Szilárdságtani számítások Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid
I. Bevezető ismeretek I.1 Definíciók I.2 Tenzoralgebrai alapismeretek I.3 Bevezetés az indexes jelölésmódba I.4 A lineáris rugalmasságtan általános peremértékfeladata
I. Bevezető ismeretek 1. Feladat 1.1. Tenzoralgebrai alapműveletek Adott an alábbi három vektor: a = 8e x + 6e y, b = 3e x e z, c = e x + 2e y + 3e z. Végezze el az alábbi műveleteket: (a) (b) (c) a vektor és b vektor skalár szorzata: a b; a vektor és b vektor vektoriális szorzata: a b; a vektor és b vektor diadikus szorzata: a b = A; (d) A tenzor transzponáltja, mint b a = B = A T ; (e) jobb skalár szorzat: a b c; (f) bal skalár szorzat: c a b ; (g) A tenzor additív felbontása.
I. Bevezető ismeretek 2. Feladat 1.2. Tenzoralgebrai alapműveletek Tekintsük az alábbi három vektort: a = 4e x + 6e y e z, b = 3e x + e y e z, c = 2e y 5e z. Számítsa ki az alábbi mennyiségeket: (a) (b) a és b vektorok skaláris és vektoriális szorzata: a b és a b; a b = A; (c) A tenzor transzponáltja: b a = B = A T ; (d) ellenőrizze, hogy a következő azonosság teljesül: a b c = a b c ; (e) (f) ellenőrizze, hogy c a b = c a b; A tenzor additív felbontása; (g) A aszim tenzor vektorinvariánsa.
I. Bevezető ismeretek 3. Feladat 1.3. Tenzoralgebrai alapműveletek Adott az alábbi u vektormező u = u x (x, y, z)e x + u y (x, y, z)e y + u z (x, y, z)e z Állítsa elő az alábbi mennyiségeket: (a) (b) (c) (d) (e) (f) a vektor divergenciáját: u ; a vektor gradiensét: u ; u mátrixát; és ( ) u mátrixait; u rotációját! Mia kapcsolat a u és u divergenciája között?
I. Bevezető ismeretek 4. Feladat 1.4. Tenzorok Azt az esetet vizsgáljuk, amikor az a vektort z tengely körül (I.2/b pontjához hasonlóan) a pozitív irányba φ szöggel elforgatjuk ( a rot ). Az elmozdulásvektor b ebben az esetben b = a rot a. y a rot φ b a x (a) (b) Határozza meg annak a leképezésnek (tenzornak) a Q disp mátrixát, amely a b elmozdulásvektort rendeli egy tetszőleges a vektorhoz! Mi a kapcsolat az I.2/b pontban tárgyalt forgatótenzor és az imént számított Q disp tenzorok között?
I. Bevezető ismeretek 5. Feladat 1.5. Elméleti kérdés, indexes jelölésmód (a) (b) (c) (d) Igazolja, hogy a forgatótenzor ortogonális tenzor! (Ajánlatos az I.2/b. pontban kiszámított tenzoralakot használni) Indexes jelölésmód segítségével írja fel a lineáris rugalmasságtan következő alapegyenleteit: - kinematikai egyenlet - anyagegyenlet anizotrop esetre (negyedrendű tenzorral), - egyensúlyi egyenlet, - dinamikai peremfeltétel. Indexes jelölésmód segítségével bizonyítsa az alábbi azonosságokat: a b c = a b c ; c a b = c a b. Indexes jelölésmód felhasználásával határozza meg a B and D tenzorok B ij és D ij koordinátáit: B = A ; D = A.
II. Elmozdulási és alakváltozási állapot II.1 A deformáció kinematikája II.2 Nyúlásmértékek II.3 Alakváltozási tenzorok II.4 Kis alakváltozás II.5 Nyúlásmérés
II. Elmozdulási és alakváltozási állapot 1. Feladat 2.1 Egy-dimenziós, nagy alakváltozás problémája: Az x tengellyel párhuzamos, egyik végén befogott, l 0 = 100 mm hosszúságú rugalmas szál koordinátáit x 0 jelöli 0 x 0 l 0. A szálat a háromszorosára nyújtjuk, az egyenletesen megnyúlt rugalmas szál pontjainak koordinátáit x jelöli, 0 x l, ahol l a szál megnyúlt hossza. (a) Írja fel az alakváltozást leíró x x 0, x 0 (x) függvényeket! (b) Határozza meg a rugalmas szál végpontjának megnyúlását, majd írja fel az u x 0, u(x) elmozdulás függvényeket! (c) Határozza meg a du dx du és dx0 deriváltak értékeit, majd döntse el, hogy a szál alakváltozása kis vagy nagy mértékű! (d) Adja meg a nyúlás (vonalelem arány) függvényét x 0 és x koordináták függvényében! Íja fel az elmozdulás és a nyúlás kapcsolatát a rugalmas szál esetére! (e) Számítsa ki a mérnöki nyúlást, valódi nyúlást, a Lagrange- és Euler-féle, valamint a logaritmikus fajlagos nyúlásokat!
