å Ð ÐÑ Ð Ø Å Ø Ñ Ø Ó ØÓÖ ÈÖÓ Ö Ñ Î Þ Ø ËÞò Ò Ö Ì Ñ Ú Þ Ø Ë Ö ÞÝ Ò Ö Ý Ø Ñ Ø Ò Ö ØÚ ÄÓÖ Ò ÌÙ ÓÑ ÒÝ Ý Ø Ñ Ì ÖÑ Þ ØØÙ ÓÑ ÒÝ Ã Ö Å Ø Ñ Ø ÁÒØ Þ Ø Ù Ô Ø ¾¼½¼º

Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ ½º Ú Þ Ø ½º½º Î Ð ØÐ Ò ÓÖÓÞ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º È Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò Ñ ÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º ÃÓÖ ÓÒ ØÖÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ð ÞÒ ÐØ Þ Þ ½¼ ¾º½º Ã Ö Ø Ö Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ¾º¾º Å Ò Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º È Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò Ò Ö ÓÖÓÞ ØÓ ÓÒ ØÖÙ Ú Ø Ø Ð ØØ ¾ º½º È Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò Ò Ö ÓÖÓÞ ØÓ ÓÒ ØÖÙ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ö Ø Ö Ø Ú Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º È Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò Ò Ö ÓÖÓÞ ØÓ ÐØ Ð ÒÓ ÓÒ ØÖÙ º º º º º º º ¾ º È Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò Ò Ö Ö Ó ¾ º½º È Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò Ò Ö Ö Ó ÓÒ ØÖÙ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ö Ø Ö Ø Ú Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º È Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò Ò Ö ÓÖÓÞ ØÓ Ö Ó ÐÐ ÔØ Ù Ö Ð ØØ º½º ÐÐ ÔØ Ù Ö Ö Ø Ö Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º È Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò ÓÖÓÞ ØÓ ÐÐ ÔØ Ù Ö Ð ØØ º º º º º º º º º º º ¼ º º È Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò Ö Ó ÐÐ ÔØ Ù Ö Ð ØØ º º º º º º º º º º º º º ¼ ¾

½º Þ Ø Ú Þ Ø ½º½º Î Ð ØÐ Ò ÓÖÓÞ ØÓ Î Ð ØÐ Ò Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ð ÐÑ Þ Ò ÞÔÓÒØ Þ Ö Ô Ø Ø Þ Ð Ò ¹ Ò Ö ÔØÓ Ö Ò ÒÙÑ Ö Ù Ò Ð Þ Òº Î Ð ØÐ Ò Ò Ö ÓÖÓÞ ØÓ Ð ÐÑ Þ Ö Ô Ð Î ÖÒ Ñ Ø ÔÙ Ø Ø Ó Ø Ä Ý Ò A N = {a 1,...,a N } {0, 1} N Þ Þ Ò Ø Ò Ö Ö ÞÓÐ Ð Ý Ò E N = {e 1,...,e N } {0, 1} N Ý Þ Þ Ò Ø Ó Þ Ú Ð Ñ Ý Þ Ó Þ Ú Ð ØÐ Ò ÓÖÓ¹ Þ Øº ÞÙØ Ò Þ A N Þ Ò Ø Ø Ø Ò ÒØ Ø Ø Ó Ø Ù Ý Ó Ý Ú Ð ØÐ Ò E N ÓÖÓÞ Ø Ñ Ð Ð Ð Ñ Ø ÓÞÞ Ù ÑÓ ÙÐÓ ¾ A N : {a 1,...,a N } E N : {e 1,...,e N } F N : {f 1,...,f N } Þ Þ Ò Ø Ø ÓÒÐ Ñ ÓÒ Ð Ø ÓÐÒ º À ÑÓ Ø Ø Ø Ó ØÓØØ F N Þ Ò Ø Þ Ù ÓÞÞ Ø Ò ÒØ Ú Ð ØÐ Ò ÓÖÓÞ ØÓØ Ú Þ Ô Ù Þ Ö Ø Þ Ò Ø Ø F N : {f 1,...,f N } E N : {e 1,...,e N } A N : {a 1,...,a N } ÒÒ Ø Ø Ó Ø Ð Ö Ò Þ Ð ÒÝ Ó Ý Ñ Ò Ø Ø Ó Ø Ñ Ò Ó¹ Ð Ý Þ Öò Ò Ú Ö Ø Ø º Ö Ø Ð Þ Ñ Ð ÒÝ Ó Ý Ø Ð Ø ÞØÓÒ ÓØ Ö ÒØ Ðº Þ Þ Ý Ú Ð ØÐ Ò ÓÖÓÞ ØÓØ Ý ØÐ Ò Þ Ò Ø Ø Ø Ó Ø Ö Þ¹ Ò ÐÙÒ ÓÖ ÞÓÒÝ Ø Ø Ó Ý Ø Ñ Ö ÓÖÖ Ø Ð ØÐ Ò Ð Ò Ñ Ô ÑÑ ÐÝ Ò Ò ÓÖÑ Ø Ñ ØÙ Ò Ö Ø Ð Þ ØØ Þ Ò ØÖ Ðº Ø Ø Ó Ø Ö Ò Þ ÖÒ Þ Ò Ö ØÙÐ ÓÒ Ø ÞÒ ÐÚ Ñ Ó Ú Ð ¹ ÓÖ ÓÖ Ð ØØ Ð Þ Ö Ø ØØ Ð Ð ÐÑ ÞØ Þغ È Ð ÙÐ Ï Ò ØÓÒ ÅÓ Þ Ú Þ ØØ ÓÖÖ Ö ØÓØ ½ ¹Ø Ð ÞÞ Ð Ø Ø Ó Ø Ð Ú Ø º

Ö Ò Þ Ö ØÖ ÒÝ Ó Ý Ñ Ú Ò Ú Ð ØÐ Ò ÓÖÓÞ ØØ Ð Ó Ý Ó Þ Ñ ¹ Ý ÞÞ Ò Þ Þ Ò Ø Ó Þ Ú Ðº Þ Ô Ñ Ò Þ Ø ÙÐ Ó Þ ØÓ ÞØ Ø ¹ Þ Ð Øº ÒÒ Ö Ò Ó Ý Ø Ø Ó Ø Ø Ø ÓÒÝ Ø Ý Ú Ð Ú Ð ØÐ Ò ÓÖÓÞ Ø ÐÝ ØØ Ô Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò ÓÖÓÞ ØÓØ ÞÒ Ð ØÙÒ Ñ ÐÝ Ý Ú Ð Ñ Ú Ð Ö Ú Ú Ð ØÐ Ò ÓÖÓÞ Ø Ð Þ Ðº ÈÓÒØÓ Ò ½º Ò º Ô Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò Þ Ñ Ò Ö ØÓÖ Ý ÓÐÝ Ò Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù Ð Ó¹ Ö ØÑÙ Ñ ÐÝ Ý ÓØØ k Ó Þ Ú Ð Ú Ð ØÐ Ò ÓÖÓÞ Ø Ð Ý k¹ò Ð Ó Þ Ô Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò ÓÖÓÞ ØÓØ Ò Ö Ðº ÀÓ Ý Ø Ø Ó Ø ÞØÓÒ Ò Ò Ò Ñ Ú Ø Ð Ó Ý Þ Ý Ð Ý Ö¹ ØÓØØ Ô Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò ÓÖÓÞ ØÓØ Ò Ð Ò Ñ Ð Ò ÞØ ØÒ Ý Ú Ð Ú Ð ØÐ Ò Ó¹ ÖÓÞ ØØ Ðº È Ö Þ ÞØ Ñ Ö ÐØ Ø Ð Ò Ð Ð Ò Ñ ØÙ Ù Ö ÒØ ÐÒ Ý ÞÓÒÝÓ Ñ ÓÒ ÓÖÐ ØÓÞÞÙ Ø Ñ Øº Ì ÖÑ Þ Ø ÐØ Ø Ð Ó Ý Ñ Ú Ø Ð Ó Ý Ø Ñ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Ö ÓÖÖ Ð Ö Ò Ð ÞÞ Òº ¾º Ò º Ý Ô Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò Ø Ò Ö ØÓÖ Ð Ø Ú Ø Þ ¹ Ø Ø ÞØ Ø Ò Ñ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò ÔÓÐ ÒÓÑ Ð ò Ð ÓÖ ÑÙ Ñ ÐÝÒ Ø Ú Ð Ñ Ð ØÒ ÓÐÒ Þ ÓÙØÔÙØ ÓÖÓÞ Ø Ð l Ø Ð Þ (l + 1)¹ Ø ½»¾¹Ò Ð Ð ÒÝ Ò Ò ÝÓ Ú Ð Þ Òò к Ò Ò Ø ÒÝÓ Ú Òº È Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò ÓÖÓÞ ØÓØ Ò Ñ Ô Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò Ò Ö ØÓÖØ Ò Ðº Þ Ð ÐÑ Þ Ó Ò Ñ ÓÖ Ý ÓØØ N Ó Þ ÓÖÓÞ ØØ Ð ÓÐ ÓÞÙÒ Ò Ñ ØÙ Ù Ð ÒØ Ò Ó Ý Ú Ð ØÐ ÒÒ Ø ÒØ ¹ ÞØ Ú Ý Ò º Å Ö ÞÖ Ð ÒÒ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý Ò Ñ Ð Ø Þ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Ð ÓÖ ØÑÙ Þ ÒØ Ð Ø ØÐ Òº Ý Ò Ý ÓÖÐ Ø Ò Ð ÐÑ Þ Ø ØÐ Òº Ý Ñ Ð ÐÑ Þ ¹ÓÖ ÒØ ÐØ Ñ Þ Ð Ø Ð Ò Ö ÓÑÔÐ Ü Ø º Ò º Ý E N ÓÖÓÞ Ø L(E N ) Ð Ò Ö ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ð Ò Ö Ø Ö Ø Ö Ð Ò Ö Ö ÙÖÞ F 2 Ð Øص Ó Þ Ñ Ò Ö Ð Þ Þ ÓÖÓÞ ¹ ØÓغ Î Ð Ú Ð ØÐ Ò E N ÓÖÓÞ ØÓ Ø Ò L(E N ) N º Ì Ø Ý Ô Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò 2 ÓÖÓÞ ØØ Ð Ñ ÐÐ Ú Ø ÐÒ Ó Ý Ò Ý Ð Ý Ò Ð Ò Ö ÓÑÔÐ Ü Ø º ÞÓÒ Ò Þ ÓÖ ÒØ Ñ Ð ÐØ Ø Ðº ÌÓÚ ØÖ ÒÝ Ó Ý Ý ÓÖÓÞ Ø Ð Ò Ö ÓÑÔÐ Ü Ø Ø ÔÖ ÓÖ Ø ÞØ ÒØ Ô Ð Ø Ò Ð Ø Ð ÐÑ ÞÒ º Ý ÓÖÐ Ø Ò ÐØ Ð ÒÓ ÓÖÓÞ ØÓ Ð Ò Ö ÓÑÔÐ Ü Ø Ø ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÒØ Ð Ð ÖÐ ÑÔ¹Å Ý Ð ÓÖ ØÑÙ ¾ µ Ñ Þ Ò¹ Ø Ò ÐÚ Ø Ð ÐÑ Þ Ø Ö Ø º Ó Ý Ð Ö Ò Ø Ù Ô Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò Ò º Þ Ò Ø Ð ÐÚ Ö Ù Ó Ý Ø ÞØ Ð Ø Ð Ý Ò ÓÖÓÞ ØÓ Ý Ð Ò Ý Ð Ö

½º¾º È Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò Ñ ÖØ ½ ¹ Ò Å Ù Ù Ø Ë Ö ÞÝ Ô Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò Ñ ÖØ Ø Ú Þ ØØ ½ º Ñ ÖØ Ò Ð Ò Ð Ú Ð ØÐ Ò ÓÖÓÞ ØÓ Ð ÓÒØÓ ØÙÐ ÓÒ Ø Ú ØØ Ð ÔÙÐ Þ ÑØ Ò ÓÖÓÞ ØÓ Ñ ÒØ Ò Ý ÒÐ Ø ÐÓ ÞÐ Û Ðй ØÖ ÙØ ÓÒµ ÙØÓ ÓÖÖ Ð ÓÖÖ Ð Ø ÓÒµ ÒÓÖÑ Ð Ø ÒÓÖÑ Ð Øݵº ÓØØ E N = {e 1,...,e N } {+1, 1} N Ò Ö ÓÖÓÞ Ø Ø Ò ÒØ ØÙÐ ÓÒ ¹ Ó Ñ Ö Ö Ú Ø Þ Ñ ÖØ Ø Ú Þ ØØ º Ò º Þ E N ÓÖÓÞ Ø ÐÓ ÞÐ Ñ ÖØ W(E N ) = max U(E t 1 N, a, b, t) = max e a+jb, a,b,t a,b,t ÓÐ Ñ Ü ÑÙÑ ÓÐÝ Ò a, b, t N Þ ÑÓ Ö ÙØ Ñ ÐÝ Ö 1 a a + (t 1)b Nº Þ E N ÓÖÓÞ Ø l¹ Ö Ò ò ÓÖÖ Ð Ñ ÖØ C l (E N ) = max V (E M N, M, D) = max e M,D M,D n+d1 e n+d2...e n+dl, ÓÐ Ñ Ü ÑÙÑ ÓÐÝ Ò D = (d 1,..., d l ) l¹ Ò M N Þ ÑÓ ÓÒ ÙØ Ñ ÐÝ Ö d 1 < d 2 < < d l M + d l Nº Þ E N ÓÖÓÞ Ø l¹ Ö Ò ò ÒÓÖÑ Ð Ø Ñ ÖØ N l (E N ) = max T(E N, M, X) M, 2 l max X {+1, 1} l 0<M N+1 l n=1 j=0 ÓÐ T(E, M, X) = {n : 0 n < M, (e n+1,...,e n+l ) = X}. Å Ý ÞÞ ÞÓÒ Ò Ó Ý ÓÖÖ Ð ÒÓÖÑ Ð Ø Ñ ÖØ Þ ØØ Ö Þ Ú Ò Ý ÐØ Ð Ò Ð Þ ÐÓ ÞÐ ÓÖÖ Ð Ñ ÖØ Ø Ú Þ ÐÒ ½º Ø Ø Ð Å Ù Ù Ø Ë Ö ÞÝ ½ µº Å Ò Ò N, E N l < N Ø Ò Ø Ð Ðº N l max 1 t l C t(e N )

Ý E N ÓÖÓÞ ØÓØ Ô Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ ÒÒ Ø ÒØ Ø Ò Ñ Ò Þ ÐÓ ÞÐ Ñ Ò ÓÖÖ Ð Ñ ÖØ Ð Ð l¹ö µ N Ú ÒÝ Ò Ú Ò ØÓ Ò Ñ Ò ØØ o(n) N µº ÞØ Ø ÖÑ ÒÓÐ Ø Ø Ñ ÞØ Ð Ú Ø Þ Ø Ø Ð ¾º Ø Ø Ð ÐÓÒ ÃÓ Ý Ú Å Ù Ù Ø ÅÓÖ Ö Ê Ð ½ µº Å Ò Ò ε 1 > 0 Þ Ñ ÓÞ Ð Ø Þ N 0 (ε 1 ) δ > 0 Ó Ý N > N 0 Ø Ò 1 ε 1 ¹Ò Ð Ò ÝÓ Ú Ð Þ Òò к δ N < W(E N ) < 1 δ N À ÓÒÐ Ò Ñ Ò Ò ε 2 > 0 Þ Ñ ÓÞ Ð Ø Þ N 0 (ε 2 ) Ó Ý N > N 0 Ø Ò 2 N log 5 1 ε 2 ¹Ò Ð Ò ÝÓ Ú Ð Þ Òò к ( ) N < C l (E N ) < 7 N log l 4 ( ) N l Ø Ø Ð Ð Ô Ò Ø Ø Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ò Ð Ø Ù Ô Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò ÓÖÓ¹ Þ ØÓ Ø º Ò º Ý E N { 1, +1} N ÓÖÓÞ Ø Ô Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò ØÙÐ ÓÒ Ó Ð Ö Ò¹ Ð Þ W(E N ) = N 1/2 (log N) O(1), ÐÐ ØÚ C l (E N ) = N 1/2 (log N) O l(1) Ð Ð l ÖØ Ö º ½º º ÃÓÖ ÓÒ ØÖÙ Ê Ø Ñ ÖØ Ó Ý Ä Ò Ö Þ Ñ ÐÙÑ Ö Ô Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò ØÙÐ ÓÒ Ó Ð Ö Ò Ð Þ º Å Ù Ù Ø Ë Ö ÞÝ ½ Ô Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò Ñ ÖØ Ø Ú Ð Ú ÒØ Ø Ø Ú Ñ ÓÒ ÐÐ ÑÞØ Ä Ò Ö Þ Ñ ÐÙÑÓغ Æ Ú Þ Ø Ò Ä Ò Ö Þ Ñ ÐÙÑ Ø Ú Ð Ò ÐØ Þ Ò Ø Ð Ø ÓÖÓÞ ØÓØ ½º ÓÒ ØÖÙ Å Ù Ù Ø Ë Ö Þݵº Ä Ý Ò p Ý ÔÖ Ñ Þ Ñ Ò Ð Ù Þ E p 1 = {e 1,...,e p 1 } ÓÖÓÞ ØÓØ Ú Ø Þ ÔÔ Ò ( ÓÐ p ) Ä Ò Ö Þ Ñ ÐÙѺ e n = ( ) n, p

