Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) log 4 (x ) = 3 b) lg (x 4) = lg (8x 10) c) log x + log 3 = log 15 d) log x 0x log x 5 = e) log 3 (x 1) = log 3 4 f) log 5 x = 4 g) lg (x + 1) + lg (x 5) = + lg (x ) h) log 3 (5x 7) log 3 (3x + 9) = log 3 4 + 3 log 3 5 log 3 500 Megoldás: Az alapegyenletek megoldásánál arra kell törekednünk, hogy mindkét oldalon egyetlen, ugyanolyan alapú logaritmus szerepeljen, mert akkor a függvény szigorú monotonitása miatt a logaritmusokat elhagyhatjuk. Amennyiben az egyik oldalon egy logaritmus, a másik oldalon pedig egy szám áll, akkor definíció alapján a logaritmust átírhatjuk hatványalakra. 9 a) log 4 (x ) = 3 Értelmezési tartomány: x > 0 x > definíció szerint x = 4 3 x = 66 Megfelel a feltételnek. b) lg(x 4) = lg(8x 10) Értelmezési tartomány: x 4 > 0 x > 8x 10 > 0 x > 5 4 A feltételeket összevetve a következőt kapjuk: x >. 1
a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt x 4 = 8x 10 x = 1 Nem felel meg a feltételnek, nincs megoldás. c) log x + log 3 = log 15 Értelmezési tartomány: x > 0. log (3x) = log 15 a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt 3x = 15 x = 5 Megfelel a feltételnek. d) log x 0x log x 5 = Értelmezési tartomány: 0x > 0 x > 0 és x 1 log x 0x 5 x = 4x x (x 4) = 0 = definíció szerint Egy szorzat értéke csak akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Ezek alapján a megoldás: x 1 = 0 Nem felel meg a feltételnek. x 4 = 0 x = 4 Megfelel a feltételnek.
e) log 3 (x 1) = log 3 4 Értelmezési tartomány: x 1 > 0 x > 1 log 3 (x 1) = log 3 4 a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt (x 1) = 4 x x 3 = 0 A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása x 1 = 1 és x = 3. Az első megoldás nem felel meg a feltételnek. Ezek alapján a megoldás: x = 3. f) log 5 x = 4 Értelmezési tartomány: x > 0 x 0 definíció szerint x = 65 Ezek alapján a megoldás: x 1 = 5 és x = 5 (megfelelnek a feltételnek). g) lg (x + 1) + lg (x 5) = + lg (x ) Értelmezési tartomány: x + 1 > 0 x > 1 x 5 > 0 x > 5 x > 0 x > A feltételeket összevetve a következőt kapjuk: x > 5. 3
lg[(x + 1) (x 5)] = lg 100 + lg(x ) lg(x 4x 5) = lg(100x 00) a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt x 4x 5 = 100x 00 x 104x + 195 = 0 Megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása x 1 = 104+ 10036 x = 104 10036. és Mindkét megoldás megfelel a feltételnek. h) log 3 (5x 7) log 3 (3x + 9) = log 3 4 + 3 log 3 5 log 3 500 9 Értelmezési tartomány: 5x 7 > 0 x > 7 5 3x + 9 > 0 x > 3 A feltételeket összevetve a következőt kapjuk: x > 7 5. 5x 7 log 3 = log 4 5 3 3x+9 3 500 9 log 3 5x 7 3x+9 = log 3 9 a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt 5x 7 3x+9 = 9 5x 7 = 7x + 81 x = 4 Nem felel meg a feltételnek, nincs megoldás. 4
. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) log x 1 (3x 4x + 5) = b) = lg (x 100) 1 lg 5 c) log 3 x + 5 = 1 d) log 7 x 14 = 0 e) ( 1 x lg x 1 5 )lg = x 1 5lg 15 Megoldás: a) log x 1 (3x 4x + 5) = Értelmezési tartomány: x 1 > 0 x > 1 3x 4x + 5 > 0 x R A feltételeket összevetve a következőt kapjuk: x > 1. definíció szerint 3x 4x + 5 = (x 1) x = 4 x 1 = Megfelel a feltételnek. x = Nem felel meg a feltételnek. b) = lg (x 100) 1 lg 5 Értelmezési tartomány: x 100 > 0 x > 100 5