II. Elmozdulási és alakváltozási állapot 2. Feladat 2.2 Egy-dimenziós, kis alakváltozási probléma: Az x tengellyel párhuzamos, egyik végén befogott, l 0 = 100 mm hosszúságú rugalmas acélszál koordinátáit x 0 jelöli 0 x 0 l 0. Az acélszálat az 1.003-szorosára nyújtjuk, az egyenletesen megnyúlt szál pontjainak koordinátáit x jelöli, 0 x l, ahol l a szál megnyúlt hossza. (a) Írja fel az alakváltozást x x 0, x 0 (x) függvényeket! (b) Határozza meg az acélszál végpontjának megnyúlását, majd írja fel az u x 0, u(x) elmozdulás függvényeket! (c) Határozza meg a du dx du és dx0 deriváltak értékeit, majd döntse el, hogy a szál alakváltozása kis vagy nagy mértékű! (d) Adja meg a nyúlás (vonalelem arány) függvényét x 0 és x koordináták függvényében! Íja fel az elmozdulás és a nyúlás kapcsolatát a vizsgált acélszál esetére! (e) Számítsa ki a mérnöki nyúlást, valódi nyúlást, a Lagrange- és Euler-féle, valamint a logaritmikus fajlagos nyúlásokat!
II. Elmozdulási és alakváltozási állapot 3. Feladat 2.3 Két-dimenziós, nagy alakváltozási probléma: Egy szilárd test Q jelű pontjának alakváltozás előtti koordinátáit x 0 és y 0 jelöli (kezdeti konfiguráció), alakváltozás utáni (pillanatnyi konfigurációban vett) koordinátái x és y. A kezdeti konfigurációban az e x és e y bázisvektorok egy egységnyi oldalú négyzetet feszítenek ki, amely az alakváltozás után a e x g x = 3e x és e y g y = 0.5e y vektorok által kifeszített téglalappá deformálódik. (a) Írja fel az alakváltozást jellemző alakváltozási gradiens tenzor mátrixát, és adja meg invariáns alakban is! (b) Határozza meg az elmozdulási gradiens tenzort, majd döntse el, hogy az adott pontban az alakváltozás kis vagy nagy mértékű! (c) Számítsa ki a Q jelű pontbeli x 0 és y 0 anyagi vonalak λ x, λ y nyúlásait, majd határozza meg a kezdeti hosszra vonatkoztatott fajlagos nyúlásokat (ε 0 x, ε 0 y )! Határozza meg az x 0 és y 0 anyagi vonalak γ xy szögtorzulásának értékét! (d) Írja fel a Green-Lagrange-féle alakváltozási tenzort! (e) Határozza meg a Q jelű pontbeli n 0 és m 0 anyagi vonalak e n = 0.6e x + 0.8e y és e m = 0.8e x + 0.6e y iránykijelölő egységvektorainak képeit, azaz a Q pontbeli deformálódott anyagi vonalak g n és g m vektorait! (f) Számítsa ki az n 0 és m 0 anyagi vonalak ε 0 n, ε 0 m mérnöki nyúlásait, majd a γ mn szögtorzulás értékét! (g) Ábrázolja az e n és e m irányú anyagi vonalak deformációját, jelölje be a γ mn szögtorzulást! Mi változott a vizsgált anyagi vonal párok alakváltozási mértékei, tenzorai kapcsán?
II. Elmozdulási és alakváltozási állapot 4. Feladat 2.4. Három-dimenziós, nagy alakváltozási probléma: Egy szilárd test az alábbi függvénnyel leírható alakváltozáson megy keresztül: r x 0, y 0, z 0 = 4y 0 2z 0 e x + 2y 0 e y + 2x 0 + 6y 0 + 2z 0 e z, ahol x 0, y 0, z 0 materiális koordináták (azaz a test pontjainak koordintái a kezdeti konfigurációban). (a) Írja fel az alakváltozási gradiens tenzor mátrixát! Határozza meg a pillanatnyi konfiguráció anyagi vonalainak g x, g y, g z érintővektorait! (b) Határozza meg az x 0, y 0, z 0 anyagi vonalak nyúlásait, továbbá a valódi, mérnöki és Lagrange-féle fajlagos nyúlásait! (c) Számítsa ki az n 0 anyagi vonal nyúlását és Lagrang-féle fajlagos nyúlását, amennyiben az n 0 anyagi vonal iránykijelölő egységvektora: e n = 0.6e x + 0.4e y + 0.6982e z. (d) Írja fel a Cauchy-Green-féle deformációs tenzort, majd határozza meg a (b) és (c) feladatokban számított nyúlásértékeket! (e) Határozza meg a Green-Lagrange-féle alakváltozási tenzor mátrixát! (f) Számítsa ki a z 0 és x 0 anyagi vonalak szögtorzulását!