Å Ù Ù Ø Ë Ö ÓÞÝ ÞÓÒÝ ØÓØØ Ó Ý Þ Ý ÓÒ ØÖÙ ÐØ ÓÖÓÞ ØÖ W(E N ) N 1/2 log N, ÐÐ ØÚ C l (E N ) ln 1/2 log N. Å Ú Ð Ð ÐÑ Þ Ó Ò Ò Ñ Ý ÓÖÓÞ ØÖ Ò Ñ ÓÖÓÞ ØÓ Ý Ò Ý Ð Ö Ú Ò Þ ÓÙ Ò Å Ù Ù Ø Ë Ö ÞÝ Ú Þ ÐØ Ñ ÐÝ Ò Ñ ÓÒ Ð Ø Þ ½ ÓÒ ØÖÙ Ø Ø Ö ÞØ Ò º ÞØ Ø Ð ÐØ Ó Ý ÓÖÓÞ Ø n¹ Ø Ò Ð Þ n¹ Ø Ð Ö Ð Ý Ð ÐÑ ÔÓÐ ÒÓÑ n ÐÝ Ò ÐÚ ØØ ÖØ Ö ÓÖ ØÓÚ Ö Ô Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò ØÙÐ ÓÒ Ó Ð Ö Ò Ð Þ ÓÖÓÞ ØÓØ ÔÒ º ÈÓÒØÓ Ò ¾º ÓÒ ØÖÙ ÓÙ Ò Å Ù Ù Ø Ë Ö Þݵº Ä Ý Ò p Ý ÔÖ Ñ Þ Ñ f F p [x] Ò Ð Ù Þ E p = {e 1,...,e p } ÓÖÓÞ ØÓØ Ú Ø Þ ÔÔ Ò ( ) f(n), p f(n), p e n = 1, p f(n), ( ) ÓÐ Ä Ò Ö Þ Ñ ÐÙѺ p ÞÓÒÝ ØÓØØ Ó Ý Þ f ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Ø ÞÓÒÝÓ ÒÒÝ Ò ÐÐ Ò Ö Þ Ø µ ØÙÐ ÓÒ Ó Ø ÓÖ W(E p ) deg fp 1/2 log p, ÐÐ ØÚ C l (E p ) l deg fp 1/2 log p. Þ Ñ Ø Ô Þ Ñ ÐÑ Ð Ø Ò Þ Ð Ö Ò ÞÒ Ð Þ Ò Ü Þ Ö Ø ÐÓ ¹ Ö ØÑÙ µ Ó ÐÑ Øº Þ Ò Ü Ö Ô Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò ØÙÐ ÓÒ Ø ÞÒ ÐØ Ý Ö¹ Ñ Ø ½¼ Ë Ö ÞÝ Ö Ñ ÒÝ Ø Ø Ö ÞØÚ ¾ µ Ó Ý Ô Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò ÓÖÓÞ ØÓ Ø Ò Ð ÓÒ º ÓÒ ØÖÙ Ý ÖÑ Ø µº Ä Ý Ò p Ý ÔÖ Ñ Þ Ñ f F p [x] g ÔÖ Ñ Ø Ú Ý ÑÙ ÙÐÓ p Ð Ý Ò ind g Ð Ô Ò Ü Þ Ö Ø ÐÓ Ö ØÑÙ µ ÑÓ ÙÐÓ pº Ò Ð Ù Þ E p = {e 1,...,e p } ÓÖÓÞ ØÓØ Ú Ø Þ ÔÔ Ò { +1, p f(n) 1 ind f(n) < p/2, e n = 1, Ñ Ð Ò Ò. Ý ÖÑ Ø ÞÓÒÝ ØÓØØ Ó Ý Þ f ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Ø ÞÓÒÝÓ ÐØ Ø Ð Ø ÓÖ W(E p ) deg fp 1/2 (log p) 2, ÐÐ ØÚ C l (E p ) 4 l deg fp 1/2 (log p) l+1. ÇÓÒ Ú Þ ÐØ ¾ ÓÒ ØÖÙ Ý Þ ÐØ Ð ÒÓ Ø Ø Ú ÓÐØ º ÓÒ ØÖÙ º Ä Ý Ò p Ý ÔÖ Ñ Þ Ñ f F p [x] χ ÑÙÐØÔÐ Ø Ú Ö Ø Ö ÑÙ ÙÐÓ pº Ò Ð Ù Þ E p = {e 1,...,e p } ÓÖÓÞ ØÓØ Ú Ø Þ ÔÔ Ò { ( ) +1, p f(n) arg χ(f(n)) [0, π), e n = 1, Ñ Ð Ò Ò, ÓÐ arg(z) ÓÑÔÐ Ü z Þ Ñ Ö ÙÑ ÒØÙÑ Ø Ð Ð º

Î Ð Ó Ó Ý χ Ú Ö Ø Ù Ö Ø Ö ÓÖ Ð ÒÝ Ò Ñ Ô Ù ¾ ÓÒ ØÖ٠غ Å Ö ÞÖ Ð χ Ö Ø ÖØ Ý Ú Ð ÞØ Ù Ó Ý χ(g) = e 2πi p 1 ÓÖ ÓÒ ØÖÙ Ø Ô Ù º ÇÓÒ ¾ ÞÓÒÝ ØÓØØ Ó Ý Ö Ø Ö d Ö Ò Ò Ý d = Ω(p 1/2 )µ ÓÖ Ô Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò ØÙÐ ÓÒ Ó Ð Ö Ò Ð Þ ÓÖÓÞ ØÓØ ÔÙÒ W(E p ) deg fp 1/2 (log p) 2 + p d, ÐÐ ØÚ C l(e p ) l deg fp 1/2 (log 8p) l+1 + 4l p d l. Ë ÒÓ ÞÓÒÝ Ø Ò Ñ Ð Ö Ø Ø Ò Ú Þ Ø Ò Ñ ÓÖ Ö Ø Ö Ö Ò d = o(p 1/2 )µº Þ Ð ÓÖÓÐØ ÓÒ ØÖÙ Ô Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò ØÙÐ ÓÒ Ð Ö Ò Ð ÞÒ Ð Þ Ñ ØÚ Ø Ð Ò ÓÒ ØÖÙ ÞÓÒÝÓ Ø Øµ ÞÓÒ Ò Þ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ù ÓÑÓÐÝ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ó ÓÞ Øº Þ ÖØ Ú Ø Þ Ð Ð Þ ÑÓÐ Ø ÓÒ ØÖÙ Ñ ¹ Ø Ð Ð ÚÓÐØ ØÐ Þ Ö Ô Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò Ý Ò Ø Ö Ò º Å Ù Ù Ø Ê Ú Ø Ë Ö ÞÝ ½ Ð Þ Ö Ø Ð Ò Ð Ý Þ Öò Ò Þ ÑÓÐ Ø ÓÒ Ø¹ ÖÙ Ø Ú Þ ÐØ º ÓÒ ØÖÙ Å Ù Ù Ø Ê Ú Ø Ë Ö Þݵº Ä Ý Ò p Ý ÔÖ Ñ Þ Ñ f F p [x]º Ò Ð Ù Þ E p = {e 1,...,e p } ÓÖÓÞ ØÓØ Ú Ø Þ ÔÔ Ò { +1, f(n) {1, 2,..., p 1 2 e n = } 1, Ñ Ð Ò Ò. Å Ù Ù Ø Ê Ú Ø Ë Ö ÞÝ ½ ÞÓÒÝ ØÓØØ Ó Ý ÓÒ ØÖÙ Ö Ñ ¹ ÞÓÖ Ø Ó Ð ÑÓÒ Ø Ô Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ ÒÒ W(E p ) deg fp 1/2 log p, ÐÐ ØÚ C l (E p ) deg fp 1/2 (log p) l+1, ÐØ Ú Ó Ý ÓÖÖ Ð Ö Ò l < deg fº Å ÑÙØ ØØ Ó Ý Þ ÐØ Ø Ð Ò Ñ Ø Ð Ð Þ Þ l deg fµ ÓÖ C l (E p ) pº Ã Å Ù Ù Ø Ë Ö ÞÝ ¾¼ Ñ ÑÙØ ØØ Ó Ý Þ ÓÒ ØÖÙ Ò ÔÓ¹ Ð ÒÓÑ ÐÝ ØØ ÒÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÒÚ ÖÞ Ú Ð Þ ÑÓÐÙÒ Ð Ö Ð Ø ÒØ Ó ¹ Þ ÑÖ ÚÓÒ Ø ÓÞ Ö ÐØ Ø Ðغ Þ E N = {e 1,..., e p } ÓÖÓÞ ØÓØ Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ò ÐØ º ÓÒ ØÖÙ Å Ù Ù Ø Ë Ö Þݵº Ä Ý Ò p Ý ÔÖ Ñ Þ Ñ f F p [x]º ¹ Ò Ð Ù Þ E p = {e 1,..., e p } ÓÖÓÞ ØÓØ Ú Ø Þ ÔÔ Ò { +1, f(n) 0 f(n) 1 {1, 2,..., p 1 2 e n = } 1, Ñ Ð Ò Ò, ÓÐ a 1 a 0µ Þ a F p Ð Ñ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÒÚ ÖÞ Ø Ð Ð º

Å Ù Ù Ø Ë Ö ÞÝ ¾¼ Ñ ÑÙØ ØØ Ó Ý f Ð Ø ÞÓÒÝÓ ØÙÐ ÓÒ Ó¹ Ø ÓÖ Þ Ý Ò ÐØ ÓÖÓÞ Ø Ô Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò ØÙÐ ÓÒ Ó Ð Ö Ò Ð Þ W(E p ) deg fp 1/2 (log p) 2, ÐÐ ØÚ C l (E p ) l deg fp 1/2 (log p) l+1.

¾º Þ Ø Ð ÞÒ ÐØ Þ Þ Þ Ø Ò Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø ÓÞ Ð ÞÒ ÐØ Þ Þ Ø Ó Ð ÐÓÑ Þ º ¾º½º Ã Ö Ø Ö Þ Ô Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò Ñ ÖØ Ð Ð Ò Þ Ò ÑØ Ð Ö Ø Ö Þ Ð Ö Ú Þ Ø Ø Ú Þ Þ ÖØ Ð Þ Ö Þ Ó Ð ÐÓÑ Ú Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ö Þ Ð Øº Þ Ø ÓÐÝ Ñ Ò Ú Ø Þ Ð Ð Ø Ó Ù ÞÒ ÐÒ F q Ý p Ö Ø Ö ÞØ Ú Ø Ø F(x), Q(x) F q (x) Ö ÓÒ Ð Ø ÖØ Ú ÒÝ deg f(x) g(x) deg f(x) g(x) = deg f(x) + deg g(x) = deg f(x) deg g(x) S F(x) Q(x) Ô ÐÙ Ò Q Ý Ò ÐÑ Þ ψ Ø Ú χ, γ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ö Ø Ö F q ¹Ò ψ 0 χ 0 Ö Ø Ö e(α) = e 2πiα ÐÐ ØÚ e m (a) = e(a/m)º º Ò º Ì ÒØ Ú Ø Þ Ö Ö Ø Ö Þ Ø S(ψ, F; χ, Q) = n S ψ (F(n)) χ (Q(n)). ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý S(ψ, F; χ, Q) Ð ÙÐ F(x) = G p (x) G(x) + b Ú Ð Ñ ÐÝ b F q Ð ÑÖ G(x) F q (x) Ö ÓÒ Ð Ø ÖØ Ú ÒÝÖ Q(x) = ch d (x) Ú Ð Ñ ÐÝ c F q Ð ÑÖ H(x) F q (x) Ö ÓÒ Ð Ø ÖØ Ú ÒÝÖ º ½¼

À Þ S(ψ, F; χ, Q) Ö Ø Ö Þ Ð ÙÐ ÓÖ Þ Þ Þ Ø ½ Ý Þ Þ Ø ØÖ Ú Ð Ñ ÓÒ ØÙ Ù ÐÒ º Å Ö ÞÖ Ð È Ö Ð³ÑÙØ Ö ÞÓÒÝ ¹ ØÓØØ Ó Ý S(ψ, F; χ, Q) Ò Ñ Ð ÙÐ ÓÖ Ñ Ö Ð Ø Þ Þ Ø Ò ÑØÖ Ú Ð Ñ ÓÒ ÐÒ º Ø Ø Ð È Ö Ð³ÑÙØ Ö ¾ µº Ä Ý Ò F q p Ö Ø Ö ÞØ Ú Ø Ø ψ ψ 0 Ø Ú χ χ 0 d¹ Ö Ò ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ö Ø Ö F q ¹Ò º Ä Ý Ò F(x) = f(x) g(x), Q(x) = q(x) r(x) F q(x) Ö ÓÒ Ð Ø ÖØ Ú ÒÝ º Ì Ý Ð Ó Ý Þ S(ψ, F; χ, Q) Ò Ñ Ð ÙÐ Ú Ø Þ ÐØ Ø Ð Ø Ð ÐÒ ½º À F = f g λ 1 1...gλr r Ø Ò p deg F º ¾º À Q = qn 1 1...qnu u r m 1 1...rv mv ÓÖ p λ i ÓÐ λ i > 0 i = 1,...,r Ø Ò deg F > 0 ÓÖ 0 < n i < d 0 < m i < d Ñ Ò Ò i¹ö º ÓÖ ÓÐ ψ(f(n))χ(q(n)) ( d 1 + d 2 2 ) q 1/2 + d 1 + d 2 + 1 n S d 1 = max{deg f, deg g} + s + λ, d 2 = z + µ ¾º½µ s g Ð Ò Þ Ý Ò Þ Ñ Ø Ð Ð λ = 0 deg g deg f λ = 1 Ñ ¹ Ð Ò Ò z q r Ð Ò Þ Ý Ò Þ Ñ Ú Ð µ = 0 d deg Q µ = 1 Ñ Ð Ò Òº Ø Ø Ð Ø Ú Ð Ø Ò Ñ ØÖ Ú Ð ÓÖÐ Ø Ò Ñ Ø Ð Ö Ø Ö Þ Ö º º Ø Ø Ð Å µº Ä Ý Ò p ÔÖ Ñ Þ Ñ ψ ψ 0 Ø Ú χ χ 0 d¹ Ö Ò ò ÑÙй Ø ÔÐ Ø Ú Ö Ø Ö F p ¹Ò º Ä Ý Ò ØÓÚ F = f Q = q Ò Ñ ÒÙÐÐ Ö ÓÒ Ð g r Ø ÖØ Ú ÒÝ º Ì Ý Ð ØÓÚ Ó Ý g(x) f(x) ¾º¾µ Ú Ý Q(x) bb d (x) ÖÑ ÐÝ b F p B(x) F p (x) Ø Òº ¾º µ À 1 N < p ÓÖ ψ(f(n))χ(q(n)) 9 ( max{deg f, deg g} + s + z ) p 1/2 log p, 0 n<n n S ¾º µ ÓÐ s g z q r Ð Ò Þ Ý Ò Þ Ñ º ½½

ÞÓÒÝ Ø º À ¾º µ ÐØ Ø Ð Ø Ð Ð ¾º¾µ ÐØ Ø Ð Ò Ñ ÓÖ Ò Ñ Ø Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ö Ø Ö Þ Ð Ø Ô Ù Ð º ½ µº Ì ÒØ ÑÓ Ø ÞØ Þ Ø Ø Ñ ÓÖ ¾º¾µ ÐØ Ø Ð Ø Ð Ðº ÞÓÒÝ Ø Ó¹ Ö Ò ÐØ Ø Ó Ý Þ f, g, r, q ÔÓÐ ÒÓÑÓ p¹ò Ð Ó Ð Ò Ò Ø Ø Ð ÑÑ ØÑÓÒ µº Å Ú Ð ψ Ö Ø Ö Ò Ñ Ö Ø Ö Þ ÖØ Þ Ø Ú Ö Ø Ö Ð ÔÚ Ø ØÙÐ ¹ ÓÒ Ð Ú Ø Þ Ó Ý N 1 r=0 1 p 1 p u=0 ψ(u(n r)) = { 1 0 n < N 0 Ñ Ð Ò Òº  РР¾º µ¹ Ò Þ Ö ÔÐ Þ Ø S N ¹Ò к ÓÖ S N = N 1 ψ(f(n))χ(q(n)) n S = 1 p = 1 p p 1 u=0 p 1 + N p u=1 ( N 1 r=0 ( N 1 r=0 r=0 p 1 1 p u=0 ψ(u(n r)) = )( ) ψ( ur) ψ(f(n) + un)χ(q(n)) = n S )( ) ψ( ur) ψ(f(n) + un)χ(q(n)) + n S ψ(f(n))χ(q(n)), n S ÓÒÒ Ò S N 1 p 1 N 1 ψ(ur) ψ(f(n) + un)χ(q(n)) p + u=1 r=0 n S + N ψ(f(n))χ(q(n)) p. ¾º µ Ê Þ Ø ØØ u Ø Ò Ð Ý Ò n S F u (x) = F(x) + ux = f(x) g(x) + ux. ÒÒ Ö Ò Ó Ý Ñ ÑÙØ Ù Ó Ý Þ F u (x) Ö ÓÒ Ð Ø ÖØ Ú ÒÝ Ð ¹ Ø Ø Ø Ð ÐØ Ø Ð Ø Ð Ò Ñ ÑÙØ ØÒ Ó Ý F u (x) Ò Ñ Ö Ø A(x) p A(x) Ð ÓÐ A(x) F p (x)º ÔÓÐ ÒÓÑÓ Ó Ý ÁÒ Ö Ø Ø Ý Ð Ó Ý Ð Ø ÞÒ k(x), l(x) F p [x] (k(x), l(x)) = 1 ¾º µ F u (x) = ( ) p k(x) k(x) l(x) l(x). ½¾ ¾º µ