(1 lg 5) = lg(x 100) lg 5 = lg(x 100) lg 100 lg 5 = lg(x 100) lg 4 = lg(x 100) a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt 4 = x 100 x = 104 Megfelel a feltételnek. c) log 3 x + 5 = 1 Értelmezési tartomány: x > 0. I. log 3 x + 5 = 1 log 3 x = 4 definíció szerint x = 3 4 = 1 81 Megfelel a feltételnek. II. log 3 x + 5 = 1 log 3 x = 6 definíció szerint x = 3 6 = 1 79 Megfelel a feltételnek. d) log 7 x 14 = 0 Értelmezési tartomány: x 14 > 0 x 14 0 x 7 6
definíció szerint x 14 = 7 0 = 1 Az abszolútérték miatt két ágat kell vizsgálnunk: I. Az ág értelmezési tartománya: x 14 0 x 7 x 14 = 1 x = 15 megfelel a feltételnek II. Az ág értelmezési tartománya: x 14 < 0 x < 7 x + 14 = 1 x = 13 megfelel a feltételnek e) ( 1 x lg x 1 5 )lg = x 1 5lg 15 Értelmezési tartomány: x > 0. (5 1 ) lg x lg x = 5 3 lg x 1 5 5 lg x lgx = 5 lg x 4 a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt lg x lg x = lg x 4 lg x = 4 lg x = x 1 = 100 Megfelel a feltételnek. lg x = x = 1 100 Megfelel a feltételnek. 7
3. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) log 4 [log 3 (log x)] = 0 b) log 8 [4 log 6 (5 x)] = 1 3 c) log 3 [1 + log (3 log x + 1)] = 1 d) log 5 [ 1 5 log 3( log 0,5 x)] = 1 e) log 3 {log 8 [log (x + 9)]} = 1 + log 3 Megoldás: Ezen típusnál az egyenletben több logaritmus van egymásba ágyazva, így azokat kívülről befele haladva bontsuk le a definíció alkalmazásával. Mivel azértelmezési tartomány felírása hosszadalmas lenne, így célszerű csak az egyszerűbb feltételt felírni és a végén ellenőrizni a megoldást. a) log 4 [log 3 (log x)] = 0 Értelmezési tartomány: x > 0 log x > 0 és log 3 (log x) > 0 log 3 (log x) = 4 0 = 1 definíció szerint definíció szerint log x = 3 definíció szerint x = 3 = 8 Ellenőrzés: Bal oldal: log 4 [log 3 (log 8)] = 0 Jobb oldal: 0 8
b) log 8 [4 log 6 (5 x)] = 1 3 Értelmezési tartomány: 5 x > 0 5 > x 4 log 6 (5 x) > 0 definíció szerint 4 log 6 (5 x) = 8 1 3 = log 6 (5 x) = 1 definíció szerint 5 x = 6 x = 1 Ellenőrzés: Bal oldal: log 8 [4 log 6 (5 ( 1))] = 1 3 Jobb oldal: 1 3 c) log 3 [1 + log (3 log x + 1)] = 1 Értelmezési tartomány: x > 0 3 log x + 1 > 0 és 1 + log (3 log x + 1) > 0 definíció szerint 1 + log (3 log x + 1) = 3 log (3 log x + 1) = definíció szerint 3 log x + 1 = = 4 log x = 1 definíció szerint x = Ellenőrzés: Bal oldal: log 3 [1 + log (3 log + 1)] = 1 Jobb oldal: 1 9
d) log 3 {log 8 [log (x + 9)]} = 1 + log 3 Értelmezési tartomány: x + 9 > 0 x > 9 log (x + 9) > 0 és log 8 [log (x + 9)] > 0 log 3 {log 8 [log (x + 9)]} = log 3 1 3 + log 3 log 3 {log 8 [log (x + 9)]} = log 3 log 8 [log (x + 9)] = 3 3 a függvény szigorú monotonitása miatt definíció szerint log (x + 9) = 8 3 = 4 definíció szerint x + 9 = 4 = 16 x = 7 Ellenőrzés: Bal oldal: log 3 {log 8 [log (7 + 9)]} = log 3 Jobb oldal: log 3 3 3 4. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) lg x + lg x = 1 b) 4 lg x = 3 lg x c) log 3 [(log x) 3 log x + 5] = d) 1 5 lg x + 1 + lg x = 1 e) (log x) = log x + 3 Megoldás: Ezen típusnál vezessünk be új ismeretlent a logaritmus helyett, s az így adódó másodfokú egyenletet megoldva, a kapott értékeket helyettesítsük vissza az eredeti kifejezésbe. 10