II. Elmozdulási és alakváltozási állapot 5. Feladat 2.5 Két-dimenziós, kis alakváltozási probléma: Egy rugalmas test Q jelű pontjának alakváltozását vizsgáljuk. A kezdeti konfigurációban az e x és e y bázisvektorok egy egységnyi oldalú négyzetet feszítenek ki, amely az alakváltozás után az e x g x = 1.0015e x + 0.0005e y és e y g y = 0.0002e x + 1.0004e y vektorok által kifeszített paralelogrammává deformálódik. (a) Írja fel az alakváltozást jellemző alakváltozási gradiens tenzor mátrixát! Homogén deformációt feltételezve írja fel a r x 0, y 0, z 0, r x, y, z és az u x 0, y 0, z 0 vektorokat! (b) Határozza meg az elmozdulási gradiens tenzort, majd döntse el, hogy az adott pontban az alakváltozás kis vagy nagy mértékű! (c) Számítsa ki a Q jelű pontbeli x 0 és y 0 anyagi vonalak nyúlásait, majd határozza meg a kezdeti hosszra vonatkoztatott fajlagos nyúlásokat (ε 0 x, ε 0 y )! Számítsa ki az x 0 és y 0 anyagi vonalak γ xy szögtorzulásának értékét! (d) Írja fel a Cauchy-Green-féle deformációs és a Green-Lagrange-féle alakváltozási tenzorokat! (e) Határozza meg a Q jelű pontbeli n 0 és m 0 anyagi vonalak e n = 0.6e x + 0.8e y és e m = 0.8e x + 0.6e y iránykijelölő egységvektorainak γ mn szögtorzulását, majd az anyagi vonalak mérnöki nyúlásait! (f) Kis alakváltozást feltételezve határozza meg a ψ forgató tenzort és az A alakváltozási tenzort! Számítsa ki a szögelfordulás-vektort (φ) a vizsgált pontban! (g) A kis alakváltozás során levezetett képletekkel ellenőrizze a γ mn szögtorzulás (c) pontban számított értékét! (h) Vesse össze a kapott eredményeket!
II. Elmozdulási és alakváltozási állapot 6. Feladat 2.6 Három-dimenziós, kis alakváltozási probléma: Egy Q jelű pont elemi környezetének deformációja az x 0, y 0 és z 0 irányú anyagi vonalak deformálódótt, pillanatnyi konfigurációbeli érintő vektoraival adott: g x = 1.002e x + 0.004e z, g y = 1.002e y 0.002e z, g z = 0.002e x 0.996e z. (a) Határozza meg az alakváltozási gradiens tenzort! (b) Írja fel az elmozdulási gradiens tenzort és döntse el (indoklással), hogy az alakváltozás nagy vagy kis mértékű! Szemléltesse a tenzor koordinátáit és oszlopvektorait az elemi triéderen! (c) Írja fel az alakváltozási tenzor mátrixát és nevezze meg a benne szereplő koordinátákat! (d) Határozza meg a ψ forgató tenzor mátrixát és adja meg a vektor invariánsát (φ)! (e) Számítsa ki az e n = 2 e 2 y 2 e 2 z és e m = 2 e 2 y + 2 e 2 z irányú anyagi vonalak szögtorzulását, adja meg az ε n fajlagos nyúlás értékét! (Megjegyzés: használja a (c) feladatban számított alakváltozási tenzort!)