Ò Ú Þ Ð Ð ÞÓÖÓÞÚ Ô Ù Ó Ý l p (x)(f(x) + uxg(x)) = (k p 1 (x) l p 1 (x))k(x)g(x) ÓÒÒ Ò ¾º µ Ñ ØØ l p (x) g(x). Å Ú Ð deg g < p Þ l(x) ÔÓÐ ÒÓÑ Ý ÓÒ Ø Ò ÔÓÐ ÒÓѺ Ì Ø f(x) + uxg(x) = (αk p (x) + βk(x))g(x), ÐÐ ØÚ f(x) = (αk p (x) + βk(x) ux)g(x), Ú Ð Ñ ÐÝ α, β F p αβ 0 ÖØ Ö º Å Ú Ð g(x) f(x) deg(αk p (x) + βk(x) ux) p ÞØ Ô Ù Ó Ý ¾º µ Ò Ñ Ø Ð Ð Øº Å Ú Ð F(x) + ux F(x) Q(x) Ð Ø Ø Ø Ð ÐØ Ø Ð Ø Ð ÐÑ Þ Ø Ù Ø Ø ÐØ ¾º µ¹ Ð Ö Ø Ö Þ Ö ( S N 1 p 1 ) N 1 ψ(ur) p + N u=1 r=0 2 ( max{deg f, deg g} + s + z ) p 1/2. ÓÒÒ Ò Ú ÒØ Ð Ú Ø Þ p 1 N 1 ψ(ur) < 4 p log p + 0.38p + 0.64. π u=0 r=0 Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Ð ÞÒ ÐÚ ½º Ø Ø Ð µº Ú Ø Þ Ø Ø Ð ÐØ Ð ÒÓ Ú Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ö Þ Ö Ò ÑØÖ Ú Ð ÓÖÐ ØÓغ º Ø Ø Ð Ï ÒØ Ö Ó ¾ µº Ä Ý Ò p ÔÖ Ñ q = p n χ d¹ Ö Ò ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ö Ø Ö F q ¹Ò f(x) F q [x] Ò Ñ ÓÒ Ø Ò ÔÓÐ ÒÓÑ Ñ ÐÝ Ò Ñ d¹ ØÚ ÒÝ Ñ Ðݹ Ò m Ð Ò Þ Ý Ú Ò Ð ÓÒØ Ø Ø Òº v 1,...,v n F q F q Ý F p Ð ØØ Þ t 1,...,t n N ÓÐÝ Ò Þ Ñ ÐÝÖ 0 < t 1,..., t n º Ä Ý Ò { n } B = a i v i : 0 a i t i, i = 1,..., n ÓÖ i=1 χ(f(x)) < mq1/2 (1 + log p) n. x B ½

Þ Ð Ø Ð ÑÑ Ø Ú Ð ÓÖÓÞ Ø Ø Ø ØÙ Ù Ñ Ð ÖÒ Ö Ø Ö Ð Ò Ö ÓÑ Ò ÒØ º Ð ÑÑ º Ä Ý Ò χ d¹ Ö Ò ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ö Ø Ö F p ¹Ò n 0º ÓÖ 2 1 γ(g)d/2 d 1 γ(g) γ d =χ 0 γ(n) = { +1 arg ( χ (n) ) [0, π) 1 Ñ Ð Ò Ò, ¾º µ ÓÐ γ ÙØ ÞÓÒ Ò ÑØÖ Ú Ð Ö Ø Ö Ò Ñ ÐÝÒ d¹ ØÚ ÒÝ Ö Ø Ö g Þ Ò Ö ØÓÖ Ñ ÐÝÖ χ(g) = e(1/d)º ÞÓÒÝ Ø º  РРr m (c) c Ð Ò Ñ Ò Ø Ú Ñ Ö Ø ÑÓ ÙÐÓ mº ÓÖ n 0 ÓÖ χ(n) = χ(g indn ) = χ(g) ind n, ÓÐ ind g Ð Ô Þ Ö Ø ÐÓ Ö ØÑÙ º ÓÖ arg ( χ (n) ) [0, π) r d (ind f(ng)) < d 2. Ð ÞÒ ÐÚ Þ 1 p 1 { 1 a = 1 γ(a) = 0 Ñ Ð Ò Ò γ Þ Ø ÞØ Ô Ù Ó Ý ¾º µ Ó ÓÐ Ð 2 0 k<p 1 r d (k)<d/2 g k =f(ng) = 2 1 p 1 Å ÓÖ γ = χ 0 ÓÖ 1 1 = 2 1 p 1 γ γ(n) À ÓÒÐ Ò γ d χ 0 ÓÖ γ p 1 d 1 i=0 γ(g d ) i p 1 2 1 d 1 p 1 i=0 p 1 d 1 i=0 Î Ð γ d = χ 0 γ χ 0 µ ÓÖ p 1 d 1 i=0 0 k<d/2 0 k<d/2 γ(g d ) i = 0. 0 k<d/2 γ(n)γ(g k+id ) 1 γ(g) k 1. 1 = 1. p 1 d 1 i=0 γ(g d ) i = p 1 d. ½

Î Ð Þ ÐÐ Ø Ú Ø Þ Þ Ðº 0 k<d/2 γ(g) k = 1 γ(g) d 2 1 γ(g) Þ Ð Ð ÑÑ Ø Ú Ò ÐÓ ÓÒ º Ð ÑÑ º Ä Ý Ò m Nº ÓÖ 1 m [m/2]<k [m/2] v m (k)e m (ak) = ÓÐ v m (k) Ý m Þ Ö ÒØ Ô Ö Ó Ù Ú ÒÝ Ñ ÐÝÖ { +1 π 2 m(a)) < π 2 1 Ñ Ð Ò Ò v m (0) = 1, m Ô Ö ØÐ Ò ÓÖ ( ) v m (k) = i k 1 + i ( 1)k cos(πk/m), 1 k < m/2, sin(πk/m) m Ô ÖÓ ÓÖ ¼ v m (k) = ( ) i k 2 2i cos(kπ/m) ÌÓÚ Ñ Ò Ø Ø Ò sin(kπ/m) k Ô ÖÓ k Ô Ö ØÐ Ò 1 k m/2. v m (k) m k k 0. ÞÓÒÝ Ø º È Ö ØÐ Ò m¹ö Ð ÑÑ Ø Å Ù Ù Ø Ê Ú Ø Ë Ö ÞÝ ÞÓÒÝ ØÓØØ ½ Ô ÖÓ m¹ö ÞÓÒÝ Ø ÓÒÐ º º Ð ÑÑ º Ä Ý Ò g Þ F q Ý Ò Ö ØÓÖ º ÓÖ χ d =χ 0 1 1 χ(g) < d log d. ÞÓÒÝ Ø º Ò Þ Ø Ò Ñ ÓÖ q = p d = p 1 ÞÓÒÝ Ø Ñ Ø Ð Ð Ø ¾ ¹ Òº Þ ÐØ Ð ÒÓ Ø ÓÒÐ Ò ÞÓÒÝ Ø Ø º ½

¾º¾º Å Ò Ø ÒÒ Ö Ò Ó Ý Ð Ö Ù ÞÓÒ ÔÓÐ ÒÓÑÓ Ø Ñ ÐÝ Ö Þ ÓØØ ÓÒ ØÖÙ ¹ Ô Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò ØÙÐ ÓÒ Ó Ð Ö Ò Ð Þ ÓÖÓÞ ØÓØ Ò Ö Ð Ú Þ Ø Ñ Ò Ø Ó ÐÑ Øº ½¼º Ò º Ä Ý Ò m, d Z Þ Þ ÑÓ A, B Z m ÓÐÝ Ò ÑÙÐØ ÐÑ ÞÓ Ó Ý Þ Ð Ñ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ñ ÒØ d A Ñ Ò Ò Ð Ñ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ö Ð Ø Ú ÔÖ Ñ d¹ Þº ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý Þ A, B Ô Ö P(d) ØÙÐ ÓÒ Þ A + B Þ Ò Ñ Ò Ò Ð Ñ d¹ Þ Ö Ò Ú Ò Ö ÔÖ Þ ÒØ ÐÚ º Þ Þ a + b = c, a A, b B ¾º µ Ý ÒÐ ØÒ Ñ ÓÐ Þ Ñ Ñ Ò Ò c Ø Ò Ó ÞØ Ø d¹ú к Â Ð Ð Ý ÓØØ A ÑÙÐØ ÐÑ Þ Ð Ò Þ Ð Ñ Ò Þ Ñ Ø A º ½½º Ò º (k, l, m) Þ Ñ ÖÑ d¹ñ Ò Ø d¹ Ñ Ð µ k, l < mµ Ò Ñ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò A, B ÑÙÐØ ÐÑ Þ Ó Ý A = k B = l A, B P(d) ØÙÐ ¹ ÓÒ º Ú Ø Þ Ò Ð ÐØ Ø Ð Ø ÙÒ d¹ñ Ò Ø Ö º º Ø Ø Ð Å µº Ý m Þ Ñ Ð ÔÖ ÑÓ ÞØ Ø Ð Ð p(m)º ÓÖ µ À k, m, d N k < p(m) ÓÖ (k, 2, m) ÖÑ d¹ñ Ò Ø º µ À k, m, d N k < p(m) ØÓÚ (4l) k < p(m), ¾º½¼µ ÓÖ (k, l, m) ÖÑ d¹ñ Ò Ø º µ À m Ý ÔÖ Ñ Þ Ñ d Ñ Ò Ò ÔÖ ÑÓ ÞØ ÔÖ Ñ Ø Ú Ý ÑÓ ÙÐÓ m ÓÖ Ñ Ò Ò k, l < m Ø Ò (k, l, m) ÖÑ d¹ñ Ò Ø º Ú Ø Þ Ð ÑÑ Ñ ØØ Ð Ø Ø ÐØ Ò Þ Ø Ò ÞÓÒÝ Ø Ò d ÔÖ Ñ Þ Ñº Ð ÑÑ Ø Ø Ðµ ÞÓÒÝ Ø Ò Ý A ÑÙÐØ Ñ Þ ÓØØ a Ð Ñ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ø m A (a)¹ú Ð Ó Ù Ð ÐÒ º ½¾º Ð ÑÑ º À d Ñ Ò Ò p ÔÖ ÑÓ ÞØ Ö (k, l, m) ÖÑ p¹ñ Ò Ø ÓÖ (k, l, m) ÖÑ d¹ñ Ò Ø º ÞÓÒÝ Ø º Ì Ý Ð Ó Ý Ð Ø Þ Ý P(d) ØÙÐ ÓÒ A, B ÑÙÐØ ÐÑ Þ Ô Öº Ä Ý Ò d = p α 1 1...p αr r Ð Ý Ò p i ÓÐÝ Ò ÔÖ ÑÓ ÞØ Ó Ý p α i i Þ m B (b) ÑÙÐØ ÔÐ Ø Øº ½ Ò Ñ Ó ÞØ Þ

À Ú Ò ÓÐÝ Ò b B Ð Ñ Ñ ÐÝÖ p i m B (b) ÓÖ Ýò Ø A ¹ Þ A Ð Ñ Ø m A (a) (mod p i ) ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ð ÓÒÐ Ò B ¹ B Ð Ñ Ø m B (b) (mod p i ) ÑÙй Ø ÔÐ Ø Ðº ÓÖ Ñ A Ñ B Ò Ñ Ö Þ Ò Ò Ñ Ñ Ò Ò m A (a) m B (b) ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ó ÞØ Ø p i ¹Ú е Þ A, B Ô Ö P(p i ) ØÙÐ ÓÒ º À Ñ Ò Ò m B (b) ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ó ÞØ Ø p i ¹Ú Ð ÓÖ Ð Ý Ò β i Þ Ø Ú Ñ ÐÝÖ p β i i lnko{m B (b) : b B}. ÓÖ β i < α i º Ä Ý Ò A = A B ÑÙÐØ ÐÑ Þ b B Ð Ñ Ò m B (b)p β i i ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ðº ÞÞ Ð Ú Ð Þ Ð Ò Ñ Ñ Ò Ò m B (b ) ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ó ÞØ Ø p i ¹ Ú Ð b B µ Þ A, B Ô Ö P(d/p β i i ) ØÙÐ ÓÒ º Ý Þ Ð Þ ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø Ð Ô Ò Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò A B Ô Ö Ñ P(p i ) ØÙÐ ÓÒ º Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø º ½¾ Ð ÑÑ Ð Ô Ò Ð Ø Ø ÐØ ÔÖ Ñ d¹ö ÞÓÒÝ Ø Ò º Ø Ø Ð µ ÔÓÒØ Ò ÞÓÒÝ Ø º Þ ÐÐ Ø Ø Ò Ö Ø Ñ ÓÒ ÞÓÒÝ Ø Ù º Ì Ý Ð Ó Ý Ð Ø ÞÒ A, B Z m ÑÙÐØ ÐÑ ÞÓ Ó Ý A = k B = 2 Ñ Ò Ò c Z Ø Ò ¾º µ Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ Þ Ñ d¹ú Ð Ó ÞØ Ø º Ä Ý Ò B Ø Ð Ò Þ Ð Ñ r, r+s ÓÐ ÑÓ Ø s 0µº A+r Ñ Ò Ò Ð Ñ Ò Ð Ð Ø Ð ÐÐ Ø Ú Ò ¾º µ Ð Ò Ø Ø {a+r a A} = {a+r+s a A} Ñ ÒØ ÐÑ ÞÓ º À ÓÒÐ Ò {a + r a A} = {a + r + st a A} Ñ Ò Ò t N Ø Ò Þ Þ A+r Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Z m Ý Ò ÑØÖ Ú Ð Ö Þ ÓÔÓÖØ Ò Ñ ÐÐ Ó ÞØ ÐÝ Ø Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ A < p(m) ÐØ Ø ÐÒ º Ø Ø Ð µ ÔÓÒØ Ò ÞÓÒÝ Ø º Ì Ý Ð Ó Ý k, l, m Ð Ø ¾º½¼µ Ý Ò¹ Ð ØÐ Ò Ø A, B Z m ÓÐÝ Ò ÑÙÐØ ÐÑ ÞÓ Ñ ÐÝ Ö A = k B = lº À s N (s, m) = 1 ÓÖ ¾º µ Þ sa + sb = sc, a A, b B Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ Ñ Ý ÞÒ c Ú ÙØ Z m Ð Ñ Øº Ì Ø Ð Ñ ÑÙ¹ Ø ØÒ Ó Ý Ú Ò ÓÐÝ Ò s N c Z m Ó Ý (s, m) = 1 Þ sa + sb = c, a A, b B ¾º½½µ Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ Þ Ñ Ò Ñ Ó ÞØ Ø d¹ú к ÓØØ a Z Ø Ò Ð Ý Ò r(a) a¹ò Þ ÞÓÐ Ø Ð Ñ Ö ÑÓ ÙÐÓ m Þ Þ r(a) a mod m, m 2 < r(a) m 2. Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø ÓÖ Ò Ú Ø Þ Ð ÑÑ Ø ÞÒ Ð Ù ½

½ º Ð ÑÑ º À k, l, m, A Ð Ø Ø Þ ÒØ Ú Ø ÐÑ ÒÝ Ò a 1,..., a k Þ A Ð Ò Þ Ð Ñ ÓÖ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò s Þ Ñ Ñ ÐÝÖ (s, m) = 1 r(sa i ) 1 2 [ m l ] i = 1,...,k Ø Ò. ¾º½¾µ ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò J = {1,...,p(m)}º Î Ð Ó Ó Ý i, j J ÓÖ (i j, m) = 1º Ì ÒØ Ú Ø Þ p(m) Ö k¹ Ø u j = (r(ja 1 ),...,r(ja k )), j J. ¾º½ µ [ Ä Ý Ò D = 1 m ] [ 2 l +1 Z = m ] D +1º ÓÖ DZ > m Ý Ñ Ò Ò j J Ø Ò Ð Ø ÞÒ t 1 = t 1 (j),..., t k = t k (j) Þ Ó Ý r(ja i ) { [ m ] [ m ] [ m ] } + t i D, + t i D + 1,..., + (t i + 1)D 1 2 2 2 ÓÐ t i {0, 1,..., Z 1} ¾º½ µ i = 1,...,k Ø Òº Ð Ø (t 1,...,t k ) k¹ Ó Þ Ñ Ñ ÐÝ Ö ¾º½ µ Ø Ð Ð ([ m Z k = D] ) k ( + 1 < 2 m ) ( k < 2 m ) k = (4l) k < p(m), D m/2l ¾º½¼µ Ñ Øغ Ì Ø Ð Ø Þ Ð Ð Ø Ò Ü j 1, j 2 J Ñ ÐÝ Ö t 1 = t 1 (j 1 ) = t 1 (j 2 ),..., t k = t k (j 1 ) = t k (j 2 ), Þ Þ [ m ] [ m ] + t i D r(j 1 a i ), r(j 2 a i ) < + (t i + 1)D 2 2 ÓÒÒ Ò ÞØ Ô Ù Ó Ý r(j 1 a i ) r(j 2 a i ) < D i = 1,..., k. Ä Ý Ò s = j 1 j 2 º ÞÞ Ð Ú Ð ÞØ Ð r(sa i ) = r((j 1 j 2 )a i ) r(j 1 a i ) r(j 2 a i ) < D. Ø Ø Ð µ ÔÓÒØ Ò ÞÓÒÝ Ø ÓÞ Ú Ð ÞÙÒ Ý ÓÐÝ Ò s Ð Ñ Ø Ñ Ð Ø ¾º½¾µ¹ غ Ä Ý Ò b 1...,b l B Ð Ò Þ Ð Ñ º Ä Ý Ò i, j ÓÐÝ Ò Ò ÜÔ Ö Ñ ÐÝÖ sb l {sb i + 1,..., sb j 1}, l = 1,...,l ½