a) lg x + lg x = 1 Értelmezési tartomány: x > 0 és x > 0 x > 0 lg x + lg x + 1 = 0 Legyen: a = lg x a + a + 1 = 0 a = 1 Visszahelyettesítés után a következő adódik: lg x = 1 definíció szerint x = 1 10 Megfelel a feltételnek. b) 4 lg x = 3 lg x Értelmezési tartomány: x > 0 és lg x 0 x 1 A feltételeket összevetve a következőt kapjuk: x 1. 16 8 lg x + lg x = 9 lg x lg x 17 lg x + 16 = 0 Legyen: a = lg x a 17a + 16 = 0 A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása a 1 = 1 és a = 16. Visszahelyettesítés után a következők adódnak: a 1 = 1 lg x = 1 x 1 = 10 Megfelel a feltételnek. a = 16 lg x = 16 x = 10 16 Megfelel a feltételnek. 11
c) log 3 [(log x) 3 log x + 5] = Értelmezési tartomány: x > 0 (log x) 3 log x + 5 > 0 definíció szerint (log x) 3 log x + 5 = 3 = 9 (log x) 3 log x 4 = 0 Legyen a = log x. a 3a 4 = 0 A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása a 1 = 1 és a = 4. Visszahelyettesítés után a következők adódnak: a 1 = 1 log x = 1 x 1 = 1 a = 4 log x = 4 x = 16 Ellenőrzés: x 1 = 1 1 Bal oldal: log 3 [(log ) 1 3 log + 5] = Jobb oldal: x = 16 Bal oldal: log 3 [(log 16) 3 log 16 + 5] = Jobb oldal: d) 1 + = 1 5 lg x 1 + lg x Értelmezési tartomány: x > 0 5 lg x 0 x 10 5 1 + lg x 0 x 1 10 1
1 + lg x + (5 lg x) = (5 lg x) (1 + lg x) (lg x) 5 lg x + 6 = 0 Legyen a = lg x. a 5a + 6 = 0 A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása a 1 = és a = 3. Visszahelyettesítés után a következők adódnak: a 1 = lg x = x 1 = 100 Megfelel a feltételnek. a = 3 lg x = 3 x = 1000 Megfelel a feltételnek. e) (log x) = log x + 3 Értelmezési tartomány: x > 0 x > 0 x > 0 x R \ {0} A feltételeket összevetve a következőt kapjuk: x > 0. (log + log x) = log x log + 3 (1 + log x) = log x 1 + 3 (log x) = 1 Ebből a következők adódnak: log x = 1 x = Megfelel a feltételnek. log x = 1 x = 1 Megfelel a feltételnek. 13
5. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) log x + log 4 x + log 8 x = 11 b) 3 log 5 x + log 5 x = 7 c) log 7 x + log1 x = log 49 x 3 7 d) (log 3 x) (log 9 x) (log 7 x) = 4 3 Megoldás: Ezen típusnál a különböző alapú logaritmusokat azonos alapú logaritmusokká kell alakítanunk. Az új alapot célszerű az előforduló alapok közül kiválasztani úgy, hogy az a legkisebb egész legyen. a) log x + log 4 x + log 8 x = 11 Értelmezési tartomány: x > 0. log x + log x log 4 + log x log 8 = 11 log x + log x + log x 3 = 11 6 log x + 3 log x + log x = 66 11 log x = 66 log x = 6 definíció szerint x = 6 = 64 Megfelel a feltételnek. b) 3 log 5 x + log 5 x = 7 Értelmezési tartomány: x > 0. 3 log 5 x + log 5 x log 5 5 = 7 3 log 5 x + log 5 x = 7 14