II. Elmozdulási és alakváltozási állapot 7. Feladat 2.7 Három-dimenziós, nagy alakváltozási probléma: Egy szilárd test elmozdulásmezője az alábbi függvény segítségével adott: u x 0, y 0, z 0 = x 0 + 4y 0 2z 0 e x + 3y 0 e y + 2x 0 + 6y 0 + z 0 e z ahol x 0, y 0, z 0 materiális koordináták. (a) Írja fel az elmozdulási gradiens tenzor mátrixát, majd számítsa ki az alakváltozási gradiens tenzort! (b) Mi az alakváltozás kapcsolata a 2.4 példában számolt deformációval (igazolja is)! (c) Számítsa ki az elmozdulási gradiens tenzorból kiindulva a Green-Lagrange-féle alakváltozási tenzor koordinátáit! (d) Írja fel a r x, y, z leképezést, ahol x, y és z térbeli koordináták! (e) Határozza meg az inverz alakváltozási gradiens tenzort! (f) Ismert g n = 0.204e x 0.8e y + 4.996e z, ami a pillanatnyi konfiguráció egy deformálódott n 0 anyagi vonalának érintő vektora. Számítsa ki az n 0 anyagi vonal érintő egységvektorát a kezdeti konfigurációban!
II. Elmozdulási és alakváltozási állapot 8. Feladat 2.8 Három dimenziós alakváltozás, kinematikai egyenlet: Egy gépalkatrész vizsgált tartományának elmozdulásmezője az u vektorral adott: u = θze z r, ahol r = xe x + ye y mm, θ = 2 10 3 mm _ 1. A vizsgált tartomány egyik kitüntett pontja P, amelynek helyvektora: r P = 2e x mm. (a) Írja fel az elmozdulási gradiens tenzor mátrixát, majd számítsa ki az alakváltozási gradiens tenzort a vizsgált tartományon! Határozza meg az elmozdulási gradiens tenzor mátrixát a P jelű pontban, majd döntse el, hogy a pont környezetének alakváltozása kis vagy nagy mértékű! (b) Határozza meg a test A alakváltozási gradiens tenzorát, majd számítsa ki azt a P jelű pontban! (c) Írja fel a forgató tenzor mátrixát a P jelű pontban (ψ P ), majd adja meg a szögelfordulás-vektort (vagy forgásvektort)! (d) Számítsa ki az e n = 0.6e y + 0.8e z irányba vett mérnöki nyúlást!
II. Elmozdulási és alakváltozási állapot 9. Feladat 2.9 Három dimenziós alakváltozás, kinematikai egyenlet: Egy szerkezeti elem vizsgált tartományának u elmozdulásmezője ismert, amelyen a P és Q pontokat vizsgáljuk. u = Cxy 2 e x + Cyz 2 e y + Czx 2 e z, r P = 2e x + 3e y + 4e z cm, r Q = r P + e x = 19e x + 30e y + 40e z mm és C = 10 5 mm. (a) Írja fel az elmozdulási gradiens tenzor mátrixát, majd számítsa ki az alakváltozási gradiens tenzort a vizsgált tartományon! Határozza meg az elmozdulási gradiens tenzor mátrixát a P jelű pontban, majd döntse el, hogy a pont környezetének alakváltozása kis vagy nagy mértékű! (b) Határozza meg a vizsgált tartományon az A alakváltozási gradiens tenzort, majd számítsa ki azt a P jelű pontban! (c) Írja fel a forgató tenzor mátrixát a P jelű pontban (ψ P ), majd adja meg a forgásvektort! (d) Számítsa ki P és Q pontok pontos elmozdulásvektorait! (e) Közelítse a Q pont elmozdulásvektorát az elmozdulási gradiens tenzor segítségével, majd számítsa ki a közelítés hibáját!
II. Elmozdulási és alakváltozási állapot 10. Feladat 2.10 Nyúlásmérés nyúlásmérő bélyegekkel: Egy szerkezeti elem kéttengelyű feszültségi állapotban van. A megfelelő pozícióba felhelyeztünk három nyúlásmérő bélyeget az ábrán látható módon. (a) Határozza meg az ábrán vázolt téglalap elrendezés esetén (3) y (2) φ 2 =45 az ε x, ε y, γ xy értékek számítására alkalmas képleteket! (1) x (b) Írja fel az alakváltozási tenzor mátrixát xy koordináta-rendszerben abban az esetben, ha a következő értékeket mértük a bélyegekkel: ε 1 = 0.005, ε 2 = 0.005, ε 3 = 0.008. (c) Számítsa ki ebben az esetben az e n = 0.6e y + 0.8e x irányú anyagi vonal nyúlását!
II. Elmozdulási és alakváltozási állapot 11. Feladat 2.11 Nyúlásmérés nyúlásmérő bélyegekkel: Egy szerkezeti elem kéttengelyű feszültségi állapotban van. A megfelelő pozícióba felhelyeztünk három nyúlásmérő bélyeget az ábrán látható módon. y (a) Határozza meg az ábrán vázolt elrendezés esetén az ε x, ε y, γ xy értékek számítására alkalmas képleteket! (3) (2) φ 2 =60 φ 3 =120 (1) x (b) Írja fel az alakváltozási tenzor mátrixát xy koordináta-rendszerben abban az esetben, ha a következő értékeket mértük a bélyegekkel: ε 1 = 0.002, ε 2 = 0.009, ε 3 = 0.002. (c) Számítsa ki ebben az esetben az e n = 0.6e x + 0.8e y és e m = 0.8e x + 0.6e y irányú anyagi vonalak szögtorzulását!