ØØ Þ sb l Ð Ñ Ø Ð Ù Ò Þ Þ ÑÓ ÙÐÓ m ÓÖÓР٠еº ØÙÐÝ ÐÚ Ñ ØØ Ñ Ü Ñ Ð Ø ÚÓÐ Ø ÝÑ Ø Ú Ø sb l Þ ØØ Ð Ð [m/l] + 1º Ä Ý Ò r 1,...,r k Þ r(sa 1 ),...,r(sa k ) Ú ÐØÓÞ ÖØ Ò Ý Þ Ö ÒØ Ö Ò ÞÚ ¾º½¾µ Ð Ô Ò 1 [ m ] r 1 r k 1 [ m 2 l 2 l ]. (sb j + r 1 ) (sb i + r k ) = (sb j sb i ) + r 1 r k ([ m ] ) + 1 1 [ m ] 1 [ m ] = 1 > 0. l 2 l 2 l Ä Ý Ò u, v ÞÓÒ Ò Ü Ñ ÐÝÖ r(sa u ) = r 1 r(sa v ) = r k º ÓÖ sa v + sb i sa u + sb j Ð Ñ Ð Ò Þ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ò Þ Ñ (a, b) = (a v, b i ) ÐÐ ØÚ (a, b ) = (a u, b j ) Ô ÖÓ Þ Ñ Ñ m A (a v )m B (b i ) m A (a u )m B (b j ) Ñ ÐÝ Þ ÑÓ Ò Ñ Ó Þع Ø d¹ú к Ø Ø Ð µ ÔÓÒØ Ò ÞÓÒÝ Ø º ÓØØ C Z m ÑÙÐØ ÐÑ Þ Ø Ò Ò Ð Ù P C (x) Z d [x] ÔÓÐ ÒÓÑÓØ Ú Ø Þ ÔÔ Ò P C (x) = x rm(c), c C ÓÐ r m (c) c Ð Ò Ñ Ò Ø Ú Ñ Ö Ø Ð Ð ÑÓ ÙÐÓ mº Å Ý ÞÞ Ó Ý u Z m ÓÖ P C+u (x) x u P C (x) mod x m 1. Ã Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ý A, B Ô Ö ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ P(d) ØÙÐ ÓÒ P A (x)p B (x) 0 mod x m 1 Z d Ð ØØ Þ Þ x m 1 P A (x)p B (x)º À x m 1 + +1 ÔÓÐ ÒÓÑ Ö Ù Ð Z d [x] Ð ØØ Ô Ð ÙÐ P 1 (x)p 2 (x) = x m 1 + + 1 ÓÖ Ò Ð Ù Þ A ÐÐ ØÚ B ÑÙÐØ ÐÑ ÞØ P 1 (x) = a A xrm(a) ÐÐ ØÚ P 2 (x)(x 1) = b B xrm(b) Þ Ðº ÓÖ Þ A, B Ô Ö P(d) ØÙÐ ÓÒ º Å ÓÖ ØÚ x m 1 + + 1 ÖÖ Ù Ð Z d [x] Ð ØØ Þ A, B Ô Ö P(d) ØÙÐ ÓÒ ÓÖ x m 1 + + 1 Ó ÞØ Ú Ý P A (x) Ú Ý P B (x) ÔÓÐ ÒÓÑÓØ Ø Ø A Ú Ý B Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Z d ¹Øº Î Ð Ñ Ý ÞÞ Ó Ý ½ ¹ Ð ¾º Ø Ø Ð Ð Ô Ò Þ x m 1 + +1 ÔÓÐ ÒÓÑ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ ÖÖ Ù Ð Z d [x] Ð ØØ m ÔÖ Ñ d ÔÖ Ñ Ø Ú Ý ÑÓ ÙÐÓ mº ½

Ø Ø Ð µ ÔÓÒØ Ò Ñ Ð ÞÓÒÝÓ Þ ÑÔÓÒØ Ð Þ Ð ÐØ Ø ÐØ Þ ÑÙÒ Ö Ñ Ò Ø Ö ½ º Ò º ÓØØ d Þ Ñ Ø Ò Þ m N Þ Ñ Ñ Ò Ò k, l N Ô ÖÖ Ñ ÐÝÖ k < m l < m (k, l, m) ÖÑ d¹ñ Ò Ø º ½ º Ã Ú Ø ÞÑ Òݺ Þ ÓØØ d Þ Ñ Ø Ò Þ m N Þ Ñ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ m ÔÖ Ñ d Ñ Ò Ò ÔÖ ÑÓ ÞØ ÔÖ Ñ Ø Ú Ý ÑÓ ÙÐÓ mº ÞÓÒÝ Ø º ÞØ ÐÐ Ñ ÑÙØ ØÒ Ó Ý Ñ Ò Ò k, l N Ô Ö Ø Ò Ñ ÐÝÖ (k, l, m) ÖÑ d¹ñ Ò Ø ÓÖ d Ñ Ò Ò p ÔÖ ÑÓ ÞØ Ö k, l (k, l, m) ÖÑ p¹ñ Ò Ø º N Ô ÖÖ Ä Ý Ò A, B ÑÙÐØ ÐÑ ÞÓ Ñ ÐÝ P(p) ØÙÐ ÓÒ º ÓÖ Ð Ý Ò A = A Ð Ý Ò B Þ ÑÙÐØ ÐÑ Þ Ñ ÐÝ B Ð Ñ Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ m B (b) d ÑÙÐØ ÔÐ Ø º p ÓÖ A, B Ô Ö P(d) ØÙÐ ÓÒ º Å Ý ÞÞ Ó Ý Ò Ô Ð Ø Ò Ñ ÓÖ Þ A B ÑÙÐØ ÑÐ ÞÓ Ñ Ò Ò Ð Ñ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ð Ð Ý Þ Þ A B ÐÑ ÞÓ µ ÓÖ Þ µ µ ÔÓÒØÓ Ò Ñ Ò Ø Ò Ð Ö ÓÐ ÓØ ÞÓÒÝ ØÙÒ ½ º Ã Ú Ø ÞÑ Òݺ À k, l Ð Ø Ø Þ Ø Ø Ð µ µ ÔÓÒØ Ò ÐØ Ø Ð Ò ÓÖ Ñ Ò Ò A, B ÐÑ Þ Ø Ò Ñ ÐÝÖ A k B l Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò c Z m Ð Ñ Ó Ý Þ a + b = c Ý ÒÐ ØÒ ÔÓÒØÓ Ò Ý Ñ ÓÐ Ú Òº a A, b B Ú Ø Þ Ò ½ Ú Ø ÞÑ ÒÝ ÐØ Ð ÒÓ Ø Ø Ò ÞÞ Ñ ÓÖ ¾º µ Ý Ò¹ Ð Ø Ø Ø Ø Þ Ð Ð ÓÔÓÖØ Ð ØØ Ú Þ Ð Ù º ½ º Ò º (k, l, G) ÖÑ Ñ Ò Ø Ñ Ò Ò A, B G ÐÑ Þ Ø Ò Ñ ÐÝÖ A k B l Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò c G Ð Ñ Ó Ý Þ a + b = c a A, b B Ý ÒÐ ØÒ ÔÓÒØÓ Ò Ý Ñ ÓÐ Ú Òº º Ø Ø Ð Å µº Ä Ý Ò G = Z d1 Z ds Ø Ø Þ Ð Ú Ð ÓÔÓÖØ p(g) ÓÔÓÖØ Ö Ò Ò Ð ÔÖ ÑÓ ÞØ º Ä Ý Ò k, l N Ñ ÐÝ Þ Ð ÐØ Ø Ð Ú Ð Ñ ÐÝ Ø Ø Ð Ø µ k < p(g) l = 2 µ 4 s(k+l) < p(g). ¾º½ µ ¾¼

ÓÖ (k, l, G) ÖÑ Ñ Ò Ø º ÞÓÒÝ Ø º Ø Ø Ð µ ÔÓÒØ Ò ÞÓÒÝ Ø ÓÒÐ º Ø Ø Ð µ ÔÓÒØ Ò ÞÓ¹ ÒÝ Ø ÓÞ Ý ÞØ Þ ÓÐÚ Ö ÞÓѺ µ ÔÓÒØ Ò ÞÓÒÝ Ø ÓÞ Ð ÞÒ Ð Ù ½ Ð ÑÑ Ò ÐÓ ÓÒ Ø ½ º Ð ÑÑ º À d 1,...,d s N p Ð ÔÖ ÑÓ ÞØ d j ÞÓÖÞ ØÒ t N ÓÐÝ Ò Þ Ñ ÐÝÖ 4 st < p, ¾º½ µ ÓÖ ÓØØ h 1,...,h t Z n Ø Ò Ð Ø Þ Ý ÓÐÝ Ò 0 < r < p Þ Ñ ÐÝÖ m dj (r (h i ) j ) d j 4. ÞÓÒÝ Ø º ( ÓØØ ([ h ] Z Ø Ò ) Ð Ý Ò y j ([ (h) Þ ] Ò Ñ )] Ò Ø Ú Þ Ñ ÐÝÖ h ÓÒ¹ dj dj ÖÙ Ò Þ y j (h) + 1, (y 4 j (h) + 1) + 1 ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ú Ð Ñ ÐÝ Ð Ñ ¹ 4 Ú Ð ÑÓ ÙÐÓ d j º ÓÖ y j (h) {0, 1, 2, 3} Ø Ð Ðº ÓØØ u = 1,..., p Ø Ò Ø ÒØ Ú Ø Þ y i (u) = ( y 1 (u (h i ) 1 )),...,y s (u (h i ) s ) ) {0, 1, 2, 3} s s¹ Ø ÓÐ i = 1,...,tº (y 1 (u),...,y t (u)) ({0, 1, 2, 3} s ) t t¹ Þ Ñ p Ñ ÐÝ ÐØ Ø Ð Þ Ö ÒØ Ò ÝÓ Þ Þ Ð Ò Þ ({0, 1, 2, 3} s ) t ¹ Ð t¹ Þ Ñ Ò Ðº Ã Ú Ø ¹ Þ ÔÔ ØÙÐÝ ÐÚ Ð Ô Ò Ð Ø Þ Ð Ð ØØ t¹ Ñ ÐÝÖ (y 1 (u),...,y t (u)) = (y 1 (v),...,y t (v)), u < v. Ä Ý Ò r = v u ÓÖ y j ( u (hi ) j ) = yj ( v (hi ) j ) ÐØ Ø Ð Ð Ú Ø Þ Ó Ý m di (r (h i ) j ) = m di ((v u) (h i ) j ) m di ((v (h i ) j u (h i ) j ) d i 4, Ñ Ò Ò i = 1,...,t j = 1,..., s Ò ÜÖ º Ð ÑÑ Ø Ú Ð Ú Ø Þ ÔÔ Ò ÞÓÒÝ Ø Ø Ù Ø Ø Ð µ ÔÓÒØ Ø Ä ¹ Ý Ò x i (a) Þ i¹ ÓÑÔÓÒ Ò a¹ò Z d1 Z ds ¹ Ð Ö ÔÖ Þ ÒØ Ò Ð ÐÑ ÞÞÙ Ð ÑÑ Ø (x 1 (a),...,x s (a)) a Aµ (x 1 (b),...,x s (b)) b Bµ s¹ Ö ÓÐ ÑÓ Ø t = k +lº ÓÖ ¾º½ µ ÐØ Ø Ð Ø Ø Ð Ò Ñ Ó ÐÑ ÞÓØØ ¾º½ µ ÐØ Ø Ð Ñ ØØ Ø Ð Ð Ý Ð ÑÑ Þ Ö ÒØ Ú Ò ÓÐÝ Ò r Þ Ñ ÐÝÖ 0 < r < p(g) m di (r x i (a)), m di (r x i (b)) d i, i = 1,..., s a A b B. ¾º½ µ 4 Ò Ð Ù ÑÓ Ø Þ A,B ÐÑ ÞÓ Ø Ú Ø Þ Ñ ÓÒ A = {(m d1 (r x 1 (a)),...,m ds (r x s (a))) : a A} ¾½

B = {(m d1 (r x 1 (b)),...,m ds (r x s (b))) : b B}. Ä Ý Ò w A w B Þ A B ÐÑ ÞÓ Ñ Ü Ñ Ð Ð Ñ Ð Ü Ó Ö Ù ÐÖ Ò Þ Þ Ö ÒØ Ð Ý Ò a A b B ÞÓÒ Ð Ñ Ñ ÐÝ Ö w A = (m d1 (r x 1 (a)),...,m ds (r x s (a))) w B = (m d1 (r x 1 (b)),..., m ds (r x s (b))). ÓÖ w A w B Ñ Ü Ñ Ð Ø Ñ ØØ w A +w B Þ Ò Ò Ò Ñ Ð ÐÐ Ø w + w, w A w B. ¾º½ µ ÓÖÑ Òº ¾º½ µ Ñ ØØ Þ i¹ ÓÓÖ Ò Ø Þ Þ Ò ( [ ] [ ]] ( [ ] [ ]] di di di di 2, 2, 4 4 2 2 ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ò Ú Òº Ì Ø Ñ Ò Ò a A b B Ø Ò ( md1 (r x 1 (a)),...,m ds (r x s (a)) ) + ( m d1 (r x 1 (b)),...,m ds (r x s (b)) ) ( m d1 (r x 1 (a)),...,m ds (r x s (a)) ) + ( m d1 (r x 1 (b)),...,m ds (r x s (b)) ), Ñ Ð Ú Ø Þ Ó Ý ra + rb ra + rb, a A b B (r, d i ) = 1 ØÙÐ ÓÒ ÓØ Ð ÞÒ ÐÚ Ó Ý a + b a + b, a A b B. ¾¾

º Þ Ø È Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò Ò Ö ÓÖÓÞ ØÓ ÓÒ ØÖÙ Ú Ø Ø Ð ØØ Þ Ø Ò Þ ½º¾ Ö Þ Ò Ø Ö Ý ÐØ ÓÒ ØÖÙ Ý Þ ÐØ Ð ÒÓ Ø Ø Ø ÒÙй Ñ ÒÝÓÞÓѺ ¾º½ Ö Þ Ð Ð Ø Ð ÞÒ ÐÚ Ú Ø Þ Ñ ÓÒ Ò Ð Ø Ù Þ ÐØ Ð ÒÓ ÓÒ ØÖ٠غ º ÓÒ ØÖÙ º Ä Ý Ò p ÔÖ Ñ Þ Ñ ψ Ø Ú χ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ö Ø Ö F p ¹Ò F(x) Q(x) F p (x) Ö ÓÒ Ð Ø ÖØ Ú ÒÝ º ÓÖ Ò Ð Ù Þ E p ÓÖÓÞ ØÓØ Ú Ø Þ Ñ ÓÒ { ( ) +1 arg ψ (F(n)) χ (Q(n)) [0, π) n S e n = 1 Ñ Ð Ò Ò. Î Ð Ó Ó Ý Þ F Ú ÒÝØ ÓÒ Ø Ò Ò χ Ö Ø ÖØ Ú Ö Ø Ù Ö Ø ÖÒ Ú Ð ÞØ Ù ÓÖ Ú Þ Ô Ù ¾ ÓÒ ØÖ٠غ Å Ö ÞÖ Ð χ Ö Ø ÖØ Ý Ú Ð ÞØ Ù Ó Ý χ(g) = e 2πi p 1 ÓÐ g Ò Ö ØÓÖ Fp ¹ Ò ÓÖ ÓÒ ØÖÙ Ø Ô Ù º Î Ð ÐØ Ð ÒÓ χ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ö Ø Ö Ø Ò ÓÒ ØÖÙ ¹ Ø Ô Ù º Å Ö ÞÖ Ð Q Ú ÒÝ ÓÒ Ø Ò ÓÖ Ú Þ Ô Ù Þ ÐÐ ØÚ ÓÒ Ø¹ ÖÙ Ø Ñ ÒÒÝ Ò Þ F Ú ÒÝ Ý ÔÓÐ ÒÓÑ Ú Ý ÒÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÒÚ ÖÞ º È Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò Ò Ö ÓÖÓÞ ØÓ ÓÒ ØÖÙ Ø ÐÝ Ò ÐØ Ð ÒÓ Ò Ð Þ Ö ÇÓÒ Ø ÒÙÐÑ ÒÝÓÞØ ¾ ¾ º Î Þ ÐØ ÓÒ ØÖÙ Ø ÞÓÒÝ ØÓØØ Ó Ý ÓÒ ØÖÙ Ö Ø Ö Ö Ò Ò Ý Ω(p 1/2 )º Ò Þ Ø Ò Ñ ÓÖ Ö Ø Ö Ö Ò Ò Ý Ö Ò Ð o(p 1/2 )µ Ô Ö ØÐ Ò ÓÖ Ò Ñ Ú Ö ØÙÒ Ò ÑØÖ Ú Ð ÓÖÐ ØÓØ Ñ Ø Ú Ø Þ Ô Ð ÑÙØ Ø ½º Ô Ð º À χ Ý ÖÑ Ö Ò ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ö Ø Ö Þ E p ÓÖÓÞ ØÓØ ¾