6 log 5 x + log 5 x = 14 7 log 5 x = 14 log 5 x = definíció szerint x = 5 = 5 Megfelel a feltételnek. c) log 7 x + log1 x = log 49 x 3 7 Értelmezési tartomány: x > 0. log 7 x + log 7 x log 7 1 7 log 7 x + log 7 x 1 = log 7 x log 7 49 3 = log 7 x 3 log 7 x 4 log 7 x = log 7 x 6 3 log 7 x = 6 log 7 x = definíció szerint x = 7 = 49 Megfelel a feltételnek. d) (log 3 x) (log 9 x) (log 7 x) = 4 3 Értelmezési tartomány: x > 0. log 3 x log 3 x log 3 9 log 3 x log 3 7 = 4 3 log 3 x log 3 x (log 3 x) 3 = 8 log 3 x 3 = 4 3 log 3 x = definíció szerint x = 3 = 9 Megfelel a feltételnek. 15
6. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) log 4 x + log x 4 = 5 b) log x 8 log 4x 8 = log x 16 c) (log x) (log 4 x) = log 4 d) log 5 (x + 0) log x 5 = 1 Megoldás: a) log 4 x + log x 4 = 5 Értelmezési tartomány: x > 0 és x 1 log 4 x + log 4 4 log 4 x = 5 log 4 x + 1 log 4 x = 5 (log 4 x) + = 5 log 4 x (log 4 x) 5 log 4 x + = 0 Legyen: a = log 4 x a 5a + = 0 A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása a 1 = és a = 1. Visszahelyettesítés után a következők adódnak: a 1 = log 4 x = x 1 = 16 Megfelel a feltételnek. a = 1 log 4 x = 1 x = Megfelel a feltételnek. b) log x 8 log 4x 8 = log x 16 Értelmezési tartomány: x > 0 és x 1 x 1 x 1 4x 1 x 1 4 16
log 8 log 8 = log 16 log x log 4x log x 3 3 = 4 log x log 4 + log x log + log x 3 3 = 4 log x + log x 1 + log x 6 + 3 (log x) + 9 log x [3 log x + 3 (log x) ] = 8 log x + 4 (log x) (log x) + log x 3 = 0 Legyen: a = log x a + a 3 = 0 A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása a 1 = 1 és a = 3. Visszahelyettesítés után a következők adódnak: a 1 = 1 log x = 1 x 1 = Megfelel a feltételnek. a = 3 log x = 3 x = 1 8 Megfelel a feltételnek. c) (log x) (log 4 x) = log 4 Értelmezési tartomány: x > 0. (log x) ( log x log 4 ) = 1 (log x) ( log + log x ) = 1 log 4 (log x) ( 1 + log x ) = 1 (log x) + log x = 0 Legyen: a = log x a + a = 0 A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása a 1 = 1 és a =. 17
Visszahelyettesítés után a következők adódnak: a 1 = 1 log x = 1 x 1 = Megfelel a feltételnek. a = log x = x = 1 4 Megfelel a feltételnek. d) log 5 (x + 0) log x 5 = 1 Értelmezési tartomány: x > 0 x 1 log 5 (x + 0) log 5 5 log 5 x = 1 1 log 5(x + 0) = log 5 x log 5 (x + 0) = log 5 x log 5 (x + 0) = log 5 x a függvény szigorú monotonitása miatt x + 0 = x x x 0 = 0 A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása x 1 = 4 és x = 5. Az első eredmény nem felel meg a feltételnek. Ezek alapján a megoldás: x = 5. 7. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) 3 x = 13 b) 5 x+7 = 19 Megoldás: Ezen típusnál az ismeretlen a kitevőben szerepel, ezért a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt mindkét oldalnak vegyük az ugyanolyan alapú logaritmusát, s így a logaritmus azonossága alapján a kitevőt lehozhatjuk szorzatalakba. 18