III. Feszültségi állapot és egyensúly III.1 Feszültségi állapot III.2 Feszültség tenzorok III.3 Egyensúlyi egyenlet
III. Feszültségi állapot és egyensúly 1. Feladat 3.1 Feszültségi állapot Egy rugalmas szerkezeti elem varratát vizsgáljuk. A kritikus pontban a feszültségi állapotot az ábrán látható elemi kocka (értékek MPa-ban értendő) szemlélteti. A varrat belső felületének normálisa e n = 0.6e x + 0.8e z. 20 40 x 60 (a) Írja fel a feszültségi tenzor mátrixát a vázolt xyz koordináta-rendszerben, majd nevezze meg a feszültségi tenzor koordinátáit! (b) Határozza meg az e n normálisú felületen ébredő feszültségi vektort! (c) Ellenőrizze a szerkezetet, ha a varrat belső felültének megengedett maximális normálfeszültsége 50 MPa! (d) Ellenőrizze a megadott pontot, haa megengedett maximális csúsztatófeszültség 99.5 MPa! (e) Írja fel a feszültségi tenzor koordinátáit (paraméteresen) abban az esetben, amikor a koordináta-rendszert az y tengely körül, pozitív irányba, φ szögel elfordítjuk! 30 z 60 y
III. Feszültségi állapot és egyensúly 2. Feladat 3.2 Feszültségi állapot Az ábrán látható ragasztott szerkezeti elemeket vizsgáljuk (a) Határozza meg a kötés terhelhetőségét, ha a ragasztásra megengedett csúsztatófeszültség maximális értéke 0.95 MPa! 30 mm 30 90 mm (b) Számítsa ki a kötés l minimális hosszát, ha a kötés szélessége b = 50mm, h = 20mm, p = 2250kPa, a ragasztott kötésre megengedett átlagos nyírófeszültség 0.5 MPa! l h h p
III. Feszültségi állapot és egyensúly 3. Feladat 3.3 Egyensúlyi egyenlet Egy rugalmas szerkezeti elem egyensúlyban van, térfogati terhelése zérus. Adott a T feszültségi tenzorának mátrixa derékszögű koordináta-rendszerben. (a) Háromdimenziós eset: x 2 2xy + cz y 2 xy xz [T] = y 2 xy y 2 yz ; xz yz cz (b) Kétdimenziós eset: [T] = 2a2 yx + by 2cx a 2 y 2 2cx a 2 y 2 2(x c 2 y) A megadott feszültségi tenzor kielégíti-e az egyensúlyi egyenletet? Ha nem, megadható olyan nemzérus c paraméter, amellyel egyensúlyba kerül? (c) Az alábbi kétdimenziós feszültségi tenzor kielégíti az egyensúlyi egyenletet? [T] = 3x + 2y 2x 3y 2x 3y x + 2y
III. Feszültségi állapot és egyensúly 4. Feladat 3.4 Egyensúlyi egyenlet Egy rugalmas test feszültségi állapota a T feszültségi tenzorával adott. Határozza meg a q térfogati terhelést az alábbi esetekben: (a) y 2 x 3 3z + 2y 2 y(3 4z) [T] = 3z + 2y 2 α 2 (2y + x) 0 y(3 4z) 0 gz ahol g és α terhelési paraméterek; (b) T = 2zx 2 0 x z 2 + 2 0 4y 2 3y 2 xz x z 2 + 2 3y 2 xz 0.
III. Feszültségi állapot és egyensúly 5. Feladat 3.5 Feszültségi tenzorok kapcsolata Az anyag az alábbi deformációt szenvedi el: r x 0, y 0, z 0 = 3ax 0 e x + ax 0 + y 0 e y + z 0 e z, továbbá a Cauchy-féle feszültségi tenzor mátrixa: T = b 2b 0 2b b 0 0 0 0, (a) Adja meg az y normálisú síkon ébredő csúsztatófeszültséget, majd az e k = 0.8e x + 0.6e x normálisú síkon ébredő normál- és csúsztatófeszültség nagyságát! (b) Határozza meg az első Piola-Kirchoff-féle feszültségi tenzor mátrixát! (c) Írja fel a második Piola-Kirchoff-féle feszültségi tenzor mátrixát! Ellenőrizze a tenzor szimmetriáját!