ÓÒ ØÖÙ Ò Ð f(n) = n ÔÓÐ ÒÓÑÑ Ð ÓÖ p 1 U(E p, p, 0, 1) = e j = {j : χ(j) = 1} {j : χ(j) 1} j=0 p 3 2p 3 = p 3. Þ Ð Ô Ò Ð Ò Ú Þ Ð Ù ÞØ Þ Ø Ø Ñ ÓÖ Þ F Ú ÒÝ ÓÒ Ø Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ö Ø Ö Ö Ò Ô ÖÓ ÐÐ ØÚ ÞØ Þ Ø Ø Ñ ÓÖ Þ F Ú ÒÝ Ò Ñ ÓÒ Ø Ò º º½º È Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò Ò Ö ÓÖÓÞ ØÓ ÓÒ ØÖÙ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ö Ø Ö Ø Ú Ð º Ø Ø Ð Å½ µº Ä Ý Ò p ÔÖ Ñ χ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ö Ø Ö F p ¹Ò Ñ ÐÝÒ d Ö Ò Ô ÖÓ q F p [x] ÔÓÐ ÒÓÑ Ñ Ò Ñ d¹ ØÚ Òݺ À Þ E p ÓÖÓÞ ØÓØ ÓÒ ØÖÙ Ò Ð ÓÖ W(E p ) 36sp 1/2 log p log d + s, º½µ ÓÐ s Þ q Ý Ò Þ Ñ Ø Ð Ð º À ØÓÚ Þ q Ñ Ò Ò Ý Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ý Ö Ð Ø Ú ÔÖ Ñ d¹ Þ Ú Ý ÞÞ Ð Ó ÞØ Ø Þ (s, l, p) ÖÑ d Ñ Ò Ø ÓÖ C l (E p ) 9 4 l lsp 1/2 log p(log d) l + ls. º¾µ Å Ý ÞÞ Ó Ý Ø Ø Ð Ð ÐÑ Þ Ø Ò Þ ÐØ Ð ÒÓ Ø Ò Ñ ÓÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ö Ø Ö Ö ÙÑ ÒØÙÑ Ò Ò Ñ ÔÓÐ ÒÓÑ Ò Ñ ÐØ Ð ÒÓ Ö ÓÒ Ð Ø ÖØ Ú ÒÝ Þ Ö Ô Ðº ÓØØ q/r Ú ÒÝ Þ Ø ÒØ q r p 1 ÔÓÐ ÒÓÑÓغ ÓÖ Ð Þ Ñ ØÚ r Ý Øµ Ø Ú ÒÝ Ñ Ò Ò ÔÓÒØÓÒ Ñ Ý Þ ÞÓÒ Ò Ò Þ Ø Ò Þ s Ô Ö Ñ Ø Ö Þ q/r Ý Ò Ô ÐÙ Ò Þ Ñ Ø Ó Ð ÐÒ º Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø º º½µ ÞÓÒÝ Ø ÓÞ Ð Ý Ò a Z b, t N ÓÐÝ Ò Þ ¹ ÑÓ Ñ ÐÝ Ö 1 a a + (t 1)b t. ¾

ÓÖ Ð ÑÑ Ð Ô Ò t 1 U(E T, t, a, b) = e a+jb j=0 d 2 1 γ(g) 2 γ(q(a + jb)) d 1 γ(g) + s 0 j<t γ d =χ 0 q(a+jb) 0 2 d γ(q(a + jb)) 1 γ(g) d 2 γ d =χ 0 0 j<t 1 γ(g) + s. q(a+jb) 0 Å Ú Ð q Ò Ñ d¹ ØÚ ÒÝ Þ ÖØ Ø Ø Ð Ð ÐÑ Þ Ø Ý Ð ÑÑ Ð Ô Ò 2 d γ(q(a + jb)) 1 γ(g) d 2 γ d =χ 0 0 j<t 1 γ(g) q(a+jb) 0 2 d 9sp1/2 log p 36sp 1/2 log p log d. 1 γ(g) γ d =χ 0 2 º¾µ ÞÓÒÝ Ø ÓÞ Ð Ý Ò M N D = (d 1,..., d l ) ÓÐÝ ÒÓ Ó Ý 0 d 1 < < d l p Mº ÓÖ Ð ÑÑ Ð Ô Ò M V (E T, M, D) = e n+d1...e n+dl n=1 2l 1 n M: q(n+d i ) 0 i=1,...,l d l γ d 1 =χ 0 2 l 1 γ 1 (g) d 2 d l 1 γ 1 (g) γ 1(q(n + d 1 )) γ1 d=χ 0... 1 γ l (g) d 2 1 γ l (g) γ l(q(n + d l )) + ls γl d=χ 0... 1 γ 1 (g) d 2 1 γ 1 (g)... 1 γ d 2 l(g) 1 γ l (g) γl d=χ 0 γ 1 (q(n + d 1 ))...γ l (q(n + d l )) + ls. 1 n M: q(n+d i ) 0 i=1,...,l ÓØØ γ u u = 1,..., lµ Ö Ø Ö Ø Ò Ð Ý Ò δ u Þ Þ Þ Ñ ÐÝÖ γ u = χ δu, 0 δ u < d, u = 1,...,l. º µ ¾

Ð Ð Ø ÞÒ ÐÚ Ô Ù Ó Ý γ 1 (q(n + d 1 ))...γ l (q(n + d l )) = 1 n M: q(n+d i ) 0 i=1,...,l = 1 n M: q(n+d i ) 0 i=1,...,l χ ( q δ 1 (n + d 1 )...q δ l (n + d l ) ). Ä Ý Ò F γ1,...,γ l (x) = F δ1,...,δ l (x) = q δ 1 (x + d 1 )... q δ l (x + d l )º ÀÓ Ý Ð Ñ ÞÒ ØÙ Ù Ø Ø ÐØ Þ Ó Ý Þ F γ1,...,γ l (x) ÔÓÐ ÒÓÑ Ò Ð Ý Ò d¹ ØÚ Òݺ ÞØ Ö ÒØ Ð Ò Ò Ú Ø Þ Ð ÑÑ ½ º Ð ÑÑ º Ä Ý Ò p ÔÖ Ñ q F p [x] Ñ ÐÝ Ò Ñ d¹ ØÚ ÒÝ Ñ Ò Ò Ý Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ý Ó ÞØ Ø d¹ú Ð Ú Ý ÓÞ Ö Ð Ø Ú ÔÖ Ñº À s Ð Ð q ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Ò Þ Ý Ò Þ Ñ Ø Þ (s, l, p) d¹ñ Ò Ø ÓÖ Þ F δ1,...,δ l (x) = q δ 1 (x + d 1 )... q δ l (x + dl ) ÔÓÐ ÒÓÑ 0 < δ 1...,δ l < dµ Ò Ñ d¹ ØÚ Òݺ Ð ÑÑ ÞÓÒÝ Ø Ð ØØ Ñ ÑÙØ ØÓÑ Ó Ý Þ Ð Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø ÓÞº Î Ð Ò Ø Ø Ð Ð ÑÑ Ð Ô Ò ÞØ Ô Ù Ó Ý V (E T, M, D) 2l... 1 γ 1 (g) d 2 d l 1 γ 1 (g)... 1 γ d 2 l(g) 1 γ l (g) γ1 d=χ 0 γl d=χ 0 F γ1,...,γ l (n) + ls. 2l Î Ð ½ Ð ÑÑ ÞÓÒÝ Ø 1 n M: q(n+d i ) 0 i=1,...,l log p d llsp1/2 1 γ(g) γ d =χ 0 2 2l d llsp1/2 log p(2d logd) l + ls 4 l lsp 1/2 log p(log d) l + ls. l + ls ÞÓÒÝ Ø º ÞÓÒÝ Ø ÓÞ Ú Þ Ø Ò F p [x]¹ Ò Ý Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ø ÔÓ¹ Ð ÒÓÑÓØ ρ(x), σ(x) F p [x] ÞÓÒÓ Ú Ú Ð Ò Ó ÞØ ÐÝ ÓÖÓÐÙÒ ρ(x) σ(x)µ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò c F p ÖØ Ó Ý ρ(x) = σ(x + c)º ÓÒØ Ù Ð q ÔÓÐ ÒÓÑÓØ ÖÖ Ù Ð ÔÓÐ ÒÓÑÓ ÞÓÖÞ Ø Ö ØÓÖÓ Ø ÓÔÓÖØÓ Ø Ù Þ Ú Ú Ð Ò Ó ÞØ ÐÝÓ Ò Ñ Ð Ð Òº q¹ö ÚÓÒ Ø ÓÞ ÐØ Ø Ð Ð Ô Ò Ú Ò Ð Ð Ý ÓÐÝ Ò Ø ÒÝ Þ ÞÓÖÞ ØÒ Ñ ÐÝ Ò Ñ d¹ ØÚ Òݺ Ä Ý Ò Þ Ø ÒÝ Þ ρ α 1 (x + a 1 )...ρ αt (x + a t ), ¾

ÓÐ d α 1 t sº ÁÒ Ö Ø Ø Ý Ð Ó Ý ½ Ð ÑÑ Ò Ñ Ø Ð Ð Þ Þ Þ F γ1,...,γ l (x) ÔÓÐ ÒÓÑ d¹ ØÚ Òݺ ÓÖ ÞØ ÔÓÐ ÒÓÑÓØ ÓÒÐ Ñ ÓÒ Ð ÓÒØ Ù Þ Ð Ú ¹ Ð ÞØÓØØ Ú Ú Ð Ò Ó ÞØ ÐÝ ÔÓÒØÓ Ò ρ(x + a i + d j ) Ð ÔÓÐ ÒÓÑÓ Ó Ò Ø ÖØÓÞÒ ÓÐ i = 1,...,t j = 1,...,lº ÀÓ Ý ÐÐ ÒØÑÓÒ Ö Ù ÙÒ Ð Ý Ò A Þ a i i = 1,...,tµ Ð Ñ Ð ÐÐ ÑÙй Ø ÐÑ Þ ÓÐ Þ ÓØØ a i Ð Ñ ÑÙÐØ ÔÐ Ø α i B d j j = 1,..., lµ Ð Ñ Ð ÐÐ ÑÙÐØ ÐÑ Þ ÓÐ ÑÓ Ø Þ ÓØØ d j Ð Ñ ÑÙÐØ ÔÐ Ø δ j º À Ø Ø Þ ÓØØ Ó ÞØ ÐÝ ØÓÖ d¹ ØÚ ÒÝ Ñ Ò Ò Ð Ñ d¹ Þ Ö Ò Ú Ò Ö ÔÖ Þ ÒØ ÐÚ Þ a i + b j, i = 1,..., t, j = 1,..., l ÓÖÑ Ò Þ Þ Þ A, B Ô Ö P(d) ØÙÐ ÓÒ º º¾º È Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò Ò Ö ÓÖÓÞ ØÓ ÐØ Ð ÒÓ ÓÒ ØÖÙ Þ Ð Þ Ö Þ Ò ÓÒ ØÖÙ ÞÓÒ Ô Ð Ø Ø Ò ÞØ Ñ ÓÖ Þ Ø Ú Ö Ø Ö Ö ÙÑ ÒØÙÑ Ò ÓÒ Ø Ò Ú ÒÝ Þ Ö Ô Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ö Ø Ö Ö Ò Ô ÖÓ º Ò Ö Þ Ò ÞÓÒ ÐØ Ð ÒÓ Ø Ø Ø ÒÙÐÑ ÒÝÓÞÞÙ Ñ ÓÖ Þ F Ú ÒÝ Ò Ñ ÔÓÐ ÒÓÑ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ö Ø Ö Ø Ø Þ Ð º º Ø Ø Ð Å µº Ä Ý Ò ψ ψ 0 Ø Ú χ χ 0 d¹ Ö Ò ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ö Ø Ö F p ¹Ò F(x) = f(x) q(x), Q(x) = F g(x) r(x) p(x) ÓÐÝ Ò Ö ÓÒ Ð Ø ÖØ Ú ÒÝ Ñ ÐÝÖ (g(x), f(x)) = 1 (q(x), r(x)) = 1 Ñ f¹ò Ñ g¹ò Ò Ò Ø Þ Ö Ý Q Ô Ò Ñ d¹ ØÚ Òݺ À Þ E p ÓÖÓÞ ØÓØ ÓÒ ØÖÙ Ò Ð ÓÖ W(E p ) (deg F + z) p 1/2 (log p) 2, º µ ÓÐ z q r Ð Ò Þ Ý Ò Þ Ñ Ø Ð Ð º ÌÓÚ l N Ø Ð Ø Þ Ð ÐØ Ø Ð Ú Ð Ñ ÐÝ Ø µ l = 2 µ (4 deg g) l < p (4 deg Q) l < p µ g(x) = (x + a 1 )(x + a 2 )...(x + a k ) a i a j i j µ l deg g < p 2 (4 deg Q) l < p ÓÖ C l (E p ) (l + 1)(deg F + d deg Q) p 1/2 (log p) l+1. º µ ¾

Å Ý Þ Ñ Ó Ý ÓÒÐ Ñ Þ Ö Ð Ð Ø ÞØ Þ Ø Ø Þ ÐÒ Ñ ÓÖ Q Ú ÒÝ ÓÒ Ø Ò Å¾ ÓÖ Ø Ø Ð Ò Þ Ö ÔÐ ÓÖÐ ØÓ Ñ Ð Ð ÖÚ ÒÝ º ÞÓÒÝ Ø º º ÞÓÒÝ Ø ÓÞ Ð Ý Ò a Z b, t N ÓÐÝ Ò Þ ÑÓ Ñ ÐÝ Ö 1 a a + (t 1)b t. ÓÖ Ð ÑÑ Ð Ô Ò t 1 U(E p, t, a, b) = e a+jb = = 1 dp = 1 dp j=0 [dp/2]<h [dp/2] [dp/2]<h [dp/2] h 0 v dp (h) 0 j t 1 a+jb S v dp (h) 0 j t 1 a+jb S ψ (F(a + jb)) h χ (Q(a + jb)) h + O (S) ψ (F(a + jb)) h χ (Q(a + jb)) r d(h) + O (S) + t dp. Å Ú Ð (p, d) = 1 0 < h dp/2 ÐØ Ø Ð Ð Ú Ø Þ Ó Ý h p Ú Ý h d ÓÖ Ô Ö Þ r d (h) dµ Ý Ð Ñ Þ Ø Ù Ø Ø ÐØ U(E p, t, a, b) 9 (deg F + s + z)p 1/2 log p 1 dp [dp/2]<h [dp/2] h 0 ÓÐ s g Ð Ò Þ Ý Ò Þ Ñ Ø Ð Ð º ÁØØ Ð ÑÑ Ñ ØØ v dp (h) + O (S) + t dp, 1 dp [dp/2]<h [dp/2] v dp (h) 1 dp 0< h [dp/2] v dp (h) 1 dp 0< h [dp/2] dp h log p. º ÞÓÒÝ Ø ÓÞ Ð Ý Ò M N D = (d 1,...,d l ) ÓÐÝ ÒÓ Ó Ý 0 d 1 < < d l p Mº ÓÖ Þ Ð Þ Þ ÓÒÐ Ò V (E p, M, D) = = 1 (dp) l M e n+d1...e n+dl = n=1 l 1 n M i=1 n+d 1,..., n+d l S [dp/2]<h i [dp/2] + O (l S) = v dp (h i ) (ψ (F(n + d i )) χ (Q(n + d i ))) h i + ¾

= 1 (dp) l [dp/2]<h 1 [dp/2] 1 n M n+d 1,..., n+d l S [dp/2]<h l [dp/2] (h 1,...,h l ) (0,...,0) v dp (h 1 )...v dp (h l ) l (ψ (F(n + d i )) χ (Q(n + d i ))) h i i=1 + 1 (dp) lm + O (l S) Ì ÒØ ÑÓ Ø Ð Ð Þ Ø ÓÐ ÑÓ Ø Ò Ñ Ñ Ò Ò h i = 0µ Ð Ý Ò h i1 h it Ò Ñ ÒÙÐÐ µ h i ¹ i = 1,...,lµº ÓÖ = = = 1 n M n+d 1,..., n+d l S 1 n M n+d 1,..., n+d l S l (ψ (F(n + d i )) χ (Q(n + d i ))) h i = i=1 1 n M n+d i1,..., n+d ir S 1 n M n+d i1,..., n+d ir S ( l ) ( l ) ψ h i F(n + d i ) χ Q(n + d i ) h i = i=1 i=1 ( r ) ( r ) ψ h ij F(n + d ij ) χ Q(n + d ij ) r d(h ij ) = ψ j=1 ( ) fh1,...,h l (n) χ g h1,...,h l (n) j=1 ( ) qh1,...,h l (n), r h1,...,h l (n) º µ ÓÐ ÓÐ f h1,...,h l (x) = g h1,...,h l (x) = q h1,...,h l (x) = r h1,...,h l (x) = r h it f(x + d it ) g(x + d ij ), t=1 r g(x + d ij ), j=1 1 j r j t r q(x + d ij ) r d(h ij ), j=1 r r(x + d ij ) r d(h ij ), j=1 deg f h1,...,h l deg f + (r 1) deg g deg f + (l 1) deg g, deg g h1,...,h l ) deg ( qh1,...,h l r h1,...,h l = r deg g l deg g r r d (h ij )deg Q ld deg Q. j=1 ¾

ÀÓ Ý Ñ ÑÙØ Ù Ó Ý º µ Ö Ø Ö Þ Ò Ñ Ð ÙÐ Ø Ø Ø ¹ Ð Ò ÞØ Ø Ò Ñ Ð Þ Ö Ø Ý Ð Ó Ý Þ Þ Ò Ñ ÒÙÐÐ h i Ò Ü Ò Ñ Ó ÞØ Ø p¹ú к ÓÖ Ú Ø Þ Ð ÑÑ Ð Ô Ò Ö Ø Ö Þ Ò Ñ Ð ÙÐ º Ð ÑÑ Ð Å µ ¾¼º Ð ÑÑ º À p f(x), g(x) l Ð Ø Ø Ø Ð ÐØ Ø Ð Ø p h ij j = 1,...,r ÓÖ g h1,...,h l (x) f h1,...,h l (x)º À Ú Ð Ñ ÐÝ i¹ö p h i ÓÖ d h i Ý Ð ÐÑ Þ Ø Ú Ø Þ Ð ÑÑ º Ð ÑÑ Ð Å µ ¾½º Ð ÑÑ º À p q(x), r(x) l Ð Ø Ø Ø Ð ÐØ Ø Ð Ø Ú Ð Ñ ÒØ Ú Ò ÓÐÝ Ò j Ò Ü Ñ ÐÝÖ d h ij ÓÖ q h1,...,h l (x) r h1,...,h l (x) = bbd (x) Ò Ñ Ø Ð Ð ÑÑ ÐÝ Ò b F p B(x) F p (x) Ø Òº ÓÖ Ñ Ò Ø Ø Ò 1 n M n+d i1,..., n+d ir S 9 ψ ( ) fh1,...,h l (n) χ g h1,...,h l (n) ( deg ( fh1,...,h l (x) g h1,...,h l (x) ( qh1,...,h l (n) r h1,...,h l (n) ) ) + deg ( qh1,...,h l (x) r h1,...,h l (x) )) p 1/2 log p 9(l + 1) (deg (F(x)) + d deg (Q(x))) p 1/2 log p, º µ Ù Ý Ò max{deg f h1,...,h l, deg g h1,...,h l } + s h1,...,h l deg f + (l + 1) deg g (l + 1) deg F ÓÐ s h1,...,h l g h1,...,h l Ð Ò Þ Ý Ò Þ Ñ Ø Ð Ð º ¼