a) 3 x = 13 a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt lg 3 x = lg 13 x lg 3 = lg 13 x = lg 13 lg 3,3 b) 5 x+7 = 19 a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt lg 5 x+7 = lg 19 (x + 7) lg 5 = lg 19 x + 7 = x 4,4 lg 19 lg 5 1,8 8. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) x 4 log x = 16 b) 100 lg(x+0) = 10000 c) (x + 1) lg(x+1) 3 = 0, 01 d) x lg x = 1000x e) ( 100 x )lg x 3 = 1 f) x 6 log 64 x 1 6 log 5 15 = 46 Megoldás: a) x 4 log x = 16 Értelmezési tartomány: x > 0. 19
a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt log x 4 log x = log 16 4 log x log x = 4 (log x) = 1 log x = 1 x = Megfelel a feltételnek. log x = 1 x = 1 Megfelel a feltételnek. b) 100 lg(x+0) = 10000 Értelmezési tartomány: x + 0 > 0 x > 0 a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt lg 100 lg(x+0) = lg 10000 [lg(x + 0)] lg 100 = 4 lg(x + 0) = definíció szerint x + 0 = 100 x = 80 Megfelel a feltételnek. c) (x + 1) lg(x+1) 3 = 0,01 Értelmezési tartomány: x + 1 > 0 x > 1 a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt 0
lg(x + 1) lg(x+1) 3 = lg 0,01 [lg(x + 1) 3] lg(x + 1) = [lg(x + 1)] 3 lg(x + 1) + = 0 Legyen a = lg(x + 1). a 3a + = 0 A megoldóképlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása a 1 = 1 és a =. Visszahelyettesítés után a következők adódnak: a 1 = 1 lg(x + 1) = 1 x 1 = 9 a = lg(x + 1) = x = 99 Megfelel a feltételnek. Megfelel a feltételnek. d) x lg x = 1000x Értelmezési tartomány: x > 0. a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt lg x lg x = lg 1000x lg x lg x = lg 1000 + lg x (lg x) lg x 3 = 0 Legyen a = lg x. a a 3 = 0 A megoldóképlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása a 1 = 1 és a = 3. Visszahelyettesítés után a következők adódnak: a 1 = 1 lg x = 1 x 1 = 1 10 Megfelel a feltételnek. a = 3 lg x = 3 x = 1000 Megfelel a feltételnek. 1
e) ( 100 x )lg x 3 = 1 Értelmezési tartomány: x > 0. a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt lg ( 100 x )lg x 3 = lg 1 (lg x 3) lg 100 x = 0 Egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Ezek alapján a megoldások: lg x 3 = 0 lg x = 3 x 1 = 1000 Megfelel a feltételnek. lg 100 x = 0 100 x = 1 x = 100 Megfelel a feltételnek. f) x 6 log 64 x 1 6 log 5 15 = 46 Értelmezési tartomány: x > 0. x 6 log 64 x 1 6 3 = 46 x 6 log 64 x 1 = 64 a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt log 64 (x 6 log 64 x 1 ) = log 64 64 (6 log 64 x 1) log 64 x = 1 6 (log 64 x) log 64 x 1 = 0 Legyen a = log 64 x. 6a a 1 = 0 A megoldóképlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása a 1 = 1 és a 3 = 1.
Visszahelyettesítés után a következők adódnak: a 1 = 1 3 log 64 x = 1 3 x 1 = 1 4 Megfelel a feltételnek. a = 1 log 64 x = 1 x = 8 Megfelel a feltételnek. 9. (E) Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) log 5 [ 1 5 log 3( log 0,5 x)] = 1 b) x lg x + 10 x lg x = 11 c) 4 lg x 5 lg x = 6400 d) log (3 + x ) + log (5 x ) = 4 e) 9 log x+0,5 8 3 log x 1 + 1 = 0 f) log x 5x log 5 x = g) log x+1 (x 0, 5) = log x 0,5 (x + 1) Megoldás: Alkalmazzuk az előző típusoknál használt módszereket. a) log 5 [ 1 5 log 3( log 0,5 x)] = 1 Értelmezési tartomány: x > 0 log 0,5 x > 0 1 5 log 3( log 0,5 x) > 0 definíció szerint 1 log 5 3( log 0,5 x) = 5 1 = 1 5 log 3 ( log 0,5 x) = 1 definíció szerint log 0,5 x = 3 log 0,5 x = 1 definíció szerint x = 0,5 1 = Ellenőrzés: Baloldal: log 5 [ 1 5 log 3( log 0,5 )] = 1 Jobb oldal: 1 3
b) x lg x + 10 x lg x = 11 Értelmezési tartomány: x > 0. x lg x + 10 x lg x = 11 Legyen a = xlg x. a + 10 a = 11 a 11a + 10 = 0 A megoldóképlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása a 1 = 1 és a = 10. Visszahelyettesítés után a következők adódnak: x lg x = 1 a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt lg x lg x = lg 1 lg x lg x = 0 (lg x) = 0 lg x = 0 definíció szerint x 1 = 1 Megfelel a feltételnek. x lg x = 10 a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt lg x lg x = lg 10 lg x lg x = 1 (lg x) = 1 lg x = 1 x = 10 Megfelel a feltételnek. lg x = 1 x 3 = 1 10 Megfelel a feltételnek. 4
c) 4 lg x 5 lg x = 6400 Értelmezési tartomány: x > 0. 16 lg x 5 lg x = 6400 (16 5) lg x = 6400 80 lg x = 80 a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt lg x = definíció szerint x = 100 Megfelel a feltételnek. d) log (3 + x ) + log (5 x ) = 4 Értelmezési tartomány: 3 + x > 0 5 x > 0 log [(3 + x ) (5 x )] = 4 definíció szerint 15 3 x + 5 x ( x ) = 4 = 16 ( x ) x + 1 = 0 Legyen a = x. a a + 1 = 0 (a 1) = 0 a 1 = 0 a = 1 Visszahelyettesítés után a következő adódik: x = 1 definíció szerint x = 0 Ellenőrzés: Bal oldal: log (3 + 0 ) + log (5 0 ) = 4 Jobb oldal: 4 5
e) 9 log x+0,5 8 3 log x 1 + 1 = 0 Értelmezési tartomány: x > 0. (3 ) log x+0,5 8 3 log x 1 + 1 = 0 3 log x+1 8 3 log x 1 + 1 = 0 3 (3 log x ) 8 3 3log x + 1 = 0 Legyen a = 3 log x. 9a 8a + 3 = 0 A megoldóképlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása a 1 = 3 és a = 1 9. Visszahelyettesítés után a következők adódnak: a 1 = 3 3 log x = 3 log x = 1 x 1 = Megfelel a feltételnek. a = 1 9 3 log x = 1 9 log x = x 1 = 1 4 Megfelel a feltételnek. f) log x 5x log 5 x = Értelmezési tartomány: x > 0 x 1 log x 5x 0 log 5 5x log 5 x log 5 x = log 5 5+log 5 x log 5 x log 5 x = 1+log 5 x log 5 x log 5 x = 1+log 5 x log 5 x (log 5 x) = (1 + log 5 x) log 5 x = (log 5 x) + log 5 x = 0 Legyen a = log 5 x. 6
a + a = 0 A megoldóképlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása a 1 = és a = 1. Visszahelyettesítés után a következők adódnak: a 1 = log 5 x = x 1 = 1 5 Megfelel a feltételnek. a 1 = 1 log 5 x = 1 x = 5 Megfelel a feltételnek. Ellenőrzés: log 1 (5 1 ) log 5 5 5 1 5 az x 1 nem megoldás g) log x+1 (x 0,5) = log x 0,5 (x + 1) Értelmezési tartomány: x + 1 > 0 x > 1 x 0,5 > 0 x > 0,5 x + 1 1 x 0 x 0,5 1 x 1,5 A feltételeket összevetve: x > 0,5 és x 1,5 lg(x 0,5) lg(x+1) = lg(x+1) lg(x 0,5) [lg(x 0,5)] = [lg(x + 1)] Első eset: lg(x 0,5) = lg(x + 1) a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt x 0,5 = x + 1 0,5 1 Ellentmondás, nincs megoldás. 7