ÓÖ º µ Ö Þ ÞÓÒÝ Ø ÓÞ ÓÒÐ Ò Ô Ù Ó Ý V (E p, M, D) 1 v (dp) l dp (h 1 )...v dp (h l ) [dp/2]<h 1 [dp/2] [dp/2]<h l [dp/2] (h 1,...,h l ) (0,...,0) ( l ) ( i) l ψ h i F(n + d i ) χ Q(n + d i ) h + 1 n M i=1 i=1 n+d 1,..., n+d l S + O(l S ) 1 (dp) l(l + 1) (deg F + d deg Q) p 1/2 log p + O( S l) + O (l deg f) h <dp/2 (l + 1) (deg (F(x)) + d deg (Q(x))) p 1/2 (log p) l+1. v dp (h) l + ½

º Þ Ø È Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò Ò Ö Ö Ó Þ Ð ÐÑ Þ Ó Ò Ô Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò ÓÖÓÞ ØÓ Ñ ÐÐ Ø ÓÑÓÐÝ ÒÝ ÑÙØ Ø ÓÞÓØØ Ô Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò Ö Ó Ö ÒØ Ô Ð ÙÐ ÞØ ÒÓ Ö Ò Ø Ñ ÒÞ Ô Ø Ø Ó Ø Ò Ú Þ Ð Þ Ø Òº Þ ÖØ ÀÙ ÖØ Å Ù Ù Ø Ë Ö ÞÝ Ø Ö ÞØ ØØ Ô Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò Ò Ö ÓÖÓÞ ØÓ Ó ÐÑ Ø Ø Ñ ÒÞ Ö ½ º Ä Ý Ò I n N Þ ÓÐÝ Ò n¹ Ñ ÒÞ Ú ØÓÖÓ Ð ÐÐ ÐÑ Þ Ñ ÐÝ Ú ØÓÖÓ ÓÓÖ Ò Ø {0, 1,..., N 1} ÐÑ Þ Ð Ö ÐÒ I n N = { x = (x 1,...,x n ) : x 1,...,x n {0, 1,..., N 1} }. ÓÖ Ò Ö Ö Ñ ÒØ Þ I n N ÐÑ ÞÓÒ ÖØ ÐÑ Þ ØØ Ò Ö Ú ÒÝ Ú Ò Ò ¹ ÐÚ η : I n N { 1, +1}. Þ Ý Ñ ÒÞ Ø Þ ÓÒÐ Ò Ò Ð Ø Ù Ñ ÖØ Øº Þ Ð Ý Ò Ð Þ Ö u 1,...,u n n Ö Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ú ØÓÖ Ñ ÐÝ Ò n 1 ÓÓÖ Ò Ø ÒÙÐÐ º Ä Ý Ò t 1,...,t n ÓÐÝ Ò Þ Ñ ÐÝ Ö 0 t 1,...,t n < Nº ÓÖ B n N Ú Ý Ö Ú Ò Bµ Ø Ð Ö ÓØ ÓÜ Ð ØØ µ Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ò Ð Ù B n N = {x = x 1 u 1 + + x n u n : 0 x i u i t i, i = 1,...,n}. ¾¾º Ò º Þ η ÓÖÓÞ Ø l¹ Ö Ò ò Ú Ð ØÐ Ò Ñ ÖØ Q l (η) = max η(x + d 1 )...η(x + d l ) B,d 1,...,d l, x B ÓÐ Ñ Ü ÑÙÑ Þ Þ d 1,...,d l I n N B Ø Ð Ö Ö Ú Ø Ø Ñ ÐÝÖ B + d 1,...,B + d l I n Nº ÀÙ Ö Å Ù Ù Ø Ë Ö ÞÝ Þ ÒØ Ò Ú Þ ÐØ Ó Ý Ó Ý Ò Ú Ð Ò Þ Ò Ñ Ö¹ Ø Ú Ð Ú Ð ØÐ Ò Ø Ò ½ ¾

½¼º Ø Ø Ð ÀÙ Ö Å Ù Ù Ø Ë Ö Þݵº À l N ε > 0 ÓÖ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò N 0 = N 0 (l, ε) δ = δ(l, ε) > 0 Ó Ý N > N 0 ÓÖ δn n/2 < Q l (η) < (81l N n log N n ) 1/2 Ø Ð Ð 1 ε¹ò Ð Ò ÝÓ Ú Ð Þ Òò к Å Ù Ù Ø Ë Ö ÞÝ ¾½ Ø Ö ÞØÚ ½ ¹ Ò Ø Ð Ð Ø ÓÒ ØÖ٠ص Ô Ð Ø ÑÙØ ØÓØØ Ô Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò ØÙÐ ÓÒ Ó Ð Ö Ò Ð Þ Ö Ö º ÓÒ ØÖÙ Å Ù Ù Ø Ë Ö Þݵº Ä Ý Ò q = p n ÔÖ Ñ ØÚ ÒÝ γ Ú Ö Ø ¹ Ù Ö Ø Ö F q ¹Ò f(x) F q [x]º ÓÖ Ò Ð Ù Þ η Ö ÓØ Ú Ø Þ ÔÔ Ò { γ(f(x1 b 1 + + x n b n )) f(x 1 b 1 + + x n b n ) 0, η(x) = 1 Ñ Ð Ò Ò, ÓÐ b 1,...,b n F q Ý Þ F p Ð ØØ x = (x 1,...,x n )º ÞÓÒÝ ØÓØØ ØÓÚ Ó Ý f Ð Ø ÞÓÒÝÓ ÐØ Ø Ð Ø ÓÖ Þ ÓÒ ØÖÙ Q l (η) < deg f l(q 1/2 (1 + log p) n + 2). ÌÓÚ ÓÒ ØÖÙ Ø Ð ½½ ½¾ ¾¾ º Å Ý Þ Ñ Ó Ý Ñ Ò Ò Ö Ö Ó ÐÑ Ø Ñ Ò Ñ ÖØ Ø Ð Ø Ø Ö ÞØ Ò Ø Þ Ñ ÐÙÑ ØÖ Ð Å º º½º È Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò Ò Ö Ö Ó ÓÒ ØÖÙ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ö Ø Ö Ø Ú Ð ÓÒ ØÖÙ ÓÞ ÓÒÐ Ò Ø Ö ÞØ Ø ÓÒ ØÖÙ Ø ÐØ Ð ÒÓ ÑÙÐØ ÔÐ ¹ Ø Ú Ö Ø ÖÖ º ÓÒ ØÖÙ º Ä Ý Ò q = p n ÔÖ Ñ ØÚ ÒÝ f(x) F q [x] χ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ö Ø Ö F q ¹Ò º ÓÖ Ò Ð Ù Þ η Ö ÓØ Ú Ø Þ ÔÔ Ò { ( +1 arg χ(f(x1 b 1 + + x n b n )) ) [0, π), η(x) = 1 Ñ Ð Ò Ò, ÓÐ b 1,...,b n F q Ý Þ F p Ð ØØ x = (x 1,...,x n )º Ú Ø Þ Ø Ø Ð Ð Ô Ò Þ Ý ÓÒ ØÖÙ

½½º Ø Ø Ð Å µº Ä Ý Ò q = p n Ý Ô Ö ØÐ Ò ÔÖ Ñ ØÚ ÒÝ χ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ö Ø Ö F q ¹Ò Ñ ÐÝÒ d Ö Ò Ô ÖÓ f(x) F q [x] ÓÐÝ Ò ÔÓÐ ÒÓÑ Ñ ÐÝ Ò Ñ d¹ ØÚ ÒÝ Ñ Ò Ò Ý Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ý Ó ÞØ Ø d¹ú Ð Ú Ý ÓÞ Ö Ð Ø Ú ÔÖ Ñº Ì Ý Ð ØÓÚ Ó Ý (deg f, l, F q ) ÖÑ Ñ Ò Ø º ÓÖ Q l (η) 4 l l deg f(log d) l q 1/2 (1 + log p) n l deg f. ½º Ñ ÝÞ ºº À ÓÒÐ Ñ Þ Ö Ð Þ Ð Ø ÞØ Þ Ø Ø Ñ ÓÖ Ö Ø Ö Ö Ò Ô Ö ØÐ Ò Å º ÓÖ ÓÒÐ Ò Þ Ý Ñ ÒÞ Ø Þ ÓÒ ØÖÙ Ò Ý d¹ö ÞÒ Ð Ø Q l (η) l deg f(log d) l q 1/2 (1 + log p) n + q d l. ÞÓÒÝ Ø º ÞÓÒÓ Ø Ù Þ F n p Ú ØÓÖØ Ö Ø F q ¹Ú Ð Þ x x = x 1 b 1 + + x n b n Ñ Ð ÐØ Ø Ðº ÓÖ η(x) = η(x)º ÞÓÒÝ Ø ÓÞ Ø ÒØ Ò Ý B Ø Ð Ö ÓØ d 1,...d l F q Ð Ñ Ø Ó Ý B + d 1,...,B + d l I n p º Ä Ý Ò N Ð Ø Ý ÐÑ Þ N = {x B : f(x + d 1 )... f(x + d l ) = 0}. ÓÖ Ð ÑÑ Ð Ô Ò η(x + d 1 )...η(x + d l ) x B 2 l 1 γ 1 (g) d 2 d l 1 γ 1 (g) γ 1(f(x + d 1 )) x B\N γ1 d=χ 0... 1 γ l (g) d 2 1 γ l (g) γ l(f(x + d l )) + l deg f 2l d l γ d 1 =χ 0 γ d l =χ 0... 1 γ 1 (g) d 2 1 γ 1 (g)... 1 γ d 2 l(g) 1 γ l (g) γl d=χ 0 γ 1 (f(x + d 1 ))...γ l (f(x + d l )) + l deg f. x B\N À ÓØØ γ u u = 1,..., lµ Ö Ø Ö Ø Ò δ u Þ Ø º ¹ ÓÞ ÓÒÐ Ò Ò ¹ Ð Ù ÓÖ x B\N = x B\N γ 1 (f(x + d 1 ))...γ l (f(x + d l )) = χ ( f δ 1 (x + d 1 )...f δ l (x + d l ) ) = ½ Ð ÑÑ ÓÞ ÓÒÐ Ò ÞÓÐ Ø Ù Å x B\N χ(f δ1,...,δ l (x)).

¾ º Ð ÑÑ º À ½½ Ø Ø Ð ÐØ Ø Ð Ø Ð ÐÒ 0 < δ 1,...,δ l < d ÓÖ Þ F δ1,...,δ l (x) Ú ÒÝ Ò Ñ d¹ ØÚ Òݺ Ð ÑÑ Ð Ô Ò ÒØ Ö Ø Ö Þ Ò Ñ ØÖ Ú Ð Ý Ð ÐÑ Þ Ø Þ Ø Ø Ð η(x + d 1 )...η(x + d l ) x B 2l... 1 γ 1 (g) d 2 d l 1 γ 1 (g)... 1 γ d 2 l(g) 1 γ l (g) F δ1,...,δ l (x) + l deg f γ1 d=χ 0 γl d=χ 0 x B\N 2l d ll deg fq1/2 (1 + log p) n l 1 γ(g) d 2 + l deg f 1 γ(g) γ d =χ 0 4 l l deg f(log d) l q 1/2 (1 + log p) n + l deg f Ð ÑÑ Ñ Øغ

º Þ Ø È Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò Ò Ö ÓÖÓÞ ØÓ Ö Ó ÐÐ ÔØ Ù Ö Ð ØØ ÃÖ ÔØÓ Ö Ð ÐÑ Þ Ó Ò Ð Þ Ö Ø ØØ Ð ÞÒ ÐÒ ÐÐ ÔØ Ù Ö Ø ÞÓ Ú Ð ØÐ Ò Ú Ð Ñ Øغ ÐÐ ÔØ Ù Ö Ø Ú Ð Ð Þ Ö À ÐÐ Ö Ò Ò ÐØ ÓÖÓÞ ØÓØ ½ º Æ Ú Þ Ø Ò Ò ÐØ Þ ÐÐ ÔØ Ù Ö Ð ØØ Ð Ò Ö ÓÒ ÖÙ Ò Ò Ö ØÓÖØ ÓØØ E ÐÐ ÔØ Ù Ö P, P 0 E ÔÓÒØ Ø Ò ÓÖÓÞ ØÓØ Þ s 0 = P 0 Þ s n = P s n 1 = np P 0 º½µ Ö ÙÖÞ Ò Ð º Ò ÐÐ ØÚ Ò Ä Ó Ø ÒÙÐÑ ÒÝÓÞØ Þ Ð ÓÖÓÞ Ø¹ Ð Þ ÖÑ ÞØ Ø Ø Ò Ö ÓÖÓÞ ØÓ Ø ÓÐ Ò Ö ÓÖÓÞ ØÓØ Ä Ò Ö Þ Ñ¹ ÐÙÑ ÐÐ ØÚ Ú Ø Ø Ð ØØ Þ Ö Ø ÐÓ Ö ØÑÙ Ø Ú Ð Þ ÖÑ ÞØ ØØ º Þ Ø Ò ÞØ Þ ÐÑ Ð Ø Ø Ø Ö ÞØ Ñ ÐÐ ØÚ Ú Þ ÐÓÑ Þ ÐÐ ÔØ Ù Ö Ð ÐÑ Þ Ø Ø Ô Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò Ò Ö Ö Ó Ò Ö Ð Ö º º½º ÐÐ ÔØ Ù Ö Ö Ø Ö Þ Ò Ö Þ Ò Þ Ó Ð ÐÓÑ Þ ÐÐ ÔØ Ù Ö Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ð ÔÚ Ø Ð Ð Ø Ö Ø Ö Þ Ð Øº Ä Ý Ò p > 3 ÔÖ Ñ Þ Ñ E ÐÐ ÔØ Ù Ö F p Ð ØØ Ñ ÐÝ Ø Ï Ö ØÖ Ý Ò¹ Ð Ø Ò Ð y 2 = x 3 + Ax + B, ÓÐ A, B F p Þ Ö Ñ Ò Ò Ò Ñ ÒÙÐÐ Ð µº Þ F p ¹Ö ÓÒ Ð ÔÓÒØÓ E(F p ) Ð ÓÔÓÖØÓØ Ð ÓØÒ ÓÐ ÑòÚ Ð Ø Þ Þ ¹ ÒÒ ÒÚ ÖÞ µº Ý R ÔÓÒØ Ø Ò nr Ð Ý Ò nr = n i=1 Rº

E(F p ) Ñ ÒØ ÓÔÓÖØ ÞÓÑÓÖ Ø Ð Ù ÓÔÓÖØ Ö Ø ÞÓÖÞ Ø Ú Ð E(F p ) = Z M Z L ÓØØ L M Þ Ö º P, Q Ð ÑÔ Ö Ý Þ P Ö Ò M Q Ö Ò L Ñ Ò Ò Ð Ñ Ý ÖØ ÐÑò Ò Ö Ø Ð mp lq Ð Ò ÓÐ 0 m < M 0 l < L Ä Ý Ò F p (E) Þ E Ú ÒÝØ Ø F p Ð Øغ Þ f F p (E) Ú ÒÝ Ú ÞÓÖ Div(f) = R E(F p) ÓÖÑ Ð Þ ÓÐ ord R (f) Þ f Ö Ò R¹ Òº Þ f Ý Ò Ô ÐÙ Ò ÐÑ Þ Þ f Ú ÞÓÖ Ò Ø ÖØ º ord R (f)[r], Supp(f) = {R E(F p ) ord R (f) 0} Þ f Ó Ú ÒÝ Ú ÞÓÖ Ò Ò ÑÒ Ø Ú Ý ØØ Ø Ò Þ È Ð ÙÐ deg x = 2 deg y = 3º deg f = ord R (f)>0 τ W W E(F p ) Ð ÑÑ Ð Ø ÖØ Ò ÐØÓÐ ord R (f). τ W : E(F p ) E(F p ), Þ E(F p ) Ñ ÒØ Ð ÓÔÓÖØ Ö Ø Ö P P W. Ω = {ω ab : ω ab (mp lq) = e M (am)e L (bl) 0 m < M 0 l < L} ÓÐ P Q Ý Ü Þ µ ÓØØ χ F p Ð ØØ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ö Ø Ö ψ Ø Ú Ö Ø Ö ω Ω E(F p ) Ð ØØ Ö Ø Ö f F p (E) Ú ÒÝ Ø Ò Ð Ý Ò S(ω, χ, f) = P E(F p) f(p) 0, S(ω, ψ, f) = P E(F p) f(p) ÐÐ ØÚ ÓØØ H E(F p ) Ö Þ ÓÔÓÖØ Ø Ò Ð Ý Ò S H (ω, χ, f) = P H f(p) 0, ω(p)χ(f(p)), ω(p)ψ(f(p)), ω(p)χ(f(p)).