Második eset: lg(x 0,5) = lg(x + 1) lg(x 0,5) = lg(x + 1) 1 a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt x 0,5 = 1 x+1 (x 0,5) (x + 1) = 1 x + x 3 = 0 A megoldóképlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása x 1 = 3 és x = 1. Az első eredmény nem felel meg a feltételnek. Ezek alapján a megoldás: x = 1. 10. Oldd meg a következő egyenlőtlenségeket! (Alaphalmaz: R) a) log5 ( 1 x + 1) < 1 3 3 b) log 3 (x + 3) > log 3 x + 1 c) log 3 5 x 3x + 1 0 Megoldás: Egyenlőtlenséget hasonlóan oldunk meg, mint egyenletet, csak ügyeljünk a következőre: a negatív számmal való szorzásnál (osztásnál), illetve az alap elhagyásakor, ha az 0 és 1 közé esik (a függvény szigorú csökkenése miatt), a reláció iránya megfordul. a) log5 ( 1 3 3 x + 1) < 1 Értelmezési tartomány: 1 3 x + 1 > 0 x > 3 Az egyenlőtlenség megoldása: log5 ( 1 x + 1) < 5 3 3 log5 3 3 a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt 1 3 x + 1 < 5 3 x < A feltétellel összevetve az eredményt, az egyenlőtlenség megoldása: 3 < x <. 8
b) log 3 (x + 3) > log 3 x + 1 Értelmezési tartomány: x + 3 > 0 x > 3 x > 0 x > 0 A feltételeket összevetve: x > 0. Az egyenlőtlenség megoldása: log 3 (x + 3) > log 3 x + log 3 3 log 3 (x + 3) > log 3 6x a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt x + 3 > 6x x < 3 5 A feltétellel összevetve az eredményt, az egyenlőtlenség megoldása: 0 < x < 3 5. c) log 3 5 x 3x + 1 0 Értelmezési tartomány: 5 x 3x + 1 > 0. Egy tört értéke akkor pozitív, ha a számláló és nevező is pozitív, vagy mindkettő negatív. I. Tekintsük először azt az esetet, amikor a számláló és nevező is egy pozitív szám. 5 x > 0 5 > x és 3x + 1 > 0 x > 1 3 A két eredmény közös része: 1 < x < 5. 3 II. Tekintsük most azt az esetet, amikor a számláló és nevező is egy negatív szám. 5 x < 0 5 < x és 3x + 1 < 0 x < 1 3 A két eredménynek nincs közös része. A feltételünk a két ág együttese (uniója): 1 < x < 5. 3 9
Az egyenlőtlenség megoldása: log 3 5 x 3x + 1 log 3 1 a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt 5 x 3x + 1 1 5 x (3x + 1) 3x + 1 4 4x 3x + 1 0 0 Egy tört értéke akkor negatív, ha a számláló pozitív és a nevező negatív, vagy fordítva. I. Tekintsük először azt az esetet, amikor a nevező pozitív, a számláló negatív (vagy 0): 4 4x 0 1 x 3x + 1 > 0 x > 1 3 A két eredmény közös része: 1 x. II. Tekintsük most azt az esetet, amikor a nevező negatív és a számláló pozitív (vagy 0): 4 4x 0 1 x 3x + 1 < 0 x < 1 3 A két eredmény közös része: x < 1 3. A megoldás a két ág együttese (uniója): x < 1, vagy 1 x. 3 A feltétellel összevetve az eredményt, az egyenlőtlenség megoldása: 1 x < 5. 30
11. Oldd meg a következő egyenlőtlenségeket! (Alaphalmaz: R) a) log [log1( x 4 x )] > 0 b) log x 1 (4x + ) 0 c) 1 ( 1 )log x(x 4x+3) > 0 Megoldás: a) log [log1( x 4 x )] 1 Feltétel: x 4 x > 0 a = x a a > 0 0 < a < 1 0 < x < 1 x < 0 x < 0 log1( x 4 x ) > 0 x 4 x > ( 1 )0 x 4 x 1 > 0 a = x a + a 1 > 0 nincs megoldás A feltételeket összevetve: x < 0. Az egyenlőtlenség megoldása: log [log1( x 4 x )] log a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt log1( x 4 x ) log1( x 4 x 1 ) log1 4 x 4 x 1 4 a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt Legyen a = x. 4a + 4a 1 0 a = 1 Visszahelyettesítés után a következő adódik: x = 1 x = 1 Megfelel a feltételnek. 31