S H (ω, χ, f) = P H f(p) ω(p)ψ(f(p)). À Þ Þ Ò Ñ ØÖ Ú Ð ÓÖ Ö Ø Ö Þ Ð Ø ½¾º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò χ χ 0 d¹ Ö Ò ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ö Ø Ö F p ¹Ò ω Ω Ö Ø Ö E(F p )¹Ò º À f F p (E) Ò Ñ d¹ ØÚ ÒÝ ÓÖ S(ω, χ, f) 2 Supp(f) p. Ø Ø Ð Ý Ú Ø ÞÑ ÒÝ Å ¾ º Ã Ú Ø ÞÑ Òݺ À χ ω f Ñ ÒØ Ð H E(F p ) Ö Þ ÓÔÓÖØ ÓÖ S H (ω, χ, f) 2 Supp(f) p. Þ Ø Ú Ø Ò ÓÒÐ ÞÓÒÝ Ø Ø ½ º Ø Ø Ð ÃÓ Ð Ë Ô ÖÐ Ò ½ µº Ä Ý Ò ψ ψ 0 Ø Ú Ö Ø Ö F p ¹Ò ω Ω Ö Ø Ö E(F p )¹Ò º À f F p (E) Ò Ñ ÓÒ Ø Ò ÓÖ S(ω, ψ, f) 2 deg(f) p. ÒØ Ö Ñ ÒÝ Ø Ú Ð ÞÓÒÝ Ø ØÙÒ Ò Ñ ØÖ Ú Ð ÓÖÐ ØÓØ Ò ÑØ Ð Ö Ø Ö Þ Ö ¾ º Ð ÑÑ Ò Ä Ó µº Ä Ý Ò Q E(F p ) N¹ Ö Ò ò ÔÓÒØ χ χ 0 ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ö Ø Ö F p ¹Ò f F p (E) ÓÐÝ Ò Ú ÒÝ Ñ ÐÝÖ f(x, y) z d (x, y) Ñ Ò Ò z F p (E) Ø Òº ÓÖ Ñ Ò Ò a, b, t N Þ ÑÖ Ñ ÐÝÖ 1 a a + (t 1)b N Ú Ø Þ Ø Ð Ð t 1 χ(f((a + bx)q)) < Supp(f) p1/2 (1 + log N). x=0 ÁÐÐ ØÚ Þ Ø Ú Ø Ò ¾ º Ð ÑÑ Ò Ó µº Ä Ý Ò Q E(F p ) N¹ Ö Ò ò ÔÓÒØ f F p (E) Ò Ñ ÓÒ Ø Ò Ú Òݺ ÓÖ Ñ Ò Ò a, b, t N Þ ÑÖ Ñ ÐÝÖ 1 a a + (t 1)b N Ú Ø Þ Ø Ð Ð t 1 e p (f((a + bi)g)) deg fp1/2 log N. i=0 Ú Ø Þ Ò ÞÓÒÝ ØÓÑ Þ Ø Ø Ð Ñ Ð Ð Øº Ø Ø Ð ÑÓÒ ÓÞ Þ ¹ Ò Ð Þ Ý Ò ØÐ Ò Ó ÐÑ Ö º

¾ º Ò º P 1,...,P n Ð Ñ Ý Ò Ò ØÐ Ò a 1 P 1 a n P n = O = a i P i = O, i = 1,...,n. Å Ý Þ Ñ Ó Ý P 1,...,P n Ð Ñ Ý Ò Ò ØÐ Ò ÓÖ P 1,..., P n, P n+1 = O ÞÓ ÞÓÒ Ò ÞØ ØÖ Ú Ð Ø Ø Ñ ÓÖ Ú Ð Ñ ÐÝ Ð Ñ Oµ ØÓÚ Ò Þ Ö Ù º ½ º Ø Ø Ð Å µº Ä Ý Ò χ d¹ Ö Ò ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ö Ø Ö f F p (E) Ñ ÐÝ Ò Ñ d¹ ØÚ ÒÝ F p (E) Ð Øغ Ä Ý Ò P 1,..., P n E(F p ) Ý Ò Ò ØÐ Ò ÔÓÒØÓ t 1,...,t n N ÓÐÝ Ò Þ Ñ ÐÝ Ö t i < P i º Ä Ý Ò B = {i 1 P 1 i n P n : i 1 t 1,...,i n t n }, ÓÖ χ(f(q)) 2 3 n deg(f)p 1/2 (log E(F p ) ) n. Q B Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø ÓÖ Ò Ð ÞÒ ÐÓÑ Ú Ø Þ Ð ÑÑ Ø ¾ º Ð ÑÑ Å µº Ä Ý Ò P E(F p ) t N ÓÐÝ Ò Þ Ñ ÐÝÖ t < P º ÓÖ ω Ω t ω(ip) 3 E(F p) log E(F p ). i=0 ½ Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø º ÓÔÓÖØ Ö Ø Ö Ð ÔÚ Ø ØÙÐ ÓÒ Ð Ô Ò χ(f(q)) = Q B = = 1 E(F p ) n t 1 i 1 =0 t 1 i 1 =0 t n t n i n=0 i n=0 ω 1,...,ω n j 1 =1 χ(f(i 1 P 1 i n P n )) P 1 ω 1 (j 1 i 1 )...ω n (j n i n ) 1 E(F p ) n t 1 i 1 =0 P 1 ω 1,...,ω n j 1 =1 t n i n=0 P n j n=1 P n j n=1 χ(f(j 1 P 1 j n P n )) χ(f(j 1 P 1 j n P n ))ω 1 (j 1 P 1 )...ω n (j n P n ) ω 1 ( i 1 P 1 )...ω n ( i n P n ) = P n P 1 1 = χ(f(j E(F p ) n 1 P 1 j n P n ))ω 1 (j 1 P 1 )...ω n (j n P n ) ω 1,...,ω n j 1 =1 j n=1 ( n tν ) ω ν ( i ν P ν ). ν=1 i ν=0

ÓÒÒ Ò ÖÓÑ Þ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ð Ô Ò χ(f(q)) Q B P 1 1 P n E(F p ) n χ(f(j 1 P 1 j n P n ))ω 1 (j 1 P 1 ) ω n (j n P n ) ω 1,...,ω n j 1 =1 j n=1 n t ν ω ν ( i ν P ν ). ν=1 i ν=0 º¾µ Ä Ý Ò ÑÓ Ø H E(F p ) P 1,..., P n Ð Ñ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ö Þ ÓÔÓÖغ Å Ú Ð P 1,...,P n Ð Ñ Ý Ò Ò ØÐ Ò Þ ÖØ ω : { Ð Ò ÐØ Þ H Ý Ö Ø Ö º ω = ω H n H C j 1 P 1 j n P n ω 1 (j 1 P 1 )... ω n (j n P n ) Ä Ý Ò ω Þ Ö Ø Ö E(F p )¹Ò Ñ ÐÝÖ ÞÞ Ð Ú Ð ÞØ Ð P 1 P n χ(f(j 1 P 1 j n P n ))ω 1 (j 1 P 1 ) ω n (j n P n ) j 1 =1 j n=1 = χ(f(p))ω(p) 2 deg(f)p1/2 P H ¾ Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ñ Øغ Þ º¾µ º µ ¾ Ð ÑÑ Ð Ô Ò χ(f(q)) 2 1 n t ν deg(f)p1/2 ω(ip E(F p ) n ν ) Q B ν=1 ω i=0 2 deg(f)p 1/2 1 E(F p ) n (3 E(F p) log E(F p ) ) n = 2 3 n deg(f)p 1/2 (log E(F p ) ) n. º¾º È Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò ÓÖÓÞ ØÓ ÐÐ ÔØ Ù Ö Ð ØØ º µ ÐÐ ÔØ Ù Ö Ð ØØ ÔÓÒØÓ Ý ÓÖÓÞ Ø Ø Ñ Ö ÑÐ Ø ØØ º½µ¹ Ð Ð Ò Ö ÓÒ¹ ÖÙ Ò Ò Ö ØÓÖ Ø Ú Ð Ð Ø Ò Ö ÐÒ º È Ö Þ Ñ Ö ÓÖÓÞ Ø Ø ¼

ÓÖ Ð Ñ Ø ÓÖ ÒÒÝ Ò ØÙ Ù Þ Ñ Ø Ò Ö Ú Ø Þ Ð Ñ Ø Ý Ý ÓÖÐ Ø Ò Ñ ÔÓÒØÓ Ö Ý F p (E)¹ Ð Ú ÒÝØ Ð ÐÑ ÞÒ n f(np). º µ ÓÖÓÞ Ø Ô Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò ØÙÐ ÓÒ Ò Ú Þ Ð Ø ÓÞ Þ Ð ÓÖÓ¹ Þ Ø Ð ÔÞ ØØ Ò Ö ÓÖÓÞ ØÓ Ø Ú Þ Ð Ù Ñ Ö ÞÒ ÐØ Ñ ÖØ Ðº ÓÖÓÞ ØÓØ Ð Ý Þ Öò Ò Ä Ò Ö Þ Ñ ÐÙÑÑ Ð ØÙ Ù Ò Ö ÓÖÓÞ ØØ ØÖ Ò Þ ÓÖÑ ÐÒ ½¼º ÓÒ ØÖÙ Òµº Ä Ý Ò p ÔÖ Ñ Þ Ñ E ÐÐ ÔØ Ù Ö F p Ð ØØ G E(F p ) T ¹ Ö Ò ò Ð Ñ f F p (E)º ÓÖ Ò Ð Ù Þ E T = {e 1,...,e T } ÓÖÓÞ ØÓØ Ú Ø Þ ÔÔ Ò e n = ( ) f(ng) p 1 ng Supp(f) Ñ Ð Ò Òº Ò Ú Þ ÐØ ÓÒ ØÖÙ ÐÓ ÞÐ Ñ ÖØ Ø ÐÐ ØÚ Ð Ò Ö ÓÑÔÐ Ü Ø Øº ÞÓÒ Ò ÒÝ ØÓØØ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ö Ø Ó Ý ÓÒ ØÖÙ ÓÖÖ Ð Ñ ÖØ Ñ ÐÝ Ò Ø Ò Ð Þ º Ñ ÒØ Þ Ð Ô Ð ÑÙØ Ø ÞÓÒÝÓ Ö Ø Ò Ñ Ð Ý Þ Öò ÓÒ ØÖÙ Ñ ÓÖ f(x, y) = x ÖÓ Þ ÓÖÓÞ ØÓØ Ò Ö Ð ¾º Ô Ð º Ì ÒØ Ú Ø Þ ÐÐ ÔØ Ù Ö Ø F 19 Ð Øغ y 2 = x 3 2x. Ö Ò ¾¼ ÔÓÒØ Ú Ò G = (2, 2) ÔÓÒØ Ý Ò Ö ØÓÖº Ä Ý Ò f(x, y) = x Ø ÒØ ½¼ ÓÒ ØÖÙ ÐØ Ð Ò ÐØ ÓÖÓÞ ØÓØ n ng e n ½ ¾ ¾µ ¹½ ¾ ½ µ ½ ½ ½µ ¹½ ½½ µ ½ ½ ½¼µ ¹½ ½ µ ½ ½¼ µ ¹½ ½ ½ µ ½ ½ ½ µ ¹½ ½¼ ¼ ¼µ ¹½ n ng e n ½½ ½ ½ µ ¹½ ½¾ ½ µ ½ ½ ½¼ ½¾µ ¹½ ½ ½ µ ½ ½ ½ µ ¹½ ½ ½½ ½ µ ½ ½ ½ ½ µ ¹½ ½ µ ½ ½ ¾ ½ µ ¹½ ¾¼ O ¹½ ½

Ñ Ó Ö Ò ò ÓÖÖ Ð Ò Ý ( ) ( ) ( ) f(ng) f((n + 10)G) f(ng) f(ng + 10G) e n e n+10 = = 19 19 19 ( ( ) ( f(ng) f(ng + (0, 0)) = = x y ) 2 x) x = 1, 19 19 Ù Ý Ò x ( ( y ) ) 2 x x Ú ÒÝ ÓÒ Ø Ò Ö Òº Ô Ð Ò Þ Ö ÔÐ ÓÖÓÞ Ø Ñ ÓÖÖ Ð Ò Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ó Ý Ñ Ö Þ Ö Ø f(ng) ÓÖÓÞ Ø Ñ Ô Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Òº Í Ý Ò Ñ Ö Þ Ð Ð Ø ÓÖ ØÙ Ò Ó Ù Ó Ý ÓÖÓÞ Ø Ñ Ó Ð Ò Ñ ÓÖ ÔÙÒ ÓÐÝ Ò ÔÓÒØÓØ Ñ Ò Ð ÓÓÖ Ò Ø Ú Ö Ø Ù Ñ Ö Ñ ÓÖ Ò Ñº ÓÒ ØÖÙ ÓÞ ÓÒÐ Ò ÐØ Ð ÒÓ Ø Ø Ù ½¼ ÓÒ ØÖÙ Ø ½½º ÓÒ ØÖÙ º Ä Ý Ò p ÔÖ Ñ Þ Ñ E ÐÐ ÔØ Ù Ö F p Ð ØØ G E(F p ) T ¹ Ö Ò ò Ð Ñ f F p (E) χ d ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ö Ø Ö F p ¹Ò º E T = {e 1,...,e T } ÓÖÓÞ ØÓØ Ú Ø Þ ÔÔ Ò { ( ) +1, ng Supp(f) arg χ(f(ng)) [0, π), e n = 1, Ñ Ð Ò Ò. ÓÖ Ò Ð Ù Þ À ÓÒÐ Ò ÓÖ ÓÞ χ Ä Ò Ö Þ Ñ ÐÙÑ ÓÖ Ú Þ Ô Ù ½¼ ÓÒ ØÖÙ Ø Ñ Ö ÞÖ Ð χ p 1¹ Ö Ò ò Ö Ø Ö ÓÖ Ñ Ô Ù Ò Ä Ó Þ Ö Ø ÐÓ Ö ØÑÙ ÓÒ Ð ÔÙÐ ÓÒ ØÖÙ Ø º ½ º Ø Ø Ð Å µº Ä Ý Ò p ÔÖ Ñ Þ Ñ χ ÓÐÝ Ò d¹ Ö Ò ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ö Ø Ö F p ¹Ò Ñ ÐÝÒ Ö Ò Ô ÖÓ E ÐÐ ÔØ Ù Ö F p Ð ØØ f F p (E) ÓÐÝ Ò Ú ÒÝ Ñ ÐÝ Ò Ñ d¹ ØÚ ÒÝ F p (E)¹ Òº À G T ¹ Ö Ò ò ÔÓÒØ Þ E T = {e 1,...,e T } ÓÖÓÞ ØÓØ ½½ ÓÒ ØÖÙ Ò Ð ÓÖ W(E T ) 4 Supp(f) p 1/2 (1 + log T) log d + Supp(f). º µ ÌÓÚ f Ý Ò Ô ÐÙ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ý d¹ú Ð Ó ÞØ Ø Ú Ý ÓÞ Ö Ð Ø Ú ÔÖ Ñ l N ÓÐÝ Ò Þ Ñ ÐÝÖ ( Supp(f), l, T) ÖÑ d¹ñ Ò¹ Ø ÓÖ C l (E T ) 4 l Supp(f) p 1/2 (1 + log T)(log d) l + l Supp(f). º µ ¾º Ñ ÝÞ ºº Ò Þ Ø Ò Ñ ÓÖ Ö Ø Ö Ö Ò Ô Ö ØÐ Ò Ú Ø Þ ÓÖÐ ØÓ Ø Ð Ø ÞÓÒÝ Ø Ò W(E T ) l,f p 1/2 log T log d + T d, C l(e T ) l,f p 1/2 log T(log d) l + M d l. ¾

ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò g F p Ý ÓÐÝ Ò Ò Ö ØÓÖ Ñ ÐÝÖ χ(g) = e(1/d)º ÓÖ Ð ÑÑ Ð Ô Ò e n = 2 1 γ(g)d/2 d 1 γ(g) γ d =χ 0 γ(f(ng)). Ä Ý Ò a Z b, t N ÓÐÝ Ò Þ Ñ ÐÝ Ö 1 a a + (t 1)b T, b < T. ÓÖ t 1 U(E T, t, a, b) = e a+jb j=0 d 2 1 γ(g) 2 γ(f((a + jb)g)) d 1 γ(g) + Supp(f) 0 j<t γ d =χ 0 a+jb N 2 d γ(f((a + jb)g)) 1 γ(g) d 2 γ d =χ 0 0 j<t 1 γ(g) + Supp(f). a+jb N Å Ú Ð f Ò Ñ d¹ ØÚ ÒÝ ¾ Ð ÑÑ Ð Ô Ò 2 d γ d =χ 0 0 j<t a+jb N γ(f((a + jb)g)) 1 γ(g) d 2 1 γ(g) 2 d Supp(f) p1/2 (1 + log t) γ χ 0 2 1 γ(g) 2 Supp(f) p 1/2 (1 + log t) log d. À ÓÒÐ Ò Þ º µ ÞÓÒÝ Ø ÓÞ Ð Ý Ò M < T D = (d 1,..., d l ) ÓÐÝ ÒÓ

Ó Ý 0 d 1 < < d l T Mº ÓÖ M V (E T, M, D) = e n+d1...e n+dl n=1 2l 1 n M: n+d i N i=1,...,l d l γ d 1 =χ 0 + l Supp(f). 2 l 1 γ 1 (g) d 2 d l 1 γ 1 (g) γ 1(f((n + d 1 )G)) γ1 d=χ 0... 1 γ l (g) d 2 1 γ l (g) γ l(f((n + d l )G)) + l Supp(f) γl d=χ 0... 1 γ 1 (g) d 2 1 γ 1 (g)... 1 γ l(g) d 2 1 γ l (g) γl d=χ 0 γ 1 (f((n + d 1 )G))...γ l (f((n + d l )G)) 1 n M: n+d i N i=1,...,l ÓØØ γ u Ö Ø Ö Ø Ò u = 1,...,lµ Ò Ð Ù δ u Þ Ø º µ¹ ÓÞ ÓÒÐ Òº Ý 1 n M: n+d i N i=1,...,l = 1 n M: n+d i N i=1,...,l = 1 n M: n+d i N i=1,...,l γ 1 (f((n + d 1 )G))...γ l (f((n + d l )G)) = χ ( f δ 1 ((n + d 1 )G))...f δ l ((n + d l )G) ) χ ( f δ 1 τ d1 G(nG)...f δ l τ dl G(nG) ). Ä Ý Ò F γ1,...,γ l = F δ1,...,δ l = f δ 1 τ d1 G... f δ l τdl Gº ÓÖ Ð Ñ ÑÙØ ØÒ Ú Ø Þ Ð ÑÑ Ø ¾ º Ð ÑÑ º ½ Ø Ø Ð ÐØ Ø Ð Ò Ø Ð Ð Ø Ò F δ1,...,δ l Ú ÒÝ Ò Ñ d¹ Ú Òݺ

Î Ð Ò ¾ Ð ÑÑ Ð Ô Ò V (E T, M, D) 2l... 1 γ 1 (g) d 2 d l 1 γ 1 (g)... 1 γ l(g) d 2 1 γ l (g) γ1 d=χ 0 γl d=χ 0 + l Supp(f) d ll Supp(f) p1/2 (1 + log M) 2l + l Supp(f) γ d =χ 0 2 1 n M: n+d i N i=1,...,l 1 γ(g) 2l d ll Supp(f) p1/2 (1 + log M)(2d log d) l + l Supp(f) 4 l Supp(f) p 1/2 (1 + log M)(log d) l + l Supp(f). l χ (F δ1,...,δ l ) + Î Ð ¾ Ð ÑÑ ÞÓÒÝ Ø ÞÓÒÝ Ø º Å ÑÙØ ØÓÑ Ó Ý Þ F δ1,...,δ l Ú ÒÝ Ú ÞÓÖ Ò Ò Ñ Ñ Ò Ò Ý ØØ Ø Ó ÞØ Ø d¹ú к À R Ý Ñ ÐÐ Ó ÞØ ÐÝ G ¹Ò E(F p )¹ Ò ÓÖ R = {S ag a = 1,..., T } Ú Ð Ñ ÐÝ S R Ø Òº ÓÒØ Ù Ð f Ú ÞÓÖ Ø Ñ ÐÐ Ó ÞØ ÐÝÓ Ò Ñ Ð Ð Ò Div R (f) = ord R (f)[r], R R ÓÐ Div(f) = R Div R (f). À R R Ý Ý Ú Ý Ý Ô ÐÙ f¹ò ÓÖ Þ Þ Ý Ô ÐÙ F δ1,...,δ l ¹Ò R¹ Ò R ag d i G Ð a {1,..., T }, i {1,..., l}µº ÓÖ F δ1,...,δ l Ú ÞÓÖ Ò R¹ Ö Þ Div R (F δ1,...,δ l ) = Div R (f δ 1 τ d1 G...f δ l τ dl G) = l δ i ord R (f)[r d i G] R R i=1 T l = δ i ord S ag (f)[s ag d i G], a=1 i=1 ÓÐ S R Ý Ö Þ Ø ØØ Ð Ñ º Ê Þ Ø Ò ÑÓ Ø Ý R Ñ ÐÐ Ó ÞØ ÐÝØ Ñ ÐÝ Ø ÖØ ÐÑ Þ f¹ò

Ð Ð Ý ÓÐÝ Ò Ý Ø Ú Ý Ô ÐÙ Ø Ñ ÐÝÒ Ö Ò Ö Ð Ø Ú ÔÖ Ñ d¹ Þº Ä ¹ Ý Ò A Þ a Ð Ñ Ð ÐÐ ÑÙÐØ ÐÑ Þ a = 1,...,T µ ÓÐ Ñ Ò Ò Ð Ñ ÑÙÐØ ÔÐ ¹ Ø ord R ag (f) ÑÓ ÙÐÓ d Ð Ý Ò B d i Ð Ñ ÑÙÐØ ÐÑ Þ ÓÐ Ñ Ò Ò Ð Ñ ÑÙÐØ ÔÐ Ø δ i i = 1,...,lµº A Ñ Ò Ò Ð Ñ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ö Ð Ø Ú ÔÖ Ñ d¹ Þ A Ð Ò Þ Ð Ñ Ò Þ Ñ Ð Ð Supp(f) B Ð Ò Þ Ð Ñ Ò Þ Ñ Ð Ð l ( Supp(f), l, T) ÖÑ d¹ñ Ò Ø Ý Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò Q Ð Ñ Ñ ÐÝ ÑÙÐØ ÔÐ Ø A + B¹ Ò Ò Ñ Ó ÞØ Ø d¹ú к Ý ÒÒ Þ Ð ÑÒ Þ Ý ØØ Ø F δ1,...,δ l Ú ÞÓÖ Ò Ò Ñ Ó ÞØ Ø d¹ú к Þ ÞÒ ÐØ Þ Þ Ð Þ º µ ÓÖÓÞ ØÒ Ò Ñ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Þ Ø Ú ØÙÐ ÓÒ Ø Ú Þ ÐÒ ØÙ Ù º Å Þ Ú Ð ÓÖÓÞ ØÓØ Ò Ñ ½½ ÓÒ ØÖÙ Ø Ú Ð ØÙ Ù Ò Ö ÓÖÓÞ ØØ ØÖ Ò Þ ÓÖÑ ÐÒ Ò Ñ Ú Ø Þ Ñ ÓÒ ½¾º ÓÒ ØÖÙ º Ä Ý Ò p ÔÖ Ñ Þ Ñ E ÐÐ ÔØ Ù Ö F p Ð ØØ G E(F p ) T ¹ Ö Ò ò Ð Ñ f F p (E)º ÓÖ Ò Ð Ù Þ E T = {e 1,..., e T } ÓÖÓÞ ØÓØ Ú Ø Þ ÔÔ Ò e n = { +1, f(ng) {0, 1,..., p 1 2 }, 1, Ñ Ð Ò Ò. ÞØ ÓÒ ØÖÙ Ø Ð Þ Ö Ò Ó Ú Þ ÐØ Ò Ô Ð Ø Ò Ñ ÓÖ f(x, y) = x, y, x/2 Ú Ý y/2 º Ã Ä Ù Ï Ò Ò ½ Ø Ö ÞØ ØØ ÓÒ ØÖÙ Ø ÖÖ Þ ÐØ Ð ÒÓ ØÖ Ñ ÓÖ f ÔÓÐ ÒÓÑ Ñ ÓÖ Ú ÒÝ Ý ØÐ Ò Ô ÐÙ Oµ Ú Ý Ñ ÓÖ f Ý ÔÓÐ ÒÓÑ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÒÚ ÖÞ º ÞÓÒ Ò Ñ ÒØ Þ Ð Ô Ð ÑÙØ Ø ÒÒÝò ÓÐÝ Ò Ý Þ Öò Ö ÓÒ Ð Ø ÖØ Ú ÒÝ Ø Ò Ñ ÓÖ ÓÒ ØÖÙ Ú Ð ÔÓØØ Ò Ö ÓÖÓÞ Ø Ò Ñ Ô Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Òº Ý Ö Ñ Ú Þ ÐÒ Ó Ý ÓÒ ØÖÙ Ñ ÓÖ Ø Ö ÞØ Ø ÐÝ Ñ ÓÒ Ñ ÓÖ Ò Ñº º Ô Ð º Ì ÒØ ¾ Ô Ð Ò ÞÒ ÐØ ÐÐ ÔØØ Ù Ö Ø Ð Ý Ò Ñ ÒØ G = (2, 2) Ò Ö ØÓÖº Ä Ý Ò f(x, y) = 9x + 1 Ø ÒØ ½¾ ÓÒ ØÖÙ ÐØ Ð x Ò ÐØ ÓÖÓÞ ØÓØ

n ng f(ng) e n ½ ¾ ¾µ ½ ¾ ½ µ ½ ¹½ ½ ½µ ½ ¹½ ½½ µ ½½ ¹½ ½ ½¼µ ½ ½ µ ½½ ¹½ ½¼ µ ½ ¹½ ½ ½ µ ½ ¹½ ½ ½ µ ½ ½¼ ¼ ¼µ ¹½ n ng f(ng) e n ½½ ½ ½ µ ½ ½¾ ½ µ ½ ¹½ ½ ½¼ ½¾µ ½ ¹½ ½ ½ µ ½½ ¹½ ½ ½ µ ½ ½ ½½ ½ µ ½½ ¹½ ½ ½ ½ µ ½ ¹½ ½ µ ½ ¹½ ½ ¾ ½ µ ½ ¾¼ O ¹½ Ñ ÒØ Ð Ø Þ e n = e n+10 Þ Þ C 2 (E 20 ) Ñ Ó Ö Ò ò ÓÖÖ Ð Ò Ýº ½ º Ø Ø Ð Å µº Ä Ý Ò p > 3 ÔÖ Ñ Þ Ñ G E(F p ) T ¹ Ö Ò ò Ð Ñ f F p (E) Ò Ñ ÓÒ Ø Ò Ú Òݺ À Þ E T = {e 1,...,e T } ÓÖÓÞ ØÓØ ½¾ ÓÒ ØÖÙ Ò Ð ÓÖ À ÐØ Þ ØÓÚ Ó Ý µ deg f < p(t) l = 2 µ deg f < p(t) (4 deg f) l < p(t) W(E T ) << deg f p 1/2 log p log T. ÓÐ p(t) T Ð ÔÖ ÑÓ ÞØ ÓÖ ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò C l (E T ) << l deg fp 1/2 (log p) l log T. N = {n : 1 n T : f(ng) = }, Ø ÒØ Ò a, b, t N ÓÐÝ Ò Þ Ø Ñ ÐÝ Ö Ð ÑÑ Ð Ô Ò t 1 U(E T, t, a, b) = e a+jb = j=0 = 1 p h <p/2 1 a a + (t 1)b T, b < T. º µ v p (h) 0 j t 1 a+jb N e p (hf((a + jb)g)) + O 0 j T a+jb N 1. º µ

Å Ú Ð À h 0 ÓÖ Ð ÐÑ Þ Ø Ù ¾ Ð ÑÑ Ø U(E T, a, b, t) v p (0) + 1 p Ñ Ò Ò h 0 Ø Ò Ý U(E T, a, b, t) deg fp 1/2 log T 1< h <p/2 v p (h) p h 1< h <p/2 v p (h) deg fp 1/2 log T + deg f. º µ 1 h + deg f deg fp1/2 log p log T. Ñ Ó Ö Þ ÞÓÒÝ Ø ÓÞ Ð Ý Ò D = (d 1, d 2,...,d l ) M ÓÐÝ ÒÓ Ó Ý 0 d 1 < d 2 < < d l p Mº ÓÖ Þ ÒØ Ò Ð ÑÑ Ð Ô Ò V (E T, M, D) = M e n+d1...e n+dl = n=1 = 1 p l l 1 n M i=1 h i <p/2 n+d 1,...,n+d l N + O 1 n M n+d 1 N h 1 = = h l = 0 Ø ÓØ Ð Ú Ð ÞØÚ 1 + + v p (h i )e p (h i f((n + d i )G))+ 1 n M n+d l N V (E T, M, D) = 1 pl(m + O(l deg f))+ + 1 v p l p (h 1 )...v p (h l ) h 1 <p/2 h l <p/2 (h 1,...,h l ) (0,...,0) 1 n M n+d 1,...,n+d l / N + O(l deg f) = 1 p l h 1 <p/2 h l <p/2 (h 1,...,h l ) (0,...,0) 1 n M n+d 1,...,n+d l / N + O(l deg f). 1. e p (h 1 f((n + d 1 )G) + + h l f((n + d l )G))+ v p (h 1 )...v p (h l ) e p (h 1 f((n + d 1 )G) + + h l f((n + d l )G))+ º½¼µ

Ì ÒØ ÑÓ Ø Ð Ð Ø ÓØ Ð Ð Ò Ñ ÒÙÐÐ h i Ý ØØ Ø Ø h i1 h ir Þ ÑÓ º ÓÖ 1 n M n+d 1,...,n+d l / N = = 1 n M n+d 1,...,n+d l / N 1 n M n+d i1,...,n+d ir / N e p (h 1 f((n + d 1 )G) + + h l f((n + d l )G)) e p (h i1 f((n + d i1 )G) + + h ir f((n + d ir )G)) e p (h i1 f((n + d i1 )G) + + h ir f((n + d ir )G)) + O (l deg f). Ä Ý Ò F h1,...,h l = h i1 f τ di1 G+ +h ir f τ dir Gº ÓÖ Þ Ò Ñ ÓÒ Ø Ò Ú ÒÝ ¼º Ð ÑÑ º À ½ Ø Ø Ð ÐØ Ø Ð Ø Ð ÐÒ (h 1,...,h l ) (0,...,0) ÓÖ Þ F h1,...,h l Ú ÒÝ Ò Ñ ÓÒ Ø Ò º Ð ÑÑ Ð Ô Ò Þ Ð Þ Þ Ð Ø ¾ Ð ÑÑ Ø Ú Ð 1 n M n+d 1,...,n+d l / N e p (h 1 f((n + d 1 )G) + + h l f((n + d l )G)) deg F h1,...,h l p 1/2 log T + O (l deg f) l deg fp 1/2 log T. º½½µ Ð ÑÑ Þ º½¼µ º½½µ Ð Ô Ò V (E T, M, D) 1 p l h 1 <p/2 h l <p/2 (h 1,...,h l ) (0,...,0) + O (l deg f) l deg fp 1/2 l log T v p (h 1 )... v p (h l ) l deg fp 1/2 log T h <p/2 l deg fp 1/2 l log T 1 + l deg fp 1/2 log T(log p) l. v p (h) 0< h <p/2 l p h + (l deg f) l + (l deg f) Î Ð ÞÓÒÝ ØÓÑ ¼ Ð ÑÑ Ø ÞÓÒÝ Ø º Å ÑÙØ ØÓÑ Ó Ý Þ F h1,...,h l Ú ÒÝÒ Ð Ð Ý Ô ÐÙ Ú Òº ¾ Ð ÑÑ ÓÞ ÓÒÐ Ò Ø ÒØ G Ñ ÐÐ Ó ÞØ ÐÝ Ø E(F p )¹ Òº

Ä Ý Ò R = {S + ag : a = 1,...,T } Ý ÓÐÝ Ò Ñ ÐÐ Ó ÞØ ÐÝ Ñ ÐÝ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ f Ð Ð Ý Ô ÐÙ Ø Ð Ý Ò A ÞÓÒ a Ð Ñ ÐÑ Þ Ñ ÐÝÖ S ag Ô ÐÙ f¹ò Ð Ý Ò B d ij Þ ÑÓ ÐÑ Þ º S ag d ij G a A d ij Bµ Þ F h1,...,h l Þ R¹ Ô ÐÙ º Å Ö ÞÖ Ð A deg f B = r l, Ý ½ Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ñ ØØ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò c Ñ ÐÝÒ ÔÓÒØÓ Ò Ý Ð ÐÐ Ø Ú Ò a d ij = c, a A, d ij B. ÓÖÑ Òº Þ Ò a d ij Þ ÑÓ Ö S ag Ô ÐÙ h ij f τ dij G¹Ò Ò Ñ h il f τ dil G j lµ Ø ÒÝ Þ Ò Ý Þ Ú Ð Ò Ô ÐÙ F h1,...,h l ¹Ò º º º È Þ Ù ÓÚ Ð ØÐ Ò Ö Ó ÐÐ ÔØ Ù Ö Ð ØØ Ò Ö Þ Ò ½½ ÓÒ ØÖÙ Ø Ñ ÒÞ Ú ÐØÓÞ Ø Ø Ú Þ ÐÓѺ ½ º ÓÒ ØÖÙ º Ä Ý Ò p ÔÖ Ñ Þ Ñ χ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ö Ø Ö F p ¹Ò E ÐÐ ÔØ Ù Ö F p Ð ØØ f F p (E) P 1,..., P n E(F p ) ÓÐÝ Ò Ý Ò Ò ØÐ Ò ÔÓÒØÓ Ñ ÐÝ Ö Ò Ò Ñ Ò ÝÓ N¹Ò к ÓÖ Ò Ð Ù η : IN n { 1, +1} Ö ÓØ Ú Ø Þ Ñ ÓÒ +1 x 1 P 1 x n P n Supp(f) η(x 1,...,x n ) = arg ( χ(f(x 1 P 1 x n P n )) ) [0, π) 1 Ñ Ð Ò Ò. ½ º Ø Ø Ð Å µº Ä Ý Ò p > 3 ÔÖ Ñ Þ Ñ χ d¹ Ö Ò ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ö Ø Ö F p ¹ Ò Ñ ÐÝÒ Ö Ò Ô ÖÓ E ÐÐ ÔØ Ù Ö F p Ð Øغ Ä Ý Ò ØÓÚ f F p (E) Ñ ÐÝ Ò Ñ d¹ ØÚ ÒÝ F p (E)¹ Ò Þ f Ý Ò Ô ÐÙ Ò Ö Ò Ú Ý Ó ÞØ Ø d¹ú Ð Ú Ý d¹ Þ Ö Ð Ø Ú ÔÖ Ñº Ä Ý Ò N N P 1,...,P n E(F p ) ÓÐÝ Ò Ý Ò Ò ØÐ Ò ÔÓÒØÓ Ñ ÐÝ Ö Ò Ò Ñ Ò ÝÓ N¹Ò к À Þ η : IN n { 1, +1} Ö ÓØ ½ ÓÒ ØÖÙ Ò Ð ( Supp(f), l, E(F p )) ÖÑ Ñ Ò Ø ÓÖ Q l (η) 2 3 n (2d) l ld deg(f)p 1/2 (log E(F p ) ) n (log d) l + l Supp(f). º Ñ ÝÞ ºº À Ö Ø Ö Ö Ò Ô ÖÓ ÓÖ Q l Ñ ÖØ Ö Ú Ø Þ ÓÖÐ Ø Ø Q l (η) n,l d deg(f)p 1/2 (log E(F p ) ) n (log d) l + E(F p) d l ¼