d) log x 1 (4x + ) 0 Értelmezési tartomány: x 1 > 0 x > 1 x 1 1 x 1 4x + > 0 x > 1 A feltételeket összevetve: x > 1 és x 1. Az egyenlőtlenség megoldása: I. Ha az alap 1 - nél nagyobb: x 1 > 1 x > 1 log x 1 (4x + ) log x 1 1 a függvény szigorú monotonitása miatt 4x + 1 x 1 4 A feltétellel összevetve az eredményt, ezen az ágon nincs megoldás. II. Ha az alap 0 és 1 közé esik: 0 < x 1 < 1 1 < x < 1 log x 1 (4x + ) log x 1 1 a függvényszigorú monotonitása miatt 4x + 1 x 1 4 A feltétellel összevetve az eredményt, ezen az ágon a megoldás: 1 < x < 1. A két ág eredményeit összevetve a feltétellel, az egyenlőtlenség megoldása: 1 < x < 1. 3
e) 1 ( 1 )log x(x 4x+3) > 0 Értelmezési tartomány: x > 0 x < x 1 x 1 x 4x + 3 > 0 x < 1, vagy x > 3 A feltételeket összevetve: x < 1. Az egyenlőtlenség megoldása: ( 1 )log x(x 4x+3) < 1 ( 1 x(x 4x+3) )log 1 < ( )0 a függvény szigorú monotonitása miatt log x (x 4x + 3) > 0 log x (x 4x + 3) > log x ( x) 0 A feltétel miatt x > 1, így csak egy águnk lesz a megoldás során. log x (x 4x + 3) > log x 1 a függvény szigorú monotonitása miatt x 4x + 3 > 1 x 4x + > 0 Ebből a következő adódik: x <, vagy x > +. A feltétellel összevetve az eredményt, az egyenlőtlenség megoldása: x <. 1. (E) Bizonyítsd be, hogy log 1991 (x 3) + log 199 (x 3) = 3 lg(x 5 4) egyenletnek egyetlen megoldása az x = 4! Megoldás: Az x = 4 behelyettesítéssel azt kapjuk, hogy 0 = 0, vagyis ez egy megoldása az egyenletnek. 33
Legyen f(x) = log 1991 (x 3) + log 199 (x 3) és g(x) = 3 lg(x 5 4). Mivel az f (x) szigorúan monoton növekvő függvény, a g (x) pedig egy szigorúan monoton csökkenő függvény, így maximum egy közös pontjuk lehet. Ebből adódik, hogy az egyenletet megoldva legfeljebb egyetlen megoldás adódhat. Ezek alapján a megoldás: x = 4. 13. (E) Határozd meg a p értékét úgy, hogy a log 3 (9 x + 9p 3 ) = x egyenletnek két pozitív gyöke legyen! Megoldás: Értelmezési tartomány: 9 x + 9p 3 > 0. 9 x + 9p 3 = 3 x (3 x ) 3 x + 9p 3 = 0 Legyen a = 3 x. a a + 9p 3 = 0 Mivel két megoldást kell kapnunk, így a diszkrimináns értéke pozitív: D = b 4ac > 0. 1 36p 3 > 0 1 3 > p 36 Mivel a gyökök pozitívak, így az összegük és szorzatuk is pozitív. Alkalmazzuk a Viete formulákat: a 1 + a = b > 0 a 1 > 0 bármilyen p re teljesül a 1 a = c > 0 a 9p3 > 0 p > 0 A két feltétel megoldásait összevetve a következőt kapjuk: p > 0. Ezek alapján a megoldás: 0 < p < 1 3. 36 34
14. (E) Melyek azok a p, q egészek, amelyekre log a (p + q) = log a p + log a q teljesül? Megoldás: Értelmezési tartomány: a > 0 a 1 p > 0 q > 0 log a (p + q) = log a (p q) a függvény szigorú monotonitása miatt p + q = pq p = pq q p = q (p 1) Ha p = 1, akkor ellentmondás (1 0) adódik, vagyis nincs megoldás. Ha p 1, akkor a következő adódik: q = p = p 1 + 1 = p 1 + 1 = 1 + 1. p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 Ebből azt kapjuk, hogy p 1 osztója 1 nek. Ha p 1 = 1, akkor p = és q =. Ha p 1 = 1, akkor p = 0, ami nem felel meg a feltételnek. Ezek alapján a megoldás: p = és q =. 35